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MÓDULO 01 - Introdução aos Sistemas Estruturais - Definição dos Elementos Estruturais Objetivo do módulo Mostrar a relação entre Engenharia e Arquitetura e a definição dos elementos de uma estrutura A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas, independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única. Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) deve ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como também uma Expressão Arquitetônica (Arquitetura). 1. Definição dos Elementos Estruturais Laje: estruturas laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira acentuadamente de menor dimensão. As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podando também, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares.

Calculo estrutural

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Page 1: Calculo estrutural

MÓDULO 01 - Introdução aos Sistemas Estruturais - Definição dos Elementos Estruturais

Objetivo do módulo

Mostrar a relação entre Engenharia e Arquitetura e a definição dos elementos de uma estrutura

A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas, independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única.

Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) deve ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como também uma Expressão Arquitetônica (Arquitetura).

1. Definição dos Elementos Estruturais

Laje: estruturas laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira acentuadamente de menor dimensão.

As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podando também, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares.

Page 2: Calculo estrutural

Viga: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas.

As vigas em um Sistema Estrutural podem estar apoiadas diretamente sobre os pilares como também sobre outras vigas.

Pilar: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas.

Os pilares em um Sistema Estrutural estão apoiados nas fundações.

Fundação: estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma ordem de grandeza.

As fundações em um Sistema Estrutural estão apoiadas em estacas ou diretamente sobre o terreno.

MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural Vigas

Objetivo do módulo

Definir o que é uma viga, o que é tensão, como se faz a verificação da

estabilidade de um elemento

Page 3: Calculo estrutural

estrutural e quais são as tensões em uma viga.

Vigas

1. Definição

Pode-se dizer que as vigas foram um elemento de sustentação criado pelo homem, ainda que inconscientemente.

Imaginemos um homem pré-histórico com sua incrível e insaciável necessidade de comer. Só que, para conseguir alimentos, ele tinha que atravessar um rio. Porém, nas proximidades de sua caverna o rio era muito largo e profundo, sendo que ele não conseguia atravessá-lo tendo que caminhar todos os dias milhares de quilômetros desde a sua caverna até uma parte onde o rio fosse mais raso e estreito de maneira que ele pudesse pular e atravessá-lo.

Um dia, após uma terrível tempestade noturna, o homem pré-histórico saiu de sua caverna e viu que naquela parte mais larga do rio havia caído uma árvore, permitindo então que ele atravessasse o rio caminhando sobre o tronco, sem a necessidade de caminhar os milhares de quilômetros.

Pronto: estava criada a VIGA, ou seja, o tronco de árvore apoiado sobre as duas margens era uma viga.

D definição

VIGA: estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, assentada em um ou mais apoios e que tem a função de suportar os carregamentos normais à sua direção (se a direção da viga é horizontal, os carregamentos são verticais).

Vigas de madeira

Vigas de aço:

Page 4: Calculo estrutural

Vigas de concreto:

MÓDULO 01 - Introdução aos Sistemas Estruturais - Posicionamento dos Elementos Estruturais

2. Posicionamento dos Elementos Estruturais

O posicionamento dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) é dado em função de cada projeto, em consonância com os demais projetos componentes de uma edificação, como por exemplo: projeto arquitetônico, projeto hidráulico, projeto elétrico etc.

Você gostaria de ter que se abaixar todas as vezes que desce uma escada para não correr o risco de fazer um galo batendo-a em uma viga que cruza esta escada?

Page 5: Calculo estrutural

Você gostaria de estar sentado na platéia de um teatro em uma poltrona que fica bem atrás de um pilar?

Seria interessante uma tubulação horizontal ter que desviar das vigas em cada piso de um edifício?

Curiosidade

Qual seria o limite de altura para edifícios em:

Alvenaria: chega-se até (acreditem !!!!) 20 pavimentos mas com uma limitação, a espessura das paredes no pavimento térreo que podem chegar até 1,50 metros.

Concreto armado: chega-se até 60 pavimentos com a limitação nas dimensões e na quantidade de pilares no pavimento térreo.

Aço: chega-se até 190 pavimentos com limitações quanto à necessidade de travamento e também, dependendo da eficiência do travamento, limitações devido à possíveis oscilações que possam ocorrer devido ao vento (podendo chegar até 40 cm no topo de um edifício para ventos muito fortes).

O observação

Para se entender bem a estreita ligação entre Engenharia e Arquitetura, deve-se estar atento para o fato de que novos Sistemas Estruturais oferecem a possibilidade de criação de novas Expressões Arquitetônicas que, por sua vez, exigem novos Sistemas Estruturais, formando um círculo interminável que vem permitindo a evolução tanto da Engenharia como também da Arquitetura através dos tempos.

Page 6: Calculo estrutural

Teatro Villa-Lobos - São Paulo

C conclusão

Para se compreender melhor a parte TÉCNICA de uma obra, é necessário o conhecimento de alguns pontos, como por exemplo: quais os tipos de carregamento que atuam em uma edificação, quais os esforços que surgem nos elementos estruturais provenientes destes carregamentos, quais as tensões que estes eforços provocam.

MÓDULO 02 - Estática: Princípio Básico da Arquitetura

Objetivo do módulo

Mostrar a relação entre estética e estática e os problemas que podem

ocorrer quando os princípios da estática não são observados

1. Estática: Princípio Básico da Arquitetura

A fórmula a seguir é para você, que gosta de Arquitetura e não sabe o que está fazendo nesta disciplina.

PROJETO = ESTÉTICA + ESTÁTICA + OUTROS

D definição

ESTÉTICA: Responsável pela "arte" de um projeto. A estética é dada pela expressão arquitetônica através de várias disciplinas, sendo a principal delas a disciplina de Planejamento Arquitetônico.

ESTÁTICA: Responsável pela "técnica" de um projeto. A estática se encarrega de fazer com que uma estrutura fique "em pé", suportando as cargas e as transportando sem deformações excessivas até o terreno. A palavra ESTÁTICA, vem do grego "statikos" e quer dizer imóvel como estátua, parado.

OUTROS: Alguns itens também devem ser considerados na execução de um projeto. Projeto elétrico, projeto hidráulico, projeto de conforto ambiental, paisagismo, integração com o entorno, definição dos materiais a serem utilizados, definição dos processos construtivos, entre outros.

A principal função, do ponto de vista estrutural, para uma edificação é ser estática, porém:

Page 7: Calculo estrutural

Ela pode se "inclinar":

por não estar bem travada

por problemas de fundação.

Ela pode se deformar e/ou

fissurar excessivamente,

em partes ou como um todo, devido a excesso de carga

ou travamento inadequado.

Partes da estrutura podem ser

afastadas uma da outra devido a

falhas nas juntas (para estruturas metálicas ou de

madeira).

Um ou mais pilares de um edifício

sujeitos a carga de compressão podem flexionar ao máximo

até que, a menos que o carregamento

seja retirado, eles rompem.

Os materiais podem estar

sobrecarregados gerando ruptura

O observação

Após um período de tempo, pode haver decomposição dos materiais devido à fatores externos.

Page 8: Calculo estrutural

MÓDULO 03 - Influência da Técnica na Expressão Arquitetônica

Objetivo do módulo

Apresentar opiniões de vários Arquitetos conceituados nacional e

internacionalmente a respeito de como a técnica pode servir para a

Arquitetura e vice-versa

1. Influência da Técnica na Expressão Arquitetônica

Alfred Willer

"Não se admite mais que hoje se faça um anteprojeto e não se localize os elementos estruturais, ou seja, o projeto arquitetônico e o estrutural estão ligados, pois quem propõem a estrutura e quem a viabiliza e a dimensiona é o engenheiro. Logo, o arquiteto tem que ter uma boa experiência de como funciona a estrutura. O objetivo da cadeira Sistemas Estruturais no curso de Arquitetura não é tornar o Arquiteto um calculista, mas fazer os estudantes entenderem como funciona uma estrutura, conhecer as várias opções estruturais e propor, dentro do projeto arquitetônico, uma solução viável".

Roberto Luiz Gandolfi

"A trilogia função, técnica e plástica é Arquitetura. Não é possível criar um espaço sem saber as técnicas e instalações necessárias para que se desempenhe todas as funções satisfatoriamente. As técnicas que têm que servir a esta função não são influência sobre a Arquitetura e sim a própria Arquitetura".

Leonardo Tossiaki Oba

"Os elementos técnicos mais expressivos na Arquitetura são, em geral, as suas estruturas. A estrutura define e estabelece o espaço arquitetônico. Cada arquiteto acaba por desenvolver um modo particular de expressão estrutural. Pessoalmente acho que se deve evitar excessos e buscar sempre uma coerência nas decisões usando técnicas adequadas para cada caso. Ou seja, usar vãos maiores somente quando necessário e quando não houver necessidade de flexibilidade ou grandes vãos, procurar soluções estruturais mais simples. Seria algo como uma "composição estrutural" onde cada espaço tem uma solução mais sintonizada com as suas necessidades e o conjunto se expressa como um todo coerente e composto."

Elgson Ribeiro Gomes

"Utilizo a técnica dos engenheiros acrescentando graça e bom gosto. A utilização da técnica deve ser feita de forma moderada e modesta para que não se produzam efeitos que descaracterizam a obra".

Oscar Niemeyer

"A Arquitetura e a Engenharia são duas coisas inseparáveis. A estrutura é a própria Arquitetura, não existe Arquitetura sem estrutura. Quando o tema permite, é preciso invadir o campo fecundo da imaginação e fantasia e procurar a forma diferente, a surpresa arquitetural. E aí surgem as conquistas estruturais inovadoras; os grandes vãos livres, os balanços enormes, as cascas finíssimas, enfim, tudo que pode demonstrar o progresso da técnica em toda sua plenitude".

Lúcio Costa

"Enquanto satisfaz apenas as exigências técnicas e funcionais - não é ainda Arquitetura; quando se perdem intenções meramente decorativas - tudo não passa de cenografia; mas quando - popular ou erudita - aquele que a ideou, pára e hesita, ante a simples escolha de um espaçamento de pilar ou da relação entre a altura e a

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largura de um vão, e se detém na procura obstinada da justa medida entre cheios e vazios, na fixação dos volumes e subordinação deles a uma lei, e se demora atento ao jogo dos materiais e seu valor expressivo - quando tudo isto se vai pouco a pouco somando, obedecendo aos mais severos preceitos técnicos e funcionais, mas, também, àquela intenção superior que seleciona, coordena e orienta em determinado sentido toda essa massa confusa e contraditória de detalhes, transmitindo assim ao conjunto, ritmo, expressão, unidade e clareza - o que se confere à obra o seu caráter de permanência: isto sim é Arquitetura".

C conclusão

Vê-se portanto, pelos depoimentos acima, que os Arquitetos sempre levam em consideração a técnica, concluindo que ela é de grande importância no desenvolvimento dos projetos tanto Arquitetônico quanto Estrutural, trabalhando sempre em conjunto, sempre inseparáveis um do outro.

MÓDULO 04 - Tipos de Carregamentos - Carregamentos

Objetivo do módulo

Definir os tipos de carregamento concentrado, distribuído/m e

distribuído/m2.

1. Carregamentos

Sabe-se que na antiguidade não havia o cálculo ou o projeto estrutural. A evolução acontecia de uma obra para outra na base da tentativa e do erro. Muitas vezes uma obra que demorara até centenas de anos para chegar até um determinado estágio não suportava os carregamentos impostos até mesmo pelo próprio peso da estrutura e desabava. Então, não restava nada a fazer senão aprender com o erro ocorrido e recomeçar a construção.

Um fator que colaborou com a evolução de uma obra do ponto de vista estrutural, foi a observação das forças da natureza. Esta observação permitiu que os elementos estruturais tivessem dimensões cada vez menores e também permitiu que os vãos se tornassem cada vez maiores.

E exemplo

Uma árvore e suas raízes poderiam perfeitamente servir de exemplo para a construção de um pilar com sua fundação.

Com o surgimento da Revolução Industrial, foram surgindo novas técnicas e novos materiais. Com estas técnicas e materiais, alguns modelos teóricos, ou seja, explicações, para as forças da natureza foram descobertos. Baseados nestes modelos teóricos surgiram então os projetos mostrando que uma obra poderia ser construída sem a necessidade de experimentos com obras anteriores (acabou o processo de tentativa e erro).

O primeiro fator a ser considerado quando da execução do projeto estrutural de uma obra são os

Page 10: Calculo estrutural

carregamentos nela atuantes.

D definição

Carregamento: qualquer influência que causa forças ou deformações em uma estrutura.

MÓDULO 04 - Tipos de Carregamentos - Tipos de Carregamentos

2. Tipos de Carregamentos

Existem três tipos de carregamentos:

Concentrado, distribuído/m e distribuído/m2.

Concentrado Distribuído/m Distribuído/m2

Concentrado:

- Representa uma força aplicada em um único ponto da estrutura.

- Unidade: kN

- Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas, pilares e fundações.

E exemplo

força concentrada:

sobre uma laje: um cofre no meio de uma sala

Page 11: Calculo estrutural

sobre uma viga: reação de uma outra viga

sobre um pilar: reação das vigas que se apoiam no pilar

sobre a fundação: carga do pilar que chega na fundação

Voltar

Distribuído/m:

- Representa uma força distribuída sobre uma linha da estrutura.

- Unidade: kN/m

- Pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: lajes, vigas.

E exemplo

força distribuída/m:

sobre uma laje: peso de uma parede de alvenaria.

sobre uma viga: peso de uma parede de alvenaria.

Page 12: Calculo estrutural

Voltar

Distribuído/m2:

- Representa uma força distribuída sobre uma superfície da estrutura.

- Unidade: kN/m2

- Pode acontecer no seguinte elemento estrutural: laje.

E exemplo

Exemplo de força distribuída/m2:

sobre uma laje: peso das pessoas sobre a laje

MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com

Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes - Peso-próprio (pp)

Objetivo do módulo

Mostrar os carregamentos permanentes atuantes em uma

estrutura.

Os carregamentos permanentes estão atuando sobre a estrutura durante todo o tempo, não

Page 13: Calculo estrutural

importando qual seja a sua utilização ou quais sejam as condições atmosféricas.

1. Peso-próprio (pp):

Os elementos estruturais têm o peso que deve ser considerado na definição dos carregamentos atuantes em uma estrutura. Este peso, definido como peso-própio é função do peso específico do material em questão.

: peso específico do material (kN/m3)

Lajes

Fórmula

Vigas

Fórmula

para seção retangular:

Pilares:

Fórmula

para seção retangular:

Peso específico () de alguns materiais mais utilizados:

concreto armado: 25 kN/m3

madeira: varia de 5 kN/m3 (pinho) até 10 kN/m

3 (ipê)

Page 14: Calculo estrutural

aço: 78 kN/m

MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes -

Alvenaria (alv)

2. Alvenaria (alv):

Função do peso/m2 da alvenaria, dependendo se a parede é mais ou menos espessa.

O peso das paredes de alvenaria de uma obra devem ser consideradas sobre os elementos estruturais em que elas se apoiam. Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes. O peso da alvenaria é função do peso/m

2 da alvenaria, que varia de acordo com sua espessura.

Fórmula

O peso/m2 dos principais tipos de alvenaria são os seguintes:

alvenaria de cutelo: 0,95 kN/m

2

alvenaria de 1/2 vez: 1,70 kN/m

2

alvenaria de 1 vez: 3,20 kN/m

2

O observação

a - Os valores de peso/m2 da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro furado com argamassa de

1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco.

b - Os vazios que podem aparecer em uma parede de alvenaria não devem ser considerados, proporcionando assim uma maior segurança.

Page 15: Calculo estrutural

MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes -

Revestimento (rev)

3. Revestimento (rev):

O peso dos revestimentos de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em que eles se apoiam. Um valor básico é utilizado como peso de revestimento:

rev = 0,50 kN/m2 (carregamento

distribuído/m2)

O observação

O valor acima é considerado somente para revestimentos mais comumente utilizados, como por exemplo: taco, tapete, borracha, paviflex, etc.

Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou devem ser feitas consultas ao próprio fabricante.

MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes -

Cobertura (cob)

4. Cobertura (cob):

O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apoiam algum tipo de cobertura, entendo-se por cobertura toda a estrutura que suporta as telhas mais o peso das próprias telhas. O peso da cobertura é função do peso/m

2 do telhado.

cob = 0,60 kN/m2 à 1,00 kN/m

2 (carregamento

distribuído/m2)

- 0,60 kN/m2 para telha de fibrocimento e 1,00 kN/m

2 para telha de barro.

Page 16: Calculo estrutural

MÓDULO 05 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Permanentes -

Estrutura sobre a Estrutura

5. Estrutura sobre a estrutura:

Alguns elementos estruturais podem se apoiar sobre outros elementos sendo portanto a carga definida pela reação de um elemento estrutural sobre outro.

As fotos mostram os tipos de reações de elementos estruturais sobre a própia estrutura que podem ocorrer.

Laje: apesar de muito raro, pode receber a carga de um pilar (kN) (carregamento concentrado)

Viga: não muito comumente, pode receber a carga de um pilar (kN), sendo chamada então de viga de transição (carregamento concentrado)

Viga: usualmente recebe as reações das lajes (kN/m), ou seja, as lajes, neste caso, estão apoiadas nas vigas (carregamento distribuído/m)

Viga: usualmente também, pode receber as reações de outras vigas (kN), ou seja, as vigas, neste caso, estariam apoiadas em outras vigas (carregamento concentrado)

Page 17: Calculo estrutural

Pilar: raramente, pode receber as reações das lajes diretamente (kN), sendo então, uma estrutura tipo cogumelo, sem vigas (carregamento concentrado)

Pilar: normalmente, recebe as reações das vigas que nele se apoiam (kN) (carregamento concentrado)

MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Acidentais -

Vento

Objetivo do módulo

Mostrar os carregamentos acidentais que podem atuar em uma estrutura.

Exemplo de cálculo de carregamentos em uma estrutura.

Os carregamentos acidentais, ao contrário dos permanentes, nem sempre estão presentes em um Sistema Estrutural. Há épocas em que eles são atuantes e há épocas em que eles não aparecem. Devido a esta sazonidade, eles devem ser considerados durante todo o tempo, não podendo nunca ser esquecidos.

1. Vento

Este tipo de carregamento é considerado somente para edificações muito altas ou edificações especiais, como por exemplo, torres, caixas d'água elevadas, galpões, etc.

Pergunta:

O que seria melhor para a consideração do vento em uma edificação do ponto de vista estrutural?

Opções: Uma edificação sujeita a um vento com velocidade de 2 km/h ou de 100 km/h? Uma edificação em um local plano ou em um local montanhoso? Uma edificação livre, sem nenhuma vizinhança, ou uma edificação com vizinhos por todos os lados?

Page 18: Calculo estrutural

Um sobrado de dois pavimentos ou um edifício de 80 pavimentos?

Resposta:

O efeito do vento é função de alguns fatores específicos, tais como: velocidade do vento, conseguida através de mapas com linhas de igual velocidade, topografia do local, vizinhança da edificação e tipo da edificação.

MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Acidentais -

Empuxo

2. Empuxo

Empuxo é a força lateral proveniente da ação da água nas piscinas ou caixas d'água ou do solo nos sub-solos sobre as paredes verticais.

CASO 1

Caso de empuxo d'água sobre as paredes laterais de uma piscina ou caixa d'água:

O valor do carregamento é triangular variando desde zero na superfície até q na parte mais profunda.

Fórmula

CASO 2

Caso de empuxo de terra sobre uma cortina de concreto, que aparece quando da utilização de sub-solos:

O valor do carregamento é triangular variando desde zero na superfície até q na parte mais profunda.

Fórmula

Page 19: Calculo estrutural

MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Acidentais -

Frenagem

3. Frenagem

Outro dia estava indo para a praia quando na serra, em um daqueles grandes viadutos que tem uma grande inclinação, um caminhão daqueles enormes resolveu me ultrapassar. Porém, lá embaixo, no final do viaduto, estavam atravessando a pista uma mãe de mãos dadas com uma criança.

Eu só olhei para o lado e ouvi uma grande freada do caminhão. Felizmente nada aconteceu, o caminhão conseguiu parar a tempo!!!

Mas imagine só o deslocamento horizontal do viaduto com a freada, e o que este deslocamento deve ter provocado nos pilares.!

Parece que não, mas a frenagem é um dos principais carregamentos que devem ser considerados no cálculo de pontes e viadutos, sendo logicamente função do peso do veículo. Quanto mais leve o veículo menor o efeito da frenagem e quanto mais pesado o veículo, maior o efeito da frenagem.

MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Acidentais

Sobrecargas (SC)

4. Sobrecargas (SC)

São carregamentos dados em função da utilização de determinado compartimento da edificação.

O efeito da sobrecarga é considerado sobre lajes sendo portanto um carregamento do tipo distribuído/m2.

Valores a srem considerados:

forro (sem acesso ao público): sc = 0,50 kN/m2

residência, escritório: sc = 1,50 à 2,00 kN/m2

compartimentos com acesso ao público (escolas, restaurantes, etc.): sc = 3,00 kN/m2

compartimentos para baile, ginástica, esporte (teatros, ginásios, clubes, etc.): sc = 4,00 kN/m2

compartimentos para arquivos/bibliotecas/depósitos: sc = função de cada caso

Page 20: Calculo estrutural

Forro

Escritório

Sala de Aula

Sala de Ginástica

Biblioteca

Page 21: Calculo estrutural

MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Acidentais -

Terremoto, Neve

5. Terremoto, neve

Tanto o terremoto como a neve são tipos de carga acidental que devem ser considerados. Felizmente, no Brasil, não há a necessidade da consideração deste tipo de carregamento, uma vez que eles não ocorrem nem com intensidade nem com frequência suficiente que justifique sua consideração.

MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Acidentais

Cargas Móveis

6. Cargas Móveis

Logicamente a carga é dita móvel porque se mexe. E o que se mexe é um veículo. Portanto, a carga a ser considerada é o peso dos veículos se deslocando sobre pontes e viadutos.

O efeito da carga móvel é função do peso e da localização do veículo sobre a estrutura.

Normalmente, o peso do veículo é conhecido, sendo utilizados veículos padrões. Mas a localização do veículo se modifica a cada momento, sendo necessários então métodos especiais para a consideração deste fator, dificultando a consideração deste tipo de carga quando do cálculo de pontes e viadutos.

Page 22: Calculo estrutural

MÓDULO 06 - Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação - Acidentais -

Exemplos de Carregamento

7. Exemplos de carregamento

E exemplo

Baseado no esquema ao lado definir a carga em:

lajes: L1 vigas: V2 e V5 pilares: P5

Dados:

piso de escritório

revestimento da laje: taco

alvenaria: 1 vez material:

concreto armado reação da laje

L1 nas vigas V1, V3, V4 e V5: 6,25 KN/m

reação da viga V1 sobre os pilares P1 e P2: 42,68 KN

reação da viga V2 sobre a viga V5 e o pilar P5: 2,19 KN

reação das vigas V3 e V4 sobre os pilares P1,P3 e P4: 43,93 KN

reação da viga V5 sobre o pilar P2: 43,33 KN

reação da viga V5 sobre o pilar P4: 44,21KN

Para se calcular as cargas em uma edificação, inicia-se sempre de cima para baixo (da cobertura para o térreo) na seguinte sequência: lajes, vigas, pilares e fundações.

Portanto, no nosso exemplo, calcularemos primeiramente a carga na laje L1, depois nas vigas V2 e V5 e finalmente no pilar P5.

Pode-se ver através do esquema que as cargas são as seguintes:

Page 23: Calculo estrutural

Laje L1:

Peso-próprio (distribuída/m2) + revestimento

(distribuída/m2) + sobrecarga (distribuída/m

2)

peso-próprio: pp = 0,10 m . 25 kN/m

3

= 2,50 kN/m

2

revestimento: rev = 0,50 kN/m

2

sobrecarga: sc = 2,00 kN/m

2

total = 5,00 kN/m

2

Convém lembrar que poderia haver ainda a carga de uma parede de alvenaria ou de um pilar sobre a laje.

Viga V2:

Peso-próprio (distribuída/m)

peso-próprio: pp = 0,10 m . 0,50 m . 25 kN/m3 = 1,25 kN/m

Viga V5:

Peso-próprio (distribuída/m) + alvenaria (distribuída/m) + reação da laje L1 (distribuída/m) + reação da viga V2 (concentrada)

Page 24: Calculo estrutural

peso-próprio: pp = 0,20 m . 0,50 m . 25 kN/m3 = 2,50 kN/m

alvenaria: alv = 2,60 m . 3,20 kN/m2 = 8,32 kN/m

laje: laje = 6,25 kN/m

total = 17,07 kN/m

Convém lembrar que poderia haver ainda a carga de um pilar sobre a viga

Pilar P5:

Peso-próprio (concentrada) + reação da viga V2 (concentrada)

peso-próprio:

pp = 0,20 m . 0,20 m . 2,60 m . 25 kN/m

3

= 2,60 kN

reação da viga:

viga = 2,19 kN

total = 4,79 kN

MÓDULO 07 - Leis de Newton e Tipos de Esforços - Leis de Newton

Objetivo do módulo

Definir as três Leis de Newton e os esforços de tração, compressão,

flexão, torção e cisalhamento

D definição

Page 25: Calculo estrutural

As forças em um Sistema Estrutural são caracterizadas pelas leis de Newton, pelo cálculo dos momentos em relação a um ponto, pelo cálculo do equilíbrio em relação a um ponto e do equilíbrio de forças paralelas.

1. Leis de Newton

(Isaac Newton - 1642 - 1727)

Primeira Lei

"Qualquer corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme a menos que alguma força seja aplicada sobre ele."

Pergunta: os carregamentos não exercem uma força sobre a estrutura? Resposta: Sim Pergunta: a estrutura deixa de estar em repouso? Resposta: Não Pergunta: o que acontece?

Segunda Lei

"A aceleração de um corpo é diretamente proporcional à força aplicada sobre ele e inversamente proporcional à sua massa."

a = F / m F = m . a

Terceira Lei

"A toda ação, corresponde uma reação igual e contrária."

Resposta à última pergunta da Primeira Lei: do ponto de vista estrutural, a toda ação (carregamentos, na maioria para baixo), corresponde uma reação igual e contrária (para cima). Logo: a resultante é nula e consequentemente a estrutura está em repouso.

Exemplo:

MÓDULO 07 - Leis de Newton e Tipos de Esforços - Esforços

Page 26: Calculo estrutural

2. Esforços

Os carregamentos solicitam os elementos estruturais através de forças.

A seguir veremos que os materiais de que são compostos estes elementos estruturais respondem a estas solicitações através de esforços.

Esforços que podem surgir:

Tração

Ocorre quando há duas forças, na mesma direção, puxando em sentidos opostos

E exemplo

Corda no cabo de guerra.

Compressão

Ocorre quando há duas forças, na mesma direção, empurrando em sentidos opostos.

E exemplo

Pisando no balão.

Flexão

Page 27: Calculo estrutural

Ocorre quando há carregamento transversal entre os apoios

E exemplo

O que acontece quando algumas pessoas pisam bem no meio de um

banco de madeira bem fininho? (antes do banco quebrar)

Torção

Ocorre quando há o giro das extremidades em direções opostas.

E exemplo

O que deve ser feito com uma roupa molhada para deixá-la mais enxuta?

Cisalhamento

Ocorre quando há o escorregamento entre seções paralelas devido à forças paralelas

E exemplo

O que acontece quando uma tesoura corta um pedaço de papel?

Page 28: Calculo estrutural

O observação

Pode haver, e normalmente há, uma combinação destes esforços em um mesmo elemento estrutural. Outro

fator a ser considerado é que nem todos os elementos estruturais suportam bem todos os esforços. Por

exemplo, será que uma corda suporta tão bem o esforço de compressão quanto o de tração?

MÓDULO 08 - Momento

Objetivo do módulo

Cálculo do momento de uma força em relação a um ponto.

1. Momento

D definição

Momento de uma força em relação a um ponto é o produto desta força pela sua distância até o ponto considerado.

Momento de carga concentrada

(momento da força V em relação

ao ponto A) sentido horário

(momento da força H em relação

ao ponto A) sentido anti-horário

(momento da força P em relação ao

ponto A) sentido horário

O observação

Não importa a direção da força para o cálculo do momento.

Momento de carga distribuída

Page 29: Calculo estrutural

Fórmula

MOMENTO =

CARGA (q). COMPRIMENTO DA CARGA (b) . DISTÂNCIA DO CG DA CARGA AO PONTO CONSIDERADO (b/2+a)

Mq/A=q . b.(a + b/2)

(momento da carga q em relação ao ponto A) sentido horário

MÓDULO 09 - Equilíbrio de Forças Paralelas

Objetivo do módulo

Definir as condições de equilíbrio de forças paralelas.

1. Equilíbrio de forças paralelas

Pergunta:

Será que se for colocado um paralelepípedo de um lado da viga e três paralelepípedos sobrepostos do outro lado vai haver equilíbrio?

Resposta:

A resposta intuitiva para esta pergunta é NÃO.

Porém, observe a foto abaixo:

Page 30: Calculo estrutural

Vê-se portanto, que se o paralelepípedo único estiver mais longe do ponto de apoio que os três paralelepípedos sobrepostos vai haver equilíbrio.

Logo, para haver equilíbrio, o momento causado pela força menor (paralelepípedo único mais distante do ponto de apoio) deve ser igual ao momento causado pela força maior (paralelepípedos sobrepostos mais próximos do ponto de apoio).

Conclusão:

Quanto maior a distância, menor a força.

Conclusão:

Então além da força aplicada o que importa também é a distância desta força em relação ao ponto de apoio.

Este conceito foi utilizado pela primeira vez por Arquimedes (287-212 a.C.) que proferiu a seguinte frase:

"Me dê um ponto de apoio que eu poderei levantar o mundo."

E exemplo

Page 31: Calculo estrutural

Pergunta: Porque será que a maçaneta de uma porta é o mais longe possível da dobradiça?

Reflita e aperte para ver a resposta

E exemplo

Pergunta: Porque será que as pessoas carregam as sacolas de supermercado com o braço abaixado e não levantado na horizontal?

Reflita e aperte para ver a resposta

Condições para o equilíbrio de forças paralelas: (TRÊS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA)

1. A toda ação corresponde uma reação igual e contrária:

P + Q = R

P + Q - R = 0

2. Vale o mesmo se houvesse forças horizontais:

3. Momento da força menor em relação ao apoio é igual ao momento da força maior:

P.a1 = Q.a2 (anti-horário)

(horário)

P.a1 - Q.a2 = 0

! importante

As três equações acima definidas (somatório das forças verticais igual a zero, somatório das forças

Page 32: Calculo estrutural

horizontais igual a zero e somatório dos momentos em relação a um ponto igual a zero) são conhecidas como as TRÊS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA.

É indiferente a escolha da convenção de sinais (de baixo para cima ou de cima para baixo, da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, horário ou anti-horário), o resultado é o mesmo.

E exemplo

Definir a distância a e a reação R para que o sistema abaixo esteja em equilíbrio.

convenção de baixo para cima, positivo - 3 - 6 + R = 0 R = 9

não há forças horizontais aplicadas

Mapoio = 0

convenção sentido horário, positivo

-3 x 4 + R . 0 + 6 . a = 0 a = 2

Trocando as convenções:

convenção de cima para baixo, positivo

3 + 6 - R = 0 R = 9

Mapoio = 0

convenção anti-horário, positivo

3 x 4 + R . 0 - 6 . a = 0 a = 2

MÓDULO 10 - Reações de Apoio - Tipos de Apoio e Reações

Objetivo do módulo

Mostrar os tipos de apoio e de vigas e como calcular reações de apoio de

vigas isostáticas.

O observação

As reações de apoio em estruturas como vigas, treliças e pórticos, são calculadas aplicando-se as Três Equações Fundamentais da Estáticas definidas no módulo anterior.

1. Tipos de Apoio e Reações

Page 33: Calculo estrutural

Engaste

3 reações de apoio: - reação momento (M), - reação horizontal (H), - reação vertical (R), logo: 3 incógnitas.

Apoio fixo

2 reações de apoio: - reação horizontal (H), - reação vertical (R), logo: 2 incógnitas.

Apoio móvel

1 reação de apoio: - reação vertical (R), logo: 1 incógnita.

MÓDULO 10 - Reações de Apoio - Tipos de Estruturas

2. Tipos de Estruturas

Hipostática

Menos de 3 incógnitas

São instáveis

Exemplos: estrutura com um apoio fixo (2 incógnitas), ou 2 apoios móveis (2 incógnitas), ou 1 apoio móvel (1 incógnita)

Isostática

3 incógnitas Resolvidas com as três equações

da estática

Exemplo: estrutura com um apoio fixo e um apoio móvel (3 incógnitas), ou um engaste (3 incógnitas)

Page 34: Calculo estrutural

Hiperestática

Mais de 3 incógnitas

Necessitam outras equações

além das três equações da

estática

Exemplos: estrutura com 2 engastes (6 incógnitas), ou 1 engaste e um apoio móvel (4 incógnitas), ou 1 engaste e um apoio fixo (5 incógnitas) ou 2 apoios fixos (4 incógnitas)

MÓDULO 10 - Reações de Apoio - Exemplos

3. Exemplos - Cálculos das Reações de Apoio de vigas Isostáticas

Viga com uma carga concentrada

Viga com uma carga distribuída

Viga com cargas concentradas e distribuídas

Page 35: Calculo estrutural

MÓDULO 11 - Aplicação do Cálculo das Reações de Apoio

Objetivo do módulo

Calcular, a partir da planta do pavimento tipo de um edifício, as

reações de apoio que compõem a sua estrutura.

1. Cálculo das reações de apoio das vigas do pavimento tipo abaixo

Planta do projeto arquitetônico

Planta do projeto estrutural

Page 36: Calculo estrutural

O observações

Numeração dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares) em um projeto estrutural .

Lajes e pilares: da esquerda para a direita e de cima para baixo.

Vigas: da esquerda para a direita e de cima para baixo (vigas horizontais), e na continuação de baixo para cima da esquerda para direita (vigas verticais). Para uma mesma viga com balanço(s) a numeração é única para o(s) balanço(s) e para o vão. A diferenciação se dá através de uma seqüência de letras do alfabeto iniciando-se pela letra "a" a esquerda ou abaixo (dependendo se a viga é horizontal ou vertical). Portanto, para a viga 21, por exemplo, com dois balanços em um vão ter-se-á: "V21a" para o balanço, "V21b" para o vão e "V21c" para outro balanço.

Sequência de vigas para cálculo das reações:

Existe sempre uma sequência lógica de vigas para o cálculo das reações de apoio. Deve-se iniciar os cálculos pelas vigas que não dependem das outras (não tenham outras vigas apoiadas sobre elas). E assim sucessivamente.

No nosso exemplo:

Iniciando a análise pela viga V1

Page 37: Calculo estrutural

viga 1

- depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço - depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão - depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio.

viga 2

- depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio.

viga 3

- depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço - depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio.

viga 4

- não depende da reação de apoio de nenhuma viga

logo: podem ser calculadas as reações de apoio (1) V4

viga 5

- não depende da reação de apoio de nenhuma viga.

logo: podem ser calculadas as reações de apoio (2) V5

viga 6

- depende da reação de apoio da V4 na extremidade do balanço (já calculada (1)) - depende da reação de apoio da V2 no meio do vão logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio.

viga 7

- não depende da reação de apoio de nenhuma viga

logo: podem ser calculadas as reações de apoio (3) V7

viga 8

Page 38: Calculo estrutural

- não depende da reação de apoio de nenhuma viga

logo: podem ser calculadas as reações de apoio (4) V8

viga 9

- depende da reação de apoio da V4 na extremidade do balanço (já calculada (1)) - depende da reação de apoio da V2 no meio do vão logo: ainda não podem ser calculadas as reações de apoio

viga 10

- não depende da reação de apoio de nenhuma viga

logo: podem ser calculadas as reações de apoio (5) V10

Reiniciando a análise pela viga V1

viga 1

- depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço (já calculada (2)) - depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão (já calculadas (3) e (4)) - depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço (já calculada(5))

logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (6) V1

viga 2

depende das reações de apoio da V7 e da V8 no meio do vão (já calculadas (3) e (4))

logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (7) V2

viga 3

depende da reação de apoio da V5 na extremidade do balanço (já calculada (2)) depende da reação de apoio da V10 na extremidade do balanço (já calculada(5))

logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (8) V3

viga 4

já calculada (1)

viga 5

já calculada (2)

viga 6

- depende da reação de apoio da V4 na extremidade do balanço (já calculada (1)) - depende da reação de apoio da V2 na extremidade do balanço (já calculada (7))

logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (9) V6

viga 7

já calculada (3)

Page 39: Calculo estrutural

viga 8

já calculada (4)

viga 9

- depende da reação de apoio da v4 na extremidade do balanço (já calculada (1)) - depende da reação de apoio da v2 na extremidade do balanço (já calculada (7))

logo: já podem ser calculadas as reações de apoio (10) V9

viga 10

já calculada (5)

Reiniciando a análise pela viga V1

viga 1

já calculada (6)

viga 2

já calculada (7)

viga 3

já calculada (8)

viga 4

já calculada (1)

viga 5

já calculada (2)

viga 6

já calculada (9)

viga 7

já calculada (3)

viga 8

já calculada (4)

viga 9

já calculada (10)

viga 10

já calculada (5)

Logo, já foram calculadas as reações de apoio de todas as vigas.

A seqüência para o cálculo das reações de apoio é a seguinte:

(1) V4 (2) V5 (3) V7 (4) V8 (5) V10 (6) V1 (7) V2 (8) V3 (9) V6

Page 40: Calculo estrutural

(10) V9

O observação

A seqüência definida acima não é a única seqüência possível para o cálculo das reações de apoio. Pode haver mais de uma seqüência para um mesmo esquema estrutural.

O observação

Os valores das cargas uniformemente distribuídas sobre as vigas são provenientes dos seguintes elementos: reação das lajes que se apoiam nas vigas, peso-própio, peso da alvenaria sobre as vigas.

Cálculos das reações

Viga V4

MV6 = 0

positivo: horário +6 . 6,00 . 3,00 - RV9 . 6,00 = 0 RV9 = 18kN

V = 0

positivo: baixo para cima

RV6 + 18 - 6 . 6,00 = 0 RV6 = 18kN

H = 0

positivo: esq. para dir.

HV6 = 0 HV6 = 0

Voltar

Viga V5

MV3 = 0 5,5 . 6,00 . 3,00 - RV1 . 6,00 = 0 RV1 = 16,50kN

Page 41: Calculo estrutural

positivo: horário

V = 0

positivo: baixo para cima

RV3 + 16,50 - 5,5 . 6,00 = 0 RV3 = 16,50kN

H = 0

positivo: esq. para dir. HV1 = 0 HV1 = 0

Voltar

Viga V7

MV1 = 0

positivo: horário -10 . 2,00 . 1,00 + RV2 . 2,00 = 0 RV2 = 10kN

V = 0

positivo: baixo para cima

10 + RV1 - 10 . 2,00 = 0 RV1 = 10kN

H = 0

positivo: esq. para dir.

HV2 = 0 HV2 = 0

Voltar

Viga V8

MV2 = 0

positivo: horário 5,4 . 2,00 . 1,00 - RV1 . 2,00 = 0 RV1 = 5,4kN

V = 0

positivo: baixo para cima

5,4 + RV2 - 5,4 . 2,00 = 0 RV2 = 5,4kN

Page 42: Calculo estrutural

H = 0

positivo: esq. para dir. HV2 = 0 HV2 = 0

Voltar

Viga V10 (= Viga V4)

Viga V4 Viga V10

RV6 = 18kN RV3 = 18kN

RV9 = 18kN RV1 = 18kN

HV6 = 0 HV3 = 0

Voltar

Viga V1

MP1 = 0

p ositivo: horário

-RP2 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 10 . 2,50 + 5,4 . 4,50 + 18 . 8,00 + 3,5.(1,50 + 6,00 + 2,00) . (4,75 - 1,50) - 1,5 . 1,50 . 0,75 + 2 . 4,5 . 2,25 + 2 . 2,00.(6,00 + 1,00) = 0

RP2 = 53.86kN

V = 0

positivo: baixo para cima

53,86 + RP1 - 16,5 - 10 - 5,4 - 18 -3,5.(1,50 + 6,00 + 2,00) -1,5 . 1,50 - 2 . 4,50 - 2 . 2,00 = 0

RP1 = 44.54kN

H = 0

positivo: esq. para dir.

HP1 = 0 HP1 = 0

Voltar

Viga V2

Page 43: Calculo estrutural

MV9 = 0

positivo: horário

RV6 . 6,00 - 10.(2,00 + 1,50) - 5,4 . 1,50 - 10 . 6,00 . 3,00 - 3,5.(2,50 + 2,00).(2,25 + 1,50) = 0

RV6 = 47,03kN

V = 0

positivo: baixo para cima

47,03 + RV9 - 10 - 5,4 - 10 . 6,00 - 3,5.(2,50 + 2,00) = 0

RV9 = 44,12kN

H = 0

positivo: esq. para dir.

HV6 = 0 HV6 = 0

Voltar

Viga V3

MP3 = 0

positivo: horário

-RP4 . 6,00 - 16,5 . 1,50 + 18.(6,00 + 2,00) + 4,8.(1,50 + 6,00 + 2,00) . (4,75 -1,50) + 10 . 6,00 . 3,00 = 0

RP4 = 74,58kN

V = 0

positivo: baixo para cima

RP3 + 74,58 - 16,5 - 18 - 4,8.(1,50 + 6,00 + 2,00) - 10 . 6,00 = 0

RP3 = 65,52kN

Page 44: Calculo estrutural

H = 0

positivo: esq. para dir.

HP4 = 0 HP4 = 0

Voltar

Viga V6

MP3 = 0

positivo: horário

-RP1 . 6,00 + 47,03 . 4,00 - 18. 1,00 + 4,4.(1,00 + 6,00) . (3,50 - 1,00) + 8,4 . 4,00 . 2,00 + 6,7 . 2,00.(4,00 + 1,00) = 0

RP1 = 63,55kN

V = 0

positivo: baixo para cima

RP3 + 63,55 - 18 - 47,03 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 8,4 . 4,00 - 6,7 . 2,00 = 0

RP3 = 79,28kN

H = 0

positivo: esq. para dir

HP1 = 0 HP1 = 0

Voltar

Page 45: Calculo estrutural

Viga V9

MP4 = 0

positivo: horário

-RP2 . 6,00 - 18 . 1,00 + 44,12 . 4,00 + 4,4.(1,00 + 6,00) . (3,50 - 1,00) + 10 . 4,00 . 2,00 + 5,0 . 2,00.(4,00 + 1,00) = 0

RP2 = 60,91kN

V = 0

positivo: baixo para cima

RP4 + 60,91 - 18 - 44,12 - 4,4.(1,00 + 6,00) - 10 . 4,00 - 5 . 2,00 = 0

RP4 = 82,01kN

H = 0

positivo: esq. para dir

HP2 = 0 HP2 = 0

MÓDULO 12 - Distribuição das Forças nos Elementos Estruturais - Transmissão de Cargas

Objetivo do módulo

Mostrar como os vários tipos de elementos estruturais recebem as cargas e as transmitem até o solo.

1. Transmissão de Cargas

D definição

A estrutura é um sistema de barras que recebe as cargas e as transmite para o solo.

Page 46: Calculo estrutural

Tipos de estruturas

Tesoura Viga Pilar Pórtico Arco

Tesoura:

Duas barras retas inclinadas (AB e AC) mais uma barra horizontal (BC).

Pergunta:

Quais são os esforços aos quais as barras estão sujeitas?

Reflita e aperte para ver a resposta

Voltar

Viga:

Uma barra horizontal (AB).

Pergunta:

Qual é o esforço que a barra está sujeita?

Reflita e aperte para ver a resposta

Voltar

Pilar:

Uma barra vertical (AB) - é a maneira mais simples e natural de transmissão de cargas.

Page 47: Calculo estrutural

Pergunta:

Qual é o esforço que a barra está sujeita?

Reflita e aperte para ver a resposta

Voltar

Pórtico:

Uma barra horizontal (BAC) mais duas barras verticais (BD e CE).

Pergunta:

Quais são os esforços aos quais as barras estão sujeitas?

Reflita e aperte para ver a resposta

Voltar

Arco:

Duas barras curvas (AB e AC) mais uma barra horizontal (BC).

Page 48: Calculo estrutural

Pergunta:

Quais são os esforços aos quais as barras estão sujeitas?

Reflita e aperte para ver a resposta

Voltar

! importante

É essencial para o entendimento da transmissão de cargas em uma estrutura a compreensão de como a estrutura funciona como um todo. Deve-se enxergar todos os elementos estruturais trabalhando em conjunto, ainda que a análise estrutural destes elementos seja feita em separado.

MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - Tensão

2.Tensão (para qualquer elemento estrutural)

D definição

Resposta dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações), aos esforços internos aplicados - força normal (N) que dá origem à tração ou à compressão, momento fletor (M) que dá origem à flexão, momento torçor (Mt) que dá origem à torção e força cortante (V) que dá origem ao cisalhamento.

Fórmula

A fórmula geral para qualquer que seja a tensão (normal, flexão, torção ou cisalhamento) é a seguinte:

Tensão =

Esforço interno aplicado —————————————————————

característica geométrica da seção transversal

esforço interno aplicado: N ou M ou Mt ou V

Característica geométrica da seção transversal: área (A), momento de inércia (I), momento estático (Q), base (b), altura (h), entre outras

E exemplo

Page 49: Calculo estrutural

Tensão de flexão em uma viga

As fibras superiores tendem a se aproximar (compressão) e as fibras

inferiores tendem a se afastar (tração).

Resposta da viga: para responder à compressão, as fibras superiores

tracionam e para responder à tração, as fibras inferiores comprimem

MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - Verificação da Estabilidade

3. Verificação da Estabilidade (para qualquer elemento estrutural)

A estabilidade é realizada pela verificação da seguinte inequação:

Tensão admissível Tensão máxima x Coeficiente de segurança

3.1. Tensão máxima

Relação entre o máximo esforço interno aplicado e uma característica geométrica da seção transversal.

MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - Verificação da Estabilidade - Tensão Admissível

3.2. Tensão admissível

D definição

A tensão admissível é uma característica do material que está sendo utilizado e indica até quanto o

material aguenta antes de se romper.

E exemplo

Definição da tensão admissível de um determinado material

Page 50: Calculo estrutural

Para tal, vamos nos imaginar em um laboratório com uma viga nas seguintes condições:

Esta viga tem uma determinada seção transversal, com suas características geométricas.

No laboratório, existem três relógios: o primeiro deles mede o valor da carga P, os outros dois calculam o valor do máximo esforço interno e da tensão máxima.

Para a definição da tensão admissível, a carga P que está aplicada no meio da viga vai sendo aumentada até o seu rompimento.

1° relógio 2° relógio 3° relógio

mede P (kN)

calcula máximo esforço interno

(kN)

calcula tensão máxima kN/cm²)

10,00 5,00 37,50

15,00 7,50 56,30

20,00 10,00 75,00

24,10 12,05 90,40

Rompimento:

A viga se rompeu quando o valor da carga P chegou a 24,10 kN.

Tensão admissível:

seria: 90,40 kN/cm².

Mas se o material estiver com problemas, se os equipamentos estiverem com problemas, se acontecer alguma coisa?

Alguma garantia deve ser dada.

E esta garantia é conseguida com a diminuição do valor da tensão conseguida no terceiro relógio (multiplica-se o valor obtido na tensão máxima por 0,85).

Portanto, a tensão admissível a ser adotada é:

90,40 . 0,85 = 76,84 kN/cm²

Logo: a tensão admissível do material em questão é 76,84 kN/cm²

Para efeito de convenção, utiliza-se uma barra sobre o símbolo da tensão para indicar a tensão admissível.

Page 51: Calculo estrutural

MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural- Vigas - Verificação da Estabilidade - Coeficiente de Segurança

3.3. Coeficiente de Segurança

Este coeficiente majora o valor dos carregamentos e consequentemente dos máximos esforços internos. Esta majoração é realizada para se garantir possíveis falhas nos cálculos, nos materiais ou em outros fatores que possam influir na segurança da estrutura. Normalmente, utiliza-se para o coeficiente de segurança o valor 1,4.

MÓDULO 13 - Introdução ao Elemento Estrutural - Vigas - Tensões na Viga

4. Tensões na viga

As tensões existentes em uma viga são as seguintes:

tensão de flexão,

tensão de cisalhamento,

tensão de torção.

Estas tensões não atuam separadamente em uma viga, mas sim de maneira composta. Por exemplo, as tensões de flexão e de cisalhamento atuam sempre de maneira conjunta em uma mesma viga.

Tensão de flexão

Esta tensão é a resposta da viga decorrente da flexão. A flexão aparece em uma viga devido ao esforço interno aplicado - momento fletor (M).

Tensão de cisalhamento

Esta tensão é a resposta da viga decorrente do cisalhamento. O cisalhamento aparece em uma viga devido ao esforço interno aplicado - força cortante (V).

Tensão de torção

Esta tensão é a resposta da viga decorrente da torção. A torção aparece em uma viga devido ao esforço interno aplicado - momento torçor (Mt).

A seguir serão analisadas as tensões de flexão e de cisalhamento. A tensão de torção não será abordada devido a incidênia extremamente baixa incidência deste tipo de tensão em uma viga, não justificando portanto a sua análise.

Resumo esquemático

Geometria + Carregamento

Page 52: Calculo estrutural

esforço interno aplicado

M V Mt

Flexão Cisalhamento Torção

tensão

Flexão Cisalhamento Torção

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Vigas Hipostáticas

Objetivo do módulo

Definir vigas hipostáticas, isostáticas e hiperestáticas e apresentar a teoria

para cálculo de momentos fletores em vigas hiperestáticas (Equação dos 3

Momentos).

1. Vigas Hipostáticas:

D definição

São aquelas vigas com menos de três reações de apoio, ou, em outras palavras, menos de três incógnitas.

ou ainda, são aquelas vigas com três ou mais reações da apoio (ou incógnitas) mas com liberdade não restringida.

O observação

Page 53: Calculo estrutural

Se houver alguma força horizontal, não há nenhuma reação neste sentido, e a tendência é que a viga "escorregue" nesta direção.

C conclusão

As vigas hipostáticas não são estáveis, não são estáticas.

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Vigas Isostáticas

2. Vigas Isostáticas:

D definição

Vigas Isostáticas: são aquelas vigas com três reações de apoio (ou, três incógnitas) e com liberdade retringida.

O observação

Se houver uma força horizontal, o apoio fixo tem uma reação horizontal que impede o deslocamento da viga nesta direção.

Page 54: Calculo estrutural

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Vigas Hiperestáticas

3. Vigas Hiperestáticas:

D definição

Vigas hiperestáticas são aquelas vigas com mais de três reações de apoio (ou, mais de três incógnitas) e com liberdade restringida.

O observação

Se houver uma força horizontal, o apoio fixo tem uma reação horizontal que impede o deslocamento da viga nesta direção.

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Esforço Interno Aplicado - Momento Fletor (M)

4. Esforço Interno Aplicado - Momento Fletor (M):

Para o cálculo das tensões de flexão em uma viga, se faz necessário o conhecimento dos momentos fletores desta viga.

O cálculo dos momentos fletores é realizado através de convenções especificas (já visto para as vigas isostáticas - Sistema Estruturais I e II).

A visualização deste cálculo em uma viga é feita com o desenho de um diagrama, também de acordo com convenções especificas (já visto para as vigas isostáticas - Sistema Estruturais I e II)

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação

Page 55: Calculo estrutural

dos 3 Momentos para Momento Fletor - Momentos Fletores para Vigas Isostáticas

5. Momentos Fletores para Vigas Isostáticas:

Exemplo de diagrama de

momentos fletores para

forças concentradas

e força distribuída

nos balanços e no meio do

vão.

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Cálculo de Momentos Fletores de Vigas Contínuas

6. Cálculo de Momentos Fletores de Vigas Contínuas:

D definição

Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos.

Para as vigas contínuas, o cálculo não é tão simples quanto era para as vigas isostáticas.

Nas vigas isostáticas as incógnitas são três, precisamos então de três equações, que são as três equações da estática (somatória dos momentos em relação a um ponto igual a zero, somatório das forças verticais igual a zero e somatório das forças horizontais igual a zero).

Para as vigas hiperestáticas tem-se mais de três incógnitas. Foram criados então vários métodos para o cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos vãos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos demais pontos da viga e consequentemente desenhar os diagramas.

Métodos de cálculo:

Método dos Deslocamentos

Método dos Esforços

Método de Cross

Método da Equação dos Três Momentos

Page 56: Calculo estrutural

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Método da Equação dos Três Momentos

7. Método da Equação dos Três Momentos:

Dentre os vários métodos existentes para o cálculo de vigas hiperestáticas, será apresentado nesta disciplina o Método da Equação dos 3 Momentos.

Análise do Método da Equação dos 3 Momentos:

O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) sequenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular os momentos fletores em qualquer seção.

Vamos escolher um trecho de dois vãos ( e ) e de três apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo:

A seguir será apresentada a Equação dos 3 Momentos para uma viga com momento de inércia constante no vão e de vão para vão.

Isto quer dizer, uma viga sem mísulas, com seção transversal igual, ou aproximadamente igual, ao longo da viga.

Misula:

Fórmula

Onde:

e :comprimento dos vãos

Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios

: Fatores de carga

Os fatores de carga são função da carga atuante no vão.

Page 57: Calculo estrutural

Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga finais são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas.

- Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão:

Fórmula

- Para carga concentrada no vão:

Fórmulas

O observação

O índice "1" nas fórmulas de fatores de carga acima indica apoio da esquerda e o índice "2" indica apoio da direita.

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Número de Aplicações

8. Número de Aplicações:

Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de um viga contínua, deve-se aplicar a equação dos três momentos em vãos subsequentes dois a dois. O resultado é que o número total de aplicações é igual ao número de vãos menos um.

Page 58: Calculo estrutural

E exemplo

Para quatro vãos, aplica-se três vezes a equação dos três momentos.

Com as três aplicações, fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada aplicação e três incógnitas (X1, X2 e X3), já que os momentos X0 e X4 são previamente conhecidos.

MÓDULO 14 - Tensão de Flexão: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos 3 Momentos para Momento Fletor -

Convenção de Sinais

9. Convenção de Sinais para Cálculo de Momentos Fletores:

Olhando as cargas à esquerda da seção considerada: (Convenção positiva)

Olhando as cargas à direita da seção considerada: (Convenção positiva)

MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três Momentos para Dois Vãos -

Cálculo e Desenho do Diagrama de Momentos Fletores de Viga Continua

Objetivo do módulo

Apresentar um exemplo prático de aplicação da Equação dos 3

Momentos e do desenho do diagrama de momentos fletores em uma viga hiperestática, com dois vãos, com

carga distribuída em um dos vãos e

Page 59: Calculo estrutural

uma carga concentrada no outro vão.

1. Cálculo e Desenho do Diagrama de Momentos Fletores de Viga Contínua:

A viga tem dois vãos,

portanto será

necessária uma

aplicação da

Equação dos Três

Momentos.

Fórmula

Equação dos Três Momentos:

1º aplicação:

Vãos:

Apoios:

n-1 =0

n =1

n+1 =2

O observação

Nos apoios de extremidade o valor do momento será igual a 0 (zero) - se não houver balanço.

Cálculo dos fatores de carga

Page 60: Calculo estrutural

Cálculo

Cálculo

Agora podemos resolver a 1ª aplicação

Cálculo

2(4,00 + 5,00).X1 = -6(9,33 + 16,00)

X1 = - 8,44 kNm

MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três Momentos para Dois Vãos -

Reações de Apoio

2. Reações de Apoio:

As reações de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vão. Além das cargas nos vãos (distribuidas e/ou concentradas), deve-se aplicar também os momentos nos apoios do respetivo vão. O sentido destes momentos (horário ou anti-horário) deve deformar o vão da mesma maneira que a carga aplicada sobre ele.

Para vão 1:

M0 = 0

3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44)

Page 61: Calculo estrutural

= 0

R1 = 9.11 kN

V = 0

R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0

R0 = 4,89 kN

Para vão 2:

M1 = 0

10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0

R2 = 2,31 kN

V = 0

R1 + 2,31 - 10 = 0

R1 = 7,69 kN

O observação

A reação no apoio 1 é igual a soma das reações do apoio 1 para os vãos 1 e 2.

MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três Momentos para Dois Vãos -

Conclusão

3. Conclusão:

Visão final da viga, com momentos nos apoios e reações de apoio, a partir dos quais serão calculados os momentos fletores que servirão de base para o desenho do diagrama:

Page 62: Calculo estrutural

MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três Momentos para Dois Vãos -

Onde Calcular os Momentos Fletores?

4. Onde Calcular os Momentos Fletores?:

Momentos fletores: nas seções de início e de fim de carga distribuída e nas seções de carga concentrada.

O observação

As reações de apoio são cargas concentradas.

! importante

É indiferente olhar as cargas à esquerda ou à direita de uma determinada seção, o resultado é sempre o mesmo!!!!!!

No nosso exemplo:

Os momentos fletores deverão ser calculados nas seguintes seções: 0, 1, A, 2.

Cálculo

Seção 0

M0 = X0 = 0

Seção 1

M1 = X1 = - 8,44 kNm

Ou, olhando as cargas à esquerda:

Convenção:

M1 = +4,89.4,00-3,5.4,00.2,00 = -8,44 kNm

Page 63: Calculo estrutural

O observação

Qualquer que seja a maneira de se realizar o cálculo, aproveitando o valor da Equação dos Três Momentos, calculando-se com os valores à esquerda ou à direita da seção, o resultado deve ser sempre o mesmo.

Cálculo

Seção A

Convenção:

Olhando as cargas à direita:

MA = +2,31.3,00 = 6,93 kNm

Seção 2

M2 = X2 = 0

MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três Momentos para Dois Vãos -

Desenho dos Diagramas

5. Desenho dos diagramas:

Com os valores dos momentos fletores nos vários pontos da viga, pode-se fazer o desenho do diagrama.

Para este desenho, algumas convenções devem ser seguidas:

valores de momento fletor positivos, abaixo da linha de referência e negativos, acima desta linha.

linha do diagrama de momentos fletores entre dois pontos consecutivos:

- se não houver carga entre estes dois pontos, a linha é reta e inclinada.

- se houver carga distribuída entre estes dois pontos, a linha é uma parábola do 2° grau. A parábola do 2° grau necessita de três pontos para ser desenhada. No diagrama de momentos fletores, dois dos pontos da parábola são os momentos fletores nos pontos extremos. Há

Page 64: Calculo estrutural

a necessidade então de um terceiro ponto. Este ponto é conseguido "pendurando-se" (pendurar significa no mesmo sentido da carga) o valor qx²/8 (q: valor da carga, x: distância entre os dois pontos) a partir da metade da reta que une os pontos extremos. (obs.: o sentido da carga sempre empurra a "barriga" da parábola).

MÓDULO 15 - Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos Três Momentos para Dois Vãos -

Desenho Final

6. Desenho Final:

Desenho final do diagrama de momentos fletores do exemplo proposto:

O observação

O ponto sob o qual se "pendura" o valor qx2/8 não é necessariamente o ponto de máximo

momento fletor.

Page 65: Calculo estrutural

MÓDULO 16 - Tensão de Flexão Aplicação da Equação dos 3 Momentos para Dois e Três

Vãos

Objetivo do módulo

Apresentar dois exemplos práticos de cálculo de momentos nos apoios de vigas hiperestáticas a partir da Equação dos 3

Momentos. Primeiro exemplo: viga com três vãos e um balanço, carga distribuída em um vão, uma carga concentrada em outro vão, sem carga em um vão e carga concentrada na extremidade

do balanço; Segundo exemplo: viga com dois vãos, carga distribuída em ambos os vão e uma carga concentrada em um

dos vãos.

1. Tensão de Flexão: Aplicação da Equação dos 3 Momentos para Dois e Três Vãos

Cáculo dos momentos nos apois de viga contínua abaixo esquematizada

A viga tem três vãos,

portanto serão

necessárias duas

aplicações da Equação

dos 3 Momentos.

Cálculo do momento sobre os apoios das extremidades:

Seção 0: X0 = 0

Seção 3 (olhando-se as cargas à direita da seção): X3 = - 6.1,50 = - 9

Page 66: Calculo estrutural

Fórmulas

1º aplicação (vãos e ):

1º aplicação:

Vãos:

Apoios:

n-1 =0

n =1

n+1 =2

2º aplicação (vãos e ):

1º aplicação:

Vãos:

Apoios:

n-1 =1

n =2

n+1 =3

Cálculo dos fatores de carga

vão

vão

vão

Page 67: Calculo estrutural

Cálculo

Cálculo

Cálculo

Se não há carga no vão

O observação

Cálculo dos fatores de carga em um determinado vão:

se não houver carga neste vão o fator de carga é igual a zero. se houver mais de uma carga neste vão o fator de carga final é igual a soma dos

fatores de carga das cargas atuantes.

Agora podemos resolver a 1ª aplicação

Cálculo

2(4,50 + 3,50).X1 + 3,50.X2 = -6(7,59 + 6,29)

16.X1 + 3,50.X2 = -83,28 (1° equação)

E na sequência podemos resolver a 2ª aplicação

Cálculo

3,50 . X1 + 2(3,50 + 4,00) . X2 + 4,00 . -9 = - 6(5.71 + 0)

3,50 . X1 + 15,.00 . X2 = 1,74 (2° equação)

Resolvendo-se o sistema de duas equações a duas incógnitas, decorrente da 1° e 2° aplicações da Equação dos 3 Momentos, chega-se aos valores dos momentos X1 e X2.

Então:

X0 = 0

X1 = -5,51 kNm

X2 = 1,40 kNm

X3 = -9,00 kNm

Conclusão

A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas.

Page 68: Calculo estrutural

MÓDULO 16 - Tensão de Flexão Aplicação da Equação dos 3 Momentos para Dois e Três Vãos -

Exemplo

2. Exemplo:

Aplicação da Equação dos 3 Momentos:

Cálculo dos momentos nos apoios da viga contínua abaixo esquematizada:

A viga tem dois vãos, portanto

será necessária uma aplicação da

Equação dos 3 Momentos.

Fórmula

1º aplicação (vãos e ):

1º aplicação:

Vãos:

Apoios:

n-1 =0

n =1

n+1 =2

Page 69: Calculo estrutural

Cálculo dos fatores de carga

Cálculo dos fatores de carga

vão

vão

Cálculo

Cálculo

Agora podemos resolver a 1ª aplicação

Cálculo

2(5,00 + 4,50) . X1 = -6(13,02 + 18,56)

19,00 . X1 = -189,48

X1 = -9,97 kNm

Então:

X0 = 0

X1 = -9,97 kNm

X2 = 0

Conclusão

A partir daí pode ser feito o cálculo das reações de apoio e dos valores dos momentos fletores nos pontos necessários para possibilitar o desenho dos diagramas.

Page 70: Calculo estrutural

MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - Flexão

Objetivo do módulo

Mostrar os diagramas de tensões de flexão de uma viga, definir o que é linha

neutra, apresentar a fórmula da tensão de flexão.

1. Flexão

Para o estudo da flexão, imaginemos uma viga com seção transversal retangular.

Viga de espuma

Apliquemos no meio do vão desta viga uma força concentrada de cima para baixo.

Viga de espuma com força concentrada

A imagem acima pode ser representada da seguinte maneira:

Para melhor entender esta figura, pode-se fazer três perguntas (lembrando que estamos no meio do vão):

Page 71: Calculo estrutural

1

Pergunta:

O que acontece nas fibras superiores?

Resposta:

Fibras se aproximam (compressão)

2

Pergunta:

O que acontece na fibra central?

Resposta:

Nada

3

Pergunta:

O que acontece nas fibras inferiores?

Resposta:

Fibras se afastam (tração)

MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - Diagrama de Tensões Resultantes

2. Diagrama de tensões resultantes

Colocando-se os esforços de compressão nas fibras superiores, tração nas fibras inferiores e ainda nenhum esforço na fibra central, pode-se obter os seguintes gráficos (lembrando que estamos no meio do vão):

fibra central

Pergunta:

Qual dos gráficos seria o correto? pelo sentimento, qual das linhas seria a correta para unir a compressão das fibras superiores à tração das fibras inferiores passando por nenhum esforço na fibra central?

a)

b)

c)

d)

Page 72: Calculo estrutural

Reflita e aperte para ver a resposta

MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - Linha Neutra (LN)

3. Linha Neutra (LN)

D definição

- Na LN, não há esforço, nem de tração, nem de compressão.

- Para materiais homogêneos (aço, madeira, concreto (não concreto armado)), a LN passa no centro de gravidade (CG) da seção transversal.

O observação

Na verdade, a Linha Neutra não é uma linha e sim um "plano neutro", pois está presente ao longo da viga e ao longo de toda a seção transversal.

MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - Lei de Navier (1826)

4. Lei de Navier (1826)

Page 73: Calculo estrutural

D definição

As seções planas permanecem planas após a deformação.

Análise das distâncias

Façamos agora a análise das distâncias entre as seções transversais e consequentemente dos esforços nas fibras superiores, inferiores e na LN em alguns pontos da viga acima:

Sobre o apoio Meio do vão

Fibras superiores

Fibras se afastam: tração Fibras se aproximam: compressão

Linha Neutra Não há alteração Não há alteração

Fibras inferiores

Fibras se aproximam: compressão

Fibras se afastam: tração

Pergunta:

Porque as condições das fibras superiores e inferiores, para o meio do vão e sobre o apoio são diferentes?

Resposta:

Por que o sinal do momento fletor no apoio e no meio do vão é diferente. Normalmente o sinal do momento fletor sobre o apoio é negativo e no meio do vão é positivo.

MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - Tensão de Flexão

5. Tensão de Flexão

D definição

Resposta da seção transversal ao esforço externo (momento fletor).

- Estudo da tensão de flexão no meio do vão de uma viga sujeita a momento fletor (M) positivo:

O desenho acima mostra as tensões de flexão com a seguinte convenção:

Page 74: Calculo estrutural

- tensão de flexão/compressão: positiva; - tensão de flexão/tração: negativa.

Fórmula Geral da

Tensão de flexão

Onde:

: tensão de flexão.

M : momento fletor na seção considerada

y : distância da LN à fibra considerada

ILN : momento de inércia em relação à Linha Neutra

MÓDULO 17 - Tensão de Flexão: Teoria - Exemplo

6. Exemplo

Determinação das tensões de flexão

Determinação das tensões de flexão nas fibras 1e 2, superior e inferior dos pontos D e B da viga abaixo:

Ponto D:

Fibra superior:

Page 75: Calculo estrutural

Pergunta :

Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto D (meio do vão) a tensão de flexão será de compressão ou de tração?

Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção.

Resposta :

Fibra 1 - f = M . y / ILN = 30 . 100 . 12.5 / 104167 = 0,36 kN/cm²

Fibra sup - f = M . y / ILN = 30 . 100 . 25 / 104167 = 0,72 kN/cm²

Obs.: o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm.

O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto D (meio do vão) é de compressão.

Fibra inferior:

Pergunta :

Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto D (meio do vão) a tensão de flexão será de compressão ou de tração?.

Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção.

Resposta :

Fibra 2 - f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-12,5) / 104167 = - 0,36 kN/cm²

Fibra inf - f = M . y / ILN = 30 . 100 . (-25) / 104167 = - 0,72 kN/cm²

O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto D (meio do vão) é de tração.

Diagrama das tensões de flexão no ponto D:

Ponto B:

Fibra superior:

Pergunta :

Responda, pelo sentimento se, na fibra 1 e na fibra superior, no ponto B (apoio) a tensão de flexão será de compressão ou de tração?

Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção.

Resposta :

Fibra 1 - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 12,5 / 104167 = - 0,24 kN/cm²

Fibra sup - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . 25 / 104167 = - 0,48 kN/cm²

Obs.: o valor 100 na fórmula acima serve para transformar o momento fletor de kNm para kNcm.

Page 76: Calculo estrutural

O resultado foi negativo, logo a tensão de flexão na fibra superior no ponto B (apoio) é de tração.

Fibra inferior:

Pergunta :

Responda, pelo sentimento se, na fibra 2 e na fibra inferior, no ponto B (apoio) a tensão de flexão será de compressão ou de tração?

Confirme sua resposta fazendo o cálculo e verificando o sinal de acordo com a convenção.

Resposta :

Fibra 2 - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-12,5) / 104167 = 0,24 kN/cm²

Fibra inf - f = M . y / ILN = (-20) . 100 . (-25) / 104167 = 0,48 kN/cm²

O resultado foi positivo, logo a tensão de flexão na fibra inferior no ponto B (apoio) é de compressão.

Diagrama das tensões de flexão no ponto B:

MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Verificação da

Estabilidade

Objetivo do módulo

Mostrar como se faz a verificação da estabilidade para

flexão em uma viga, mostrar onde estão as tensões máximas de flexão e apresentar exemplos

de verificação da estabilidade para flexão.

1. Verificação da Estabilidade

Para não haver rompimento, ou para que haja estabilidade, é necessário que a seguinte inequação seja verificada:

Fórmula

Tensão admissível Tensão máxima . Coeficiente de segurança

Verificação da estabilidade de uma viga

Page 77: Calculo estrutural

Portanto, para que se verifique a estabilidade à flexão de uma viga, as inequações abaixo devem ser obedecidas, tanto para a seção de Momento fletor máximo positivo como para a seção de Momento fletor máximo negativo.

Fórmula

O observação

A barra acima dos simbolos de tensão de flexão ( ), indica que esta tensão é uma tensão admissível.

Na verificação da estabilidade à flexão, o que interessa são as tensões máximas de flexão (tração ou compressão).

Porém, uma pergunta deve ser feita: onde estão as tensões máximas?

MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Tensão Máxima de Flexão

2. Tensão máxima de Flexão

Fórmula

Imaginemos uma viga com uma determinada seção transversal.

Esta seção transversal tem um centro de gravidade (CG).

Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inércia em relação à LN (ILN).

A partir da LN, define-se a distância até as fibras superior e inferior (ysup e yinf).

Page 78: Calculo estrutural

Esta viga tem o seguinte diagrama de momentos fletores:

Analisemos agora as tensões de flexão nas seções de momento fletor máximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior.

f

ysup (+) + fc

yinf (-) - ft

ysup (+) - ft

yinf (-) + fc

Porém, a pergunta ainda persiste: onde estão as tensões máximas de flexão?

Para descobrir onde estão estas tensões máximas, vamos analisar a fórmula da tensão de flexão:

Fórmula

A tensão máxima se consegue com os máximos valores no numerador, e o mínimo valor no denominador.

Máximos valores no numerador:

M: momento máximo positivo ou negativo (função do diagrama de momentos fletores). y: distância da LN à fibra mais afastada (ysup ou yinf).

Mínimo valor no denominador:

O valor do momento da inércia em relação à LN é constante, pois a seção transversal em uma determinada seção da viga é única.

Diagramas das tensões de flexão

A partir da tabela e das considerações acima, pode-se construir os diagramas das tensões de flexão nas seções de momento fletor máximo positivo e negativo.

Page 79: Calculo estrutural

C conclusão

Então, respondendo à pergunta, as tensões máximas de flexão estão nas seções de momento fletor máximo positivo e negativo nas fibras superior e inferior.

Fórmula da tensão de flexão máxima

MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 1

3. Exemplo 1

Verificação da estabilidade à flexão de uma viga:

Diagrama de momentos fletores:

Seção Transversal:

Onde:

= 2,00 kN/cm²

= 1,75 kN/cm²

Características geométricas da seção transversal:

Page 80: Calculo estrutural

Cálculo

ILN = b . h³ / 12 = 10 . 50³ / 12 = 104167 cm4

O observação

A fórmula acima é valida somente para seção transversal retangular.

Flexão:

Fórmula

Para :

Fibras superiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?.

Resposta:

f ? max = . ysup / ILN = 50 . 100 . 25 / 104167 = 1,20 kN/cm²

Resultado positivo, logo, a tensão é de flexão com compressão.

f c max = 1,20 kN/cm²

Fibras inferiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?

Resposta:

f ? max = . yinf / ILN = 50 . 100 . (-25) / 104167 = -1,20

kN/cm² Resultado negativo, logo, a tensão é de flexão com tração.

f T max = -1,20 kN/cm²

Verificação (utiliza-se os valores das tensões em módulo, pois não teria sentido comparar uma tensão máxima com valor negativo com uma tensão admissível que é sempre positiva).

Comparação

Compressão f C max . 1,4 2,00 1,20 . 1,4 2,00 1,68 verifica

Tração f T max . 1,4 1,75 1,20 . 1,4 1,75 1,68 verifica

C conclusão

Como as inequações relativas à flexão se verificaram, chega-se a conclusão de que a viga é estável considerando-se a flexão.

Page 81: Calculo estrutural

MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 2

4. Exemplo 2

Determinação da altura da viga retangular que a torna estável considerendo-se as tensões de flexão:

Dados:

= 15 kNm b = 15 cm

= 1,00 kN/cm²

= 0,60 kN/cm²

Características geométricas da seção transversal:

Cálculo

ILN = b . h³ / 12 = 15 . h³ / 12 = 1,25 . h³

Flexão:

Fórmula

Para :

Fibras superiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?.

Resposta:

f ? max = . ysup / ILN = 15 . 100 . (h / 2) / (1,25 . h³) =

600 / h² Resultado positivo, logo, a tensão é de flexão com compressão.

f C max = 600 / h²

Fibras inferiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?

Resposta:

f ? max = . yinf / ILN = 50 . 100 . (- h / 2) / (1,25 . h³) = -

600 / h² Resultado negativo, logo, a tensão é de flexão com tração.

f T max = - 600 / h²

Verificação (utiliza-se os valores das tensões em módulo):

Page 82: Calculo estrutural

Comparação

Compressão f C max . 1,4 1,00 (600 / h²) . 1,4 h 29 cm

Tração f T max . 1,4 0,60 (600 / h²) . 1,4 h 37,4 cm

Pergunta:

Qual seria dentre os dois valores de h encontrados, aquele a ser adotado?.

Resposta:

O valor a ser escolhido é o da maior altura. Como h 37,4 é maior que h 29, a altura superior ou igual a

37,4 cm atende às duas solicitações (compressão e tração). Pode ser adotado, um valor "cheio", por exemplo: h = 40 cm

MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 3

5. Exemplo 3

Verificação da estabilidade à flexão da viga abaixo:

Dados:

= 1,00 kN/cm²

= 1,35 kN/cm²

Características geométricas da seção transversal:

ysup = 18,44 cm e yinf = -31,56 cm

ILN = 200700 cm4

Flexão:

Fórmula

Para :

Fibras superiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?.

Resposta:

Page 83: Calculo estrutural

f ? max = . ysup / ILN = 60 . 100 . 18,44 / 200700 =

0,55 kN/cm² Resultado positivo, logo, a tensão é de flexão com compressão.

f C max = 0,55 kN/cm²

Fibras inferiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?

Resposta:

f ? max = . yinf / ILN = 60 . 100 . (- 31,56) / 200700 = -

0,94 kN/cm² Resultado negativo, logo, a tensão é de flexão com tração.

f T max = - 0,94 kN/cm²

Verificação (utiliza-se os valores das tensões em módulo):

Comparação

Compressão f C max . 1,4 1,00 0,55 . 1,4 1,00 0,77 verifica

Tração f T max . 1,4 1,35 0,94 . 1,4 1,35 1,32 verifica

Para :

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?.

Fibras superiores:

Resposta:

f ? max = . ysup / ILN = -45 . 100 . 18,44 / 200700 = -

0,41 kN/cm² Resultado negativo, logo, a tensão é de flexão com tração.

f T max = -0,41 kN/cm²

Fibras inferiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?

Resposta:

f ? max = . yinf / ILN = -45 . 100 . (- 31,56) / 200700 =

0,71 kN/cm² Resultado positivo, logo, a tensão é de flexão com compressão.

f Cmax = 0,71 kN/cm²

Verificação (utiliza-se os valores das tensões em módulo):

Comparação

Page 84: Calculo estrutural

Compressão f C max . 1,4 1,00 0,71 . 1,4 1,00 0,99 verifica

Tração f T max . 1,4 1,35 0,41 . 1,4 1,35 0,57 verifica

C conclusão

Como todas as inequações verificaram, chega-se a conclusão de que a viga é estável à flexão.

O observação

Deve ser feita a verificação para o nas fibras superior e infereior e para o nas fibras superior e inferior. Portanto, quatro verificações devem ser feitas e para que a viga seja estável à flexão, é necessário que estas quatro verificações sejam atendidas.

MÓDULO 18 - Tensão de Flexão: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 4

6. Exemplo 4

Cálculo do que uma viga pode suportar:

Seção Transversal:

Dados:

= 15,00 kN/cm²

= 10,00 kN/cm²

Características geométricas da seção transversal:

ILN = 36600 cm4

Flexão:

Fórmula

Page 85: Calculo estrutural

Para :

Fibras superiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?.

Resposta:

f ? max = . ysup / ILN = . 20 / 36600 = 0,00055 .

Resultado positivo, logo, a tensão é de flexão com compressão.

f C max = 0,00055 .

Fibras inferiores:

Pergunta:

A tensão de flexão seria com compressão ou com tração?

Resposta:

f ? max = . yinf / ILN = . (-20) / 36600 = -0,00055 .

Resultado negativo, logo, a tensão é de flexão com tração.

f T max = -0,00055 .

Verificação (utiliza-se os valores das tensões em módulo):

Comparação

Compressão f C max . 1,4 15,00 0,00055 . . 1,4

< 19481 kNcm

Tração f T max . 1,4 10,00 0,00055 . . 1,4 1,35

12987 kNcm

Resultado:

O valor que obedece às duas inequações simultaneamente é:

Cálculo

< 12987 kNcm ou 129,87 kNm

MÓDULO 19 - Tensão de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos Três Momentos para Força Cortante -

Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas

Page 86: Calculo estrutural

Objetivo do módulo

Apresentar a teoria para cálculo de

forças cortantes em vigas

hiperestáticas (Equação dos 3

Momentos) e exemplos práticos de

aplicação desta equação.

1. Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas:

a. Vigas Hipostáticas

As vigas hipostáticas não são estáveis, não são estáticas.

b. Vigas Isostáticas:

D definição

Vigas Isostáticas: são aquelas vigas com três reações de apoio (ou, três incógnitas) e com liberdade

retringida.

c. Vigas Hiperestáticas:

D definição

Vigas hiperestáticas são aquelas vigas com mais de três reações de apoio (ou, mais de três incógnitas) e

com liberdade restringida.

Page 87: Calculo estrutural

O observação

Se houver uma força horizontal, o apoio fixo tem uma reação horizontal que impede o deslocamento da viga nesta direção.

d. Esforço Interno Aplicado - Força Cortante (V):

Para o cálculo das tensões de cisalhamento em uma viga, se faz necessário o conhecimento das forças cortantes desta viga.

O cálculo das forças cortantes é realizado através de convenções especificas (já visto para as vigas isostáticas - Sistema Estruturais I e II).

A visualização deste cálculo em uma viga é feita com o desenho de um diagrama, também de acordo com convenções especificas (já visto para as vigas isostáticas - Sistema Estruturais I e II)

e. Exemplo de Diagrama de Forças Cortantes:

Diagrama de forças

cortantes para forças

concentradas e distribuída

nos balanços e no meio do

vão.

MÓDULO 19 - Tensão de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos Três Momentos para Força Cortante -

Cálculo de Forças Cortantes de Vigas Contínuas

Page 88: Calculo estrutural

2. Cálculo de Forças Cortantes de Vigas Contínuas:

D definição

Vigas Contínuas: são vigas hiperestáticas com dois ou mais vãos.

Para as vigas contínuas, o cálculo não é tão simples quanto era para as vigas isostáticas.

Nas vigas isostáticas as incógnitas são três, precisamos então de três equações, que são as três equações da estática (somatória dos momentos em relação a um ponto igual a zero, somatório das forças verticais igual a zero e somatório das forças horizontais igual a zero).

Para as vigas hiperestáticas tem-se mais de três incógnitas foram criados então vários métodos para o cálculo das reações de apoio e dos momentos fletores nos vãos. Uma vez conseguidos estes valores, pode-se calcular os momentos fletores e forças cortantes nos demais pontos da viga e consequentemente desenhar os diagramas.

Métodos de cálculo:

Método dos Deslocamentos

Método dos Esforços

Método de Cross

Método da Equação dos Três Momentos

MÓDULO 19 - Tensão de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos Três Momentos para Força Cortante -

Método da Equação dos Três Momentos

3. Método da Equação dos Três Momentos:

O método calcula os momentos fletores em 3 apoios (Xn-1, Xn e Xn+1) sequenciais de uma viga, a partir dos quais pode-se calcular as forças cortantes em qualquer seção.

Dentre os vários métodos existentes para o cálculo de vigas hiperestáticas, será apresentado nesta disciplina o Método da Equação dos 3 Momentos.

Análise do Método da Equação dos 3 Momentos:

Vamos escolher um trecho de dois vãos ( e ) e de três apoios (n-1, n e n+1) de uma viga continua sujeita a um carregamento qualquer conforme a figura abaixo:

Page 89: Calculo estrutural

A seguir será apresentada a Equação dos 3 Momentos para uma viga com momento de inércia constante no vão e de vão para vão.

Isto quer dizer, uma viga sem mísulas, com seção transversal igual, ou aproximadamente igual, ao longo da viga.

Misula:

Fórmula

Onde:

e :comprimento dos vãos

Xn-1, Xn e Xn+1: momentos nos apoios

: Fatores de carga

Os fatores de carga são função da carga atuante no vão.

Quando houver mais de uma carga atuando em um mesmo vão, os fatores de carga finais são dados pela soma dos fatores de carga de cada uma das cargas.

- Para carga uniformemente distribuída ao longo do vão:

Fórmula

- Para carga concentrada no vão:

Page 90: Calculo estrutural

Fórmulas

O observação

O índice "1" nas fórmulas de fatores de carga acima indica apoio da esquerda e o índice "2" indica apoio da direita.

MÓDULO 19 - Tensão de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos Três Momentos para Força Cortante -

Número de Aplicações

4. Número de Aplicações:

Para se calcular os momentos fletores em todos os apoios de um viga contínua, deve-se aplicar a equação dos três momentos em vãos subsequentes dois a dois. O resultado é que o número total de aplicações é igual ao número de vãos menos um.

E exemplo

Para quatro vãos, aplica-se três vezes a equação dos três momentos.

Com as três aplicações, fica-se com três equações dos três momentos, uma para cada aplicação e três incógnitas (X1, X2 e X3), já que os momentos X0 e X4 são previamente conhecidos.

Page 91: Calculo estrutural

MÓDULO 19 - Tensão de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos Três Momentos para Força Cortante -

Convenção de Sinais

5. Convenção de Sinais para Cálculo de Forças Cortantes:

Olhando as cargas à esquerda da seção considerada: (Convenção positiva)

Olhando as cargas à direita da seção considerada: (Convenção positiva)

MÓDULO 19 - Tensão de Cisalhamento: Vigas Hipo, Iso e Hiperestáticas e Equação dos Três Momentos para Força Cortante -

Exemplo

6. Exemplo:

Aplicação da Equação dos Três Momentos:

Cálculo e desenho do diagrama de forças cortantes da viga contínua abaixo esquematizada:

A viga tem dois vãos,

portanto será

necessária uma

aplicação da

Equação dos 3

Momentos.

Fórmula

1º aplicação (vãos e ):

Page 92: Calculo estrutural

Vãos:

Apoios:

n-1 =0

n =1

n+1 =2

O observação

Nos apoios da extremidade, o valor do momento serà igual a 0 (zero) - se não houver balanço.

Cálculo dos fatores de carga

Cálculo dos fatores de carga

vão

vão

Cálculo

Cálculo

Agora podemos resolver a 1ª aplicação

Cálculo

2(4,00 + 5,00).X1 = -6(9,33 + 16,00)

X1 = -8,44 kNm

Reações de Apoio:

As reações de apoio devem ser calculadas separadamente para cada vão. Além das cargas nos vãos (distribuidas e/ou concentradas), deve-se aplicar também os momentos nos apoios do respectivo vão. O sentido destes momentos (horário ou anti-horário) deve deformar o vão da mesma maneira que a carga

aplicada sobre ele.

Page 93: Calculo estrutural

Para vão 1:

M0 = 0

3,5 . 4,00 . 2,00 - R1 . 4,00 - (-8,44) = 0

R1 = 9.11 kN

V = 0

R0 + 9,11 - 3,5 . 4,00 = 0

R0 = 4,89 kN

Para vão 2:

M1 = 0

10 . 2,00 + (-8,44) - R2 . 5,00 = 0

R2 = 2,31 kN

V = 0

R1 + 2,31 - 10 = 0

R1 = 7,69 kN

O observação

A reação no apoio 1 é igual a soma das reações do apoio 1 para os vãos 1 e 2.

C conclusão

Visão final da viga, com momentos nos apoios e reações de apoio, a partir dos quais serão calculadas as forças cortantes que servirão de base para o desenho do diagrama:

Onde calcular as forças cortantes?

Forças cortantes: nas seções de início e de fim de carga distribuída e imediatamente à esquerda e imediatamente à direita das seções de carga concentrada. (obs.: a reação de apoio é uma carga concentrada).

Page 94: Calculo estrutural

! importante

É indiferente olhar as cargas à esquerda ou à direita de uma determinada seção, o resultado é sempre o mesmo!!!!!!

No nosso exemplo:

As forças cortantes deverão ser calculadas nas seguintes seções: 0, 1esq, 1dir, Aesq, Adir e 2 (esq significa imediatamente à esquerda da seção e dir significa imediatamente à direita da seção).

Cálculo

Seção 0

V0 = 4,89 kN

Seção 1

V1esq, = +4,89 - 3,5 . 4,00 = -9,11 kN

V1dir , = 10 - 2,31 = 7,69 kN

O observação

Em uma seção com carga concentrada, dois cálculos devem ser realizados. Um para uma seção imediatamente à esquerda e outro para uma seção imediatamente à direita da carga concentrada.

No cálculo, tanto da seção à esquerda como da seção à direita de carga concentrada, pode-ses olhar as cargas à esquerda ou à direita de cada seção, o resultado deve ser sempre o mesmo.

Cálculo

Seção A

VA esq , = 10 - 2,31 = 7,69 kN

VA dir , = -2,31 kN

Seção 2

V2 = -2,31 kN

Desenho dos diagramas

Com os valores das forças cortantes nos vários pontos da viga, pode-se fazer o desenho do diagrama.

Para este desenho, algumas convenções devem ser seguidas:

valores de força cortante positivos, acima da linha de referência e negativos, abaixo desta linha.

linha do diagrama de forças cortantes entre dois pontos consecutivos:

- se não houver carga entre estes dois pontos, a linha é reta e

Page 95: Calculo estrutural

horizontal.

- se houver carga distribuída entre estes dois pontos, a linha é reta e inclinada.

Desenho final Desenho final do diagrama de forças cortantes do exemplo proposto:

MÓDULO 20 - Tensão de Cisalhamento: Teoria - Cisalhamento

Objetivo do módulo

Mostrar o diagrama de tensão de cisalhamento de uma viga.

1. Cisalhamento

Para o estudo do cisalhamento, imaginemos uma viga com seção transversal quadrangular.

Viga de toquinhos

Apliquemos em dois prismas adjacentes desta viga duas forças na mesma direção e em sentidos opostos

Page 96: Calculo estrutural

Viga de toquinhos com forças opostas

As imagens acima podem ser representadas da seguinte maneira:

Imaginemos agora que estamos vivendo o mais frio dos invernos jamais visto em nossa região.

Qual seria uma possível solução para se esquentar as mãos, além daquelas óbvias de se colocar um par de luvas ou colocá-las dentro de um aquecedor?

Uma das possíveis soluções então, seria friccionar as mãos uma na outra, aplicando duas forças na mesma direção e em sentidos contrários, exercendo um esforço de cisalhamento.

A observação deste fenômeno, nos leva a duas perguntas:

1

Pergunta:

Em qual parte a mão esquenta mais ou, fazendo-se uma analogia, em qual fibra a tensão é maior?

Resposta:

No meio da mão ou, fazendo-se uma analogia, na fibra da LN.

2

Pergunta:

Em qual parte a mão esquenta menos ou, fazendo-se uma analogia, em qual fibra a tensão é nula?

Resposta:

Nas extremidades da mão ou, fazendo-se uma analogia, nas fibras superiores e inferiores.

Colocando-se a tensão máxima da LN e as tensões nulas das fibras superior e inferior, obtem-se a seguinte figura:

Page 97: Calculo estrutural

Pergunta:

Qual dos gráficos seria o correto? Pelo sentimento, qual das linhas seria a correta para unir a tensão nula nas fibras superior e inferior à tensão máxima na fibra da LN?

a)

b)

c)

d)

Reflita e aperte para ver a resposta

MÓDULO 20 - Tensão de Cisalhamento: Teoria - Tensão de Cisalhamento

2. Tensão de Cisalhamento

D definição

Resposta da seção transversal ao esforço externo (força cortante).

A tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal, ao contrário da tensão de flexão que é normal ao plano da seção transversal.

Fórmula Geral da Tensão de Cisalhamento

Onde:

: tensão de cisalhamento.

V: força cortante na seção considerada. Q: momento estático da área, definida pela fibra considerada, em relação a linha neutra.

: largura da seção transversal na fibra considerada.

ILN: momento de inércia em relação à Linha Neutra..

E exemplo

Determinação da tensão de cisalhamento

Nas fibras 1 e 2 e na fibra da LN na seção A da viga abaixo:

Page 98: Calculo estrutural

Seção A:

Fibra 1:

Cálculo

1= VA . Q1 / 1 / ILN = 25 . (10.12,5.18,75) / 10 / (10.503/12) = 0,056 kN/cm²

Fibra da LN:

Cálculo

LN= VA . QLN / LN / ILN = 25 . (10.25.12,5) / 10 / (10.503/12) = 0,075 kN/cm²

Fibra 2:

Cálculo

2= VA . Q2 / 1 / ILN = 25 . (10.37,5.6,25) / 10 / (10.503/12) = 0,056 kN/cm²

Diagrama das tensões de cisalhamento no ponto A:

Obs.: nas fibras superior e inferior a tensão de cisalhamento é nula.

MÓDULO 21 - Tensão de Cisalhamento: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Verificação da Estabilidade

Objetivo do módulo

Mostrar como se faz a verificação da estabilidade para cisalhamento em uma viga, mostrar onde estão as tensões máximas de cisalhamento e

apresentar exemplos de verificação da estabilidade para cisalhamento.

Page 99: Calculo estrutural

1. Verificação da Estabilidade

Para não haver rompimento, ou para que haja estabilidade, é necessário que a seguinte inequação seja verificada:

Fórmula

Tensão admissível Tensão máxima . Coeficiente de segurança

Verificação da estabilidade de uma viga

Portanto, para que se verifique a estabilidade ao cisalhamento de uma viga, a inequação abaixo deve ser obedecida, para a seção de Força Cortante máxima.

Fórmula

O observação

A barra acima do simbolo de tensão de cisalhamento ( ), indica que esta tensão é uma tensão admissível.

Na verificação da estabilidade ao cisalhamento, o que interessa é a tensão máximas de cisalhamento.

Porém, uma pergunta deve ser feita: onde está a tensão máxima?

MÓDULO 21 - Tensão de Cisalhamento: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Tensão Máxima de Cisalhamento

2. Tensão Máxima de Cisalhamento

Fórmula

Imaginemos uma viga com uma determinada seção transversal.

Esta seção transversal tem um centro de gravidade (CG).

Por este centro de gravidade passa a LN que define o momento de inércia em relação à LN (ILN).

A partir da LN, define-se a largura da seção transversal em relação à LN ( LN) e o momento estático em relação à LN (QLN).

Page 100: Calculo estrutural

Esta viga tem o seguinte diagrama de forças cortantes:

Mas a pergunta ainda persiste: onde estão as tensões máximas de cisalhamento?

Para descobrir onde estão estas tensões máximas, vamos analisar a fórmula da tensão de cisalhamento:

Fórmula

A tensão máxima se consegue com os máximos valores no numerador, e os mínimos valores no denominador.

Máximos valores no numerador:

V: força cortante máxima - em módulo (função do diagrama). Q: momento estático máximo - fibra da LN (QLN).

Mínimos valores no denominador:

O valor do momento da inércia em relação à LN é constante, pois a seção transversal em uma determinada seção da viga é única. O valor da largura da seção na LN também é única, pois a seção transversal em uma determinada seção da viga é única.

Diagrama da tensão de cisalhamento

A partir das considerações acima, pode-se construir o diagrama da tensão de cisalhamento no ponto de força cortante máxima.

C conclusão

Então, respondendo à pergunta, a tensão máxima de cisalhamento está no ponto de força cortante

Page 101: Calculo estrutural

máxima (em módulo), na fibra da LN.

Fórmula da tensão de cisalhamento máxima:

Fórmula

MÓDULO 21 - Tensão de Cisalhamento: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 1

3. Exemplo 1

Verificação da estabilidade ao cisalhamento de uma viga:

Diagrama de forças cortantes:

Seção Transversal:

Onde:

= 0,25

Características geométricas da seção transversal:

Cálculo

LN = 10 cm ILN = b . h³ / 12 = 10 . 50³ / 12 = 104167 cm

4

QLN = b . h² / 8 = 10 . 50² / 8 = 3125 cm³

O observação

As fórmulas acima são validas somente para seção transversal retangular.

Fórmula

Page 102: Calculo estrutural

Cálculo

max = Vmax . QLN / LN / ILN = 70 . 3125 / 10 / 104167 = 0,21

kN/cm²

Verificação:

Cálculo

max . 1,4 0,25 0,21 . 1,4 0,25 0,30 não

verifica

C conclusão

Como a inequação relativa ao cisalhamento não se verificou, chega-se a conclusão de que a viga não é estável considerando-se o cisalhamento.

MÓDULO 21 - Tensão de Cisalhamento: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 2

4. Exemplo 2

Determinação da altura da viga retangular que a torna estável considerendo-se as tensões de cisalhamento:

Dados:

Vmax = 8 kN b = 15 cm = 0,05 kN/cm²

Características geométricas da seção transversal:

Cálculo

LN = 15 cm ILN = b . h³ / 12 = 15 . h³ / 12 = 1,25 . h³ QLN = b . h² / 8 = 15 . h³ / 8 = 1,88 . h²

Cisalhamento

Fórmula

Cálculo

max = Vmax . QLN / LN / ILN = 70 . (1,88 . h²) / 15 / (1,25 . h³) = 0,80 / h

Verificação:

Page 103: Calculo estrutural

Cálculo

max . 1,4 0,05 (0,80 / h) . 1,4 h 22,5 cm

MÓDULO 21 - Tensão de Cisalhamento: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 3

5. Exemplo 3

Verificação da estabilidade ao cisalhamento da viga abaixo:

Dado:

= 0,20 kN/cm²

Características geométricas da seção transversal:

Cálculo

LN = 12,5 cm ILN = 200700 cm

4

QLN = 5976cm³

Cisalhamento

Fórmula

Cálculo

max = Vmax . QLN / LN / ILN = 50.5976/12,5/200700 = 0,12kN/cm²

Verificação:

Cálculo

max . 1,4 0,20 0,12 . 1,4 0,20 0,17 verifica

C conclusão

Como a inequação verificou, chega-se a conclusão de que a viga é estável ao cisalhamento.

Page 104: Calculo estrutural

MÓDULO 21 - Tensão de Cisalhamento: Tensão Máxima e Verificação da Estabilidade - Exemplo 4

6. Exemplo 4

Qual o Vmax que a viga abaixo pode suportar?

Seção Transversal:

Dado:

= 1,50 kN/cm²

Características geométricas da seção transversal:

Cálculo

LN = 2 cm ILN = 36600 cm

4

QLN = 1084 cm³

Cisalhamento

Fórmula

Cálculo

max = Vmax . QLN / LN / ILN = Vmax . 1084 / 2 / 36600 = 0,015 .

Vmax

Verificação:

Cálculo

max . 1,4 1,50 0,015 . Vmax . 1,4 Vmax < 71,42

kN

Page 105: Calculo estrutural

C conclusão

Logo, a força cortante máxima deve ser: Vmax < 71,42 kN

! importante

Para que uma viga seja estável, tanto as inequações relativas à flexão quanto à inequação relativa ao cisalhamento devem ser verificadas.

Portanto se uma das inequações não for verificada, a viga "cai".

MÓDULO 22 - Introdução ao Elemento Estrutural: Pilar - Pilares

Objetivo do módulo

Definir o que é o pilar e como ele funciona. Mostrar quais são as forças

atuantes em um pilar e quais as tensões decorrentes destas forças.

Classificar os pilares apresentando as diferenças entre pilares curtos e

longos..

1. Pilares

D definição

O pilar define e estabiliza planos horizontais, elevados em relação ao plano do solo.

Com isto, ele colabora na definição do espaço arquitetônico, principal meio de desenvolvimento dos projetos de arquitetura.

Disse o poeta Louis Kahn: "Ah que dia maravilhoso em que a parede se foi e nasceu o pilar."

E exemplo

Page 106: Calculo estrutural

MÓDULO 22 - Introdução ao Elemento Estrutural: Pilar - Esquema de Carregamentos, Forças e Esforços para um Pilar

2. Esquema de carregamentos, forças e esforços para um pilar

Esforço externo (P) Função das reações de apoio das vigas que chegam ao pilar. Função do peso-próprio do pilar.

Esforço interno (N) Força normal - normal ao plano da seção transversal do pilar.

Esforço Tração ou Compressão.

Tensão () Tensão normal de tração (T) ou tensão normal de compressão (c).

Esforços nos pilares causados por uma viga sem balanço.

Page 107: Calculo estrutural

Esforços nos pilares que podem ser causados por uma viga com balanço.

MÓDULO 22 - Introdução ao Elemento Estrutural: Pilar - Curiosidade

3. Curiosidade

Do ponto de vista estrutural, a função do pilar é mais simples que a função da viga. Analise as figuras abaixo:

Na viga o carregamento é normal à direção do eixo da peça, portanto, para chegar até o solo, a carga "percorre" um caminho mais longo, primeiro na horizontal e depois na vertical.

No pilar o carregamento está na mesma direção do eixo da peça, portanto, para chegar até o solo, a carga "percorre" um caminho mais curto do que nas vigas, diretamente na vertical.

O observação

Não está sendo levado em conta o efeito do vento que deve ser considerado somente para pilares de edifícios muito altos. Neste caso, teriamos uma combinação de carregamento horizontal (vento), com carregamento vertical.

MÓDULO 22 - Introdução ao Elemento Estrutural: Pilar - Força Normal

4. Força Normal

Page 108: Calculo estrutural

Fórmulas da força normal (N) nas diversas seções do pilar:

Onde:

peso específico do material

A: área da seção transversal

Em qual das seções do esquema acima ocorre a força normal máxima de compressão?

Reflita e aperte para ver a resposta

O observação

Para um edifício alto, o cálculo da força normal máxima é feito por bloco de pavimentos (2, 3, 4 ou mais pavimentos, dependendo do caso), sendo considerada como força normal as reações de apoio de apoio de todas as vigas que chegam ao pilar neste bloco mais o peso-próprio do pilar neste bloco.

Reações de apoio das vigas que chegam no bloco de pilares em cada pavimento

Peso-próprio do bloco de pilares

N

Page 109: Calculo estrutural

N = Reações de apoio das vigas que chegam no bloco de pilares em cada pavimento + Peso-próprio do bloco de pilares

MÓDULO 22 - Introdução ao Elemento Estrutural: Pilar - Tensão Normal

5. Tensão Normal

A tensão normal é a resposta da seção transversal da peça ao esforço normal, permitindo que se faça a medição do quanto ela suporta.

A tensão normal é função de:

N: força normal de tração ou de compressão

A: área da seção transversal

Fórmula

= N / A

E exemplo

Qual a tensão normal para um pilar com as seguintes características:

seção transversal (A): 10 x 50 cm

= N / A = 100 / (10 . 50) = 0,20 kN/cm2

Tensão normal máxima (max)

Fórmula

max = Nmax / A

Onde:

Nmax: força normal máxima a que a peça está sujeita.

A: área da seção transversal na seção de máxima força normal.

O que seria mais importante: a força normal ou a tensão normal?

Esta dúvida pode ser esclarecida através de um exemplo hipotético:

Imagine uma mulher que pesa aproximadamente 700 N.

Primeiramente a mulher pisará sobre a superfície usando um sapato de salto baixo:

Page 110: Calculo estrutural

A área sob o sapato de salto baixo é de aproximadamente 100 cm2.

max = Nmax / A

max = 700 / 100

max = 7 N/cm2

Depois a mulher pisará sobre a superfície usando um sapato alto:

A área sob o sapato de salto alto é de aproximadamente 60 cm².

max = Nmax / A

max = 700 / 60

max = 11,67 N/cm2

C conclusão

O peso da mulher é o mesmo nos dois casos (700 N) mas as tensões são diferentes (salto baixo = 7 N/cm

2; salto alto =11,67 N/cm

2). Logo, o que interessa são as tensões que variam de um caso para

outro.

MÓDULO 22 - Introdução ao Elemento Estrutural: Pilar Classificação dos Pilares

6. Classificação dos Pilares

Antes da classificação dos pilares, deve-se, ainda que de maneira simplificada, apresentar o conceito de flambagem que será analisado em detalhes no módulo 25.

Page 111: Calculo estrutural

Pode-se dizer que a flambagem é uma flexão lateral no pilar devido a uma carga que comprime o pilar.

6.1. Pilar Curto

Os pilares curtos têm esta denominação não por que sejam pequenos, "baixos", mas sim por que não sofrem o efeito da flambagem.

6.2. Pilar Longo

Os pilares longos têm esta denominação não por que sejam grandes, "altos', mas sim por que sofrem o efeito de flambagem.

Pergunta:

Os pilares tracionados são considerados curtos ou longos? Por que?

Porque uma carga que traciona o pilar não causa o efeito da flambagem que só aparece com o esforço de compressão

MÓDULO 23 - Deformações - Da Deformação Específica até o Comportamento dos Materiais -

Introdução

Objetivo do módulo

Introduzir os conceitos de deformação. Definir o que é

deformação específica e a sua relação com as tensões. Mostrar como se

comportam os materiais elásticos e plásticos no que diz respeito às

tensões e deformações.

1. Introdução

O estudo das deformações nos elementos estruturais é muito importante na análise de uma estrutura, pois,

Page 112: Calculo estrutural

através delas, pode-se determinar as tensões verificando-se assim a estabilidade da estrutura.

Consequentemente, chega-se a conclusão de que as deformações não podem ser muito grandes de maneira que desestabilizem o equilíbrio de uma estrutura.

Para que possa ser realizado o estudo das deformações, alguns conceitos devem ser introduzidos: deformação específica, diagrama tensão x deformação, comportamento dos materiais, Lei de Hooke, entre outros.

MÓDULO 23 - Deformações - Da Deformação Específica até o Comportamento dos Materiais -

Deformação Específica

2. Deformação Específica

A deformação específica de um elemento sujeito a uma variação de comprimento, é igual a relação entre esta variação e o comprimento deste elemento.

Tensão normal (constante para os três casos)

= N/A

= P/A

= N/2A

= 2P/2A

= P/A

= N/A

= P/A

Deformação específica (constante para os três casos)

= LP/L = LP/L

= LP/L

= 2 LP/2L

= LP/L

Aplicação:

Supondo:

L = 0,60m

LP= 150x10-6

m

Page 113: Calculo estrutural

= LP/L

ou seja = 150x10-6

m/0,60m = 250x10-6

A deformação específica () é uma grandeza adimensional.

MÓDULO 23 - Deformações - Da Deformação Específica até o Comportamento dos Materiais -

Diagrama Tensão () x Deformação ()

3. Diagrama Tensão () x Deformação ()

O diagrama x mostra uma relação entre estas duas grandezas através de uma linha definida em um

gráfico x/y onde o eixo x representa as deformações e o eixo y representa as tensões.

A obtenção do diagrama tensão x deformação deve ser realizada para os diferentes tipos de material podendo ser feita através de um ensaio de tração.

Realização do ensaio de tração:

1. Toma-se uma barra circular de material homogêneo, com uma determinada seção transversal A0. Sobre esta barra, marca-se dois pontos distantes L0 um do outro.

Ensaio de Tração antes da Aplicação da Carga

2.Submete-se esta barra a uma força normal N que aumenta gradativamente.

3. Para cada valor de N, calcula-se um LP = L - L0

4. Para cada valor de N, mede-se as modificações no diâmetro.

Ensaio de Tração após da Aplicação da Carga

Page 114: Calculo estrutural

5. Para cada valor de N, calcula-se a tensão = N / A0, ou seja, a medida que altera-se o valor da carga

aplicada, altera-se o valor da tensão.

6. Para cada valor de N, calcula-se a deformação específica = LP/L0

7. Marca-se em gráfico os valores de x obtendo-se então o diagrama tensão x deformação.

O observação

O diagrama x varia de material para material e para um mesmo material, com diferentes composições.

A partir da relação entre tensão e deformação obtida com o ensaio anterior, pode-se definir dois tipos de materiais:

Materiais dúteis Materiais frágeis

Materiais dúteis (aço estrutural e outros metais)

Diagrama tensão x deformação

u: tensão última (máxima tensão que se atinge)

R: tensão de ruptura (tensão que, se atingida,

provoca a ruptura do material)

e: tensão de escoamento

R: deformação de ruptura (deformação que, se

atingida, provoca a ruptura do material)

Page 115: Calculo estrutural

Fases de evolução do diagrama

1. Aumento lento do comprimento (pequena deformação), diretamente proporcional a uma grande carga

aplicada (trecho reto da origem até a tensão de escoamento - e), com grande coeficiente angular (reta

"quase" na vertical).

2. Longa deformação com pouco aumento da carga aplicada, ou seja, pequena variação da tensão (escoamento).

3. Aumento da deformação proporcional ao aumento da carga aplicada, ou seja, da tensão. Este aumento

ocorre até que a carga aplicada atinja um valor máximo, ou, uma tensão última - u (recuperação).

4. Diminuição do diâmetro do corpo (estricção). Uma diminuição da carga aplicada é suficiente para manter

a deformação até a ruptura. (R: tensão de ruptura; R: deformação de ruptura).

Materiais frágeis (ferro fundido, vidro, pedra...)

Diagrama tensão x deformação

u: tensão última (máxima tensão que se

atinge)

R: tensão de ruptura (tensão que, se

atingida, provoca a ruptura do material)

R: deformação de ruptura (deformação que,

se atingida, provoca a ruptura do material)

Fases da evolução do diagrama

Aumento da deformação proporcional ao aumento da carga aplicada até que se atinja a deformação de

ruptura (R) que corresponde à tensão de ruptura (R) que é igual à tensão última (u).

O observação

A deformação até a ruptura (R) nos materiais frágeis é menor do que nos materiais rígidos, ou, para uma

mesma tensão os materiais frágeis rompem antes que os dúteis.

O ensaio de compressão

Pergunta:

Será que o diagrama x obtido com ensaio de compressão, ao invés do ensaio de tração como foi

visto até agora, seria o mesmo?

Resposta:

Para materiais dúteis: o ensaio de compressão poderia ser utilizado até a tensão última, mas a partir daí

Page 116: Calculo estrutural

não, pois na compressão não ocorre a estricção (diminuição) do diâmetro da barra.

Para materiais frágeis: o ensaio de compressão não poderia ser utilizado pois a tensão última de compressão é muito maior do que a tensão última de tração (os materiais são mais resistentes ao esforço de compressão do que de tração), o que, provavelmente, causaria imperfeições nos resultados.

MÓDULO 23 - Deformações - Da Deformação Específica até o Comportamento dos Materiais -

Comportamento Elástico e Plástico dos Materiais

4. Comportamento Elástico e Plástico dos Materiais

! importante

O material não é constituído de matéria elástica ou plástico, ele tem comportamento elástico ou plástico.

Material com comportamento elástico:

Neste tipo de material, a tensão aumenta, proporcionalmente à deformação até uma tensão

denominada tensão de escoamento (e - ponto B).

Quando se retira o carregamento e a tensão diminui, o material volta para a mesma condição inicial sem nenhuma deformação residual.

Comportamento elástico - As deformações desaparecem.

u: tensão última

R: tensão de ruptura

e: tensão de escoamento

Page 117: Calculo estrutural

antes da aplicação da carga aplicação da carga após aplicação da carga

Material com comportamento plástico:

Neste tipo de material, o carregamento aumenta, até uma tensão maior que a tensão de ruptura (antes de atingir a tensão última - vide gráfico abaixo - ponto C).

Quando se retira o carregamento e a tensão diminui, o material volta a condição inicial, paralelamente a condição de carregamento (até o ponto D), ficando porém uma deformação

residual ().

Comportamento Plástico - as deformações se mantém

u: tensão última

R: tensão de ruptura

e: tensão de escoamento

: deformação residual

antes da aplicação da carga aplicação da carga após aplicação da carga

MÓDULO 24 - Deformações - Da Lei de Hooke até a Variação de Temperatura - Lei de Hooke

Objetivo do módulo

Relacionar a tensão e a deformação

através da Lei de Hooke. Mostrar as

deformações em barras sujeitas às

cargas axiais. Analisar o

comportamento dos materiais devido

Page 118: Calculo estrutural

à variação de temperatura. Combinar

as deformações devidas às cargas

axiais e as deformações devidas à

variação de temperatura.

1. Lei de Hooke

Robert Hooke (1635 - 1703).

Nasceu em Freshwater (Inglaterra) em 18 de julho de 1635 e morreu em Londres em 3 de março de 1703. Estudou assuntos como Instrumentos Científicos, Arquitetura, Navegação, Cartografia e Aparelhos Mecânicos.

Em 1676 expressou: "a tensão resultante da aplicação de uma força em um material é diretamente proporcional à sua deformação". Esta expressão ficou conhecida como Lei de Hooke.

Maiores detalhes sobre Robert Hooke no site: http://es.rice.edu/ES/humsoc/Galileo/Catalog/Files/hooke.html

Matematicamente a Lei de Hooke pode ser expressa da seguinte maneira:

Expressão da Lei de Hooke

= E.

onde:

: tensão

: deformação

E: modulo de elasticidade

Uma vez que a deformação é adimensional a unidade do Módulo de Elasticidade, para satisfazer a equação acima, deve ser a mesma unidade da tensão, por exemplo: kN/cm

2.

Deve-se salientar que a Lei de Hooke é valida somente para o trecho reto do diagrama tensão x deformação, ou seja, até o ponto conhecido como limite de elasticidade.

O observação

Diferentes tipos de um mesmo material têm o mesmo Módulo de Elasticidade, pois o coeficiente angular do trecho reto do diagrama tensão x deformação é sempre o mesmo.

Diagrama x para diferentes tipos de aço:

Page 119: Calculo estrutural

! importante

O Módulo de Elasticidade (E) é uma grandeza que é função do material do qual a barra é feita, ou

seja, cada material tem o seu Módulo de Elasticidade.

E exemplo

Eaço 21 000 kN/cm2

Econcreto 3000 kN/cm2

Emadeira 800 à 1000 kN/cm2 (função da madeira)

Pergunta:

Qual material tem o maior módulo de Elasticidade, o aço ou a borracha? Porque?

Aço, por que, para uma mesma tensão, a deformação da borracha é maior que o do aço, logo, para que a

Lei de Hooke seja obedecida, o Módulo de Elasticidade do aço deve

ser maior que o da borracha. Ou seja, quanto mais rigido for um material, maior o seu Módulo de

Elasticidade.

MÓDULO 24 - Deformações - Da Deformação Específica até o

Comportamento dos Materiais - Deformações de Barras Sujeitas a

Cargas Axiais

Page 120: Calculo estrutural

2. Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais

Dada uma determinada barra nas condições da figura abaixo:

onde:

A: área de seção transversal da barra L: comprimento inicial da barra N=P: força aplicada à barra

LP: variação no comprimento da barra devido a força P

Para Módulo de Elasticidade (E) constante (função do material da barra), seção transversal uniforme (A) e carga aplicada na extremidade (P que resulta em uma força normal N), foram deduzidas as seguintes expressões:

Fórmulas

e = LP/L = E. = N/A

conforme item 2 módulo 23

Lei de Hooke conforme item 5

módulo 22

A partir destas três fórmulas, pode-se deduzir uma

fórmula de cálculo de deformação LP envolvendo

todos estes fatores:

Fórmula

LP = (N.L)/(A.E)

Page 121: Calculo estrutural

MÓDULO 24 - Deformações - Da Deformação Específica até o Comportamento dos Materiais -

Deformações de Barras Sujeitas a Variações de Temperatura

3. Deformações de Barras Sujeitas a Variações de Temperatura

Quando um material está sujeito a uma grande variação de temperatura, irá ocorrer neste uma deformação no comprimento, diretamente proporcional a esta variação.

L: comprimento inicial da barra

onde:

T: temperatura (em °C)

T: variação de temperatura (em °C)

LT: variação do comprimento da barra devido a temperatura

Variação do comprimento T da barra devido a variação da temperatura:

Fórmula

LT = .T.L

onde:

: coeficiente de dilatação térmica do material que constitui a barra (em ºC-1

)

L: comprimento inicial da barra T: temperatura (em °C)

T: variação de temperatura (em °C)

LT: variação do comprimento da barra devido a temperatura

Deformação específica devida a variação da temperatura

Para uma barra qualquer que sofreu deformação, é possível o cálculo da deformação específica que é uma relação entre a deformação sofrida pela barra e seu comprimento inicial. No caso da variação da temperatura tem-se:

Fórmula

T=LT/L ou T=T

onde:

T: Deformação específica devido a temperatura

Page 122: Calculo estrutural

: coeficiente de dilatação térmica da barra (em ºC-1

)

L: comprimento inicial da barra T: temperatura (em °C)

T: variação de temperatura (em °C)

LT: variação do comprimento da barra devido a temperatura

E exemplo

Qual a deformação total da barra abaixo (deformação devido a carga P mais a deformação devido a

variação de temperatura T)?

onde:

A = 100 cm2

L = 60 cm P = 90 kN

T: 25 °C

dados:

E = 20 000 kN/cm2

= 12.10-6

ºC-1

Resolução:

= LP + LT

= (N.L)/(A.E) + .T.L

= (90 . 60) / (100 . 20000) + 12.10-6

. 25 . 60

= 0,0027 + 0,018

= 0,0207 cm

C conclusão

A deformação de 0,0207 cm deve ser menor do que a aquela que o material pode suportar, quer seja do ponto de vista do conforto, quer seja do ponto de vista da ruptura.

Page 123: Calculo estrutural

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Flambagem

Objetivo do módulo

Definir o que é flambagem. Definir o que é índice de esbeltez. Definir pilar curto. Definir pilar longo. Mostrar as

diferenças entre pilares curtos e longos.

1. Flambagem

D definição

A flambagem é um fenômeno que ocorre quando uma carga de compressão atuando em um prisma, ocasiona uma flexão lateral ao redor do eixo com o mínimo raio de giração de sua seção transversal.

1.1. Raio de giração mínimo (rmin)

A fórmula geral para raio de giração é a seguinte:

Fórmula

Onde:

I: momento de inércia A: área da seção transversal

Se na fórmula acima for utilizado o momento de inércia mínimo, então será obtido o raio de giração mínimo e se for utilizado o momento de inércia máximo, então será obtido o momento de inércia máximo.

Então, a fórmula do raio de giração mínimo é a seguinte:

Fórmula

Page 124: Calculo estrutural

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Flambagem - Momento de Inércia Mínimo

1.2. Momento de Inércia Mínimo (Imin)

O momento de inércia mínimo é calculado em relação a um eixo que passa no centro da gravidade da seção transversal.

Momentos de inércia em relação ao centro de gravidade para uma seção transversal plana qualquer:

E exemplo

Supondo para a figura acima os seguintes valores para momento de inércia em relação a quatro eixos (x, y, z, t) que passam pelo CG:

Ix = 5

Iz = 12

Iy = 8

It = 3

Portanto, de acordo com os valores definidos acima, quais seriam o máximo e mínimo momento de inércia? Imax = Iz = 12 Imin = It = 3

Em toda figura plana haverá sempre um eixo que corresponde ao momento de inércia máximo e outro eixo que corresponde ao momento de inércia mínimo, qualquer que seja a forma da seção transversal.

Pode-se observar na figura que estes dois eixos são perpendiculares entre si. Deve-se ressaltar ainda que este fato irá ocorrer sempre.

Page 125: Calculo estrutural

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Flambagem - Fórmulas Gerais para Figuras Planas Conhecidas

1.3. Fórmulas Gerais para Figuras Planas Conhecidas

Círculo

Momentos de inércia máximo e mínimo:

I = Imin = Imax = Ix = Iy=d4/64

Raios de giração máximo e mínimo:

rmax = rmin = = = d/4

Retângulo

Momentos de inércia máximo e mínimo:

Imax = Ix = bh3/12

Imin = Iy = hb3/12

Raios de giração máximo e mínimo:

Imax = Ix = b.h3/12 logo

ou

Imin = Iy = h.b3/12 logo

ou

Page 126: Calculo estrutural

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Flambagem - Flambagem

1.4.Flambagem

Pergunta:

Qual das duas figuras abaixo representa o efeito correto da flambagem?

Figura 1

Figura 2

Resposta:

Figura 1, pois neste caso a flexão lateral ocorrerá ao redor do eixo y que é o eixo com o mínimo raio de giração.

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Índice de Esbeltez

2. Índice de Esbeltez ()

D definição

O índice de esbeltez mede o quão esbelto é um pilar.

Ele mede a facilidade ou a dificuldade que um pilar tem de flambar.

! importante

Se o índice de esbeltez é pequeno, a probabilidade de o pilar flambar é menor.

Se o índice de esbeltez é grande, a probabilidade de o pilar flambar é maior.

Fórmula

= Le/rmin

Onde: : índice de esbeltez (adimensional) Le: comprimento de flambagem rmin: raio de giração

mínimo

Page 127: Calculo estrutural

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Índice de Esbeltez - Comprimento de Flambagem

2.1. Comprimento de Flambagem (Le)

O comprimento de flambagem é um comprimento teórico, e é uma função do apoio da barra em suas extremidades.

Ele é calculado pelo comprimento da corda de um arco pleno que se forma no pilar após o seu carregamento (carga de compressão).

Barra bi-rotulada Barra bi-engastada Barra engastada e livre

Le = l Le = l/2 Le = 2.l

Page 128: Calculo estrutural

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Índice de Esbeltez - Índice de Esbeltez Limite

2.2. Índice de Esbeltez Limite (lim)

O índice de esbeltez limite é uma grandeza que varia de acordo com o material que constitui uma determinada barra e é função da tensão de proporcionalidade e do módulo de elasticidade deste material.

Fórmula

lim =

Onde:

lim: índice de esbeltez limite (adimensional)

E: módulo de elasticidade do material (KN/cm2)

p: tensão de proporcionalidade do material (KN/cm2)

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Pilar Curto

3. Pilar Curto

Um pilar é dito curto quando o seu índice de esbeltez (função de suas características geométricas) é menor que o índice de esbeltez limite (função do material que o constitui).

lim

Ou, pode-se dizer que um pilar é curto quando não sofre o efeito de flambagem.

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Pilar Longo

4. Pilar Longo

Um pilar é dito longo quando o seu índice de esbeltez (função de suas características geométricas) é maior ou no máximo igual ao índice de esbeltez limite (função do material que o constitui).

lim

Ou, pode-se dizer que um pilar é longo quando pode sofrer o efeito da flambagem.

Page 129: Calculo estrutural

MÓDULO 25 - Pilar Curto x Pilar Longo - Pilar Longo x Pilar Longo

5. Pilar Curto x Pilar Longo

Pode-se determinar, preliminarmente, sem precisão nos resultados, se um pilar é curto ou longo.

Fazendo algumas analogias:

No mundo da moda: qual manequim é mais esbelta, uma alta e magra ou uma baixa e gorda.

No desenho arquitetônico: o que é mais fácil de flambar, um pequeno pedaço de grafite 0,9mm ou um grande pedaço de grafite 0,3mm.

C conclusão

Pilar longo: esbelto e fácil de flambar, ou como a manequim alta e magra e o grafite grande e fino.

Pilar curto: pouco esbelto e difícil de flambar, ou como a mulher baixa e gorda e o pedaço de grafite grosso.

Portanto, se um pilar é bastante alto com uma pequena seção transversal, pode-se assumir que ele é longo e se um pilar é bem baixo com uma grande seção transversal, pode-se assumir que ele é curto.

MÓDULO 26 - Pilar Curto - Verificação da Estabilidade - Verificação da Estabilidade

Objetivo do módulo

Mostrar como é feita a verificação da estabilidade em pilares curtos.

1. Verificação da Estabilidade

Para que seja verificada a estabilidade em um pilar curto é necessário que seja verificada a seguinte inequação:

Fórmula

onde:

: tensão normal admissível do material (kN/cm2)

Se o material estiver sujeito a uma tensão normal já considerado o ceficiente 1,4 um pouco maior do que a admissível, ocorrerá o rompimento.

Cada material tem a sua tensão normal admissível de tração e de compressão. Por exemplo:

concreto:

aço: madeira: depende do tipo da madeira

Page 130: Calculo estrutural

Os valores das tensões admissíveis dependem do tipo do concreto, aço ou madeira.

max: tensão normal máxima (kN/cm2)

max = Nmax / A (conforme Módulo 22 -item 5)

MÓDULO 26 - Pilar Curto - Verificação da Estabilidade - Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais -

Exemplos

2. Exemplos

E exemplo 1

Pergunta

Qual o lado de um pilar curto de seção transversal quadrada (a x a) sujeita a uma força normal máxima de tração de 30 kN e constituído por um material cuja tensão normal admissível à tração é 1 kN/cm

2.

Resolução

Logo: a 6,48 cm

Adota-se a = 6,50 cm

E exemplo 2

Pergunta

Page 131: Calculo estrutural

Um pilar curto de alvenaria de seção transversal retangular tem uma das dimensões igual a 20 cm. Qual a outra dimensão desta peça sendo ela sujeita a uma força normal de compressão igual a 20 kN e tendo a alvenaria uma tensão normal admissível à compressão igual a 0,04 kN/cm

2.

Resolução

Logo: x 35 cm

Adota-se x = 35 cm

E exemplo 3

Pergunta

Verificar a estabilidade do pilar curto abaixo:

Dados

Page 132: Calculo estrutural

material: concreto (peso específico: 23 kN/m3)

tensão normal de compressão admissível: 1,30 kN/cm2

seção transversal circular: d = 15 cm força normal de compressão: P = 80 kN aplicada no topo altura da peça: 4 m

Resolução

Voltando à comparação

1,30 81,63 / ( . 152 / 4) .1,4

1,30 0,65 verifica!!!

MÓDULO 27 - Pilar Long

o - Verificação da Estabilidade -

Verificação da Estabilida

de

Objetivo do módulo

Page 133: Calculo estrutural

Mostrar como é feita a verificação da estabilidade em pilares longos.

1. Verificação da Estabilidade

Para que seja verificada a estabilidade em um pilar longo, a seguinte inequação deve ser verificada:

Fórmula

Onde:

c max:

tensão de compressão máxima

: tensão normal crítica admissível

1.1. Tensão de Compressão

Page 134: Calculo estrutural

Máxim

a c

max)

D definição

A tensão de compressão máxima é uma relação entre a carga máxima que está comprimindo o pilar (Nc

max) e a área de sua seção transversal (A).

Fórmula

c max =

Nc max/A

1.2. Tensão Normal Crítica Admis

sível

)

D definição

A tensão normal crítica admissível é calculada a partir

Page 135: Calculo estrutural

da tensão normal crítica

(cr).

Fórmula

1.3. Tensão Normal Crítica

(cr)

D definição

A tensão normal crítica é uma relação entre a carga crítica (Pcr) e a área da seção transversal do pilar (A).

Fórmula

cr =

Pcr/A

1.4. Carga crítica ou carga de Euler ou carga de flamba

Page 136: Calculo estrutural

gem (Pcr)

D definição

Carga crítica (Pcr) é o valor da carga de compressão, para a qual a forma reta de equilíbrio deixa de ser estável.

Antes da aplicação da carga

Aplicação da carga

Após aplicação da carga

Page 137: Calculo estrutural

P < Pcr

Equilíbrio estável

Antes da aplicação da carga

Aplicação da carga

Após aplicação da carga

Page 138: Calculo estrutural

P = Pcr

Equilíbrio neut

ro

Antes da aplicação da carga

Aplicação da carga

Após aplicação da carga

rompimento

P > Pcr

Equilíbrio instável

Quais são os fatores que influem

Page 139: Calculo estrutural

na carga crítica?

Para responder a esta pergunta, façamos mais algumas perguntas e analisemos suas respostas:

Pergunta:

Faz alguma diferença se o material de que feito pilar concreto ou borracha?

Resposta:

Pergunta:

Faz alguma diferença se a área da seção transversal é pequena ou grande?

Resposta:

Pergunta:

Faz alguma diferença se o pilar tem um compri

Page 140: Calculo estrutural

mento pequeno ou grande?

Resposta:

Portanto, se a resposta para as perguntas anteriores foi SIM, então os fatores que influem na carga crítica são:

Material

Área da seção transversal

Comprimento

A fórmula para o cálculo da carga crítica (Pcr), que

Page 141: Calculo estrutural

leva em consideração os fatores acima é conhecida como fórmula de Euler (Leonhard Euler 1707 - 1783).

Fórmula

Pcr =

2.E.Imin/

Le2

Onde:

E: módulo de elasticidade (kN/cm2),

função do material de que é feit

Page 142: Calculo estrutural

o o pilar.

Imin: momento de inércia mínimo (cm4),

função da área da seção transversal do pilar.

Le

: compri

Page 143: Calculo estrutural

mento de flambagem (cm), função do comprimento do pilar.

O observação

A partir da fórmula da carga crítica (Pcr), da fórmula do raio de giração mínimo (rmin) e da fórmula do índice de esbeltez

(),

chega-se a outras expressões da tensão

Page 144: Calculo estrutural

normal crítica.

cr =

(2.E.Imi

n)/(A.Le2)

cr =

(2.E.rmi

n2)/Le

2

cr =

(2.E)/

2

MÓDULO 27 - Pilar Longo - Verificação da

Estabilidade - Exemplos

2. Exemplos

2.1. Exemplo 1

E exemplo 1

Verificar a est

Page 145: Calculo estrutural

abilidade

do pilar longo a seguir

dados:

Material: aço Eaço

: 21 000kN/cm

2

Seção retangular: 10 x 15cm (Obs.: a menor dimensão é a base) Peso-próprio: desconsiderar

pilar longo

Para se

Page 146: Calculo estrutural

calcular a tensão normal crítica admissível, deve-se antes calcular a tensão normal crítica que é uma função da carga crítica e da área da seção transversal do pilar.

Carga crítica (P

c

r

)

Fórmula

Pcr =

2.E.Imi

n/Le2

Aplicação:

Imin = h.b

3/12 =

15.103/1

2 = 1250cm

4

Page 147: Calculo estrutural

Le= l = 400cm (extremidade bi-rotulada)

Pcr =

2.2100

0.1250/400

2

=1619,23kN

tensão normal crítica (

c

r

)

Fórmula

cr =

Pcr/A

Aplicação:

cr =

1619,13/(10.15) = 10,79kN/cm

2

ten

Page 148: Calculo estrutural

são normal crítica admissível

Fórmula

Aplicação:

= 0,5.10,79 = 5,40kN/cm

2

Tensão de compr

Page 149: Calculo estrutural

essão máxima

c

m

a

x

Fórmula

c max =

Nc max/A

Aplicação:

c max =

600/(10.15) = 4,00kN/cm2

Verificação da estabili

Page 150: Calculo estrutural

dade

Fórmula

Aplicação:

5,40

4,00.1,40

5,40

5,60

C onclusão

A inequação não se verifica, logo o pilar não é estável.

MÓDULO 27 - Pila

r Longo - Verificação da Estabilidade -

Exemplo 2

2.2. Exemplo

Page 151: Calculo estrutural

2

E exemplo 2

Verificar a

estabilidade do pilar longo a

seguir

dados:

E: 12 000kN/cm

2

Seção transversal circular: d = 15cm Peso-próp

Page 152: Calculo estrutural

rio: desconsiderar

pilar longo

tensão normal crítica admissível

Fórmula

Aplicação:

cr =

2.E/2

Page 153: Calculo estrutural

Cálculo

do

=

Le/rmin

Le = l/2 = 700/2 = 350cm

rmin = d/4 = 15/4 = 3,75cm

=

350/3,75

= 93

cr =

2.12

000/932

= 13,69kN/cm

2

= 0,5.13,69 = 6,85kN/cm

2

Tensão de compressão

Page 154: Calculo estrutural

máxima

c

m

a

x

Fórmula

c max

= Nc

max/A

Aplicação:

c max =

800/(.

152/4) =

4,53kN/cm

2

Verificação da estabilidade

Page 155: Calculo estrutural

Fórmula

Aplicação:

6,85

4,53.1,40

6,85

6,34

C onclusão

A inequação se verifica, logo o pilar é estável.

MÓDULO 27 -

Pilar Longo - Verificação da Estabilidade - Exemplo 3

2.3. Exemplo 3

Page 156: Calculo estrutural

E exemplo 3

Qual a carga normal máxima de compressão (N

cm

ax

) que torna o pilar longo a seguir estável

Page 157: Calculo estrutural

?

dados:

E: 25 000kN/cm

2

Seção transversal quadrada: a = 30cm Peso-próprio: desconsiderar

pilar longo

tensão norma

Page 158: Calculo estrutural

l crítica admissível

Fórmula

Aplicação:

cr =

(2 . E

. Imin)/(A . Le

2)

Cálculo: Imin

Imin = h.b

3/12

= 30.30

3/

12

Imin = 67 500cm4

Cálculo: A

A = 30.30

A = 900

Page 159: Calculo estrutural

cm2

Cálculo: Le

Le = 2.l = 2.400

Le = 800 cm

Cálcul

o: cr

cr =

(2 .

25 000 . 67 500)/(900 . 800

2)

cr =

28,91kN/cm

2

= 0,5.28,91 = 14,46kN/cm

2

Verificação da estabil

Page 160: Calculo estrutural

idade

Fórmula

Fórmula

1,4

.Ncmax

/A

Aplicação:

14,46

1,4 .

Ncmax/900

Ncmax

9294kN

O bservação

Como o pilar é muito esbelto a carga normal máxima de compressão é infima.

Page 161: Calculo estrutural

MÓDULO 28 -

Pilares -

Verificação da Estabilidade - Verificação da Estabilidade

Objetivo do módulo

Exemplificar a determinação dos tipos de pilares (curtos ou longos), bem

como a verificação da sua estabilidade.

1. Verificação da Estab

Page 162: Calculo estrutural

ilidade

Para se verificar a estabilidade de um pilar, deve-se primeiramente definir se ele é curto ou longo para se fazer a escolha da inequação a ser verificada.

Definição Verificação

Pilar curto lim

Pilar longo lim

Onde:

:

índice de esbetez

lim:

índice de esbetez limite

Page 163: Calculo estrutural

: tensão normal admissível

max:

tensão normal máxima

: tensão normal crítica admissível

c

max: tensão de compressão máxima

Os módulos 25 e 27 trazem mais detalhes a respeito das grandezas acima.

MÓDULO 28 - Pilares Verificação da

Estabilidade -

Page 164: Calculo estrutural

Exemplos

2. Exemplos

2.1. Exemplo 1

E exemplo 1

Verificar a estabilidade do pilar a seguir

dados:

:

Page 165: Calculo estrutural

0,30kN/cm2

li

m: 100 Seção transversal quadrada: a = 30cm Peso específico do material do pilar:

= 28kN/m3

Resolução:

D

Page 166: Calculo estrutural

efinição de pilar curto ou longo (comparação entre

e

li

m

)

Índice d

Page 167: Calculo estrutural

e esbeltez limite (

l

i

m

)

lim =

100

Índice de esbeltez (

)

Fórmula

=

Le/rmin

Aplicação:

Page 168: Calculo estrutural

Le = 2.l = 2.300 = 600cm

=

600/8,66 = 69

logo

<lim

pilar curto

tensão normal máxima de compressão

c

m

Page 169: Calculo estrutural

ax

Fórmulas

c max =

Nc max/A

Nc max =

Pc + .

A .I

Aplicação:

Nc max= 100+28.0,30.0,30.3 = 107,56kN

c max =

107,56/(30.30) = 0,12kN/cm2

Verificação da estabilidade

Aplicação:

Page 170: Calculo estrutural

0,30

0,12.1,40

0,30

0,17

C onclusão

A inequação se verifica, logo o pilar é estável.

MÓDULO 28 - Pilares Verificação da Estabilidade -

Exemplo 2

2.2. Exemplo 2

E exemplo 2

Qual a força

normal máxima

de compressão que o

pilar pode suportar?

dados:

p:

50kN/cm2

E: 20 000kN/cm

2

Seção transversal quadrada: a = 15cm Peso-próprio: desconsiderar

Resolução:

Page 171: Calculo estrutural

Definição de pilar curto ou longo (comparação entre

e lim)

Índice de esbeltez limite

(lim)

Fórmula

Aplicação:

Índice de

esbeltez ()

Fórmula

= Le/rmin

Aplicação:

Le = l/2 = 600/2 = 300cm

= 300/4,33 = 69

logo >lim

pilar longo

Verificação da estabilidade

Aplicação:

0,5.cr> 1,4.c max

logo: 0,5.2.E/2

Nc max.1,4/A

Ncmax

0,5.15.15.2.20000/(1,4.69

2)

Page 172: Calculo estrutural

Ncmax 3331,62kN

C onclusão

Força normal máxima de compressão que o pilar pode suportar: 3331,62kN.

MÓDULO 28 - Pilares Verificação da Estabilidade -

Exemplo 3

2.3. Exemplo 3

E exemplo 3

Qual o tipo de extremidades (bi-rotulada, bi-engastada ou

engastada e livre) você utilizaria para que o pilar a

seguir esteja sujeito a flambagem?

dados:

p: 30kN/cm2

E: 25 000kN/cm2

Seção retangular: 20 x 40cm (b = 20cm; h = 40cm) Comprimento: 300cm

Resolução:

Para que o pilar esteja sujeito a flambagem, a seguinte inequação deve ser verificada:

lim

Índice de esbeltez

Page 173: Calculo estrutural

limite (lim)

Fórmula

Aplicação:

Índice de esbeltez ()

Fórmula

= Le/rmin

Aplicação:

Cálculo do comprimento de flambagem (Le) para os vários tipos de extremidade e comparação entre os índice de esbeltez.

Tipos de

extremida

de

Comprimento de

flambagem (Le)

Comparaçã

o e

lim

Conclusã

o

Barra bi-rotulada

Le = l = 300cm

=

300/5,77 = 52 <

lim

Não ocorre flambagem

Barra bi-engastada

Le = l/2 = 300/2 = 150cm

=

150/5,77 = 25 <

lim

Não ocorre flambagem

Barra engastada e livre

Le = 2.I = 300.2 = 600cm

=

600/5,77 = 104 >

lim

Ocorre flambagem

Verificação da estabilidade

Page 174: Calculo estrutural

Agora verificar a estabilidade deste pilar, considerando que ele sofre o efeito da flambagem, e que a força normal máxima de compressão aplicada é igual a 5000kN.

Resolução:

Se ele sofre o efeito da flambagem, ele é um pilar

longo:

tensão normal crítica admissí

vel ( )

Fórmula

Aplicação:

cr = 2.E/l2 =2

.25000/1042 =

22,81kN/cm2

= 0,5.22,81 = 11,41kN/cm2

tensão normal máxima de compres

são c

max

Fórmula

c max = Nc max/A

Aplicação:

c

m

a

x

= 500

Page 175: Calculo estrutural

0/(20.15) = 6,25kN/cm2

Verificação da estabilidade

Aplicação:

11,41

6,25.1,40

11,41

8,7

Page 176: Calculo estrutural

5

C onclusão

A inequação se verifica, logo o pilar é estável.

MÓDULO 28 - Pilares Verificação da Estabilidade -

Exemplo 4

2.4. Exemplo 4

E exemplo 4

Verificar a

estabilidade

do pilar a seguir

dados:

: 8kN/cm2

: 0,5kN/cm

2

lim:

150 Seção transversal retangular: b = 10cm; h = 25cm Peso específico do material do

pilar:

= 25kN/m3

Page 177: Calculo estrutural

Resolução:

Definição do pilar curto ou longo (comparação entre

lim)

Índice de esbeltez

limite (lim)

lim = 150

Índice de esbeltez

()

Fórmula

= Le/rmin

Aplicação:

Le = 2 . l = 2 . 250 = 500cm

= 500/2,89

= 173,20

logo: > lim = > Pilar longo

O observação

Apesar do pilar ser longo, não ocorrerá flambagem, pois o mesmo está sujeito a uma força normal de tração. Portanto, a verificação é feita através da seguinte inequação:

Tensão normal máxima de tração

T max

Fórmula

T max = NT max/A

Aplicação:

Cálculo do NT max:

Page 178: Calculo estrutural

Topo do pilar: NT = P = 25kN

Base do pilar: NT = P - . A .l

= 25 - (25 . 0,1 .0,25 . 2,5) = 23,44kN

Logo: NT max = 25 kN

Cálculo do T max:

T max = 25/10 . 25 =

0,10kN/cm2

Verificação da estabilidade

Aplicação:

0,5 0,10.1,40

0,5 0,14kN/cm2

C conclusão

A inequação se verifica, logo o pilar é estável .

MÓDULO 29 - Flexão Composta - Cargas e

Tensões - Flexão Composta

Objetivo do módulo

Mostrar qual a origem de carregamentos excêntricos e como é

feita a sua transferência até um determinado ponto. Analisar o

comportamento das tensões na flexão composta levando em consideração a

composição de cargas axiais e excêntricas.

1. Flexão Composta

D definição

Page 179: Calculo estrutural

A flexão composta é um esforço resultante da combinação de outros dois tipos de esforços que podem surgir quando do carregamento de um pilar:

esforço normal: devido a aplicação de duas cargas normais ao plano da seção transversal, uma passando pelo CG desta seção e outra passando fora do CG.

esforço de flexão: devido ao momento causado pela excentricidade da carga normal ao plano da seção transversal em relação ao CG desta seção.

Até agora foram estudados casos em que o carregamento do pilar era axial (na mesma direção do eixo do pilar), passando pelo centro de gravidade da seção transversal e normal ao plano desta seção.

Exemplo:

Porém, a carga pode estar aplicada fora do centro de gravidade da seção transversal. Neste caso, o carregamento é dito excêntrico dando origem ao esforço de flexão.

Page 180: Calculo estrutural

Exemplo:

MÓDULO 29 - Flexão Composta - Cargas e

Tensões - Transferência de

Carga

2. Transferência de Carga

O estudo da flexão composta deve ser feito com todas as cargas aplicadas no centro de gravidade da seção transversal. Portanto, deve haver uma transferência das cargas excêntricas para este ponto. Esta transferência é feita da seguinte maneira:

equivalente a

Como pode ser visto, a transferência da carga (P), do ponto de aplicação (A) até o CG, dá origem a um momento (M) igual ao produto da carga pela distância entre estes dois pontos.

Page 181: Calculo estrutural

Então, na flexão composta se analisa o 2º caso, onde a carga P dá origem ao esforço normal e o momento M dá origem ao esforço de flexão.

MÓDULO 29 - Flexão Composta - Cargas e Tensões

- Superposição de

Tensões

3. Superposição de Tensões

Para um melhor entendimento do funcionamento da flexão composta, pode-se fazer uma análise de tensões. Como a flexão composta é o resultado de uma composição de esforços (normal e de flexão), deve-se fazer uma superposição das tensões devidas ao esforço normal mais as tensões devidas ao esforço de flexão para que seja obtido o resultado final das tensões devidas ao esforço de flexão composta.

Dois casos considerados quando se faz o estudo da superposição de tensões:

carga excêntrica em uma direção: a força normal N está aplicada sobre um dos eixos principais de inércia que passa pelo centro de gravidade da seção transversal.

carga excêntrica em duas direções: a força normal N não está aplicada sobre nenhum dos

Page 182: Calculo estrutural

eixos principais de inércia que passam pelo centro de gravidade da seção transversal.

3.1. Carga Excêntrica em uma Direção

Aqui, a força normal N (neste exemplo de compressão) está aplicada sobre um dos eixos principais de inércia que passa pelo centro de gravidade da seção transversal (eixo y).

Fazendo-se um corte vertical no pilar acima no plano xy, obtem-se os seguintes desenhos:

equivalente a

Page 183: Calculo estrutural

Adotando-se para as tensões o sinal positivo para compressão e negativo para tração, o esquema de tensões para o pilar acima ficaria o seguinte:

Tensão devido a força

normal N

+

Tensão devido ao momento M

=

Tensão total

A linha neutra (LN) é a linha onde a tensão é nula, portanto, é a linha onde a resultante das tensões, cruza o plano da seção transversal. Neste caso, a LN está localizada fora da seção transversal.

Pergunta:

Faça um esquema de tensões onde a LN está localizada dentro da seção transversal.

Resposta:

Page 184: Calculo estrutural

Fórmula geral da tensão para flexão composta ( "+" : compressão; "-" : tração):

Fórmula

x = ± ± p

x = ± N/A ± Mz.y/I

Onde:

x: tensão de flexão

composta na direção do eixo x N: força normal A: área de seção transversal Mz: momento devido à excentricidade da força normal N ao redor do eixo z y: distância do CG ao ponto onde se deseja o valor da tensão I2: momento de inércia em relação ao eixo z

Fórmula geral da tensão máxima para flexão composta:

Fórmula

x = ± ± p

xmax = ± Nmax/A ±

Mzmax.ysup/inf/Iz

Onde:

xmax: tensão de flexão

composta máxima na direção do eixo x Nmax: força normal máxima Mzmax: momento devido à excentricidade da força normal Nmax ao redor do eixo z ysup/inf: distância do CG (sobre eixo y) aos pontos extremos da seção transversal.

E exemplo

Desenhar o diagrama de

Page 185: Calculo estrutural

tensões do pilar com as características a seguir:

equivalente a

x1 =

+ N/A

- (Mz.y)/Iz

=

15/(10.3) - (150.15)/(10.30

3/12)

= - 0,05 KN/cm

2

força normal N

comprime

a seçã

o transversa

l

momento Mz

traciona a

linha 1

x2 =

+ N/A

+ (Mz.y)/Iz

=

15/(10.3) + (150.15)/(10.30

3/12

) = + 0,15 KN/cm

2

Page 186: Calculo estrutural

força normal N

comprime

a seçã

o transversa

l

momento Mz

comprime a

linha 2

Diagrama de tensões:

MÓDULO 29 - Flexão Composta - Cargas e

Tensões - Superposição de Tensões - Carga Excêntrica em Duas

Direções

3.2. Carga Excêntrica em Duas Direções

Aqui, a força normal N (neste caso de compressão), está aplicada fora dos eixos

Page 187: Calculo estrutural

principais de inércia que passam pelo centro de gravidade da seção transversal.

equivalente a

Analogamente ao item 3.1, pode-se chegar à fórmula geral da tensão máxima para flexão composta com carga excêntrica em duas direções:

Fórmula

xmax = ± Nmax/A ± Mzmax.ysup/inf/Iz ±

Mymax.zsup/inf/Iy

Onde:

xmax: tensão de flexão composta máxima

na direção do eixo x Nmax: força normal máxima A: área de seção transversal Mzmax: momento devido à excentricidade da força normal Nmax ao redor do eixo z Mymax: momento devido à excentricidade da força normal Nmax ao redor do eixo y ysup/inf: distância do CG (sobre o eixo y) aos pontos extremos da seção transversal zsup/inf: distância do CG (sobre o eixo z) aos pontos extremos da seção transversal Iz: momento de inércia em relação ao eixo z Iy: momento de inércia em relação ao eixo y

O observação

O item 3.1 pode ser considerado como caso especial do item 3.2, onde o valor de ey ou de ez é igual a zero.

E exemplo

Page 188: Calculo estrutural

Desenhar o diagrama de tensões do pilar abaixo:

equivalente a

Aplicação:

A = 12.8 = 96cm2

Iy = 12.83/12 = 512cm

4

Iz = 8.123/12 = 1152cm4

A =

N/A + (Mz.y)/

Iz +

(My.z)/Iy

=

4,80/96 + (12.6)/1152 + (19,2.4)/512 =

Page 189: Calculo estrutural

0,26 KN/cm

2

força normal

N comprime a seção

transversal

momento Mz comprime o ponto

A

momento My comprime o ponto

A

B =

N/A + (Mz.y)/I

z - (My.z)/

Iy =

4,80/96 + (12.6)/1152 - (19,2.4)/512 = - 0,04 KN/cm

2

força normal

N comprime a seção

transversal

momento Mz comprime o ponto

B

momento My tracion

a o ponto

B

C =

N/A - (Mz.y)/

Iz -

(My.z)/Iy

=

4,80/96 - (12.6)/1152 - (19,2.4)/512 = - 0,16 KN/cm

2

força normal

N comprime a seção

transversal

momento Mz tracion

a o ponto

C

momento My tracion

a o ponto

C

D =

N/A - (Mz.y)/

Iz +

(My.z)/I

y =

4,80/96 - (12.6)/1152 + (19,2.4)/512 = 0,14 KN/cm

2

força normal

N comprime a seção

transversal

momento Mz tracion

a o ponto

D

momento My comprime o ponto

D

Page 190: Calculo estrutural

Diagrama de tensões:

O observação

No cálculo da tensão normal, deve ser considerado, como força normal, o somatório da força normal aplicada fora do CG da seção transversal (excêntrica) e da força normal aplicada no CG da seção transversal.

MÓDULO 30 - Flexão Composta - Verificação da Estabilidade -

Verificação da Estabilidade

Objetivo do módulo

Mostrar como é feita a verificação da estabilidade em pilares devido à flexão composta. Apresentar exemplos desta

verificação de estabilidade.

1. Verificação da Estabilidade

Para que seja verificada a estabilidade de um pilar sujeito à flexão composta, deve-se fazer uma composição entre a relação das tensões com as tensões admissíveis tanto do esforço normal como do esforço de flexão através da seguinte inequação:

Onde:

Page 191: Calculo estrutural

Nmax: força normal máxima A: área de seção transversal Mzmax: momento devido à excentricidade da força normal Nmax ao redor do eixo z Mymax: momento devido à excentricidade da força normal Nmax ao redor do eixo y ysup/inf: distância do CG (sobre o eixo y) aos pontos extremos da seção transversal zsup/inf: distância do CG (sobre o eixo z) aos pontos extremos da seção transversal Iz: momento de inércia em relação ao eixo z Iy: momento de inércia em relação ao eixo y

: tensão normal admissível de compressão ou de tração ou crítica

: tensão de flexão admissível para compressão ou para tração

A escolha da tensão admissível devido ao esforço normal (compressão ou tração ou crítica) vai depender do sentido da força e das condições do pilar, ou seja, o pilar pode estar sendo comprimido ou tracionado. Se estiver sendo comprimido, o pilar pode ser curto (sem flambagem) ou longo (com flambagem). Na escolha da tensão admissível de flexão para tração ou compressão, é utilizado sempre o menor valor.

MÓDULO 30 - Flexão Composta - Verificação da Estabilidade -

Exemplos

2. Exemplos

2.1. Exemplo 1

E exemplo 1

Verificar a estabilidade do pilar abaixo:

Page 192: Calculo estrutural

equivalente a

dados:

Pilar curto

= 1,00kN/cm2

= 10,00kN/cm2

= 4,00kN/cm2

Resolução:

Nmax = 100kN (desconsiderando carga aplicada no CG) A = 15.15 = 225cm

2

Iz = Iy = 15.153/12 = 4218,75cm

4

Page 193: Calculo estrutural

O observação

Utiliza-se, para as parcelas de tensão de flexão, sempre a menor tensão admissível entre a tensão de flexão para compressão e para tração, estabelecendo desta forma a pior situação (a favor da segurança), uma vez que um valor pequeno no denominador resulta em um valor final maior.

| 100/225 | / 1,00 + | 650.7,5/4218,75 | / 4,00 + |

500.7,5/4218,75 | / 4,00 1

0,44 + 0,29 + 0,22 1

0,95 1 Verifica!

MÓDULO 30 - Flexão Composta - Verificação da Estabilidade -

Exemplo 2

2.2. Exemplo 2

E exemplo 2

Qual a força normal Nmax que torna o pilar com as características abaixo estável?

Como a seção transversal é circular, pode-se fazer com que a força normal esteja aplicada sobre um dos eixos principais de inércia, resultando momento em apenas uma direção

dados:

Seção transversal circular (d = 40cm)

Page 194: Calculo estrutural

Força normal Nmax aplicada a 18cm do centro de gravidade Pilar curto

= 10,00kN/cm2

= 100,00kN/cm2

= 10,00kN/cm2

Resolução:

M z max = 18. Nmax kNcm M y max = 0

A = .402/4 = 1256,64cm

2

Iz = .404/64 = 125664cm

4

( Nmax / 1256,64 / 10,00) + ( 18.Nmax.10 / 125664 /

10,00) + 0 1

Nmax 4488kN (desconsiderando carga aplicada no

CG)

MÓDULO 30 - Flexão Composta - Verificação da Estabilidade -

Exemplo 3

2.3. Exemplo 3

E exemplo 3

Verificar a estabilidade do pilar abaixo:

Page 195: Calculo estrutural

equivalente a

dados:

Pilar curto

= 5,00kN/cm2

= 40,00kN/cm2

= 8,00kN/cm2

Resolução:

Nmax = 300kN (desconsiderando carga aplicada no CG) M z = 2250kNcm M y = 600kNcm A = 15.25 = 375cm

2

Iz = 15.253/12 = 19531cm

4

Iy = 25.253/12 = 7031cm

4

( 300 / 375 / 5,00) + ( 2250.12,5 / 19531 / 8,00) + (

600.7,5 / 7031 / 8,00) 1

0,16 + 0,18 + 0,08 1

0,42 1 Verifica!

Page 196: Calculo estrutural

MÓDULO 31 - Apresentação do Elemento Estrutural: Pórticos -

Pórticos

Objetivo do módulo

Apresentar o elemento pórtico, mostrando seu funcionamento, seus elementos, seus carregamentos e os

esforços decorrentes destes carregamentos.

1. Pórticos

D definição

Estrutura linear plana, com cargas coplanares, constituída por barras retas ligadas entre si.

E exemplo

Exemplos de pórticos:

Concreto

Madeira

Aço

Page 197: Calculo estrutural

MÓDULO 31 - Apresentação do Elemento Estrutural: Pórticos -

Evolução da Parede Maciça para o Pórtico

2. Evolução da Parede Maciça para o Pórtico

Para que se entenda o funcionamento dos esforços em um pórtico e consequentemente de um pórtico em si, vamos considerar inicialmente uma parede maciça de material homogêneo, sujeita a forças verticais e horizontais.

O momento M é o resultado do somatório dos momentos das forças P1, P2, P3 e P4 em relação ao CG da parede maciça.

Após a aplicação das forças P1, P2, P3 e P4, surgem as reações RV, RH, RM.

Page 198: Calculo estrutural

RV: reação do solo em relação às cargas verticais. RH: reação do atrito do solo em relação às cargas horizontais. RM: reação da parede em relação ao momento resultante.

Removendo-se a parte central da parede maciça, será formado um elemento estrutural constituído por barras verticais e horizontal. Aplicando neste elemento forças verticais e horizontais como na parede maciça, teremos:

Após a aplicação das forças P1, P2, P3 e P4, surgem as reações RV, RH, RM.

RV: reação do solo e das barras verticais em relação às cargas verticais. RH: reação do atrito do solo e da barra horizontal em relação às cargas horizontais. RM: reação das barras verticais e da barra horizontal

Page 199: Calculo estrutural

em relação ao momento resultante.

MÓDULO 31 - Apresentação do Elemento Estrutural: Pórtico -

Esquema de Carregamentos, Forças e Esforços para um Pórtico

3. Esquema de Carregamentos, Forças e Esforços para um Pórtico

Para cada Barra

Esforço externo (P)

Esforços Internos

Força Normal ( N ) Força Cortante ( V ) Momento Fletor ( M )

Esforços

Tração ou Compressão Cisalhamento Flexão

Tensões

Tensão normal de Tração ou

de Compressão (T ou c )

Tensão de Cisalhamento ( )

Tensão de Flexão (f )

Barra Horizontal

Page 200: Calculo estrutural

Barra Vertical

O observação

A força cortante (V) que tende a cortar a barra vertical tem direção horizontal e a força cortante (V) que tende a cortar a barra horizontal tem direção vertical. Portanto, um mesmo tipo de força tem direções diferentes em um mesmo pórtico. O mesmo raciocínio vale para as forças normais às barras (N).

MÓDULO 31 - Apresentação do Elemento Estrutural: Pórtico - Ligação Viga x Pilar

4. Ligação Viga x Pilar

Para efeito de cálculo, considera-se a ligação entre vigas e pilares de duas maneiras distintas.

A maneira mais usual, utilizada em estruturas comuns (residências, edifícios...), é aquela que foi vista até agora no cálculo das vigas e dos pilares, ou seja, vigas simplesmente apoiadas nos pilares e pilares recebendo cargas verticais. Neste caso as vigas e os pilares atuam de maneira independente.

Vigas

Pilares

Outra maneira considerada no cálculo de estruturas, utilizada em casos especiais (edifícios muito altos sujeitos a ação do vento, galpões industriais, estruturas com grandes vãos, ...), é aquela que considera o pórtico para o cálculo dos esforços nos elementos estruturais. Neste caso há uma interdependência entre vigas e pilares, ou seja, as vigas estão ligadas aos pilares e vice-versa.

Page 201: Calculo estrutural

O tipo de pórtico mais simples possível é aquele em que uma viga horizontal está ligada a dois pilares verticais.

A ligação viga x pilar é, no caso dos pórticos, chamada de nó, sendo que este nó contribui para a estabilidade do pórtico. A ligação pode ser, colada, pregada, parafusada, soldada ou através de uma peça inteira dependendo do tipo de material do pórtico.

Material Concreto Aço Madeira

Conexão

peça inteira peça inteira

parafusada

soldada

colada

pregada

parafusada

Em alguns casos, o travejamento de um pórtico, realizado na maioria das vezes por barras inclinadas, pode ser importante tanto do ponto de vista estático como estético.

MÓDULO 32 - Tipos de Pórtico - Introdução

Objetivo do módulo

Mostrar quais são os tipos de pórticos existentes quanto à geometria e à

estaticidade.

Page 202: Calculo estrutural

1. Introdução

Há diversos tipos de pórtico podendo-se fazer uma divisão em duas categorias distintas:

- Quanto a geometria: pórtico plano (bi-dimensional); pórtico espacial (tri-dimensional).

- Quanto a estaticidade: pórtico hipostático, pórtico isostático, pórtico hiperestático.

O nosso estudo será realizado considerando-se os pórticos isostáticos planos, que são a base para a compreensão de pórticos mais complexos.

MÓDULO 32 - Tipos de Pórtico - Tipos de Pórticos Isostáticos Planos

2. Tipos de Pórticos Isostáticos Planos

Pórtico bi-apoiado

Este tipo de pórtico está sustentado por dois apoios, sendo um deles um apoio fixo e o outro um apoio móvel. Com estes dois apoios o pórtico apresentará 3 (três) reações de apoio (RA, RD e HD) que são as três incógnitas a serem encontradas. Estas três incógnitas podem ser encontradas através da aplicação

das três equações da estática, ou seja, H = 0,

V = 0 e M = 0.

Pórtico engastado e livre

Este tipo de pórtico está sustentado por um único apoio, um apoio engastado. Com este apoio o pórtico apresentará 3 (três) reações de apoio (RA, HA e MA) que são as três incógnitas a serem encontradas. Estas três incógnitas podem ser encontradas através da aplicação

das três equações da estática, ou seja, H = 0,

V = 0 e M = 0.

Page 203: Calculo estrutural

Pórtico tri-articulado

Este tipo de pórtico está sustentado por dois apoios, sendo ambos fixos. Este pórtico apresenta também uma articulação em uma de suas barras onde o momento é nulo (ponto C). Com estes dois apoios o pórtico apresentará 4 (quatro) reações de apoio (RA, HE, RE e HE) que são as quatro incógnitas a serem encontradas. Estas quatro incógnitas não podem ser encontradas somente com a aplicação das três

equações da estática, ou seja, H = 0, V = 0

e M = 0. Além destas há a necessidade de

uma outra equação que, neste caso, leva em consideração a articulação presente em uma das barras. Sabe-se que na articulação o

momento é nulo, portanto: Marticulação = 0,

completando assim a quarta equação necessária para o cálculo das quatro reações de apoio.

MÓDULO 33 - Verificação da Estabilidade em Pórtico - Revisão

Objetivo do módulo

Apresentar como deve ser realizada a verificação da estabilidade em um

pórtico considerando-se os esforços normais, de flexão e de cisalhamento

nos seus diversos elementos constituintes.

1. Revisão

Para que uma estrutura qualquer seja estável, a seguinte inequação, válida para qualquer tipo de esforço, deve ser verificada:

Tensão admissível Tensão

máxima . 1,4

A tensão admissível é uma característica do material, ou seja, cada material tem a sua tensão admissível para cada tipo de esforço.

A tensão máxima é uma relação entre o esforço interno máximo que dá origem a esta tensão e uma característica geométrica da seção transversal (área, momento de inércia, momento estático, etc.).

O esforço interno máximo é obtido através do cálculo e desenho dos diagramas dos respectivos esforços.

Para que seja possível o cálculo dos diagramas é necessário que se faça previamente o cálculo das reações de apoio da estrutura em questão.

Page 204: Calculo estrutural

Resumindo

dados o carregamento e a geometria, calcula-se as reações de apoio;

com as reações de apoio, faz-se o cálculo e desenho dos diagramas;

com os diagramas, obtém-se os esforços internos máximos;

a partir dos esforços internos máximos e com a geometria da seção transversal, calcula-se a tensão máxima;

uma vez obtida a tensão máxima, faz-se a comparação com a tensão admissível (que é uma característica do material), levando-se em consideração também o coeficiente de segurança através da seguinte inequação:

Tensão admissível Tensão

máxima . 1,4

Se a inequação for verificada, a estrutura é estável.

MÓDULO 33 - Verificação da Estabilidade em Pórtico - Verificação da Estabilidade - Pórticos

2. Verificação da Estabilidade - Pórticos

Nos pórticos, deve ser feita a verificação da estabilidade, para cada barra, dos seguintes esforços: Força Normal (N), Força Cortante (V) e Momento Fletor (M). Ou seja, para que um pórtico seja estável, todas as barras devem ser estáveis em relação aos três esforços (Normal, Cisalhamneto, Flexão).

A flexão verifica-se pela inequação:

Sendo:

f max = Mmax . ysup ou inf / ILN

Onde:

: tensão de flexão admissível do material do qual a barra é constituída

f max: máxima tensão de flexão a que a barra é submetida

Mmax: momento fletor máximo atuando sobre a barra ysup ou inf: distância da LN à fibra mais tracionada ou mais comprimida

ILN: momento de inércia em relação à Linha Neutra

O cisalhamento verifica-se pela inequação:

Page 205: Calculo estrutural

Sendo:

max = Vmax . QLN / (ZLN.ILN)

Onde:

: tensão de cisalhamento admissível do material do qual a barra é constituída

max: máxima tensão de cisalhamento a que a barra é submetida

Vmax: força cortante máxima atuando sobre a barra QLN: momento estático da seção transversal em relação à Linha Neutra

ZLN: largura da seção transversal na fibra da Linha Neutra ILN: momento de inércia em relação à Linha Neutra

O esforço normal verifica-se pela inequação:

Para barras comprimidas:

ou

Sendo:

c max = Ncmax / A

Onde:

: tensão de compressão admissível do material do qual a barra é constituída

cmax: máxima tensão de compressão a que a barra é submetida

: tensão crítica admissível do material e da seção transversal da barra

: índice de esbeltez da barra

lim: índice de esbeltez limite

Ncmax: força normal máxima de compressão atuando sobre a barra A: área da seção transversal

Para barras tracionadas:

Sendo:

t max = Ntmax / A

Onde:

Page 206: Calculo estrutural

: tensão de tração admissível do material do qual a barra é constituída

tmax: máxima tensão de tração a que a barra é submetida

Ntmax: força normal máxima de tração atuando sobre a barra A: área da seção transversal

! importante

Deve-se fazer as três verificações para cada barra separadamente.

MÓDULO 33 - Verificação da Estabilidade em Pórtico - Convenções

3. Convenções

Para a obtenção dos máximos esforços (Nmax, Vmax, Mmax) em cada barra, é necessária a adoção de uma convenção de sinais para o cálculo e para o desenho dos diagramas destes esforços.

Cálculo:

seção em barra horizontal (convenção positiva)

seção em barra vertical (convenção positiva)

olhando as cargas à esquerda da seção

olhando as cargas à direita da seção

olhando as cargas abaixo

da seção

olhando as cargas acima da

seção

O observação

Diferença entre força cortante e força normal à seção transversal: A força cortante (V) é perpendicular à direção da barra, com a tendência de cortar esta barra. A força normal à seção transversal (N) tem a mesma direção da barra, sendo normal

Page 207: Calculo estrutural

ao plano da seção transversal desta barra.

Desenho

para barras horizontais para barras verticais

Para obtenção do Momento Fletor (M), Força Cortante (V) e Força Normal (N) em um pórtico, é necessário o cálculo destes esforços em alguns pontos significativos. Estes pontos são:

Nós do pórticos (seção na barra vertical e seção na barra horizontal); Pontos de aplicação da cargas concentradas (seção imediatamente à esquerda e à

direita ou abaixo e acima, dependendo da direção da barra); Início e fim de cargas distribuidas.

MÓDULO 34 - Verificação da Estabilidade em Pórtico - Exemplos

Exemplo 1

Objetivo do módulo

Exemplificar alguns pórticos fazendo a sua verificação da estabilidade.

1. Exemplo 1

Cálculo dos diagramas de momento fletor, força cortante e força normal à seção transversal de um pórtico.

Page 208: Calculo estrutural

Resolução:

Reações de apoio:

Cálculo da reação de apoio RB

O somatório dos momentos em relação ao ponto A é igual a zero.

(sentido horário é positivo)

MA = MFE+ MFC + MRB = 0

MA = 25.2 - 15.1 - RB.5 = 0

Logo: RB = 7kN

Cálculo da reação de apoio RA

O somatório das forças verticais é igual a zero.

(de cima para baixo é positivo)

V = FE+RA+RB

= 0

V = 25 - RA - 7

= 0

Logo: RA = 18kN

Cálculo da força horizontal HA

Page 209: Calculo estrutural

O somatorio das forças horizontais é igual a zero.

(da esquerda para direita é positivo)

H = HA

+ FC

H = HA

- 15 = 0

Logo: HA = 15kN

Momentos Fletores (M), Forças Cortantes (V) e Forças Normais (N)

M, V e N no ponto A (fazendo uma seção no ponto A e olhando as cargas abaixo desta seção)

MA = 0

Não tem força que provoca momento em relação a este ponto

VA = -15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VA = -HA

NA = -18

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NA = -RA

M, V e N no ponto Dab

(fazendo uma seção abaixo do ponto D e olhando as cargas abaixo desta seção)

MDab

= -15.3 = -45

Momento em relação ao ponto D

Page 210: Calculo estrutural

VDab

= -15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VDab

= -HA

NDab

= -18

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NDab

= -RA

M, V e N no ponto Ddir

(fazendo uma seção à direita do ponto D e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MDdir

= -15.3 = -45

Momento em relação ao ponto D olhando as cargas à esquerda

VDd

ir =

18

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VDdir

= RA

NDd

ir =

-15

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NDdir

= -HA

Page 211: Calculo estrutural

M, V e N no ponto Eesq

(fazendo uma seção à esquerda do ponto E e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MEe

sq =

18.2-15.3 = -9

Momento em relação ao ponto E olhando as cargas à esquerda

VEe

sq =

18

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VEesq

= RA

NEe

sq =

-15

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NEesq

= -HA

M, V e N no ponto Edir

(fazendo uma seção à direita do ponto E e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MEd

ir =

18.2-15.3 = -9

Momento em relação ao ponto E olhando as cargas à esquerda

MEdir

= MRA + MHA

VEdi

Em

Page 212: Calculo estrutural

r = 18-25 = -7

relação a RA: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

Em relação a FE: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VEdir

= RA - FE

NEdi

r = -15

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NEdir

= -HA

M, V e N no ponto Fesq

(fazendo uma seção à esquerda do ponto F e olhando as cargas à direita desta seção)

MFesq

= -15.2 = -30

Momento em relação ao ponto F olhando as cargas à esquerda

VFesq

= -7

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VFesq

= -RB

NFesq

= -15

A força é normal à seção

Page 213: Calculo estrutural

transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NFesq

= -FC

M, V e N no ponto Fab

(fazendo uma seção abaixo do ponto F e olhando as cargas abaixo desta seção)

MFab

= 15.2 = 30

Momento em relação ao ponto F

VFab

= 15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VFab

= FC

NFab

= -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NFab

= -RB

M, V e N no ponto Cac

(fazendo uma seção acima do ponto C e olhando as cargas abaixo desta seção)

MCac

= 0 ---

VCac

= 15

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VCac

= FC

NCac

= -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NCac

= -RB

M, V e N no ponto Cab

(fazendo uma seção abaixo do ponto C e olhando as cargas abaixo desta seção)

MCab

= 0 ---

Page 214: Calculo estrutural

VCab

= 0 ---

NCab

= -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NCac

= -RB

M, V e N no ponto B (fazendo uma seção no ponto B e olhando as cargas abaixo desta seção)

MB = 0 ---

VB = 0 ---

NB = -7

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NB = -RB

Quadro Resumo

Ponto M (kN.m) V (kN) N(kN)

A 0 -15 -18

D abaixo -45 -15 -18

direita -45 18 -15

E esquerda -9 18 -15

direita -9 -7 -15

F esquerda -30 -7 -15

abaixo 30 15 -7

C acima 0 15 -7

abaixo 0 0 -7

B 0 0 -7

Diagramas

Diagrama de momentos fletores

Page 215: Calculo estrutural

Diagrama de forças cortantes

Diagrama de forças normais

O observação

Com estes resultados pode-se observar a diferença entre o cálculo de maneira simplificada e o cálculo através do pórtico.

Considerando-se a viga:

M

Simplificada

Page 216: Calculo estrutural

Pórtico

V

Simplificada

Pórtico

N

Simplificada

Pórtico

MÓDULO 34 - Verificação da Estabilidade em Pórtico - Exemplos Exemplo 2

2. Exemplo 2

Cálculo e desenho dos diagramas de momento fletor, força cortante e força normal à seção transversal do pórtico a seguir:

Page 217: Calculo estrutural

Resolução:

Reações de apoio:

Cálculo da reação de apoio RA

MB = 0 (sentido horário é positivo)

FC.2- FF.2+RA.6-q.d.(d/2)=0 30.2-10.2+RA.6-12.6.3 = 0

Logo: RA = 29,33kN

Cálculo da reação de apoio RB

V = 0 (de baixo para cima é positivo)

RA+RB-q.d=0 29,33+RB-12.6 = 0

Logo: RB = 42,67kN

Cálculo da força horizontal HB

H = 0 (da esquerda para direita é positivo)

- HB-FF+FC=0 -HB-10+30 = 0

Logo: HB = 20kN

Momentos Fletores (M), Forças Cortantes (V) e Forças Normais (N)

M, V e N no ponto A (fazendo uma seção no ponto A e olhando as cargas abaixo desta seção)

MA = 0 ---

Page 218: Calculo estrutural

VA = 0 ---

NA = - 29,33

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NA = -RA

M, V e N no ponto Cab

(fazendo uma seção abaixo do ponto C e olhando as cargas abaixo desta seção)

MCab

= 0 ---

VCab

= 0 ---

NCab

= - 29,33

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NCab

= -RA

M, V e N no ponto Cac

(fazendo uma seção acima do ponto C e olhando as cargas abaixo desta seção)

MCac

= 0

---

VCac

= - 30

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VCac

= -FC

NCac

= - 29,33

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NCac

= -RA

M, V e N no ponto Dab

(fazendo uma seção abaixo do ponto D e olhando as cargas abaixo desta seção)

MDab

= - 30.2 = - 60

Momento em relação ao ponto D

VDab

= - 30

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VDab

= - FC

Page 219: Calculo estrutural

NDab

= - 29,33

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NDab

= - RA

M, V e N no ponto Ddir

(fazendo uma seção à direita do ponto D e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MDdir

= - 30.2 = - 60

Momento em relação ao ponto D

VDdir

= 29,33

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VDdir

= RA

NDdir

= - 30

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NDdir

= - FC

M, V e N no ponto Eesq

(fazendo uma seção à esquerda do ponto E e olhando as cargas à direita desta seção)

MEesq

= - 10.2 - 20.4 = -100

Momento em relação ao ponto E

VEesq

= - 42,67

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VEab

= - RB

NEesq

= -10-20= -30

FF e HB são forças normais à seção transversal na mesma direção da barra no sentido negativo

NEesq

= -FF-HB

M, V e N no ponto Eab

(fazendo uma seção abaixo do ponto E e olhando as cargas abaixo desta seção)

Page 220: Calculo estrutural

MEab

= 10.2 + 20.4 = 100

Momento em relação ao ponto E

VEab

= 10 + 20 = 30

FF e HB são forças cortantes perpendiculares a direção da barra e no sentido positivo

VEab

= FF+HB

NEab

= -42,67

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NEab

= -RB

M, V e N no ponto Fac

(fazendo uma seção acima do ponto F e olhando as cargas abaixo desta seção)

MFac

= 20.2 = 40

Momento em relação ao ponto F

VFac

= 10 + 20 = 30

FF e HB são forças cortantes perpendiculares a direção da barra e no sentido positivo

VFac

= FF+HB

NFac

= -42,67

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NFac

= -RB

M, V e N no ponto Fab

(fazendo uma seção abaixo do ponto F e olhando as cargas abaixo desta seção)

MFab

= 20.2 Momento em relação ao

Page 221: Calculo estrutural

M, V e N no ponto B (fazendo uma seção no ponto B e olhando as cargas abaixo desta seção)

MB = 0 ---

VB = 20

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VB = HB

NB = -42,67

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NB = -RB

Quadro Resumo

Ponto M (kN.m) V (kN) N(kN)

A 0 0 -29,33

C abaixo 0 0 -29,33

acima 0 -30 -29,33

D abaixo -60 -30 -29,33

direita -60 29,33 -30

E esquerda -100 -42,67 -30

abaixo 100 30 -42,67

F acima 40 30 -42,67

abaixo 40 20 -42,67

B 0 20 -42,67

Diagramas

Diagrama de momentos fletores

= 40 ponto F

VFab

= 20

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VFab

= HB

NFab

= -42,67

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NFab

= -RB

Page 222: Calculo estrutural

O observação

O sentido da carga "empurra a barriga" da parábola.

Diagrama de forças cortantes

Diagrama de forças normais

Page 223: Calculo estrutural

MÓDULO 34 - Verificação da Estabilidade em Pórtico - Exemplos Exemplo 3

3. Exemplo 3

Cálculo e desenho dos diagramas de momento fletor, força cortante e força normal à seção transversal do pórtico a seguir:

Resolução:

Reações de apoio:

Cálculo da reação de apoio RF em relação ao ponto G

MG = 0 (sentido horário é positivo)

RF.(1+2+1,5)+q.d.(d/2)-FB.(2+1,5)-FC.1,5+FE.1=0 RF.4,5+8.3.1,5-12.3,5-25.1,5+20.1 = 0

Logo: RF = 5,22kN

Cálculo da reação de apoio RG

V = 0 (de baixo para cima é positivo)

RF+RG-FB-FC-FE =0 5,22+RG-12-25-20 = 0

Logo: RG = 51,78kN

Cálculo da força horizontal HG

H = 0 (da esquerda para direita é positivo)

-HG+q.d=0 -HG+8.3 = 0

Logo: HG = 24kN

Page 224: Calculo estrutural

Momentos Fletores (M), Forças Cortantes (V) e Forças Normais (N)

M, V e N no ponto F (fazendo uma seção no ponto F e olhando as cargas abaixo desta seção)

MF = 0 ---

VF = 0 ---

NF = - -5,22

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NF = -RF

M, V e N no ponto Aab

(fazendo uma seção abaixo do ponto A e olhando as cargas abaixo desta seção)

MAab

= -8.3.1,5= -36

Momento em relação ao ponto A

MAab

= -q.d.(d/2)

VAab

= -8.3= -24

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VAab

= -q.d

NAab

= -5,22

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NAab

= -RF

M, V e N no ponto Adir

(fazendo uma seção à direita do ponto A e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MAdir

= -8.3.1,5 = -36

Momento em relação ao ponto A

Page 225: Calculo estrutural

MAdir

= -q.d.(d/2)

VAdir

= 5,22

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VAdir

= RF

NAdir

= -8.3 = -24

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NAdir

= -q.d

M, V e N no ponto Besq

(fazendo uma seção à esquerda do ponto B e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MBesq

= -8.3.1,5+5,22.1 = -30,78

Momento em relação ao ponto B

VBesq

= 5,22

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VBesq

= RF

NBesq

= -8.3 = -24

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NBesq

= - q.d

M, V e N no ponto Bdir

(fazendo uma seção à direita do ponto B e olhando as cargas à esquerda desta seção)

MBdir

= -8.3.1,5+5,22.1 = -30,78

Momento em relação ao

Page 226: Calculo estrutural

ponto B

MBdir

= -q.d.(d/2)+RF

VBdir

= 5,22-12 = -6,78

RF: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

FB: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VBdir

= RF-FB

NBdir

= -8.3 = -24

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NBdir

= - q.d

M, V e N no ponto Cesq

(fazendo uma seção à esquerda do ponto C e olhando as cargas à direita desta seção)

MCesq

= -20.2,5 -24.3 +51,78.1,5 = -44,33

Momento em relação ao ponto C

VCesq

= 25+20-51,78 = -6,78

FC e FE são forças cortantes perpendiculares a direção da barra e no sentido positivo

RG: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VCesq

= FC+FE-RG

Page 227: Calculo estrutural

NCesq

= -24

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

VCesq

= - HG

M, V e N no ponto Cdir

(fazendo uma seção à direita do ponto C e olhando as cargas à direita desta seção)

MCdir

= -20.2,5-24.3+51,78.1,5 = -44,33

Momento em relação ao ponto C

VCdir

= 20-51,78 = -31,78

FE: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

RG: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VCdir

= FE-RG

NCdir

= -24

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NCdir

= - HG

M, V e N no ponto Desq

(fazendo uma seção à esquerda do ponto De olhando as cargas à direita desta seção)

MDesq

= -20.1-24.3 = -92

Momento em relação ao ponto D

VDesq

= 20-51,78

FE: força cortante perpendicular

Page 228: Calculo estrutural

= -31,78

a direção da barra e no sentido positivo

RG: força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido negativo

VDesq

= FE-RG

NDesq

= -24

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NDesq

= -HG

M, V e N no ponto Ddir

(fazendo uma seção à direita do ponto D e olhando as cargas à direita desta seção)

MDdir

= -20.1 = -20

Momento em relação ao ponto D

VDdir

= 20

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VDdir

= FE

NDdir

= 0

---

M, V e N no ponto E (fazendo uma seção à esquerda do ponto E e olhando as cargas à direita desta seção)

ME = 0

---

VE = 20

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VE = FE

Page 229: Calculo estrutural

NE = 0

---

M, V e N no ponto Dab

(fazendo uma seção abaixo do ponto D e olhando as cargas abaixo desta seção)

590

M, V e N no ponto G (fazendo uma seção no ponto G e olhando as cargas abaixo desta seção)

MG = 0 ---

VG = 24

Força cortante perpendicular a direção da barra e no sentido positivo

VG = HG

NG = -51,78

A força é normal à seção transversal na mesma direção da barra e no sentido negativo

NG = -RG

Quadro Resumo

Ponto M (kN.m) V (kN) N(kN)

F 0 0 -5,22

A abaixo -36 -24 -5,22

direita -36 5,22 -24

B esquerda -30,78 5,22 -24

direita -30,78 -6,78 -24

C esquerda -44,33 -6,78 -24

direita -44,33 -31,78 -24

D

esquerda -92 -31,78 -24

direita -20 20 0

abaixo 72 24 -51,78

E 0 20 0

G 0 24 -51,78

Diagramas

Diagrama de momentos fletores

Page 230: Calculo estrutural

Diagrama de forças cortantes

Diagrama de forças normais

MÓDULO 34 - Verificação da Estabilidade em Pórtico - Exemplos Exemplo 4

4. Exemplo 4

Verificaçaõ da estabilidade do pórtico abaixo:

Page 231: Calculo estrutural

Dados:

índice de esbeltez limite: lim = 40

módulo de elasticidade: E = 12000 kN/cm2

condição de extremidade das barras:

tensões admissíveis:

= 1,10 kN/cm2

= 0,70 kN/cm2

= 0,10 kN/cm2

Barra Horizontal:

Flexão:

f max = Mmax . y / ILN

onde:

Mmax = 92kN.m y = 60 / 2 = 30cm ILN = 25.60

3 / 12 = 450000cm

4

f max = 92.100.30 / 450000 = 0,61kNcm2

Verificação:

Page 232: Calculo estrutural

1,10 0,61.1,4

1,10 0,86 VERIFICA

Cisalhamento:

max = Vmax . QLN / (ZLN.ILN)

onde:

Vmax = 31,8kN.m QLN = 25.30.15 = 11250cm

3

ZLN = 25cm ILN = 25.60

3 / 12 = 450000cm

4

max = 31,8.11250 / (25.450000) = 0,03kN/cm2

Verificação:

0,10 0,03.1,4

0,10 0,04 VERIFICA

Esforço Normal

O observação

Apesar da barra ser horizontal ela pode sofrer o efeito da flambagem, se há força normal, pode haver flambagem.

= Le / rmin

onde:

Le = 0,50.450 = 225cm

= 225 / 7,22 = 31,16

.(31,16) min.(40) sem flambagem

c max = Ncmax / A

onde:

Ncmax = 24kN A = 25.60 = 1500cm

2

c max = 24 / 1500

Page 233: Calculo estrutural

c max = 0,02kN/cm2

Verificação:

0,70 0,02.1,4

0,70 0,03 VERIFICA

Barra Vertical Esquerda:

Flexão:

f max = Mmax . y / ILN

onde:

Mmax = 36kN.m y = 40 / 2 = 30cm ILN = 25.40

3 / 12 = 133333,33cm

4

f max = 36.100.20 / 133333,33 = 0,61kNcm2

Verificação:

1,10 0,54.1,4

1,10 0,76 VERIFICA

Cisalhamento:

max = Vmax . QLN / (ZLN.ILN)

onde:

Vmax = 24kN.m QLN = 25.20.10 = 5000cm

3

ZLN = b ILN = 25.60

3 / 12 = 133333,33cm

4

max = 24.5000 / (25.133333) = 0,04kN/cm2

Verificação:

0,10 0,04.1,4

0,10 0,05 VERIFICA

Page 234: Calculo estrutural

Esforço normal:

= Le / rmin

onde:

Le = 0,6667.300 = 200cm

= 200 / 7,22 = 27,70

.(27,7)min.(40) sem flambagem

c max = Ncmax / A

onde:

Ncmax = 5,2kN A = 25.40 = 1000cm

2

c max = 5,2 / 1000

c max = 0,005kN/cm2

Verificação:

0,70 0,005.1,4

0,70 0,07 VERIFICA

Barra Vertical Direita:

Flexão:

f max = Mmax . y / ILN

onde:

Mmax = 72kN.m y = 50 / 2 = 25cm ILN = 25.50

3 / 12 = 260416,67cm

4

f max = 72.100.25 / 260416,67 = 0,69kNcm2

Verificação:

1,10 0,69.1,4

Page 235: Calculo estrutural

1,10 0,97 VERIFICA

Cisalhamento:

max = Vmax . QLN / (ZLN.ILN)

onde:

Vmax = 24kN.m QLN = 25.25.12,5 = 7812,50cm

3

ZLN = 25cm ILN = 25.60

3 / 12 = 260416,67cm

4

max = 24.7812,50 / (25.260416,67) = 0,03kN/cm2

Verificação:

0,10 0,03.1,4

0,10 0,04 VERIFICA

Esforço normal:

= Le / rmin

onde:

Le = 0,6667.300 = 200cm

= 200 / 7,22 = 27,70

.(27,7)

min.(40)

sem flambagem

c max = Ncmax /

A

onde:

Ncmax = 51,80kN A = 25.50 = 1250cm

2

c max = 51,8 / 1250

c max = 0,04kN/cm2

Verificação:

Page 236: Calculo estrutural

0,70 0,04.1,4

0,70 0,06 VERIFICA

C conclusão

Como todas as conclusões se verificaram, o pórtico é estável.

MÓDULO 35 - Introdução ao elemento estrutural Arco - Introdução

Objetivo do módulo

Definir e caracterizar o elemento estrutural Arco e apresentar um

histórico da evolução deste elemento através dos tempos.

1. Introdução

D definição

O que faz de uma estrutura um Arco é a sua forma curva, sendo que a parte central é mais alta do que as extremidades.

A forma da curva que define o Arco é função de uma série de fatores tais como: tipo de material a ser utilizado, disponibilidade deste material, esforços atuantes, entre outros.

Vale ressaltar que existem vários tipos de arco que podem ser escolhidos de acordo com o que se pretende tanto estática quanto esteticamente. Por exemplo, um carregamento permanente atuando em uma arco define uma forma ideal chamada dita funicular, mas esta forma pode ser alterada por razões arquitetônicas ou funcionais.

Page 237: Calculo estrutural

Dizem os mais sensíveis que o arco é um elemento estrutural "charmoso" e que seria impossível a construção de uma arco "feio". Dizem também que o arco é tão bonito aos olhos que algumas pessoas constroem arcos "artificiais" que, do ponto de vista estrutural, não necessitariam funcionar como tal.

MÓDULO 35 - Introdução ao elemento estrutural Arco - Histórico

2. Histórico

Page 238: Calculo estrutural

Apesar do Império Romano ter se desintegrado e desaparecido, algumas de suas idéias permaneceram. Um exemplo que pode ser citado é o sistema de números romanos (I, V, X, L, C, D, M) que ainda hoje é utilizado ainda que em ocasiões especiais.

Outro elemento da civilização romana que permanece durável até os dias de hoje são suas construções - especialmente aquelas que se utilizam do elemento estrutural "arco". Por onde quer que os romanos tenham passado eles deixaram sua marca levando consigo os seus métodos construtivos.

Não foram somente os romanos os responsáveis pela disseminação de suas idéias. Os normandos quando de sua ida para a Inglaterra levaram algumas das idéias romanas, o que pode ser comprovado em algumas catedrais inglesas onde se vêem arcos de pedra de forma semi-circular que eram muito utilizados pelos romanos.

Também na Europa se iniciou a utilização de arcos, só que desta feita os arcos tinham outra forma. Eram arcos chamados góticos que tinham a forma de ponta ou ogiva. Uma prova da evolução da utilização dos arcos é que pode-se notar em algumas cidades européias uma mistura entre os arcos semi-circulares (romanos) e os arcos de ponta (góticos).

A partir da Idade Média os arcos, devido a sua grande capacidade para suportar grandes vãos, começaram a aparecer em edificações mais ousadas, permitindo a construção de edifícios altos com grandes aberturas nas paredes.

Além da influência que os romanos exerceram nas construções européias, houve também, ainda que em menor intensidade, uma influência islâmica. Uma diferença bastante clara entre as edificações islâmicas e as cristãs é que as primeiras se utilizavam em grande quantidade de modelos simétricos conforme mostram as figuras a seguir.

Page 239: Calculo estrutural

Nem todas as culturas tiraram proveito do elemento estrutural arco que é uma ótima resposta para aqueles que não querem ficar limitados às fraquezas da pedra e do tijolo que não resistem ao esforço de tração e estão disponíveis sempre em pequenos pedaços dificultando assim sua utilização. Os gregos, por exemplo, ainda que possuindo grandes conhecimentos matemáticos, parecem ter ignorado o arco. Também nos templos mais ao leste como no Japão, vê-se muito mais vigas do que arcos.

MÓDULO 36 - Tipos de Arcos, Esforços Atuantes e Funcionamento - 1. Tipos de Arcos

Objetivo do módulo

Mostrar aos alunos os tipos de arcos existentes, quais os esforços atuantes

nestes arcos e como estes esforços funcionam.

1. Tipos de Arcos

A composição de uma série de fatores influi na escolha do tipo do arco. Alguns deles influem na escolha do material a ser utilizado, outros influem na escolha da forma a ser utilizada, etc.

Estes fatores podem ser: o carregamento ao qual está submetido a estrutura, a composição de carregamentos permanentes e acidentais pode alterar o dimensionamento dos arcos; o vão a ser vencido pelo arco também pode alterar a sua forma ou até mesmo a material a ser utilizado; a disponibilidade de material deve igualmente ser considerada quando do projeto de um arco.

Os principais tipos de arco são:

Arco semi-circular: conhecido também como arco romano, é um arco bi-apoiado e não é aconselhável para grandes vãos uma vez que a relação entre a largura e a altura (2 : 1) o torna inviável).

Page 240: Calculo estrutural

Arco elíptico: pode ter dois ou mais apoios, tendo condições de ser utilizado tanto para pequenos vãos (arco elíptico estreito) como para grandes vãos (arco elíptico largo).

largo estreito

Arco parabólico: o arco parabólico é um dos mais adequados do ponto de vista estrutural, pois têm a mesma forma parabólica do diagrama de momentos fletores o que faz com que as tensões de flexão sejam eliminadas.

Arco hipebólico: talvez por ter a forma de uma hipérbole que é relativamente difícil de ser construída este tipo de arco não é usualmente encontrado.

Arco "Moorish" ou "cebola": este tipo de arco pode ser considerado um arco tri-dimensional composto por grandes arcos de vários círculos.

Page 241: Calculo estrutural

Arco gótico: são os arcos em forma de ponta ou ogiva bastante comum nas grandes catedrais européias. A razão desta forma de arco é essencialmente religiosa, pois acreditava-se que se houvesse algo apontando para Deus (a ponta ou ogiva) conseguir-se-ia atingi-lo mais facilmente.

MÓDULO 36 - Tipos de Arcos, Esforços Atuantes e Funcionamento - Esforços / Funcionamento

2. Esforços / Funcionamento

A primeira coisa que deve vir a mente quando se vê um arco é que ele é um elemento que funciona principalmente ao esforço de compressão.

Podem existir carregamentos que não correspondam ao perfil definido para o arco, ou seja, carregamentos que não causem somente esforços de compressão. Este tipo de carregamento, que faz com que surjam esforços internos (força cortante e momento fletor) é chamado de carregamento não balanceado. Portanto, quando houver este tipo de carregamento atuando em um arco, este deve ser projetado para resistir, além dos esforços de compressão, aqueles de flexão e de cisalhamento.

Outro fator de bastante importância no funcionamento de um pórtico é o que respeito aos apoios.

Para se entender este tipo de problema, uma experiência pode ser realizada:

Corte um pedaço de cartolina com aproximadamente 2,5 x 3,0 cm flexione-a levemente de tal modo que forme uma curva. Coloque a cartolina sobre uma mesa de maneira que ela lembre um arco. O que acontece nas extremidades da cartolina?

Page 242: Calculo estrutural

Depois disso coloque uma pilha de livros em cada lado do arco. Pressione novamente. O que acontece agora?

Observe que as pilhas de livros trabalham como os apoios de um arco impedindo que este se "abra".

As reações que aparecem nos apoios são provenientes do carregamento e da forma dos arcos.

Quanto mais alto o arco, maior o vão, maior o peso e consequentemente maior as reações de apoio.

O solo no qual estiver se apoiando um arco deve ser estável suficiente para suportar tanto as reações verticais quanto as horizontais. As reações horizontais podem causar até mesmo um esforço de tração na base para determinados tipos de arcos. Uma ação que pode ser realizada para

Page 243: Calculo estrutural

minorar este problema é o atirantamento do arco, ou seja, ligar as extremidades dos arcos através de um material resistente à tração.

C conclusão

Pode-se concluir através da análise realizada para os pórticos até aqui que este elemento é bastante útil para se atravessar tanto grandes vãos quanto pequenos vãos. Por exemplo, utiliza-se o arco para atravessar grandes rios ou estradas como também para servir de soleira de portas e janelas.

MÓDULO 37 - Materiais - Materiais

Objetivo do módulo

Apresentar os materiais que podem constituir os mais variados tipos de arcos.

1. Materiais

Os mais variados tipos de materiais podem ser utilizados no projeto de um arco. Os materiais inclusive podem ser determinantes no funcionamento do arco, tanto do ponto de vista estático como estético.

Os romanos se utilizavam bastante da pedra, pois além de resistirem bastante ao esforço de compressão, podem estar disponíveis em pequenos blocos facilitando assim o seu manuseio e a construção do arco. Um dos exemplos mais famosos de seu trabalho é o aqueduto "Pont du Guard" próximo a Nimes., França. Ele se mantem estável com a utilização de argamassa unindo as pedras da primeira fila logo no topo e a partir de seu próprio peso a partir desta.

Na utilização do aço como material para a construção do arco também é conveniente a utilização de blocos seccionados. Neste caso deve-se ter uma atenção especial com as ligações entre os blocos, podendo ser soldadas, parafusadas ou rebitadas. Já um arco em concreto deve ser construído de maneira única, pois a concretagem deve ser executada ao mesmo tempo para todo o comprimento do

Page 244: Calculo estrutural

arco.

Atualmente os materiais mais utilizados na construção de arcos são o aço e o concreto protendido, pois estes oferecem maiores possibilidades para que se utilizem arcos com maiores vãos e também mais elegantes.

MÓDULO 38 - Projeto - Projeto

Objetivo do módulo

Introduzir as principais características que devem ser levadas em

consideração quando do projeto de um arco.

1. Projeto

O projeto de um arco deve levar em consideração vários fatores, entre os quais: altura do arco, carregamentos atuantes sobre ele, reações resultantes destes carregamentos, esforços também decorrentes dos carregamentos, escolha do material mais adequado, relação entre forma e função entre outros.

No que respeito a altura, esta depende de uma série de itens tais como: o espaço livre necessário sob o arco, o vão a ser vencido, as condições de apoio nas extremidades.

Um detalhe importante a ser considerado na relação entre altura do arco e reação horizontal é que quanto mais alto é o arco, menor a sua reação horizontal nas extremidades. Portanto, pode-se chegar a uma altura tal que as reações horizontais sejam nulas contribuindo assim para o dimensionamento do arco como um todo.

No que diz respeito às reações verticais, qualquer que seja a altura de um arco, para um mesmo vão e para o mesmo carregamento, estas serão as mesmas. As reações verticais do arco terão o mesmo valor das reações de apoio de uma viga substituindo este arco. Conforme já foi visto, somente as reações horizontais se alteram quando se altera a altura de um arco.

A forma de um arco, principalmente para o caso de pontes e viadutos, é definida para uma carga correspondente ao carregamento permanente atuando isoladamente, sem consideração do carregamento acidental. Além disso, as dimensões de um arco são projetadas para suportar esforços de compressão, flexão e cisalhamento.

Page 245: Calculo estrutural

Apesar de serem considerados os esforços de flexão e de cisalhamento quando do projeto de um arco, deve-se levar em conta que, quando está sujeito aos vários carregamentos, cada pedaço de um arco está sujeito principalmente ao esforço de compressão devendo ser, consequentemente, projetado com materiais que resistam bem a este tipo de esforço.

Para cada situação de carregamento, há uma linha que faz com que o arco esteja todo comprimido. Esta linha é chamada "linha da carga" podendo ser encontrada com a repetição do carregamento aplicado no arco sobre uma corda. A forma que a corda adquire deve ser a forma do arco prevenindo contra o aparecimento de esforçso indesejáveis em qualquer ponto de um arco e a conseqüente possibilidade de aparecimento de fissuras. Este processo foi criado pelo arquiteto catalão Antônio Gaudi (1852 - 1926).

Já foi visto que a forma parabólica á a ideal para um arco pois faz com que a linha de carga esteja localizada no meio da seção transversal causando somente esforços de compressão.

Para outras formas que não a parabólica, o indicativo de que o arco funciona bem ou não, é a posição da linha de carga. O arco é "bom" (só haverá esforço de compressão), se a linha de carga estiver localizada no terço médio da seção transversal.

Para outros arcos em que a linha de carga está situada fora do terço médio da seção transversal, surgirá, além do esforço de compressão, esforços de flexão e de cisalhamento. Este fator não é problemático para arcos de concreto ou de aço pois estes materiais resistem bem a estes esforços. Porém, os arcos construídos em pedra, que apesar de ser muito resistente ao esforço de compressão, não resiste ao esforço de flexão. O fato da linha de carga estar fora do terço médio, por certo acarretará em muitos problemas, causando, possivelmente, uma instabilidade no arco.

MÓDULO 39 - Diferenças entre Arcos e Pórticos - Forma

Objetivo do módulo

Apresentar as principais diferenças entre os dois elementos estruturais

Page 246: Calculo estrutural

entre eles a forma, os esforços atuantes, as reações de apoio.

1. Forma

Pode-se considerar, a menos de carregamentos horizontais, a barra horizontal de um pórtico como sendo um arco de altura igual a zero, consequentemente resultando em um pórtico com reações horizontais iguais a zero já que quanto menor a altura de um arco menores as reações de apoio horizontais.

MÓDULO 39 - Diferenças entre Arcos e Pórticos - Esforços

2. Esforços

No arco, que é uma estrutura composta de uma única barra, o principal tipo de esforço é o esforço de compressão, podendo ainda surgir esforços de flexão e de cisalhamento conforme já foi visto nos módulos anteriores.

O pórtico é uma estrutura composta por uma associação de barras, na maioria das vezes retilíneas, que podem sofrer esforços de compressão (podendo até mesmo estar sujeitas ao efeito da flambagem), esforços de tração, esforços de flexão e esforços de cisalhamento. A distribuição destes esforços e a sua magnitude dentro de um pórtico variam conforme a posição das barras e dos carregamentos.