Profª Msc. Débora de Oliveira Bastos

Matemática I – Cálculo IFRS – Campus Rio Grande

IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

Cálculo I – Matemática I para Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização.

1

DISCIPLINA CARÁTER CÓDIGO

MATEMÁTICA I- Cálculo I obrig 11

CRÉDITOS LOCALIZAÇÃO NO QSL CH TOTAL PRÉ-REQUISITOS EIXO DE FORMAÇÃO

05 1o período 75h Fundamentos

de Matemática

Fundamentos

EMENTA

Plano coordenado: Distância entre Pontos. Equação da Reta. Equação da

Circunferência, Trigonometria: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo,

Identidades, Circulo Trigonométrico. Aplicações. Funções de uma variável real

Função Exponencial e Logaritmo. Limites: Definição e Propriedades. Limites

Algébricos, Trigonométricos e Transcendentes. Derivada: definição Propriedades e

Cálculo.

BIBLIOGRAFIA

1. LARSON, Roland E.; HOSTETLER, Robert P. e EDWARDS, Bruce H. Cálculo com

Aplicações. Editora LTC, 4. Ed.

2. HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo - Um curso moderno e suas

aplicações. Editora LTC, 6. Ed.

3. LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper & Row do

Brasil,1982.

4. MENEGHETTI, André, et al.Pré-Cálculo. IMEF Furg. Rio Grande, 2012.

Programa.

1. Sistemas de Coordenadas no Plano. Sistema de Coordenadas no Plano.

Representação de Pontos no Plano. Distância entre dois pontos no Plano. Cálculo

do Coeficiente Angular da Reta. Equação da Reta. Posições relativas da reta no

plano. Interseção de retas. Distância de um Ponto a uma Reta. Distância entre

Retas Paralelas. Equação de Circunferência. Equação da Parábola. Equação da

Elipse. Equação da Hipérbole.

2. Funções. Definição. Domínio, Imagem e Gráfico. Funções Clássicas nos Reais:

Identidade, Linear, Quadrática, Valor Absoluto. Operações Algébricas com

Funções. Composição de Funções. Função Inversa. Função Logaritmo e Exponencial.

Funções Trigonométricas Inversas.

3. Limites. Ideia Intuitiva. Definição e Propriedades. Cálculo de Limites

Algébricos. Limites Trigonométricos. Limites ao Infinito. Limites

Transcendentes. Continuidade de Funções.

4. Derivadas. Definição e Propriedades. Interpretação Geométrica. Regras de

Derivação. Derivação da Função Composta. Derivada das Funções Trigonométricas.

Derivada das Funções Inversas. Derivada das Funções transcendentes. Derivadas

de Ordem Superior.

2

Unidade A

Geometria Analítica Básica Plano Cartesiano, pontos e retas.

Matemática I – Cálculo I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

3

Geometria Analítica

A Geometria analítica tem como objetivo estudar os entes geométricos,

mas com as facilidades da álgebra, possível através da análise de

equações. Estudaremos o ponto, a reta, o círculo, a parábola, a hipérbole

e a elipse, inseridos no sistema de referência de coordenadas clássico:

O plano cartesiano.

1. Plano Cartesiano

O plano cartesiano é composto por dois

eixos ortogonais, cuja intersecção é a

referência principal do sistema: a origem O

(0,0). As coordenadas dos pontos são

determinadas a partir do deslocamento, em

relação à origem, necessário até o ponto.

Cada ponto é localizado por duas

coordenadas.

P(xp, yp)

1ª coordenada – abscissa – x

2ª coordenada – ordenada - y

Os eixos dividem o plano cartesiano em

quatro partes, chamados quadrantes. Orientados

no sentido anti-horário como na figura ao lado.

Deslocamento à esquerda da origem: x < 0.

Deslocamento à direita da origem: x > 0.

Deslocamento abaixo da origem: y < 0.

Deslocamento acima da origem: y > 0.

Ponto pertence ao eixo ox: y = 0. Veja ponto A na figura acima.

Ponto pertence ao eixo oy: x = 0. Veja ponto B na figura acima.

Exemplo: Representar os pontos, a seguir, no plano cartesiano: A(1,2),

B(2,1), C(3, 1), D(0,1), E(3,0), F(2,1), G(4,3), H(1,0) e I(0,5).

I Q II Q

III Q IV Q

4

2. Distância entre dois pontos no plano

Distância entre quaisquer dois objetos é a medida do menor caminho que

liga esses dois objetos. No caso dos objetos serem pontos, o menor

caminho entre eles é determinado por um segmento de reta.

Notação: d(A,B) Lê-se: Distância entre A e B.

Exemplo: Determinar a distância entre os pontos A(1,2) e B(5,5).

Para generalizar o processo, a fim de obter uma fórmula para a distância

entre dois pontos, analisaremos a seguinte situação hipotética:

Considerando dois pontos não alinhados

horizontalmente, nem verticalmente,

podemos obter um triângulo retângulo,

definido pelas coordenadas de A e de B.

Sempre podemos determinar a medida dos

catetos:

Cateto horizontal: xb – xa.

Cateto vertical: yb – ya.

Assim pelo Teorema de Pitágoras:

d(A,B)² = (xb xa)²+ (yb ya)² e portanto:

)²yy()²xx()B,A(dabab

Exemplos: 1. Calcule a distância entre os pontos:

(a) A(1,2) e B(2,1).

5

(b) C(3,1) e D(0,1).

2. Qual é a medida do raio do círculo, cujo centro é o ponto C(3,1) e

passa pelo ponto P(4,2)?

2.1. Propriedades das distâncias1 i. d(A,B) > 0 ii. d(A,B) = d(B,A).

iii. d(A,B) = 0 A B iv. d(A,B) < d(A,C) + d(C,B) Esta última propriedade é conhecida como Desigualdade Triangular, pois se refere a existência de um triângulo conhecidos as medidas de seus lados. Ilustrando a propriedade iv: se fizermos o caminho direto de A até B é sempre menor que chegar ao ponto B, passando por outro ponto C.

Pense: Existe triângulo que tenhas lados 1, 2 e 5?

3. Ponto médio de um segmento Se M é ponto médio do segmento AB, então d(A,M)= d(M,B) e M

AB. Vemos facilmente que as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em que A(1,3) e B(5,1) é M(3,2). O intuito da Geometria Analítica é não depender de esboços e gráficos. Precisamos pensar genericamente para definir uma fórmula que encontre as coordenadas do ponto médio, conhecidas as coordenadas dos extremos.

1 As partes do conteúdo sinalizadas com uma barra lateral e com letra diferente e tamanho menor, não serão discutidas em sala de aula, mas para a compreensão total do conteúdo é recomendável que leias esses trechos fora do horário da aula.

6

Como xm deve ficar a mesma distância de xa e xb esta

distância é 2

xx ab , mas essa medida não é xm, pois a

abscissa do ponto M deve ser considerada o deslocamento em relação à origem, então

xm = xa + 2

xx ab = 2

xxx2 aba

xm = 2

xx ba

Analogamente, para obter a ordenada do ponto M, partimos da distância de ym a yb, acrescentando a distância a yb.

2b

yayb

2y

2b

yay

bymy

2

yy ba

2

yy,

2

xx M baba

Exemplo: 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento A(3,1) e B(5,3).

Apenas aplicando a fórmula

2,42

31,

2

53

2

yy,

2

xx M baba

M (4,2)

2. Determine as coordenadas do ponto B, sabendo que M(2,1) é o ponto médio do segmento AB, em que A(4,0).

M

2

yy,

2

xx baba

2

y0,

2

x41,2 bb

22

x4 b

4 + xb = - 4 xb = - 4 – 4 xb = - 8

12

yb yb = 2

B( -8, 2)

4. Estudo da Reta

Os pontos A (1,2), B(2,3) e C(4,5), pertencem a mesma reta? Trace uma reta passando por A e B e C estará nela. A questão é que não podemos nos basear em gráficos, mesmo que bem feitos. Devemos caracterizar a reta para afirmarmos que A, B e C estão alinhados. Que condição satisfazem? Um conjunto de pontos pertence a uma mesma reta se a taxa de variação

Δx

Δy entre dois quaisquer de seus pontos é constante.

Taxa de variação entre A e B: 112

23

ab

ab

xx

yy

Δx

Δy

7

Taxa de variação entre B e C: 124

35

bc

bc

xx

yy

Δx

Δy

Taxa de variação entre A e C: 114

25

ac

ac

xx

yy

Δx

Δy

Concluímos o porquê dos pontos A, B e C estarem alinhados.

Um conjunto de pontos pertencem a uma mesma reta quando a taxa de

variação x

y

para qualquer dois pontos é constante, independe dos pontos

escolhidos. Esta taxa de variação é chamada de coeficiente angular da

reta. Observe a figura abaixo:

Notação do coeficiente angular: a.

Sendo A(xa,ya) e B(xb, yb), temos:

a = x

y

ab

ab

xx

yya

Observe que AB é a hipotenusa de um triângulo

retângulo, tal que um dos ângulos internos é

.

y é o cateto oposto a .

x é o cateto adjacente a .

Portanto o coeficiente angular é: a = tan.

Em que é o ângulo formado entre a reta e o sentido positivo do eixo ox.

Exemplos: 1. Determinar o coeficiente angular da reta que contém os

pontos A(3,1) e B(1,4).

2. Determinar o coeficiente angular da reta, cujo gráfico é:

5. Equações da Reta

Vamos estudar três tipos de equação de reta: Equação fundamental, reduzida e

geral.

8

a. Equação fundamental da reta.

Conhecidos dois pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) e considerando um ponto P(x,y) que representará todos os pontos alinhados com A e B, obteremos uma equação que mostra como a variável y se relaciona com a variável x se P pertence à reta r. Sabemos que a taxa de variação, coeficiente angular, é constante para quaisquer dois pontos da reta r. Calculamos o coeficiente angular, usando a taxa de variação entre A e B:

ab

ab

xx

yya

(1)

Por sua vez, a taxa de variação entre os pontos A e P fica:

a

a

xx

yya

(2)

Obteremos a equação fundamental da reta, pela expressão (2), a qual já conhecemos o valor de a pelo resultado da expressão (1). Multiplicando a equação em cruz, chegamos a:

r: y – ya = a(x – xa) Equação fundamental da reta r, conhecidos um ponto A(xa, ya) e o coeficiente angular, a, da mesma.

Exemplo: Determinar a equação fundamental da reta r que contém os pontos A(2,3) e B(4,7).

Primeiro calcularemos o coeficiente angular: 3

2

6

4

)2(4

37

xx

yya

ab

ab

Agora é só substituir as informações na equação explicitada anteriormente: r: y – ya = a(x – xa)

a = 3

2 xa = - 2 ya = 3 r: y – 3 =

3

2(x – (-2))

r: y – 3 = 3

2(x+ 2)

b. Equação reduzida da reta.

É a equação mais conhecida, possui a forma:

y = ax + b

Em que a = tan, é coeficiente angular da

reta.

E b? Notamos que se substituirmos x = 0, na

equação, obtemos y = b. Ou seja, o ponto

P(0,b) pertence à reta e também pertence ao

eixo oy, pois x=0. Portanto P é o ponto de

intersecção da reta com o eixo oy. O coeficiente b é chamado linear e

podemos observá-lo facilmente no gráfico.

Exemplo: 1. Determine a equação reduzida da reta do

gráfico à direita:

r

9

2. Determine a equação reduzida da reta, que contém os pontos A(1,2) e

B(4,6).

c. Equação geral da reta.

Este tipo de equação é usada na fórmula da distância entre ponto e reta,

por isso precisamos conhecer este formato:

mx + ny + k = 0

Em que m, n e k são constantes reais e m e n não são nulas

simultaneamente.

Para quem sabe calcular determinantes de ordem 3, podemos obter a equação geral da reta diretamente, conhecidos dois de seus pontos A(xa,ya) e B(xb,yb) pela equação envolvendo determinante:

0

1yx

1yx

1yx

bb

aa

Obtemos este formato apenas manipulando qualquer equação da reta

algebricamente.

Exemplo: Obtenha a equação geral das retas nos casos abaixo:

(a) y – 1 = 3(x+2)

(b) 4

1x

4

3y

10

(c) Que contém os pontos A(3,1) e B(1,3).

6. Intersecção entre retas

Determinar a intersecção entre as retas r e

s é encontrar o ponto P comum às duas retas,

ou melhor, um ponto pertencente ao mesmo

tempo à reta r e à reta s. Isso quer dizer

que as coordenadas do ponto P satisfaz ao

mesmo tempo à equação de r e à equação de s.

O que equivale a resolver o sistema com as

equações das duas retas.

Se as retas possuem um ponto em comum dizemos

que elas são concorrentes.

Exemplo: Determine o ponto de interseção entre os pares de reta abaixo:

(a) r: y = 3x+1 s: y = x + 5

11

(b) r: y = 2x + 5 s: y = 4x + 3

Duas retas sempre têm intersecção? Se tiver intersecção, só em um ponto?

Responder estas perguntas equivale a determinar a posição relativa entre

retas, assunto do próximo item.

7. Posições relativas entre retas

Dadas duas retas r e s, elas podem ocupar apenas três posições relativas

no plano cartesiano. Essas posições são definidas com base no número de

pontos comuns às retas.

Observe as figuras abaixo:

Concorrentes r s Paralelas r // s Coincidentes r s

r s = {P} r s = r s = r Uma solução Nenhuma solução Infinitas soluções

Por definição, se precisamos saber o número de soluções do sistemas, nem

é necessário resolvê-lo. Como um sistema de duas equações e duas

incógnitas é muito fácil de resolver, relacionando com retas, se o

sistema possui uma única solução, esta solução representa o ponto comum

das retas.

Exemplo: Determine a posição relativa entre os pares de reta abaixo:

(a) r: y – 1 = 1(x + 2) s: y – 7 = 1(x – 4)

12

(b) r: y = x – 4 s: y – 5 = 1(x – 4)

(c) r: y – 3 = 2(x + 1) s: y = 4x - 5

Um caso particular de retas concorrentes é quando as retas fazem um

ângulo de 90º. No próximo tópico (8) pesquisaremos como determinar a

condição das retas chamadas perpendiculares.

a. Retas paralelas.

Uma alternativa a resolução do sistema com as equações de r e de s é pensar sobre os coeficientes angulares destas retas. Considere r: y = arx + br e s: y = asx + bs.

Em que: ar = tan e as = tan Se as retas r e s são paralelas:

= tan = tan ar = as Infelizmente não basta, pois se o coeficiente linear for igualmente idêntico as retas são coincidentes. Assim a condição de duas retas serem paralelas dadas suas equações reduzidas é:

r // s ar = as e br bs

b. Retas coincidentes.

Podemos também analisar o sistema com as equações de r e s para determinar se as equações são de retas coincidentes, que na verdade geometricamente são uma única reta. Neste caso o sistema possui infinitas soluções. Em decorrência da análise das retas paralelas, podemos concluir sem esforço que dadas as equações reduzidas das retas r e s para serem coincidentes:

r s ar = as e br = bs

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c. Retas concorrentes.

Considerando novamente as equações reduzidas de r e s: r: y = arx + br s: y = asx + bs Se as retas são concorrentes:

Então:

tan tan Portanto:

ar as Os coeficientes lineares são irrelevantes. Concluímos então:

r s ar as

8. Retas perpendiculares

Considere as equações reduzidas das

retas r e s:

r: y = arx + br

s: y = asx + bs

Assim:

ar = tan e as = tan (0)

e são ângulos internos de um

triângulo retângulo, logo:

+ = 90º (1)

Já e são ângulos suplementares, pois juntos formam um ângulo

raso, ou seja:

+ = 180º (2)

Da relação (1), sabemos que

tan

1tan , ou multiplicando a

expressão em cruz, tantan = 1 (3). Pense nos ângulos de 30º e 60º por exemplo.

Da relação (2), sabemos que tan = tan (4). Pense nos ângulos de 30º

e 150º, veja na calculadora se preferir.

Agora substituindo (4) em (3), obtemos:

tan (tan) = 1

Multiplicando a expressão por 1:

tan tan = 1 Que por sua vez por (0):

as ar = 1 Eis a condição de duas retas perpendiculares, dadas as equações

reduzidas das mesmas:

r s as ar = 1

Exemplos: 1. Determine se os pares de retas abaixo são perpendiculares:

(a) r: y = 3x – 1 s: 5x3

1y

14

(b) r: 5

2x

5

4y s:

5

1x

4

5y

2. Determine a equação da reta s, perpendicular à reta r: 3

1x2y

e que

intersecciona o eixo oy em P(0,1).

9. Distância entre ponto e reta

O menor caminho que liga um ponto

a uma reta é um segmento

perpendicular à reta com

extremidade neste ponto. Na

figura o segmento PA. Por que

podemos ter certeza que este é o

menor? Pois se considerarmos

qualquer outro segmento que liga

P à reta, por exemplo, PB, os

pontos P, A e B formam um

triângulo retângulo, reto em A.

Assim teríamos PB a hipotenusa e

PA um cateto.

Sabemos que a hipotenusa é o

maior lado de um triângulo

retângulo, logo PB > PA e assim, PA é o menor caminho possível.

Como calcular a distância entre o ponto P à reta s? Com o que já

construímos e estudamos, sabemos calcular distância entre dois pontos,

determinar retas perpendiculares, calcular intersecção entre retas. Tudo

isso seria necessário para chegar à distância desejada, seguindo o

roteiro abaixo:

1 – Obter r, perpendicular a s, que contenha P.

2 – Determinar A, o ponto de intersecção entre as retas r e s.

3 – Calcular a distância entre P e A.

4 – Finalmente d(P,A) = d(P,s).

Se seguirmos todos esses passos considerando a equação geral da

reta s: mx + ny + k = 0 e as coordenadas do ponto P(xp,yp), após muitas

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manipulações algébricas chegaremos na fórmula da distância entre ponto

e reta:

²n²m

knymx)s,P(d

pp

Exemplo: Determine a distância do ponto Q(18,0) à reta t: 1x12

5y .

10. Distância entre retas

Precisamos lembrar que distância entre dois objetos quaisquer é a

medida do menor caminho entre estes dois objetos. Se as retas r e s

forem concorrentes ou coincidentes, já que possuem ponto de intersecção,

o menor caminho que ligas estas retas é apenas um ponto, assim nestes

casos, d(r,s) = 0.

Resta analisar como calcular a distância

entre retas, se estas forem paralelas.

A distância entre as retas r e s, d(r,s), é

o segmento de reta perpendicular a ambas as

retas. Já que são paralelas, desde que o

segmento seja perpendicular a uma, será

automaticamente perpendicular à outra reta.

Assim podemos escolher um ponto qualquer de

uma reta e calcular a distância até a outra

reta, simplesmente. Para complementar

faremos esse trabalho generalizando e

chegando numa fórmula direta.

Como precisamos da equação geral de cada reta, sendo as duas

paralelas, elas terão o formato:

r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0

Definindo um ponto de r, por exemplo: P(xp,yp). Como é um ponto de

r, satisfaz a equação de r, ou seja, mxp + nyp + kr = 0. Ou ainda:

mxp + nyp = kr Agora temos que calcular a distância do ponto P à reta s.

²n²m

kk

²n²m

knymx)s,P(d

srspp

Portanto a distância entre duas retas paralelas, dadas suas equações

gerais r: mx + ny + kr = 0 e s: mx + ny + ks = 0 é:

16

²n²m

kk)s,r(d

rs

Exemplo: Determine a distância entre as retas r: 3x - 4y + 15 = 0

e s: 3x – 4y – 15 = 0.

11. Exercícios

1- Situe no mesmo plano cartesiano os pontos A (2,0), B(2,2), C(4,0),

D(0,2), E(2,4), F(1,4), G(3,2), H(4,2), I(3,4) e J(0,3).

2-6 Responda:

2. Quais são as coordenadas da origem, O, do plano cartesiano?

3. Se um ponto pertence ao III quadrante, qual o sinal da abscissa?

4. Se um ponto pertence ao eixo ox, qual o sinal da ordenada?

5. É possível uma reta ter coeficiente angular nulo? Caso afirmativo,

descreva a característica geométrica da reta. Caso negativo, justifique.

6. Quais das versões abaixo são equivalentes da fórmula para o cálculo

da distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb)? Justifique.

a. d(A,B) = )²y(y)²x(xabba

b. d(A,B) = )²y(y)²x(xabab

c. d(A,B) = )²y(x)²y(xbbaa

7- A abscissa de P vale o dobro da ordenada de Q. Se que está acima do

eixo x tanto quanto está à esquerda do eixo y e P dista 5 unidades do

eixo das ordenadas, quais são as coordenadas de Q?

8– Sendo A (4,4) um ponto pertencente ao círculo de centro C(2,2),

determine a medida do raio desse círculo.

9– Determine a de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São

dados: A(2,5), B(2,1) e C(3,a).

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10– Dados A(x,3), B(1,4) e C(5,2), obtenha x de modo que A seja

equidistante de B e de C.

11– Qual o perímetro do triângulo, cujos vértices são A(1,2), B(2,6) e

C(5,2)?

12– Em quais itens os pontos dados formam um triângulo?

a. A(0,1), B(12,4) e C

2

3,6 .

b. F 33,2 , G(5,0) e H(1,0).

c. P(1,3), Q(5,6) e R(9,9).

13– Sabendo que o segmento AB, define um diâmetro do círculo de centro

C, determine as coordenadas deste ponto, considerando A(1,3) e B(3,5).

14– Mediana de um triângulo é o segmento que liga cada vértice ao ponto

médio do lado oposto. Considere o triângulo de vértices em A(3,0),

B(3,2) e C(1,4). Determine a medida das três medianas.

15- Determine as equações fundamental, geral e reduzida das retas:

a. r que contém os pontos A(2,3) e B(3,5).

b. s que forma ângulo de 60º com o eixo das abscissas no seu sentido

positivo e passa pelo ponto C(3,-1).

c. t que contém os pontos B(3,5) e C(5,5).

d. u que forma ângulo de 45º com o eixo das abscissas, é decrescente e

intersecciona o eixo oy em y=4.

e. a que contém os pontos B(3,5) e D(3,2).

16- Quando não podemos determinar a equação de qualquer reta na forma:

a. geral?

b. fundamental?

c. reduzida?

Justifique tua resposta.

17- Determine a posição relativa entre os pares de retas indicados,

diferenciando o caso perpendiculares de concorrentes e nesses casos

determine o ponto de intersecção entre as retas.

a. g: 2x+3y=1 e h: 3x-2y=5

b. r: y=3x-2 e s: 3x-y+8=0

c. a: y=5x+9 e b: 5x-2y+7=0

d. t: 5x4

3y e u: 3x-4y+20=0.

18- Determine a equação da reta s, que é perpendicular a reta r: 3x +

7y = 9 e que passa pela origem.

18

19- Qual a distância entre as retas: r: 5x – 3y + 15 = 0 e s: 5x3

5y ?

20- Calcule a medida da altura h, relativa ao lado BC, do triângulo ABC,

cujos vértices são: A(5,1), B(1,5) e C(2,1).

21- No plano cartesiano, os pontos A (1,4) e B(3,6) são simétricos em

relação à reta r. Qual a equação da reta r?

22- Determine as equações das retas que contém as alturas do triângulo

ABC e prove que elas concorrem no mesmo ponto H, chamado de ortocentro

do triângulo. Dados: A(0, -3) B(-4,0) e C(2,1).

23- Mediatriz de um segmento é uma reta que contém o ponto médio do

segmento e é perpendicular a ele. Determine a reta mediatriz relativa

ao segmento de extremos em A (1,4) e B(3,6).

24- Um círculo é tangente a duas retas paralelas, r: 5x + 12y = 12 e

s: 5x + 12y + 28 – 0. Qual é a medida do raio do círculo?

Resumo e resolução dos exercícios da lista 11

Dicas de estudo:

Fase 1 – Aula dada aula estudada

Faça um resumo da matéria dada em cada dia de aula antes de dormir, seguindo

os seguintes passos:

a) Leia a matéria copiando no resumo o que ache mais importante da maneira

mais sucinta possível, destacando fórmulas e em que elas se aplicam. Nunca

coloque uma fórmula solta sem o significado das suas incógnitas;

b) Quando a leitura chegar nos exemplos pegue uma folha em branco, tapando a

resolução feita em aula e tente refazer o exemplo sem olhar. Caso não tenha

conseguido, aí sim, olhe o desenvolvimento, pense na relação do conteúdo com

a resolução do exemplo e tente fazer o exemplo novamente, mesmo que tenha que

simplesmente copiá-lo.

c) No fim da matéria dada naquele dia, observe os exercícios relacionados a

ela. Marque os exercícios que tu achas que se relacionam com o conteúdo dado.

d) Se tiveres tempo, no mesmo dia, comece a fazer os exercícios.

Fase 2 – Estudando sozinho, em outro dia da semana que não de aula.

a) Releia os resumos feitos na semana (dois dias de aula, dois resumos por

semana). Perceba se consegue lembrar da aula dada e todos os seus significados.

b) Caso não lembre, leia a matéria dada na semana, incluindo a resolução de

seus exemplos.

c) Comece a fazer os exercícios. Caso não consiga, nem começar, releia o resumo

e para cada item verifique se pode possuir relação com o exercício em questão.

d) Caso não consigas concluir um dos exercícios, ou depois de algumas tentativas

não conseguiste chegar na resposta do gabarito. Não insista. Deixe para

discuti-lo com o grupo de estudo ou vá no atendimento.

Fase 3 – Reunião com o grupo de estudo.

a) A reunião deve ser em local que ofereça poucas distrações, no máximo em

quatro pessoas (mais que isso vira festa). O chimarrão é um excelente

acompanhante, lembre-se chimarrão é estimulante e não engorda.

19

b) O grupo deve ser heterogêneo no sentido de reunir pessoas com diferentes

níveis de compreensão e base matemática.

c) Discuta A TEORIA do conteúdo e a compreensão que cada um teve do mesmo.

d) Formule questionamentos para os outros responderem, em duas situações: para

testar o nível de compreensão dos colegas com intenção de ajuda-los e quando

realmente não conseguiste processar as informações oferecidas.

e) Discuta os exercícios que achaste mais difíceis, incluindo àqueles que

porventura não conseguiste resolver.

f) Depois das reuniões semanais nos grupos de estudo, é fundamental que procures

o atendimento do professor.

g) Também é fundamental, consultar bibliografia complementar, entender a teoria

presente nela assim como exercícios adicionais.

Fase 4 - Na semana anterior as avaliações, complementar ao trabalho semanal,

se tiveres seguido todos os passos anteriores, faça:

a) Um novo resumo, mas agora completo, com toda a matéria que será cobrada na

prova.

b) Observe todos os exercícios feitos e escolha uma questão de cada conteúdo

que acreditas que o professor iria cobrar na avaliação.

c) Monte uma prova com estas questões, não exatamente iguais. Considere

variações encontradas nas fontes bibliográficas.

d) Resolva esta prova.

e) Entregue a tua prova para apreciação dos colegas.

f) Com algumas destas provas em mãos defina uma delas para fazer um simulado

no seu grupo de estudo.

Observação final.

Infelizmente, se seguires todos estes passos não podemos garantir que terás um

aprendizado completo, pois isto depende de muitas variáveis, incluindo saúde

física, saúde mental, qualidade do ensino de matemática básica anterior,

alimentação, estresse, entre outros. O que é fundamental, falando em linguagem

matemática: ser necessário, mas não suficiente a VONTADE DE APRENDER!

Bom estudo!

20

Unidade A

Geometria Analítica Básica Plano Cartesiano, pontos e retas.

Matemática I – Cálculo I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

Unidade B

Estudo das

Cônicas Círculo, elipse,

hipérbole e parábola.

21

: (x – x0)²+(y – y0)²= r²

12. Cônicas

São chamadas cônicas as curvas resultantes do corte de um cone duplo com um

plano. De acordo com a posição relativa do plano com a reta geratriz do cone,

o corte resulta numa curva diferente.

Se o plano for paralelo a base do cone, a curva gerada pela

intersecção é um círculo.

Se o plano corta o cone não paralelamente à base e à

geratriz a curva formada é uma elipse. Desde que o plano

não contenha o vértice do cone. Na verdade o círculo é um

caso especial de elipse.

Se o plano corta o cone perpendicularmente à base a curva

gerada é uma hipérbole. Desde que o

plano não contenha o vértice do

cone.

Se o plano corta o cone paralelamente à geratriz e

obliquamente à base do cone a curva formada é uma

parábola. Da mesma forma que os anteriores, o plano não

pode conter o vértice do cone.

13. Estudo do círculo

Círculo é o lugar geométrico dos pontos

do plano que equidistam de um ponto fixo.

Este ponto fixo é chamado de centro e

qualquer segmento que liga o centro a um

ponto do círculo é o raio.

Para chegarmos a equação que relaciona

como a variável y depende de x, suponhamos

um ponto P (x,y) este ponto,

representando TODOS os pontos do círculo

. A distância deste ponto ao centro

C(x0,y0) é fixa. Sabemos que:

d(C,P) = r

r)²yy()²xx(00

Elevando os dois membros da equação ao

quadrado obtemos:

Considere C(x0,y0) e medida do raio r. Este tipo de equação do círculo é chamada

de reduzida.

x0

y0

22

Exemplos: 1. Determine a equação do círculo de centro em C(3,4) e medida do

raio 3.

2. Determine a equação do círculo, cujo gráfico é:

(a) (b)

3. Verifique se as equações abaixo representam círculos, em caso afirmativo

determine as coordenadas do centro e a medida do raio.

(a) : (x+2)²+(y-1)²=4 (b) : (x-1)² (y-3)²=9

(c) : (x-2)³+(y-1)³=16 (d) : (x+1)²+(y+5)²=7

(e) : (x-3)²+(y-1)²+25 = 0 (f) : (x-1)²+(y-3)²= 0

23

1²b

²y

²a

²x:

13.1 Equação Canônica do Círculo

Basta dividir a equação reduzida por r², pois o formato canônico de equações de

cônicas possuem o segundo membro igual a 1.

1r

)yy(

r

)xx(:

2

2

0

2

2

0

Com essa equação, identificamos o centro da cônica como o ponto C(a,b) e raio r.

Exemplos: Determine a equação canônica do círculo considerando que os pontos

A(3,4) e B(-5,8) formam um diâmetro para este círculo.

14. Elipse

Além de ser gerada pelo corte do

cone duplo por um plano obliquo à

base e à geratriz, a elipse tem uma

propriedade geométrica importante.

Uma elipse de focos F1 e F2 é o conjunto dos pontos P(x,y) do

plano cuja soma das distâncias a F1

e F2 é igual a uma constante 2a

positiva, maior que a distância

entre os focos d(F1,F2)= 2c.

Os pontos A1 e A2 são os vértices

da elipse, o segmento A1A2 é

chamado de eixo focal e

d(A1,A2)=2a. Já o segmento B1B2 é

chamado de eixo não focal e

d(B1,B2)=2b, em que a²=b²+c². O

centro da elipse é o ponto médio

dos eixos focal e não focal.

Sob a condição 0 < c < a, podemos escrever:

d(F1, P) + d(F2, P) = 2a

A primeira forma que veremos considerará um caso particular em que os focos

estão no eixo ox equidistantes da origem. Assim suas coordenadas são F1(c,0) e F2(c,0). Manipulando algebricamente esta equação, a fim de eliminar as

raízes quadradas e substituindo o fato de a² = b² + c², obtemos a forma

canônica da elipse:

Em que a = d(A1,O), semieixo focal e b = d(B1,O), semieixo não focal.

24

Observação: Sabemos da astronomia que a trajetória dos planetas em torno do

sol é elíptica. Em que o sol ocupa o lugar de um dos focos.

Exemplos: 1. Os vértices de uma elipse são os pontos (4,0) e (4,0) e seus

focos são os pontos (3,0) e (3,0). Determine a equação da elipse.

2. Uma elipse tem centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal

é (7,0). Se a elipse passa pelo ponto P

5,

3

14, determine sua equação, seus

vértices e seus focos.

Podemos fazer translações horizontais e

verticais alterando os eixos focais e

não focais, consequentemente o centro

da elipse deixa de ser a origem do

sistema cartesiano. Após estas

translações podemos constatar que o

eixo focal continua horizontal, medindo

2a e o eixo não focal continua sendo

vertical, medindo 2b. A distância entre

os focos continua sendo 2c e a relação

a² = b² + c² continua válida. Já as

coordenadas dos focos, vértices focais

e vértices não-focais alteram

totalmente.

25

Considere que as coordenadas do centro da elipse, ponto médio dos focos ou

vértices, são C(x0,y0).

Já que A1, A2, F1, F2 e C estão alinhados horizontalmente, todos estes pontos

tem a mesma ordenada (coordenada y). Precisamos associar quem são as abcissas

destes pontos.

Analogamente B1, B2 e C estão alinhamos verticalmente, por isso possuem a mesma

abscissa (coordenada x). Falta-nos determinar as ordenadas destes pontos.

Chegamos à seguinte conclusão:

Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).

Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).

Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).

Note que agora a equação canônica da elipse é:

Observe a semelhança com a equação canônica do círculo.

Exemplo: Os focos de uma elipse são os pontos (8,3) e (2,3) e o comprimento do

seu eixo focal é 8. Determine a equação da elipse e seus vértices.

Além de translações podemos fazer rotações na elipse básica (centro na origem do plano cartesiano). Rotações sob ângulos quaisquer são complicadas, fogem do nosso interesse. Agora, rotação de 900 são simples e interessantes. Com esta rotação o eixo focal torna-se vertical e o eixo não focal torna-se horizontal. Isso inverte as posições entre x e y, ou melhor, o eixo focal, cuja medida é 2a é paralelo agora ao eixo oy. O eixo não focal, cuja medida é 2b é paralelo agora ao eixo ox. Vértices focais: A1(x0, y0 – a) A2(x0, y0 + a) Vértices não focais:

B1(x0 b, y0) B2(x0 + b, y0) Focos: F1(x0, y0 – c) F2(x0, y0 + c)

1²b

)²yy(

²a

)²xx(:

00

26

Com essa inversão, lembrando que a > b, a equação da elipse fica: Exemplo: Considere a elipse de centro no ponto (1,4), foco no ponto (1,6) e eixo não focal medindo 2. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco e a equação da elipse. C (1,4)

Eixo não focal : 2b = 2 b = 1 B1(x0 b, y0) = (1 – 1, 4) = (0,4) B1 (0,4)

B2(x0 + b, y0) = (1 + 1, 4) = (2, 4) B2 (2,4) C (1,4)

F2 (1,6) c = 6 – 4 = 2 F1 (x0, y0 – c) = (1, 4 – 2) = ( 1, 2) F1 (1,2)

a² = b² + c² a² = 1 + 4 a = 5 C (1,4)

A1 (x0, y0 – a) = (1, 4 - 5 ) A2(1, 4+ 5 )

15

)²4y(

1

)²1x(:'

15. Hipérbole

Além de ser o

corte do plano

perpendicular à base

do cone duplo, a

Hipérbole tem outra

propriedade

geométrica.

Uma hipérbole H de focos F1 e F2 é o

conjunto de todos os

pontos P(x,y) do

plano para os quais o

módulo da diferença

de suas distâncias a

F1 e F2 é igual a uma

constante 2a

positiva, menor que a

distância entre os

focos é d(F1,F2)= 2c.

Os pontos A1 e A2 são os vértices da Hipérbole e A1A2 é chamado eixo focal.

Por definição, d(A1,A2)=2a. Os pontos B1 e B2 são chamados de vértices

imaginários, o segmento B1B2 de eixo imaginário e d(B1,B2)=2b, considerando: c²=

a² + b². Os vértices imaginários são pensados para satisfazer essa relação e

ainda estão relacionados com o coeficiente angular das retas assíntotas.

A Hipérbole ainda possui um par de retas assíntotas, que são retas em que

a curva se aproxima, mas nunca intersecciona, são as retas r1 e r2 no gráfico.

O centro da Hipérbole o ponto médio do eixo focal que coincide com o ponto

médio do eixo imaginário.

Considerando 0 < a < c:

: |d(F1,P) – d(F2,P)| = 2a

1²a

)²yy(

²b

)²xx(:' 00

27

Para determinar a equação canônica da Hipérbole, consideraremos F1(c,0), F2(c,0), ou seja, pertencentes ao eixo ox, equidistantes à origem. Manipulando

algebricamente esta equação, a fim de eliminar as raízes quadradas, o módulo

e substituindo o fato de c² = a² + b², obtemos a forma canônica da hipérbole,

centrada na origem:

H 1²b

²y

²a

²x:

Observação: 1. Na forma canônica a equação das retas assíntotas são:

xa

by:r

1 e x

a

by:r

2 . Por definição uma função não intersecciona suas

assíntotas. Resolva o sistema com as equações da hipérbole e r1 (ou r2) e verifique que

o sistema é impossível.

2. Chamamos de hipérbole equilátera quando o eixo focal tem a mesma medida que

o eixo imaginário.

3. A origem da hipérbole exemplifica acima é a origem do plano cartesiano.

Exemplos: 1. Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos

,08 e ,08 . Além disso determine os vértices e os vértices imaginários.

2. Os vértices de uma hipérbole são os pontos (3,0) e (3,0) e um de seus focos

é o ponto (5,0). Obtenha a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo

focal e suas assíntotas.

28

Se fizermos translações na hipérbole, horizontais ou verticais, a definição

dos elementos desta cônica

não se alteram. Por exemplo,

medida do eixo focal é 2a,

medida do eixo imaginário é

2b, d(F1,F2) = 2c, c² = a² +

b², já que c > a. O que

mudará? Coordenadas do

centro, vértices e focos,

assim como a equação

canônica da hipérbole.

Considerando as coordenadas

do centro C(x0,y0), tem-se:

Vértices focais: A1 (x0 – a, y0) e A2 (x0 + a, y0).

Vértices não-focais: B1 (x0, y0 – b) e B2 (x0, y0 + b).

Focos: F1 (x0 – c, y0) e F2 (x0 + c, y0).

Assíntotas: )xx(

a

byy:r

001

e )xx(

a

byy:r

002

.

E finalmente a equação da hipérbole, nestas condições:

Exemplo: Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da

diferença das distâncias aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 2. Determine seus

elementos principais.

H 1²b

)²yy(

²a

)²xx(: 00

29

Também podemos pensar na rotação da hipérbole por um ângulo de 900. Os efeitos na hipérbole são semelhantes aos efeitos com a elipse. O eixo focal torna-se paralelo ao eixo oy, o eixo imaginário torna-se paralelo ao eixo ox. Observando que não há intersecção da hipérbole com o eixo imaginário o termo que fica subtraindo, com o sinal negativo é o referente à variável x, ou seja: A equação na hipérbole neste caso é: Vértices focais: A1 (x0, y0 - a) A2 (x0, y0 + a) Vértices imaginários:

B1 (x0 b, y0) B2 (x0 +b, y0) Focos: F1 (x0, y0 - c) F2 (x0, y0 + c)

Assíntotas: )xx(b

ayy:r 001 )xx(

b

ayy:r 002

Exemplo: Dada a equação da hipérbole 116

)²1x(

9

)²4y(:H

, determine os elementos principais desta cônica.

Da equação sabemos que C (1, 4), a = 3 e b = 4. c² = a² + b², logo c = 5.

A1 (x0, y0 - a) = (1, 4 -3) = (1, 1) A1(1,1) A2 (x0, y0 + a) = (1, 4 + 3) = (1,7) A2 ( 1, 7)

F1 (x0, y0 - c) = ( 1, 4 – 5) = (1,1) F1(1,1) F2 (x0, y0 + c) = (1, 4 + 5) = (1, 9) F2(1, 9)

B1 (x0 b, y0) = ( 14, 4) = (5, 4) B1(5, 4) B2 (x0+b, y0 ) = (1+4, 4 ) = ( 3, 4) B2(3, 4)

)xx(b

ayy:r 001 )1x(

4

34y:r1 )xx(

b

ayy:r 002 )1x(

4

34y:r2

16. Parábola

Além de ser originada pelo corte do cone duplo,

quando o plano é paralelo a geratriz do cone,

a parábola possui uma propriedade geométrica

muito interessante que faz com que inúmeras

aplicações do seu formato sejam utilizadas no

nosso cotidiano. Assim como a antena

parabólica, fornos solares, faróis de carro,

etc.

A propriedade que caracteriza a parábola e

possibilita determinarmos a sua equação é o

fato de qualquer ponto P(x,y) da parábola ser

equidistante a F e a d, em que F é um ponto

fixo, chamado foco, e d é uma reta fixa,

chamada de reta diretriz.

A reta que contém o foco F e é

perpendicular à reta diretriz d é chamada reta

focal. Podemos observar que a reta focal é a

reta de simetria da parábola. Podemos

visualizar este fato dobrando o gráfico da parábola na reta focal, os lados da

parábola se sobreporão.

H‘: 1²b

)²xx(

²a

)²yy( 00

30

O ponto V, intersecção da parábola com a reta focal é chamado de vértice da

parábola. Também é o ponto da parábola mais próximo da reta diretriz.

A característica da equidistância nos possibilita obter a equação da parábola.

: d(P,F)= d(P,d)

Considerando a diretriz uma reta vertical, ou seja, d: x + p = 0 à esquerda

do foco, F(p,0), pertencente ao eixo ox e manipulando algebricamente a

igualdade acima, obtemos:

:

P: y² = 4px

Observação: A propriedade da parábola faz

com que feixes perpendiculares à diretriz

da parábola quando incidem na superfície da

mesma são refletidos com um ângulo tal que

todos os feixes acabam se concentrando num

único ponto: o foco da parábola. Isso

permite converter sinais fracos de tv, por

exemplo, em um sinal de boa qualidade,

colocando no foco da antena parabólica um

receptor adequado.

Exemplos: Determine a equação da parábola P com vértice V na origem, cujo foco

é o ponto F (3, 0):

Dando mais ênfase às parábolas,

cujas diretrizes são verticais,

podemos assim como na elipse e na

hipérbole, observar como as

translações modificam o formato da

equação desta cônica. Consideramos

então que o vértice não é mais a

origem, nem o foco está

necessariamente no eixo ox.

Considerando que o vértice é o

ponto V(x0,y0) e a reta diretriz é

d: x – x0 p = 0, obtém-se a equação da parábola:

Na equação o sinal fica positivo se

a diretriz fica à esquerda do foco

e o sinal fica negativo se a

diretriz fica à direita do foco.

P: (y – y0)²= 4p(x-x0)

31

Exemplo: Determine a equação da parábola, cuja reta diretriz possui equação

x – 9 = 0 e o vértice tem coordenadas V(4,1).

Se analogamente ao que fizemos com a elipse e a hipérbole estudarmos a

rotação das parábolas num ângulo de 90º teremos parábolas com a concavidade

para cima ou para baixo, dessa forma estas cônicas serão os gráficos das funções

quadráticas, às quais estudaremos mais profundamente na unidade E.

17. Exercícios.

1- Qual a equação do círculo que tem centro em (1,5) e raio de medida 11 ?

2- Determine a equação da reta s que passa pelo centro do círculo de equação

: (x - 2)2 + (y - 2)2 = 2 e é paralela à reta de equação r: 3x + y 1 = 0.

3- Considere o quadrado circunscrito ao círculo de equação :(x-3)2+(y-2)2 = 1.

Determine a medida da diagonal do quadrado.

4- Dadas as equações de hipérboles abaixo, determine vértices, vértices

imaginários, focos e assíntotas:

(a) H: 19

²y

16

²x

(b) H : 36x² - 49y² = 1.

5- Obtenha a equação da parábola, cuja diretriz é d: x = 0 e foco F(4,0).

6- Obtenha as coordenadas do foco, F , vértice V e equação diretriz da parábola

de equação. : x² = 32y.

7- Dadas as equações de elipses abaixo, determine vértices, pontos que definem

o eixo não focal e focos:

(a) : 19

²y

16

²x

(b) : 36x² + 49y² = 1.

8- Determine a equação da elipse centrada na origem que possui a medida do

eixo focal 10 e medida do eixo não focal 6.

9- Determine a equação da hipérbole centrada na origem com um vértice em (3,0)

e um foco em (4,0).

10- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,-1), com foco no ponto

(2,-1) e que passa pelo ponto (2,1).

32

11- Determine a equação da elipse centrada no ponto (1,2), com um vértice focal

no ponto (3,2), cuja razão entre c e a, chamada de excentricidade das cônicas,

é ½.

12- Considere a elipse de centro no ponto (1,1), foco no ponto (1,3) e

excentricidade 3

5. Determine as coordenadas dos vértices, do outro foco e a

equação desta elipse.

13- Obtenha o lugar geométrico dos pontos, cujo módulo da soma das distâncias

aos pontos (3,1) e (7,1) é igual a 10.

14- Determine os elementos principais da cônica dada sua equação:

125

)²3y(

4

)²1x(

.

15- Determine a equação da hipérbole de centro no ponto (3,3), um vértice no

ponto (3,0) e assíntota de equação 1x3

2y .

16- Determine a equação da parábola que possui vértice no ponto V(-1,4) e

diretriz de equação x – 8 = 0.

17- Determine a equação da parábola que possui foco no ponto F(3,1) e reta

diretriz de equação x + 4 = 0.

18. Respostas dos exercícios item 11

1.

2. O(0,0)

3. Negativo.

4. Nulo.

5. Sim, a reta é paralela ao eixo ox.

6. a. Sim. O que poderia diferir é o sinal de dentro dos parênteses, mas elevado

ao quadrado o resultado é o mesmo.

b. Sim. Idem ao anterior.

c. Não. Deduzimos a fórmula da distância do Teorema de Pitágoras, assim o que

está entre parênteses deveriam ser os catetos, o que não é o caso.

7- Q

2

5,

2

5 8– 26 9– a=

3

1

10– x = 2 11– 16 12–(a)não (b)(c) sim

13– C(1,4) 14– 10 , 5, 5

15– a. Reduzida: y=2x–1 Fundamental: y – 3= 2(x - 2) Geral: 2x – y - 1 = 0

33

b. Fundamental: )3x(31y , geral: 0133yx3 , reduzida: 133x3y

c. fundamental: y – 5 = 0(x – 3), geral: y – 5 = 0, reduzida: y = 5

d. fundamental: y – 4 = -1(x – 0), geral: x + y – 4 = 0, reduzida: y = -x + 4

e. só existe geral: x – 3 = 0

16-

a. Não possui restrição.

b. A reta não pode ser vertical, pois a = tan e tan90º não existe.

c. A reta não pode ser vertical, pelo mesmo motivo anterior, pelo coeficiente angular

e o coeficiente linear que é a intersecção da reta com o eixo oy não existe, já que

uma reta vertical não intersecciona o eixo oy.

17-

a. Perpendiculares. P

13

7,

13

17 b. Paralelas.

c. Concorrentes. P

2,

5

11 d. Coincidentes.

18- s: 7x – 3y = 0 19- 34

30 20- 5

12

21- m: y – 5 = 2(x – 1)

22- 4x-3y-5=0, 6x+y+3=0 e x+2y+4=0. H(0,1). 23- m: y – 5 = 2(x – 1)

24- r = 13

20

Respostas dos exercícios item 17

1- : (x-1)² + (y + 5)²= 11. 2- s: y – 2 = 3(x 2)

3- 22

4-

a. A1(4,0) e A2(4,0). B1(0,3) e B2(0,3). F1(5,0) e F2(5,0).

r1: 3x + 4y = 0 e r2: 3x – 4y = 0

b.

0,6

1A1 e

0,

6

1A2 .

7

1,0B

1 e

7

1,0B

2 .

0,

42

85F1

e

0,

42

85F2

.

r1: 6x + 7y = 0 e r2: 6x – 7y = 0.

5- : y² = 8x - 16. 6- V(0,0), F(0,8), d: y + 8 = 0.

7- a.A1(-4,0) e A2(4,0). B1 (0,3) e B2(0,3). 0,7F1 e 0,7F

1 .

b.

0,6

1A1 e

0,

6

1A2 .

7

1,0B

1 e

7

1,0B

2 .

0,

42

13F1

e

0,

42

13F2

.

8- : 19

²y

25

²x 9- 1

7

²y

9

²x:

10- 1242

)²1y(

243

)²1x(:

11- 1

12

)²2y(

16

)²1x(:

12- 1)²1y()²1x(

:5

365

16

, F1(1,-1),

5

61,1A

1,

5

61,1A

2,

1,

5

41B

1 e

1,

5

41B

2

13- 121

)²1y(

25

)²5x(:

14- C(-1,3), A1(-3,3), A2(1,3), B1(-1,-2), B2(-1,8), 3,291F1

e

3,291F2

, r1: 5x + 2y – 1 = 0 e r2: 5x – 2y + 11 = 0.

15- 14

)²3x(

9

)²3y(:

16- P:(y-4)² = -36(x+1) 17- P: y² - 14x - 2y = 6