Cálculo II

Aula 3: Derivadas Parciais, interpretação geométrica. Funções de Mais do que Duas

Variáveis, Derivadas de Maior Ordem.

Índice temperatura-umidade

106

112

118

125

133

141

109 113 116 121 130 135 141 146

g´(96)

Tomando a média dos dois valores obtidos temos

(96) 3,75g

Índice temperatura-umidade

106

112

118

125

133

141

109 113 116 121 130 135 141 146

G´(70)

Tomando a média dos dois valores obtidos temos

(70) 0,9G

Definição

Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções fx e fy definidas por

0

( , ) ( , )( , ) limx

h

f x h y f x yf x y

h

0

( , ) ( , )( , ) limy

h

f x y h f x yf x y

h

Notações

Se z = f (x,y) escrevemos

( , )x xf x y f f

x

( , )f x y

x

z

x

1f 1D f xD f

( , )y yf x y ff

y

( , )f x y

y

z

y

2f 2D f yD f

Para calcular a derivada paracial

1. Para achar fx, olhe y como constante e

diferencie f (x,y) com relação a x.

2. Para achar fy, olhe x como constante e

diferencie f (x,y) com relação a y.

Exemplo 1

Se determine e 3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y (2,1)xf

(2,1)yf

Interpretação Geométrica

Exemplo 1

Se ache ee interprete esses números como

inclinações.

2 2( , ) 4 2f x y x y (1,1)xf (1,1)yf

Exemplo 1 fx

Exemplo 1 fx

Exemplo 1 fy

Exemplo 3

Se , calcule e . ( , ) sen1

xf x y

y

f

x

f

y

Exemplo 4

Determine e se z é definido

implicitamente pela equação

z

x

z

y

3 3 3 6 1x y z xyz

Funções de mais de uma variável

Se u é uma função de n variáveis,

, sua derivada parcial em

relação à i-ésima variável xi é1 2( , , )nu f x x x

1 1 1 1( , , , , , , ) ( , , , , )lim i i i n i n

hi

f x x x h x x f x x xu

x h

Exemplo 1

Determine , e se ( , , ) lnxyx y zf f f f x y z e z

Derivadas parciais de 2ª ordem

Se z = f (x,y) usamos as notações

x xf x xf 11f

f

x x

2

2

f

x

2

2

z

x

y yf yyf 22f

f

y y

2

2

f

y

2

2

z

y

y xf yxf 21f

f

x y

2 f

x y

2z

x y

x yf x yf 12f

f

y x

2 f

y x

2z

y x

Exemplo 2

Determine as derivadas parciais de segunda ordem de 3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y

Gráfico de fx

Gráfico de fy

Gráfico de fxx

Gráfico de fxy = fyx

Gráfico de fyy

Teorema de Clairaut

Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contém o ponto (a,b). Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D, então

( , ) ( , )x y yxf a b f a b

Derivadas de ordem 3

xyyf x y yf

2 f

y y x

3

2

f

y x

Exemplo 3

Calcule se ( , , ) sen(3 ).xxyzf f x y z x yz

Material disponível emwww.mat.ufam.edu.br/calculo2