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2010

FATEC-JAHU

Fatec-Jahu/CEETEPS

20/07/2010

Introdução ao Cálculo numérico

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Introdução ao Cálculo numérico

FATEC-JAHU, Fatec-Jahu/CEETEPS

Resumo

Matemática numérica visa a resolver problemas com auxílio de computadores, que seguem etapas bem detalhadas. A elaboração do código do programa segue

uma lógica que é descrita nos algoritmos. A escolha de um bom algoritmo deve seguir alguns critérios.

Conteúdo

Resumo ...................................................................................................................................................................................... 2

Capítulo 1 Introdução .................................................................................................................................................................. 3

1.1 Introdução ......................................................................................................................................................................... 3

1.2 Algoritmos ......................................................................................................................................................................... 3

1.3 Passos para a resolução de problemas ............................................................................................................................... 5

Índice Remissivo .......................................................................................................................................................................... 7

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Capítulo 1 Introdução

1.1Introdução

A resolução de problemas pode ser feitos de forma analítica, simulações matemáticas ou por meio de cálculos numéricos. Com a

popularização de computadores, hoje é possível ministrar esta disciplina com alunos portando notebooks em sala de aula

efetuando os códigos de programação, testando as soluções. Cabe destacar que enquanto a matemática trata alguns algarismos

com infinitos dígitos, na matemática computacional a restrição se dá pelo tamanho da palavra da memória e que isto deve ser

levado em conta. A matemática computacional pode ser dividida nas seguintes áreas:

Matemática Computacional

Matemática simbólica

Matemática Numérica

Matemática gráfica

Matemática intervalar

A matemática numérica trata do desenvolvimento de métodos operacionais construtivos para a resolução aproximada de

problemas que podem ser representados por um modelo matemático. A matemática simbólica trata com modelos de forma

literal e procura soluções analíticas. A matemática gráfica trabalha com dados de forma gráfica e busca representar a solução

dos seus problemas também na forma gráfica. A matemática intervalar trata de dados na forma de intervalos numéricos

buscando controlar os limites de erros dos processos da matemática numérica.

Neste curso iremos nos restringir a matemática numérica, estudando os processos numéricos chamados de algoritmos para a

solução de problemas, visando a máxima eficiência computacional e confiabilidade dos fatores envolvidos: tempo de execução,

memória empregada e erros de arredondamento.

1.2Algoritmos

A solução de problemas envolve etapas, ou seja, toda uma seqüência de operações estabelecidas de modo formal. Os algoritmos

podem ser representados de forma de textos

Início

Imprimir na tela (Bom dia)

Fim

ou na forma gráfica

Início

Bom dia

Fim

4

Os algoritmos são úteis na programação pois ajudam a enxergar possíveis erros de programação ou quando pretendemos

otimizar a eficiência do código.

Um bom algoritmo deve atender aos seguintes requisitos:

1. Inexistência de erro lógico. O algoritmo deve identificar todas as etapas do modelo.

Exemplo 1. Elabore um algoritmo que determine a solução x da equação ax=b.

Solução: A princípio escreveríamos o seguinte algoritmo:

Início

A,b

X=b/a

fim

Assim para a=2 e b=4, a solução encontrada é x=2. Porém para b=2 e a=0, o resultado seria erro. Uma versão melhorada seria

Início

A,b

X=b/a

Se a=0

Falso

Contradição

x

Fim

2. Inexistência de erro operacional

Algumas vezes o algoritmo viola restrições físicas da máquina gerando erros em tempo de execução.

Exemplo 2. Considere que elaboremos um algoritmo que atenda aos seguintes requisitos:

a) Qualquer x que pertença ao conjunto Z, -x também pertence;

b) T1 é o valor inferior dado por t1=0,1.x;

c) T2 é o valor superior dado por t2=1,1.x.

5

Se tivermos valores x tal que x < t1 (underflow) ou x>t2(overflow), então temos um erro lógico. Se escolhermos x=0 teremos as

duas situações.

3. Quantidade finita de cálculos

Alguns algoritmos fazem com que a solução procurada fique oscilando em torno de um ponto, sem nunca atingi-lo. Uma solução

é alterar o algoritmo outra é limitar o número de iterações por meio da escolha de uma função erro.

4. Existência de critério de exatidão

Em vista das restrições da máquina e de sua exatidão e do método, todo resultado deve ser enquadrado em um critério de

exatidão fornecido de antemão de modo a possibilitar que um resultado seja escrito na forma

. . limx val aprox erro

5. Independência de máquina

Os dados não devem ser dependentes das máquinas, ou seja, devem ser evitadas as cotas de iterações, pois elas são

dependentes das máquinas.

6. Com precisão infinita, os limites de erro devem convergir a zero

Esta exigência estabelece a dependência da solução da máquina e a solução ideal.

7. Eficiência

Quando buscamos uma solução para um problema, visamos obter economia do esforço computacional da máquina. Assim são

previstas algumas condições que o algoritmo deve atender (solução obtida em 2 horas, exatidão de 5 casas decimais,

convergência dos valores, etc.).

Exemplo 3. Aprendemos a fazer contas de subtração sempre subtraindo os valores

10,00 _

8,25

1,75

Porém como é observada no comércio, a conta do restaurante deu 8,25 e o dinheiro entregue ao caixa é 10, o operador pega

uma moeda de 50 centavos e outra de 25 centavos e diz: 9 reais, pega uma moeda de 1,00 e diz dez reais, ou seja, ele inteira os

valores para atingir 10 reais.

1.3Passos para a resolução de problemas

Em geral a resolução do problema passa pelas seguintes etapas, como mostrado na Figura 1. O problema é que se deseja

estudar, por exemplo, analisar o comportamento hidrodinâmico de uma embarcação. A modelagem consiste em associar um

modelo matemático. No nosso caso podem ser equações de Euler ou no caso mais aprofundado equação de Navier-Stokes. No

primeiro caso podemos ter uma equação do tipo

2

2( ) 0,e

d xm F v F

dt

6

problema

Modelagem

matemática

simplificação

Contribuições de

outros ensaios ou

ciências

medição

Escolha dos

métodos

Escolha dos

parâmetros

Truncamento das

iterações

Resultado

numérico

Figura 1. Passos para a resolução de problemas.

enquanto que a no segundo caso podemos ter

2 2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x z y x y

y x z z y

z y x yz zx

I p I I qr r pq I z r q I z

M I q I I pr p r I x qp r I z

N I r I I pq q rp

X m u vr wq

Y m v wp ur

Z m w uq vp

K

I rq p I

Resolver esta equação pode ser uma tarefa muito complexa. Em geral são feitas algumas considerações que tornem a equação

mais amigável. Em algumas situações alguns parâmetros podem vir de outras considerações ou de outros ensaios.

Uma vez tendo os coeficientes é hora de escolher o método que devem levar em consideração tudo o que já foi tratado até aqui

(ver eficiência do algoritmo). Em seguida devemos escolher alguns parâmetros do programa, por exemplo, passo ou intervalo de

pontos ou quantidade de pontos, etc. Finalmente como o processo em geral é iterativo, devemos adotar um critério de parada.

Em alguns casos precisamos verificar o grau de sensibilidade das variáveis. Cada uma destas etapas ocasiona um erro que no

final do processo se acumula.

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Índice Remissivo

algoritmos, 3

critério de exatidão, 5

Eficiência, 5

erro lógico, 4

erro operacional, 4

Independência de máquina, 5

matemática gráfica, 3

matemática intervalar, 3

matemática numérica, 3

matemática simbólica, 3

precisão, 5

Quantidade finita de cálculos, 5

resolução do problema, 5