49
1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO DISCIPLINA: CÁLCULO NUMÉRICO PROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006 – PRIMEIRA PARTE Prezados Alunos, sejam bem-vindos ao nosso curso de Cálculo Numérico. Desejo que vocês possam desfrutar destas notas de aula. O sabor coloquial com que procurei “temperar” estas anotações certamente facilitará a aprendizagem da matéria. Um agradecimento muito especial aos autores de livros, excelentes mestres Ruggiero e Lopes como também ao professor Barroso. Desde que desejamos aprimorar este trabalho ao longo do tempo, sugestões e críticas serão bem vindas. Email: [email protected] ou [email protected] . Página na Internet: http:// geocities.yahoo.com.br/magnoferraz/ Telefones: 3353-4784 ou 9179-1925 BIBLIOGRAFIA BÁSICA HUMES, A. F. P. C.; MELO, I. S. H.; YOSHIDA, L. K.;MARTINS, W. T. Noções de Cálculo numérico. São Paulo: McGraw-Hill, 1984. RUGGIERO, M. A. G.;LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: Makron Books, 1996.

Calculo Numerico i

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Métodos

Citation preview

  • 1

    UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA CURSO: CINCIA DA COMPUTAO DISCIPLINA: CLCULO NUMRICO PROFESSOR: ATAUALPA MAGNO FERRAZ DE NOVAES PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006 PRIMEIRA PARTE Prezados Alunos, sejam bem-vindos ao nosso curso de Clculo Numrico.

    Desejo que vocs possam desfrutar destas notas de aula. O sabor coloquial com que procurei temperar estas anotaes certamente facilitar a aprendizagem da matria. Um agradecimento muito especial aos autores de livros, excelentes mestres Ruggiero e Lopes como tambm ao professor Barroso. Desde que desejamos aprimorar este trabalho ao longo do tempo, sugestes e crticas sero bem vindas. Email: [email protected] ou [email protected]. Pgina na Internet: http:// geocities.yahoo.com.br/magnoferraz/ Telefones: 3353-4784 ou 9179-1925

    BIBLIOGRAFIA BSICA

    HUMES, A. F. P. C.; MELO, I. S. H.; YOSHIDA, L. K.;MARTINS, W. T. Noes de Clculo numrico. So Paulo: McGraw-Hill, 1984.

    RUGGIERO, M. A. G.;LOPES, V. L. R. Clculo numrico: aspectos tericos e computacionais. So Paulo: Makron Books, 1996.

  • 2

    NOTAS DE AULA DE CLCULO NUMRICO

    O que o Clculo Numrico? O Clculo Numrico corresponde a um conjunto de mtodos usados para se obter a soluo de

    problemas cientficos na maioria das vezes de forma aproximada, usando tcnicas matemticas e o computador.

    Porm, o profissional que se defrontar com o problema ter que tomar uma srie de decises antes de resolv-lo. E para tomar essas decises, preciso ter conhecimento de mtodos numricos. O profissional ter que decidir, dentre outras coisas:

    Pela utilizao ou no de um mtodo numrico ( se existirem mtodos numricos para se resolver o tal problema. );

    Escolher o mtodo a ser utilizado, procurando aquele que mais adequado para o seu problema. Analisar quais vantagens cada mtodo oferece e as limitaes que eles apresentam;

    Saber avaliar a qualidade da soluo obtida. Para isso, importante ele saber exatamente o que est sendo feito pelo computador ou calculadora, isto , como determinado mtodo operacionalizado.

    Os principais objetivos do nosso curso so:

    Apresentar diversos mtodos numricos para a resoluo de diferentes problemas matemticos. Pretende-se esclarecer a importncia desses mtodos, mostrando:

    a essncia de um mtodo numrico; a diferena em relao a solues analticas; as situaes em que eles devem ser aplicados; as vantagens de se utilizar um mtodo numrico; as limitaes na sua aplicao e confiabilidade na soluo obtida.

    Melhorar a familiarizao e intimidade do aluno com a matemtica, mostrando seu lado prtico e sua utilidade no dia-a-dia de um cientista. Rever conceitos, exercit-los e utiliz-los de maneira prtica.

  • 3

    Erros Numricos Vamos supor o seguinte problema: como calcular o valor de 2 ( ou, por exemplo uma dzima

    como 23

    )? Provavelmente, a primeira resposta que vem mente de qualquer pessoa esclarecida ser:

    utilizando uma calculadora ou um computador. Indiscutivelmente, essa a resposta mais sensata e prtica. Porm, um profissional que utilizar o resultado fornecido pela calculadora para projetar, construir ou manter pontes, edifcios, mquinas, sistemas, dispositivos eletrnicos, etc., no pode aceitar o valor obtido antes de fazer alguns questionamentos ( pelo menos uma vez na sua vida profissional! ). Ser que esse resultado confivel? ( por exemplo, ser que a ponte pode desabar? ) Essa pergunta faz sentido pois 2 um nmero irracional, isto , no existe uma forma de represent-lo com um nmero finito de algarismos. Portanto, o nmero apresentado pela calculadora

    uma aproximao do valor real de 2 , j que ela no pode mostrar infinitos algarismos. E quo prximo do valor real est o resultado mostrado?

    O erro cometido ao se calcular o valor de 2 , se refere inevitvel limitao na representao de nmeros irracionais e apenas um tipo de erro que pode surgir ao se resolver um problema real. Esse tipo de erro chamado de erro de arredondamento. Outros tipos de erros tambm podem aparecer devido a outros tipos de problemas ou limitaes.

    Tipos de Erros A soluo matemtica de um determinado problema envolve diversas etapas. A soluo do problema se inicia com a criao de um modelo matemtico que melhor se ajuste ao problema em questo. Esse modelo sempre apresentar aproximaes e limitaes. Esse tipo de erro chamado de erro na simplificao do modelo matemtico. Alm disso, na grande maioria das vezes, dados experimentais ( alguns autores o chamam de erro inerente ao modelo matemtico utilizado ) sero utilizados para se obter a soluo. Como toda medida experimental apresenta uma incerteza, a soluo do problema ser influenciada pela mesma. Esse tipo de erro chamado de erro de entrada de dados. Portanto, logo de incio, existem diversos fatores que introduzem erros na soluo numrica do problema. Vamos considerar um outro tipo de erro que pode surgir ao realizarmos determinadas operaes.

    Digamos que precisamos calcular o valor de xe . Mais uma vez, iremos utilizar uma mquina digital

    ( calculadora ou computador ). Como esse equipamento ir realizar essa operao? Sabemos, do Clculo Diferencial, que a exponencial uma funo que pode ser representada por uma

    srie infinita dada por: LL ++++++=!!3!2

    132

    n

    xxxxe

    nx

    e na prtica impossvel calcular seu valor

  • 4

    exato. Portanto, mais uma vez, teremos que fazer uma aproximao, que levar a um erro no resultado final de ex.

    Por exemplo, se considerarmos 2

    12!

    x xe x= + + estaremos fazendo um truncamento dessa srie, e o erro

    gerado no valor de ex chamado de erro de truncamento ( claro que estamos nos referindo funo xe de um modo geral, pois para 0x = no h erro algum ).

    Podemos criar algumas definies a fim de facilitar as discusses e trocas de informao sobre esse problema. Vamos definir o mdulo da diferena entre o valor real da grandeza que queremos calcular e o valor aproximado que efetivamente calculamos como sendo o erro absoluto , ou seja:

    Erro Absoluto = EA = | valor real valor aproximado | Quanto menor for esse erro, mais preciso ser o resultado da operao.

    Porm, se estivermos trabalhando com nmeros muito grandes, o erro pode ser grande em termos absolutos, mas o resultado ainda ser preciso. E o caso inverso tambm pode ocorrer: um erro absoluto pequeno, mas um resultado impreciso. Por exemplo, digamos que o resultado de uma operao nos fornea o valor 2.123.542,7 enquanto o valor real que deveramos obter 2.123.544,5. O erro absoluto neste caso 1,8. Comparada com o valor real, essa diferena ( o erro absoluto ) bem pequena, portanto, podemos considerar o resultado preciso. Em um outro caso, digamos que o resultado da operao seja 0,234 e o resultado correto era 0,128. Desta vez o erro absoluto ser igual a 0,106, porm o resultado bastante impreciso.

    A fim de evitar esse tipo de ambigidade, podemos criar uma nova definio. Podemos definir o erro relativo como sendo o quociente entre o erro absoluto e o valor real da grandeza a ser calculada, ou seja:

    valor real valor aproximadoerro relativo

    valor real

    =

    O erro relativo uma forma mais interessante de se avaliar a preciso de um clculo efetuado. No exemplo acima, teremos um erro relativo de 0,0000008 ou 0,00008% no primeiro caso e um erro relativo igual a 0,83 ou 83% no segundo caso.

    Propagao e Condicionamento de Erros Numricos Vamos supor que queremos calcular o valor de 2 e3. Como vimos anteriormente, ao

    calcularmos o valor de 2 , teremos que realizar um arredondamento, que leva ao um resultado

    aproximado de 2 , ou seja, existe um erro de arredondamento associado ao resultado. Para calcularmos o valor de e3 teremos que fazer um truncamento, que tambm ir gerar um erro de

    truncamento ( ao usarmos a funo xe ) no resultado obtido. Portanto, o resultado da operao de

  • 5

    subtrao entre 2 e e3 apresentar um erro que proveniente dos erros nos valores de 2 e e3

    separadamente. Em outras palavras, os erros nos valores de 2 e e3 se propagam para o resultado de 2 e

    3. Podemos concluir ento que, ao se resolver um problema numericamente, a cada etapa e a cada

    operao realizada, devem surgir diferentes tipos de erros gerados das mais variadas maneiras, e estes erros se propagam e determinam o erro no resultado final obtido.

    Representao Numrica

    Introduo A fim de realizarmos de maneira prtica qualquer operao com nmeros, ns precisamos

    represent-los em uma determinada base numrica. Podemos escrev-lo na base decimal, por exemplo, que a base mais usada atualmente pela humanidade ( graas nossa anatomia ).

    Voltemos ao nmero 2 . O valor de 2 na base decimal pode ser escrito como 1,41 ou 1,4142

    ou ainda 1,41421356237. Qual a diferena entre essas vrias formas de representar 2 ? RESPOSTA: A diferena a quantidade de algarismos significativos usados em cada representao.

    Em uma mquina digital, como uma calculadora ou um computador, os nmeros no so representados na base decimal. Eles so representados na base binria, ou seja, usam o nmero 2 como base ao invs do nmero 10.

    EXERCCIOS

    1) Converta os nmeros da base 10 para a base 2:

    a) 2 b) 5 c) 10 d) 15 e) 25 f) 37 g) 347

    h) 2345 i) 0,1875 j) 0,6 l) 13,25 m) 3,5 n) 0,1

    2) Converta os nmeros da base 2 para a base 10:

    a) 101 b) 1000 c) 1001 d) 1011 e) 1111

    f) 10100 g) 10101 h) 0,10 i) 0,11 j) 0,101

    l) 1,01 m) 1,001 n) 1,011

  • 6

    Ponto Fixo e Ponto Flutuante A princpio, toda vez que escrevemos um nmero, deveramos mencionar a base numrica a qual

    estamos nos referindo. Obviamente, isso no se faz necessrio na prtica, pois estamos sempre representando os nmeros na base decimal, portanto sabemos exatamente o seu significado. Por exemplo, quando escrevemos o nmero 1532, o que realmente queremos dizer? Estamos dizendo que esse nmero

    representa uma quantidade equivalente a 11000 + 5100 + 310 + 2, ou, escrevendo a base de outra

    forma, 1103 + 5102 + 3101 + 2100. Essa a chamada representao posicional de nmeros.

    Na base binria, o mecanismo o mesmo, porm, ao invs de potncias de 10, utilizamos potncias de 2. Portanto, um nmero binrio como 1011 ( lembre-se, do ginsio, que na base binria s existem os algarismos 0 e 1 ) significa 123 + 022 + 121 + 120 que na base 10 8+2+1=11.

    Um nmero inteiro apresenta a chamada representao de ponto fixo, onde a posio do ponto decimal est fixa e todos os dgitos so usados para representar o nmero em si, com exceo do primeiro dgito usado para representar o sinal desse nmero. A figura abaixo ilustra essa representao.

    Sinal Dgitos

    Para um nmero real qualquer ( inteiro ou no inteiro ) utilizada a representao de ponto flutuante normalizado ( ou simplesmente, representao de ponto flutuante ), que dada pela expresso: (0.d1d2d3...dt) e onde: 0.d1d2d3...dt uma frao na base , tambm chamada de mantissa, com 0 di 1, para todo i = 1,2,3,...,t e 1d 0 sendo t o nmero mximo de dgitos da mantissa ( tambm chamado de nmero de algarismos significativos ) que determinado pelo comprimento da palavra do computador; e um expoente que varia em um intervalo dado pelos limites da mquina utilizada, assim m e M , onde m

    o limite inferior e M o limite superior da mquina. Esse tipo de representao chamado de ponto flutuante, pois o ponto da frao flutua

    conforme o nmero a ser representado e sua posio expressa pelo expoente e . Alguns exemplos da representao de ponto flutuante podem ser vistos na tabela a seguir:

    Nmero na base decimal Base Representao em ponto flutuante Mantissa Expoente 1532 10 0.1532104 0.1532 4

    15.32 10 0.1532102 0.1532 2

    0.00255 10 0.25510-2 0.255 2

    10 10 0.10102 0.10 1

    10 2 0.101024 0.1010 4

  • 7

    Arredondamento em Ponto Flutuante

    Introduo

    Chamamos ateno para o fato de que o conjunto dos nmeros representveis em qualquer mquina finito, e portanto discreto, ou seja no possvel representar em uma mquina todos os nmeros de um dado intervalo [ ],a b . A implicao imediata desse fato que o resultado de uma simples operao aritmtica ou o clculo de uma funo, realizadas com esses nmeros, podem conter erros. A menos que medidas apropriadas sejam tomadas, essas imprecises causadas, por exemplo, por simplificao no modelo matemtico ( algumas vezes necessrias para se obter um modelo matemtico solvel ); erro de truncamento ( troca de uma srie infinita por uma finita ); erro de arredondamento ( devido a prpria estrutura da mquina ); erro nos dados ( dados imprecisos obtidos de experimentos, ou arredondados na entrada ); etc, podem diminuir e algumas vezes destruir, a preciso dos resultados. Assim, nosso objetivo aqui ser o de alertar o aluno para os problemas que possam surgir durante a resoluo de um problema, bem como dar subsdios para evit-los e para uma melhor interpretao dos resultados obtidos.

    Sistema de Nmeros Discreto no Computador

    Inicialmente, descreveremos como os nmeros so representados num computador.

    Representao de um Nmero Inteiro

    Em princpio, a representao de um nmero inteiro no computador no apresenta dificuldade.

    OBSERVAO:

    O nmero zero pertence a qualquer sistema e representado com mantissa igual a zero e e m= .

    Representao de um Nmero Real

    Fundamentado no que voc aprendeu at aqui, resolva o exerccio abaixo

    EXERCCIO:

    Escrever os nmeros: x1 = 0.35; x2 = 5.172; x3 = 0.0123; x4 = 5391.3 e x5 = 0.0003 , onde todos esto na base 10 = , em ponto flutuante na forma normalizada.

    Para representarmos um sistema de nmeros em ponto flutuante normalizado, na base , com t dgitos significativos e com limites do expoente m e M , usaremos a notao: ( ), , ,F t m M .

    Assim um nmero no nulo em ( ), , ,F t m M ser representado por:

    0.d1d2d3...dt e , onde 0 di 1, 1d 0 e m e M

  • 8

    EXERCCIO: Considere o sistema F( 10, 3, 2, 2 ). Represente nesse sistema os nmeros do exerccio anterior x1 = 0.35; x2 = 5.172; x3 = 0.0123; x4 = 5391.3 e x5 = 0.0003.

    Veja abaixo um exerccio resolvido bastante interessante.

    Seja ( )f x uma funo contnua real definida no intervalo [ ],a b , a b< e sejam ( ) 0f a < e ( ) 0f b > . Ento de acordo com o teorema do valor intermedirio, existe x , a x b< < , tal que ( )f x = 0. Seja ( ) 3 3f x x= . Determinar x tal que ( )f x = 0.

    SOLUO: Para a funo dada , consideremos 10t = e 10 = . Obtemos ento ( no se preocupe como conseguimos o resultado abaixo, pois voc s aprender mais tarde ):

    ( ) = 1 -8f 0.1442249570 10 0.2 10 ;

    ( )1 -8f 0.1442249571 10 = 0.4 10 .

    Observe que entre 10.1442249570 10 e 10.1442249571 10 no existe nenhum nmero que possa ser representado no sistema dado e que a funo f muda de sinal nos extremos desse intervalo. Assim, esta mquina no contm o nmero x tal que ( ) 0f x = e portanto a equao dada no possui soluo nessa mquina em que 10t = e 10 = .

    Representao de Nmeros no Sistema ( ), , ,F t m M

    Sabemos que os nmeros reais podem ser representados por uma reta contnua ( isto , numa reta ). Entretanto, na representao em ponto flutuante podemos representar apenas pontos discretos na reta real. Para ilustrar este fato consideremos o seguinte exemplo.

    EXEMPLO: Quantos e quais nmeros podem ser representados no sistema ( )2,3,1,2F ?

    SOLUO: Temos que 2 = ento os dgitos podem ser 0 ou 1; 1m = e 2M = ento 1 2e e 3t = . Assim, os nmeros so da forma:

    0.d1d2d3 e . Logo temos: duas possibilidades para o sinal, uma possibilidade para d1, duas para d2 , duas para d3 e quatro para as formas de e . Fazendo o produto 2 1 2 2 4 obtemos 32. Assim neste sistema podemos representar 33 nmeros visto que o zero faz parte de qualquer sistema.

    Para responder quais so os nmeros, notemos que as formas da mantissa so: 0.100, 0.101, 0.110 e 0.111 e as formas de e so: 2 1, 20, 21, 22. Assim, obtemos os seguintes nmeros:

  • 9

    EXERCCIO:

    Considerando o mesmo sistema do exemplo acima, represente os nmeros: x1 = 0.38, x2 = 5.3 e x3 = 0.15 dados na base 10.

    As operaes num computador so arredondadas. Para ilustrar este fato, consideremos o seguinte exemplo.

    EXEMPLO: Calcular o quociente entre 15 e 7.

    SOLUO:

    Usando a calculadora deste computador no qual estou trabalhando neste instante, temos: 2,1428571428571428571428571428571.

    Suponha agora que s dispomos do total de 4 dgitos para representar o quociente 15/7.

    Da, 15 / 7 2,142=

    Mas no seria melhor aproximarmos 15 / 7 por 2,143? A resposta sim e isso significa que o nmero foi arredondado. Isto sugere a seguinte...

    DEFINIO: Arredondar um nmero x , por outro com um nmero menor de dgitos significativos, consiste em encontrar um nmero x , pertencente ao sistema de numerao, tal que x x seja o menor possvel.

  • 10

    IMPORTANTE!

    Assim, em linhas gerais, para arredondar um nmero, na base 10, devemos apenas observar o primeiro dgito a ser descartado. Se este dgito menor que 5 deixamos os dgitos inalterados e se maior ou igual a 5 acrescentamos uma unidade ao ltimo algarismo remanescente.

    Arredondamento

    Trataremos o arredondamento em ponto flutuante com o exemplo abaixo, use os conhecimentos adquiridos at aqui e o seu bom senso e resolva-o.

    EXEMPLO: Considere uma mquina que utiliza o sistema ( )10,3,5,5F , isto os nmeros tem a seguinte forma 1 2 30, .10 5 5

    ed d d com e . Represente neste sistema os nmeros:

    1 2 3 4 5x = 1234,56; x = 0,00054962; x = 0,9995; x = 123456,7 e x = 0,0000001 .

    RESPOSTA:

    4 -3 11 2 3

    4

    5

    x = 0,123.10 ; x = 0,550.10 ; x = 0,1.10 ;x impossvel, pois o expoente 6, acima da capacidade da mquina ( overflow );x impossvel, pois o expoente 6, abaixo da capacidade da mqui

    na ( underflow ).

    OPERAES ARITMTICAS EM PONTO FLUTUANTE

    Considere uma mquina qualquer e uma srie de operaes aritmticas. Pelo fato do arredondamento ser feito aps cada operao temos, ao contrrio do que vlido para nmeros reais, que as operaes aritmticas ( adio, subtrao, multiplicao e diviso ) no so nem associativas e nem distributivas.

    Ilustraremos esse fato atravs de exerccios, os quais voc deve tentar fazer.

    Nos exerccios abaixo considere o sistema com base 10 = , e com 3 dgitos significativos.

    Efetue as operaes indicadas:

    i) ( 11,4 + 3,18 ) + 5,05 e 11,4 + ( 3,18 + 5,05 )

    RESPOSTAS: 19,7 e 19,6

    ii) 3,18 11, 45,05

    e

    3,18 11, 45,05

    RESPOSTAS: 7,19 e 7,18

    iii) 3,18 ( 5,05 + 11,4 ) e 3,18 5,05 + 3,18 11,4 .

    RESPOSTAS: 52,5 e 52,4

  • 11

    BIBLIOGRAFIA:

    HUMES, A. F. P. C.; MELO, I. S. H.; YOSHIDA, L. K.;MARTINS, W. T: Noes de Clculo numrico. So Paulo: McGraw-Hill, 1984.

    RUGGIERO, M. A. G.;LOPES, V. L. R. Clculo numrico: aspectos tericos e computacionais. So Paulo: Makron Books, 1996.

    MARCELO GAMEIRO E ANTONIO CSAR GERMANO. Apostila de Complementos de Clculo Numrico.

    ARTIGOS E LIVROS ENCONTRADOS NA INTERNET

  • 12

    ZEROS REAIS DE FUNES REAIS Dizemos que um zero ( ou raiz ) de uma funo real de varivel real ( )y f x= se e somente se

    ( ) 0f = . Usaremos muitas vezes o seguinte teorema ( que localiza os possveis zeros de uma funo ): TEOREMA DE BOLZANO: Seja f uma funo contnua em [ ],a b com ( ) ( ). 0f a f b < ento a funo f tem pelo menos um zero em [ ],a b . EXEMPLO: Seja a funo ( ) .ln 3, 2f x x x= . Podemos calcular o valor de ( )f x para valores arbitrrios de x , como mostrado na tabela abaixo ( usando apenas duas casas decimais ):

    x 1 2 3 4

    ( )f x -3,20 -1,81 0,10 2,36

    Pelo Teorema de Bolzano, conclumos que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [ ]2,3 . Seja f uma funo contnua em [ ],a b com ( ) ( ). 0f a f b < e suponha ainda que seja seu nico zero em [ ],a b ( mais tarde veremos alguns processos para no s localizar zeros de funes mas tambm para isolar esses zeros ). MTODO ITERATIVO: Um mtodo dito iterativo ( e no interativo!!! ) basicamente quando para calcularmos uma nova aproximao, usamos uma aproximao anterior, obtida por algum mtodo. Estudaremos trs mtodos para determinar alguns zeros reais de funes reais, so eles: 1) Mtodo da bisseco ou dicotomia; 2) Mtodo de Newton-Raphson; 3) Mtodo das aproximaes sucessivas ou iterao linear.

    RESUMO E ALGUMAS OBSERVAES Graficamente, os zeros de uma funo f(x) correspondem aos valores de x em que a funo intercepta o eixo horizontal do grfico, como mostrado na figura abaixo. A funo g(x) da figura abaixo tem 5 razes no intervalo [a,b]: x1, x2, x3, x4, x5.

  • 13

    s vezes as razes de uma funo podem ser encontradas analiticamente, ou seja, resolvendo a equao f(x)=0 de maneira exata, como mostrado nos exemplos a seguir:

    033)3( :pois )( de raz 3

    3)( )1

    ==

    =

    =

    fxfx

    xxf

    0423

    .

    38

    23

    :pois )( de raz a 23

    23

    8124

    3804

    38

    438)( )2

    ==

    =

    ====

    =

    g

    xgx

    xxx

    xxg

    010-10 )2( 01515 )3( 65.2-22 63.53)3(

    :pois )( de solues so 3 quanto 2 anto t2 3

    21 5

    12425 065

    65)( )3

    22

    2

    1

    2

    2

    ====

    +=+=

    ==

    =

    =

    =

    ===+

    +=

    hh)h(h

    xhxxx

    x

    x

    xx

    xxxh

    g(x)

    xbxxxxxa 1 2 3 4 5

  • 14

    Porm, nem sempre possvel se encontrar analiticamente a raiz de uma funo, como nos casos a seguir:

    7 21 ) ( ) 2 1

    2 ) ( ) sen

    3 ) ( ) ln

    x

    f x x x x

    g x x e

    h x x x

    = + +

    = +

    = +

    Nestes casos precisamos de um mtodo numrico para encontrar uma estimativa para a raiz da funo estudada, ou seja, um valor to aproximado quanto se deseje. Tais mtodos devem envolver as seguintes etapas:

    (a) Determinao de um intervalo em x que contenha pelo menos uma raiz da funo f(x), ou seja, isolamento das razes ( quando possvel );

    (b) Calculo da raiz aproximada atravs de um processo iterativo ( que ser explicado logo a seguir ) at a preciso desejada.

    Processos Iterativos Existe um grande nmero de mtodos numricos que so processos iterativos. Como o prprio

    nome j diz (consulte um dicionrio para verificar o significado de iterativo), esses processos se caracterizam pela repetio de uma determinada operao. A idia nesse tipo de processo repetir um determinado clculo vrias vezes obtendo-se a cada repetio ou iterao um resultado mais preciso que aquele obtido na iterao anterior. E, a cada iterao utiliza-se o resultado da iterao anterior como parmetro de entrada para o clculo seguinte. Alguns aspectos comuns a qualquer processo iterativo, so:

    Estimativa inicial: como um processo iterativo se caracteriza pela utilizao do resultado da iterao anterior para o clculo seguinte, a fim de se iniciar um processo iterativo, preciso que se tenha uma estimativa inicial do resultado do problema. Essa estimativa pode ser conseguida de diferentes formas, conforme o problema que se deseja resolver;

    Convergncia: a fim de se obter um resultado prximo do resultado real, preciso que a cada passo ou iterao, o resultado esteja mais prximo daquele esperado, isto , preciso que o mtodo convirja para o resultado real. Essa convergncia nem sempre garantida em um processo numrico. Portanto, muito importante se estar atento a isso e realizar a verificao da convergncia do mtodo para um determinado problema antes de tentar resolv-lo;

  • 15

    Critrio de Parada: obviamente no podemos repetir um processo numrico infinitamente. preciso par-lo em um determinado instante. Para isso, devemos utilizar um certo critrio, que vai depender do problema a ser resolvido e da preciso que precisamos obter na soluo. O critrio adotado para parar as iteraes de um processo numrico chamado de critrio de parada.

    Para encontrarmos as razes ou zeros de uma funo iremos utilizar mtodos numricos iterativos. Como j mencionado, o primeiro passo para se resolver um processo iterativo corresponde a obteno de uma estimativa inicial para o resultado do problema. No caso de zeros de funes, usamos a operao chamada de isolamento de razes:

    Isolamento de Razes Para determinarmos o nmero e a localizao aproximada de razes de uma funo, a fim de obtermos uma estimativa inicial a ser usada nos processo iterativos, podemos examinar o comportamento dessa funo atravs de um esboo grfico. Por exemplo, seja uma funo f( x ) tal que: f( x ) = g( x ) h( x ) As razes de f( x ), so os valores de x tais que: g( x ) h ( x ) = 0, ou ainda g( x ) = h ( x ) Logo, os valores de x em que o grfico de g( x ) intercepta o grfico de h( x ) a raiz de f( x ). Passemos agora ao estudo dos mtodos mencionados na pgina 12, isto : 1) Mtodo da bisseco ou dicotomia; 2) Mtodo de Newton-Raphson; 3) Mtodo das aproximaes sucessivas ou iterao linear.

  • 16

    MTODO DA BISSECOMTODO DA BISSECOMTODO DA BISSECOMTODO DA BISSECO OU DICOTOMIA OU DICOTOMIA OU DICOTOMIA OU DICOTOMIA O mtodo da bisseco consiste em dividir o intervalo [ ],a b ao meio, obtendo assim os intervalos [ ]1,a x e [ ]1,x b , onde 1 2

    a bx

    += .

    Vamos analisar o que pode ocorrer: ( )( ) ( ) ( )( )

    1 1

    1 1

    0, assim x a raiz procurada ( fim!)0 ou 0 nestes casos, comparamos com

    e para podermos aplicar o teorema de Bolzano...

    f xf x f x f af b

    = =

    > > , a raiz procurada estiver entre a e 1x , repetimos o processo acima para o intervalo [ ]1,a x , encontrando o ponto 2x e assim sucessivamente ... espremendo a raiz cada vez mais. Veja o grfico abaixo e o exemplo que segue.

    Note que o primeiro erro que se comete menor que 2

    b a, isto 1 2

    b ax

    < , o segundo

    2 22 4b a b a

    x

    < = , em geral, na quebra do intervalo ( ou seja, na iterao ) de ordem n , o erro

    menor que 2n

    b a, assim

    2n nb a

    x

    < .

    y

    f(b)

    f(x1)

    a x2 x1 b x f(a)

  • 17

    EXEMPLOEXEMPLOEXEMPLOEXEMPLO: : : : Determine o zero positivo de ( ) 2 3f x x= , com seis iteraes ( critrio de parada ). RESOLUO: claro que estamos procurando o valor de 3 !

    Inicialmente vamos isolar a raiz em um intervalo. Os mtodos clssicos so

    i) O mtodo grfico;

    No caso em questo, o grfico bastante conhecido, uma parbola, que intercepta o eixo Ox em dois

    pontos simtricas em relao origem. Investigando um pouco conclumos que existe um zero da funo

    no intervalo [ ]1, 2 . ii) Dando valores a x e estudando certas caractersticas da funo

    ( uma delas, por exemplo, a derivada ).

    Atribuindo valores a x , teremos:

    ( )( )( )

    2

    2

    2

    0 0 3 3 0

    1 1 3 2 0

    2 2 3 1 0

    fff

    = = ento, com certeza h apenas uma raiz nesse intervalo. Portanto o intervalo inicial que usaremos para aplicar o mtodo da

    bisseco [ ]1, 2 . Veja a tabela abaixo: n

    na nb nx ( )nf x ( )Erro menor que 1

    1,00000 2,00000 1,50000 -0,75000 0,50000

    2 1,50000 2,00000 1,75000 0,06250 0,25000

    3 1,50000 1,75000 1,62500 -0,35938 0,12500

    4 1,62500 1,75000 1,68750 -0,15234 0,06250

    5 1,68750 1,75000 1,71875 -0,04590 0,03125

    6 1,71875 1,75000 1,73438 0,00806 0,01563

    Conclumos que a melhor estimativa para a raiz 1,73438.

    OBSERVAO: Alguns critrios de parada so:

    1) Nmero de iteraes; 2) ( )nf x < , onde a tolerncia exigida, a depender de cada problema;

  • 18

    1) Ache o zero da funo ( ) 3 9 3f x x x= + no intervalo [ ]0,1 , pelo mtodo da bisseco, utilizando cinco casas decimais e ( ) 0,0001nf x < como critrio de parada.

    2) Encontre o zero da funo ( ) 32 3f x x ln x= + , pelo mtodo da bisseco, utilizando cinco casas decimais e como critrio de parada 0,03125Erro menor que .

    3) Determine o zero da funo ( ) 2xf x x e = , usando 0 0,4x = , pelo mtodo de Newton-Raphson, utilizando cinco casas decimais e trs iteraes como critrio de parada

  • 19

    MTODO DE NEWTONMTODO DE NEWTONMTODO DE NEWTONMTODO DE NEWTON----RAPHSONRAPHSONRAPHSONRAPHSON Suponha que ocorra a seguinte situao:

    )(1 nn xx =+ (4.18)

    Podemos escrever uma forma geral para a funo de iterao:

    )().()( xfxAxx += (4.19)

    pois, para x igual raiz de f(x), tem-se f(x)=0, ou seja x=(x) para qualquer A(x)0.

    Para haver a convergncia no mtodo da iterao linear preciso que |(x)|

  • 20

    a) Caso em que 1x cai fora do intervalo [ ],a b ( a escolha do 0x no foi legal! Possivelmente 0x b= era uma escolha melhor...)

    b) Caso em que 0'( ) 0f x = ( pssima escolha! )

    c) Caso do loop infinito

    Portanto, de um modo geral, a depender de 0x , o processo pode convergir ou no!

    y f(x)

    x0 = a b x1 x

    reta tangente

    y

    reta tangente

    x

    a x0 b

    y reta tangente 1

    x

    reta tangente 2

    x0 = x2 ... x1 = x3 ...

  • 21

    Critrio enunciado por Barroso, pgina 125:

    Se ' e ''f f so no nulas e preservarem o sinal em [ ],a b ( onde h uma raiz isolada de f ) e 0x ( valor inicial ) seja tal que ( ) ( )0 0. '' 0f x f x > ento o mtodo de Newton converge.

    Alm disso, temos o Critrio de Fourier para o mtodo de Newton-Raphson:

    Se ( ) ( ) 0. " 0f a f a x a> = ( veja os grficos abaixo! ) Se ( ) ( ) 0. " 0f b f b x b> =

    Outro resultado o teorema encontrado em Ruggiero e Lopes ( pgina 69 ): Sejam ( ) ( ) ( ), ' ''f x f x e f x contnuas em um intervalo I que contm a raiz isolada x = de ( ) 0f x = . Suponhamos que ( )' 0f . Ento existe um intervalo J I tal que 0x J , a seqncia { }kx gerada pela frmula recursiva 1

    ( )'( )

    nn n

    n

    f xx x f x+ = converge para .

    Prezados alunos, como vimos anteriormente o mtodo grfico pode ser extremamente til para decidirmos sobre a localizao e isolamento da raiz. Tambm podemos recorrer a ele para a escolha do valor inicial

    da iterao 0x .

    EXEMPLO 1:

    Determine 3 pelo mtodo de Newton-Raphson. ( Discutiremos o critrio de parada e a estimativa de erro no prprio exerccio ). Usaremos cinco decimais com o arredondamento tradicional. RESOLUO: Note que achar 3 o mesmo que determinar o zero positivo de ( ) 2 3f x x= , pois: 2 23 3 3 0x x x= = = . Lembre que, no mtodo da bisseco ns fizemos este mesmo

    problema, usando 6 iteraes. O que queremos provar que usando o mtodo de Newton-Raphson a

    convergncia muito mais rpida. Podemos usar o mtodo grfico e tambm dar valores a x ; de qualquer

    sorte, como visto anteriormente, ns sabemos que existe uma nica raiz no intervalo [ ]1, 2 . Testando as hipteses do critrio do Barroso:

  • 22

    ( ) 2 3f x x= ; ( )' 2f x x= ; ( )'' 2f x = . Considerando o intervalo [ ]1, 2 , as derivadas no se anulam e tambm preservam o sinal ( na verdade ambas so sempre positivas ). Devemos agora escolher um 0x

    conveniente. Pelo critrio de Fourier, enunciado acima, tomaremos 0 2x = ( pois ( ) ( )2 . '' 2 0f f > ).

    1( )'( )

    nn n

    n

    f xx x f x+ =

    n nx ( ) 2 3n nf x x= ( )' 2n nf x x= ( )( )'n

    n

    f xf x 1nx +

    0 0 2x = 1 4 0,25 1 1,75x =

    1 1 1,75x = 0,0625 3,5 0,01786 2 1,73214x =

    2 2 1,73214x = 0,00031 3,46428 0,00009 3 1,73205x =

    Com duas iteraes tnhamos 2 1,73214x = ( melhor que o resultado obtido pelo mtodo da bisseco, no qual fizemos seis iteraes ... ). Finalmente com trs iteraes, temos 3 1,73205x = , assim a raiz pedida aproximadamente 1,73205 , isto , 1,73205 .

    EXEMPLO 2:

    Calcule a raiz de 2( ) 6f x x x= + , usando o mtodo de Newton-Raphson, x0 = 3 como estimativa inicial e como critrio de parada | f(xn) | 0,020.

    Para encontrar a raiz de f(x) usando o mtodo de Newton-Raphson, devemos ter:

    ( )nn xx =+1 onde,

    ( ) ( )( )( )

    126

    1262

    126 2222

    +

    +=

    +

    ++=

    +

    +=

    =

    x

    x

    x

    xxxx

    x

    xxxx

    xfxf

    xx

  • 23

    Portanto, temos que:

    xn f(xn) (xn) 3 6 2,1429

    2,1429 0,7349 2,0039

    2,0039 0,0195

    A estimativa da raiz de f(x) : 2,0039x =

    OBSERVAO: Alguns critrios de parada para o mtodo de Newton-Raphson so:

    1) Nmero de iteraes; 2) ( )nf x < , onde a tolerncia exigida, a depender de cada problema;

    3) ( )( )'n

    n

    f xf x < ;

    EXERCCIOS

    1) Ache o zero da funo ( ) 3 9 3f x x x= + no intervalo [ ]0,1 , usando 0 0,5x = , pelo mtodo de Newton-Raphson, utilizando cinco casas decimais e ( ) 0,0001nf x < como critrio de parada.

    2) Encontre o zero da funo ( ) 32 3f x x ln x= + , usando 0 2x = , pelo mtodo de Newton-Raphson, utilizando cinco casas decimais e ( ) 0,0001nf x < como critrio de parada.

    3) Determine o zero da funo ( ) 2xf x x e = , usando 0 0,4x = , pelo mtodo de Newton-Raphson, utilizando cinco casas decimais e quatro iteraes como critrio de parada

  • 24

    MTODO DAS APROXIMAES SUCESSIVAS (OU ITMTODO DAS APROXIMAES SUCESSIVAS (OU ITMTODO DAS APROXIMAES SUCESSIVAS (OU ITMTODO DAS APROXIMAES SUCESSIVAS (OU ITERAO LINEAR)ERAO LINEAR)ERAO LINEAR)ERAO LINEAR) Seja f uma funo contnua em [ ],a b e seu nico zero em [ ],a b . Por um artifcio sempre podemos transformar ( ) 0f x = em ( )x x= ( basta considerar, por exemplo,

    ( ) ( )x f x x+ = ou ainda, ( ) ( )x f x x = . Note, portanto, que ( )x no nica... ).

    EXEMPLO: Encontre algumas funes de iterao a partir de ( ) 2 ln 1f x x x x= + + .

    2

    2

    2

    2 2

    21

    2

    2 ( 1)

    ( 1)2

    2

    3

    2

    ( ) ln 1 fazendo ( ) 0, temos:) ln 1 0 ln 1

    ( ) ln 1

    ) ln 1 0ln 1

    ( )

    ) ln 1 0ln 1

    . ln 1

    ln 1( )ou ainda

    ) ln

    x x

    x x

    f x x x x f xa x x x x x x

    x x x

    b x x x

    x x x x e

    x e

    c x x x

    x xx x x x x

    x

    x xx

    x

    d x x

    = + + =

    + + = = + +

    = + +

    + + =

    = =

    =

    + + =

    = =

    =

    +2 2

    2

    24

    1 0 ( somando e subtraindo cos )ln 1 cos cos 0 cos cos ln( ) 1arc cos(cos ln( ) 1)

    ( ) arc cos(cos ln( ) 1)

    x x

    x x x x x x x x x x

    x x x x x

    x x x x x

    + =

    + + + = = +

    = +

    = +

    Considerando 0x uma primeira aproximao de , calcula-se ( )0x . Faz-se ( )1 0x x= ; ( )2 1x x= ; ( )3 2x x= , e assim sucessivamente, isto , ( )1 , 0,1, 2,n nx x n+ = = K . Se a seqncia convergir temos

    ento lim nn

    x +

    = .

    OBSERVAO: ( )x dita uma funo de iterao de ( ) 0f x = . Vejamos um importante teorema ( condio suficiente ):

  • 25

    TEOREMA DA CONVERGNCIA ( Ruggiero e Lopes, pgina 58 ): Seja I uma raiz isolada de ( ) 0f x = , onde I um intervalo centrado em . Considere ( )x uma funo de iterao de ( ) 0f x =

    ( isto , ( ) = , onde tambm definida em I ), com ( )x derivvel. Se ( )' 1x M < para todos os pontos em I e 0x I , ento os valores em ( )1 , 0,1, 2,n nx x n+ = = K convergem para .

    DEMONSTRAO: PRIMEIRA PARTE: Provaremos que, se 1kx I ento kx I ,

    *k ( isto garante a aplicao do

    processo iterativo ( )1 , 0,1, 2,n nx x n+ = = K ). ( ) ( ) ( )10 k kf e seja x x = = = ( o caso 1kx = trivial! ), subtraindo membro a membro:

    ( ) ( )1k kx x = , desde que, por hiptese derivvel, podemos aplicar o teorema do valor mdio no intervalo [ ]1,kx ( ou possivelmente em [ ]1, kx , vamos supor, para fixar idias [ ]1,kx ). Deste modo, [ ]1,k kc x tal que ( ) ( ) ( ) ( )1 1' .k k kx c x = , ou seja:

    ( ) ( )1' .k k kx c x = , como ( )' 1,x M x I < , podemos escrever: 1 1.k k kx M x x < , logo kx est mais prximo de que 1kx , isto , kx I .

    Conclumos que, dado um ponto 0x I , o prximo ( )1 0x x I= e assim sucessivamente... SEGUNDA PARTE: Provaremos que a seqncia ( )1 , 0,1, 2,n nx x n+ = = K converge para , ou seja, lim kk x + = .

    1 0.x M x

    22 1 0. .x M x M x

    33 2 0. .x M x M x

    M

    1 0. .k

    k kx M x M x

    Passando ao limite:

    0

    constante

    0 lim lim .kkk kx M x + +

    123, desde que lim k

    kM

    + pois 0 1M < , temos:

    ( ) ( )lim 0 lim 0 lim 0 limk k k kk k k kx x x x + + + + = = = = .

  • 26

    Como vimos acima, a funo de iterao no nica. O nosso foco ser encontrar uma funo de

    iterao que satisfaa s hipteses do teorema acima. Vamos praticar...

    Seja calcular a raiz positiva de ( ) 2 2f x x x= ( claro que j sabemos que ' 2 e '' 1x x= = ). Primeiramente, vamos listar algumas possibilidades para ( )x ( funo de iterao ): a)

    ( ){

    1

    2 22 0 2x

    x x x x

    = = , isto , ( ) 21 2x x = ;

    b) ( ){

    ( ){

    2 2

    2 2 2 22 0 2 . 2 1

    x x

    xx x x x x x x x x

    x x

    + = = + = + = = + , ou seja, ( )2 21 , para 0x x

    x = + ;

    c) ( )( )32 2

    4

    22 0 2 2 2

    2

    x xx x x x x x para x

    x x

    = + = = + = +

    = +

    Sem testar as hipteses do teorema acima, vamos trabalhar com ( ) 21 2x x = e ( )3 2x x = + com a inteno de observar a convergncia na vizinhana de 2x = ( que ns j sabemos ser a raiz positiva de

    ( ) 2 2f x x x= ). Escolheremos como vizinhana o intervalo [ ]1,3 e como aproximao inicial 0 2,5x = .

    ( i ) Para ( ) 21 2x x = , temos o processo iterativo ( ) 21 1 2n n nx x x+ = = :

    n nx ( ) 21 2n nx x = 1nx +

    0 0 2,5x = ( ) 2 21 0 0 2 2,5 2 4, 25x x = = = 1 4, 25x = 1 1 4, 25x = ( ) 2 21 1 1 2 4, 25 2 16,0625x x = = = 2 16,0625x = 2 2 16,0625x = ( ) 2 21 2 2 2 16,0625 2 256,00391x x = = = 3 256,00391x =

    Observando a quarta coluna podemos observar que a seqncia 0 1 2, , ,x x x K no convergente. Pode

    pintar uma dvida em sua mente... ser que se o 0x fosse tomado mais perto de 2x = , a funo de

    iterao convergiria? Bom,como primeiro passo, aconselhamos que voc experimente comear com

    0 2,01x = e, aps algumas iteraes, voc constatar que no haver convergncia. Tente de novo, agora

    para 0 1,99x = e verifique a divergncia. Agora concluamos juntos que o defeito, no caso em estudo, no est em 0x mas possivelmente na escolha da funo de iterao ( )1 x . Vamos ento, considerar a prxima funo de iterao ( )3 2x x = + .

  • 27

    ( ii ) Para ( )3 2x x = + , temos o processo iterativo ( )1 3 2n n nx x x+ = = + :

    n nx ( )1 3 2n n nx x x+ = = + 1nx +

    0 0 2,5x = ( )3 0 0 2 2,5 2 4,5 2,12132x x = + = + = = 1 2,12132x = 1 1 2,12132x = ( )3 1 2,12132 2 4,12132 2,03010x = + = = 2 2,03010x = 2 2 2,03010x = ( )3 1 2,03010 2 4,0310 2,00751x = + = = 3 2,00751x =

    Observando a quarta coluna podemos observar que a seqncia 0 1 2, , ,x x x K convergente. Portanto,

    considerando trs iteraes, temos 2,00751 .

    Ufa! Conseguimos! Agora, gostaria de chamar sua ateno para o fato de que a funo ( )3 2x x = + satisfaz s hipteses do teorema da convergncia da pgina 25 ( isto , a convergncia era esperada... )

    pois ( ) [ ]3 1 1' 1 em 1,32. 2 2. 3x x =

  • 28

    EXERCCIO RESOLVIDO: Encontre uma estimativa para a raiz negativa de ( ) 2 xf x x e= usando o mtodo da iterao linear. Vamos iniciar a soluo encontrando uma boa estimativa inicial para o valor da raiz de f(x). Para isso, vamos usar o mtodo grfico para o isolamento de razes. Escrevendo:

    f(x) = g(x) h(x) g(x) = x2 e h(x) = ex temos:

    A partir do esboo grfico acima, conclui-se que a raiz negativa encontra-se no intervalo [ 1,0] . Devemos agora escolher uma funo de iterao (x). Para isso, escrevemos:

    2( ) 0 0x xf x x e x e= = =

    Ou seja, podemos ter como funo iterao, os dois casos abaixo: x

    x

    ex

    ex

    =

    =

    )()(

    ( ) 01

    0

    1

    2

    0,606

    Usando ( ) pois desejamos o zero negativo! e 1 , :

    1 ( ) ( 1) 0, 6060, 606 ( ) ( 0, 606) 0, 7380, 738 ( ) ( 0, 738

    xx e x

    x e

    x e

    x

    = =

    = = = =

    = = = =

    = =

    0

    1

    2

    temos

    x

    x

    x

    3

    0,738

    0,691

    ) 0, 6910, 691 ( ) ( 0, 691) 0, 7070, 707

    e

    x e

    = =

    = = = =

    =

    3

    4

    x

    x

    -4

    -2

    0

    2

    4

    -4 -2 0 2 4

    x*xexp(x)

    1

    -1

  • 29

    Verifique se as hipteses do teorema da convergncia, da pgina 25 so satisfeitas, isto : TEOREMA DA CONVERGNCIA ( Ruggiero e Lopes, pgina 58 ): Seja I uma raiz isolada de

    ( ) 0f x = , onde I um intervalo centrado em . Considere ( )x uma funo de iterao de ( ) 0f x = ( isto , ( ) = , onde tambm definida em I ), com ( )x derivvel. Se ( )' 1x M < para todos os pontos em I e 0x I , ento os valores em ( )1 , 0,1, 2,n nx x n+ = = K convergem para .

    OBSERVAO: Substituindo os valores de xk em f(x) para cada iterao k, vemos que a cada etapa nos aproximamos mais da raiz de f(x), pois o valor dessa funo fica mais prximo de zero a cada iterao, como mostrado na tabela abaixo:

    x xexxf = 2)(

    -1 0,632 -0,606 -0,178 -0,738 0,067 -0,691 -0,024 -0,707 0,007

    PRATIQUE

    1) Determine a raiz de ( ) 2f x x sen x= no intervalo [ ]0,5;1 , at a quarta iterao ( 0 0,9x = ). 2) Seja ( ) 3 1f x x x= a) Determine um intervalo de f contendo um zero positivo. b) Ache algumas funes de iterao. c) Use uma delas ( que convirja, claro! ) e, com trs iteraes, determine uma aproximao para a raiz que se situa no intervalo obtido no item a).

  • 30

    LISTA DE EXERCCIOS

    1. Quais so as 3 causas mais importantes de erros numricos em operaes realizadas em computadores e calculadoras?

    2. Cite as caractersticas bsicas de todo processo iterativo.

    3. O que um zero ou raiz de funo?

    4. Como voc poderia usar o mtodo da bisseco para estimar o valor de 7 ? Estime esse valor com

    uma preciso de (ou erro menor que) 0,1.

    5. Dada a funo ( ) 2sen 4f x x x= + : (a) Determine o intervalo em x que contm pelo menos uma raiz de f(x) (graficamente ou

    aritmeticamente usando o Teorema de Bolzano); (b) Partindo-se desse intervalo, utilize o mtodo da bisseco para determinar o valor dessa raiz aps

    4 iteraes.

    (c) Qual o erro no seu resultado final?

    6. Dada a funo ( ) 2 2xf x e x= + : (a) Determine graficamente o intervalo em x que contm pelo menos uma raiz de f(x); (b) Faa a mesma estimativa, mas desta vez aritmeticamente usando o Teorema de Bolzano; (c) Partindo-se desse intervalo, utilize o mtodo da bisseco para determinar o valor dessa raiz com

    uma preciso de 0,05.

    7. O que significa a convergncia de um mtodo iterativo? Que condies garantem a convergncia no mtodo da iterao linear? O que fazer caso seja constatado que o mtodo da iterao linear no ir convergir para um dado problema?

    8. Dada a funo ( ) 2= ln 4f x x x + , mostre 3 formas para a funo (x) que poderiam ser usadas para se estimar a raiz de f(x).

    9. Mostre que as seguintes funes de iterao satisfazem as condies (i) e (ii) do teorema de convergncia:

  • 31

    (a) ( )3 1

    9 3x

    x = +

    (b) ( ) cos2

    xx =

    (c) ( ) ( )/ 2exp / 2 e

    2 2

    xxx = =

    (d) ( ) 1/3( 1)x x = +

    Estime as razes positivas das seguintes funes pelo mtodo de iterao linear, usando o critrio de parada como sendo de quatro iteraes ( Use as funes de iterao do exerccio anterior ).

    (a) 3( ) 9 3f x x x= + (b) ( ) 2 cosf x x x= (c) ( ) 24xf x e x= (d) 3( ) 1f x x x=

    10. Seja a seguinte funo: 231

    ( ) 1f x xx

    = +

    Use o mtodo de Newton-Raphson para encontrar uma estimativa da raiz de f(x) tal que |f(x)| < 10-4. Parta de 0 1x = .

    11. Seja a funo ( ) 24xf x e x= . (a) Encontre o intervalo que deva possuir pelo menos uma raiz de f(x).

    (b) Usando ( ) 212

    xx e = , estime a raiz de f(x) com | xn - xn-1 | < 0,001. (c) Faa a mesma estimativa usando o mtodo de Newton-Raphson. Qual dos dois mtodos converge

    mais rapidamente? (d) Um outro critrio de parada que poderia ser usado corresponde verificao se o valor de f(x) est

    prximo de zero. Qual resultado para a raiz de f(x) se obteria caso se usasse como critrio de parada a condio |f(x)| < 0,001?

    12. Seja: 13)( 3 += xxxf (a) Mostre que f(x) possui uma raiz em [0,1].

    (b) Mostre que 31)(

    3 +=

    xx

    uma possvel funo de iterao obtida a partir de f(x).

  • 32

    (c) Verifique se (x) satisfaz as condies (i) e (ii) do Teorema de Convergncia. (d) Encontre uma estimativa para a raiz de f(x) atravs do mtodo da iterao linear e usando a funo

    (x) do item (c), tal que |f(x)| < 0,0070. (e) Faa a mesma estimativa, mas desta vez ao invs de utilizar a funo (x) do item (c), utilize o

    mtodo de Newton-Raphson.

  • 33

    SISTEMAS LINEARES INTRODUO

    As equaes no existem por si, ou seja, no so invenes abstratas da Matemtica. Muito pelo contrrio, decorrem de situaes concretas de nosso quotidiano. Veja os seguintes exemplos e suas respectivas representaes na linguagem matemtica:

    a) A diferena entre as idades de Magno ( x ) e Marcos ( y ) de 4 anos: x y = 4

    b) Numa fbrica trabalham 532 pessoas entre homens ( x ) e mulheres ( y ). O nmero de homens o triplo do nmero de mulheres: x + y = 532 e x = 3y

    Os exemplos citados representam equaes lineares e, ao conjunto destas, chamamos de Sistemas Lineares.

    A resoluo de sistemas lineares um problema que surge em diversas reas do conhecimento e ocorre, na prtica, com muita freqncia. Por exemplo: clculo de estruturas na Construo Civil, clculo do ponto de equilbrio de mercado na Economia e dimensionamento de redes eltricas. EQUAO LINEAR

    Entende-se por equao linear toda expresso da forma a x a x a x a x bn n1 1 2 2 3 3 + + + + =... onde:

    x x x xn1 2 3 , , , ... , so incgnitas ou termos desconhecidos e a a a an1 2 3 , , , ... , so nmeros reais

    chamados coeficientes e b um nmero real chamado termo independente ou seja, em cada termo da equao linear aparece uma nica incgnita e seu expoente sempre igual a 1

    EXEMPLOS: a x x x yb x x x x y zc x x x x x y z w

    )))

    ou

    ou

    ou

    2 12 2 122 3 15 2 3 15

    3 4 5 10 3 4 5 10

    1 2

    1 2 3

    1 2 3 4

    + = + =

    + = + =

    + = + =

    SOLUO DE UMA EQUAO LINEAR

    Uma soluo de uma equao linear uma seqncia de nmeros reais ( ... )k k k kn1 2 3 , , , , , tal que, substituindo-se respectivamente as incgnitas da equao pelos nmeros reais k1, ... , kn, na ordem em que se apresentam, verifica-se a igualdade, ou seja,

    a k a k a k a k bn n1 1 2 2 3 3 + + + + =...

    EXEMPLOS: a) Uma soluo da equao 2 4 22x y+ = o par ( 5, 3 ) b) Uma soluo da equao 3 2 5 32x y z+ = a terna ( 2, 3, 4 ) c) Uma soluo da equao x y z w+ + =2 4 3 a quadra ( 3, 2, 1, 0 ) OBSERVAES IMPORTANTES

    1. Se a a a a bn1 2 3 = = = ... = = = 0 ento qualquer nupla ( ... )k k k kn1 2 3 , , , , soluo.

    2. Se a a a a bn1 2 3 = = = ... = = 0 e 0 ento a equao no admite soluo.

  • 34

    SISTEMAS LINEARES

    Chama-se SISTEMA LINEAR o conjunto de duas ou mais equaes lineares.

    EXEMPLOS: a x yx y

    )

    =

    + =

    43 2

    bx y z

    x y z) + =

    + =

    2 02 1

    c

    x y zx y zx y z

    ) + =

    + =

    =

    2 02 37 2 9

    dx yx yx y

    ) =

    + =

    + =

    23 2 18 2 6

    Genericamente, um sistema linear S de m equaes e n incgnitas escrito:

    11 1 12 2 13 3 1 1

    21 1 22 2 23 3 2 2

    31 3 32 2 33 3 3 3

    1 1 2 2 3 3

    ...

    ...

    ...

    ...

    n n

    n n

    n n

    m m m mn n m

    a x a x a x a x ba x a x a x a x b

    S a x a x a x a x b

    a x a x a x a x b

    + + + + = + + + + =

    = + + + + =

    + + + + =

    M

    Abreviadamente, o sistema linear representado por: S a x b i mij j in

    = = = , , j=1

    1 2 3, , , ...

    SOLUO DE UM SISTEMA LINEAR

    Dizemos que a nupla ( ... )k k k kn1 2 3 , , , , soluo de um sistema linear se verificar, simultaneamente, todas as equaes do sistema

    EXEMPLOS: a) o par ( )5,1 soluo do sistema 2 3 133 5 10x yx y

    + =

    =

    b) o terno ( 1, 3, 2 ) soluo do sistema x y z

    x y zx y z

    + + =

    =

    + =

    2 3 14 3

    6

    MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR

    De um modo geral, qualquer sistema linear pode ser escrito na forma matricial: A X B . = .

    onde A

    a a a a

    a a a a

    a a a a

    a a a a

    n

    n

    n

    m m m mn

    =

    11 12 13 1

    21 22 23 2

    31 32 33 3

    1 2 3

    ...

    ...

    , X

    x

    x

    x

    xn

    =

    1

    2

    3

    .

    e B

    bbb

    bm

    =

    1

    2

    3

    .

    so, respectivamente, matriz dos

    coeficientes ( incompleta ), matriz das incgnitas ( soluo ) e matriz dos termos independentes.

  • 35

    Pode-se associar, tambm, a um sistema linear uma matriz denominada matriz completa ( ou matriz ampliada ) que :

    M

    a a a a ba a a a ba a a a b

    a a a a b

    n

    n

    n

    m m m mn m

    =

    11 12 13 1 1

    21 22 23 2 2

    31 32 33 3 3

    1 2 3

    ...

    ...

    EXEMPLO: Representar matricialmente o sistema 2 83 74 3 7 2

    x y zx yx y z

    + + =

    =

    + + =

    A X Bx

    yz

    . = . =

    2 1 13 1 04 3 7

    872

    OBSERVAO: H vrios mtodos para a resoluo de sistemas lineares, alguns deles exigem uma maior quantidade de operaes que outros, isto , h um esforo computacional maior. Pesquisem sobre esse assunto ( esforo computacional ) no livro do professor Barroso.

    MTODOS DIRETOS ( NO ITERATIVOS )

    1) MTODO DA ELIMINAO DE GAUSS

    Atravs das operaes elementares que vocs aprenderam em lgebra Linear o nosso objetivo ser transformar a matriz dos coeficientes do sistema ( * ) abaixo, ( )ij n nA a = , com soluo nica e tal que

    0, 1, ,iia i n = K numa matriz triangular superior ( isto , onde todos os elementos abaixo da diagonal principal da matriz dos coeficientes so zero ) matematicamente ( ) , onde 0ij ijn nK k k se i j= = > , veja o esquema abaixo:

    ( )11 1 12 2 1 1 11 1 12 2 1 1

    21 1 22 2 2 2 22 2 2 2

    1 1 2 2

    n n n n

    n n n n

    n n nn n n nn n n

    a x a x a x b k x k x k x wa x a x a x b k x k x w

    a x a x a x b k x w

    + + + = + + + = + + + = + + =

    + + + = =

    L L

    L L

    M M M M M M M

    L

    OPERAES ELEMENTARES SOBRE LINHAS DE UMA MATRIZ

    1) Permutar duas linhas entre si.

    EXEMPLO 1: 2 33 2

    '

    '

    2 1 2 14 5 0 20 2 4 5

    L LL LA B

    =

    =

    = =

    ou, simplesmente 2 32 1 2 14 5 0 20 2 4 5

    L LA B

    = =

    .

  • 36

    2) Multiplicar uma linha por uma constante real 0k ( de um modo geral a constante k um nmero complexo, mas no nosso curso trabalharemos apenas com nmeros reais ).

    EXEMPLO 2: 3 3

    2'

    3

    0 1 0 13 4 3 45 21 10 / 3 14

    L LC D

    =

    = =

    .

    3) Somar a uma linha de uma matriz A uma outra linha de A multiplicada por uma constante.

    EXEMPLO 3: ( )3 3 1' 22 1 0 4 2 1 0 47 3 1 7 3 12 0 1 3 2 2 1 5

    L L LE Fpi pi= +

    = =

    .

    DAREMOS UM EXEMPLO DO MTODO DA ELIMINAO DE GAUSS:

    Seja resolver o sistema: 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2 3 25 4 2 12

    4 4 10

    x x x

    x x x

    x x x

    + =

    =

    + + =

    Primeiro passo: Escrevemos a matriz ampliada A :

    2 3 1 25 4 2 121 4 4 10

    A

    =

    . Nosso objetivo inicial tornar nulos os elementos 5 e 1 que esto situados

    abaixo do primeiro elemento da diagonal principal ( o nmero 2 ). Para tanto usaremos a frmula geral: ' .

    ij

    jj

    aL L Li i ja= , onde os elementos

    ij

    jj

    a

    a so chamados multiplicadores ijm e os elementos jja da

    diagonal principal, considerando a matriz dos coeficientes, so chamados de pivs observe:

    2 2 1

    3 3 1

    5'

    21

    '

    2

    2 3 1 2 2 3 1 25 4 2 12 0 3,5 4,5 171 4 4 10 0 2,5 4,5 11

    L L L

    L L LA

    =

    =

    =

    OBSERVAO: O nmero 2 o piv. O nmero 52

    o multiplicador 21m e o nmero 12

    o

    multiplicador 31m . Segundo passo: Continuando o processo, nosso objetivo agora tornar nulo o elemento 2,5 que est situado abaixo do segundo elemento da diagonal principal ( o nmero 3,5, que o novo piv ). Note que o novo multiplicador 32

    2,53,5

    m = . Assim:

    3 3 22,5

    '

    3,5

    2 3 1 2 2 3 1 20 3,5 4,5 17 0 3,5 4,5 170 2,5 4,5 11 0 0 7,7144 23,1431

    L L L=

  • 37

    Fazendo a substituio retroativa ou retro-substituio ( do fim para o comeo ):

    3 37,7144. 23,1431 3x x= = ;

    ( )2 23,5. 4,5. 3 17 1x x = = ;

    ( )1 12. 3.1 3 2 2x x + = = . Portanto a soluo : ( ){ }2,1, 3S =

    RESOLVA OS SISTEMAS ABAIXO:

    a) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2 3 3 9 2 2

    4 3 2 3

    x x x

    x x x

    x x x

    + + =

    + + = + =

    RESPOSTA: ( ){ }3,5,0S =

    b) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    10 2 75 8

    2 3 10 6

    x x x

    x x x

    x x x

    + + =

    + + = + + =

    RESPOSTA: ( ){ }1, 2,1S =

    c) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2 9 2 3

    3 2 4

    x x x

    x x x

    x x x

    + + =

    + =

    =

    RESPOSTA: ( ){ }1,3, 2S =

    d) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2 3 2 3 5

    3 5 13

    x x x

    x x x

    x x x

    + =

    + + = + + =

    RESPOSTA: 14 28 5, ,15 15 3

    S =

    e) 2 7

    25 3 2

    x y zx y zx y z

    + + =

    + =

    + =

    RESPOSTA: ( ){ }1,2,3S =

    f)

    1 2 4 1

    2 3 8 0

    1 9 10 5

    x y z

    x y z

    x y z

    + + =

    + + =

    + + =

    RESPOSTA: 7 1 7, ,11 2 8

    S =

  • 38

    2) MTODO DA DECOMPOSIO LU Considere o sistema linear .A X B= , na forma matricial. Em vrias situaes desejvel resolver sistemas lineares onde a matriz dos coeficientes a mesma. H uma estratgia para resolver esse tipo de problema, para tanto decompe-se a matriz dos coeficientes A da seguinte forma .A LU= , onde ( )ij n nL l = uma matriz triangular inferior unitria, isto

    0,1

    ij

    ii

    l i jL

    l= em que os ijm so

    os multiplicadores mencionados quando trabalhamos com o mtodo da eliminao de Gauss ), e ( )ij n nU u = a mesma matriz triangular superior obtida a partir do mtodo da eliminao de Gauss.

    Finalmente, podemos, em geral, escrever: ( ) ( ). . . . .A X B LU X L U X B= = = ( pela associatividade da multiplicao de matrizes ), denominando o produto entre parntesis .U X Y= , teremos o sistema:

    ( )( )

    . 1

    . 2

    U X Y

    L Y B

    =

    =, como a matriz ( )ij n nL l = e a matriz B so conhecidas, comeamos resolvendo ( )2 .

    VEJA UM EXEMPLO:

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    2 3 25 4 2 12

    4 4 10

    x x x

    x x x

    x x x

    + =

    =

    + + =

    ( ATENO: mesmo sistema resolvido pelo mtodo da eliminao de Gauss ).

    Usando a decomposio .A LU= em relao matriz dos coeficientes, temos:

    2 3 1 1 0 0 2 3 15 4 2 2,5 1 0 . 0 3,5 4,51 4 4 0,5 0,7143 1 0 0 7,7144

    A

    = =

    .

    Aps decompor a matriz dos coeficientes A , vamos agora resolver o sistema linear .A X B= , substituindo:

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    1 0 0 2 3 1 22,5 1 0 . 0 3,5 4,5 . 120,5 0,7143 1 0 0 7,7144 10

    1 0 0 2 3 12,5 1 0 0 3,5 4,5 .0,5 0,7143 1 0 0 7,7144

    ymatrizY y

    y

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    =

    =

    21210

    =

    14444244443

    , logo:

  • 39

    1

    2

    3

    1 0 0 22,5 1 0 . 120,5 0,7143 1 10

    yyy

    =

    , resolvendo ( de cima para baixo ):

    1

    2 2

    3 3

    25 12 17

    1 12,143 10 23,1431

    yy y

    y y

    =

    + = =

    + + = =

    , deste modo, a matriz 2

    1723,1431

    Y

    =

    ,

    Portanto: 1

    2

    3

    2 3 1 20 3,5 4,5 . 170 0 7,7144 23,1431

    x

    x

    x

    =

    , resolvendo ( de baixo para cima ):

    3 2 13, 1, 2x x x= = =

    Cuja resposta, como j sabemos : ( ){ }2,1, 3S =

    EXERCCIOS: ( RESOLVA PELA DECOMPOSIO LU )

    a) 1

    2

    3

    1 3 2 112 8 1 . 15

    4 6 5 29

    x

    x

    x

    =

    Usando a decomposio .A LU= temos: 1 3 2 1 0 0 1 3 22 8 1 2 1 0 . 0 2 3

    4 6 5 4 3 1 0 0 12A

    = =

    Resolvendo, teremos: ( ){ }2, 1,3S =

    b) 1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    10 5 22 10 2 26

    2 10 2 203 2 10 25

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    + + = + =

    + + = + + + =

    . Pela decomposio .A LU= temos

    1 0 0 00,2 1 0 00,1 0,167 1 0

    0,1 0,278 0,271 1

    L

    =

    e

    10 5 1 10 9 1,8 1, 20 0 9,599 1,90 0 0 9,719

    U

    =

    . Resolva voc mesmo...

  • 40

    3) MTODO DA DECOMPOSIO DE CHOLESKY Seja ( )ij n nA a = , uma matriz simtrica ( isto , , ,ij jia a i j= ) dizemos que A definida positiva se es somente se 1. . 0, 0

    tnV AV V > .

    EXEMPLO

    A matriz simtrica 2 1 01 2 1

    0 1 2A

    =

    , definida positiva, pois:

    ( ) ( ) ( )1

    2 22 2 2 2 21 2 3 2 1 1 2 2 2 3 3 1 2 1 2 3 3

    3

    1 2 3

    2 1 0. 1 2 1 . 2 2 . 2 2 . 2 0,

    0 1 2a menos que .

    v

    v v v v v v v v v v v v v v v v v

    v

    v v v

    = + + = + + + >

    = =

    Esta verificao nem sempre simples. Em sala explicaremos um modo mais fcil.

    TEOREMA ( CHOLESKY ): Se ( )ij n nA a = , uma matriz simtrica e definida positiva, ento existe uma nica matriz triangular inferior L com elementos diagonais positivos, tais que . tA L L= .

    Mostraremos um caso particular do teorema considerando uma matriz ( )4 4ijA a = , supostamente simtrica e definida positiva:

    11 21 31 41

    21 22 32 42

    31 32 33 43

    41 42 43 44

    a a a a

    a a a aA

    a a a a

    a a a a

    =

    , Admita que:

    11 11 21 31 4111 21 31 41

    21 22 21 22 32 4222 32 42

    31 32 33 31 32 33 4333 43

    41 42 43 44 41 42 43 4444

    0 0 00 0 0

    .

    0 0 00 0 0

    l a a a al l l ll l a a a al l l

    Al l l a a a al ll l l l a a a al

    = =

    , faremos agora a multiplicao de

    matrizes e igualaremos os resultados, na seguinte ordem:

    para os elementos da diagonal principal, comeando com o 44a , assim:

    ( )2 2 2 2 2 2 244 41 42 43 44 44 44 41 42 43a l l l l l a l l l= + + + = + + , que pode ser escrita: 3 244 44 41

    kk

    l a l=

    = .

    Generalizando para todos os elementos da diagonal principal, temos:

    12

    1

    j

    jj jj jkk

    l a l

    =

    = .

  • 41

    Para os elementos que no pertencem diagonal:

    MTODOS ITERATIVOS

    Considere o sistema ( * ) abaixo, de ordem n , isto n n , com soluo nica e onde os elementos da

    diagonal principal so todos no nulos ( 0, 1, ,iia i n = K ). ( )11 1 12 2 1 1

    21 1 22 2 2 2

    1 1 2 2

    n n

    n n

    n n nn n n

    a x a x a x ba x a x a x b

    a x a x a x b

    + + + = + + + =

    + + + =

    L

    L

    M M M M

    L

    1) MTODO DE GAUSS JACOBI

    Para implementarmos o mtodo de Gauss-Seidel, devemos partir de uma aproximao inicial ( qualquer ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 01 2, ,..., nx x x x= ( usualmente a aproximao inicial a nula ( ) ( )0 0,0,...,0x = ) e, utilizamos a

    cada nova iterao o resultado da iterao imediatamente anterior. Matematicamente:

  • 42

    ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    11 1 12 2 13 3 1

    11

    12 2 21 1 23 3 2

    22

    11 1 2 2 , 1 1

    1

    1

    1

    k k k kn n

    k k k kn n

    k k k kn n n n n n n

    nn

    x b a x a x a xa

    x b a x a x a xa

    x b a x a x a xa

    +

    +

    +

    =

    =

    =

    K

    K

    M M M M M M M

    K

    VEJA OS EXEMPLOS QUE SEGUEM ABAIXO.

    EXEMPLO 1:

  • 43

    1 2 3

    1 2 3 1 2 3

    1 2 3

    2 31

    1 32

    1 23

    10 2 75 8 Inicialmente "tiramos" o valor de , e ,do seguinte modo :

    2 3 10 6

    7 210

    8, que d origem ao seguinte processo itera

    56 2 3

    10

    x x x

    x x x x x x

    x x x

    x xx

    x xx

    x xx

    + + =

    + + = + + =

    =

    =

    =

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    1 2 31

    1 1 32

    1 1 23

    0 01 2 3

    1

    0 01 1 3

    2

    0 01 1 2

    3

    tivo:

    7 210

    8, substituindo, a princpio, k=0, temos

    56 2 3

    10

    7 210

    8, utilizando como aproximao in

    56 2 3

    10

    k kk

    k kk

    k kk

    x xx

    x xx

    x xx

    x xx

    x xx

    x xx

    +

    +

    +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    0 0 0 01 2 3

    1 1 11 2 3

    2 2 21 2 3

    icial , , 0,0,0 , temos:

    0,7; 1,6; 0,6

    Fazendo agora k=1, obteremos: 0,9600; -1,8600; 0,9400

    x x x x

    x x x

    x x x

    = =

    = = =

    = = =

    Podemos continuar o processo indefinidamente, uma tabela feita no Excel ( tente constru-la! ), nos d:

    Resoluo por Gauss-Jacobi 0,0000 0,0000 0,0000 0,7000 -1,6000 0,6000 0,9600 -1,8600 0,9400 0,9780 -1,9800 0,9660 0,9994 -1,9888 0,9984 0,9979 -1,9996 0,9968

    Desse modo, com cinco iteraes ( pois a soluo nula no conta, foi um chute inicial e no uma iterao ), temos a soluo ( )1, 2,1 ( substitua no sistema e verifique que, realmente esta a soluo procurada! )

    EXEMPLO 2:

  • 44

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    20 2 3310 2 4 38,42 10 43,5

    2 4 20 45,6

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    + + + = + + + =

    + + + = + + + =

    Comeando com a soluo nula ( )0,0,0,0 e usando o Excel:

    Resoluo por Gauss-Jacobi

    0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,6500 3,8400 4,3500 2,2800 1,0125 1,8930 3,1890 1,1295 1,2830 2,6492 3,7572 1,6407 1,1656 2,3040 3,5278 1,4340 1,2150 2,4443 3,6292 1,5263 1,1937 2,3822 3,5870 1,4882 1,2027 2,4080 3,6054 1,5048 1,1988 2,3967 3,5977 1,4979 1,2005 2,4014 3,6010 1,5009 1,1998 2,3994 3,5996 1,4996 1,2001 2,4003 3,6002 1,5002 1,2000 2,3999 3,5999 1,4999 1,2000 2,4000 3,6000 1,5000

    Portanto a soluo, ( como tudo indica! ) a qudrupla ( )1,2;2,4;3,6;1,5 . 2) MTODO DE GAUSS SEIDEL

    Para implementarmos o mtodo de Gauss-Seidel, devemos partir de uma aproximao inicial ( qualquer ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 01 2, ,..., nx x x x= ( usualmente a aproximao inicial a nula ( ) ( )0 0,0,...,0x = ) e, utilizamos a

    cada nova iterao o resultado da iterao imediatamente anterior. Matematicamente:

    ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( )

    11 1 12 2 13 3 1

    11

    1 12 2 21 1 23 3 2

    22

    1 1 11 1 2 2 , 1 1

    1

    1

    1

    k k k kn n

    k k k kn n

    k k kn n n n n n n

    nn

    x b a x a x a xa

    x b a x a x a xa

    x b a x a x a xa

    +

    + +

    + + +

    =

    =

    =

    K

    K

    M M M M M M M

    K ( )( )1k +

  • 45

    VEJA OS EXEMPLOS QUE SEGUEM ABAIXO.

    EXEMPLO 1:

    1 2 3

    1 2 3 1 2 3

    1 2 3

    2 31

    1 32

    1 23

    10 2 75 8 Inicialmente "tiramos" o valor de , e ,do seguinte modo :

    2 3 10 6

    7 210

    8, que d origem ao seguinte processo itera

    56 2 3

    10

    x x x

    x x x x x x

    x x x

    x xx

    x xx

    x xx

    + + =

    + + = + + =

    =

    =

    =

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    1 2 31

    11 1 3

    2

    1 11 1 2

    3

    0 01 2 3

    1

    1 01 1 3

    2

    1 11 1 2

    3

    tivo:

    7 210

    8, substituindo, a princpio, k=0, temos

    56 2 3

    10

    7 210

    8, utilizando como aproxima

    56 2 3

    10

    k kk

    k kk

    k kk

    x xx

    x xx

    x xx

    x xx

    x xx

    x xx

    +

    ++

    + ++

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    0 0 0 01 2 3

    1 1 11 2 3

    2 2 21 2 3

    o inicial , , 0,0,0 , temos:

    0,7; 1,74; 0,982

    Fazendo agora k=1, obteremos: 0,9498; 1,9864; 1,0059

    x x x x

    x x x

    x x x

    = =

    = = =

    = = =

    Podemos continuar o processo indefinidamente, uma tabela feita no Excel ( tente constru-la! ), nos d:

  • 46

    Resoluo por Gauss-Seidel 0,0000 0,0000 0,0000 0,7000 -1,7400 0,9820 0,9498 -1,9864 1,0059 0,9967 -2,0005 1,0008 1,0000 -2,0002 1,0000 1,0000 -2,0000 1,0000

    Desse modo, com cinco iteraes ( pois a soluo nula no conta, foi um chute inicial e no uma iterao ), temos a soluo ( )1, 2,1 ( substitua no sistema e verifique que, realmente esta a soluo procurada! )

    EXEMPLO 2:

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    20 2 3310 2 4 38,42 10 43,5

    2 4 20 45,6

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    + + + = + + + =

    + + + = + + + =

    Comeando com a soluo nula ( )0,0,0,0 e usando o Excel:

    Resoluo por Gauss-Seidel 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,6500 3,6750 3,4500 1,2075 1,1730 2,5497 3,6020 1,4727 1,1951 2,4110 3,6010 1,4982 1,1996 2,4005 3,6001 1,4999 1,2000 2,4000 3,6000 1,5000 1,2000 2,4000 3,6000 1,5000

    Portanto a soluo, ( como tudo indica! ) a qudrupla ( )1,2;2,4;3,6;1,5 .

    Ser que no fica, para vocs, meus curiosos alunos, uma pergunta no ar: Professor, este mtodo de Gauss Seidel sempre converge, isto , cada vez mais os valores obtidos na tabela se aproximam da soluo do sistema? A resposta ... NO!

    Veremos abaixo alguns critrios que se satisfeitos, garantem a convergncia do processo de Gauss-Seidel. Esses critrios so chamados de condies suficientes, para o Matemtico isso significa que se esses critrios no forem satisfeitos pode haver ou no convergncia, ou seja, nada podemos afirmar!

    CRITRIOS DE CONVERGNCIA PARA O MTODO ITERATIVO GAUSS SEIDEL ( GS )

    CRITRIO DAS LINHAS:

  • 47

    Considerando o sistema ( * ) nas condies estabelecidas acima temos o

    TEOREMA: Se 1

    , 1,...,n

    jj jkk jk

    a a j n=

    > = ento o mtodo de GS gera uma seqncia convergente

    ( ){ } , 0,1,2,...kx k = , para a soluo do sistema, independentemente da escolha do valor inicial ( )0x .

    EXEMPLOS

    a) O sistema 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    10 2 75 8

    2 3 10 6

    x x x

    x x x

    x x x

    + + =

    + + = + + =

    tem convergncia garantida pois: 10 2 15 1 110 2 3

    > +

    > +

    > +

    b) J o sistema 1 21 2

    33 3

    x x

    x x

    + =

    = no tem convergncia garantida pelo critrio das linhas pois no

    o satisfaz, confira: ( )1 1

    3 1Falso >

    >

    . Pelo fato do critrio das linhas no ser satisfeito nada podemos

    afirmar em relao convergncia por GS. Se voc quiser arriscar, ver que aps algumas iteraes, usando o valor inicial ( )0,0 , observar que haver convergncia para a soluo ( )1,5;1,5 .

    c) O sistema 1 2 3

    1 2 3

    2 3

    3 25 2 2 36 8 6

    x x x

    x x x

    x x

    + + =

    + + = + =

    no satisfaz o critrio das linhas, mas se permutarmos a linha 2 com a

    linha 1, teremos 1 2 3

    1 2 3

    2 3

    5 2 2 33 2

    6 8 6

    x x x

    x x x

    x x

    + + =

    + + = + =

    que, agora satisfaz o critrio das linhas pois: 5 2 23 1 18 0 6

    > +

    > +

    > +

    e,

    portanto, tem convergncia garantida.

    H outros critrios de convergncia. Um deles que bem simples o critrio das colunas ( anlogo ao critrio das linhas! ). Veja abaixo:

    CRITRIO DAS COLUNAS:

    Considerando o sistema ( * ) nas condies estabelecidas anteriormente vamos enunciar o

    TEOREMA: Se 1

    , 1,...,n

    jj kjk jk

    a a j n=

    > = ento o mtodo de GS gera uma seqncia convergente

    ( ){ } , 0,1,2,...kx k = , para a soluo do sistema, independentemente da escolha do valor inicial ( )0x .

    EXEMPLOS

  • 48

    a) Como vimos, o sistema 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    10 2 75 8

    2 3 10 6

    x x x

    x x x

    x x x

    + + =

    + + = + + =

    satisfaz o critrio das linhas e tem convergncia garantida

    apesar de que no satisfaz o critrio das colunas pois: ( )10 2 15 2 310 1 1

    Falso > +

    > +

    > +

    .

    Note que se multiplicarmos a segunda equao por 2, teremos um sistema que convergir por qualquer dos dois critrios.

    b) O sistema 1 21 2

    33 3

    x x

    x x

    + =

    = no tem convergncia garantida pois:

    ( )1 13 1

    Falso >

    >. Nada podemos

    afirmar usando o critrio das colunas.

    APLICAES

    Resolva os sistemas lineares que seguem, pelo mtodo de de Gauss-Seidel ( GS ). Antes de resolver verifique se algum critrio de convergncia satisfeito, caso no seja, tente alguma mudana de linhas e/ou colunas de modo que a convergncia esteja assegurada. Aps resolver usando uma calculadora cientfica normal, procure resolver todos os sistemas lineares na planilha Excel. Em todos os exerccios inicie com a soluo nula.

    a) 1 21 2

    3 12 4 3x x

    x x

    =

    =. Com 7 iteraes para GS ( utilize quatro decimais ).

    b) 1 21 2

    2 12 3

    x x

    x x

    =

    + =. Com 10 iteraes para GS ( utilize quatro decimais ).

    c) 1 21 2

    33 3

    x x

    x x

    + =

    = . Com 13 iteraes para GS ( utilize quatro decimais ).

    d) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    3 0,15 0,09 60,08 4 0,16 120,05 0,3 5 20

    x x x

    x x x

    x x x

    + =

    + = + + =

    . Com 6 iteraes para GS ( cinco decimais ).

    e) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    5 53 4 63 3 6 0

    x x x

    x x x

    x x x

    + + =

    + + = + + =

    . Com 8 iteraes para GS ( cinco decimais ).

    f) 1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    3 2 04 4 1

    6 3

    x x x

    x x x

    x x x

    + + =

    + + =

    + =

    . Com 7 iteraes para GS ( cinco decimais ).

  • 49

    g) 1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    1 2 3 4

    20 2 3310 2 4 38,42 10 43,5

    2 4 20 45,6

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    + + + = + + + =

    + + + = + + + =

    . Com 7 iteraes para GS ( quatro decimais ).

    h) 1 3

    2 3

    1 2 3

    3 31

    2 3 9

    x x

    x x

    x x x

    + =

    + = + + =

    . Com 7 iteraes para GS.

    FAA UMA PESQUISA SOBRE OS SEGUINTES TEMAS:

    1) MTODO DA ELIMINAO DE GAUSS COM CONDENSAO PIVOTAL

    Neste caso, a cada passo, escolhe-se, a cada passo, o elemento de maior valor absoluto como elemento da diagonal da matriz dos coeficientes. Teoricamente isso diminui os erros de arredondamento. D exemplos numricos e explique o mais simples possvel esse mtodo.

    2) REFINAMENTO DA SOLUO.

    O que significa e em que casos deve ser aplicado. D exemplos numricos.