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CÁLCULO NUMÉRICO
O que é o Cálculo Numérico?
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos
usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma
aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não
apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos
numericamente.
Em geral, o curso pretende demonstrar, de maneira simples, a presença dos
Métodos Numéricos nos diferentes momentos da Física, da Engenharia, e das
ciências em geral.
Entendimento de um problema:
Problema real → Modelo matemático → Resolução
ERROS Suponha que você está diante do seguinte problema: você está em cima de um
edifício que não sabe a altura, mas precisa determiná-la. Você tem em mãos
apenas uma bola de metal e um cronômetro. O que fazer?
Conhecemos também a equação 2
2
00
GTTVSS
onde:
• S é a posição final;
• S0 é a posição inicial;
• V0 é a velocidade inicial;
• T é o tempo percorrido; • G é a aceleração gravitacional. A bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou
2 segundos para atingir o solo. Com isso podemos conclui a partir da equação
acima que a altura do edifício é de 19,6 metros.
2
Essa resposta é confiável? Onde estão os erros?
Erros de modelagem:
− Resistência do ar,
− Velocidade do vento,
− Forma do objeto, etc.
Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático.
Erros de resolução:
- Precisão dos dados de entrada
(Ex. Precisão na leitura do cronômetro. p/ t = 2,3 segundos, h = 25,92 metros,
gravidade);
− Forma como os dados são armazenados;
− Operações numéricas efetuadas;
− Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita).
REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA Exemplo: qual a área de uma circunferência cujo raio vale 100 metros?
A área: S = π.r2 = π.1002
a) 31410 m2
b) 31416 m2
c) 31415,92654 m2
Por que das diferenças? Observe que foram admitidos três valores diferentes para o número π : a) π = 3,14 b) π = 3,1416 c) π = 3,141592654 É relevante saber que quanto maior for o número de dígitos maior é a precisão.
Nunca conseguiremos um valor exato.
Outro fato importante é que o conjunto dos números representáveis em
qualquer máquina é finito e, portanto, discreto, ou seja, não é possível
representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a,b]. A
representação de um número depende da BASE escolhida e do número
máximo de dígitos usados na sua representação.
3
observações:
Quando se representa um valor m ± e , e positivo, vamos sempre admitir que o
valor de e seja bem inferior ao valor absoluto de m, para se supor que a
medida tenha sido bem feita. Assim, o valor m é expressivo diante de e . A
medida 23.537m ± 2m, significa que o valor está entre 23.535m e 23.539m.
Essa medida teria sido feita com boa precisão; tem-se uma boa aproximação
do valor, embora com certa margem de erro, como sempre.
Porém, ao dizer-se que um comprimento é de 5m ± 4m, afirma-se que se sabe
muito pouco sobre o valor, que poderia variar desde 1 m até 9 m. Essa medida
não tem boa precisão.
Chama-se desvio absoluto, ou erro absoluto, ao valor de e.
Chama-se desvio relativo, ou erro relativo, à relação e/abs(m), onde abs(m) é o
valor absoluto de m.
Exemplo:
1- Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1 , calcular a soma a + b, a subtração a – b e o
produto a . b
a pode variar de 47 a 53 enquanto b pode variar de 20 a 22. Assim o menor
valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. Logo, a +
b = (50 + 21) ± (3+1) = 71 ± 4, variando de 67 a 75.
O menor valor da subtração seria 47 – 22 = 25 e o maior valor da subtração
seria 53 – 20 = 33. Logo, a – b = (50 – 21) ± (3+1) = 29 ± 4 , variando de 25 a
33. Observe que na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se
admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se,
sempre, o caso mais desfavorável.
O menor valor do produto seria 47 x 20 = 940 e o maior valor do produto seria
53 x 22 = 1166. Logo, a x b = (50 ± 3) x (21 ± 1) » 1050 ± (3 x 21 + 50 x
1) » 1050 ± 113. Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de
4
(3 x 21 + 50 x 1 ) = 113. Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163, ligeiramente
diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3,
considerado desprezível.
Em resumo,
(a ± ea) + (b ± eb) = a + b ± (ea + eb)
(a ± ea) – (b ± eb) = a – b ± (ea + eb)
(a ± ea) x (b ± eb) = a.b ± (a.eb + b.ea)
(a ± ea) : (b ± eb) = a/b ± (ea/b + eb.a/(b.b))
Estamos admitindo a, b, ea , eb sempre positivos . No caso de valores negativos
tomaremos – a , – b etc…
A representação de um número, como foi citada acima, depende da BASE
escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.
Portanto, vamos trabalhar com a Base Decimal (10) e a Base Binária (2).
- A Base utilizada no nosso cotidiano é a Decimal (Utilizam-se os algarismos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).
- A base utilizada pela maioria dos computadores é a Base Binária, onde se
utiliza os algarismos 0 e 1.
- É importante salientar que os computadores recebem a informação numérica
na base decimal, fazem a conversão para sua base (a base binária) e fazem
nova conversão para exibir os resultados na base decimal para o usuário.
Exemplos:
1) base binária (100110)2 = base decimal (38)10
2) base binária (11001)2 = base decimal (25)10
- Representação de números na base decimal (10) e na base binária (2).
a) Como seria a representação do número 1997 em uma base β = 10 ?
1997 = 1×103 + 9×102 + 9×101 + 7 ×100
b) Como seria a representação do número 1100 numa base β = 2?
1100b = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20
5
c) Como seria a representação do número 39,28 em uma base decimal?
39,28 = 3x101 + 9x100 + 2x10-1+ 8x10-2
d) Como seria a representação do número 101,01b numa base β = 2?
101,01b = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2
Conversão entre as bases
- Binária para Decimal
Exemplos:
1) 110112 = 1x24 + 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27d
2) 101,11b = 1x22 + 0x21 + 1x20 + 1x2-1 + 1x2-2 = 4 + 0 + 1 + 0,1 + 0,01 = 5,11d
- Decimal para Binária
Na conversão de um número escrito em base decimal para uma base binária
são utilizados os seguintes métodos: método das divisões sucessivas para a
parte inteira e o método das multiplicações sucessivas para conversão da parte
fracionária do número em questão.
- Método das divisões sucessivas (parte inteira do número)
a) Divide-se o número (inteiro) por 2;
b) Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior;
c) Repete-se o processo até o último quociente ser igual a 1.
O número binário é então formado pela concatenação do último quociente com
os restos das divisões, lidos em sentido inverso.
Exemplo:
- Transformar o número 234d em binário.
6
- Método das multiplicações sucessivas (parte fracionária do número)
a) Multiplica-se o número (fracionário) por 2;
b) Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base binária
e a parte fracionária é novamente multiplicada por 2;
c) O processo é repetido até que a parte fracionária do último produto seja igual
a zero
Exemplos:
1- Transformar o número 0,375d em binário.
2- Transformar o número 45,75d em binário.
Atenção: Nem todo número real na base decimal possui uma representação
finita na base binária. Por exemplo: transforme 0,3d em binário.
- PONTO FIXO E PONTO FLUTUANTE
Até esse momento, em todos os exemplos a posição da vírgula está fixa,
separando a casa das unidades da primeira casa fracionária.
Entretanto, pode-se variar a posição da vírgula, corrigindo-se o valor com
a potência da base, seja dez ou dois, com isso não alterando o valor do
número. Por exemplo:
36,569 = 0,36569x102 = 3,6569x101 = 3656,9x10-2 = 36569x10-3
Chama-se a isso ponto flutuante (floating point), pois no lugar de se
deixar sempre a posição da vírgula entre a casa das unidades e a primeira
7
casa decimal, flutua-se a posição da vírgula e corrige-se com a potência de
dez.
- Forma normalizada: é a que tem um único dígito, diferente de zero, antes da
vírgula; no exemplo acima seria: 3,6569x101.
Com a base dois pode-se fazer exatamente a mesma coisa, escrevendo-se o
número 110101 como sendo 110,101x23 ou 1,10101x25 ou 0,0110101x27.
Claro que esses expoentes também deverão ser escritos na base dois, onde
(3)10 = (11)2 e (7)=(111)2, e assim por diante, ficando: 110,101 x (10)11 ou
1,10101x(10)101 ou 0,0110101x(10)111.
- ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE
- Um número, é representado internamente na máquina através de uma
seqüência de impulsos elétricos que indicam 2 estados: 0 - zero (verdade ou
positivo) ou 1 - um (falso ou negativo), ou seja, os números são representados
na base binária.
- De maneira geral, um número x é representado na base β, classicamente.
exp
3
3
2
21 ...
n
nddddx
- Observe os números:
45378 = 0,45378x105 padrão aritmética de ponto flutuante (45378→ mantissa)
(andou 5 casas para esquerda, logo, o expoente é +5)
5
543210
10
8
10
7
10
3
10
5
10
4
x
5100008,00007,0003,005,04,0 x
0,0037452 = 0,37452x10-2 padrão aritmética de ponto flutuante
(37452→mantissa) (andou 2 casas para direita, logo, o expoente é -2)
8
2
543210
10
2
10
5
10
4
10
7
10
3
x
2100002,00005,0004,007,03,0 x
- Somente a mantissa e o expoente são armazenados na máquina, podendo
ser positivo ou negativo.
Resumo:
- di são números inteiros contidos no i valores de Intervalo 0 ≤ di ≤ β; i = 1, 3,
3,..., n.
- O expoente representa o expoente de β e assume valores de I ≤ exp ≤ S,
onde I é o limite inferior e S o superior. Esses limites representam o menor e o
maior número que a máquina pode armazenar.
-
n
ndddd
...
3
3
2
21 é a mantissa sendo a parte de número que apresenta
seus dígitos significativos.
- t é o número de dígitos do sistema de apresentação.
Uma máquina não armazena n algarismos, portanto, utilizaremos uma máquina
hipotética.
- Seja uma máquina que trabalha com base 10, cujo limite inferior e o superior
são -2 e +2, respectivamente. Vamos verificar se ela armazena os números
abaixo:
a) 25,715 b) 0,04573 c) 5,497631 d) 432,49 e) 0,00052853
Solução:
a) 25,715 = 0,25715x102
sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente
+ 2 5 7 1 5 + 2
Como o expoente +2 está no intervalo, podemos dizer que a máquina armazena.
9
b) 0,04573 = 0,4573x10-1
sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente
+ 4 5 7 3 0 - 1
Como o expoente -1 está no intervalo, podemos dizer que a máquina armazena.
Obs.: na falta de dígito, acrescenta-se zero.
c) 5,497631 = 0,5497631x101
sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente
+ 5 4 9 7 6 + 1
Como o expoente +1 está no intervalo, podemos dizer que a máquina armazena, apesar de desprezar
dígitos. Esta perda é denominada erro.
d) 432,49 = 0,43249x103
sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente
+ 4 3 2 4 9 + 3
Como o expoente +3 não está no intervalo, podemos dizer que a máquina não armazena, pois o valor do
expoente ultrapassou o limite superior (+2). Erro de overflow.
e) 0,000052853 = 0,52853x10-4
sinal/mantissa mantissa sinal/expoente expoente
+ 5 2 8 5 3 - 4
Como o expoente -4 não está no intervalo, podemos dizer que a máquina não armazena, pois o valor do
expoente ultrapassou o limite superior (-2). Erro de underflow.
- Observa-se que para uma máquina armazenar dígitos, o valor da mantissa
não influi e sim o valor do expoente que não pode ser maior (S) ou menor (I) que
a indicação da máquina.
Erros 1- Erros absoluto, relativo e percentual Erro absoluto: diferença entre o valor exato de um número x e seu valor aproximado xap obtido a partir de um procedimento numérico. Eab = /x - xap /
Em geral apenas x é conhecido, e o que se faz é assumir um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro absoluto. Exemplos: a) Sabendo-se que π = (3,14; 3,15) tomaremos para π um valor dentro deste intervalo e teremos, então, /Eab/ = /π –πap/ < 0,01
10
b) Seja x representado por xap = 2112,9 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos dizer que x ∈ (2112,8; 2113,0) . c) Seja b representado por bap = 7,4 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos dizer que x ∈ (7,3; 7,5). Erro Relativo (Er): como o Erro Absoluto não é suficiente para descrever a
precisão de um cálculo, faz-se necessário a utilização do conceito de Erro
Relativo, cujo cálculo é feito pelo quociente entre o erro absoluto e o valor
aproximado.
Para encontrar o Erro Relativo em Forma Percentual, devemos multiplicar por 100 o resultado encontrado.
Exemplo: 1- Seja x representado por xap = 2112,9 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos
dizer que x ∈ (2112,8; 2113,0).
Cálculo do Erro Relativo:
Er = Eab/xap = 0,1/2112,9 = 4,7x10-5 = 0,000047
Ep = Er x100% = 0,000047 x 100 = 0,0047% 2- Seja b representado por bap = 7,4 de forma que /Eab/ < 0,1, podemos dizer que b ∈ (7,3; 7,5). Er = Eab/bap = 0,1/7,4 = 0,0135 Ep = Er x100% = 0,0135 x 100 = 1,35%
Para valores próximos de um (1), os erros absoluto e relativo, têm valores muito próximos. Entretanto, para valores afastados de um (1), podem ocorrer grandes diferenças, e se deve escolher um critério adequado para podermos avaliar se o erro que está sendo cometido é grande ou pequeno.
ERRO DE ARREDONDAMENTO E DE TRUNCAMENTO
Erro de Arredondamento:
Em trabalhos relacionados à pesquisa, verifica-se a necessidade de
arredondar números, para isso utilizamos técnicas de arredondamento, com
objetivo de facilitar as conclusões dos referidos trabalhos. Em decorrência
disso, vamos arredondar os números abaixo usando as seguintes técnicas:
11
a) Arredondar 3,2454 para 3 casas decimais. Como, o número que vai ser eliminado (4) é menor que cinco, devemos
manter inalterado o algarismo da esquerda.
3,2454 ≈ 3,245
b) Arredondar 3,2457 para 3 casas decimais. Como, o número que vai ser eliminado (7) é maior que cinco, acrescentamos
uma unidade ao primeiro algarismo que está situado à sua esquerda.
3,2457 ≈ 3,246
Observações:
1ª) Nota-se que quando o número a ser liberado for maior ou igual a cinco,
acrescentamos uma unidade ao primeiro algarismo que está situado à sua
esquerda.
2ª) Nos casos de arredondamentos sucessivos, as regras continuam valendo,
por exemplo: arredondar o número 35,43754 para duas casas decimais.
35,43754 ≈ 35,4375 ≈ 35,438 ≈ 35,44
No primeiro momento, elimina-se o 4 conservando a casa da esquerda; no
segundo, elimina-se o 5 aumentado em uma unidade a casa da esquerda e,
no terceiro momento, elimina-se o número 8 aumentado em uma unidade a
casa da esquerda.
Existem algumas áreas de conhecimento que leva o indivíduo a utilizar a
normativa do IBGE, pois precisam trabalhar com maior precisão possível dos
dados.
- Tabela de arredondamento segundo a Resolução no 886/66 do Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).
Condições Procedimentos Exemplos < 5 O último algarismo a permanecer
fica inalterado. 4,352 ≈ 4,35
> 5 Aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer
2,357 ≈ 2,36
= 5 Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade no
algarismo a permanecer.
2,3752 ≈ 2,38 2,3757 ≈ 2,38 2,3755 ≈ 2,38
= 5 Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentado de uma unidade se for ímpar.
5,325 ≈ 5,32 5,375 ≈ 5,38
5,32500 ≈ 5,32 5,63500 ≈ 5,64
12
Erro de Truncamento: simplesmente ignorar os restantes dígitos a partir de um determinado ponto.
Exemplo: transformar o número 0,142857 para três casas decimais.
0,142857 ≈ 0,142
Observemos que houve um corte na terceira casa decimal, não importando se o último número a ser eliminado é menor, igual ou maior que 5.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENCONTRAR RAÍZES DE FUNÇÕES
Introdução:
Em geral, nas áreas das ciências ocorrem situações que envolvem cálculo de
raiz de função, onde transformamos a função numa equação quando
igualamos a zero a mesma [f(x) = 0]. Após essa transformação (função para
equação), podemos encontrar equações que apresentam métodos diretos de
resoluções, como equação polinomial do segundo grau (fórmula de Báskara).
No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no caso de funções
mais complicadas, é muito difícil encontrar raízes exatas, portanto, nesses
acontecimentos utilizaremos alguns procedimentos numéricos para encontrar
raízes (zeros) de funções. Esses procedimentos vão ser aplicados durante
nossos estudos.
Nota: é importante salientar que graficamente, as raízes de funções são
representadas pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo-x.
MÉTODOS
10) Método do Meio Intervalo ou Método da Bisseção: é uma aplicação do
Teorema de Bolzano (TB) que diz: “Se f é uma função contínua num intervalo
fechado [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe pelo menos um
valor real c, pertencente ao intervalo aberto ]a, b[ tal que f(c) = 0”, ou de outra
forma, “Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e f(a)xf(b)<0,
então existe pelo menos uma raiz (zero) de f num intervalo ]a, b[“.
13
Exemplo 1:
10) Verifique através do Método da Bisseção se existe um número que anula a
função (raiz) f(x) = x – 0,5 sabendo que ela, além de ser contínua, está definida
no intervalo [0,2].
Solução:
Teorema Bozano: f(a).f(b) < 0
- Inicialmente, calcula-se o valor numérico da função para x = 0 e x = 2.
Aplica-se o T.B: f(x) = x – 0,5 → f(0) = -0,5 e f(2) = 1,5, logo, f(0) x f(2) < 0.
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [0,2],
que anula a função.
- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [0, 2].
PM = (0+2)/2 = 1
0 1 2
Temos 2 intervalos: [0,1] e [1,2]
Verificando qual intervalo apresenta raiz.
[0,1] → f(0) x f(1) = -0,5 x 0,5 = -0,25, logo, f(0) x f(1) < 0
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [0,1],
que anula a função.
[1, 2] → f(1) x f(2) = 0,5 x 1,5 = 075,, logo, f(0) x f(1) > 0
Esse resultado significa que não existe número no intervalo [1,2] que anula a
função.
- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [0, 1].
PM = (0+1)/2 = 0,5 0 0,5 1
14
Temos 2 intervalos: [0; 0,5] e [0,5; 2]
Verificando qual intervalo apresenta raiz.
[0; 0,5] : f(0) x f(0,5) = -0,5 x 0
Observamos que quando x = 0,5 temos a raiz da função, pois esse valor anula
a mesma.
Exemplo 2:
Calcular a raiz da função f(x) = x2 – 2, sabendo que ela pertence ao intervalo [0,
2],sendo o erro (precisão) menor ou igual a 0, 01.
Solução:
- Cálculo do número de interações (n):
eraçõesab
n int86,7301,0
2301,0
2log
01,0log)02log(
2log
log)log(
Teorema Bozano: f(a).f(b) < 0
- Cálculo do valor numérico da função para x = 0 e x = 2.
Aplica-se o T.B: f(x) = x2 – 2 → f(0) = -2 e f(2) = 2, logo, f(0) x f(2) < 0.
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [0,2],
que anula a função.
- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [0, 2].
1ª) PM = (0+2)/2 = 1
0 1 2
Temos 2 intervalos: [0,1] e [1,2]
Verificando qual intervalo apresenta raiz:
[0,1] → f(0) x f(1) = -2 x -1 = 2, logo, f(0) x f(1) > 0
Esse resultado significa que não existe número no intervalo [0,1] que anula a
função.
[1,2] → f(1) x f(2) = -1 x 2 = -2, logo, f(0) x f(1) < 0
15
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [1, 2],
que anula a função.
- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1, 2].
2ª) PM = (1+2)/2 = 1,5
Temos 2 intervalos: [1; 1,5] e [1,5; 2]
[1;1,5] → f(1) x f(1,5) = -1 x 0,5 = -0,5, logo, f(1) x f(1) < 0
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [1;1,5],
que anula a função.
. - Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1; 1,5].
3ª) PM = (1+1,5)/2 = 1,25
Temos 2 intervalos: [1; 1,25] e [1,25; 1,5]
[1; 1,25] → f(1) x f(1,25) = -1 x -0,44 = 0,44, logo, f(0) x f(0,75) > 0.
Esse resultado significa que não existe número no intervalo [1; 1,25] que anula
a função.
[1,25; 1,5] → f(1,25) x f(1,5) = -0,,44 x 0, 5 = -0,,22, logo, f(1,25) x f(1,5) < 0.
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo
[1,25;1,5], que anula a função.
. - Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,25;1,5].
4ª) PM = (1,25+1,5)/2 = 1,375
Temos 2 intervalos: [1,25; 1,375] e [1,375; 1,5]
[1,25; 1,375]→f(1,25) x f(1,375) = -0,44 x -0,11= 0,54, logo f(1,25)xf(1,375) > 0.
Esse resultado significa que não existe número no intervalo [1; 1,25] que anula
a função.
[1,375; 1,5]→f(1,375) x f(1,5) = -0,11 x 0, 25 = -1,89, logo, f(1,375)xf(1,5) < 0.
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo [1,375;
1,5], que anula a função.
. - Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,375; 1,5].
5ª) PM = (1,375+1,5)/2 = 1,4375
Temos 2 intervalos: [1,375; 1,4375] e [1,4375; 1,5]
16
[1,375; 1,4375] → f(1,375) x f(1,4375) = -0,11 x 0,06= -0,007, logo, f(1,375) x
f(1,4375) < 0.
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo
[1,375; 1,4375], que anula a função.
- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,375; 1,4375].
6ª) PM = (1,375+1,4375)/2 = 1,40625
Temos 2 intervalos: [1,375; 1,40625] e [1,40625; 1,4375]
[1,375; 1,40625] → f(1,375) x f(1,40625) = -0,11 x -0,022= 0,0025, logo,
f(1,375) x f(1,40625) > 0.
Esse resultado significa que não existe um número no intervalo [1,375;
1,40625] que anula a função.
[1,40625; 1,4375] → f(1,40625) x f(1,4375) -0,022 x 0,066 = -0,0015, logo, f(0)
x f(0,75) < 0.
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo
[1,40625; 1,4375], que anula a função.
7ª) PM = (1,40625+1,4375)/2 = 1,4219
Temos 2 intervalos: [1,40625; 1,4219] e [1,4219; 1,4375]
[1,40625; 1,4219] → f(1,40625) x f(1,4219) = -0,022 x 0,021= -0,001 logo,
f(1,40625) x f(1,4219) < 0.
Esse resultado significa que existe pelo menos um número, no intervalo
[1,40625; 1,4219], que anula a função.
- Agora, calcula-se o ponto médio do intervalo [1,40625; 1,4219].
8ª) PM = (1,40625+1,4219)/2 = 1,4142 (raiz aproximada da função)
OUTRA MANEIRA DE RESOLVER:
- Calcular a raiz da função f(x) = x2 – 2, sabendo que ela pertence ao intervalo
[0, 2], sendo o erro (precisão) menor ou igual a 0, 01.
Solução:
- Cálculo do número de interações (n):
17
eraçõesab
n int86,7301,0
2301,0
2log
01,0log)02log(
2log
log)log(
[a, b] → a = 0 e b = 2 Ponto médio entre a e b → (a+b)/2
Quando f(a).f(xm) for positivo, a assume o valor de xm enquanto b permanece
o mesmo valor. Quando f(a).f(xm) for negativo, b assume o valor de xm e a
continua com o mesmo valor.
n a b xm f(a) f(xm) f(a). f(xm) ϵ=(b-a)
0 0 2 1 -2 -1 + _
1 1 2 1,5 -1 0,25 - 1
2 1 1,5 1,25 -1 -0,4375 + 0,5
3 1,25 1,5 1,375 -1,937 -0,109 + 0,25
4 1,375 1,5 1,4375 -0,109 0,066 - 0,125
5 1,375 1,4375 1,4062 -0,109 -0,022 + 0,0625
6 1,4062 1,4375 1,4218 -0,022 0,021 - 0,0313
7 1,4062 1,4218 1,414 -0,022 -0,0006 + 0,0156
8 1,414 1,4218 1,4179 -0,0006
Exemplo - 3
Calcular a raiz da função f(x) = x.logx - 1, sabendo que ela pertence ao
intervalo [2, 3],sendo o erro (precisão) igual a 2x10-3.
Cálculo do número de interações:2log
log)log(
abn = 6
R) 2,50781
Exemplo - 4
Verifique através do Método da Bisseção se existe um número que anula a
função f(x) = x3 – 9x + 3 sabendo que ela, além de ser contínua, está definida
no intervalo [0,1], sendo o erro (precisão) menor ou igual 10-3.
Cálculo do número de interações:2log
log)log(
abn = 10
R) 0,337402, com 10 interações.
Exemplo - 5
Encontre, através do Método da Bisseção, um número que se aproxima da raiz
da função f(x) = x – cosx, utilizando 5 interações sabendo que ela, além de ser
contínua, está definida no intervalo [0,1].
R) 0,71875
18
20) MÉTODO DO PONTO FIXO, MÉTODO INTERATIVO OU DAS
APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS.
Para encontrar raiz por esse método, devemos ter uma função f(x), um ponto
de partida e um intervalo que contenha a raiz.
Antes de começar a resolver, devemos verificar se o intervalo absorve a raiz,
caso afirmativo, vamos adotar os seguintes passos:
10) Iguala-se a zero a função f(x).
20) Tira-se o valor de x encontrando a função g(x).(várias maneiras)
30) Aplica-se a fórmula: x = g(x) → xk+1 = g(xk)
k + 1 → estimativa atual
k → estimativa anterior
Exemplo:
1) Calcular, pelo Método do Ponto fixo, a raiz aproximada da função f(x) = x3 –
x – 1, sendo xo = 1 e ela encontra-se no intervalo [1, 2]. Considerar 4
interações.
- Teorema de Bolzano:
f(1) = 13 – 1 – 1 = -1 f(2) = 23 – 2 – 1 = 5
f(1) x f(2) < 0, logo existe raiz no intervalo [1, 2].
1) Iguala-se a zero f(x).
f(x) = x3 – x – 1
x3 – x – 1 = 0
2) Calcula-se o valor de x.
2.1) x = x3 -1 ou 2.2) x3 = 1 + x ↔ 3 1 xx
3) Aplicando xk+1 = g(xk), temos:
x = x3 -1
x1 = 301 x = 3 11 = 3 2 = 1,2599
x2 = 311 x = 3 2599,11 = 3 2599,2 = 1,3123
x3 = 321 x = 3 3123,11 = 3 3123,2 = 1,3224
19
x4 = 331 x = 3 3224,11 = 3 3224,2 = 1,3243 (converge para um valor)
x5 = 341 x = 3 3243,11 = 3 3243,2 = 1,3243
Resolver pelo outro valor de x: x = x3 - 1 (diverge: tende para infinito)
- Observe os gráficos:
Convergente: tende pra um valor. Divergente: tende pro infinito
2) Calcular, pelo Método do Ponto fixo, a raiz aproximada da função f(x) = x2 +
x – 5, sendo xo = 1,5 e ela encontra-se no intervalo [1, 2].
30) MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
É obtido geometricamente da seguinte forma: dado o ponto (x0, f(x0)) traçamos
a reta tangente à curva neste ponto.
f(x)
●
x2
x1
x0
Equação da tangente que passa pelo ponto (x0, f(x0)): y – f(x0) = f’(x0).(x – x0)
p1(x1,0)
Substituindo na equação da tangente e tirando o valor de x1, temos:
y – f(x0) = f’(x0).(x – x0)
0 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0)
)(xf'
)f(x
)(xf'
)f(x
0
001
01
0
0
xx
xx
P2(x1,0)
20
)(xf'
)f(x
1
112 xx
…
Pn(xn,0)
)(xf'
)f(x
n
n1 nn xx
/xn+1 – xn/ < Erro dado no problema.
Exemplo:
01) Sabe-se que o método de Newton-Raphson é utilizado para determinar
raízes de funções. Então, estime o valor da raiz quadrada de três, com erro
igual a 0,01. Solução:
a) Encontrando a função e sua derivada: f(x) = x2 – 3 → f’(x) = 2x
Observe que a função f(x) gera uma raiz 3 :
f(x) = x2- 3 3032 xx
b) Observe que o valor de 3 está entre 1 e 2, logo: 1 < 3 < 2 → [1, 2]
c) Escolhendo x0 = 1 (podemos escolher o 2)
)(xf'
)f(x
0
001 xx → 2
2
21
(1)f'
f(1)11
x
Cálculo do Erro: /x1 – x0/ = /2 – 1/ = 1 > 0,01(continua o problema)
75,14
12
(2)f'
f(2)2
)(xf'
)f(x2
1
112 xxx
Cálculo do Erro: /x2 – x1/ = /1,75 – 2/ = 0,25 > 0,01(continua o problema)
7321,15,3
0625,0175
(1,75)f'
f(1,75)75,1
)(xf'
)f(x3
2
223 xxx
Cálculo do Erro: /x3 – x2/ = /1,7321 – 1,75/ = 0,0179 > 0,01(continua o
problema)
7321,1)7321,1(f'
)7321,1f(7321,1
)(xf'
)f(x3
3
334 xxx
Cálculo do Erro: /1,73205 – 7321,1 / = 0,00005 < 0,01, logo:
A estimativa da 3 vale 7321,1
21
02) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz aproximada da
função f(x) = x3 -4x2 + 2, onde a raiz pertence ao intervalo [3, 4] e cujo erro é
menor que 0,01.
Solução:
a) f(x) = x3 -4x2 + 2 f’(x) = 3x2 – 8x
b) Escolhendo x0 = 3 f(x0) = 0 p(3,0)
)(xf'
)f(x
0
001 xx → 3333,5
3
73
(3)f'
f(3)31
x
Cálculo do Erro: /x1 – x0/ = /5,3333 – 3/ = 2,3333 > 0,01(continua o problema)
3975,46659,42
9245,393333,5
(5,3333)f'
f(5,3333)3333,5
)(xf'
)f(x2
1
112
xxx
Cálculo do Erro: /x2 – x1/ = /4,3975 – 5,3333/ = 0,9358 > 0,01(continua o
problema)
9733,38340,22
6869,93975,4
(4,3975)f'
f(4,3975)3975,4
)(xf'
)f(x3
2
223
xxx
Cálculo do Erro: /x3 – x2/ = /3,9733 - 4,3975/ = 0,4242 > 0,01(continua o
problema)
8720,35749,15
5785,19733,3
(3,9733)f'
f(3,9733)9733,3
)(xf'
)f(x4
3
334
xxx
Cálculo do Erro: /x4 – x3/ = /3,3964 - 3,8720/ = 0,101 > 0,01(continua o
problema)
8662,30016,14
0810,08720,3
)8720,3(f'
)8720,3f(8720,3
)(xf'
)f(x4
4
445
xxx
Cálculo do Erro: /x5 – x4/ = /3,8662 - 3,8720/ = 0,005 < 0,01.
Resposta: 3,8662
03) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz aproximada da
função f(x) = x2 + x - 6, onde x0 = 1,5 e cujo erro é menor que 0,001.
2,000
22
04) Suponha a equação ex - AB = 0, em que e é um número irracional com valor aproximado 2,718 e AB = 21. Determine pelo método de Newton-Raphson a raiz real desta equação com erro de 0,01. Obs.: Devemos escolher o valor inicial para x0 = {0, 1, 2, 3 ...}: AB = ex
05) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a raiz aproximada da
função f(x) = x3 - 9x + 3, onde x0 = 0,5, cujo erro igual a 1x10-4 e x ϵ (0, 1).
X= 0,3376
06) O lucro em milhares de reais de uma empresa foi modelado pela função
84)( 2 xxf , onde x representa o número de unidades vendidas em milhares.
Usando o método de Newton-Raphson com erro < 0,001 e considerando 3
casas decimais, determine o número de unidades que deve ser vendida para
que a fábrica não tenha lucro e nem prejuízo. R) 1.417
40) MÉTODO DAS SECANTES
O método das secantes é uma variação do método de Newton, evitando o
cálculo, algumas vezes muito trabalhoso, da derivada analítica de uma função
f(x).
)()(
))((
1
11
ii
iiiii
xfxf
xxxfxx
)()(
))((
10
10112
xfxf
xxxfxx
)()(
)(.)(.
01
01102
xfxf
xfxxfxx
Tol.: /p – p1/ < ϵ
Exemplos:
01- A função f(x) = x3 – 10 apresenta uma raiz aproximada pertencente ao
intervalo [2, 3]. Encontre essa raiz utilizando o método da Secante,
considerando o erro menor que 0,006.
X0 = 2 e x1 = 3
23
1543,2:Re
)(006,0004,01582,21543,2
1543,2)1582,2()1053,2(
)1582,21053,2)(1582,2(1582,2
)()(
))((
052,01053,21582,2
1582,2)1053,2()3(
)1053,23)(1053,2(1053,2
)()(
))((
1053,219
173
)3()2(
)32)(3(3
)()(
))((
32
32334
21
21223
10
10112
sposta
oaproximaçãboaE
ff
f
xfxf
xxxfxx
E
ff
f
xfxf
xxxfxx
ff
f
xfxf
xxxfxx
02- A função f(x) = x2 + x – 6 apresenta uma raiz aproximada pertencente ao intervalo [1,5; 1,7]. Encontre essa raiz utilizando o método da Secante, considerando ϵ = 0,02.
03- Um engenheiro eletricista modelou a potência P em watts que certo gerador lança num circuito pela relação P(i) = 2i2- 8, em que i é a intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador, usando o método das secantes com erro menor 0,02 e considerando duas casas decimais, encontre o valor da 1a aproximação da intensidade i em ampéres no intervalo [1, 2]para que a potência seja anulada. R) x = 2
Classificação dos Métodos de Solução de Sistemas de Equações Lineares
Resolução do Sistema Equivalente:
Exemplo:
24
Escalonamento
Métodos Diretos
• São aqueles que conduzem à solução, exata a menos de erros de
arredondamento introduzidos pela máquina, após um número finito de passos;
• Pertencem a esta classe todos os métodos estudados no 1º e 2º graus. No
entanto, esses métodos não são usados em problemas práticos quando o
número de equações é elevado, pois apresentam problemas de (matriz
inversa);
• Surge então, a necessidade de utilizar técnicas mais avançadas e eficientes
como: Método de Eliminação de Gauss e Método de Gauss-Jordan.
Método da Eliminação de Gauss
• Evita o cálculo da inversa de A;
• A solução usando o Método da Eliminação de Gauss consiste em duas
etapas:
a) Transformação do sistema original num sistema equivalente usando uma
matriz triangular superior (Escalonamento);
b) Resolução deste sistema equivalente.
Para aplicar o método de eliminação de Gauss devemos utilizar os seguintes
passos:
10 Passo: determina-se a matriz aumentada
20 passo considerar a 1a linha como base para a eliminação, nesse caso o
elemento a11 é o pivô.
30 passo: deve-se zerar todos os elementos abaixo do pivô (a11).
30 passo: zerar todos os outros coeficientes abaixo da diagonal principal.Os
outros pivôs são os elementos restantes da diagonal principal (a22, a33, ..., ann).
25
Exemplos:
1) Resolva o sistema de equações lineares pelo método de eliminação de
Gauss.
7322
623
53
zyx
zyx
zyx
Determina-se a matriz aumentada:
7322
6123
5131
Temos que zerar os coeficientes abaixo de a11(3 e 2), logo, a primeira linha
permanece fixa, onde o pivô é 1. Então:
L2 = L2 – k1.L1 [k1 = a21/a11= (número a zerar)/pivô] L2 = L2 – 3L1 k1 = 3/1 = 3 3 2 1 + -3 -9 -3 0 -7 -2
L3 = L3 – 2L1 k = 2/1 = 2
2 2 3 + -2 -6 -2 0 -4 1
3140
9270
5131
Agora, temos que zerar o elemento que está abaixo do coeficiente a22 = -7
(novo pivô), logo, a primeira linha e a segunda permanecem fixas.
[k3 = a32/a22= (número a zerar)/pivô]
26
k3 = a32/a22= -4/-7 = 4/7 L3 = L3 – 4/7.L2
0 -4 1 + 0 4 8/7 0 0 15/7
7
15
7
1500
9270
53
7
15
7
1500
9270
5131
zyx
zyx
zyx
17
15
7
15 zz
1927 yzy
153 xzyx
R) )1,1,1(
1
1
1
X
2)
27
28
29
FATORAÇÃO LU
Seja a equação A.X = B, onde A é a matriz dos coeficientes do sistema, Xnx1
matriz das variáveis que desejamos encontrar e Bnx1, matriz dos termos
independentes. Portanto:
A.X = B => A = LU
Onde, L é a matriz triangular inferior, cuja diagonal principal é formada só pela
unidade, os elementos abaixo dessa diagonal pelos multiplicadores k e os
elementos acima da diagonal principal todos nulos.
Cálculo dos multiplicadores:
pivô
zeraraNk
0
L =
0
01
001
32
1
kk
k .
U é a matriz triangular superior, onde apenas os números abaixo da diagonal
principal são nulos.
U =
33
2322
131211
00
0
a
aa
aaa
Exemplo:
- Resolva o sistema abaixo utilizando a fatoração LU.
30
2562272
131020116
561174
14432
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
10 Passo: Escrever a matriz dos coeficientes.
62272
1020116
61174
4432
20 Passo: transformar a matriz acima numa matriz triangular superior (U).
Temos que zerar todos os elementos abaixo de 2 (pivô) que estão na primeira
coluna utilizando os multiplicadores:
Cálculo dos multiplicadores:
12
2
32
6
22
4
0
3
0
2
0
1
pivô
zeraraNk
pivô
zeraraNk
pivô
zeraraNk
Zerando os elementos que estão abaixo do pivô (2):
K1 = -2
L2 = L2 – k1.L1 = -4 – (-2).2 = -4 + 4 = 0
L2 = L2 – k1.L1 = -7 – (-2).3 = -7 + 6. = -1
L2 = L2 – k1.L1 = 11 – (-2).(-4) = 11 - 8 = 3
L2 = L2 – k1.L1 = -6 – (-2).(4) = -6 + 8 = 2
K2 = 3
31
L3 = L3 – k1.L1 = 6 – (3)..2 = 6 - 6 = 0
L3 = L3 – k1.L1 = 11 – (3).3 = 11 - 9 = -2
L3 = L3 – k1.L1 = -20 – (3).(-4) = -20 + 12 = -8
L3 = L3 – k1.L1 = 10 – (3).4 = 10 - 12 = -2
K3 = -1
L4 = L4 – k1.L1 = -2 – (-1)..2 = -2 + 2 = 0
L4 = L4 – k1.L1 = -7 – (-1).3 = -7 + 3 = -4
L4 = L4 – k1.L1 = 22 – (-1).(-4) = 22 - 4 = 18
L4 = L4 – k1.L1 = -6 – (-1).4 = -6 + 4 = -2
21840
2820
2310
4432
Zerando os elementos que estão abaixo do pivô (-1): repete-se a primeira
linha e a segunda.
10600
2200
2310
4432
41
4
21
2
0
5
0
4
pivô
zeraraNk
pivô
zeraraNk
K4 = -2
32
L3 = L3 – k4.L2 = 2 – (-2).(-1) = 2 - 2 = 0
L3 = L3 – k4.L2 = -8 – (-2).(3) =-8 + 6 = -2
L3 = L3 – k4.L2 = -2 – (-2).(2) = -2 + 4 = 2
K5 = 4
L4 = L4 – k5.L3 = -4 – (4).(-1) = -4 + 4 = 0
L4 = L4 – k5.L3 = 18 – (4).(3) = 18 - 12 = 6
L4 = L4 – k5.L3 = -2 – (4).(2) = -2 - 8 = -10
Zerando o elemento que está abaixo do pivô (-2): repete-se a primeira linha,
segunda e a terceira.
4000
2200
2310
4432
32
60
5
pivô
zeraraNk
L4 = L4 – k5.L3 = 6 – (-3).(-2) = 6 - 6 = 0
L4 = L4 – k5.L3 = -10 – (-3).(2) = -10 + 6 = -4
Observa-se que temos uma matriz diagonal superior que denominamos de U.
4000
2200
2310
4432
U
33
Nesse momento, determina-se a matriz diagonal inferior L utilizando os
multiplicadores e colocando a unidade na diagonal principal.
L =
1341
0123
0012
0001
Agora, multiplica-se a matriz L por uma matriz coluna formada pelos elementos
a, b, c, d, igualando o resultado a matriz coluna formada pelos termos
independentes do sistema original, no caso: -1, 5, 13 e 25.
25
13
5
1
1341
0123
0012
0001
d
c
b
a
2534
13023
5002
1000
dcba
dcba
dcba
dcba
Resolvendo, temos: a = -1, b = 3, c = -4 e d = 0
Os valores de a, b, c e d serão os termos independentes do sistema de equações formado pelos valores encontrados na matriz U.
04000
42200
3230
14432
4000
2200
2310
4432
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
U
Resolvendo o sistema, temos: x = -1, y = 3, z = 2 e w = 0
Solução: (-1,3,2,0)
34
MÉTODO SE GAUSS-JACOBI
Esse método tem que apresentar um valor inicial (x0, y0, x0), um erro e um
número de interações. Se chegar ao valor do erro, não será preciso realizar
todas as interações.
Exemplo:
- Resolva o sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com 4 interações e ϵ = 0,3.
123
1552
23
zyx
zyx
zyx
10 PASSO: ORGANIZAR AS VARIÁVEIS: x sob x; y sob y e z sob z.
123
1552
23
zyx
zyx
zyx
20 PASSO: CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA.
Critério da diagonal principal (diagonal dominante): o módulo de cada elemento
da diagonal principal da matriz dos coeficientes tem que ser maior que a soma
dos módulos dos elementos de cada fila (linha ou coluna) a que pertence o
elemento. Por exemplo:
Cálculo da matriz dos coeficientes:
converge
converge
converge
linha
113
125
113
311
152
113
* Sempre que o critério de linhas não for satisfeito, devemos tentar uma permutação de
linhas e/ou colunas de forma a obtermos uma disposição para a qual a matriz dos
coeficientes satisfaça os critérios das linhas.
35
30 PASSO: ISOLAR AS VARIÁVEIS.
3/)12(123
5/)215(1552
3/)2(23
yxzzyx
zxyzyx
zyxzyx
40 PASSO: ORGANIZAR TABELA.
Inicia-se considerando o 10 valor (0, 0, 0). Pode ser qualquer valor.
N0 de Interações=k x y z ϵ
0 0 0 0 -
1 -0,666 3 4 -
2 1,664 2,466 3,222 0,723
3 1,23 1,69 2,623 0,296
- Cálculo dos erros de x, y e z:
ϵx = /1,664-(-0,666)/ = 2,33
ϵy = /2,466 - 3/ = 0,533
ϵz = /3,222 - 4/ = 0,778
- Cálculo do erro final = o maior erro de x, de y e de z, em módulo, dividido pelo maior resultado, em módulo, da 3a interação.
723,022,3
33,2
interação 3 da módulo, em resultado,maior a
xdeerromaior ainda não.
ϵx = /1,23-1,664)/ = 0,434 Resposta: (1,23; 1,69; 2,623)
ϵy = /1,69 – 2,466/ = 0,776
ϵz = /2,623 – 3,222/ = 0,599
3,0296,0623,2
776,0
36
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares. O seu nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. É semelhante ao método de Jacobi. É condição suficiente de convergência que a matriz seja estritamente diagonal dominante, isto é, fica garantida a convergência da sucessão de valores gerados para a solução exata do sistema linear.
Exemplo:
- Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss-Geidel.
61032
85
7210
zyx
zyx
zyx
CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA.
Cálculo da matriz dos coeficientes:
converge
converge
converge
linha
3210
115
1210
1032
151
1210
Isola-se os valores de x, y e z.
10/)326(61032
5/)8(85
10/)27(7210
yxzzyx
zxyzyx
zyxzyx
1ª Interação: (0, 0, 0)
Substitui (0, 0, 0) em x = (7 – 2y – z)/10 = (7 – 2.0 – 0)10, temos x = 0,7.
Agora, substitui o valor de x = 0,7 e z = 0 em y = (-8 – x – z)/5 = (-8 – 0,7 –
0)/5, encontramos y = -1,74.
37
Substitui os valores de x = 0,7 e y = -1,74 em z = (6 – 2x – 3y)/10 = (6 – 2.0,7 –
3.9-1,74), encontrando z = 0,982.
2ª Interação: Novo valor (0,7; -1,74; 0,982)
Substitui (0,7; -1,74; 0,982) em x = (7 – 2y – z)/10 = (7 – 2.(-1,74) – 0,982),
temos x = 0,9498.
Substitui o valor de x = 0,9498 e z = 0,982 em y = (-8 – x – z)/5 = (-8 – 0,9498 –
0,982)/5, encontramos y = -1,987.
Substitui os valores de x = 0,9498 e y = -1,9864 em z = (6 – 2x – 3y)/10 = (6 –
2.0,9498 – 3(-1,987))/10, encontramos z = 1,006.
3ª Interação: Novo valor (0,9498; -1,9864; 1,006)
Substitui o valor de y = -1,987 e z = 1,006 em x = (7 – 2y – z)/10 = 7 – 2.(-
1,987) – 1,006)/10 = 0,9967.
Substitui o valor de x = 0,9498 e z = 1,006 em y = (-8 – x – z)/5 = (-8 – 0,9498 –
1,006)/5, encontramos y = -2,0005.
Substitui os valores de x = 0,9498 e y = -1,987 em z = (6 – 2x – 3y)/10 = (6 –
2.0,9498 – 3(-1,987)), encontramos z = 1,0008.
Novo valor (0,9967; -2,0005; 1,0008)
Observemos que os valores de x estão convergindo para 1 (0; 0,7; 0,9598;
0,9967). Os de y para -2 (0; -1,74; -1,987; -2,0005) e os de z para 1 (0; 0,982;
1,006; 1,0008), logo a resposta é (1, -2, 1).
N0 de Interações=k x y z
0 0 0 0
1 0,7 -1,74 0,982
2 0,9598 1,987 1,006
3 0,9967 -2,0005 1,0008
38
Aplicação: O modelo matemático das dimensões em metros de uma parede resultou em duas equações qe foram representadas por um sistema S cuja expressão matricial está representada abaixo:
8
10
11
12
b
a
Sabendo que a e b representam o comprimento e a largura de uma parede em metros no formato retangular. Qual a área dessa parede? R) 12m2
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ)
O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ), ou Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) é uma técnica de otimização matemática (minimiza ou maximiza uma função) que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenças são chamadas resíduos).
Regressão simples Queremos estimar valores de determinada variável y. Para isso, consideramos os valores de outra variável x que acreditamos ter poder de explicação sobre y conforme a fórmula:
y = b + ax + ϵ
onde:
b: Parâmetro do modelo chamado de constante.
a: Parâmetro do modelo chamado de coeficiente da variável . ϵ: Erro - representa a variação de y que não é explicada pelo modelo.
Aplicação - 01: 1- Um comerciante consegue nos 6 primeiros meses as seguintes vendas de um produto representadas pela tabela abaixo. Qual a estimação das vendas para o sétimo mês?
Mês (x) Vendas (y) (x, y)
1 9 (1, 9)
2 11 (2, 11)
3 10 (3, 10)
4 13 (4, 13)
5 13 (5, 13)
6 14 (6, 14)
7 ?
39
Para encontrar a função estimada devemos utilizar o sistema abaixo:
yxxaxb
yxabn
...
..
2
Mês (x) Vendas (y) x2 x.y
1 9 1 9
2 11 4 22
3 10 9 30
4 13 16 52
5 13 25 65
6 14 36 84
21 70 91 262
27,897,0
:tan
27,87097,0.21670216
97,0102.105
1572546126
1470441126
)6(2629121
)21(70216
...
..
2
xybaxy
toPor
bbab
aa
ab
b
ab
ab
yxxaxb
yxabn
Então, a estimativa para x = 7 é:
unidadesy
y
xy
15
27,87.97,0
27,8.97,0
Outra maneira de resolver:
- Começamos substituindo os valores das variáveis x e y na função do 10 grau
y = ax + b, encontrando as equações abaixo:
9 = a + b, 11 = 2a + b, 10 = 3a + b, 13 = 4a + b, 13 = 5a + b, 14 = 6a + b
40
Transformando em matriz, temos:
16
15
14
13
12
11
A Observe que tiramos os coeficientes de a e de b.
Calcula-se a transposta:
111111
654321tA
Determina-se o produto xAAt :
111111
654321tA x
16
15
14
13
12
11
A
621
2191xAAt
Agora, determina-se o produto At x b (matriz dos termos independentes =
valores de y)
111111
654321.
10
262
14
13
13
10
11
9
Por último, calcula-se (At.A).x = A
t.b:
Matriz x =
b
a
41
10
261
621
2191
b
a
106.21
262.21.91
ba
ba
Então, a estimativa para x = 7 é:
unidadesy
y
xy
15
27,87.97,0
27,8.97,0
Aplicação - 02:
- Consideremos a seguinte tabela de valores de uma função y = f(x):
i x y
0 0,00 1,0000
1 0,25 1,2840
2 0,50 1,6487
3 0,75 2,1170
4 1,00 2,7183
Determine a expressão analítica do polinômio de grau dois, que aproxima a função tabelada, utilizando a técnica dos mínimos quadrados.
Resolução:
O polinômio do segundo grau P(x) = a2x2 + a1x
1 + a0, vai gerar uma equação
com 3 variáveis, logo precisamos de 3 equações.
24
2
3
1
2
0
13
2
2
1
1
0
02
2
1
1
0
0
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxxaxaxa
i x y x0 x1 x2 x3 x4 x.y x2.y
0 0,00 1,0000 1 0,00 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,000
1 0,25 1,2840 1 0,25 0,0625 0,0156 0,0039 0,3210 0,0802
2 0,50 1,6487 1 0,50 0,2500 0,1250 0,0625 0,3243 0,4122
3 0,75 2,1170 1 0,75 0,5625 0,4219 0,3164 1,5877 1,1908
4 1,00 2,7183 1 1,00 1,0000 1,0000 1,0000 2,7183 2,7183
8,7680 5 2,50 1,8750 1,5625 1,3828 4,9513 4,4015
42
8437,0
8641,0
0052,1
4015,41,3828.1,5625.1,8750.
9513,45625,1.875,1.5,2
768,8875,15,2.5
2
1
0
210
210
210
24
2
3
1
2
0
13
2
2
1
1
0
02
2
1
1
0
0
a
a
a
aaa
aaa
aaa
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxxaxaxa
O polinômio de grau dois, que aproxima a função tabelada, utilizando a técnica dos
mínimos quadrados é:
P(x) = a2x2 + a1x
1 + a0 P(x) = 0,8437x2 + 0,8641x1 + 1,0052
INTERPOLAÇÃO POLINIMIAL
A interpolação consiste em determinar uma função (polinômio), que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação). O conjunto de funções escolhido para a interpolação é a priori arbitrário, e deve ser adequado às características que pretendemos que a função possua.
INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE: é o polinômio interpolador de menor grau
possível que passe pelos pontos (x0, yo), (x1, y1), ..., (xn, yn).
Exemplo:
- Dados os pares (-2, 2), (0,-2) e (4, 1). Encontre o polinômio (função) gerado por esses pares.
Aparentemente, esses dados geram uma função do segundo grau (função interpoladora). Então, aplicando polinômio de Lagrange, temos:
P(x) = f(x0). L0(x) + f(x1). L1(x) + f(x2). L2(x)
x0 = -2 e y0 = 2
x1= 0 e y1= -2
x2 = 4 e y2 = 1
L0(x), L1(x), L2(x) → Forma de Lagrange
43
24
2)1(
24
)).(2(
)04))(2(4(
)0))(2((
)).((
)).(()(
4
82)2(
8
)4).(2(
)40))(2(0(
)4))(2((
)).((
)).(()(
6
4)2(
12
)4.(
)42)(02(
)4)(0(
)).((
)).(()(
2
1202
100
2
2101
201
2
2010
210
xxxxxx
xxxx
xxxxxL
xxxxxx
xxxx
xxxxxL
xxxxxx
xxxx
xxxxxL
erpoladorpolinômioxxxP
xxxxxx
int212
13
24
11)(
24
2
4
82
6
4 (x)L ).f(x + (x)L ).f(x + (x)L ).f(x = P(x)
2
222
221100
INTERPOLAÇÃO DE NEWTON
Exemplo:
Qual o polinômio de menor grau possível que passa pelos pontos (1, 0), (3, 6),
(4, 24) e (5, 60)?
Construindo a tabela:
x y 1 2 3
X0 = 1 y0 = 0 3 5 1
X1 = 3 y1 = 6 18 9
X2 = 4 y2 = 24 36
X3 = 5 y3 = 60
xxxxP
xxxxxxxP
xxxxxxxxxxxxyxP
xx
xx
xx
xx
yy
xx
yy
xx
yy
23)(
1).4).(3).(1(5).3).(1(3).1(0)(
)).().(()).(().()(
14
459
935
181836
514
15318
3645
2460
1834
624
313
06
23
3210210100
03
3
13
2
02
2
23
231
12
121
01
011
44
Aplicações:
01- Em problemas nossos do dia a dia, a diferença de densidades não
apresenta problemas para determinar quantidades de água, massa ou
argamassa. No entanto, na indústria, a mais sutil mudança pode levar a erros
com prejuízos incalculáveis. Abaixo, temos a temperatura do mercúrio
relacionada a sua densidade. Para que não haja atropelos financeiros e preciso
determinar a densidade do mercúrio para uma fabricação de uma liga quando a
temperatura for de 250C. Determine esse valor. R) 13,534
t(0C) Densidade(g/cm3)
-20 13,645
20 13,546
100 13,352
02- Em obra de engenharia é primordial saber dimensionar os materiais como
aço, tubos e cabos. Um simples cabo com dimensão acima da recomendada
pode gerar um gasto desnecessário se pensarmos a quantidade utilizada em
uma obra de grande porte. Por isso se faz necessária a dimensão
recomendada. Considere que em uma obra é preciso dimensionar um fio de
metal e estimar a sua resistência sabendo que o seu diâmetro é igual a 1,75
mm. Para isso foram medidas as resistências de 5 fios de diversos diâmetros.
Os resultados se encontram na tabela abaixo. Faça uma interpolação com os 3
primeiros pontos e encontre a resistência para esse fio de diâmetro 1,75mm.
xi 1,5 2,0 3,0 2,2
F(xi) 4,9 3,3 3,0 2,0 1,75 R) 3,002567
03- Os pontos P0(35; 0,99818) e P1(40; 0,99828) representam o valor
específico (y) de um dado material em função de sua temperatura (x) em 0C.Utilizando interpolação linear P(x) = y0 + [(y1 - y0):(x1 - x0)].(x - x0), Encontre,
o valor aproximado do calor específico da água a 36,5 0C. R) 0,9986
04- Atletas olímpicos utilizam os mais modernos aparelhos de tecnologia para
sua preparação. Procura-se calcular quase todas as variáveis que influenciam
nos seus desempenho. Para um saltador olímpico procura-se saber qual a
deflexão da prancha de salto em função do tempo de permanência de
preparação para o salto. Dados capitados pelo computador são confrontados
45
com valores calculados “a mão” para que tenhamos uma boa calibração. A
tabela abaixo representa a deflexão em cm duma prancha de saltos, em vários
instantes de tempo de preparação para o salto. Encontre a deflexão da
prancha, a partir dos dados da tabela, construindo um polinômio interpolador
de grau dois para um tempo igual a 3,5 segundos. Use os três últimos pontos.
R) -2,05 cm
t(s) 0,0 0,5 1,5 2,0 4,0 6,0
Deflexão(cm) 4 1,75 -1,25 -2 0 10
MÉTODO DE EULER (MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES DE SOLUÇÃO):
Consiste numa equação diferencial ordinário y’ = f(x, y) e um ponto (x0, y0).
.hy' + y = y
................
.hy' + y = y
.hy' + y = y
.h y' + y =y
)(
),('
nn1+n
223
112
00 1
00 yxy
yxfy
.int0 eraçõesdeNn
bxa
n
abh
Exemplo -1:
- Seja y’ = t2.y com y(0) = -2 no intervalo 1t0 , utilize o método de Euler com
n = 2. A seguir estime y(1) pelo método tradicional (EDO) e ache o erro.
5,02
01
2)0(
.ty' 2
h
y
y
25,25,0).2.()5,0(2.'15,05,0
25,0).2.(02.'5,05,00
20
.ty'
2
11212
2
00101
00
2
hyyyhtt
hyyyhtt
yt
y
46
Método tradicional (EDO):
33
3
33
32
2
2
2
2
33
3
33
.2)2.(2
)2,0(.
.3
.t
.ty'2)0(
.ty'
tt
t
c
tc
t
eyeyc
cey
eeeyct
Lnytdty
dy
dtty
dy
ydt
dy
yy
y
Agora para calcular o valor de y utiliza-se o valor de b = 1 no lugar do t.
79,2.2.2 3
1
3
33
eyey
t
Cálculo do erro: ϵ = ϵ1 - ϵ2 = -2,25 –(-2,79) = 0,54.
Exemplo -2:
- Seja y’ = et - 2y com y(0) = 1 no intervalo 1t0 , utilize o método de Euler
com n = 4. A seguir estime y(1) pelo método tradicional (EDO) e ache o erro.
5,02
01
1)0(
2ey' t
h
y
y
INTEGRÇÃO NUMÉRICA:
- REGRA DOS TRAPÉZIOS.
A idéia da regra do trapézio é aproximar a função f(x) por um polinômio de 10
grau (reta). Veremos que, nessa aproximação a integral da função f(x) pode ser
aproximada pela área de um trapézio. Esse método visa calcular um valor
aproximado de uma integral definida que representa o valor de uma área
determinada pela função f(x) e pelo intervalo [a, b]. Observe o gráfico.
b
adxxf )(
47
Base maior: f(x1), Base menor: f(x0) e Altura: n
ab =
n
xx 12 (n = número
de interações ou número de subdivisões do trapézio).
Nota: a área de um trapézio é o produto da altura pela média aritmética das
bases. ).(22
. bBhbB
hS
Portanto, para um trapézio temos: )()(.2
)()(.2
)( 10 bfafh
xfxfh
dxxfb
a
Estimativa para o erro da regra do trapézio.
)(".12
)()(".
12
33
xfab
Eouxfh
E TT
Exemplo-1: Calcular a integral utilizando a regra dos trapézios: dxx
7
1 2
1
O polinômio do 10 grau (m = 1) passa pelos pontos a = 1 e b = 7, onde h = (7-
1)/1 = 6, é:
0612,37
1
1
1.
2
6)()(.
2)(
2210
b
axfxf
hdxxf
- Resolvendo pela fórmula da integral da potência, temos:
86,07
6
1
1
7
11
1
17
1
7
1
17
1
27
1 2
x
xdxxdx
x
Note que a diferença é muito grande. Portanto, vamos estimar o erro.
- Calculando a estimativa para o erro, temos:
)(",.12
3
xfbaMáxh
ET
Como a derivada segunda de f(x) é f ´´(x) = 6x-4. x |Máx.[a,b]f’’(x)|
1 6 Máx. [a, b]
2 0.375 3 0.074074 4 0.023438 5 0.0096 6 0.00463 7 0.002499
Logo, 1086.12
6)("],.[.
12
33
TTT EExfbaMaxh
E (erro muito grande!)
48
Exemplo 2- Calcular 9
156 dxx , usando a regra dos trapézios. Qual seria
uma estimativa para o erro deste procedimento? h = (9 – 1)/1 = 8
3259.651.6.2
8)()(.
2)( 10
b
axfxf
hdxxf
x f’’(x) |f’’(x)| 1 -9 9 2 -0.48298 0.482977 3 -0.18601 0.186006 4 -0.10434 0.104335 5 -0.0636 0.0636 6 -0.04607 0.046072 7 -0.02999 0.029994 8 -0.01596 0.015959 9 -0.01312 0.01312
3849.12
8)(".
12
33
TTT EExfh
E Erro muito grande!
Regra do trapézio repetida
A regra do trapézio é uma aproximação um pouco grosseira para o valor da
integral o que pode ser verificado tanto graficamente quanto pela expressão do
erro. Contudo, se aplicarmos dentro de certo intervalo [a,b] a regra do trapézio
repetidas vezes a aproximação será melhor conforme podemos observar na figura
abaixo P(x1)
Cálculo da altura:
b
an
n
i
i xfxfxfh
dxxf )()(.2)(.2
)(1
1
0
Estimativa para o erro na regra do trapézio repetida será:
)(",.12 2
3
xfbaMáxn
hET
49
Se quisermos saber quantas subdivisões são necessárias para atingir certa precisão dada, ou seja, certo valor de erro, fazemos o seguinte cálculo:
)(",.12
3
xfbaMáxE
hn
T
Exemplo 3 – Calcule o valor da integral dxx
7
1 2
1, usando a regra dos trapézios
com 6 subdivisões. Em seguida, calcule uma estimativa para erro usando a
regra do trapézio repetida. Por último, encontre quantas subdivisões
deveríamos fazer para que o erro neste processo fosse menor do que 0,001 =
10-3.
h=1
h = (7-1)/6 = 1 x0=
a x1
x2
x3
x4
x5 x
6
002,149
1
36
1
25
1
16
1
9
1
4
1.21.
2
1)()(.2)(.
2)(
1
1
0
b
an
n
i
i xfxfxfh
dxxf
Estimar o erro: )(",.12 2
3
xfbaMáxn
hET
Cálculo de f”(x): f(x) = 1/x2 = x-2 → f’(x) = -2x-3 → f”(x) = -6x-4
X |f’’(x)| 1 6 Máx. [a,b] 2 0.375 3 0.074074 4 0.023438 5 0.0096 6 0.00463
3)6.(6.12
62
3
TT EE (erro estimado)
Cálculo do número de subdivisões para que o erro fosse menor que 0,001.
)int(32963,3286.10.12
6)(",.
12 3
33
eironúmerossubdivisõexfbaMáxE
hn
T
Exemplo 4- Resolva a integral pelo método dos trapézios simples e composto
(4 subdivisões):
3
1
2xe
Exemplo 5- Na indústria de automóvel fabricam-se alarmes para carros. Os alarmes são ativados quando uma onda mecânica incide e penetra no seu interior ativando um transdutor, dispositivo que transforma onda mecânica em eletromagnética, e dispara o alarme.No entrando, cálculo são feitos para se obter a melhor resposta porque não são todas as freqüências que podem ativar o alarme sob o risco de dispará-lo a qualquer momento. Para melhorar o sinal
usa-se a função x
exf
x
)( integrando “f(x)dx” nos limites de 1 a 2. Avalie o sinal
integrante da função dividindo o intervalo de 1 a 2 em 4 partes iguais. Utilize o
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método dos trapézios. Encontre o sinal do sinal, ou seja, da integral. R)2,987793 Exemplo 6- Muitos alunos acreditam que algumas disciplinas são desconexas como dia a dia como, por exemplo, cálculo numérico que é ministrada em todos os curso de engenharia. A despeito disso cálculos dos mais variados são aplicados. Como cálculo de estoque, revestimento de paredes e até velocidades de um foguete são feitos apenas numericamente. Para podermos verificar essa aplicabilidade,podemos, a partir dos dados abaixo, que representa a velocidade de um foguete em função do tempo de lançamento, calcular a velocidade desse foguete após 20 segundos. O cálculo dessa distância é determinado pela integral de “v.dt”. Use o método dos trapézios para encontrar o valor da altura após 20 segundos. R) 4000,18
t(s) 0 5 10 15 20
V(pés/s) 0 60,6 180,1 341,6 528,4
BIBLIOGRAFIA
- S. Arenales, A. Darezzo. Cálculo Numérico - Aprendizagem com Apoio de Software. Thomson Learning, 2008. - R.L. Burden, J.D. Faires. Análise Numérica. Pioneira Thomson Learning, 2003. - M.C. Cunha. Métodos Numéricos. 2a edição, Editora da Unicamp, 2000. - BARROS, I. Q. Introdução ao cálculo numérico. São Paulo: Edgar Blücher, 1972. https://pt.wikipedia.org/wiki/Método_das_secantes https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~calves/courses/eqn/capii213.html