Cálculo NuméricoCálculo Numérico

Profs.: Bruno Correia da N. QueirozJosé Eustáquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros

Resolução NuméricaResolução Numéricade Equações – Parte Ide Equações – Parte I

2

Estudar métodos numéricos para a resolução de equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma função f(x)f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de xx

tal que f(x) = 0f(x) = 0) Fundamentar a necessidade de uso de

métodos numéricos para a resolução de equações não lineares

Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos para a resolução de equações não lineares

Apresentar uma série de métodos destinados à resolução de equações não lineares

Cálculo Numérico – Objetivos

3

Cálculo Numérico – Motivação I

Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0 Principio da Principio da

ConservaçãoConservação

MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa

Principio da Principio da ConservaçãoConservação

MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa

+FV

-FV

+FH-FH

Em cada nó :

FH = 0 FV = 0

FEstruturas

(Lei de Kirchhoff)

R

E

i

v = g(i)+

-

E - Ri – g(i) = 0

CircuitosReatore

sE1

E2 S

E S

Em um dado intervalo:massa = entradas - saídas

4Cálculo Numérico – Motivação II

é um zerozero da função f(x)f(x) ou raizraiz da equação f(x) = 0f(x) = 0 se f(f() = 0) = 0..

Zeros podem ser reaisreais ou complexoscomplexos.

Este módulo trata de zeros reaisreais de f(x)f(x)..

Zeros reais representados

sobre o eixo das abscissas

Zeros reais representados

sobre o eixo das abscissas

Eixo das abscissasEixo das

abscissas

11 22

f(x)

x

Eix

o d

as

ord

en

ad

as

Eix

o d

as

ord

en

ad

as

5

Determinação das raízes em função de aa, bb e cc

Cálculo Numérico – Motivação III

ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0

Polinômios de grau mais elevado e funções com maior grau de complexidade Impossibilidade de determinação exata

dos zeros

x = -b ± b2 – 4ac 2a

x = -b ± b2 – 4ac 2a

A partir de uma equação de 2º grau da forma

6Cálculo Numérico – Motivação IV

Princípio Básico dos Métodos Numéricos

VALORVALOR

INICIALINICIALVALORVALOR

INICIALINICIALAPRIMORAMENTAPRIMORAMENTOO

DOS VALORESDOS VALORES

APRIMORAMENTAPRIMORAMENTOO

DOS VALORESDOS VALORES

MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS

MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO

DOS ERROSDOS ERROSMINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO

DOS ERROSDOS ERROSVALOR VALOR

ACEITÁVELACEITÁVEL

DE RAIZDE RAIZ

VALOR VALOR ACEITÁVELACEITÁVEL

DE RAIZDE RAIZ

7Cálculo Numérico – Motivação V

Etapas Usuais para a Determinação de Raízes a partir de Métodos Numéricos

FASE I

Isolamento das raízes

FASE I

Isolamento das raízes

Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz

Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz

FASE II

Refinamento das raízes

FASE II

Refinamento das raízes

Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).

Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).

MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS

8Cálculo Numérico – Motivação VI

FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES

Realização de uma análise teórica e gráfica da função de interesse

Precisão das análises é relevante para o sucesso da fase posterior

9Cálculo Numérico – Motivação VII

TEOREMA 1:

Sendo f(x)f(x) contínua em um intervalo [a, b][a, b], se f(a)f(b) < 0f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto xx = = entre aa e bb que é zerozero de f(x)f(x).

10Cálculo Numérico – Motivação VIII

ANÁLISE GRÁFICA:

11 22

f(x)

x33aa bb

bb

f(x)

xaa

aa 11

f(x)

x22 bb

11

Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3

Cálculo Numérico – Motivação IX

f(x)f(x) é contínua para x x RR.

II11 = [ = [-5-5,, -3 -3]]

II22 = [ = [00,, 1 1]]

II33 = = [ [22,, 3 3]]

Cada um dos Cada um dos intervalos contém pintervalos contém peloelo menosmenos um um zerozero ..

Cada um dos Cada um dos intervalos contém pintervalos contém peloelo menosmenos um um zerozero ..

++++++––––++++++––––––––f(x)

543210-1-3-5-10-100-x

12

f(x)f(x) admite pelo menos um zerozero no o intervalo [intervalo [11,, 2 2] ] O O zerozero é únicoúnico? ?

Cálculo Numérico – Motivação X

Análise do sinal de Análise do sinal de f’(x)f’(x)

......++++––––f(x)

...3210x

f’(x) =1/(2f’(x) =1/(2x )+ 5ex )+ 5e-x-x > 0 > 0,, x > 0x > 0

f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .

Exemplo 02: f(x) = f(x) = x – 5e x – 5e-x-x

13Cálculo Numérico – Motivação XI

OBSERVAÇÃO:

Se f(a)f(b) > 0f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no intervalo [a,[a, b]b].

bb

f(x)

xaaf(x) aa

f(x)

xbb

11 22xaa bb

14Cálculo Numérico – Motivação XII

Construção dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesiano

Construção dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesiano

Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f() = 0 ) = 0 g(g() = h() = h() ) )

Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f() = 0 ) = 0 g(g() = h() = h() ) )

Localização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxox

Localização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxox

Construção do gráfico de f(x)f(x)Construção do gráfico de f(x)f(x)

II

Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) g(x) = h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0

Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) g(x) = h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0

IIII

Uso de programas para traçado de gráficos de funçõesUso de programas para traçado de gráficos de funções

IIIIII

ANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICA

15

Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico Domínio da funçãoDomínio da função Pontos de descontinuidadePontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e Intervalos de crescimento e

decrescimentodecrescimento Pontos de máximo e mínimoPontos de máximo e mínimo ConcavidadeConcavidade Pontos de inflexãoPontos de inflexão Assíntotas da funçãoAssíntotas da função

(Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)

Cálculo Numérico – Motivação XIII

16

Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3 (Uso do método II )

Cálculo Numérico – Motivação XIV

11 [-4, -3][-4, -3] 22 [0, 1][0, 1] 33 [2, 3][2, 3]

f’(x) = 3xf’(x) = 3x22 - 9 - 9 f’(x) = 0 <=> x = f’(x) = 0 <=> x = 3 3

33-72

-7,3923 3-513011-1

13,3923- 33-3

-25-4f(x)x

33

f(x)

x-4 1-3 -2 -1 2 3 4

2211

17

MATLAB: ezplot('x^3-9*x+3',[-4,4])ezplot('x^3-9*x+3',[-4,4])

Cálculo Numérico – Motivação XV

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-20

-10

0

10

20

30

x

x^3-9*x+3

18Cálculo Numérico – Motivação XVI

11 ( (-4-4,, -3 -3))

22 ( (00,, 1 1))

33 ( (22,, 3 3))

g(x) = xg(x) = x33

h(x) = 9x -3 h(x) = 9x -3

Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3 (Uso do método IIII )

33

g(x)

x-4 1-3 -2 -1 2 3 422

11

h(x)

y

19

MATLAB: ezplot('9*x-3',[-4,4])ezplot('9*x-3',[-4,4])

Cálculo Numérico – Motivação XVII

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

x

9*x-3

20Cálculo Numérico – Motivação XVIII

[1, 2][1, 2]

g(x)

x1 2 3 4

h(x) y

5 6

Exemplo 04: f(x) = f(x) = x – 5ex – 5e-x -x

( Uso do Método IIII ) x – 5ex – 5e-x -x = 0 <=> = 0 <=> x = 5ex = 5e-x -x

g(x) = g(x) = x x h(x) = 5eh(x) = 5e-x-x

21

MATLAB: ezplot('5*exp(- x)',[0,5])ezplot('5*exp(- x)',[0,5])

Cálculo Numérico – Motivação XIX

0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x

5*exp(-x)

22

xlog(x) – 1xlog(x) – 1 = 0 = 0 log(x) = 1/xlog(x) = 1/x

g(x) = log(x) g(x) = log(x)

h(x) = 1/xh(x) = 1/x

Exemplo 05: f(x) = x logx – 1f(x) = x logx – 1

Cálculo Numérico – Motivação XX

[2, 3][2, 3]

g(x)

x1 2 3 4

h(x)

y

5 6

23

MATLAB: ezplot('1/x',[0,5])ezplot('1/x',[0,5])

0 1 2 3 4 5

0.5

1

1.5

2

2.5

x

1/x

Cálculo Numérico – Motivação XXI

24Cálculo Numérico – Motivação XXII

FASE II: REFINAMENTO

Aplicação de métodos numéricos destinados ao refinamento de raízes

Diferenciação dos métodos Modo de refinamento

Método IterativoIterativo Caracterizado por uma série de instruções executáveis seqüencialmente, algumas das quais repetidas em ciclos (iteraçõesiterações)

25Cálculo Numérico – Motivação XXIII

CRITÉRIOS DE PARADA

Teste: xxkk suficientemente próximo da raiz exata?

Como verificar tal questionamento?

Interpretações para raiz aproximada xx é raiz aproximada com precisão

se:

i.i. |x - |x - | < | < ou

ii.ii. |f( x )| < |f( x )| < Como proceder se não se conhece ?

Como proceder se não se conhece ?

26Cálculo Numérico – Motivação XXIV

Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração

Obtenção de um intervalo [a,b][a,b] tal que:

[a,b][a,b]

e

b – a < b – a <

||xx - - || < < , , xx [[aa,,bb]]

x x [a,b][a,b] pode ser tomado como xx

x x [a,b][a,b] pode ser tomado como xx

bb

f(x)

x

aa

b – a < b – a <

27Cálculo Numérico – Motivação XXV

Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios

Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios

|f(|f( xx )| < )| < |f(|f( xx )| < )| <

||xx - - | < | < ||xx - - | < | <

Métodos numéricos são desenvolvidos de modo a satisfazer ppeloelo menosmenos um dos critérios

Métodos numéricos são desenvolvidos de modo a satisfazer ppeloelo menosmenos um dos critérios

28Cálculo Numérico – Motivação XXVI

PROGRAMAS PROGRAMAS COMPUTACIONAICOMPUTACIONAI

SS

PROGRAMAS PROGRAMAS COMPUTACIONAICOMPUTACIONAI

SS

Teste de Teste de ParadaParada

Teste de Teste de ParadaParada

Estipulação do Estipulação do número máximo de número máximo de

iteraçõesiterações

Estipulação do Estipulação do número máximo de número máximo de

iteraçõesiterações

Prevenção contra loopingsloopings erros do programaerros do programa inadequação do método ao inadequação do método ao

problemaproblema

Prevenção contra loopingsloopings erros do programaerros do programa inadequação do método ao inadequação do método ao

problemaproblema