Cálculo Numérico Unidade 1 - Introdução à Análise Numérica

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Introdução à Análise Numérica

Unidade 1

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TIntrodução à Análise Numérica

1 – Ementa

1.1 – Características Gerais da Análise Numérica;

1.2 – Sistemas de numeração binário e decimal;

1.3 – Sistemas de ponto fixo e flutuante.

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1.1 – Características Gerais da Análise Numérica

O Cálculo numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por meios computacionais.

Uma solução via Cálculo Numérico é sempre numérica, enquanto os métodos analíticos geralmente fornecem funções matemáticas.

Embora a solução numérica seja uma aproximação do resultado exato, esta pode ser obtida com grau crescente de precisão.

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Uma solução numérica pode ser obtida mesmo quando o problema não tem solução analítica. Por exemplo, a integral definida

de grande utilidade na Estatística, não possui solução analítica. A área sob a curva descrita pela função integrada acima pode ser obtida por meios numéricos que são aplicáveis a qualquer outro integrando.

b

a

x dxey2

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Para a computação de resultados numéricos, são necessárias somente as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) e lógicas (comparação, conjunção, disjunção e negação).

Considerando que estas são as únicas operações matemáticas que os computadores são capazes de realizar, então os computadores e o Cálculo Numérico formam uma combinação perfeita.

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A resolução de um problema real pode ser geralmente dividida em:

Podemos identificar duas fases no diagrama:

Modelagem: é a fase de obtenção de um modelo matemático que descreve o comportamento do sistema físico em questão.

Solução: é a fase de obtenção da solução do modelo matemático através da aplicação de métodos numéricos adequados.

ProblemaModelo

MatemáticoSolução

ResoluçãoModelagem

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A escolha do método mais eficiente deve envolver:• Precisão desejada para os resultados;• Capacidade do método em conduzir aos resultados desejados (velocidade de convergência);• Esforço computacional despendido (tempo de processamento, economia de memória necessária para a resolução).

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A solução numérica envolve: • A elaboração de um algoritmo, que é a descrição seqüencial dos passos que caracterizam um método numérico; • A codificação do programa, quando implementamos o algoritmo numa linguagem de programação escolhida; • O processamento do programa, quando o código antes obtido é compilado para que possa ser executado pelo computador.

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Dois conceitos são essenciais em cálculo numérico:

1 – Iteração: Em um sentido amplo, iteração significa a repetição sucessiva de um processo. Um método iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos:

• Aproximação inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução do problema numérico.

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• Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo da aproximação inicial, são realizadas as aproximações sucessivas para a solução desejada.

• Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado.

2 - Aproximação local: A idéia é aproximar uma função por outra que seja de manuseio mais simples. Por exemplo, aproximar uma função não-linear por uma função linear em um determinado intervalo.

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1.2 – Sistemas de numeração binário e decimal.

O sistema decimal é um sistema adotado internacionalmente para expressar medidas do cotidiano e não deve ser confundido com o sistema métrico. O sistema de numeração nos informa sobre o valor da quantidade, sua magnitude, enquanto que o sistema métrico nos informa sobre a unidade de referência da medida.

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O sistema decimal é formado pelos números inteiros da base β={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A partir desta base, que denotaremos β10, todos os números podem ser expressos neste sistema.

Definição: Um número decimal é formado a partir da expressão:

an.10n+...+a2.102+a1.101+a0.100+a-1.10-1+

+a-2.10-2+...+a-m.10-m

onde n e m são números inteiros e os ai são os elementos da base decimal.

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O sistema de numeração cuja base é composta pelos dois algarismos, β2={0, 1}, é chamado de sistema binário de numeração. Neste sistema, qualquer número pode ser representado por uma combinação de zeros e uns, de tal forma que seu valor numérico decimal é obtido por meio da expressão dada na definição a seguir.

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Definição: O valor numérico em decimal de um número expresso no sistema binário é obtido tomando-se:

an.2n+...+a2.22+a1.21+a0.20+a-1.2-1+a-2.2-2+ +...+a-m.2-m

onde n e m são números inteiros e os ai são elementos da base binária.

A representação dos números por meio do sistema binário tornou-se muito importante com o advento da computação.

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Conversão de decimal para binário:

O processo de passagem de um número decimal para binário é feito em duas etapas:

1 – Parte inteira;

2 – Parte fracionária.

Parte Inteira

Para convertermos a parte inteira de um número decimal para binário, aplicamos o método das divisões sucessivas por 2, e pegamos os restos das divisões na ordem inversa. No exemplo é mais fácil:

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18 2

0 9 2

1 4 2

0 2 2

0 1 2

1 0

Portanto, 1810 = 100102. Para fazermos a conversão inversa, basta utilizar a fórmula da definição:

1.24+0.23+0.22+1.21+0.20=18

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Parte fracionária:

Para a parte fracionária de um valor decimal, utilizamos o método das multiplicações sucessivas por 2, usando a parte inteira do resultado para compor o valor binário e a parte fracionária para realizar novas multiplicações, até que o resultado seja 1 ou 0 ou se alcance um número satisfatório de casas decimais. Novamente, um exemplo é mais fácil de entender:

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Converter 0,1875 em binário:

0,1875 x 2 = 0,3750

0,3750 x 2 = 0,7500

0,7500 x 2 = 1,5000

0,5000 x 2 = 1,0000

Portanto, 0,187510 = 0,00112.

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1.3 – Sistemas de ponto fixo e flutuante.

As primeiras arquiteturas de computador empregavam uma representação dos números chamada de ponto fixo, onde os números possuíam um número fixo de algarismos significativos e onde o número de algarismos após a vírgula era fixa.

Um dos problemas dessa arquitetura é a representação simultânea de números grandes e pequenos, como numa soma, por exemplo.

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Nos computadores atuais, o processamento é realizado com operações de ponto flutuante, e os valores são armazenados em uma forma compacta (conhecida como forma canônica):

0,1256x106 Expoente

mantissa

Desta forma, é possível representar grandes números no computador, mas esta facilidade tem seu preço: os valores em ponto flutuante perdem em precisão para os valores em ponto fixo.

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Cada computador reserva um determinado número de bits para armazenar a mantissa e o expoente. Por exemplo, nos computadores atuais, de 32 bits, temos a seguinte divisão:

1 bit para guardar o sinal da mantissa;

23 bits para representar a mantissa;

8 bits para representar o expoente;

1 bit para guardar o sinal do expoente;

± mantissa ± expoente

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Assim, o maior número será (positivo ou negativo, conforme o sinal do primeiro bit):

±3.402823466 x 10+38

O menor número será (exceto o zero):

± 1.175494351 x 10–38

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

00- (2 - 2- (2 - 2-23-23) ) × 2× 2128128

underflow positivo

- - 22-127-127 22-127-127 (2 - 2(2 - 2-23-23) ) × 2× 2128128

underflow negativo números

representadosnúmeros

representados

overflow positivo

overflow negativo

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A região de valores entre zero e o valor mínimo que pode ser assumido é chamada de “Região de Underflow”, e os computadores consideram valores nesta área na maior parte das vezes como zero.

As regiões superiores ao valor máximo (tanto positiva quanto negativa) são chamadas de “Região de Overflow”, sendo que os computadores consideram valores nesta faixa como erros.

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Um fato a respeito dos números representados em ponto flutuante é que eles não possuem uma escala contínua como os números decimais. Devido à limitação de bits para a representação da palavra, não é possível convertermos todos os números decimais para seus equivalentes em binário.

222323 n nosos. reais . reais representadosrepresentados

222323 n nosos. reais . reais representadosrepresentados

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