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Amintas engenharia

Cálculo Numérico - Unidade 5 - Interpolação Polinomial

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Amintas

engenharia

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Interpolação Polinomial

Unidade 5

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Ementa:

5.1 – Introdução

5.2 – Interpolação Linear e Quadrática

5.3 – Interpolação de Lagrange

5.4 – Interpolação com diferenças divididas

  !e"ton#

5.5 – Interpolação com diferenças finitas

  $regor%&!e"ton#.

Interpolação Polinomial

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5.1 – Introdução

'iversas ve(es temos a necessidade de encontrar

um valor intermediário em uma ta)ela de valores

por e*emplo+ a tabela de probabilidades de umacurva normal#.

!esta unidade+ estudaremos alguns m,todos

num,ricos para resolver este tipo de pro)lema.

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5.1 – Introdução

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Polinômios Interpoladores:

-ão polinmios constru/dos com o intuito de

relacionar   uma variável de entrada com uma

variável de saída.'esta forma+ eles podem ser usados para estimar

os valores intermediários das ta)elas.

0as a utilidade destes polinmios vai al,m eles

tam),m serão necessários nas unidades + e

deste curso.

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5. – Interpolação linear e !uadrática:

1 – Interpolação linear 

'ados dois pontos *+ %# e *1+ %1#+ de uma função % 6 f*#+

pode&se utili(ar a interpolação linear para calcular o valorde " !uando o valor de # assume valores entre #$ e #1.

 7 forma do polinmio interpolador ,

%&#' ( P1&#' ) a$ * a1 . #

8 ele pode ser calculado com a f9rmula

( )0

01

0101   .)(  x x

 x x

 y y y x P    −

−−

+=

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8*emplo :alcule ;1+2# dados os pontos a)ai*o

  retirados da e<uação f*# 6 e2*#

 7trav,s da f9rmula

i 0 1

 x i +1 +=

 y i 1+221 3+32

( )   641,11,02,0.1,06,0

221,1320,3221,1)2,0(1   =−

−−

+= P 

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– Interpolação +uadrática:

;ode&se mel>orar o resultado o)tido com a interpolação

linear aplicando um polinmio interpolador de grau maior.

;or e*emplo+ digamos <ue temos tr?s pontos

*+ %#+ *1+ %1# e *2+ %2#+ de uma certa função % 6 f*#.

;ara reali(ar a apro*imação+ fa(emos

%&#' ( P&#' ) a$ * a1# * a#

@nde ;2*# , um polinmio interpolador de grau 2.

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-e su)stituirmos os valores dos pontos no polinmioanterior+ teremos tr?s e<uaçAes distintas

Que podemos reescrever da seguinte forma

=++=++

=++

2

2

22210

1212110

0

2

02010

 y xa xaa

 y xa xaa

 y xa xaa

=

   

 

 

 

 

2

1

0

2

1

0

2

22

2

11

2

00

.

1

1

1

 y

 y

 y

a

a

a

 x x

 x x

 x x

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8ste , um sistema de e<uaçAes <ue pode ser

facilmente resolvido por <ual<uer um dos m,todos

mostrados na unidade 4.

;or este motivo+ não será apresentado o algoritmo

deste m,todo.

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E#emplo:

'ados os pontos +1B 1+221#+ +=B 3+32# e +B 4+53#+

determine o valor de ;2+2#.

Primeiro passo: 8screver o sistema de e<uaçAes

=

   

 

 

 

 

953,4

320,3

221,1

.

64,08,01

36,06,01

01,01,01

2

1

0

a

a

a

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,e-undo passo:  Cesolver o sistema de e<uaçAes

!este e*emplo+ por $auss#

   

 

 

 

 =

732,3

099,2

221,1

63,07,00

35,05,00

01,01,01

1C 

   

 

 

 

 =

7934,0

099,2

221,1

14,000

35,05,00

01,01,01

2C 

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-olução do sistema de e<uaçAes

a 6 1+141

a1 6 +231

a2 6 5+==

erceiro Passo: 0ontar o polinmio

;2*# 6 1+141 D +231* D 5+==*2

+uarto Passo: 8ncontrar o valor de ;2+2#

;2+2# 6 1+141 D +231.+2 D 5+==.+2#2

;2+2# 6 1+414

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5./ – Interpolação de 0a-ran-e:

 7s interpolaçAes linear e <uadrática# mostradas at, o

momento são casos particulares da interpolação de

Lagrange. 7t, o momento+ vimos <ue para determinar uma

interpolação linear+ precisávamos de 2 pontos e para uma

interpolação <uadrática+ precisávamos de 3.

 7gora veremos <ue sempre precisaremos de nD1 pontospara montar um polinmio interpolador de grau n.

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Portanto, se forem dados n+1 pontos distintos,

 podemos construir um polinômio Ln(x) de grau menor

ou igual a n, passando por todos os n+1 pontos dados.

 A fórmula do polinômio interpolador de Lagrange é:

∑   ∏=≠=

   

 

 

 

=

n

i

n

i j j  ji

 j

in  x x

 x x

 y x L 0   0.)(

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 Algoritmo Polinomio_Lagrange

{Objetivo: interpolar um valor na tabela usando Lagrange}

 Parâmetros de entrada: n, x, y, alor  Parâmetros de sa!da: "esultado

 #nteiro: i, j

 "eal: $, d 

 Leia n, x, y, alor 

 "esultado%& Para i %' at( n Passo ' )a*a

  $ %'+ d %'

  Para j %' at( n Passo ' )a*a

  e i-j ent.o

  $ %$/0alor1x0j22+ d %d/0x0i21x0j22

  )im se

  )im Para

  "esultado %"esultado3y0i2/$4d 

 )im Para

 5s$reva "esultado

 )im Algoritmo

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E#emplo: :alcule L1+2# dados os pontos a)ai*oretirados da e<uação f*# 6 e2*#

 7trav,s da f9rmula

i 0 1

 x i   0,1 0,6 y i   1,221 3,320

641,11,06,0

1,02,0.320,3

6,01,0

6,02,0.221,1)2,0(

..)(

1

01

01

10

101

=−

−+

−=

−−+

−−=

 L

 x x

 x x y x x

 x x y x L

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E#emplo: :alcule L2+2# dados os pontos a)ai*oretirados da e<uação f*# 6 e2*#

Etili(ando a f9rmula de Lagrange

i 0 1 2

 x i   0,1 0,6 0,8 y i   1,22

13,32

04,95

3

12

1

02

02

21

2

01

01

20

2

10

101

..

....)(

 x x

 x x

 x x

 x x y

 x x x x

 x x x x y

 x x x x

 x x x x y x L

−+

+−−

−−+

−−

−−=

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Cesolvendo&a

:onsiderando <ue o valor real , f*# 6 1+42+ vemos

<ue aumentar o grau do polinmio mel>ora a e*atidão

do resultado.

414,1)2,0(

6,08,0

6,02,0.

1,08,0

1,02,0.953,4

8,06,0

8,02,0

.1,06,0

1,02,0

.320,3

8,01,0

8,02,0.

6,01,0

6,02,0.221,1)2,0(

2

1

=

−−

−−

+

+−

+

+−−

−−

=

 L

 L

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5. – Interpolação com di%erenças divididas &2e3ton'

!a seção anterior+ vimos <ue não precisamos resolver

um sistema de e<uaçAes lineares para interpolar

determinado valor.Ema das desvantagens da interpolação de Lagrange era

a necessidade de se reconstruir todo o polinmio se o

grau sofresse uma alteração.

 7 interpolação de !e"ton resolve este pro)lema.

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4perador de di%erença dividida:

8le , representado por F*i+* GH+ fF*i+ * GH ou %i e pode

ser calculado da seguinte forma

@rdem Δ0

yi = yi

@rdem 1

@rdem 2

@rdem n

ii

iii

 x x

 y y y

−∆−∆

=∆+

+

1

0

1

0

ii

iii

 x x y y y

−∆−∆=∆+

+

2

12

ini

i

n

i

n

i

n

 x x

 y y y

∆−∆=∆

+

−+

−   1

1

1

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@ cálculo do operador de diferença dividida , mel>orentendido em forma de ta)ela.

8*emplo 'ado o conGunto de dados a)ai*o+ determine

a ta)ela de diferenças divididas

 x 0,0 0,2 0,3 0,4 0,7 0,9

 y 3,00

0

2,76

0

2,65

5

2,60

0

3,03

5

4,12

5

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Primeiro passo: 8screvemos a ta)ela na vertical+com uma coluna e*tra para o nJmero do item

i x y0 0,0 3,00

0

1 0,2 2,76

02 0,3 2,65

5

3 0,4 2,60

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,e-undo passo: :riamos mais uma coluna+ paraas diferenças divididas de primeira ordem

i x y Δ y i0 0,0 3,00

0-1,20

1 0,2 2,76

0

-1,05

2 0,3 2,655

-0,55

3 0,4 2,60 1,45

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erceiro Passo: 7 pr9*ima coluna difere da anteriorapenas por )uscar valores de * diferentes saltando

uma lin>a#

i x y Δ y i   Δ2

 y i0 0,0 3,00

0-1,20 0,5

1 0,2 2,76

0

-1,05 2,5

2 0,3 2,655

-0,55 5,0

3 0,4 2,60 1,45 8,0

Interpolação Polinomial

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+uarto Passo: :ompletando a ta)ela at, 4%i+ temos os

valores finais foram (ero por<ue o polinmio original era

do 3K grau#

i x y Δ y i   Δ2

 y i   Δ3

 y i   Δ4

 y i0 0,0 3,00

0-1,20 0,5 5 0

1 0,2 2,760

-1,05 2,5 5 0

2 0,3 2,655

-0,55 5,0 5

3 0,4 2,60 1,45 8,0

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6rmula de 2e3ton:

 7gora <ue sa)emos calcular as diferenças divididas+

a f9rmula de !e"ton para o polinmio interpolador

pode ser empregada

( )∑   ∏=

=

−∆+=

n

i

i

 j

 j

i

n  x x y y x P 

1

1

0

00   .)(

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 Algoritmo Polinomio_6e7ton{Objetivo: interpolar um valor na tabela usando 6e7ton}

 Parâmetros de entrada: n, x, y, alor 

 Parâmetros de sa!da: "esultado

 #nteiro: i, j

 Leia n, x, y, alor  "eal: dely0n2

 Para i %' at( n Passo ' )a*a

  dely0i2 %y0i2

 )im Para

 Para i %' at( n1' Passo ' )a*a

  Para j %n at( i3' Passo 1' )a*a

  dely0j2 %0dely0j21dely0j1'2240x0j21x0j1i22

  )im Para

 )im Para

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resultado %dely0n2

 Para i % n1' at( ' passo 1' 8a*a

  resultado %resultado/0alor1x0i223dely0i2

 )im Para

 5s$reva "esultado

 )im Algoritmo

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E#emplo: 'ada a ta)ela de diferenças divididas a)ai*o+determine o valor de ;21+2#

i x y Δ y i   Δ2

 y i

0 0,9 3,211

-2,01

0

0,620

1 1,1 2,809

-1,32

8

2 2,0 1,61

Interpolação Polinomial

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:omo n 6 2+ o polinmio de !e"ton será

:alculando

))(()()( 100

2

0002   x x x x y x x y y x P    −−∆+−∆+=

627,2)2,1(

)1,12,1)(9,02,1.(620,0

)9,02,1.(010,2211,3)2,1(

2

2

= −−+

+−−=

 P 

 P 

Interpolação Polinomial

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5.5 – Interpolação com di%erenças %initas &7re-or"

2e3ton':

8ste m,todo , um caso especial do m,todo de !e"ton+

<uando os valores dos *i estão igualmente espaçados.!este caso+ tra)al>amos com um novo operador @

operador de diferença finita ascendente #.

Interpolação Polinomial

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4perador de di%erença %inita ascendente:

8ste operador , mais simples de calcular do <ue o

operador de diferenças divididas+ pois leva em conta

somente os valores de %

@rdem %i6%i

@rdem 1 %i6 %iD1& %i

@rdem 2 2%i6 %iD1& %i

⁞ ⁞

@rdem n n%i6 n&1%iD1& n&1%i

Interpolação Polinomial

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 7 relação entre os operadores de diferença divididae de diferença finita ascendente ,

n

i

n

i

n

9n

 y

 y !

=∆

Interpolação Polinomial

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6rmula de 7re-or" 2e3ton:@ polinmio interpolador de $regor%&!e"ton ,

encontrado atrav,s da seguinte f9rmula

@nde

> , o passo dos valores *i+ ou seGa >6*iD1&*i

u* , encontrado atrav,s da f9rmula

( )∑   ∏=

=

−∆+=

n

i

i

 j

 x

i

n  jui y y x P 

1

1

0

00   .

!)(

9

 x xu x

0−=

Interpolação Polinomial

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 Algoritmo Polinomio_regory_6e7ton

{Objetivo: interpolar um valor na tabela usando regory16e7ton}

 Parâmetros de entrada: n, x, y, alor  Parâmetros de sa!da: "esultado

 #nteiro: i, j

 Leia n, x, y, alor 

 "eal: dely0n2 , u

 Para j%' at( n1' Passo ' )a*a

  Para i %n at( j3' passo 1' 8a*a

  ;ely0i2 % ;ely0i21;ely0i1'2

  )im Para

 )im Para

u %0alor1x0'2240x0<21x0'22

 "esultado %;ely0n2 Para i %n1' at( ' passo 1' 8a*a

  "esultado="esultado/0u1i3'24i3;ely0i2

 )im Para

 5s$reva "esultado

 )im Algoritmo

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8*emplo

'ados os pontos a)ai*o+ encontre o valor de

;2115# atrav,s do m,todo de $regor% !e"ton.

i x y

0 110 2,041

1 120 2,079

2 130 2,114

Interpolação Polinomial

7/23/2019 Cálculo Numérico - Unidade 5 - Interpolação Polinomial

http://slidepdf.com/reader/full/calculo-numerico-unidade-5-interpolacao-polinomial 39/41

Esando os dados da ta)ela+ calculamos

>612&1161

:alculando a ta)ela de diferenças finitas

5,0

10

1101150115   =

−=

−=

9

 x xu

i x y Δ y i   Δ2 y i

0 110 2,041

0,038

-0,00

3

1 120 2,07 0,03

Interpolação Polinomial

7/23/2019 Cálculo Numérico - Unidade 5 - Interpolação Polinomial

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 7plicando a f9rmula de $regor% !e"ton

( )

060,2)115(

)15,0.(5,0.

2

003,05,0.038,0041,2)115(

)1.(.!2

.!1

)(

.!

)(

2

2

0002

1

1

0

00

=

−−

++=

−∆+∆+=

∆+=   ∑   ∏

=

=

 P 

 P 

uu y

u y

 y x P 

 jui

 y y x P 

 x x x

n

i

i

 j

 x

i

n

Interpolação Polinomial

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