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Cálculo Vetorial

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Clculo Vetorial Campos VetoriaisDefinio Um campo vetorial em um plano uma funo que associa a cada ponto P um nico vetor F(P) paralelo ao plano.Um campo vetorial no espao tridimensional uma funo que associa a cada ponto P um nico vetor F(P) Definio Em 2D:Em 3D: F ( x , y)=f ( x , y)i +g ( x , y)jF ( x , y , z)=f ( x , y , z)i +g( x , y , z)j+h( x , y , z)kCampos Vetoriais Representao GrficaF( x , y)= x.x2+y2+4 i y.x2+y2+4 j Representao GrficaF( x , y)=xi +yj Representao GrficaF( x , y , z)=xi +yj+zkNesta visualizao, os eixos de referncias no passam pela origem. Exemplo 1:Represente graficamente o seguinte campo vetorial:F( x , y)=j.Representao Grfica Exemplo 1: soluoRepresente graficamente o seguinte campo vetorial:Neste caso temos: Trata-se de um campo constante, que a cada associa o vetor ( x , y)2(0,1).Representao GrficaF( x , y)=j. Exemplo 1: soluoRepresentao Grfica Campos EscalaresDefinio Um campo escalar em um plano uma funo que associa a cada ponto P um valor escalar f(P).Um campo escalar no espao tridimensional uma funo que associa a cada ponto P um valor escalar f(P) Campos EscalaresExemplos2D: Temperatura em uma placa metlica. 3D: Temperatura em uma sala de aula. ParametrizaoEstudaremos integral de linha (caminho). preciso saber parametrizar caminhos!Como parametrizamos caminhos? ParametrizaoAssocie os grficos com as expresses:+ ParametrizaoAssocie os grficos com as expresses:+ ParametrizaoSegmento de retaDescrevendo parametricamente um segmento reta cujas extremidades so conhecidas:A=(1, 3, 4)B=(5, 5, 7) ParametrizaoSegmento de retaA=1i+3 j+4 kB=5i+5 j+7 kr (t )=A+t ( BA), 0t 1A BOBAt ( BA) ParametrizaoSegmento de Parbolaxyy=x2 ParametrizaoSegmento de ParbolaFazemos , o que nos leva a .Observando que deduzimos ento que r (t )=t i+t2j ,2t3x=t y=t22x32t3 ParametrizaoComo se parametriza uma circunferncia?xy ParametrizaoDescrevendo parametricamente um segmento de circunferncia de raio 1:r (t )=cos(t ) i+sin(t ) j , 0t 43t=0Sentido Anti-horrio! ParametrizaoDescrevendo parametricamente um segmento de circunferncia de raio 1:r (t )=sin(t )i+cos(t ) j , 0t 43t=0Sentido Horrio!E se o raio for R? Integral de LinhaIntegral de LinhaSuponha que f(x,y) seja uma funo real a ser integrada sobre a curva C dada por:r (t )=g(t )i +h(t )j , at bO que significa integrar sobre a curva?Que motivao teramos para calcular esta integral? Integral de LinhaIntegral de LinhaA integral de f(x,y) sobre a curva C.C f ( x , y)dsObserve que no usamos simplesmente dx ou dySendo f(x,y) sempre positiva, esta integral fornece a rea sob a curva. Integral de LinhaUm caminhoSendo C caminho que une (0,b) a (0,c)C f ( x , y)ds = C f (0, y) dybcf ( y) dyA integral de linha transformou-se em uma integral unidimensional. Integral de LinhaIntegral de LinhaSuponha que f(x,y,z) seja uma funo real a ser integrada sobre a curva C dada por:r (t )=g(t )i +h(t )j+k (t )k , at bC f ( x , y , z)ds Integral de LinhaUma motivao f(x,y,z) pode ser a densidade linear de massa no ponto (x,y,z) e podemos estar interessados em calcular a massa total de uma determinada linha.r (t )=g(t )i +h(t )j+k (t )k , at b Integral de LinhaDefinioSn=k=1nf ( xk, yk, zk)A skSn=C f ( x , y , z)dsIntegral de f sobre C Integral de LinhaCalcule as integrais abaixo (como escrev-las?):f ( x , y)=10 f ( x , y)=100C1C2 f ( x , y) ds C3C4 f ( x , y) ds-2 0 202xyC1C4C3 C2 Integral de LinhaA funo: vista superior A funo: perspectiva. Observe o caminho C1 e C2 na cor branca.A funo: vista lateral Integral de LinhaDefinioSeja uma parametrizao para o caminho C.Sabemos queportanto:C f ( x , y , z)ds=abf ( g(t ) , h(t ) , k (t ))v (t )dtdsdt=vds=vdtr (t )=g(t )i +h(t )j+k (t )k Integral de LinhaIntegral de Linha em um Campo Escalar Integral de LinhaExemplo 1: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):f ( x , y , z)=x3y2+z Integral de Linhaf ( x , y , z)=x3y2+z Integral de LinhaAditividadeC f ds=C1 f ds+C2 f ds++Cn f ds Integral de LinhaExemplo 2: Integre sobre o segmento de reta C que une a origem ao ponto (1,1,1):f ( x , y , z)=x3y2+z Integral de Linha Exerccios1. Calcule onde C o segmento de retade .C( xy+z2)dsx=t , y=(1t ) , z=1(2,1, 1) a (3,2, 1) Exerccios2. Calcule ao longo da curvaC.x2+y2dsr =4 cos(t )i +4 sen(t )j+3t k 2 t 2 TrabalhoDefinioO trabalho realizado por uma fora atravs de uma curva lisa C com parametrizao F=M i+N j+Pkr (s)W=C FT dsT vetor tangente unitrio.Integral de linha em um campo vetorial TrabalhoLembre-se:W=C FT dsT=d rd s d r=T d sW=C Fd rComo se usa isto?W=C Fd rdt dt Trabalho TrabalhoExemplo 1:Encontre o trabalho realizado pela foradurante a trajetriaF=( yx2)i +( zy2)j+( xz2)kr (t )=ti +t2j+t3k , (0,0,0) a (1,1,1) Trabalho Exerccios1. Encontre o trabalho realizado pelo gradiente de no sentido anti-horrio ao redor de uma circunferncia de raio 2 centrada na origemdo ponto (2,0) a ele mesmo.f ( x , y)=( x+y)2 Exerccios2. Calcule , onde C o caminho formado por um quarto de circunferncia centrada na origem e com raio 1, partido de (1,0) at (0,1)C x4dx+xy dy Exerccios3. Calcule , onde C o segmento de reta que une os pontos (0,0,1) e (1,2,5)C y dx+x dy+xy dz Funo PotencialDefinioSe F for um campo vetorial definido sobre D epara alguma funo escalar f em uma regio aberta D no espao, ento f chamada funo potencial para o campo vetorial F. F=f Exemplo 1:Verifique se a funo um potencial para . f ( x , y)=xyF=yi +xjCampo Conservativo Soluo:Tudo o que temos que verificar seLogo a funo dada um potencial para o campo em questo.F=f .f ( x , y)=( xy) x i +( xy) y j =yi +xj =F( x , y).Campo ConservativoQue outras funes seriam potenciais para F?Que outras funes seriam potenciais para F? Exemplo 2: um campo conservativo. Encontre sua funo potencial.F( x , y)=2xi +2yjCampo Conservativo Exemplo 2: soluo Sabemos que:O que implica:F=f =P( x , y)i +Q( x , y)j =f xi +f yj .P( x , y)=2x , Q( x , y)=2y .f x=2x f ( x , y)=2x dx+g( y),Campo Conservativo Exemplo 2: soluo mas,Logo:f ( x , y)=x +g( y) ,f y=2y=dgdy g( y)=2y dy+c g( y)=y+c.f ( x , y)=x +y+c .Campo Conservativo Campo ConservativoExerccio 1:Encontre o potencial associado funo: F=2 xi +3 yj+4 zk Campo ConservativoExerccio 2:Encontre o potencial associado funo:F=( y sen z)i +( x sen z)j+( x y cos z)k Campo ConservativoSer sempre possvel, para qualquer sempre encontrar uma funo f tal queF=fF? Campo ConservativoSer sempre possvel, para qualquer sempre encontrar uma funo f tal queNOF=fF? Campo ConservativoSer possvel encontrar uma funo f tal que apenas se for conservativo.Situao para a qual f chamada funo potencial.F=fF Campo ConservativoDefinies ser conservativo se for independente do caminho. F Fd r Campo ConservativoC Fd r=f ( r ( B))f (r ( A)) Campo Conservativo Campo ConservativoTeste para Campos Conservativos Campo ConservativoExemplo 1: Mostre que conservativo e encontre uma funo potencial para ele.F=(excos y+yz)i +( x zexsen y)j+( x y+z)k Campo ConservativoExemplo 1: Soluo Parte 1 Campo ConservativoExemplo 1: Soluo Parte 2 Campo ConservativoExemplo 1: Soluo Parte 3 Campo ConservativoExerccio 1:Quais dos campos abaixo so conservativos?a)b)c)d)F=yzi +xzj+xykF=y sen zi +x sen zj+xy cos zkF=yi +x jF=( z+y)i +zj+( y+x)k Campo ConservativoExerccio1. Calcule a integral de linha da funo abaixo abaixo no segmento de reta que une os pontos (1,2,2) e (2,2,3): F=yzi +xzj+xyk Diferencial TotalDefinies Diferencial TotalTeste de Exatido Diferencial TotalExemplo 1:Mostre que y dx + x dy + 4 dz exata e calcule a integral:Sobre o segmento de reta de (1,1,1) at (2,3,-1)(1,1,1)(2,3 ,1)ydx+x dy+4 dz Diferencial TotalExemplo 1: Soluo Diferencial TotalExerccio 1: Calcule as seguinte integrais:a)b)(0,0 ,0)(2,3 ,6)2x dx+2ydy+2z dz(1,1,2)(3,5,0)yz dx+xz dy+xy dzQual o caminho de integrao? Teorema de GreenTeorema de Green Seja C uma curva plana simples, fechada, contnua por trechos, orientada positivamente, e seja D a regio delimitada por C. Se P e Q tm derivadas parciais de primeira ordem contnuas sobre uma regio aberta que contenha D, entoC Pdx+Qdy=D (Q x P y)dA Teorema de GreenCurvas PlanasSimples No FechadaNo Simples No FechadaSimples FechadaNo Simples Fechada Teorema de GreenRegies ConectadasRegio conectada simplesmente Regies no conectadas simplesmente Regio no conectada Teorema de GreenExemplo 1:Calcule , onde C a curva triangular constituda pelos segmentos de reta (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) e de (0, 1) a (0, 0).C x4dx+xy dy Teorema de GreenExemplo 1: Soluo Teorema de GreenExemplo 2: Calcule onde C o crculo .C(3yesen x) dx+(7x+.y4+1)dyx2+y2=9 Teorema de GreenExemplo 2: Soluo Teorema de GreenExerccio 1:Calcule a IntegralOnde C o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x=1 e y=1.C xydyy2dx Teorema de GreenExerccio 1: Soluo Teorema de GreenExerccio 2 Aplique o teorema de Green para calcular as integrais abaixo (curvas c/ orientao positiva):a)b) C(6y+x) dx+( y+2x) dyC 3y dx+2x dyC:( x2)2+( y3)2=4C: 0x, 0ysin( x)A fronteira de Teorema de GreenExerccio 3Calcule a integral abaixo (verifique orientao antes de calcular a integral).C Fd rF=ex+x2y , eyx y2C: x2+y2=25Sentido Horrio AplicaesClculo de reasComo a rea de uma regio D , desejamos escolher P e Q tais queExistem vrias possibilidadesd 1dAQ x P y=1P( x , y)=0Q( x , y)=x P( x , y)=yQ( x , y)=0P( x , y)=12 yQ( x , y)=12 x Aplicaes Exemplo 1Determine a rea delimitada pela elipse abaixo utilizando o teorema de Green:x2a2+y2b2=1 AplicaesExemplo 1: Soluo AplicaesExerccio 1Determine a rea delimitada por uma circunferncia de raio R utilizando o teorema de Green. AplicaesExerccio 2Use o teorema de Green para achar a rea sob um arco da cicloide abaixo:x=t sinty=1cos t Teorema de GreenUnio de Regies SimplesC1C3 Pdx+Qdy=D1(Q x P y)dAC2C3 Pdx+Qdy=D2(Qx P y)dA Teorema de GreenC1C3 Pdx+Qdy=C1 Pdx+Qdy+C3 Pdx+QdyC2C3 Pdx+Qdy=C2 Pdx+Qdy+C3 Pdx+QdyC1C2 Pdx+QdyC1C2 Pdx+Qdy=D1D2(Qx P y)dA+C1 Pdx+Qdy+C2 Pdx+Qdy= Teorema de GreenRegies No Conectadas Simplesmente D' Pdx+Qdy=D' (Q x P y)dA D' ' Pdx+Qdy=D' ' (Q x P y)dAC1 Pdx+Qdy+C2 Pdx+Qdy=D (Q x P y)dA Teorema de GreenExemplo 1Calcule a integral abaixo se C for uma curva simples fechada lisa por partes orientada no sentido anti-horrio, de modo que (a) no envolva a origem (b) envolva a origem.C y dx+x dyx2+y2 Teorema de GreenExemplo 1: SoluoSe no incluirmos a origem: para qualquer caminho a integral de linha igual a zero (o teorema de Green garante!).C1C2C3 Teorema de GreenExemplo 1: SoluoSe incluirmos a origem: Qualquer caminho a integral de linha igual a 2 (o teorema de Green garante!).C4C5 Superfcies ParametrizadasCurvas ParametrizadasSuperfcies Parametrizadast02yxr (t )=acos(t ) i+asin(t ) jxyz02r (, 0)=asin()cos(0)i+asin()sin(0) j+acos() kDomnio de r(t)Domnio de r(, ) Esfera de raio aCircunferncia de raio a (Sentido Anti-horrio) Superfcies ParametrizadasExemplo 1Determine a parametrizao do cilindrox2+y2=4, 0z1 Superfcies ParametrizadasExemplo 1: SoluoO cilindro tem representao .Sabemos que em coordenadas cilndricas:como: obtemos01z2r=2, 0z1x=2cos(0) y=2sin(0) z=zr=x i+y j+z kr (0, z)=2cos(0) i+2sin(0) j+z kDomnio de r(,z) Superfcies ParametrizadasExemplo 2Determine uma funo vetorial que represente o paraboloide elptico z=x2+2 y2. Superfcies ParametrizadasExemplo 2: SoluoPodemos escolher x e y para parmetros livres.r=x i+y j+z kr ( x , y)=x i+y j+( x2+2 y2) kD:( x , y) 2 Superfcies ParametrizadasParametrizando Superfcies de RevoluoSeja S uma superfcie criada a partir da rotao de uma dada funo f(x) em torno do eixo x.x=xy=f ( x)cos(0)z=f ( x)sin(0)r ( x , y)=x i+f ( x)cos(0) j +f ( x)sin(0) k 002 Superfcies ParametrizadasExemplo 3:Determine as equaes paramtricas da superfcie gerada pela rotao da curva abaixo em torno do eixo x:y=sin( x), 0x2 Superfcies ParametrizadasExemplo 3: SoluoD: 0x2, 002r ( x , y)=x i+f ( x)cos(0) j +f ( x)sin(0) kr ( x , y)=x i+sin( x)cos(0) j+sin( x)sin(0) k Planos TangentesEquao do Plano TangenteSabemos determinar a equao do plano tangente a uma superfcie quando essa dada em forma de funo escalar.ExemploDetermine o plano tangente ao paraboloide elptico no ponto z=x2+2 y2(1,1,3). Planos TangentesSoluo:z=x2+2 y2(1,1,3)f ( x , y , z)=x2+2 y2zFuno para a qual a superfcie uma simples superfcie de nvel.Superfcie. Ponto em questo.f ( x , y , z)=2x i+4y j1kf (1,1,3)=2i+4 j1 kn(rr0)=0Eq. do Plano.2( x1)+4( y1)1( z3)=0Eq. do Plano Tangenten=fVetor normal ao plano. Planos TangentesSoluo:Plano tangente ao paraboloide elptico no ponto (1,1,3) observado de dois lugares distintos. O plano e o paraboloide foram desenhados parcialmente para facilitar visualizao. Planos TangentesEquao do Plano Tangenter (u, v)=f (u, v) i+g(u, v) j+h(u, v) k Planos TangentesEquao do Plano Tangenter (u, v)=f (u, v) i+g(u, v) j+h(u, v) kru=fu(u0, v0) i+ gu(u0, v0) j+hu(u0, v0) krv=fv(u0, v0)i+ gv(u0, v0) j+h v(u0, v0) kn = ru rv Planos TangentesExemplo 1:Calcule o plano tangente superfcie abaixo no ponto (1,1,3):r ( x , y)=x i+y j+( x2+2 y2) k Planos TangentesExemplo 1: Soluor ( x , y)=x i+y j+( x2+2 y2) krx=r x ry=r yrx=1i+2 x kry=1 j +4 y k Planos TangentesExemplo 1: Soluor ( x , y)=x i+y j+( x2+2 y2) krx=r x ry=r yrx=1i+2 x kry=1 j +4 y k Planos TangentesExemplo 1: Soluor ( x , y)=x i+y j+( x2+2 y2) krx=1i+2 x k ry=1 j +4 y kn(rr0)=0Eq. do Plano.2( x1)+4( y1)1( z3)=0Eq. do Plano Tangenten=rxry n=2i4 j+1k2( x1)4( y1)+1( z3)=0 rea de SuperfcieDefinio: Se uma superfcie parametrizada lisa S dada pela equaoe S coberta uma nica vez quando (u,v) varre todo o domnio D dos parmetros, ento a rea da superfcie S r (u, v)=f (u, v) i+g(u, v) j+h(u, v) k (u, v)DA(S)=DrurvdAA origem desta expresso ser investigada aps o estudo de seu uso. rea de SuperfcieExemplo 1:Calcule a rea da esfera de raio a. rea de SuperfcieExemplo 1: SoluoA parametrizao de uma esfera de raio a dada por r (, 0)=asin()cos(0)i+asin()sin(0) j +acos() kr=acos()cos(0)i+acos()sin(0) jasin() kr0=asin()sin(0) i+asin()cos(0) jrr0=a2sin() rea de SuperfcieExemplo 1: Soluo rr0=a2sin()Drr0dA=D a2sin() dA002a2sin() d d 0=4a2No se deixe enganar pelas aparncias. Trata-se de uma integral dupla no sistema de coordenadas cartesianas.02Domnio de r(, ) rea de SuperfcieExemplo 2Determine a rea da parte do plano que est no primeiro octante.3x+2y+z=6 rea de SuperfcieExemplo 2: SoluoPodemos parametrizar a regiono primeiro quadrante da seguinte forma:3x+2y+z=6xyz632r ( x , y)= x , y ,3 x2 y+63yx2Domnio da parametrizaoSuperfcie cuja rea est sendo calculada. rea de SuperfcieExemplo 2: Soluoxyz632rxry=i j k1 0 30 1 2=3 i+2 j+1 krxry=.32+22+12=.14rx=1,0,3ry=0,1,2 rea de SuperfcieExemplo 2: Soluorxry=.14DrxrydA=.14D dA=3.14 rea de SuperfcieExemplo 3:Determine a rea da parte do plano que est dentro do cilindro 2x+5y+z=10x2+y2=9.A imaginem a superfcie! rea da SuperfcieExemplo 3: SoluoA superfcie cuja rea est sendo calculada est dentro do cilindro.Plano mais cilindro. rea de SuperfcieExemplo 3: SoluoO plano dentro do cilindro pode ser parametrizado da seguinte forma. 2x+5y+z=10r ( x , y)= x , y ,102 x5 y 3yx3-3-3Domnio da parametrizao rea de SuperfcieExemplo 3: Soluor ( x , y)= x , y ,102 x5 y rx=1, 0,2 ry=0, 1,5rxry=2i+5 j+1krxry=.30DrxrydA=.30D dA=9.30 rea de SuperfcieCaso ParticularSuperfcie dada por z = f(x,y) pode ser parametrizada da seguinte forma r ( x , y)= x , y , f ( x , y)rx=1,0,f ( x , y) x ry=0,1,f ( x , y) y rxry=f x ,f y ,1 rea de SuperfcieCaso Particularrxry=f x ,f y ,1A(S)=D.( z x)2+( z y)2+1dArxry=.(f x)2+(f y)2+1 =.( z x)2+( z y)2+1 rea de SuperfcieExemplo 4:Determine rea do paraboloide que est abaixo do plano z=x2+y2z=9 rea de SuperfcieExemplo 4: SoluoDetermine rea do paraboloide que est abaixo do plano z=x2+y2z=9A(S)=D.1+(2x)2+(2y)2dAA(S)=6 (37.371) rea de SuperfcieExemplo 5:Calcule a rea do paraboloide hiperblico que est entre os cilindros x2+y2=1x2+y2=4z=y2x2 rea de SuperfcieExemplo 5: Soluoz=y2x2A superfcie cuja rea est sendo calculada est entre os cilindro.Paraboloide mais cilindros. Integral de SuperfcieSuponha que cada ponto de uma superfcie S tenha um determinada densidade superficial f.Se quisermos determinar a massa da superfcie S, calculamos:f =f ( x , y , z)S f ( x , y , z) dSAtenodS: elemento de superfcie.J utilizamos dS para elemento de arco.Integral de superfcie de um campo escalar Integral de Superfcie possvel mostrar que o elemento de superfcie dado porO que nos leva aS f ( x , y , z) dS=D f ( x , y , z)rurvdAdS=rurvdAAteno para esta mudana sutil.S: superfcie. D: Domnio da parametrizao da superfcie. Integral de SuperfcieExemplo 1:Calcule a integral de superfcie abaixo:S x2dS S : x2+y2+z2=1 Integral de SuperfcieExemplo 1: SoluoUm exerccio anterior nos forneceu as seguintes relaes:S x2dS=D ( sin()cos(0))2sin()dAr (, 0)=sin()cos(0) i+sin()sin(0) j+cos() krr0=sin()02Domnio de r(, ) Integral de SuperfcieExemplo 1: SoluoS x2dS=D ( sin()cos (0))2sin()dA=020sin()3cos(0)2d d 0=02cos(0)2d 00sin()3d =02cos(0)2d 00sin()2sin()d Integral de SuperfcieExemplo 1: Soluo=02cos(0)2d 00sin()2sin()d =02cos(0)2d 00(1cos()2)sin()d =02cos(0)2d 00(sin()cos()2sin())d =4 3 Integral de SuperfcieExemplo 2:Calcule a integral de superfcie abaixo:S xz dS S : x+y+z=1 No primeiro octante. Integral de SuperfcieExemplo 2: SoluoS xz dS S : x+y+z=1 No primeiro octante.xyz111Superfcie na qual a integral est sendo calculada. Integral de SuperfcieExemplo 2: SoluoA superfcie pode ser escrita como funo de x e y:S xz dSz=1xy=D xzrurvdA=D xz.1+( z x)2+( z y)2dA=D xz.1+(1)2+(1)2dA=D xz.3 dA Integral de SuperfcieExemplo 2: SoluoD xz.3dA=D x(1xy).3dAz=1xy1yx1Regio de Integrao0101xx(1xy).3dy dx=.324 Integral de SuperfcieExemplo 3:Calcule a integral de superfcie abaixo:S y2z2dS S : z=.x2+y2Entre os planos z =1 e z=2. Integral de SuperfcieExemplo 3: SoluoCalcule a integral de superfcie abaixo:S y2z2dS=D y2z2rurvdA=R y2z2.1+( z x)2+( z y)2dA=R y2( x2+y2).2dAQual o domnio? Integral de SuperfcieExemplo 3: Soluo=R y2( x2+y2).2dA=R(r sin(0))2(r2).2r dr d 0=.20212r5sin(0)2dr d 0=21.2 Integral de SuperfcieCampo VetorialA definio de integral de superfcie para este tipo de campo necessita de superfcies orientadas.S F( x , y , z)d SAtenodS: elemento de superfcie orientado.Fluxo do campo vetorial F atravs da superfcie S. Integral de SuperfcieOrientao de SuperfcieUtilizamos um vetor unitrio normal superfcie para definir sua orientao positiva.Nem toda superfcie orientvel. n= ru rv ru rv Integral de SuperfcieExemplo 1: Determine uma orientao para a superfcie abaixo: n= ru rv ru rv332xyz Integral de SuperfcieExemplo 1: Soluo No preciso utilizar a frmula abaixo. n= ru rv ru rv332xyzn=2i +3j+3kn= 2.22i + 3.22j+ 3.22 kTodos os pontos da superfcie apresentam igual vetor orientao. Integral de SuperfcieExemplo 2:Determine uma orientao para a esfera de raio a (sentido positivo para fora) centrada na origem. Integral de SuperfcieExemplo 2: Soluor (, 0)=asin()cos(0)i+asin()sin(0) j +acos() kr=acos()cos(0)i+acos()sin(0) jasin() kr0=asin()sin(0) i+asin()cos(0) j a2sin2()cos(0), a2sin2() sin(0) , a2cos()sin()rr0=rr0=a2sin() Integral de SuperfcieExemplo 2: Soluo a2sin2()cos(0), a2sin2() sin(0) , a2cos()sin()rr0=rr0=a2sin() n= r r0 r r0 =sin() cos(0), sin()sin(0) , cos() Integral de SuperfcieExemplo 3:Determine a orientao para uma superfcie cilndrica de raio a. Integral de SuperfcieExemplo 3: Soluor (0, z)=acos(0) i+asin(0) j+z kr0=asin(0) i+acos(0) j rz=kr0rz=acos(0) i+asin(0) jr0rz=a n= r r0 r r0 n=cos(0) i+sin(0) j Integral de SuperfcieCalculandoO clculo da integral de superfcie pode ser feito utilizando os seguintes fatos:S FdS=S Fn dS=S F ru rv ru rvdS=D F ru rv ru rv ru rvdA=D F( ru rv) dA Integral de SuperfcieExemplo 1:Encontre o fluxo do campo vetorial dado abaixo atravs de uma esfera de raio a centrada na origem.F=zk Integral de SuperfcieExemplo 1: SoluoF=zk=acos() k a2sin2()cos(0), a2sin2() sin(0) , a2cos()sin()rr0=D F( ru rv) dAO valor de z foi copiado da parametrizao da esfera.D a3cos2()sin() dA Integral de SuperfcieExemplo 1: SoluoD F( ru rv) dA =D a3cos2()sin() dA02Domnio de r(, )= 020a3cos2()sin()d d 0= 4 a33 Integral de SuperfcieExemplo 2:Calcule a integral de superfcie para e S sendo o cubo .S FdS(!1,!1,!1) F=x i+2y j+3z k Integral de SuperfcieExemplo 2: SoluoPara o plano x = 1Para o plano x = -1F=1i +2yj+3zk n=iS F( x , y , z)ndS=S dS=4F n=1F=1i +2yj+3zk n=iS F( x , y , z)ndS=S dS=4F n=1 Integral de SuperfcieExemplo 2: SoluoF n S FndSF n1i +2yj+3zkPlanox=1x=1y=1y=1z=1z=11i +2yj+3zki 1 4i 1 4xi +2j+3zkxi 2j+3zkj 2 8j 2 8xi +2yj+3kxi +2yj3kk 3 12k 3 12 48 Integral de SuperfcieCaso ParticularUma superfcie dada por pode ser considerada uma superfcie de nvel de uma funo de trs variveis:G( x , y , z)=zf ( x , y)G( x , y , z)=0 z=f ( x , y)z=f ( x , y) Integral de SuperfcieCaso ParticularNesta situao, nos fornece um vetor perpendicular superfcie. possvel provar queGG= rx ryS FdS=D F( rx ry)dA= D FGdA Integral de SuperfcieProvaG = rx ryG( x , y , z)=zf ( x , y)z=f ( x , y)Superfcier ( x , y)=xi +yj+f ( x , y)k rx=1i +f x k ry=1j+f y k rx ry=f xi f y j+1kG=f x i f y j+1k Integral de SuperfcieExemplo 3:Calcule a integral de superfcie abaixo:S FdSF=xyi +4x2j+yzk S : z=x ey0x1, 0y1 Teorema da DivergnciaTeorema da Divergncia: Seja G um slido cuja superfcie S1 orientada para fora. Seonde f, g e h possuem derivadas parciais de primeira ordem contnuas em algum conjunto aberto contendo G, e se dS for o elemento de superfcie orientado para fora, ento F( x , y , z)=f ( x , y , z)i+g( x , y , z) j+h( x , y , z) kS1 Fd S=GFdV Teorema da DivergnciaOperador Nabla e suas aplicaesF=divF= f x+ g y+h z= x i + y j+ z kf =f xi +f yj +f zkf ( x , y , z)F( x , y , z)=fi +gj +hkGradienteDivergente Teorema da DivergnciaExemplo 1:Calcule a integral de superfcie para e S sendo o cubo .S FdS(!1,!1,!1) F=x i+2y j+3z k Teorema da DivergnciaExemplo 2:Calcule a integral de superfcie para e S a superfcie esfricaS FdSx2+y2+z2=4F=x2i+xz j+3z k Teorema da DivergnciaExemplo 3:Calcule a integral de superfcie para , onde S so as superfcies do cilindro slido entre o plano z =0, do paraboloide e do crculo em z=0 que fecha a regio. S FdSx2+y2=4F=yi +xyjzkz=x2+y2 Integral de SuperfcieExemplo 3:x2+y2=4, 0z4 z=x2+y2 Integral de SuperfcieExemplo 3:Superfcie do exemplo 3: Lateral do cilindro + paraboloide + crculo inferior. Teorema de StokesTeorema de Stokes: Seja S1 uma superfcie orientada lisa por partes limitada por uma curva C lisa por partes, fechada, simples e com orientao positiva. Se as componentes do campo vetorialforem contnuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem contnuas em algum conjunto aberto contendo S1, ento:F( x , y , z)=f ( x , y , z)i+g( x , y , z) j+h( x , y , z) kC Fd r=S1( F)d S Teorema de StokesRotacional de um Campo VetorialF= Teorema de StokesOrientao Relativa de Curvas e SuperfciesO caminhante deve andar com a cabea na direo dos vetores que orientam a superfcie.Orientao positiva: a superfcie fica a esquerda do caminhante. Teorema de StokesExemplo 1:Verifique o teorema de Stokes para a situao abaixo:z=1( x2+y2)F= y , z , x Teorema de StokesExemplo 1: Soluoz=1( x2+y2)F= y , z , xC Fd r=S1( F)d Sr (t )=cos(t ), sin(t ), 0 0t2C Fd r=A integral de linha Teorema de StokesExemplo 1: SoluoF= y , z , xC Fd r=S1( F)d SG=z1+x2+y2A integral de superfcieS1(F)d S=D( F)GdAD(2x2y1) dA=0201(2r cos02r sin01) r dr d 0=S1(F)d S= Teorema de StokesExemplo 2:Calcule , onde e C a curva da interseco do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horrio quando visto de cima.)F=y2i+x j+z2kC Fd ry+z=2x2+y2=1Imagine a situao. Teorema de StokesExemplo 2:Calcule , onde e C a curva da interseco do plano com o cilindro (oriente C no sentido anti-horrio quando visto de cima.)F=y2i+x j+z2kC Fd ry+z=2x2+y2=1 Teorema de StokesExemplo 2: SoluoF=(1+2y) kS1(F)d S=D(F)GdAG=z+2yD( F)GdA=D(1+2y)dA0201(1+2r sin0)r dr d 0=C Fd r = Teorema de StokesExemplo 3:Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde e S a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que est dentro do cilindro e acima do plano xy.F=xz i+yz j+xy kx2+y2=1S1(F)d SImagine a situao. Teorema de StokesExemplo 3:Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde e S a parte da esfera de raio 2 centrada na origem que est dentro do cilindro e acima do plano xy.F=xz i+yz j+xy kx2+y2=1S1(F)d S Teorema de StokesExemplo 3: SoluoVamos utilizar o teorema de Stokes para calcular uma integral de superfcie.S1(F)d S=C Fd rF=xz i+yz j+xy kr=cost i+sint j+.3 k02(.3cos t sint +.3sint cos t )dt =0 Teorema de StokesExemplo 4: Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial numa partcula que percorre o retngulo C no plano z = y, mostrado na figura abaixo:F( x , y , z)=x2i+4xy3j+y2x k Teorema de StokesExemplo 4: SoluoO trabalho dado porVamos aplicar o Teorema de Stokes para evitar o clculo de quatro integrais de linha.W=C Fd r=S1( F)d SF=2 xy iy2j+4y3k Teorema de StokesExemplo 4: SoluoComo z=f(x,y) (Caso particular)F=2 xy iy2j+4y3kW=S1( F)d S=D(F)GdAG( x , y , z)=yzG( x , y , z)=jkObserve que invertemos isso! Foi necessrio para conservar a orientao positiva. Teorema de StokesExemplo 4: SoluoG( F)=y24y3W=D( F)GdA=0103(y24 y3) dy dx01 y33 +y4|y=0y=3dx=0190dx= 90 Teorema de StokesExemplo 5:Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde onde C o crculo no plano xy, no sentido anti horrio quando vista de cima.F=2y i+3x jz2kx2+y2=9C Fd r Teorema de StokesExemplo 6:Use o Teorema de Stokes para calcular a integral , onde onde C a elipse no plano xy, no sentido anti horrio quando vista de cima.F=x2i+2x j+z2k4x2+y2=4C Fd r