UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

SETOR DE ESTRUTURAS

Cálculo de uma vigade ponte rolante

pré-fabricada protendida

CIV 457 – Concreto ProtendidoTrabalho Final

ProfessorGustavo de Souza Veríssimo

AlunoJosé Carlos Lopes Ribeiro

Viçosa - MG

Setembro / 2000

Trabalho Final de CIV457

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Conteúdo

1. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL..................................................................................................3

1.1 NOME DO ELEMENTO ...........................................................................................................................................31.2 FUNÇÃO E RELAÇÃO COM OUTROS ELEMENTOS DO SISTEMA................................................................................31.3 DADOS DA SEÇÃO TRANSVERSAL E SEÇÃO LONGITUDINAL...................................................................................31.4 AÇÕES SOBRE O ELEMENTO..................................................................................................................................4

2. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM................................................................4

2.1 TIPO DE PROTENSÃO UTILIZADO ...........................................................................................................................42.2 POSICIONAMENTO DA ARMADURA E PRÉ-TRAÇÃO................................................................................................42.3 LANÇAMENTO E ADENSAMENTO DO CONCRETO ...................................................................................................42.4 CURA DO CONCRETO............................................................................................................................................52.5 TRANSPORTE INTERNO À FÁBRICA........................................................................................................................52.6 ESTOCAGEM.........................................................................................................................................................52.7 TRANSPORTE EXTERNO À FÁBRICA.......................................................................................................................52.8 MONTAGEM E FIXAÇÃO DOS ELEMENTOS .............................................................................................................6

3. MATERIAIS..............................................................................................................................................................6

3.1 CONCRETO...........................................................................................................................................................63.2 AÇO DE PROTENSÃO (ARMADURA ATIVA) ............................................................................................................6

4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂNICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL ..............................7

4.1 CARACTERÍSTICAS DA SEÇÃO DE CONCRETO........................................................................................................74.2 CARACTERÍSTICAS DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA (A SER ATUALIZADA APÓS O CÁLCULO DA ARMADURA).............7

5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS E TENSÕES DE REFERÊNCIA.........................................................................8

5.1 ESFORÇOS DEVIDO AO PESO PRÓPRIO ...................................................................................................................85.2 ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS..............................................................................................................105.3 TENSÕES DEVIDO AO PESO PRÓPRIO ...................................................................................................................125.4 TENSÕES DEVIDO À CARGA MÓVEL: ...................................................................................................................12

6. CÁLCULO DA FORÇA DE PROTENSÃO E DA ARMADURA ATIVA........................................................13

6.1 COMBINAÇÕES QUASE PERMANENTES (ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO)....................................................136.2 COMBINAÇÕES FREQÜENTES (ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS).......................................................136.3 TENSÕES NO ESTADO EM VAZIO ........................................................................................................................146.4 TENSÕES NO ESTADO EM SERVIÇO.....................................................................................................................146.5 VERIFICAÇÃO DO CONCRETO .............................................................................................................................146.6 CÁLCULO DA ARMADURA ATIVA .......................................................................................................................156.7 CÁLCULO DAS PERDAS.......................................................................................................................................15

7. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ................................................................................................................20

7.1 ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO ................................................................................................................207.2 ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS.....................................................................................................207.3 ESTADO LIMITE DE COMPRESSÃO EXCESSIVA....................................................................................................207.4 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA...................................................................................................21

8. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ..........................................................................................................................22

8.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU ALONGAMENTO PLÁSTICO EXCESSIVO .............................................228.2 VERIFICAÇÃO SIMPLIFICADA DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA NO ATO DA PROTENSÃO ......................238.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DEVIDO A SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS ......................................................................24

9. DETALHAMENTO................................................................................................................................................26

9.1 LONGITUDINAL...................................................................................................................................................269.2 SEÇÃO TRANSVERSAL........................................................................................................................................279.3 QUADRO DE FERROS ..........................................................................................................................................289.4 CONSUMO DE CONCRETO...................................................................................................................................28

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Cálculo de uma Viga de Ponte Rolante Pré-Fabricada Protendida

������������

��������������

ponte rolante - capacidade 7 tf

0,0

7000

5000

4660

��������

����

��������������

FIGURA 1 - Esquema do galpão

Etapas do projeto:1. Descrição do elemento estrutural

2. Descrição do processo de fabricação e montagem

3. Materiais

4. Características geométricas e mecânicas da seção transversal

5. Cálculo de esforços e tensões de referência

6. Cálculo da força de protensão e da armadura ativa

7. Verificação de tensões nas seções mais solicitadas - Estados Limites de Utilização

8. Verificação das tensões ao longo do vão

9. Estados Limites Últimos - solicitações normais

10. Estados Limites Últimos - solicitações tangenciais

11. Especificações e detalhes construtivos

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1. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL

1.1 Nome do elemento

Viga pré-moldada para apoio de ponte rolante.

1.2 Função e relação com outros elementos do sistema

Serve de apoio para os trilhos de uma ponte rolante em um galpão que será utilizado como laboratóriode estruturas. A viga em questão se apoia em consolos engastados nos pilares conforme mostrado naFIGURA 1.

1.3 Dados da seção transversal e seção longitudinal

- seção transversal:

40,0 cm

6,77,36,7 7,312,0

40,0 cm

10,0

10,0

95,047,5

5,0

22,5

6,0 6,0

cg

20

(a)

�������������������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������

������������������������������������

(b)

FIGURA 2 - Seção transversal da viga.

Observações:

1. Em alguns pontos a seção transversal possui furos para fixação da ponte rolante, como mostra aFIGURA 2a.

2. Para o cálculo do peso próprio, utiliza-se a seção transversal da FIGURA 2b e para o cálculo dascaracterísticas geométricas da seção, considera-se a seção transversal da FIGURA 2a.

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����

����

15,0 m

FIGURA 3 - Seção longitudinal da viga.

1.4 Ações sobre o elemento

• carga permanente: peso próprio

• carga acidental: carga móvel da ponte rolante

A carga máxima por roda da ponte rolante considerada é de 69 kN e a distância mínima entre rodas é de3,6 m conforme esquema abaixo:

3600 mm

69 kN 69 kN

FIGURA 4 - Trem tipo.

2. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM

2.1 Tipo de protensão utilizado

Para a produção de elementos pré-moldados em pistas de protensão utiliza-se protensão comaderência inicial.

Será utilizada protensão limitada, uma vez que a viga está sujeita a cargas móveis; a utilização deprotensão completa levaria a situações críticas de "estado em vazio". Essa medida está em acordocom a NBR 7197 que permite protensão limitada em ambiente pouco agressivo.

2.2 Posicionamento da armadura e pré-tração

Os fios ou cordoalhas de aço especial são posicionados (normalmente próximos à face inferior dapeça), e estirados com o auxílio de macacos hidráulicos. As peças são então concretadas

2.3 Lançamento e adensamento do concreto

O lançamento e adensamento do concreto é feito através de carros vibratórios. Pode-se utilizarvibradores de imersão com diâmetro de 60 mm.

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2.4 Cura do concreto

Será utilizada cura a vapor à pressão atmosférica. As peças recém-concretadas são envoltas emlonas plásticas e injeta-se vapor no interior da lona.

A cura a vapor é efetuada em 3 etapas:

1a.) eleva-se a temperatura a uma taxa de 25 °C/hora, até se atingir um patamar de 80 °C;

2a.) a temperatura é mantida constante por um período em torno de 15 horas;

3a.) o desaquecimento do ambiente é feito também de modo gradativo.

Com a cura a vapor e uso de cimento ARI (Alta Resistência Inicial) o concreto chega a atingir, em umperíodo de 24 horas, a cerca de 75% da resistência aos 28 dias de cura normal.

2.5 Transporte interno à fábrica

O transporte interno à fábrica é feito através de pontes rolantes, içando-se a peça em pontosestratégicos de forma a não provocar esforços diferentes daqueles previstos no projeto. Como a vigaé projetada para trabalhar biapoiada, deve ser içada pelas extremidades.

�� situação de serviço transporte

FIGURA 5 - Transporte interno à fábrica

2.6 Estocagem

A estocagem pode ser feita utilizando-se travessas como suporte e que deverão estar posicionadascomo os apoios da peça em serviço.

������

����������

������������

����

������������

��������������������

FIGURA 6 - Estocagem

2.7 Transporte externo à fábrica

O transporte externo à fábrica é feito através de carretas, respeitando-se as recomendações do item2.5 quanto ao içamento.

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2.8 Montagem e fixação dos elementos

Na montagem deve-se respeitar também as recomendações do item 2.5. As vigas devem ficarapoiadas sobre aparelhos de neoprene sobre os consolos.

3. MATERIAIS

3.1 Concreto

⇒ Resistência à compressão aos 28 dias e aos j dias de idade

Utiliza-se concretos com fck mais elevado devido aos seguintes fatores:

• a introdução da protensão pode causar tensões prévias muito elevadas;

• redução das dimensões das peças diminuindo seu peso próprio;

• maior módulo de deformação, o que implica em menor deformação lenta, menor retração emenores perdas de protensão.

Valor adotado: fck = 30 MPa

Na data da protensão, devido à cura a vapor e ao uso de cimento ARI, pode-se considerar que oconcreto atingiu 75% da resistência aos 28 dias de idade.

fck = 0,75 × 30 = 22,5 MPa

⇒ Resistência à tração aos 28 dias e aos j dias de idade

NBR 6118: ftk = 0,06 fck + 0,7 (em MPa), se fck > 18,0 MPa

ftk = 0,06 × 30 + 0,7 = 2,5 MPa

Na data da protensão: ftkj = 0,75 ftk

ftkj = 0,75 × 2,5 = 1,875 MPa

⇒ Módulo de deformação longitudinal

E fc ck= × +0 9 21000 35, .

E =c28 0 9 21000 300 35 345926 8= × + =, . . , kgf / cm 34.592,68 MPa2

E =cj = × + =0 9 21000 225 35 304 753 3, . . , kgf / cm 30.475,33 MPa2

3.2 Aço de protensão (armadura ativa)

⇒ tipo CP 190 RB (catálogo Belgo Mineira anexo)

fptk = 190 kN/cm2

fpyk = 171 kN/cm2

⇒ forma de apresentação e cuidados com a estocagem

As cordoalhas são fornecidas em rolos com as seguintes dimensões:

diâmetro interno = 760 mm

diâmetro externo = 1.270 mm

Estocar em área coberta, ventilada e sobre piso de cimento ou tablado de madeira; em outrassituações cobrir com lona plástica. Estocagem máxima = 2 alturas.

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4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂNICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL

4.1 Características da seção de concreto

área líquida: Ac = 1.994 cm2 (descontados os furos dos trilhos)momento de inércia: I = 2.030.289 cm4

centro de gravidade: ycg = 46,40 cm (a partir da borda inferior)

4.2 Características da seção homogeneizada (a ser atualizada após o cálculo da armadura)

A rigor, a avaliação das tensões e deformações numa peça estrutural composta por dois materiaiscom propriedades físicas diferentes deve ser feita a partir da compatibilização dos materiais.

Nos casos de estruturas de concreto armado ou protendido e estruturas mistas, deve-se transformarum dos materiais em uma porção equivalente do outro. Por exemplo, no caso de vigas mistas, a mesade concreto é transformada numa porção fictícia equivalente de aço.

No caso de peças de concreto armado/protendido, usualmente converte-se a armadura numaporção equivalente de concreto.

A transformação da armadura numa quantidade equivalente de concreto é feita multiplicando-se aárea de aço Ap pela relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, αe = Ep / Ec .Como Ep, em geral, é maior que Ec , ao se multiplicar Ap × αe tem-se um aumento da seçãotransversal. Se a armadura ativa é excêntrica, o baricentro da seção homogeneizada se desloca daposição original em direção ao baricentro da armadura ativa. Isso resulta na diminuição das tensões,uma vez que

A

N=σ eW

M=σ

Conclui-se, então, que utilizar as propriedades originais da seção (sem efetuar a homogeneização) éum procedimento conservador e aceitável, uma vez que o aumento da seção em geral é poucosignificativo. Neste caso, obtém-se tensões ou pouco maiores nos bordos da seção, o que,eventualmente, pode levar ao dimensionamento de mais armadura e, ou, de um concreto maisresistente.

A NBR7197 recomenda usar αe = 15 para praticamente todas as verificações dos estados limites deutilização (não é feita nenhuma recomendação com relação aos estados limites últimos).

Supondo Ap = 4,0 cm2

Ac_liq = Ac - Ap = 1.994 - 4,0 = 1.990 cm2

Aci = Ac_liq + αp Ap = Ac + ( αp - 1 ) Ap

α p

p

c

E

E= = =

195 000 00

30 475 336 40

. ,

. ,,

Neste projeto, optou-se por utilizar αe = 6,40 , a favor da segurança, em detrimento do valor αe = 15recomendado pela NBR7197.

Aci = 1.994 + (6,40 - 1)×4,0 = 2.015,60 cm2

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Cálculo do centro de gravidade e do momento de inércia para a área homogeneizada.

CGCGh ∆ y

yp

y1 y2

yA y A y

A Ac p p

c p2

1=++

. .

y2

1994 46 4 4 0 5 0

1994 4 0=

× + ×+

. , , ,

. ,

y2 = 46,32 cm

∆y = 0,08 cm

Jh1 =J + (αp - 1) Ap . (y1 - yp)2

Jh1 = 2.030.289 + (6,4-1)×4,0×(46,4-5,0)2

Jh1 = 2.067.311 cm4

Jh =Jh1 + Aci (∆y)2

Jh = 2.067.311 + 2015,6×(0,08)2

Jh = 2.067.324 cm4

Jh1 = momento de inércia em relação a CG

Jh = momento de inércia em relação a CGh

5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS E TENSÕES DE REFERÊNCIA

O vão da viga será dividido em 10 partes iguais e as tensões serão avaliadas em 5 seções, uma vezque a viga é simétrica.

���150

s1 s2 s3 s4 s5

300

450

600

750 cm

5.1 Esforços devido ao peso próprio

Área da seção transversal: Ac = 2259 cm2

g = 25 kN/m3 × 0,2259 m2 = 5,6475 kN/m

�� 15,00 m

g = 5,6475 kN/m

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Reações de apoio devido ao peso próprio:

Va = Vb = 5,6475 × 15 / 2 = 42,356 kN

Momento fletor devido ao peso próprio:

Mgs1 = 42,356 × 1,5 - 5,6475(1,5)2 / 2 = 57,181 kN.m

Mgs2 = 42,356 × 3,0 - 5,6475(3,0)2 / 2 = 101,654 kN.m

Mgs3 = 42,356 × 4,5 - 5,6475(4,5)2 / 2 = 133,421 kN.m

Mgs4 = 42,356 × 6,0 - 5,6475(6,0)2 / 2 = 152,481 kN.m

Mgs5 = 42,356 × 7,5 - 5,6475(7,5)2 / 2 = 158,834 kN.m

Força cortante devido ao peso próprio:

Vgs1 = 42,356 - 5,6475 × 1,5 = 33,885 kN

Vgs2 = 42,356 - 5,6475 × 3,0 = 25,414 kN

Vgs3 = 42,356 - 5,6475 × 4,5 = 16,942 kN

Vgs4 = 42,356 - 5,6475 × 6,0 = 8,471 kN

Vgs5 = 42,356 - 5,6475 × 7,5 = 0,0 kN

Diagramas de esforços devido ao peso próprio

����

s1 s2 s3 s4 s5

������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������

57,181101,654

133,421152,481 158,834

42,35633,885

25,41416,942

8,471

DMF

DEC

(kN.m)

(kN)

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5.2 Esforços devido às cargas móveis

Cargas admissíveis para apoio de ponte rolante:

3,60 m

69 kN 69 kN

Linhas de influência para os momentos:

��

a b

L

δδ =

a b

L

����

s1 s2 s3 s4 s5

1,35 0,99L.I.Ms1

2,40 1,68L.I.Ms2

3,15 2,07L.I.Ms3

3,60 2,16L.I.Ms4

3,751,95

L.I.Ms5

3,6 m

3,6 m

3,6 m

3,6 m

3,6 m

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Momento fletor devido à carga móvel:

Mqs1 = 69 (1,35+0,99) = 161,46 kN.m

Mqs2 = 69 (2,40+1,68) = 281,52 kN.m

Mqs3 = 69 (3,15+2,07) = 360,18 kN.m

Mqs4 = 69 (3,60+2,16) = 397,44 kN.m

Mqs5 = 69 (3,75+1,95) = 393,30 kN.m

Linhas de influência para os esforços cortantes:

����

a b

L

∆1

2∆

∆1 =a

L

∆2 =b

L

���

s1 s2 s3 s4 s5

0,90

0,66L.I.Qs1

3,6 m

0,10

0,80

0,56L.I.Qs2

0,20

0,700,46 L.I.Qs3

0,30

0,600,36 L.I.Qs4

0,40

0,50 0,26

L.I.Qs5

0,50

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Força Cortante devido à carga móvel:

Vqs1 = 69 (0,90+0,66) = 107,64 kN

Vqs2 = 69 (0,80+0,56) = 93,84 kN

Vqs3 = 69 (0,70+0,46) = 80,04 kN

Vqs4 = 69 (0,60+0,36) = 66,24 kN

Vqs5 = 69 (0,50+0,26) = 52,44 kN

Vq_apoio = 69 (1,00+0,76) = 121,44 kN

5.3 Tensões devido ao peso próprio

Bordo inferior (i):

WJ

yih

i

= = =2 067 325

46 3244 631 37

. .

,. , cm3

Bordo superior (s):

3cm 65,467.4268,48

325.067.2 −=−

==s

hs y

JW

Na seção mais solicitada:

σgi

gmax

i

M

W= =

×=

158 834 10

44 631 370 356

2,

. ,,

kN.cm

cm kN / cm3

2

σgs

gmax

s

M

W= =

×−

= −158 834 10

42 467 650 374

2,

. ,,

kN.cm

cm kN / cm3

2

5.4 Tensões devido à carga móvel:

Teste para determinar a seção crítica:

Na seção S4:

Mgs4 + Mqs4 = 152,48 + 397,44 = 549,92 kN.m

Na seção S5:

Mgs5 + Mqs5 = 158,83 + 393,30 = 552,13 kN.m

seção crítica ⇒ S5

σqi

qmax

i

M

W= =

×=

393 30 10

44 631 370 881

2,

. ,,

kN.cm

cm kN / cm3

2

σqs

qmax

s

M

W= =

×−

= −393 30 10

42 467 650 926

2,

. ,,

kN.cm

cm kN / cm3

2

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6. CÁLCULO DA FORÇA DE PROTENSÃO E DA ARMADURA ATIVA

Considerando que será utilizada protensão limitada com aderência inicial (pré-tração), optou-se portentar utilizar um cabo de protensão reto, com uma excentricidade igual à adotada na figura do item 4.2:yp = 5 cm. Daí temos:

ep = y2 – yp = 46,32 – 5,00 ∴ ep = 41,32 cm (do eixo baricêntrico para o bordo inferior)

Cálculo das tensões devido à protensão:

114,209765,42467

32,41

60,2015

1

65,42467

32,41

60,2015∞

∞∞∞∞∞ =

+−⋅=

⋅+

−=

⋅+=

PP

PP

Ws

epP

Aci

Ppsσ

266,70337,44631

32,41

60,2015

1

37,44631

32,41

60,2015∞

∞∞∞∞∞ −=

−−⋅=

⋅−

−=

⋅+= P

PPP

Wi

epP

Aci

Ppiσ

6.1 Combinações quase permanentes (estado limite de descompressão)

ctMqpg σσψσσ ≤⋅++ 2 (a carga da ponte não é quase permanente)

0≤+ pg σσ

gp σσ −≤

���������������

0,356

-0,374

(g)

���������������

(p)

2097,114

P∞

703,266

- P∞

+

�����

= (g+p)

0,0

0,0

• kNPP

36,205356,0266,703

≥∴−≤− ∞∞ (p/ não haver tensões de tração no bordo inferior)

• kNPP

32,784374,0114,2097

≤∴≤ ∞∞ (p/ não haver tensões de tração no bordo superior)

6.2 Combinações freqüentes (estado limite de formação de fissuras)

ctkqpg f⋅≤⋅++ 2,11 σψσσ25,02,16,0 ⋅≤⋅++ qpg σσσ

����������������

+0,356

-0,374

(g)

������������

(p)

2097,114

P∞

703,266

- P∞

+

��������

= (1,2 fctk)

+0,300������������

0,6 . 0,881

-0,6 . 0,926

(0,6 g)+

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• kNPP

13,411300,0881,06,0356,0266,703

≥∴+⋅−−≤− ∞∞

• kNPP

34,1320300,0926,06,0374,0114,2097

≤∴−⋅+≤ ∞∞

Assim, adotou-se o valor de P∞∞∞∞ = 411, 13 kN.

As tensões introduzidas no concreto por uma força de protensão de 411,13 kN são:

2/196,0114,2097

13,411

114,2097cmkN

Pps +=== ∞σ

2/585,0266,703

13,411

266,703cmkN

Ppi −=−=−= ∞σ

6.3 Tensões no Estado em Vazio

���������������

0,356

-0,374

(g)

���������������

(p)+

����������

= (vazio)

-0,178

-0,229

+0,196

-0,585

6.4 Tensões no Estado em Serviço

����������������

+0,356

-0,374

(g)

������������

(p)+

��������

= (serviço)

+0,300������������

0,6 . 0,881

-0,6 . 0,926

(0,6 g)+

+0,196

-0,585

-0,734

6.5 Verificação do Concreto

No instante da protensão (tempo = j dias), a viga estará no estado em vazio, sendo que as maiorestensões de compressão e tração ocorrerão no apoio (devido somente à protensão). Daí:

22 /225,02,1/196,0 cmkNfcmkN jctkct +=⋅≤+=σ → Ok!

22 /575,125,27,07,0/585,0 cmkNfcmkN jckcc −=⋅−=⋅≥−=σ → Ok!

No estado em serviço (tempo = 28 dias), as tensões geradas na viga são dadas por:2

282 /300,02,1/300,0 cmkNfcmkN ctkct +=⋅≤+=σ → Ok!

228

2 /100,200,37,07,0/734,0 cmkNfcmkN ckcc −=⋅−=⋅≥−=σ → Ok!

Trabalho Final de CIV457

Página 15

6.6 Cálculo da Armadura Ativa

Com P∞ = 411,13 kN, para pré-tração com aço RB e admitindo-se 20% de perdas, temos:

•

=⋅=⋅

=⋅=⋅≤

!2

2

/90,15317190,090,0

/90,15319081,081,0

cmkNf

cmkNf

pyk

ptk

piσ

• kNperdas

PPi 91,513

20,01

13,411

1=

−=

−= ∞

• 2339,3

90,153

91,513cm

PiA

pip ===

σ

Designação Bitola (mm) Área (cm²) n n x Apefet Folga (%)CP 190 RB 9,5 9.5 0.548 7 3.836 14.88CP 190 RB 11 11 0.742 5 3.710 11.11

CP 190 RB 12,7 12.7 0.987 4 3.948 18.24CP 190 RB 15,2 15.2 1.400 3 4.200 25.79

Adotou-se 5 φ 11,0 → Apefet = 3,710 cm²

• kNAPi pip 97,57090,153710,3 =⋅=⋅= σ

• 28,097,570

13,41111 =−=−= ∞

Pi

PFolga → Folga = 28 %

6.7 Cálculo das Perdas

6.7.1 Perdas por Acomodação da Ancoragem

Considerando-se que numa pista de protensão com o sistema de pré-tração é mais econômico eprático protender e ancorar só de um lado, tem-se:

δ = 6 mm

L = 15,0 m + 2 * 1,0 m (1m de folga em cada extremidade da viga para facilitar o manuseio das formas)L = 17,0 m

2/882,60,17

006,019500 cmkN

LEp

LEp pp

cp =⋅=⋅=∆→=∆

→= δσδσεε

0447,090,153

882,6 ==∆

pi

p

σσ

∴∴∴∴ Perdas = 4,47 %

6.7.2 Perdas por Deformação Imediata do Concreto

( ) ( ) kNPerdasPP io 94,4900447,0191,5131 =−⋅=−⋅=

222

/154,42067324

32,4194,490

6,2015

94,4904,6 cmkN

J

eP

Aci

P

h

pooep =

⋅−−⋅=

⋅−−⋅=∆ ασ

027,090,153

154,4==

∆

pi

p

σσ

∴∴∴∴ Perdas = 2,70 %

Trabalho Final de CIV457

Página 16

6.7.3 Perdas por Atrito

No sistema de protensão na qual se utiliza pré-tração com cabos retilíneos, não se tem perdas deprotensão por atrito.

Total das perdas imediatas: 4,47 + 2,70 = 7,17 %

( ) ( ) kNPerdasPP io 06,4770717,0191,5131 =−⋅=−⋅=

6.7.4 Perdas por Retração do Concreto

Dados Adotados:

- umidade relativa do ar: U = 60 %

- temperatura média anual: T = 22 oC

- abatimento do tronco de cone: slump = 8 cm

- tempo inicial: to = 7 dias

- tempo final: tf = 3000 dias (aproximadamente 8 anos)

- perímetro em contato com o ar: uar = 304,14 cm

- área da seção transversal: A = 1994,0 cm²

- retração → α = 1

• 44

24

2

1 1001982,4101590

60

484

6016,610

159048416,6 −−− ⋅−=⋅

+−=⋅

+−−= UU

sε

• Para U ≤ 90% → ( ) ( ) 165,111 601,08,71,08,7 =+=+= ⋅+−⋅+− ee Uγ

• mcmu

Ach

arfic 15276,0276,15

14,304

19942165,1

2 ==⋅⋅=⋅⋅= γ

• 951,015276,0321,0

15276,0233,0

321,0

233,02 =

⋅+⋅+=

⋅+⋅+

=fic

fics h

hε

• 44

21 108228,3951,01001982,4 −−∞ ⋅−=⋅⋅−=⋅= sscs εεε

692,88,03958488169

353,828,649658575

365,397,408,85,2

640,228,4220282116

)15276,0(40

234

23

3

23

=+⋅−⋅+⋅+⋅−=

=−⋅+⋅+⋅−=

=+⋅−⋅==−⋅+⋅−⋅=

===

hhhhE

hhhD

hhC

hhhB

mhhA fic

Idade Fictícia do Concreto:

• diastT

t ofico 467,7730

10221

30

10 =⋅+⋅=⋅+⋅=α

• diastT

t fficf 3200300030

10221

30

10 =⋅+⋅=⋅+⋅=α

Sendo:

Trabalho Final de CIV457

Página 17

( )E

tD

tC

t

tB

tA

t

ts

+

⋅+

⋅+

⋅+

⋅+

=

100100100

10010010023

23

β

temos:

• ( ) 127,0

692,8100

467,7353,82

100

467,7365,39

100

467,7

100

467,7640,22

100

467,740

100

467,7

23

23

=+

⋅+

⋅+

+

⋅+

=ficos tβ

• ( ) 983,0

692,8100

3200353,82

100

3200365,39

100

3200

100

3200640,22

100

320040

100

3200

23

23

=+

⋅+

⋅+

+

⋅+

=ficfs tβ

A deformação do concreto pela retração é dada por:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) 440 10272,3127,0983,0108228,3, −−

∞ ⋅−=−⋅⋅−=−⋅= tttt sscsocs ββεε

Daí:

• ( ) 24 /381,610272,319500, cmkNttEp ocsps =⋅⋅=⋅−=∆ −εσ

• 0415,090,153

381,6 ==∆

pi

p

σσ

∴∴∴∴ Perdas = 4,15 %

6.7.5 Perdas devido à Fluência do Concreto

Dados Adotados:

- fluência com cimento ARI → α = 3

Idade Fictícia do Concreto:

• diastT

t ofico 4,22730

10223

30

10 =⋅+⋅=⋅+⋅=α

• diastT

t fficf 9600300030

10223

30

10 =⋅+⋅=⋅+⋅=α

• ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) 2845,0614,22404,229

424,224,22918,0

61409

42918,0 =

+⋅+⋅

+⋅⋅−⋅=

+⋅+⋅

+⋅⋅−⋅=

oo

ooa tt

ttφ

• Para U ≤ 90% → 35,260035,045,4035,045,41 =⋅−=⋅−= Ucφ

• 624,115276,020,0

15276,042,0

20,0

42,02 =

++=

++

=fic

ficc h

hφ

• 8164,3624,135,221 =⋅=⋅=∞ ccf φφφ

• 4,0=∞dφ

Trabalho Final de CIV457

Página 18

• 9948,0704,229600

204,229600

70

20=

+−+−=

+−+−

=o

od tt

ttβ

234,6612193135343319167579

099,349183109013200

357,4022332343060768

)15276,0(805,19411358835042

23

23

23

23

=+⋅+⋅−⋅=

=+⋅+⋅+⋅−=

=−⋅+⋅−⋅=

===+⋅+⋅−⋅=

hhhD

hhhC

hhhB

mhhhhhA fic

Sendo: ( )DtCt

BtAttf +⋅+

+⋅+=2

2

β

temos:

• ( ) 3527,0234,66124,22099,3494,22

357,4024,22805,1944,222

2

=+⋅++⋅+=ficof tβ

• ( ) 9844,0234,66129600099,3499600

357,4029600805,19496002

2

=+⋅++⋅+=ficff tβ

O coeficiente de fluência é dado por:

• ( ) ( ) ( )( ) ddofffao tttt βφββφφφ ⋅+−⋅+= ∞∞,

( ) ( ) 9948,04,03527,09844,08164,32845,0, ⋅+−⋅+=ottφ( ) 093,3, =ottφ

Na altura correspondente aos cabos:

222

/631,02067324

32,4106,477

6,2015

06,477cmkN

J

eP

Aci

P

h

poocPo =⋅−−=

⋅−−=σ

2/588,128710,3

06,477cmkN

Ap

PoPo ===σ

22

/317,032,412067325

10834,158cmkNe

J

Mp

h

gcg =⋅⋅=⋅=σ

( ) ( ) 2/756,6

2

093,31

588,128

631,04,61

631,0317,0093,34,6

211

cmkN

Po

cPo

cPocgP −=

+⋅⋅−

−⋅⋅=

+⋅⋅−

−⋅⋅=∆

φσσ

α

σσφασ φ

0439,090,153

756,6 ==∆

pi

p

σσ φ ∴∴∴∴ Perdas = 4,39 %

Trabalho Final de CIV457

Página 19

6.7.6 Perdas por Relaxação do Aço de Protensão

tempo inicial: to = 7 diastempo final: tf = 3000 dias

Aço de baixa relaxação: RB

%6,381,000,190

90,1531000 =→== ψ

σ

ptk

pi

f

( ) ( )06835,0

1000

2473000036,0

1000,

15,015,0

010000 =

⋅−⋅=

−

⋅=tt

tt ψψ

( ) ( ) 200Pr /519,1090,15306835,0,, cmkNtttt Pii =⋅=⋅=∆ σψσ

2,PrPr /621,9

90,153

756,6381,61519,101 cmkN

Pi

sPi =

+−⋅=

∆−⋅∆=∆ +

σσ

σσ φ

0625,090,153

621,9 ==∆

pi

pr

σσ

∴∴∴∴ Perdas = 6,25 %

6.7.7 Total de Perdas

Tipo de Perda Valor (%)Ancoragem 4,47Atrito dos Cabos 0,00Deformação Imediata do Concreto 2,70Retração do Concreto 4,15Fluência do Concreto 4,39Relaxação do Aço 6,25Total de Perdas 21,96 %

A folga dada inicialmente, depois do ajuste das armaduras para 5φ11,0 mm foi de 28 %. Devido àgrande diferença (6,04 %), tentou-se recalcular as perdas através da adoção de uma folga menor, por voltade 18 % (entre 19 e 28% de folga, sempre teremos 5φ11,0 mm como sendo a armadura mais econômica),obtendo-se:

Perdas admitidas = 18%Po = 501,38 kNAs = 3,258 cm2

→ 6φ9,5 mm (Asefet = 3,288 cm2)

Folga obtida pelo ajuste das armaduras = 18,8 %

Novas perdas:Tipo de Perda Valor (%)

Ancoragem 4,47Atrito dos Cabos 0,00Deformação Imediata do Concreto 2,63Retração do Concreto 4,15Fluência do Concreto 4,14Relaxação do Aço 6,27Total de Perdas 21,66 %

Como as perdas são maiores que a folga obtida, ao adotar-se esta solução não se terá no tempoinfinito a força de protensão necessária P∞. Daí, optou-se por manter a consideração inicial de 5φ11,0 mm,com um total de perdas de 21,96 %.

( ) ( ) kNperdasPP i 58,4452196,0197,5701 =−⋅=−⋅=∞

Trabalho Final de CIV457

Página 20

7. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Será feita uma reavaliação das tensões nas seções críticas da viga com relação aos estadoslimites de utilização, tendo em vista a nova força de protensão calculada segundo as perdas jáverificadas.

2/212,065,42467

32,4158,445

60,2015

58,445cmkN

Ws

epP

Aci

Pps +=⋅+−=⋅+= ∞∞σ

2/634,037,44631

32,4158,445

60,2015

58,445cmkN

Wi

epP

Aci

Ppi −=⋅−−=⋅+= ∞∞σ

7.1 Estado Limite de Descompressão

ctMqpg σσψσσ ≤⋅++ 2 (a carga da ponte não é quase permanente)

0≤+ pg σσ

����������������

0,356

-0,374

(g)

������������

(p)+

��������

= (g+p)

-0,162

-0,278-0,634

+0,212

→→→→ Ok!

7.2 Estado Limite de Formação de Fissuras

ctkqpg f⋅≤⋅++ 2,11 σψσσ2/300,025,02,16,0 cmkNqpg +=⋅≤⋅++ σσσ

��������������������

+0,356

-0,374

(g)

���������������

(p)+

���������������

= (g+p+0,6q)

+0,251���������������

0,6 . 0,881

-0,6 . 0,926

(0,6 q)+

+0,212

-0,634

-0,718

→→→→ Ok!

7.3 Estado Limite de Compressão Excessiva

Este estado limite deve ser verificado na idade da protensão, e neste caso, na seção do apoio (ondenão haverá tensões devido ao peso próprio, pois não haverá momento fletor), sendo portanto atensão de compressão inserida na seção devido à força de protensão a maior possível.

• ( ) ( ) kNPerdasPiPa AtritoAncoragem 45,5450447,0197,5701 =−⋅=−⋅= +

• 2/801,0

65,42467

32,4145,545

60,2015

45,545cmkN

Ws

epP

Aci

P aacp −=⋅−−=

⋅+=σ

• 22 /575,125,27,07,0/801,0 cmkNfcmkN jckcp −=⋅−=⋅≥−=σ →→→→ Ok!

Trabalho Final de CIV457

Página 21

7.4 Estado Limite de Deformação Excessiva

7.4.1 Peso Próprio

g = 5,6475 kN/m (item 5.1)

cmJE

Lg

hg 521,0

206732427,3459

1500056475,0

384

5

384

5 44

=⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅=δ

7.4.2 Carga Acidental

q = 69 kN (ponte rolante)

a = 570 cm a = 570 cmb= 360 cm

q = 69 kN q = 69 kN

( ) ( ) cmaLJE

aq

hq 249,1570415003

206732427,345924

5706943

242222 =⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅=δ

7.4.3 Protensão

ep = 41,32 cmP∞ = 445,58 kN

mkNePM pP ⋅=⋅=⋅= ∞∞ 11,1844132,058,445

mkNpLp

M P /5463,60,15

11,1848

8 2

2

=⋅=→⋅=∞

cmJE

Lp

hp 603,0

206732427,3459

1500065463,0

384

5

384

5 44

=⋅

⋅⋅=⋅⋅⋅=δ

7.4.4 Flecha Total

( ) 093,3, =ottφ

( ) ( )∑∑ ⋅+⋅+= qigi δψδφδ 1

( ) ( ) cm164,0249,14,0603,0521,0093,31 =⋅+−⋅+=δ

cmL

LIM 500300

1500

300===δ

Como δ < δLIM então a viga não apresentará deformações excessivas.

→→→→ Ok!

Trabalho Final de CIV457

Página 22

8. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

8.1 Estado Limite Último de Ruptura ou Alongamento Plástico Excessivo

Dados:Ap = 3,710 cm2 (5 φ 11,0 mm)P∞ = 445,58 kN

8.1.1 Pré Alongamento

kNPPd p 58,44558,4450,1 =⋅=⋅= ∞γ

( ) 222

/589,02067324

32,4158,445

60,2015

58,445cmkN

J

ePd

Aci

Pd

h

pcPd =⋅+=

⋅+=σ

kNApPdPn cPd 57,459589,0710,340,658,445 =⋅⋅+=⋅⋅+= σα

%635,019500710,3

57,459 =⋅

=⋅

=EpAp

PnPnε

8.1.2 Momento Fletor de Cálculo

Sendo a seção 5 a seção crítica, temos:

cmkNmkNMMMd qqgg ⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= 8123232,81230,3935,1834,1584,1γγ

8.1.3 Cálculo da Armadura

Supondo que a linha neutra (componente y = 0,8 . x) está cortando a mesa logo abaixo dos furosfeitos para fixação dos trilhos (y entre 20,0 cm e 22,5 cm), temos:

( ) ( )20402062/203,1207,62 −⋅+⋅+⋅+⋅⋅= yAcc266322668,04026640 −⋅=−⋅⋅=−⋅= xxyAcc

zRccMd ⋅=( )xdAccMd cd ⋅−⋅⋅= 4,0σ

( ) ( )xxMd ⋅−−⋅⋅⋅−⋅= 4,03954,1/0,385,026632

( ) ( )xxMd ⋅−⋅−⋅= 4,0925,4842857,5823143,230844,55564457481232 xx ⋅−⋅+−=

01258060844,55563143,23 2 =+⋅−⋅ xx ∴ cmx 34,25=cmy 27,20= (entre 20 e 22,5 conforme a proposição inicial → Ok)

��������������������������������������������������������

0,35%

x = 25,34 cm

pε

sε

90 cm92 cm

34,259034,25

35,0

−= pε

→ %893,0=pε

%528,1893,0635,0 =+=pTε

34,259234,25

35,0

−= sε

→ %921,0=sε

(Valor de εs está muito alto, próximo do limite de 1%, mascontudo, está dentro do domínio III. A seção estásuperdimensionada: uma pequena faixa de concreto resisteà compressão oriunda do momento fletor).

Trabalho Final de CIV457

Página 23

Segundo a tabela 2.1 da apostila “Estados Limites Últimos”, para εp = 1,528 %, temos:

εεεεp (%) σσσσp (kN/cm²)

1,5 157,00

1,528 157,28

1,6 158,00

2/77,13615,1

28,157cmkN

s

ppd ===

γσ

σ

kNAR ppdpt 42,507710,377,136 =⋅=⋅=σ( ) kNfAR cdcccc 46,9924,1/0,385,026634,253285,0 =⋅⋅−⋅=⋅⋅=

Como Rcc > Rpt, a seção não está em equilíbrio. O equilíbrio será assegurado pela inserção dacomponente devido à armadura passiva:

kNRRR ptccst 04,48542,50746,992 =−=−=

2156,1115,1/0,50

04,485cm

f

RA

yd

sts ===

2, 710,195120015,0%15,0 cmhbwA MINs =⋅⋅=⋅⋅=

Será utilizado As = 11,156 cm².

Bitola (mm) Área (cm²) n Asefet (cm²) Folga (%)6.3 0.312 36 11.222 0.598 0.503 23 11.561 3.50

10 0.785 15 11.781 5.3012.5 1.227 10 12.272 9.0916 2.011 6 12.064 7.5220 3.142 4 12.566 11.22

Adotou-se 6 φ 16,0 mm → Asefet = 12,064 cm²

(por motivos construtivos)

8.2 Verificação Simplificada do Estado Limite Último de Ruptura no Ato da Protensão

Segundo o item 2.2.9.1 da apostila “Estados Limites Últimos”, como:

• a tensão máxima de compressão na seção de concreto calculada em regime elástico linear nãoultrapassou 70% da resistência característica fckj prevista para a idade de aplicação da protensão(item 7.3);

• a tensão máxima de tração no concreto nas seções transversais não ultrapassou 1,2 vezes aresistência à tração correspondente ao valor fckj especificado (item 7.2); e

• há presença de armaduras de tração nas seções transversais onde ocorre tração no concreto,calculada inclusive para um esforço muito maior (combinações normais últimas).

conclui-se que a segurança em relação ao estado limite último de ruptura no ato da protensão estágarantida.

Trabalho Final de CIV457

Página 24

8.3 Estado Limite Último Devido a Solicitações Tangenciais

Dados:Comprimento da viga = 15,0 mProtensão limitada – pré-traçãoCabos retos com excentricidade de ep = 41,32 cm

mkNePM pP ⋅=⋅=⋅= ∞∞ 11,1844132,058,445

Por ser uma viga longa, os esforços cisalhantes serão avaliados dividindo-se a mesma em 3trechos, visando economia de armadura transversal, segundo o quadro abaixo:

Trechos (cm) Mg Mq Mp Vg Vq

1 ( 0 < x < 300) 0 0 -184,11 42,356 121,442 (300 < x < 750) 101,654 281,52 -184,11 25,414 93,84

8.3.1 Tensão Última do Concreto

Considerando que a armadura transversal estará a 90o, temos:

=⋅=⋅

≤MPa

MPafcdwu 5,4

43,64,1/3030,030,0τ ∴

2/45,0 cmkNwu =τ

8.3.2 Trecho 1 (0 < x < 300 cm)

( ) ( ) kNVVVd qg 46,24144,1215,1356,424,15,14,1 =⋅+⋅=⋅+⋅=( ) ( ) ( ) cmkNMMMMd qpg ⋅−=⋅+−⋅+⋅=⋅+⋅+⋅= 184110,05,111,1840,10,04,15,10,14,1

2/219,09212

46,241cmkN

db

Vd

wwd =

⋅=

⋅=τ

Como wuwd ττ < , então o concreto da alma resiste às tensões cisalhantes !

( ) ppi

qgfp ePAci

WNPM ⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∞+∞ γγγ0

( ) cmkNM ⋅=⋅⋅+⋅+⋅= 2545032,4158,4459,060,2015

37,44631058,4459,00

30,03,0357,018411

25450115,0115,0 1

max

01 =→>=

+⋅=

+⋅= ψψ

dM

M

21 /164,0643,13030,0 cmkNMPafckc ==⋅=⋅=ψτ

35,0219,015,1

164,0219,015,1

15,1

15,1=

⋅−⋅=

⋅−⋅

=wd

cwd

τττ

η

02025,015,1/6092

46,24135,015,115,1

90

90 =⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅=yd

s

fd

Vd

s

A η

mcms

AA s

sw /025,202025,0100100 2

90

90 =⋅=⋅=

mcmbA wMINs /68,11214,014,0 2=⋅=⋅=

mcmAAA swMINssw /025,2 2=⇒>

Trabalho Final de CIV457

Página 25

Bitola (mm) Área (cm²) 2p nestribos Asefet (cm²) Folga (%) s (cm) Qtde4.0 0.251 9 2.259 10.36 11.0 285.0 0.393 6 2.358 14.12 16.5 196.3 0.623 4 2.492 18.74 25.0 128.0 1.005 3 3.015 32.84 33.0 1010.0 1.571 2 3.142 35.55 50.0 6

Adotou-se 12 φ 6,3 c. 25 cm

8.3.3 Trecho 2 (300 cm < x < 750 cm)

( ) ( ) kNVVVd qg 34,17684,935,1414,254,15,14,1 =⋅+⋅=⋅+⋅=

qpg MMMMd ⋅+⋅+⋅= 5,10,14,1

( ) ( ) ( ) cmkNMd ⋅=⋅+−⋅+⋅= 3804952,2815,111,1840,1654,1014,1

2/160,09212

34,176cmkN

db

Vd

wwd =

⋅=

⋅=τ

Como wuwd ττ < , então o concreto da alma resiste às tensões cisalhantes !

( ) ppi

qgfp ePAci

WNPM ⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∞+∞ γγγ0

( ) cmkNM ⋅=⋅⋅+⋅+⋅= 2545032,4158,4459,060,2015

37,44631058,4459,00

25,03,0250,038049

25450115,0115,0 1

max

01 =→<=

+⋅=

+⋅= ψψ

dM

M

21 /137,0369,13025,0 cmkNMPafckc ==⋅=⋅=ψτ

26,0160,015,1

137,0160,015,1

15,1

15,1=

⋅−⋅=

⋅−⋅

=wd

cwd

τττ

η

0110,015,1/6092

34,17626,015,115,1

90

90 =⋅

⋅⋅=⋅

⋅⋅=yd

s

fd

Vd

s

A η

mcms

AA s

sw /100,10110,0100100 2

90

90 =⋅=⋅=

mcmbA wMINs /68,11214,014,0 2=⋅=⋅=

mcmAAA MINsMINssw /680,1 2=⇒<

Bitola (mm) Área (cm²) 2p nestribos Asefet (cm²) Folga (%) s (cm) Qtde4.0 0.251 7 1.757 4.38 14.0 335.0 0.393 5 1.965 14.50 20.0 236.3 0.623 3 1.869 10.11 33.0 148.0 1.005 2 2.010 16.42 50.0 910.0 1.571 2 3.142 46.53 50.0 9

Adotou-se 14 φ 6,3 c. 33 cm

Trabalho Final de CIV457

Página 26

9. DETALHAMENTO

9.1 Longitudinal

Trabalho Final de CIV457

Página 27

9.2 Seção Transversal

Trabalho Final de CIV457

Página 28

9.3 Quadro de Ferros

φφφφ ComprimentoAço N

(mm)Qtde

Unit (m) Total (m)CA60B 1 6.3 52 1.12 58.24CA60B 2 6.3 52 2.02 105.04CA60B 3 6.3 52 0.96 49.92

CP190RB 4 11.0 5 15.00 75.00CA50A 5 16.0 6 15.00 90.00CA50A 6 8.0 4 15.00 60.00

Resumo de Açoφφφφ Área Comp Peso

Aço(mm) (cm²) (m) (kgf)

CA60B 6.3 0.312 213.20 52.2CP190RB 11 0.742 75.00 43.7

CA50A 8 0.503 60.00 23.7CA50A 16 2.011 90.00 142.1

Peso Total = 261.6 kgfPeso Total + 10% = 287.7 kgf

Peso total de aço = 287,7 kgf

9.4 Consumo de Concreto

V = Ac . L = 1994,0 cm² x 15,0 m = 0,1994 x 15,0 m³ ≅ 3,00 m³

Volume de Concreto = 3,00 m³