Apostila de Clculo ZeroEste material visa auxiliar os estudos em Matemtica promovendo a reviso de seu contedo bsico, de forma a facilitar o aprendizado nas disciplinas de clculo e tambm melhorar o aproveitamento nas disciplinas que envolvam o raciocnio lgico.

Autora: Eloisa Mrcia da Silva Maro de 20121

Prezado(a) Aluno(a),

Faa uma leitura atenciosa do contedo e das situaes problemas propostas para compreenso e interpretao. Participe das discusses das idias matemticas em sala e busque manter presena regular s aulas para que seu raciocnio e compreenso do contedo seja contnuo. Leia a situao problema, formule hipteses e estime resultados. Elabore estratgia para resolve-los e siga os passos:

Anote os dados mais importantes; verifique o que se deseja descobrir no problema; faa um esquema ou desenho que o auxilie a visualizar e interpretar a situao; anote o raciocnio que voc usou na resoluo; registre os clculos; analise a soluo obtida, verificando se ela coerente com os dados do problema; anote a resposta completa.

Atravs da leitura do problema, utilizando os passos acima, voc ir identificar qual contedo, mtodo, propriedade e/ou frmula que ser(o) necessrio(s) para a soluo da situao proposta. Tente identificar como se d sua aprendizagem: gosto de estudar sozinho ou em grupo; sua aprendizagem depende de voc e de sua dedicao. Busque resolver os exerccios propostos antes de pedir ajuda. No copie uma resoluo sem compreend-la, esclarea a dvida e depois refaa o exerccio para verificar se realmente aprendeu. As respostas dos exerccios servem como uma forma de conferir seu raciocnio. Se no estiver conseguindo resolver um exerccio, uma situao problema, procure esclarecimento antes de desistir. Enfim, participe das aulas de forma efetiva e com ateno. Sempre que necessrio recorra s anotaes, ao livro e/ou apostila e esclarea suas dvidas com o(a) professor(a). Organize um horrio de estudos para criar o hbito de estudar todos os dias. Lembre-se: a dvida s aparece quando nos exercitamos atravs da resoluo de exerccios diferentes. Para seu sucesso realize as tarefas com organizao clareza e pontualidade. Sucesso! o que desejamos. Instituto de Engenharias e Tecnologias

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Contedo1. CONJUNTOS ................................................................................................................................ 5 1.1 Notao de conjuntos .................................................................................................................. 5 1.2 Tipos de conjuntos ...................................................................................................................... 5 1.3 2. 2.1. 2.2 2.3 3. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4 5 6 7 8 9 10 11 11.1 11.2 12 13 14 15 16 16.1 17 17.1 17.2 18 19 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 4.1 5.1 Operaes com conjuntos ..................................................................................................... 6 N Naturais ......................................................................................................................... 8 Z Inteiros ........................................................................................................................... 8 Expresses numricas .......................................................................................................... 9 Nmeros Primos e Compostos ........................................................................................... 11 Decomposio de um nmero em um produto de fatores primos ...................................... 12 Mnimo mltiplo comum (m.m.c.) ........................................................................................ 12 Mximo Divisor Comum (m.d.c.) ......................................................................................... 12 Q Racionais: ................................................................................................................... 12 Reduo de fraes ao mesmo denominador .................................................................... 13 Operaes com nmeros decimais ..................................................................................... 14 CONJUNTOS NUMRICOS ......................................................................................................... 7

POTNCIAS .................................................................................................................................. 9

OPERAES ENTRE FRAES .............................................................................................. 13 NMEROS DECIMAIS ................................................................................................................ 13 PORCENTAGEM ........................................................................................................................ 15 I IRRACIONAIS....................................................................................................................... 15 R REAIS .................................................................................................................................. 15 RADICAIS .................................................................................................................................... 17 PRODUTOS NOTVEIS ......................................................................................................... 18 OPERAES ALGBRICAS .................................................................................................. 20 Expresses algbricas ........................................................................................................ 20 Operaes com expresses algbricas .............................................................................. 20 EQUAES DO 1 GRAU ...................................................................................................... 20 EQUAES DO 2 GRAU ...................................................................................................... 21 INEQUAES......................................................................................................................... 25 INEQUAO DO 2 GRAU ..................................................................................................... 27 FUNES ............................................................................................................................... 29 Tipos de funes ................................................................................................................. 30 FUNO DO 1 GRAU OU FUNO AFIM ........................................................................... 37 Zero da funo de 1 grau ................................................................................................... 38 Crescimento e decrescimento ............................................................................................. 39 FUNO DO 2 GRAU ........................................................................................................... 41 FUNO MODULAR .............................................................................................................. 45 Mdulo (ou valor absoluto) de um nmero: ........................................................................ 45 Equaes modulares ........................................................................................................... 45 Inequaes modulares ........................................................................................................ 46 Mdulo e raiz quadrada ....................................................................................................... 47 Funo modular................................................................................................................... 47

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20 21 21.1 21.2 22 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5 22.6 22.7 22.8

FUNO EXPONENCIAL ....................................................................................................... 49 FUNO LOGARTMICA ....................................................................................................... 52 Equao logartmica ............................................................................................................ 53 Inequao logartmica ......................................................................................................... 53 TRIGONOMETRIA .................................................................................................................. 54 Funes trigonomtricas bsicas ........................................................................................ 55 Unidades de Medidas de arcos: .......................................................................................... 56 Arcos de uma volta .............................................................................................................. 56 Mudana de unidades ......................................................................................................... 56 Crculo Trigonomtrico ........................................................................................................ 57 Arcos com mais de uma volta ............................................................................................. 57 Arcos Cngruos ................................................................................................................... 58 Seno e cosseno ................................................................................................................... 58

BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................................... 66

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Apostila de Clculo Zero1. CONJUNTOSAs seguintes convenes sero utilizadas nas teorias dos conjuntos: a) Os conjuntos sero indicados por letras maisculas do alfabeto. Exemplo: A, B, C, ... b) Os elementos sero indicados por letras minsculas do alfabeto. Exemplo: a, b, c, ... c) Pertinncia: quando se quer relacionar elementos que pertencem a um conjunto, utiliza utiliza-se o smbolo , que lido como elemento de ou pertence , a. O smbolo a negao do smbolo de pertinncia, portanto lido como no elemento de ou no pertence a. 2) Conjunto Vazio: aquele que no possui elementos. Pode ser representado por { } ou .

Lembre-se: { } no representa conjunto vazio.

3) Conjunto Universo: aquele conjunto que o contm todos os elementos possveis em um dado universo de discurso. Exemplos: U={ a, b, c, ... , z} U={ ...,-2,-1,0,1,2,...} U={ x/x um nmero}

1.1 Notao de conjuntosRepresentamos de trs modos distintos os elementos de um conjunto. 1) Representao Tabular: Essa notao consiste em citar os elementos do conjunto separados por vrgulas e entre chaves. Exemplos: a) A={a,e,i,o,u} b) B={1,3,5,...} c) C={0,2,4,6,...} d) D={verde,amarelo,azul,branco} 2) Representao descrevendo a propriedade que comum a todos os elementos que pertencem a esse conjunto. Exemplos: a) A={ x / x consoante } b) B={ x / x negativo e par } c) C={ x / x pas da sia} d) D={ x / x cor da bandeira do Flamengo Flamengo} 3) Representao Grfica 4) Conjuntos Disjuntos: So os conjuntos que no possuem nenhum elemento em comum. Exemplos: A={ 3,4 } e B={ 5,6 } E = { 5,6 } e F={56}

5) Conjunto Finito e Conjunto Infinito

5.1. Conjunto Finito aquele que possui um nmero finito de elementos. Exemplos: A = { 1, 5, 9 } B = { x/x rio do Brasil }

5.2. Conjunto Infinito aquele que possui uma infinidade de elementos. Exemplos: A = { 0, 1, 2, 3 } B = { x/x mpar e negativo }

C 6) Subconjunto

1.2 Tipos de conjuntos1) Conjunto Unitrio: Aquele que possui um nico elemento. Exemplos: A={ 5 } B={ x/x capital de Minas Gerais C={ x / 3+x=5 }

Subconjunto o conjunto A que est contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A tambm pertence ao conjunto B. Exemplos: A={ 1, 3} subconjunto de B={ 1,2,3,4 } D={ x/x capital brasileira} subconjunto de F = { x/x cidade do Brasil }

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Apostila de Clculo Zero7) Simbologia:

Observaes: Obs.: Todo e qualquer conjunto sempre subconjunto do conjunto universo (dentro de um dado universo de discurso). Alm disso, o conjunto vazio por definio sempre subconjunto de qualquer conjunto. 1) Em geral, A B B A. 2) Se B A, ento A B = (L-se: Complementar de B em relao a A A). 3) A = AA=A AB=BA 4) A = AA=A AB=BA 5) O nmero de elementos da unio de dois conjuntos igual a diferena entre a soma do nmero de elementos de cada um desses conjuntos, e o nmero de elementos da interseo:

1.3

Operaes com conjuntos

1) Interseo Na interseo entre dois (ou mais) conjuntos tomamos os elementos comuns aos conjuntos dado dados. Simbolicamente: A B = { x/x A e x B }.

n(A) = nmero de elementos de A n(B) = nmero de elementos de B 2) Unio Na unio entre dois (ou mais) conjuntos reunimos os elementos dos conjuntos dados em um nico conjunto. Simbolicamente: A B = { x/x A ou x B }.

Onde: n(A B) = nmero de elementos de A B

n (A B) = nmero de elementos de A B. Exemplos: 1) Conjunto os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 5, 7, 9 }, determine. , a) A B b) A B c) A B d) B A Soluo: A B = {3, 5} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} , A B = {1, 2, 4} B A = {7, 9}

3) Diferena Na diferena entre dois conjuntos tomamos os elementos pertencentes ao primeiro conjunto e no pertencente ao segundo. Simbolicamente: A - B = { x/x A e x B }.

a) b) c) d)

2) Numa pesquisa realizada, verificou verificou-se que, das pessoas consultadas 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais A e B e 110 no liam nenhum dos jornais. Quantas pessoas foram consultadas? a) 250

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Apostila de Clculo Zerob) 230 c) 340 d) 380 Soluo: A soluo deste problema s pode ser realizada com a utilizao de diagramas uma vez que existem pessoas que GOSTAM DE DUAS COISAS AO MESMO TEMPO. Toda vez que o problema trouxer tal informao iremos utilizar deste recurso de diagrama. somente podem efetuar uma inscrio. Sabe-se que 13% dos candidatos de nvel superior efetuaram 2 inscries. Dos candidatos de nvel mdio, 111 candidatos efetuaram uma s inscrio, correspondendo a 74% dos candidatos desse nvel. Qual ento o nmero de candidatos ao nvel fundamental? Soluo: Sejam: M o nmero de candidatos de nvel mdio; SM o nmero de candidatos aos nveis M superior e mdio; S o nmero de candidatos ao nvel superior; F nmero de candidatos ao nvel fundamental. Da Matemtica Financeira sabemos que: 74% = 74/100 ica = 0,74 e 13% = 13/100= 0,13. = Ento, 0,74M = 111, segue que, M = 111 / 0,74 = 150 e S SM = 150 - 111 = 39 .Assim, 0,13S = 39, implicando em S = 39 Assim, / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de Venn Venn-Euler com a quantidade de elementos. lementos.

Soluo: Neste tipo de questo teremos que resolver todas as letras para perceber qual destas a correta.

3) Sabendo que os smbolos U e I significam unio e interseo, respectivamente e dados os conjuntos A = { a,b, c, d }, B = { c, d, e, f }, C = { e, f, g, h } analise os itens abaixo e assinale o CORRETO: xo a) (A B) C = {a,b,c,d,e} b) (A B) C = {b,d} c) (B C) A = {a,b,c,d,e,f} d) A (B C) = { }

Temos: 150 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + F = 700. Conseqentemente, F = 700 - 411 = 289. (PUC) Um levantamento scio scio-econmico entre os habitantes de uma cidade revelou que,exatamente: 17% tm casa prpria; 22% tm automvel; 8% tm casa prpria e automvel. Qual o percentual dos que no tm casa prpria nem automvel? Soluo: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de elementos Euler, dos conjuntos, comeando sempre pelo nmero de elementos da interseo.

Tomemos a afirmao da letra a - (A I B) U C este A conjunto formado a partir dos elementos que so comuns aos conjuntos A e B em unio a todos os elementos do conjunto C tendo como resposta o conjunto {c, d, e, f,g,h} por isto esta letra est errada. Vamos observar a afirmao da letra b - (A U C) I B este item deseja unir os elementos do conjunto A e C e a partir desta unio separar os elementos comuns com o conjunto B tendo como resposta o conjunto {c, d, e, f} novamente nos deparamos com uma afirmao errada. Resolvendo a operao da letra c (B I C) U A temos B que os elementos que so comuns aos conjuntos B e C unidos ao conjunto A resultam nos elementos {a, b, c, d, e, f} por isto este item est certo. S para concluirmos o item d est errado porque no tem sentido unir trs conjuntos A, B e C e dizer que estes conjuntos representam uma operao vazia, ou seja, como se afirmssemos que no existem elementos nos conjuntos A, B e C o que um absurdo. Inscreveram-se num concurso pblico 700 candidatos se para 3 cargos - um de nvel superior, um de nvel mdio e um de nvel fundamental. permitido aos candidatos efetuarem uma inscrio para nvel superior e uma para nvel mdio. Os candidatos ao nvel fund fundamental

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, ento 9% + 8% + 14% + x = 100 %. Da,vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que no tm casa prpria nem automvel x =100% - 31% = 69%

2. CONJUNTOS NUMRICOS

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Apostila de Clculo Zero3) Se o resto zero, dizemos que a diviso exata. Nesse caso, temos que a = bq e dizemos que a mltiplo de b ou que b divisor de a. Exemplo: Numa diviso de nmeros natur naturais, o divisor 17 e o resto o quadrado do quociente. Qual o valor da soma de todos os possveis valores do quociente? Soluo: Temos que a 2 q2

2.1.

N Naturais

O conjunto dos nmeros naturais indicado por N e representado pelos nmeros positivos inclusive o zero, os que representem uma contagem inteira. No h nmeros naturais negativos. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ( um conjunto infinito) N*= {1,2,3,4,...} (exclui o zero, e subconjunto de N) 1) Operaes em N a) Adio Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao aditiva, e o resultado a soma. Sendo a, b N e a b, a diferena D = a b N, onde a, b so parcelas e o S a soma. b) Subtrao Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo. Sendo a, b N e a b, a diferena D = a b N, onde a o minuendo, b o subtraendo e D a diferena. c) Multiplicao Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa e o resultado o produto. Sendo a, b N, o produto P = ab N, onde a e b so fatores e P o produto. d) Diviso Na diviso, os nmeros so chamados de dividendo (a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente. Sendo a, b N e b 0, a diviso aproximada de a por b, consiste em encontrar dois nmeros q, r N, tais que a = bq + r. Exemplo: Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir: 843 / 5 = 168 34 43 3 resto (r) Observaes: 1) O resto sempre menor que o divisor (r < b); 2) O maior resto possvel uma unidade menor que o divisor, ou seja, (b 1);

17 q

Como q < 17, temos que os possveis valores naturais de q so ), 1, 2, 3, 4. Dessa forma a sua soma 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Observaes: Casos particulares da multiplicao e diviso Multiplicao Entenda-se N como Nmero qualquer se N*1=N N*0=0 Diviso N/1=N N/N=1 0 / N = 0 (N 0) N / 0 = No existe!!!!

2.2

Z Inteiros

O conjunto dos nmeros inteiros relativos a reunio dos nmeros negativos, o zero e os nmero positivos. nmeros Ou, o conjunto dos nmeros naturais e seus opostos negativos. No h nmeros inteiros em frao ou decimal. Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 1, Observao: O nmero zero no positivo nem negativo.

Subconjuntos: Conjuntos dos inteiros no negativos: Z+={0,1,2,3,4,...} =N Conjuntos dos inteiros no positivos: Z-={0,-1,-2,-3,4,...} Conjuntos dos inteiros no nulos: Z*={...,-4,-3,-2,1,1,2,3,4,...} Conjuntos dos inteiros positivos: Z*+={1,2,3,4,...} Conjuntos dos inteiros negativos: Z*-={-1,-2,-3,-4,...}

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Apostila de Clculo ZeroExemplos: a) Valor absoluto ou Mdulo Nmeros opostos ou simtricos Na reta numerada, os nmeros opostos esto a uma mesma distncia do zero. a) 12 * 3 = 36 d) -2 * 3 = -6 g) 4 b) (-12) * ( 12) (-3) = 36 e) 2 h) 4 c) 2 * (-2) = - 4 f) 4

2.3

Expresses numricas

Exemplos: O oposto de 1 -1. O oposto de 6 -6. b) Valor absoluto ou Mdulo Representa a distncia de um nmero at o zero (ou origem). Sendo assim, o mdulo, por representar distncia, sempre positivo e representado por | |. Indica, tambm, o valor absoluto que esse nmero possui. Exemplos: | 9| 9 | 2| 2 |0| 0 |7| 7

Para resolver expresses numricas realizamos primeiro as operaes de multiplicao e diviso, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adies e subtraes. Em expresses que aparecem sinais de reunio: ( ): parnteses, [ ]: colchetes e { }: chaves, efetuam-se as operaes eliminando eliminando-se, na ordem: parnteses, colchetes e chaves, isto , dos sinais interiores para os exteriores. Quando frente do sinal da reunio eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os sinais dos termos internos. Exemplos: a) 2 + [2 (3+2) -1] = 2 + [2 (5) -1] = 2 + [2 5 -1] = 2 1] + [2 - 6] = 2 + [-4] = 2 4 = -2 b) 2 + {3 [1 + (2 5 + 4)] + 8} = 2 + {3 [1 + (-3 + 4)] + 8} = 2 + {3 [1 + (1)] + 8} = 2 + {3 [2] + 8} = 2 + {3 2 + 8} = 2 + {9} = 11 c) {2 [3 * 4 : 2 2 ( 3 1 )]} + 1 = {2 [12 : 2 2 ( 2 )]} + 1 = {2 [12 : 2 2 ( 2 )]} +1 = {2 [6 4 ]} +1 = {2 [2 ]} +1 = {2 2 } + 1 = { 0 } + 1 = 1

c) Operaes com nmeros inteiros: A) Soma e subtrao algbrica Sinais iguais: Somam-se os valores absolutos e d se d-se o sinal comum. Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e se d-se o sinal do maior. Exemplos: a) 2 + 4 = 6 b) 2 4 = 6 c) 5 3 = 2 d) 5 + 3 = 2 e) 2 + 3 1 2 = 5 3 = 2 f) 1 3 + 2 4 + 21 5 32 = 23 45 = 22 g) (-15) + (-6) = -15 6 = -21 Na adio de dois nmeros inteiros com sinais contrrios, subtrai-se o de menor valor absoluto do de se maior valor absoluto e conserva-se o sinal do de maior se valor absoluto. B) Multiplicao e diviso algbrica Sinais iguais resposta positiva Sinais diferentes resposta negativa

3. POTNCIASDefinio: Potncia de grau n de um nmero A o produto de n fatores igua a A. iguais (n vezes) A a base da potncia e n o expoente da potncia, que determina seu grau. Assim: 2 = 2 * 2 * 2 = 8 2 = 8 (- 1) = (- 1) * (- 1) * ( 1) = 1 (- 1) = -1 (Casos Particulares: a) A potncia de expoente 1 (1 grau) igual base: 2 2 b) Toda potncia de 1 igual a 1: 1 = 1 1 = 1 c) Toda potncia de 0 igual a 0: 0 = 0 0 = 0 d) Toda potncia de expoente par positiva:

9

Apostila de Clculo Zero(- 2) = 16 2 = 16 9 3 = 94 4

(- 3) =

e) Toda potncia de expoente mpar tem o sinal da base: 3 = 27 (- 3) = - 27 5 5 2 = 32 (- 2) = - 32 Propriedades: a) Produto de potncias de mesma base Mantm-se a base comum e soma-se os expoentes. se

b) 2 2 2 c) Esse exemplo nos leva a concluir que, em geral, . f) Expoente nulo Toda potncia de base diferente de zero e expoente zero igual a unidade.

Observao:

1 Logo

b) Diviso de potncias de mesma base Mantm-se a base comum e diminuem se diminuem-se expoentes.

os

g) Expoente negativo Qualquer nmero diferente de zero, elevado a expoente negativo igual a uma frao cujo numerador a unidade e cujo denominador a mesma base da potncia elevada ao mesmo expoente com o sinal positivo.

1, para ,

.

0.

c) Potncia de potncia de mesmo grau (semelhantes) Multiplicam-se as bases e conserva se conserva-se o expoente comum.

, para todo a 0

Observao: d) Diviso de potncias de mesmo grau (semelhantes) Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. Potncias de 10 Efetuam-se as potncias de 10 escrevendo direita da se unidade tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

e) Potenciao de potncia Eleva-se a base ao produto dos expoentes. se h) Sinal da Base Observe os seguintes exemplos Observao: 1)

Exemplo: a) 2

2

.

2

3 9 : Se a base for positiva o resultado sempre positivo 2) 3 9 : Se a base for negativa e o expoente par, o resultado ser positivo.

10

Apostila de Clculo Zero3) 3 27 : Se a base for negativa e o expoente mpar, o resultado ser negativo. 2.000 divisvel por 8 (termina em trs zeros) 1.672 divisvel por 8 Divisibilidade por 9: Um nmero divisvel por 9 qu quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos forma um nmero divisvel por 9. Exemplo: 648 divisvel por 9, porque a soma 6+4+8 = 18 divisvel por 9. Divisibilidade por 10: Um nmero divisvel por 10, quando termina em zero. Exemplo: 1.320 divisvel por 10 (termina em 0). Divisibilidade por 11: Um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem mpar e a dos de ordem par divisvel por 11. O algarismo das unidades de 1 ordem, o das dezenas de 2 ordem, o das centenas de 3 ordem, e assim sucessivamente. Exemplos: 1) 87549 Si (soma das ordens mpares) = 9 + 5 + 8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4 + 7 = 11 Si Sp = 22 11 Como 11 divisvel por 11, en ento o nmero 87549 divisvel por 11 2) 439087 Si (soma das ordens mpares) = 7 + 0 + 3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8 + 9 + 4 = 21 Si Sp = 10 21 Como a subtrao no pode ser realizada, acrescenta-se o menor mltiplo de 11 (diferente de se zero) ao minuendo, para que a subtrao possa ser realizada: 10 + 11 = 21. Ento temos a subtrao 21 21 = 0. Como zero divisvel por 11, o nmero 439087 divisvel por 11. Divisibilidade por 12: Um nmero divisvel por 12 quando divisvel por 3 e 4. Exemplo: 720 divisvel por 12, porque divisvel por 3 (soma = 9) e por 4 (dois ltimos algarismos, 20) Divisibilidade por 15: Um nmero divisvel por 15 quando divisvel por 3 e 5. Exemplo: 105 divisvel por 15, porque divisvel por 3 (soma = 6) e por 5 (termina em 5) Divisibilidade por 25: Um nmero divisvel por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. Exemplos: 200, 525, 850 e 975 so divisveis por 25.

3.1

Nmeros Primos e Compostos

Nmeros Primos: So aqueles nmeros divisveis somente por eles mesmos e por 1. Ou seja, admite apenas dois divisores. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, outros. Observao: O nmero 1, por definio, no primo. O nmero 2 o nico nmero primo par.

Nmero Composto: todo nmero que no primo, ou em outras palavras, possui mais de dois divisores. Exemplos: 12, 15, 28, 36, 60, 420, outros 1) Critrios de divisibilidade Divisibilidade por 2: Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto , quando par. Exemplo: 314 divisvel por 2 (termina em 4) Divisibilidade por 3: Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos seus algarismos um nmero divisvel por 3. Exemplo: 627 divisvel por 3, porque a soma 6+2+7 igual a 15, e 15 divisvel por 3. Divisibilidade por 4: Um nmero divisvel por 4 quando termina em dois zeros ou quando o nmero formado pelos dois ltimos algarismos da direita for divisvel por 4. Exemplos: 1.600 divisvel por 4 (termina em dois zeros). 564 divisvel por 4 (64 divisvel por 4). Divisibilidade por 5: Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, ou 5. Exemplos: 1.230 divisvel por 5 (termina em 0). 4.935 divisvel por 5 (termina em 5). Divisibilidade por 6: Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3, ao mesmo tempo. Exemplo: 912 divisvel por 6, porque divisvel por 2 e por 3. Divisibilidade por 8: Um nmero divisvel por 8 quando termina em trs zeros ou quando o nmero formado pelos trs ltimos algarismos da direita for divisvel por 8. Exemplos:

11

Apostila de Clculo Zero3.2 Decomposio de um nmero em ecomposio um produto de fatores primosA decomposio de um nmero em um produto de posio fatores primos feita por meio do dispositivo prtico que ser mostrado nos exemplos a seguir. Exemplos: 30 2 21 3 15 3 7 7 5 5 1 / 21 21 = 3 * 7 1 / 30 30 = 2 * 3 * 5 12 18 36 2 .3 2. 3 2 .3

Agora tomemos os fatores comuns com os menores expoentes apresentados acima: m.d.c.(12, 18, 36) = 2 * 3 = 6. Quando o m.d.c. entre dois nmeros igual a 1, dizemos que eles so relativamente primos. Exemplo: 5 e 9 so relativamente primos, pois 5 = 5.1 e 9 = 3 .1, sendo 1 o nico fator comum a estes nmeros. Confirme os resultados abaixo: b) m.m.c. (9, 6) = 3 c) m.m.c. (36, 45) = 9 d) m.m.c. (12, 64) = 4 e) m.m.c. (20, 35, 45) = 5

3.3

Mnimo mltiplo comum (m.m.c.)

O mnimo mltiplo comum a vrios nmeros o menor nmero divisvel por todos eles. Exemplo: a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 12, 16, 45 2 6, 8, 45 2 3, 4, 45 2 3, 2, 45 2 3, 1, 45 3 1, 1, 15 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 / 720 O m.m.c. entre 12, 16 e 45 720 01) Confirme os resultados abaixo. a) m.m.c. (4, 3) = 12 b) m.m.c. (3, 5, 8) = 120 c) m.m.c. (8, 4) = 8 d) m.m.c. (60, 15, 20, 12) = 60 02) Determinar o m.m.c de 120 e 80 120, 80 60, 40 30, 20 15, 10 15, 5 5, 5 1, 1 240 2 2 2 2 3 3 / 2 . 3.5

3.5

Q Racionais Racionais:

Chama-se nmero racional todo nmero de pode ser se escrito em forma de frao. So todos os nmeros na forma decimal exata, peridica ou na forma de frao. Ou tambm, o conjunto formado pel nmeros inteiros pelos e pelos nmeros fracionrios. Q= {..., , , , , 0, , , , }

Nmeros fracionrios negativos: { , , } Nmeros decimais na forma exata: {1,2 ; 3,654 ; 0,00005 ; 105,27272}; Nmeros decimais na forma peridica: 2,3333333 2, 3 3,02222 3,02 10,23232323 10, 23 As razes exatas: {9 3 2 2 8 1

Exemplos: Nmeros fracionrios positivos: { , , }

240

O m.m.c. entre 12 80 120,

3.4

Mximo Divisor Comum (m.d.c.)

O m.d.c. a vrios nmeros o maior nmero que os divide. Exemplo: Encontrar o m.d.c. entre 12, 18 e 36. Fatorando cada um dos nmeros em fatores primos, temos:

12

Apostila de Clculo Zero4 OPERAES ENTRE FRAES4.1 Reduo de fraes ao mesmo denominador1) Adio e Subtrao Caso A) Mesmo denominador: Conserva Conserva-se o denominador e efetua-se a operao com os se numeradores. Exemplo: 2 1 3 7 7 7 1 5 4 9 9 9

x =

=

Observao: Podemos representar o inverso de uma frao atravs da potncia com expoente -1:

Caso B) Denominadores diferentes: Reduz Reduz-se ao mesmo denominador e efetua-se a operao com os se numeradores. Exemplo: 2 1 4 3 3 2 6 7 3 3 28 12 7 6 25 12

5 NMEROS DECIMAISObserve o resultado da diviso de 125 por 4: 125 05 10 20 0 numerador e 4 31,25

MMC(3,2)=6 1 4

MMC(4,3)=12

2) Multiplicao se numerador com Multiplica-se denominador com denominador. x = , 0 e 0.

O nmero 31,25 um exemplo de nmero decimal. Nos nmeros decimais a vrgula separa a parte inteira da parte decimal: 31 parte inteira ,25 parte decimal E, para transformar uma frao em um nmero decimal, basta efetuar a diviso entre numerador e denominador. Transformao de um nmero decimal em frao decimal: 1) O numerador o nmero decimal sem a vrgula 2) O denominador o nmero 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte decimal. 5,36 = 0,65 = 0,047 =

Exemplos: . x = =.

. =

x

=

.

.

3) Diviso Multiplica-se a primeira frao pelo inverso da segunda. = Exemplos: x = , 0, 0e 0.

13

Apostila de Clculo Zero5.1 Operaes com nmeros decimaisvezes que esta parte est sendo dividida), a operao a diviso, e o resultado o quociente. Exemplo: Existe na diviso, o que se pode chamar de resto. Isto , quando uma diviso no exata ir sempre sobrar um determinado valor, veja no exemplo a seguir: 843 / 5 = 168 34 43 3 resto (r) Se o resto for igual a zero a diviso chamada exata. ou 5) Potncia de nmeros decimais ia

1) Adio Na adio os nmeros so chamados de parcelas, sendo a operao aditiva, e o resultado a soma. ditiva, Exemplos: 4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049 4,32 2,3 + 1,429 8,049, , ,

1,1166

1,1166

2) Subtrao Na subtrao os nmeros so chamados de subtraendo, sendo a operao a subtrao, e o resultado o minuendo. Exemplos: As regras para a subtrao so as mesmas da adio, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas alterando a operao. Numa subtrao do tipo 4-7 temos que o minuendo menor 7 que o subtraendo; sendo assim a diferena ser aendo; negativa e igual a -3. 3) Multiplicao Na multiplicao os nmeros so chamados de fatores, sendo a operao multiplicativa, e o resultado o produto. Pode-se representar a multiplicao por: *, x ou . se Exemplo: 7,32 * 12,5 = 91,500 7,32 x 12,5 3660 1464 + 732 91,500 Na multiplicao de fraes multiplica multiplica-se divisor com divisor, dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo). 1 2 8 2 3 16 6 8 2,6 3

Todo nmero decimal equivalente a um produto do qual um fator o nmero escrito como inteiro, e outro uma potncia de dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente quantas so as ordens decimais.

6) Diviso por potncias de 10: Para dividir um nmero decimal qualquer por uma potncia de 10, basta deslocar a vrgula para a esquerda um nmero de casas decimais equivalente ao expoente da potncia. Exemplos: 3 379,4 10 = 0,3794 2 4251 10 = 42,51 Um nmero qualquer pode ser expresso como o r produto de um nmero compreendido entre 1 e 10, por uma potncia de 10 adequada. 1) Conta-se o nmero de casas decimais que a se vrgula deve ser deslocada para a esquerda; este nmero nos fornece o expoente positivo da potncia de base 10. Exemplo: 7 43.300.000 = 4,33 x 10 De zero at entre 4 e 3, contamos sete casas. 2) Conta-se o nmero de casas decimais que a se vrgula deve ser deslocada para a direita; este nmero nos fornece o expoente negativo da potncia de base 10.

4) Diviso Na diviso, os nmeros so chamados de dividendo( a parte que est sendo dividida) e divisor (a quantia de

14

Apostila de Clculo ZeroExemplo: -6 0,000008 = 8,0 x 10 Da vrgula at depois de oito, contamos 6 casas. Uma expresso irracional um polinmio que contm um ou mais nmeros irracionais. Exemplos: 5 3,23 12 3 12 31

6 PORCENTAGEMA porcentagem toda frao com denominador igual a 100. Dessa forma, o nmero pode ser escrito como x%, onde o smbolo % indica a diviso por 100. Observe ainda que todo nmero decimal pode ser a escrito como uma frao centesimal. Exemplos: 25% = = 0,25 125% = 0,25% =,

8 R REAIS a unio dos conjuntos numricos citados acima. Portanto, todo nmero, seja N, Z, Q ou I um nmero R (real). Observao: Racionais Irracionais = Reais N Z Q R e irracionais R

= 1,25 = 0,0025

Exerccios: 01) Determine o valor das seguintes expresses: a) 5% de 400 b) 12% de 1500 c) 0,3% de 88000 Soluo: a) 5% de 400 = b) 12% de 1500 = . 400 20

Intervalos Os intervalos so subconjuntos de nmeros reais, representados na reta numrica, geometricamente, ou representados algebricamente, podendo ser abertos ou fechados.Intervalos Finitos Intervalo aberto Intervalo fechado Intervalo semi-aberto direita Intervalo semi-aberto esquerda Intervalos Infinitos Intervalo fechado indo para o infinito positivo Intervalo fechado indo para o infinito negativo Intervalo aberto indo para o infinito positivo Intervalo aberto indo para o infinito negativo Representao Grfica Representao Grfica Notao de Conjuntos {x R / a < x < b} {x R / a x b} {x R / a x < b} {x R / a < x b} Notao de Conjuntos {x R / x a} Notao de intervalo ]a,b[ [a,b] [a,b[

c) 0,3% de 88000 = 0,003.88000

. 1500

180

264

]a,b] Notao de intervalo

7

I IRRACIONAIS

[a,+[

Um nmero ser irracional quando no se pode traduzir por uma frao do tipo a/b inteiros Dito de outra inteiros. maneira : Um nmero real diz-se irracional qu se quando no pode exprimir-se por uma dzima finita ou peridica. Ou se ento, so todas as decimais no exatas e no o peridicas. I= {...,

{x R / x a}

]-,a]

1) 2 um nmero irracional por que no pode ser expresso como uma frao cujos termos sejam nmeros inteiros. Entretanto, podemos aproximar 2 com o nmero de casas decimais que desejarmos. Exemplificando, 2 1,4142, com a aproximao de um dcimo de milsimo Essas milsimo. aproximaes se tornam nmeros racionais 2) tambm irracional ( 3,1415926535...) Expresses irracionais:

, 3, , , }

{x R / x > a}

]a, +[

{x R / x < a}

]-,a[

Exerccios: 1) Escreva na forma de intervalo cada representao geomtrica dada abaixo. a) 2 -2 3

15

Apostila de Clculo Zerob) 4 c) -5 d) 0 1 c) (-1, 0)

2) Dados os conjuntos abaixo, expresse expresse-os na forma de intervalo e na forma geomtrica: a) b) c)

{x / 6 x 10} {x / 1 < x 5} {x / x 4}d) [1, 5)

d) {x / x < 1} 3) Dados os intervalos abaixo, expresse expresse-os na forma geomtrica: a)[ , +) ) b) (0, 7] c)(-, 3) d) [6, +) Operaes com intervalos: Unio, Interseo e diferena Como intervalos so conjuntos natural que as operaes mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se de um procedimento muito comum na se resoluo de alguns problemas. E a maneira mais fcil e intuitiva de realizar essas operaes atravs da representao gr grfica dos intervalos envolvidos. Para encontrarmos um intervalo primeiramente, marcamos todos os pontos que so extremos ou origens dos intervalos em uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, traamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos dados. E, por juntos fim, s utilizar a definio de unio, interseco e diferena para determinar os trechos. Vamos um exemplo prtico de como efetuar tais operaes. Exemplos: Dados A = {x R / 1 < x < 1} e B = [0, 5), determine: a) A B b) A B d) B A c) A B

Exerccios 1) Determine A B, quando: a) A = {x R / x < 3} e B = {x R / 1 < x < 4} b) A = {x R / 3 x < 1} e B = {x R / 0 x 3} c) A = {x R / x 5} e B = {x R / x 2} 2) Determine A B, quando: a) A = {x R / 0 < x 0. Temos: a = 1, b = -2 e c = Usando a frmula de Bhskara definio teremos: 4 0 2 0 0 4 2 4

4) Soma e produto de razes de uma equao de 2 grau: Nos casos em que equao possui razes reais algumas relaes so observadas. Veja: Soma das razes: (x1 + x2) = Produto das razes: (x1 . x2) = Exemplos: 1) Determine o valor de k para que o produto das 2 razes da equao x + 8x 27k = 0 seja igual 9. Soluo: Atravs da equao, podemos constatar que a = 1, b = 8 e c = 27k. Para que o produto das razes seja igual 9, deve-se ter:

, pela

4.1. 2 0 4 4 8 4 12 0 4 12 12 0 1 4 12 12 0 4 12 3 4 Resposta: Conclumos que para que a equao admita razes reais e desiguais os valores de 3, ou seja, os valores devem ser menores que trs. 2) Determine o valor de p, para que a equao 1 2 0 possua raizes reais e iguais. Soluo: Para que a equao admita razes reais e iguais, devemos ter = 0. Temos: a = 1, b = Usando a frmula de Bhskara definio teremos: 4 0 3 1 6 1 e c= 2 4

Produto das razes: (x1 . x2) =9 27 9 1 3

9

, pela 0

Resposta: 2)

deve ser igual a

.

Como temos:

6

9

0 um trinmio quadrado perfeito, 0 3

4.1. 9

0

2

Qual equao do 2 grau possui 1 e 11 como razes e coeficiente a = 1?

Soluo: Como a equao procurada do 2 grau e apresenta coeficiente a = 1, ela pode ser escrita da seguinte forma: x -Sx+P=0 Onde S a soma das razes e P o produto.2

Resposta: Logo, o valor de

3) Para quais valores de m a equao 3

Soluo:

0 no admite nenhuma raiz real?

3.

2

6

As razes da equao foram fornecidas pelo problema. Assim, temos que: S = 1 + ( 11) = 12 = ( 1)( 11) = 11 Dessa forma, a equao procurada : x ( 12)x + 11 = 0 2 x + 12x + 11 = 02

Para que a equao no admita nenhuma raiz real real, devemos ter < 0.Temos: a = 3, b = 6 e c =

23

Apostila de Clculo ZeroResposta: A equao que possui 1 e 11 como 2 razes e coeficiente a = 1 x + 12x + 11 = 0. 5) Sistemas de equaes Para a resoluo de problemas que apresenta duas incgnitas desconhecidas, utilizamos um sistema de equaes. Vejamos agora os mtodos para a resoluo de sistema de equaes: a) Mtodo da adio: Basta eliminar uma das variveis, atravs de termos opostos, recaindo numa equao do 1 grau com uma varivel. Exemplos: 12 1) 4 Notamos que as duas equaes possuem termos opostos (y e -y), com isso basta somar as duas om equaes: b) Mtodo da substituio: Consiste em eliminarmos uma das variveis isolando seu valor numa das equaes do sistema, para em seguida substitu-la na outra. Exemplos: 1) x+y=12 ... I x-y=4 .... II Escolhemos uma das variveis na primeira equao, para determinarmos o seu valor: x+y=12 x=12-y Substitumos na outra equao - II: (12-y) - y = 4 12-2y = 4 -2y = -8 y=4 Substituindo o valor encontrado em uma das equaes: x+4=12 x=12-4 x=8 Resposta: Logo a soluo do sistema S = {(8,4)}. 2) ... I ... II

Soluo:

A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equaes. 8+y=12 ou 8-y=4 y=12-8 ou -y=4-8 y=4 ou y=4 Resposta: O par ordenado (x,y)=(8,4) a soluo do sistema. 2) Soluo: 2 4 3 6 3 12

Escolhemos a varivel y da equao II: ... II Substituindo na equao I :

Substituindo o valor de x encontrado em II:

Resposta: Logo a soluo do sistema S = {( 10,4 )}

Note que as equaes no possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a membro, no eliminaremos nenhuma varivel. Para a resoluo deste sistema, devemos escolher uma varivel para ser eliminada. Para isso, multiplicamos a equao I (a primeira) por 2: I II 0x + 0y = 6 III Observe que a equao III no possui soluo logo a soluo, soluo do sistema ser vazio. Resposta: S= { }

c) Mtodo da comparao: Consiste em comparar armos as duas equaes do sistema, aps termos isolado a mesma varivel (x ou y) nas duas equaes. Exemplo: x+2y=2 x=2-2y x+y = 3 x=3-y Comparando as duas equaes: 2-2y=3-y -2y+y=3-2 -y = 1 y = -1

24

Apostila de Clculo ZeroSubstituindo o valor de y encontrado: x = 2-2.(-1) x=2+2=4 Resposta: Portanto S= {(4,-1)} Resposta:

14 INEQUAES1) Smbolos de desigualdades

b) 2x 6 < 0

/

Soluo:So smbolos que permitem uma comparao entre duas grandezas.Exemplos: , , . 2x 6 = 0 x=3

2) Inequao do 1 grau

Inequaes do 1 grau so desigualdades condicionadas em que a incgnita de 1 grau Elas grau. podem apresentar-se nas seguintes formas: se 0 0 0 0

Resposta: c) 2 -4x x + 17

/

3

Soluo:0

Lembrando que todas possuem

A soluo de uma dessas inequaes do 1 grau, exposta acima, dada da seguinte maneira: 1. Iguala-se a expresso ax + b a zero; se 2. Localiza-se a raiz no eixo x; 3. Estuda-se o sinal conforme o caso.

0

0,

0,

:

Resposta:

:

d) 3(x + 4) < 4(2 x)

/

3

Soluo:

E o conjunto soluo ser dado por:

0

0

/

/

Exemplos: 1) Resolva as inequaes: a) -2x + 7 > 0 Resposta:

Soluo:-2x + 7 = 0 x = 7/2

/

2) Encontrar o conjunto soluo do sistema de inequaes:

25

Apostila de Clculo Zeroas funes, a soluo seria a interseco do estudo dos sinais das funes que pertencem inequao. Exemplos: Chamaremos de inequao A e de inequao B: Inequao A: Soluo: Primeiro o estudo do sinal de cada funo: I) -3x + 6 = 0 -3x = -6 -x = - 6 : (3) -x = - 2 x=2 1) Ache o conjunto sol soluo da equao produto (-3x + 6) (5x -7) < 0 :

Observe que o conjunto soluo que satisfaz a A junto definido por { } Inequao b: Oobserve que multiplicaremos ambos os termos da inequao por um nmero negativo, sendo assim inverteremos o sinal da desigualdade, assim o aldade, resultado ser:

II) 5x 7 = 0 5x = 7 x=7 5

Fazendo o jogo de sinal com o estudo de sinal em cada coluna formada por uma funo: O conjunto soluo que satisfaz b { Soluo do Sistema: A soluo do sistema obtida fazendo a i interseco () das solues individuais, ou seja, das solues da inequao A e B: Como a inequao quer valores que sejam menores que 0, escrevemos que o conj conjunto soluo da 7 inequao ser S = {x R / x < ou x > 2}.5

}.

Resposta: S = {x Analisando o interseco dos resultados de cada inequao do intervalo real temos que a soluo da desigualdade S = { } Resposta: S = { 3) Inequao Produto Algumas inequaes apresentam, no 1 membro, produto de funes que para obter a resoluo dessas inequaes preciso fazer o estudo do sinal de todas }

R / x < ou x > 2}5

7

2) Ache o conjunto soluo da equao produto x . (x 1) (-x + 2) 0 : I) x = 0

II) x 1 = 0 x = 1

III) -x + 2 = 0 -x = -2 x = 2

26

Apostila de Clculo ZeroSinal do coeficiente a a=1, valor maior que zero, a: portanto uma funo crescente. Fazendo o estudo de sinal em cada coluna: Sendo assim, analisando os sinais dessa funo, nalisando temos:

Funo: g(x)=x-2 Zero da funo: x=2 Sinal do coeficiente a a=1, valor maior que zero, a: portanto uma funo crescente.

Como a inequao quer valores que sejam menores ou iguais a 0 escrevemos que o conjunto soluo da inequao x . (x 1) (-x + 2) 0, ser S={x R / 0 x 1 ou x 2}. Resposta: S={x R / 0 x 1 ou x 2}.

Agora devemos realizar a interseco dos intervalos das duas funes, lembrando que o ponto 2 um valor aberto, pois no pertence ao domnio da desigualdade.

4) Inequao Quociente Inequaes do tipo 0 ou 2 so exemplos 2 2 de inequaes quociente, pois representam a diviso entre polinmios de 1 grau. Na inequao-quociente, tem-se uma desigualdade de se funes fracionrias, ou ainda, de duas funes na qual uma est dividindo a outra. Diante disso, deveremos e nos atentar ao domnio da funo que se encontra no denominador, pois no existe diviso por zero. Com isso, a funo que estiver no denominador da inequao dever ser diferente de zero. O mtodo de resoluo se assemelha muito resoluo de uma inequao-produto, de modo que produto, devemos analisar o sinal das funes e realizar a interseco do sinal dessas funes. Exemplo:3 2 5

Veja que ao fazer a interseco das funes deve ser feito tambm o jogo de sinal, assim como na equao produto. Sendo assim, podemos esboar o conjunto soluo . Resposta:

15 INEQUAO DO 2 GRAUAs inequaes do 2 grau so resolvidas utilizando o teorema de Bhskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequao, com o objetivo de formular o conjunto soluo. Exemplos:

1) Resolva a inequao

. 1) Resolver a inequao 3x + 10x + 7 < 0. Soluo:

Soluo: Como o denominador deve ser diferente de zero, ferente podemos afirmar que o valor de x no poder ser igual a 2.

Vamos estudar os sinais das funes. Funo f(x)=x+5 Zero da funo: x=-5

27

Apostila de Clculo ZeroSoluo:

Resposta: S = {x R / 7/3 < x < 1} 2) Determine a soluo da inequao 2x x + 1 0. Soluo:

Resposta: S = {x R / x < 3 e x > 3} 1) Inequaes simultneas Exemplo: -8 < x 2x 8 < 0 8 Soluo: 1 passo) Separar as inequaes obedecendo o inequaes, intervalo dado. Temos: I) x 2x 8 > -8 e II) x 2x 8 0 x = 0 x = 22 2 2 2

Resposta: S = {x R / x 1 ou x 1/2} 3) Determine a soluo da inequao x 4x 0. Soluo:

II) x 2x 8 0. Obs: o quadro de resposta ser preenchido pelo intervalo achado.

28

Apostila de Clculo Zero

Resposta: {x R| x2} 2) Inequao produto e inequao quociente Exemplo: 1) (x 9x 10) (x 4x +4) > 02 2

Assim, as nicas regies positivas (maiores que zero) so em x10 Resposta: {x R | x10} 1

16 FUNES

Soluo: 1 passo) Trabalhar f(x) e g(x) separadamente: 2 x 9x 10 = 0 (I) 2 x 4x +4 = 0 (II) 2 passo) Determinar as razes das funes: (I) Razes: x= -1, x = 10 (II) Raozes: x= x = 2 3 passo) Fazer o estudo do sinal para cada funo:

Dados os conjuntos A e B, uma funo : uma lei que associa cada elemento x A a um nico elemento .

Domnio (D): Conjunto A (conjunto de partida) Contradomnio (CD): Conjunto B (conjunto de chegada) Imagem (Im): Conjunto formado pelos elementos que possuem correspondentes x no domnio. I) x10 II) x= x = 2 Grfico de uma funo : A = {1,2,3,4,5,6} B = {0,2,4,6,8,10,12} {(x,y) A x B /

4 passo) Calcular a soluo, que dad pelo sinal de dada desigualdade da funo de origem, isto e intervalo positivo e bolinha fechada > intervalo positivo e bolinha aberta intervalo negativo e bolinha fechada < intervalo negativo e bolinha aberta Observao: 1) No quadro de respostas (ou solues), se os o intervalos forem em: f(x) positivo e g(x)positivo o h(x) ser +, assim temos: + e + = + ; + e - = ;-e+=-;-e-=+ 2) Na inequao quociente observar a CE (condio de existncia) do denominador, que influenciar o resultado nos intervalos, no que diz respeito a intervalo fechado ou aberto aberto.

= 2x}

Seja A um conjunto tal que x A -x A e a funo : .

1) Paridade das Funes

29

Apostila de Clculo Zerof par f(-x) = f(x), x A o grfico simtrico em relao ao eixo Ou, pois (x,y) o ao eixo Oy, pois (x,y) f (-x,y) f. 2 So funes pares f(x) = x , f(x) = cos x, e outras. Exemplo: 3 y = x uma funo mpar pois para todo x, teremos f( f(x) = - f(x). 3 3 Por exemplo, f( - 2) = (- 2) = - 8 e - f( x) = - ( 2 ) = - 8. O grfico abaixo de uma funo mpar:

Exemplo: 4 y = x + 1 uma funo par, pois f(x) = f( f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 2 + 1 = 17 e f(- 2) = ( (-2) + 1 = 17 O grfico abaixo de uma funo par.4 4

Observao: Se uma funo no par nem mpar, dizemos que ela no possui paridade. 2 A funo f(x) = x + x 1 no par nem mpar. Exemplo: O grfico abaixo, representa uma funo que no possui paridade, pois a curva no simtrica em relao ao eixo dos x e, no simtrica em relao origem.

f mpar f(-x) = -f(x), x A o grfico simtrico em relao origem, pois (x,y) f (-x,-y) f. 3 So funes mpares f(x) = x , f(x) = sen x, e outras.

16.1 Tipos de funesSejam a funo :

1) Funo Sobrejetora

f sobrejetora quando todo elemento de B est associado por f a pelo menos um elemento de A, ou seja, quando a imagem igual ao contradomnio. No diagrama, todo elemento recebe seta. No grfico, retas horizontais traadas no contradomnio interceptam o ais grfico em pelo menos um ponto. n(A) n(B), se A e B forem finitos.

30

Apostila de Clculo Zeroe) nenhuma delas Soluo: Sabemos que numa funo injetora, elementos distintos do domnio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 x2 f(x1) f(x2) . Logo, podemos concluir que: f no injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g injetora, pois no existem dois pases distintos com a mesma capital. h injetora, pois dois n nmeros naturais distintos possuem os seus dobros tambm distintos. Conclumos que a alternativa correta a de letra C. 2 - Seja f uma funo definida em R - conjunto dos nmeros reais - tal quef(x - 5) = 4x. Nestas condies, pede-se determinar f(x + 5) se 5). Soluo: Vamos fazer uma mudana de varivel em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma: x - 5 = u \ x = u + 5 Substituindo agora (x - 5) pela nova varivel u e x por (u + 5), vem: f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20 Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos: f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40 3 (UEFS 2005-1) Sabendo ) Sabendo-se que a funo real f(x) = 2 2 ax + b tal que f(2x + 1) = - 2x + 2, para todo x / R, pode-se afirmar que b/a igual a: se a) 2 b) 3/2 c) 1/2 d) -1/3 e) -3 Soluo: 2 2 Ora, se f(x) = ax + b, ent f(2x + 1) = a(2x + 1) + b ento Como f(2x + 1) = - 2x + 2, vem, igualando: a(2x + 1) 2 + b = - 2x + 2 Exemplos: 1 - Considere trs funes f, g e h, tais que: A funo f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A funo g atribui a cada pas, a sua capital A funo h atribui a cada nmero natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funes dadas, so injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica: 2 2 2ax + a + b = -2x + 2 Ento, poderemos escrever: 2a = -2 \ a = -2 /2 = -1 E, tambm, a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3 Logo, o valor procurado a/b ser a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente alternativa D.2 2 2

2) Funo Injetora f injetora quando elementos distintos de A esto associados a elementos distintos de B. No diagrama, no h elemento em B que receba mais de uma seta. No grfico, retas horizontais cruzam seu grfico em no mximo um ponto. n(A) n(B), se A e B forem fin finitos.

3) Funo Bijetora f bijetora se, e somente se, for sobrejetora e injetora. Todo elemento de B est associado por f a um nico elemento de A. No diagrama, todo elemento de B recebe uma seta. No grfico, retas horizontais traadas pelo contradomnio cruzam o grfico em exatamente omnio um ponto. n(A) = n(B), se A e B forem finitos.

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Apostila de Clculo ZeroToda funo : na forma f(x) = k com k R k, denominada funo constante. Em uma funo constante qualquer que seja o elemento do domnio eles sempre tero a mesma imagem, ao variarmos x encontramos sempre o mesmo valor k. Para exemplificar vamos observar a funo constante : , 3 representada graficamente no plano cartesiano: 4) Funo Constante

Domnio

Contradomnio

Imagem: Constante, ou seja, sempre a mesma. Todas as flechas lanadas do conjunto de partida acertam o mesmo elemento do conjunto de chegada.

5) Domnio da funo Quando a funo dada em forma de equao, o domnio ser a sua condio de existncia. Atravs de alguns exemplos demonstraremos como determinar o domnio de uma funo, isto , descobrir quais os nmeros que a funo no pode assumir para que a sua condio de existncia no seja afetada. 1 Caso: No existe denominador igual a zero, assim todo contedo no denominador ter que ser diferente de zero. Exemplo:

Neste exemplo a constante k possui o valor -3. Observe os pontos (-2, -3), (0, -3) e (4, -3) que 3) destacamos no grfico da funo. Em cada um destes pontos distintos temos uma ada abscissa diferente, no entanto todos os trs possuem a mesma ordenada. Isto vale para qualquer ponto do grfico desta funo, pois qualquer que seja o valor de x, o valor de y sempre ser igual a -3, j que y no depende de x, pois y no faz parte da lei de formao da funo, que meramente a constante -3. Assim como este grfico , o grfico de qualquer funo constante definida de R em R sempre ser uma reta paralela ao eixo x, que passa pelo ponto , (0, k), que neste nosso exemplo o ponto (0, -3). Exemplos:

Nesse caso o denominador no pode ser nulo, pois n no existe diviso por zero na Matemtica. x10 x1 Portanto, D(f) = {x R / x 1} ou R {1}. 2 Caso: No existe raiz quadrada de um nmero negativo, assim todo contedo dentro do radical ter que ser maior ou igual a zero. Exemplo:

Nos nmeros reais, o radicando de uma raiz de ndice meros no pode ser negativo. 4x 6 0 4x 6 x 6/4 x 3/2 Diagrama de flechas da funo constante Portanto, D(f) = {x R / x 3/2} 3 Caso: Exemplo:

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Apostila de Clculo ZeroO radicando de uma raiz de ndice mpar pode ser um nmero negativo, nulo ou positivo, isto , 3x 9 pode assumir qualquer valor real. Portanto, D(f) = R. 4 Caso:No existe denominador igual a zero, nem raiz quadrada de nmero negativo, assim tod contedo no todo denominador que estivem tambm dentro de um radical ter que ser apenas maior que zero. Exemplo: Como a raiz quadrada nos reais s definida para valores no negativos, a funo dada est definida para todos os valores de x tais que .

Observe que o denominador da frao tem que ser diferente de zero, ou seja, .

Resolvendo a desigualdade,

obtemos:

. Assim, vemos que a funo definida para x > 2 e para -2 < x -1. Nesse caso temos restries tanto no numerador quanto no denominador. As restries podem ser calculadas da seguinte maneira: I) 2 x 0 x 2 x (-1) x 2 1) II) x+1>0x>1 Executando a interseco entre I e II, obtemos: Portanto, o domnio da funo D = { } :

c) Soluo: Como a raiz quadrada nos reais s definida para valores no negativos e a diviso por zero no permitida, a funo dada est definida para todos os valores de x tais que x 0 e x - 1 0.

Portanto, D(f) = {x R / 1 < x 2} ou ] 1, 2]. Exerccios Resolvidos: 1)Encontre o domnio das funes abaixo: a) Soluo: Como nenhum domnio foi explicitado, o domnio de f o conjunto de todos os valores que podem ser atribudos varivel independente x. Observe que a expresso definida (como um nmero real) para todo x tal que x1 seja no no-negativo. Resolvendo a desigualdade 1. Assim, o domnio da funo D={ :x 1} ou [1,+[ em x, obtemos x

Observe que, como a raiz cbica est definida para qualquer nmero real, no necessrio nenhuma restrio para x-1, alm do fato de ter que ser diferente , de zero por estar no denominador. Resolvendo para x, a equao x - 1 , 1. 0, obtemos x

Assim, vemos que a funo definida para x 1. Portanto, o domnio . da funo

0ex

6) Funo Composta Dados os conjuntos A, B e C e as funes : definida por y = f(x) e g definida por z = g(y), g: chama-se funo composta de g com f a funo h = se (gof) : , definida por: Z = (gof)(x) = g(f(x))

b) Soluo: Como nenhum domnio foi explicitado, o domnio de f o conjunto de todos os valores que podem ser atribudos varivel independente x.

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Apostila de Clculo ZeroExemplos: 1 - Sendo f e g duas funes tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrer se e somente se: a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = bc SOLUO: Teremos: fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b fog(x) = acx + ad + b gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d gof(x) = cax + cb + d Como o problema exige que gof = fog, fica: acx + ad + b = cax + cb + d Simplificando, vem:ad + b = cb + d ad - d = cb - b d(a - 1) = b(c - 1), que equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta a letra A. 2 - Sendo f e g duas funes tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x ento f(x) : a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5 d) 5 - 2x e) uma funo par. SOLUO: Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1 Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1 Fazendo uma mudana de varivel, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova varivel. Portanto, x = 2 - u. Substituindo, fica: f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2u Portanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva alternativa D. 2 A funo f: R R , definida por f(x) = x : -1 a) inversvel e sua inversa f (x) = Ox -1 b) inversvel e sua inversa f (x) = -Ox c) no inversvel d) injetora e) bijetora SOLUO: J sabemos que somente as funes bijetoras so inversveis, ou seja, admitem funo inversa. Ora, a 2 funo f(x) = x , definida em R - conjunto dos nmeros reais - no injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f( f(-3) = 9. Somente por este motivo, a funo no bijetora e, em consequncia, no inversvel. Observe tambm que a funo dada no so sobrejetora, 2 pois o conjunto imagem da funo f(x) = x o conjunto + R dos nmeros reais no negativos, o qual no coincide com o contradomnio dado que igual a R.2

bvio ento que: a) para obter a funo inversa, basta permutar as variveis x e y. -1 b) o domnio de f igual ao conjunto imagem de f . -1 c) o conjunto imagem de f igual ao domnio de f . -1 d) os grficos de f e de f so curvas simtricas em relao reta y = x, ou seja , bissetriz do primeiro quadrante . Exemplos: 1 Determine a INVERSA da funo definida por y = 2x + 3. SOLUO: Permutando as variveis x e y, fica: x = 2y + 3 Explicitando y em funo de x, vem: 2y = x - 3 \ y = (x 3) / 2, que define a funo inversa da funo dada. O grfico abaixo representa uma funo e a sua presenta inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f so simtricas em relao reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.-1

Funo Inversa Dada uma funo f:AB , se f bijetora , ento defineB ent -1 se a funo inversa f como sendo a funo de B em -1 A , tal que f (y) = x . Veja a representao a seguir:

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Apostila de Clculo ZeroA alternativa correta a letra C. Exerccios 3 4 1) Se f(x) = x e g(x) = x , mostre que fog(x) = gof(x). 2. (METODISTA) Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f( x ) = x/3 - 2, ento : a) g(x) = 9x - 15 b) g(x) = 9x + 15 c) g(x) = 15x - 9 d) g(x) = 15x + 9 e) g(x) = 9x 5 3. (METODISTA) O domnio da funo real f(g(x)), 1/2 2 -1 sabendo-se que f(x) = x e g(x) = (x + x)(x + 2) : 1/2 a) D = {x R / x -2} b) D = {x R/ x 0 e x -2} c) D = {x R / -2 < x -1 ou x 0} d) D = {x R / 2 x -1 ou x 0 } e) D = {x R / -2 < x < -1 ou x 0} 4. (CESGRANRIO) Para cada inteiro x > 0, f(x) o nmero de divisores de x e g(x) o resto da diviso de x por 5. Ento g(f(45)) : a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0 5. (FGV) Considere as funes f(x) = 2x + 1 e g(x) = x - 1. Ento as razes da equao f(g(x)) = 0 so: ) a) inteiras b)negativas c)racionais d)inversas e)opostas2 2

11. (MACK) Se f(g(x)) = 2x - 4x + 4 e f(x - 2) = x + 2, ento o valor de g(2) : a) -2 b) 2 c) 0 d) 3 e) 5 12. (ANGLO) Sendo f(x) = x - 1 e g(x) = x + 2, ento o conjunto soluo da equao f(g(x)) = 0 : a) {1, 3} b) {-1, -3} 3} c) {1, -3} d) {-1, 3} e) { } 13. (ANGLO) Sendo f e g funes de R em R, tais que 2 f(x) = 3x - 1 e g(x) = x , o valor de f(g(f(1))) : a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 14. (MACK) Os grficos das funes reais definidas por x f(x) = x - 1 e g(x) = k , 1 k > 0, se interceptam num ponto de abscissa 3. Ento o valor de f(g(k)) : a) 3 b) 9 c) 12 d) 15 e) 18 15. (MACK) Dadas as funes reais definidas por f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = 3x, ento o valor de k tal que g(f(k)) = 4 : a) 1/4 b) 4/5 c) 2 d) 3 e) 7/6 16. (MACK) Se f(x) = mx + n e f(f(x)) = 4x + 9, a soma dos possveis valores de n : a) 6 b) 12 c) 6 d) 18 e) 12 17 (MACK-02) Se x >1 e f (x) = x / (x 1), ento f(f(x + 1)) igual a: a) x + 1 b) 1 / (x 1) c) x 1 d) x / (x 1) e) (x + 1) / (x 1) 18. (PUC) Se f e g so funes definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = x + m x + n, com m 0 e n 0, ento a soma das razes de fog a) m b) m c) n d) n e) m.n 19. (UFV) Se f e g so funes reais tais que f(x) = 2x 2 e f(g(x)) = x + 2, para todo x xR, ento g(f(2)) igual a: a) 4 b) 1 c) 0 d) 2 e) 3 20. (MACK) Na figura, temos os esboos dos grficos x das funes f e g, sendo f(x) = a . O valor de g(g (-1)) + f(g(3)) :2

2

6. (ITA) Sejam f(x) = x + 1 e g(x) = x - 1 duas funes reais. Definimos a funo composta de f e g como sendo gof(x) = g(f(x)). Ento gof(y - 1) igual a: 2 2 2 2 a) y - 2y + 1 b) (y - 1) + 1 c) y + 2y - 2 d) y 2 2y + 3 e) y 1 7. (UEL) A funo de R em R definida por f(x) = mx + p. Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, ento f(f(18)) igual: 10, a) -2 b) -1 c) 1 d) 4 e) 5 8. (FCG) As funes f e g, de R em R, so definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), ento f(m) um nmero: a) primo b) negativo c) cubo perfeito d) menor que 18 e)mltiplo de 12 9. (MACK) Seja f: R R uma funo definida por y = f(x). Sabendo-se que f(0) = 3, f(1) = 2 e f(3) = 0, o valor de x se tal que f(f(x+2)) = 3 : a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 10. (PUC-SP) Se f(x) = 3x - 4 e f(g(x)) = x + 4, ento g(1) vale: a) -2 b) 0 c) 1 d) 3 e) 5

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Apostila de Clculo Zeroa) 1 e) 5/2 21. (UFV) Sejam as funes reais f e g tais que f(x) = 2x + 1 e (fog)(x) = 2x - 4x+1. Determine os valores de x para os quais g(x) > 0. 22. (PUCPR) Seja y = f(x) uma funo definida no intervalo [-3; 6] conforme indicado no grfico. 3; Deste modo, o valor de f(f(2)) : 26. (PUC-SP) Sejam f e g funes de R em R definidas SP) por f(x) = x + 1 e g(x) = 1 - x. Relativamente ao grfico da funo dada por g(f(x)), correto afirmar que: a) tangencia o eixo das abscissas. b) no intercepta o eixo das abscissas. c) contm o ponto (-2; 0). 2; d) tem concavidade voltada para cima. e) intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0; -1). 27. (UEL) Se f e g so funes de R em R tais que f(x) = 2x - 1 e f(g(x)) = x - 1, ento g(x) igual a: a) 2x + 1 b) (x/2) - 1 c) x/2 d) x + 1 e) x + (1/2) 28. (MACK) As funes reais f e g so tais que f(g(x)) = x - 6x + 8 e f(x - 3) = x + 5. Se g (k) o menor possvel, ento k vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 b) 2 c) 3 d) 3/2 a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

a) 3 e) 1

b) 0

c) -3

d) -1/2

23. (UEL) Com respeito funo f: R R, cujo grfico est representado abaixo, correto afirmar:

29. (UFMG) Para funo f(x) = 5x + 3 e um nmero b, tem-se f(f(b)) = - 2. O valor de b : a) -1 b) -4/5 c) -17/25 d) -1/5 30. (UFMG) Para um nmero real fixo , a funo f(x) = x - 2 tal que f(f(1)) = -3. O valor de : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 31. (MACK) No esquema, f e g so funes, respectivamente, de A em B e de B em C.

a) (f o f)(-2) = 1 d) (f o f)(-1) = 0 f)(-2) = -1

b) (f o f)(-1) = 2 e) f(-2) = 1

c) (f o

24. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condies ambientais de uma comunidade, com uma a populao p, em milhares de habitantes: - C, a taxa mdia diria de monxido de carbono no ar, em partes por milho, corresponde a C(p) = 0,5 p + 1; - em um determinado tempo t, em anos, p ser igual a 2 p(t) = 10 + 0,1 t . Em relao taxa C: a) expresse-a como uma funo do tempo; a b) calcule em quantos anos essa taxa ser de 13,2 partes por milho. 25. (UFMG) Duas funes, f e g, so tais que f(x) = 3x 1 e f[g(x)] = 2 - 6x. Nessas condies, o valor de g( g(-1) :

Ento: a) g(x) = 6x + 5 = 3x + 2 d) f(x) = 8x + 6

b) f(x) = 6x + 5 e) g(x) = (x - 1)/2

c)

g(x)

32. (MACK)Na figura, temos os esboos dos grficos das funes f e g.

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Apostila de Clculo ZeroExemplos: f(x) = -2x f(x) =1/5x f(x) = 3x

(a= -2, b = 0) 2, (a =1/5, b=0) (a = 3 , b = 0)

Grfico: reta que passa pela origem (0,0) A soma f(g(1)) + g(f (1)) igual a: a) 1 b) 2 c) 0 e) 1

d) 3

Resposta: 2) A 3) C 4) D 5) E 6) A 7) D 8) D 9) B 10) D 11) C 12) B 13) B 14) D 15) E 16) C 17) A 18) B 19) E 20) C 21) 21/2 22) E 23) B 24) a) C(p(t)) = 6 + 0,05 t b) 12 anos 25) A 26) C 27) C 28) D 29) B 30) A 31) C 32) B )

2) Funo constante

17 FUNO DO 1 GRAU OU FUNO AFIMFuno de 1 grau, : a e b 0.

, tal que f(x)=ax+b, em que

a: coeficiente angular b: coeficiente linear Grfico: reta que cruza o eixo y no valor de b e o eixo x no valor de .

f: IR IR definida por f(x) = b para todo x IR. Nesse caso, a = 0. Exemplos: f(x) = 3 f(x) = -2 f(x) = 2 f(x) = Observao: Foi dedicado um tpico somente para a funo constante. 3) Funo identidade f: IR IR definida por f(x) = x para todo x IR. Nesse caso, a = 1 e b = 0. um caso particular da funo afim e suas principais caractersticas so: Domnio: D = R Imagem: Im = R O grfico da funo identidade a bissetriz dos quadrantes mpares, isto , 1 e 3 .

Exemplos: 1) f(x) = 2x + 1 (a = 2, b = 1) 2) f(x) = -x + 4 (a = -1, b = 4) 3) f(x) = 1/3x + 5 (a = 1/3 , b = 5) 4) f(x) = 4x (a = 4, b = 0) Valor de uma funo afim Na funo afim f(x) = 5x + 1, podemos determinar: f(1) = 5 1 +1 = 5 + 1 = 6. Logo, f(1) = 6. f(-3)=5(-3) + 1 = -15 + 1 = -14. Logo, f(- = -14. -3) Casos particulares importantes da funo afim 1) Funo linear f: R R definida por f(x) = ax para todo x R. Nesse caso, b = 0.

4) Translao f: IR IR definida por f(x) = x + b para todo x IR. Nesse caso, a = 1 e b 0. Exemplos: f(x) = x + 2

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Apostila de Clculo Zerof(x) = x - 3 f(x) = x + 1/2 f(x) = x 3/5 Exerccios 1) Classifique as funes abaixo em afim, linear, identidade, constante e translao a. f(x) = 5x + 2 b. f(x) = -x + 3 x c. f(x) = 7 d. f(x) = x e. f(x) = 3x f. f(x) = x + 5 g. f(x) = -3 h. f(x) = 1/7x i. f(x) = x/2+1/3 j. f(x) = 2 3x 2x 2) Dada a funo f(x) = -2x + 3, determine: a. f(1) b. f(0) c. f( ) d)f( ) 3) Dada a funo afim f(x) = 1 - x calcule. a. f(0) b. f(-1) 4) Determine o que se pede. a. Sabendo que f(x+1) = 2x, calcule f(4). bendo b. Dada a funo f(5x -1) = x - , calcule f(0). 5) Sendo f(x) = 3x 4 e g(x) = 2x + 1, determine os valores reais de x para que se tenha f(x) < g(x). 10) Escreva a funo af f(x) = ax + b, sabendo que: afim a. f(-1) = 7 e f(2) = 1 b. f(2) = -2 e f(1) = 1 11) Dada a funo f(x) = ax + b e sabendo que f(3) = 5 e f(-2) = -5, calcule f . 12) Dada a funo f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22. 13) Construa, num sistema ortogonal, o grfico das seguintes funes, dizendo em cada caso se a funo crescente ou decrescente: a. f(x) = x + 2 b. f(x) = - x + 2 c. f(x) = 1 + 2x 14) Faa o grfico das funes f(x) = x, g(x) = x + 1 e h(x) = x 2. 15) Construa o grfico das funes f(x) = x e g(x) = -x nstrua no mesmo plano cartesiano. 16) Escreva a funo f(x) = ax + b cujo grfico, num sistema cartesiano ortogonal, dado por:

6) Dada a funo afim f(x) = 2x + 3, determine os valores reais de x para que: a. f(x) = 1 b. f(x) = 0 c. f(x) = d. f(x) = 0,75 7) Na produo de peas, uma indstria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo varivel de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo x o nmero de unidades produzidas: a. Escreva a lei da funo que fornece o custo total de x peas; b. Calcule o custo de 100 peas; c. Escreva a taxa de crescimento da funo. 8) Uma pessoa tinha no banco um saldo positivo de R$ 560,00. Aps um saque no caixa eletrnico que fornece apenas notas de R$ 50,00, expresse a lei da funo que fornece o novo saldo, que dado em funo do nmero x de notas retiradas. 9) Determine o valor da funo afim f(x) = -3x + 4 para: a. x = 1 b. x = c. x = 0 d. x = 1,5 e. x = k +1 f. x = a + b

17.1 Zero da funo de 1 grauZero da funo o valor de x para o qual a funo igual a zero. y = f(x) = 0 Observaes Para a funo afim, o zero da funo dado por ax + b =0x= . No caso da funo linear, o zero da funo x = 0. A funo constante no possui zero da funo ( a reta no cruza o eixo x).

Exemplos: 1. Obteno do zero da funo f(x) = 2x 5. eno Para encontrarmos o zero (raiz), devemos fazer funo igual a zero:

38

Apostila de Clculo Zerof(x) = 0 2x 5 = 0 x = . Logo, a raiz da funo, ou zero, igual a . g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = x = -2 Logo, a raiz da funo igual a - 2. 2. Clculo da raiz da funo g(x) = 3x + 6: Exemplos: 1) Determine o intervalo das seguintes funes para que f(x)>0, f(x) = 0 e f(x)0 x>-1 Logo, f(x) ser maior que 0 quando x> x>-1 x+1=0 x=-1 Logo, f(x) ser igual a 0 quando x= x=-1 x+1 g(x) para 0 < x < 2. b) f(x) = g(x) para x = 4. c) g(x) > f(x) para 0 < x < 1. d) f(x) > g(x) para x > 10. e) f(x) > g(x) para qualquer valor de x. 30-(PUCCAMP)A soma e o produto das razes de uma (PUCCAMP)A funo do 2 grau so, respectivamente, 6 e 5. Se o valor mnimo dessa funo -4, ento seu vrtice o 4, ponto a) (3, -4) b) (11/2, -4) c) (0, -4) 4) d) ( 3) (-4; e) (-4, 6) 31-(PUCRIO) O nmero de pontos de interseco das (PUCRIO) duas parbolas y=x e y=2x -1 : a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 32-(UFV) O grfico da funo real f definida por (UFV) f(x)=ax+bx+c, com a < 0, passa pelos pontos ( s (-1,10) e (0,5). Logo o conjunto de todos os valores possveis de b : a) {b IR | b -4} b) {b IR | b < -5} c) {b IR | b -3} d) {b IR | b -2} IR e) {b IR | b -1} b) 2/9 c) - 1/4 d) 1/4 33-( UFMG-01) Nessa figura, esto representados os 01) grficos das fun funes

f(x) = x/2 e g(x) = 3x - 5. Considere os segmentos paralelos ao eixo y, com uma das extremidades sobre o grfico da funo f e a outra extremidade sobre o grfico da funo g. Entre esses segmentos, seja S o que tem o menor comprimento. Assim sendo, o comprimento do segmento S a) 1/2 b) 3/4 c) 1 d) 5/4 34-(UNIFESP-02) O grfico da funo f(x) = ax + bx + 02) c (a, b, c nmeros reais) contm os pontos (-1, ( -1), (0,-3) e (1, -1). O valor de b : a) -2. b) -1. c) 0. d) 1 e) 2. 35-(PUCCAMP-01) Considere a funo dada por y=3t 01) -6t+24, na qual y representa a altura, em metros, de um 6t+24, mvel, no instante t, em segundos. O valor mnimo dessa funo ocorre para t igual a a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 36-(PUCCAMP-01) (Considere a fun 01) funo dada por y=3t-6t+24, na qual y representa a altura, em metros, 6t+24, de um mvel, no instante t, em segundos. O ponto de mnimo da funo corresponde ao instante em que a) a velocidade do mvel nula. b) a velocidade assume valor mximo. c) a acelerao nula. d) a acelerao assume valor mximo. e) o mvel se encontra no ponto mais distante da origem. 37-(PUCPR-01) O grfico da funo definida por f(x) = 01) x + bx + cos 8 /7:, x R a) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos positivos. b) intercepta o eixo das abscissas em exatamente 2 pontos negativos. c) intercepta o eixo das abscissas em 2 pontos de sinais diferentes. d) intercepta o eixo das abscissas na origem. e) no intercepta o eixo das abscissas. 38-(UFAL) O grfico da funo quad (UFAL) quadrtica definida por f(x)=4x+5x+1 uma parbola de vrtice V e intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A rea do tringulo AVB

44

Apostila de Clculo Zeroa) 27/8 b) 27/16 c) 27/32 d) 27/64 e) 27/128 39-(UFES-00) O grfico da funo y = x - 1 00) transladado de 3 unidades na direo e sentido do eixo es x e de 1 unidade na direo e sentido do eixo y. Em seguida, refletido em torno do eixo x. A figura resultante o grfico da funo a) y = -(x + 3) b) y = -(x - 3) c) y = - + 3) - 2 -(x d) y = (x - 3) - 2 e) y = (x + 3) 40-(PUCPR-04) O grfico de uma funo do segundo 04) grau tem seu eixo de simetria na reta x = 3, tem uma raiz igual a 1 e corta o eixo dos y em y = 25, ento seu conjunto imagem : a) [-20, [ b) [20, [ c) ]- , -20] d) ]- , 20] e) ]- , 25] 41-(UFMG-04) O intervalo no qual a funo f(x) = x 04) 6x + 5 crescente : a) x < 5 b) 1 < x < 5 c) x > 1 d) x > 3 42-(UFSM-03) A parbola P representada na figura o ntada grfico de uma funo quadrtica f. Se y = g(x) for outra funo quadrtica cujas razes sejam as mesmas de f e se o vrtice do grfico dessa g for simtrico ao vrtice de P com relao ao eixo 0x, ento g( g(-1) vale A 30)A 31)C 32)B 33) A 34)C 35)D 36)A 37)C 38)E 39)B 40)A 41)D 42)A 43)B

19 FUNO MODULARReviso:

19.1 Mdulo (ou valor absoluto) de um nmero:O mdulo (ou valor absoluto) de um nmero real x, que se indica por |x| definido da seguinte maneira: , 0 , 0

Ento, se x positivo ou zero, | x | igual ao prprio x. Exemplos: a) | 2 | = 2;| 1/2 | = ;| 15 | = 15 Ento, se x negativo, | x | igual a -x. b) | -2 | = -(-2) = 2;| -20 | = -(-20) = 20 2)

O mdulo de um nmero real sempre positivo ou lo nulo. O mdulo de um nmero real nunca negativo. Representando geometricamente, o mdulo de um nmero real x igual a distncia do ponto que representa, na reta real, o nmero x ao ponto 0 de origem. Assim: a) 8 e) 8 b) 6 c) 0 d) 6 Se |x| < a (coma > 0) significa que a distncia a entre x e a origem menor que a, isto , x deve estar entre a e a, ou seja, |x|< a a < x < a. ,

43-(MACK-03) Se a figura mostra o esboo do grfico 03) de f(x)= ax + 2bx + c, ento os nmeros a, b e c sempre so: Se |x| > a (com a > 0) significa que a distncia entre x e a origem maior que a, isto , deve estar direita de a ou esquerda de a na reta real, ou seja: |x| > a x > a ou x b > c. GABARITO 1) E 2) C 3) D 4) A 5)B 6) A 7) E 8)D 9)C 10)A 11)D 12) C 13)D 14)C 15)C 16)A 17)A 18) a) 4x + y+8=0 b) y = - x + 2x c) x = -1 19)D 20)D 21)C 22)E 23) 93 24)A 25)A 26)C 27)E 28)B 29)

19.2 Equaes modularesToda equao que contiver a incgnita em um mdulo num dos membros ser chamada equao modular. Exemplos: 2 a)| x -5x | = 1 2 b)| x+8 | = | x -3 | Algumas equaes modulares resolvidas:

45

Apostila de Clculo Zero1)Resolver a equao | x -5x | = 6. Soluo: Temos que analisar dois casos: caso 1:x2-5x = 6 caso 2:x2-5x = -6 Resolvendo o caso 1: x2-5x-6 = 0=>x=6 e x=-1. Resolvendo o caso 2: x2-5x+6 = 0=>x=3 e x=2. Resposta: S={-1,2,3,6}2

Poderia tambm fazer: 3 = -13 ou ainda = -10, o que acarreta em soluo vazia, no 10, campo dos nmeros reais. 6: |

2)Resolver a equao | x-6 | = | 3-2x |. Soluo: Temos que analisar os dois casos: caso 1:x-6 = 3-2x caso 2:x-6 = -(3-2x) Resolvendo o caso 1: x-6 = 3-2x=>x+2x = 3+6=>3x=9=>x=3 Resolvendo o caso 2: -3 x-6 = -(3-2x)=>x-2x = -3+6=>-x=3=>x=Resposta: S={-3,3}

7: | | - 5| | + 6 = 0 2 Troca-se | | por y: y 5y + 6 = 0 y = 2 ou y=3 Assim que encontramos os valores para y, retornamos em | |, para encontramos o valor de , . | |=2x=2 | |=3x=3 3| + | 2| = 4

3| = 2x - 5 x + 3 = 2x 5 x = 5 + 3 x = 8 - x - 3 = 2x - 5 3x = 5 3 x = 2/3 (esta soluo no serve, pois o resultado de um mdulo, no caso 2x 5, deve ser maior ou igual a zero 2x 5 0 x 5 / 2 ), logo teremos: S = {8}

8: |

x + 3 + x 2 = 4 2x = 3 x = 1,5 (no serve, pois x deve ser maior que 2)

Outros exemplos: 2: | 1: | | = 7 1| = 5 x+1=5 x=51x=4 -x-1=5x=-5-1x=-6 Observao: Esta segunda parte poderia tambm ser resolvida como: x + 1 = -5 ou x = -6. 3: |2 3| = 4 2x - 3 = 4 2x = 4 + 3 x = 7/2 - 2x + 3 = 4 -2x = 4 - 3 x = -1/2 ou ento fazendo 2 x 3 = -4, que gera 2x = -1 ou x = 4, 1/2. x = 7 ou x = -7

x + 3 - x + 2 = 4 0x = -1 impossvel - x 3 x + 2 = 4 -2x = 5 x = -2,5 (no serve, pois x deve ser menor que -3) Soluo vazia.

19.3 Inequaes modularesChamamos de inequaes modulares as inequaes nos quais aparecem mdulos de expresses que contm a incgnita. Algumas inequaes modulares resolvidas: 1) D o conjunto soluo da equao |x - 2x + 3|=4. Soluo: 2 2 | x - 2x + 3|=4 -4= x - 2x + 3 =4. 4= Ento temos duas inequaes (que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo): 2 Eq.1: -4= x -2x+3 2 Eq.2: x -2x+3=4 Resolvendo a Eq.1: 2 2 2 2 -4= x - 2x + 3 => -4-3 = x - 2x => -7 = x - 2x => x - 2x 3 + 7 = 0=> sem razes reais. Resolvendo a Eq.2: 2 x -2x+3 = 42

4: |5 5: | = 4

1| = - 8 Esta equao no possui soluo uma vez que no possvel que o mdulo resulte num nmero negativo (-8). 3| = 13 - 3 = 13 = 13 + 3 = 16 x = = -10 S

-

+ 3 = 13

= -13 + 3

46

Apostila de Clculo ZeroAplicando Bhskara encontramos as razes x= 1 o 1-2 e x= 1+2 Soluo: S= /1 2 x 1 2 Por exemplo, se x=-3, teramos: 3, 3 3 o que um absurdo, pois o primeiro membro positivo e o segundo negativo. Usando a defini de mdulo, definio podemos escrever: | | o que verdadeiro para todo x real. Devemos proceder da mesma forma em relao a todas razes de ndice par:

Outros exemplos: 1: | | > 3 x>3 -x > 3 x < -3 A soluo ser a unio desses dois intervalos:

2: | |

S=

3 x 3 -x 3 x -3 A soluo ser a interseo desses dois intervalos:

/

3

3

19.5 Funo modularChamamos de funo modular a funo f(x)=|x| definida por: , 0 , 0 Observe, ento, que a funo modular uma funo definida por duas sentenas. Exemplos: 1: f(x) = | |.

S= 3: |2

5| < 6 2x - 5 < 6 2x < 11 x < 5,5 -2x + 5 < 6 -2x > 1 x > -1/2 1/2 A soluo ser a interseo desses dois intervalos:

/ 3

3

Para ser efetuada a construo grfica, a funo modular ser desmembrada em duas: , , 0 0

4: |

S=

7 -2 7 - 9 0 x -3 ou x - +2 7- 5 0x A soluo ser a unio desses dois intervalos:

2|

/ 0,5

5,5

Observe que a funo que estava dentro do mdulo (no caso a funo identidade y = x) foi mantida para valores de y positivos (acima do eixo x). J para valores negativos de y (abaixo do eixo x) a funo foi rebatida em relao ao eixo x. Foi obtida uma nova funo (y = -x) simtrica anterior em y relao ao eixo x.

3

S=

/

3

3

D=R Im= R+ Resumindo: a parte da funo que estava em baixo do eixo x foi refletida para cima do eixo x. Essa idia valer para todas as funes modulares. Daqui em diante, o grfico da funo modular ser construdo usando tal idia. 2: f(x) = | 3, 3, 3|. As funes equivalentes sero: 3 3

19.4 Mdulo e raiz quadradaConsideremos os nmeros reais x e y. Temos por 2 definio que , se e somente se, y =x. Da podemos concluir que . Se tivermos x 0 para valores de x maiores a 0) ou iguais a 2, uma reta constante para x entre -3 e 2 e uma reta decrescente ( < 0) para valores de x (a menores que -3.

O grfico mudou de inclinao uma vez que o coeficiente angular (a = 2) da funo de primeiro grau ) que est dentro do mdulo foi aumentado em relao s anteriores.

D=R

e

Im= R+

48

Apostila de Clculo ZeroExerccios 1) Construir o grfico da funo definida em R. , 2) Construa o | 3 2|. 3) Construa | 2 | o 2, 2, 2 da 2 2 2

1)

grfico grfico 2.

funo

da

funo | 4|

4) Construa o grfico da funo | 2| a) |3 b) |2 c) | 1| 3| 4 1| 2 1 5| 2

2)

5) Resolver as seguintes equaes em R:

6) Resolver em R as seguintes equaes: a) |4 b) | |2 3| 0 5| |4 1| 1 3| 3)

a) |2 b) |2 a) |4 b) |4

7) Resolver as seguintes equaes em R: 5| 15 2 3

8) Resolver em R as inequaes abaixo: 3 | 7| 5 1

4) 5) a) S= 6) a) S= 7) a) S= 2,4 8) a) S=

,1 ,2 /

b) S= b) S= b) S=

a) | b) | a) | b) |

a) | 5 5| 1 b) 2 10) Resolver em R as seguintes inequaes: 1| 3 7 0 4 | 3 6 0 | | 4| 3| 1

9) Resolver em R as inequaes abaixo:

11) Resolver as seguintes inequaes em R: 2| 2| 4 3

9) a) S= /1 b) S= 10) a) S= / b) S= /3 11) a) S= b) S= /

3 6

/ 5

2

3

6, 13 3

6, 1,1,4

a) S= 1,3

b) S= R 1 4

Respostas:

3

7

20 FUNO EXPONENCIALFuno exponencial toda equao que contm variveis no expoente. Para resolv resolv-la devemos

49

Apostila de Clculo Zerotransformar a equao em uma igualdade de mesma base. Para resolver equaes exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1) reduo dos dois membros da equao a potncias o de mesma base; 2) aplicao da propriedade: 0 0 Condio de existncia da funo exponencial: : , 0 1 Se a>1, a funo crescente. 2) y=(1/2) CE: Nesse caso, a = , logo 0 < a < 1. Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o grfico:x

Se 0 < a < 1, a funo decrescente.

1) Propriedades de potenciao . , 0

Domnio: D = R Imagem: Im = Observaes: a) o grfico nunca intercepta o eixo horizontal; a funo no tem razes; b) o grfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); c) os valores de y so sempre positivos (potncia de base positiva positiva), portanto o conjunto imagem Im = . Grfico: Temos dois casos a considerar: 1) quando a>1 2) quando 0 < a < 1 Exemplos: x 1) y=2 Condio de Existncia (CE) :Nesse caso a=2, logo a > 1. Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o grfico:

2) Equao exponencial toda equao cuja incgnita est no expoente de uma potncia: Exemplos: x 1) 3 =81 Soluo: 4 x 4 Como 81=3 , podemos escrever 3 = 3 E dai, x=4. 2) 9 = 1 Soluo: x x 0 9 = 1 9 = 9 Logo x = 0. 3) Soluo:x

1

,

.

0

50

Apostila de Clculo ZeroLogo: x = 4 4) 3 27 Soluo: 32 5) 2 Soluo: Da: 3x 1 = 10, de onde x = 1) 6) Resolva a equao Soluo: Vamos resolver esta transformao:x

Portanto, S = R (Reais negativos) Observao: A funo exponencial uma das mais importantes x funes da matemtica. Descrita como e (onde e a constante matemtica neperiana, base do logaritmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma srie infinita; a segunda, como limite de uma seqncia: !

-

equao

atravs

de

uma

2)

lim

1

1

!

!

!

Fazendo 3 =y, obtemos:

Aplicamos Bhaskara encontramos y=-3 e y=9. 3 Para achar o x, devemos voltar os valores para a x equao auxiliar 3 =y, logo:

Exerccios: 1) (UFMG) O conjunto de todos os valores de x que satisfazem a equao abaixo : 1 10 3 3 3 a) vazio b) zero c) 1 e 1 d) 3 e 1/3 2) (UFMG) Na figura, esto representados os grficos das funes 2 e 2 A afirmativa correta : a) b 0 Da primeira equao temos: log x + log y = 7 log y = 7 - log x Substituindo log y na segunda equao temos: 3.log x 2.(7-log x)=1 3.log x-14+2.log x = 1 5.log 3 x = 15 log x = 3 x = 10 log Substituindo x = 10 em log y = 7 - log x temos: 3 4 log y = 7- log 10 log y = 7 log y = 4 y = 10 . 7-33

Se 0 < a < 1, f decrescente

A funo

admite a inversa, que f =a

-1

x

Como essas razes satisfazem as condies de 3 4 existncia, ento o conjunto soluo S={(10 ; 10 )}.

21.2 Inequao logartmica toda inequao cuja incgnita est no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos: 1) log2 x > 0 (a soluo x > 1) 2) log2(x+2) > log2 8 Soluo: Condies de existncia: (S1) x+2 > 0, ou seja, x > -2 (S2) Como a base (2) e maior que 1, temos: x+2 > 8 e, dai, x > 6 Portanto a soluo final a interseco de S1 e S2:

21.1 Equao logartmica toda equao cuja incgnita est no logaritmando, na base ou em ambos. Exemplos: 1) log3x = 5 (a soluo x = 243) 2) log(x -1) = log 3 (as solues so x= e x=2) 1) x=-2 3) log2(x+3) + log2(x-3) = log27 (a soluo x=4) 4) log x+1(x -x)=2 (a soluo x=-1/3) 5) log3(x+5) = 2 Soluo: Condio de existncia: x+5 > 0 x > -5 log3(x+5) = 2 x+5 = 32 x=9-5 x=42 2

O conjunto soluo S=S1 S=S1S2 = {x R| x > 6}. 3) log2 (log3 x) 0 Soluo: Condies de existncia: X > 0 e log3 > 0

53

Apostila de Clculo ZeroComo log21=0, a inequao pode ser escrita assim log2 (log3x) log21 Sendo a base (2) maior que 1, temos: (log3x 1. Como (log33 = 1, ento, (log3x (log33 e, dai, x 3, porque a base (3) maior que 1. As condies de existncia esto satisfeitas, portanto S={x E R| x 3} Exerccios 1)(F.G.V - 72) Seja x o numero cujo logaritmo na base 3 2 9 vale 0,75. Ento x 1 vale: R: 2 77) 2)(PUC-SP-77) O numero, cujo logaritmo na base a 4 e na base a/3 8, : R: 6561 3) (U.MAC.-75) O logaritmo de 144 no sistema de base 75) 23 igual a: R: 4 4) (PUC-SP-80) Se x + y = 20 e x y = 5, ento log10(x 2 y ) igual a: R: 2 5) (U.MACK.-77) O valor de A tal que 4 77) : R: 3 1log A 2 2

13) (CESGRANRIO-85) Se log a = 0,48 e log b = 0,3, 85) ento log a/b : R: 0,18 66) 14) (FEI-66) A soma dos logaritmos de dois nmeros na base 9 e 0,5. O produto desses nmeros : R: 3

22 TRIGONOMETRIAA trigonometria possui uma infinidade de aplicaes prticas. Desde a antiguidade j se usava da trigonometria para obter distncias impossveis de serem calculadas por mtodos comuns. Algumas aplicaes da trigonometria so: Determinao da altura de um certo prdio.

+ 2A 2 = 0

6) (PUC-SP-77) Se loga x = n e loga y = 6n, ento, 2 loga3x y igual a: R: 2/3.n + 1/3.n 7) (EPUSP-67) Se log2 (a b) = 16 e (a + b) = 8, ento, 2 2 log2(a b ) igual a: R: 7 8) (PUC-SP-79) Se log a + log b = p, ento log 1/a + 79) log1/b vale: R: - p 9) (UFBA-81) Sendo log 2 = 0,3 e x = 64, ento o log x 81) e: R: 1,8 10) (PUC-SP-79) Se log102 = 0,3, ento log105 igual a: R: 0,7 11) (CESCEA-75) Sabendo que log 2 = 0,3, determinar 75) o valor da expresso log 25 R: 1,4 12) (EAESP-FGV-80) Sabendo-se que log102 = 0,3 e se log103 = 0,48, ento log100,6 igual a: R: 0,22

Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele mais fci fcil quando ele usa dos recursos trigonomtricos. Um cartgrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto possvel calcular com o uso d da trigonometria do tringulo retngulo. ngulo uma figura plana formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas chamamse lados do ngulo e o ponto de origem chama chama-se vrtice.

ngulo raso: ngulo de medida 180 (seus lados

formam uma reta).

ngulo reto: ngulo de medida 90.

54

Apostila de Clculo Zerongulo agudo: ngulo cuja medida est entre 0 e 90. em que um dos ngulos mede 90. O lado que fica oposto ao ngulo de 90 chamado de hipotenusa, enquanto os lados que f formam o ngulo de 90 so os catetos.

ngulo obtuso: ngulo cuja medida est entre 90 e

180. ngulos congruentes: ngulos de mesma medida

(smbolo ). ngulos Complementares: par de ngulos cuja soma

Tomando um ngulo a como referncia neste tringulo, nota-se que um dos catetos ficar na frente se desse ngulo, e chamado de cateto oposto, enquanto o outro cateto, cujo lado est junto desse ngulo, chamado de cateto adjacente. Para facilitar as demonstraes chamamos de: a a medida da hipotenusa b a medida do cateto oposto ao ngulo c a medida do cateto adjacente ao ngulo

das medidas 90 ngulos suplementares: par de ngulos cuja soma das medidas 180.

Simplificando:

ngulos adjacentes: ngulos que possuem um lado comum e as regies determinadas por eles no tem

Agora, tomando como referncia, os valores de seno, cosseno e tangente mudam, pois o lado c passa a ser o cateto oposto e o lado b o cateto adjacente ao ngulo .

mais pontos comuns.

22.1 Funes trigonomtricas bsicasAs Funes trigonomtricas bsicas so relaes entre as medidas dos lados do tringulo retngulo e seus ngulos. As trs funes bsicas mais importantes da trigonometria so: seno, cosseno e tangente. As definies dos valores de seno, cosseno e tangente tomam como referncia a relao entre as medidas dos lados de um tringulo retngulo, ou seja, um tringulo

No tringulo, os ngulos de 30 45 e 60 so , considerados notveis, pois esto presentes em diversos clculos. Por isso seus valores trigonomtricos ersos correspondentes so organizados em uma tabela, veja:

55

Apostila de Clculo ZeroArco geomtrico: uma das partes da circunferncia : delimitada por dois pontos, incluindo-os incluindo

Nas situaes envolvendo outros ngulos, os valores trigonomtricos podem ser obtidos atravs do uso de uma calculadora cientfica, que dispe das teclas sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente). Outra opo seria dispor de uma tabela trigonomtrica. Para o clculo dos valores trigonomtricos envolvendo ngulos obtusos podemos utilizar das seguintes definies: sen x = sen (180 x) cos x = cos (180 x) Exemplo: Obtenha o valor de seno de 120 e cosseno de 120. sen 120 = sen (180 120) sen 120 = sen 60 = 120 0,8660 cos 120 = cos (180 120) cos 120 = cos 60 120 = 0,5000

ngulo central: todo arco de circunferncia tem um : ngulo central relacionado.

22.3 Arcos de uma volta 22.2 Unidades de Medidas de arcos:Grau: a unidade usada quando dividimos uma : circunferncia em 360 partes congruentes. Cada parte um arco de um grau (1). : Radiano: um arco de um radiano (1 rad) aquele cujo comprimento igual ao raio da circunferncia. Um arco de 180 e r