CALENTADOR DE TANQUE AGITADO.

Después de estudiar este módulo, el lector debe ser capaz de:

Desarrollar el modelo dinámico del calentador de tanque agitado perfectamente mezclado no lineal.

Encontrar la forma de espacio y la función de transferencia de estado de un calentador de tanque agitado linealizado.

Comparar las respuestas dinámicas de los modelos no lineales y lineales. Utilizar MATLAB para simulaciones lineales y no lineales. Analizar el comportamiento de fase plana.

M5.1 INTRODUCCION.

Recipientes de mezcla se utilizan en muchos procesos químicos. A menudo, estos recipientes de mezcla se calientan, ya sea por una bobina o una camisa que rodea el recipiente. Por ejemplo, un recipiente de mezcla puede servir como un reactor químico, en el que dos o más componentes se hacen reaccionar para producir uno o más productos. A menudo esta reacción debe ocurrir a una cierta temperatura para lograr un rendimiento deseado. La temperatura en el recipiente se mantiene mediante la variación de la velocidad de flujo de un fluido a través de la chaqueta o de la bobina.

Considere un calentador de tanque agitado, como se muestra en la figura M5.1, donde se recibe la corriente de entrada del tanque de otra unidad de proceso. El objetivo es elevar la temperatura de la corriente de entrada a un valor deseado. Un fluido de transferencia de calor se hace circular a través de una camisa para calentar el fluido en el tanque. En algunos procesos de vapor se utiliza como fluido de transferencia de calor y la mayor parte de la energía transportada es debido al cambio de fase de vapor de agua. En otros procesos se utiliza un fluido de transferencia de calor donde no hay cambio de fase. En este módulo se supone que ningún cambio de fase se produce tanto en el líquido del depósito de fluido o de la chaqueta.

Figura M5.1 Tanque agitado estafa camisa.

M5.2 DESARROLLANDO EL MODELO DINAMICO.

En esta sección escribimos las ecuaciones del modelo dinámico para encontrar las temperaturas de los tanques y de la chaqueta. Esta metodología fue desarrollada en el Capítulo 2 Hacemos los siguientes supuestos:

El volumen y líquidos son constantes con la densidad constante y la capacidad de calor.

Mezcla perfecta se asume tanto en el tanque y la chaqueta. El caudal de entrada del tanque, camisa de caudal, temperatura de entrada del

tanque, y secuestrada temperatura de entrada pueden cambiar (se trata de las entradas)

La tasa de transferencia de calor desde el alzado con el gato al depósito se rige por la ecuación Q = UA (TJ-T), donde U es el coeficiente global de transferencia de calor y A es el área para la transferencia de calor.

TABLA M5.1 NOTACION.

Variables SubíndicesA área de transferencia de calorCp Capacidad calorífica (energía/masa*temp)F Flujo de velocidad volumétrico(volumen/tiempo)ρ densidad(masa/volumen)T Temperaturat TiempoQ velocidad de transferencia de calor(energía/tiempoU Coeficiente de transferencia de calor(energía/tiempo*área*temp)V Volumeni entradaj chaquetaji entrada de la chaquetaref estado de referencias estado estable

M5.2.1 BALANCE DE MATERIA ALREDEDOR DEL TANQUE.

El primer paso es escribir un balance de materia alrededor del tanque, asumiendo densidad contante.

dmdt

=d mentradadt

−dmsalidadt

m=ρ ∙ v

dmdt

= ρ ∙dvdt

dVρdt

=F iρ−Fρ

También, asumiendo el volumen constante (dV/dt=0), encontramos:

F=Fi

M5.2.2 BALANCE DE ENERGIA ALREDEDOR DEL TANQUE.

El siguiente paso es para escribir un balance de energía en todo el tanque.

Acumulación= flujo de entrada- flujo de salida+ calor transferido + trabajo hecho sobre el sistema.

dT Edt

=F ρT Ei−FρT E+Q+W T

El siguiente paso es a descuidar la energía cinética y potencial y escribir el trabajo total realizado en el sistema como una combinación de la trabajo de eje y la energía añadida al sistema para obtener el líquido en el tanque y la energía que el sistema realiza en el entorno para forzar la salida de fluido. Esto nos permite escribir el balance energético como (véase el capítulo 2 para más detalles):

T E=puedeser en funciondecualquie r formade energia .

dUdt

=Fρ (U i+P iρi )−Fρ (U+ Pρ )+Q+W S

Y desde H=U + pV, nosotros podemos reescribir el balance de energía como:

dHdt

−dpVdt

=F ρ H i−FρH+Q+W S

Note que (dpV/dt)=(Vdp/dt+pdV/dt), y el volumen es constante. También, el cambio medio de presión puede ser descuidado ya que la densidad es constante:

dHdt

=F ρ H i−FρH+Q+W S

Dejar de lado el trabajo realizado por el impulsor de mezcla. y suponiendo fase simple y una capacidad de calor constante, encontramos:

H=cP(T−T 0)

H i=cP(T ref−T o)

H=cP(T−T ref )

(T−T ref )=T

(T ref−T o)=T i

Vρ cPdTdt

=Fρ cP(T i−T )+Q

dTdt

= FV

(T i−T )+ QVρcP

(M 5.1)

También hay que realizar un balance de materia y energía alrededor de la camisa y utilizar la relación de conexión para la transferencia de calor entre la camisa y el tanque.

M5.2.3 BALANCE DE MATERIA ALREDEDOR DE LA CAMISA.

El balance de materia alrededor de la camisa es (asumiendo la densidad contante):

dV j ρ jdt

=F ji ρ j−F j ρ j

Asumiendo el volumen constante (dV/dt=0), encontramos:

F j=F ji

M5.2.4 BALANCE DE ENERGIA ALREDEDOR DE LA CAMISA.

Siguiente, escribimos un balance de energía alrededor de la camisa. Haciendo los mismos supuestos que alrededor del tanque:

dT jdt

=F jV j

(T ji−T j)+Q

V j ρ j cP j(M 5.2)

También tenemos la relación de transferencia de calor de la chaqueta para el tanque:

Q=UA (T j−T )(M 5.3)

Sustituyendo (M5.3) dentro (M5.1) y (M5.2) se obtienen las dos ecuaciones de modelado para este sistema:

dTdt

= FV

(T i−T )+UA (T j−T )VρcP

(M 5.4)

dT jdt

=F jV j

(T ji−T j)+UA (T j−T )V j ρ j cPj

(M 5.5)

M5.3 CONDICIONES DE ESTADO ESTACIONARIO.

Antes de linealizar el modelo no lineal para encontrar la forma de espacio de estado, tenemos que encontrar los valores de las variables de estado en estado estacionario. El estado de equilibrio se obtiene mediante la resolución de las ecuaciones dinámicas para dx / dt = 0. Los valores de estado estacionario de las variables de sistema y algunos parámetros para este proceso se dan a continuación:

M5.3.1 PARÁMETROS Y VALORES DE ESTADO ESTACIONARIO.

Fs=1pie3/min ρCP=61,3 Btu/°Fpie3 ρjCpj=61,3 Btu/°Fpie3

Tis=50°F Ts=125°F V=10pie3

Tjis= 200°F Tjs=150°F Vj=1pie3

Tenga en cuenta que no se han especificado los valores de la UA y Fjs. Estos valores se pueden obtener mediante la resolución de las dos ecuaciones dinámicas ((M5.4) y (M5.5)) en el estado estacionario.

Desde dT / dt = 0 en estado estacionario, resolver (M5.4) para obtener UA = 183,9 Btu / ° Fmin. Desde dtj / dt = 0 en el estado estacionario, resolver (M5.5) para obtener Fjs = 1,5 pie3/min.

M5.4 MODELO ESTADO-ESPACIO.

Aquí estamos linealizar las ecuaciones del modelo no lineal para encontrar la forma de espacio de estado:

x=Ax+Bu

y=Cx

Cuando los vectores de estado, de entrada y salida están en desviación de:

x=A [ T−¿T sT j−¿T js]+B [ F j−¿F js

F−¿F sT i−¿T isT jin−¿T jins

][ T−¿T sT j−¿T j s]=C [ T−¿T s

T j−¿T js]x=[ T−¿T sT j−¿T js ]=Variables deestado

u=[ F j−¿F jsF−¿ F sT i−¿T isT jin−¿T jins

]=Variables deentraday=[ T−¿T s

T j−¿T js ]=Variables de salidaRecordemos que nuestras dos ecuaciones funcionales dinámicas son:

dTdt

=f 1(T ,T j , F j ,F ,T i ,T ji)=FV

(T i−T )+UA (T j−T )Vρc P

(M 5.4)

dT jdt

= f 1(T ,T j ,F j , F ,T i , T jin)=F jV j

(T ji−T j)+UA (T j−T )V j ρ j cPj

(M 5.5)

Los elementos de la matriz A espacio de estado se encuentran por:

Los elementos de la matriz B son:

Ya que ambos estados son medidas, la matriz C es I. Los valores numéricos para las matrices son:

A=[−0,4 0,33 −4,5]

B=[ 0 −7,550 0

0,1 00 1,5 ]

C=[1 00 1]

M5.5 MODELO DE DOMINIO DE LAPLACE.

Recordamos que una matriz función de transferencia relaciona las entradas y salidas:

y (s)=G(s)u(s)

La matriz de función de transferencia de entrada / salida se encuentra a partir de:

G(s)=C (sI−A)−1B(M 5.6)

Usando MATLAB ss2tf rutina (véase el apéndice), encontramos:

En Matlab >> A=[-0.4 0.3; 3 -4.5]; B=[0 -7.5 0.1 0;50 0 0 1.5]; C=[1 0;0 1]; D=0;>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

G(s)=[ 15(50 s+20)

(−7.5 s−33.75)−22.5

(0.1 s+0.45)0.3

0.45(1.5 s+0.6)]

s2+4.9 s+0.9

Los polos del polinomio característico (s2+4,9s+0,9) son -0,191 y -4,709.

La función de transferencia relativa de salida 1 (temperatura del tanque) a la entrada 1 (caudal chaqueta) es:

g11(s)=15

s2+4.9 s+0.9(M 5.7)

Dividiendo (M5.7) por 0,9, encontramos:

g11(s)=16.6667

1.1111s2+5.4444 s+1(M 5.8)

(M5.8) puede factorizarse en:

g11(s)=16.6667

(0.21236 s+1)(5.23207 s+1)(M 5.9)

¿Cuál es la forma constante en tiempo de ganancia. Cualquiera de estas formas se puede utilizar, sin embargo, en general, a utilizar la forma constante en tiempo de ganancia.

La función de transferencia relativa de salida 2 (temperatura de la camisa) a la entrada 1 (caudal de la chaqueta) es:

g21(s )=50 s+20

s2+4.9 s+0.9(M 5.10)

del mismo modo, nos encontramos (dividiendo (M5.10) por 0,9):

g21(s )=22.2(2.5 s+1)

1.1111s2+5.4444 s+1(M 5.11)

También, (M5, 11) puede factorizarse en:

g21(s )=22.2(2.5 s+1)

(0.21236 s+1)(5.2307 s+1)(M 5.12)

M5.6 RESPUESTAS PASO: LINEAL VS MODELOS NO LINEALES.

En esta sección vamos a comparar las respuestas del modelo no lineal con las predichas por el modelo linealizado. Para propósitos de comparación, vamos a trazar las variables físicas

Para el modelo lineal, que está en forma variable de desviación, convertimos a los valores físicos por darse cuenta de que:

x1(t)= T(t)- Ts

x2(t)=Tj(t) -Tjs

-x2(t)=-Tj(t) +Tjs …

por lo que, para el modelo lineal:

T(t)=Ts +x1(t)

Tj(t)=Tjs +x2(t)

Tambien

u1(t)=Fj(t)- Fjs

Tendremos en cuenta los cambios de paso de diferentes magnitudes y direcciones diferentes para este sistema.

M.5.6.1 PEQUEÑO AUMENTO DE LA TEMPERATURA DE LA CAMISA.

Considere la posibilidad de un cambio de paso de 0.1 (a partir del valor de estado estacionario de 1,5 a 1,6 ft3/min) en la tasa de flujo de la chaqueta. Las respuestas de los modelos no lineales y de línea se muestran en la figura M5.2. Por tanto la temperatura del tanque y la temperatura de la camisa, el modelo lineal se aproxima mucho al proceso no lineal.

M5.6.2 GRAN AUMENTO DE LA VELOCIDAD DE FLUJO DE LA CHAQUETA.

Considere la posibilidad de un cambio de paso de 1,0 (1,5 a 2,5 ft3/m3) en la tasa de flujo de la chaqueta. Las respuestas de los modelos lineales y no lineales se muestran en la figura M5.3. La respuesta lineal es cualitativamente la misma que la respuesta no lineal, pero la magnitud del cambio es diferente. la ganancia (cambio en la salida / cambio en la entrada) del modelo lineal es mayor que la ganancia del modelo no lineal.

M.6.5.3 DISMINUCIÓN IMPORTANTE EN LA VELOCIDAD DE FLUJO DE LA CHAQUETA.

Considere la posibilidad de una disminución de paso de 1,0 (1,5-0,5 ft3/min) en la tasa de flujo de la chaqueta. Las respuestas de los modelos lineales y no lineales se muestran en la figura M5.4. Tenga en cuenta que una vez más del modelo lineal es ahora menor que el de nuevo del modelo no lineal. Este es el efecto contrario de lo que hemos observado un gran incremento en la velocidad de flujo de la chaqueta.

M5.6.4 PEQUEÑA DISMINUCIÓN EN LA VELOCIDAD DE FLUJO DE LA CHAQUETA.

Considere la posibilidad de un cambio de paso de 1,0 (1,5-1,4 ft3/min) en la tasa de flujo de la chaqueta. Las respuestas de los modelos lineales y no lineales se muestran en la figura M5.5. Puesto que el cambio en la entrada era pequeño, el modelo lineal proporciona una buena aproximación al modelo no lineal.

M5.6.5 OBSERVACIONES SOBRE EL COMPORTAMIENTO DE RESPUESTA AL ESCALÓN.

Para el modelo no lineal, la ganancia (cambio en la salida / cambio en la entrada) varió como una función tanto de la magnitud de entrada y la dirección. De se hicieron pequeños cambios de entrada, tha ganancia no cambió mucho desde el caso del modelo lineal. Para grandes cambios de entrada, la ganancia del sistema no lineal era menor que el sistema lineal para los aumentos en la tasa de flujo de la chaqueta, pero más que el sistema lineal para las disminuciones en la tasa de flujo de la chaqueta.

La respuesta de la temperatura de la camisa es más rápido que el de la temperatura del tanque.

Esto tiene sentido desde un punto de vista físico, ya que el volumen de la chaqueta es de una décima parte del volumen del calentador. Además, la velocidad de flujo de la chaqueta tiene un efecto directo de la temperatura de la camisa y un efecto indirecto sobre la temperatura del tanque. Observe que el tiempo numerador constante parcialmente "anula" la constante de tiempo lenta denominador de la función de transferencia en relación caudal chaqueta de temperatura de la camisa.

M5.7 NO FORZADOS RESPUESTAS DEL SISTEMA: PERTURBACIONES EN LAS CONDICIONES INICIALES.

Los valores propios de la matriz A en el modelo de espacio de estado proporcionan información acerca de la estabilidad y la velocidad relativa de la respuesta. Los vectores propios proporcionan información acerca de la dependencia direccional de la velocidad de respuesta. La rutina eig matlab se utiliza para el valor propio / vector propio cálculos. Recordemos que un valor propio positivo es "más rápido" que un pequeño valor propio magnitud.

Los valores propios del sistema son (véase el apéndice):

λ1=−0.1911 lento

λ1=−4.7089 rapido

Los vectores propios son:

v1=[0.82070.5714 ]lentov1=[−0.06950.9976 ]Rapido

El segundo valor propio y vector propio decirnos que una perturbación en el estado inicial de la segunda variable de estado tendrá una respuesta rápida. El primer valor propio y vector propio decirnos que una perturbación en la o bidireccional de v1 tendrá una respuesta lenta.

M5.7.1 RESPUESTA LENTA.

Considere la posibilidad de una perturbación inicial en la dirección lenta. Deje que la perturbación sea de magnitud 5:

x (0)=5∗v2=5∗[0.82070.5714]=[4.10352.857 ]Las variables físicas del estado (del tanque y de la temperatura de la chaqueta) son:

[ T (0)T j(0)]=[125150]+[4.10352.857 ]=[129.1035152.857 ]

Las respuestas de una perturbación en la dirección lenta se muestran en la figura M5.6.

M5.7.1 RESPUESTA RÁPIDA.

Considere la posibilidad de una perturbación inicial en la dirección rápidamente. Deje que la perturbación sea:

x (0)=5∗v2=5∗[−0.06950.9976 ]=[−0.34754.988 ]Las variables físicas del estado (del tanque y de la temperatura de la chaqueta) son:

[ T (0)T j(0)]=[125150]+[−0.34754.988 ]=[124.6525154.988 ]

Las respuestas de una perturbación en la dirección rápida se muestran en la figura M5.7 (Nótese el cambio de escala de tiempo de la figura M5.6).

en la figura M5.6 y M5.7 hemos demostrado el efecto de la Condición inicial "dirección".

Esto se puede ilustrar más completamente por ver el comportamiento de fase plana.

Comportamiento M5.7.3 Fase plano.

el comportamiento de fase plana se muestra en la figura M5.5, donde la temperatura del tanque se traza en el eje x y la temperatura de la camisa se traza en el eje y. Tenga en cuenta

que las condiciones iniciales en la dirección [4.10352.857 ] responden mucho más lentamente que

las condiciones iniciales en la [−0.34754.988 ] dirección.

Resumen.

En este módulo hemos desarrollado las ecuaciones del modelo dinámico para un calentador de tanque agitado perfectamente mezclado. Hemos resuelto para las condiciones de estado estable, linealizadas para obtener el modelo de espacio de estado, y encontramos el modelo de función de transferencia. Se compararon las respuestas al escalón de los modelos lineales y no lineales. También puso de manifiesto la importancia de la "dirección" de las condiciones iniciales. Las perturbaciones en ciertas direcciones provocan una respuesta rápida, mientras que las perturbaciones en otras direcciones producen una respuesta lenta.