Caminho Livre Médio e Distribuição de Maxwelldalpian.ufabc.edu.br/ft/aula_6.pdf · Caminho Livre Médio • Modelo • As colisões são elásticas. • A molécula tem velocidade

Caminho Livre Médio e Distribuição de Maxwell

quinta-feira, 12 de novembro de 2009

Caminho Livre MedioSe vrms do N2 e do O2 a temperatura ambiente é de cerca de 500 m/s2 porque um odor demora tanto para se propagar em um ambiente fechado ?

vrms =�

3kT

mVrms depende somente de T e da massa da moléculas. Ate o momento estamos desconsiderando colisões moleculares.

Qual seria o caminho médio que uma molécula poderia caminhar sem colidir com nenhuma outra ?


Caminho Livre Médio

• Modelo

• As colisões são elásticas.

• A molécula tem velocidade constante entre as colisões.

• As moléculas são esféricas.

• Consideraremos o caso particular de uma molécula livre, enquanto as outras estão paradas.


Colisões

• Ocorrem quando a distância entre moléculas é menor que d. O raio molecular é de d/2.

• Equivalente a situação de que a nossa molécula “móvel” tem raio d (diâmetro 2d) e as “outras” moléculas são pontos.


Colisões• Comprimento da trajetória

durante Δt: Dist = vmed Δt

• Número de colisões durante Δt: proporcional a densidade ρ=N/V

• V é o volume “ocupado” pela partícula no tempo Δt

• Este Volume é o volume do cilindro (πd2)(vmed Δt)

Comprimento da trajetória durante Δt

Número de colisões em Δt


Caminho Livre MédioComprimento da trajetória

durante Δt

Número de colisões em Δtλ=

Ncol =N

V(πd2v∆t)

λ =v∆t

πd2v∆tN/V=

1πd2N/V


Caminho Livre Médio Exato• Tínhamos considerado que as

outras moléculas eram estáticas!!!

• A fórmula correta deve utilizar a velocidade média relativa no denominador e não a média em relação a caixa!

• Para nossa sorte existe uma relação simples entre as duas.

Vrel = √2 Vmed

λ =1√

2πd2N/V


Distribuição de Velocidades• Qual a distribuição de velocidades em um gás ?

• James Clerk Maxwell respondeu esta questão em 1852:

• uma distribuição de probabilidades deve ser utilizada;

• deve ser função da velocidade;

• deve ser proporcional a temperatura;


Distribuição de Maxwell

P (v) = 4π(M

2πRT)3/2v2e−Mv2/2RT

�P (v)dv = 1

A área na distribuição da curva probabilidade corresponde a fração de moléculas com velocidades entre v1 e v2. � v2

v1

P (v)dv = f


Distribuição de Maxwell

P (v) = 4π(M



Velocidade Média e Velocidade Média Quadrática

vmed =�

vP (v)dv

vrms = (v2)med =�

v2P (v)dv

�x2n+1e−ax2

dx =n!

2an+1(a > 0)Utilize:

�x2ne−ax2

dx =1× 3× 5× (2n− 1)

2n+1an

�π

a

P (v) = 4π(M



Velocidade Média e Velocidade Média Quadrática

vmed =�

8RT

πMvrms =

�3RT

M


Velocidade Mais Provável• A velocidade mais provável é definida pelo máximo da função

de distribuição de probabilidade de velocidades. Ou seja, pela condição de dP(v)/dv = 0!

vp =�

2RT

M

Conseqüências da Distribuição de Maxwell• Velocidades muito maiores que a velocidade média podem

ocorrer com probabilidade ∝ exp(-Mv^2/2RT).

• Estas moléculas com altas velocidades são mais reativas

• Processos pouco prováveis tornam-se permitidos energeticamente.


Fixação• 20.5 - Um recipiente é cheio com gás oxigênio mantiod a 300K.

Que fração das moléculas possui velocidades no intervalo 599 a 601 m/s? M=0.0320 kg/mol.

Para o intervalo considerado P(v) é quase constante. Portanto a integral é aproximada.�

P (v)dv ≈ P (v)∆v


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