Embed Size (px)
Citation preview
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Campos & Ondasem Engenharia ElétricaNotas de Aula
Antonio Carlos Siqueira de Lima
CC� 2012 Este documento é distribuído de acordo com a Licença Creative Commons
2
Sumário
Prefácio v
I Aspectos Introdutórios 1
1 Funções Matemáticas 31.1 Coordenadas Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Coordenadas Cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Separação de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Funções Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Polinômios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Harmônicos Esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Transformações Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Transformada de Fourier Multi-dimensional . . . . . . . . . . . . 161.4.4 Implementação da Resposta Numérica . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.5 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Equações Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Funções de Variáveis Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Cálculo & Análise Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7.1 O operador r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7.2 Teorema de Stokes e Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
2 Campo Eletromagnético –Aspectos Introdutórios 292.1 Equações de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2 Propriedades do meio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2 Potenciais Instantâneos de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.3 Potenciais Retardados de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.4 Dualidades entre os Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2.5 Vetor de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4 Solução da Equação de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II Campos Estacionários 49
3 Eletrostática 513.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2 Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3 Divergente do Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5 Equilíbrio Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5.1 Equilíbrio em Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6 Equações do Potencial Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.1 Dipólo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6.2 Potencial de Dipólo como um gradiente . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Polarização do Dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.8 Funções de Variáveis Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.9 Métodos para o Cálculo do Campo Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9.1 Harmônicos Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.9.2 Campo Devido a Duas Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.9.3 Campos em Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.9.4 Procedimentos Alternativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.10 Formulação de Problemas em Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.11 Algumas Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.11.1 Oscilações de Plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.11.2 Campo no Interior de Semi-condutores . . . . . . . . . . . . . . 86
3.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.13 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Magnetostática 914.1 Potencial Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Potencial Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3 Potencial Vetor com correntes conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
ii
4.4 A Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.5 Polarização Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.7 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
III Propagação de Ondas 109
5 Propagação de Ondas Planas 1115.1 Formulação Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1.1 Alguns comentários sobre a notação . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1.2 Relação entre os Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 Ondas Planas em Meios Não Homogêneos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2.1 Propriedades Dielétricas e Magnéticas de Meios Anisotrópicos . . 1185.2.2 Propagação de Ondas em Meios Anisotrópicos . . . . . . . . . . 119
5.3 Reflexão e Transmissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.4 Campos Quase Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.4.1 Condições de Reflexão e Transmissão em Regime Quase Estaci-onário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.5 Aplicações de Campos Quase Estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6 Propagação de Ondas Cilíndricas 1296.1 Equações de um campo cilíndrico por Vetor de Hertz . . . . . . . . . . . 129
6.1.1 Modos TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.1.2 Modos TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.2 Campos derivados de funções de onda cilíndricas circulares . . . . . . . . 1336.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Soluções Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 Propagação de Ondas Esféricas 1457.1 Equação de Onda em Coordenadas Esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.1 Obtenção Direta dos Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.2 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.1 Injeção de corrente distribuída ao longo de um segmento de reta . 1517.2.2 Corrente injetada em segmento de reta de comprimento muito
reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2.3 Dipolo Oscilante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
IV Aplicações 163
8 Elementos de Circuito 1658.1 Impedâncias de Condutores Cilíndricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
iii
8.2 Impedância Externa para Condutores e Solo Ideais . . . . . . . . . . . . 1688.3 Impedâncias Externa de Condutor Enterrado . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.4 Formulação das Matrizes Unitárias para Linhas de Transmissão . . . . . 177
8.4.1 Matriz de Impedância Unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.4.2 Matriz de Admitância Unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.5 Formulação das Matrizes Unitárias de Cabos Subterrâneos . . . . . . . . 1788.5.1 Matriz de Impedância Unitária para Cabos Enterrados . . . . . . 1788.5.2 Matriz de Admitância Unitária para Cabos Coaxiais . . . . . . . 181
8.6 Modelagem de Elementos por Eletrodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.6.1 Condutores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.6.2 Condutores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.7 Propagação de ondas em condutor fino sobre solo com perdas . . . . . . 1908.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
iv
Prefácio
Esse documento surgiu primeiramente com o intuito de facilitar a apresentação daDisciplina Campos & Ondas (COE761), do Programa de Engenharia Elétrica (PEE),COPPE/UFRJ e vem sendo atualizado para atender também às disciplinas de Teoria Ele-tromagnética, do Departamento de Engenharia Elétrica (DEE), da Escola Politécnica daUFRJ. Um curso de eletromagnetismo não tem em geral a grande preferência dos alunos,seja pela ementa do curso, seja pela possibilidade do trabalho que ele possa deman-dar. Por isso, o objetivo destas notas de aulas é tornar o assunto um pouco mais leve,ressaltando a importância da Teoria Eletromagnética, e suas aplicações, em EngenhariaElétrica.
Um conhecimento prévio da formulação de Maxwell bem como das ferramentas ma-temáticas para a solução de equações diferenciais ordinárias e parciais é fundamental paraum bom entendimento dos temas aqui apresentados. A formulação e a resolução dos pro-blemas foi implementada através do programa Mathematica, todavia outros programasmatemático como o matlab ou Maple podem ser usados com o mesmo intuito.
A abordagem aqui apresentada é bastante distinta da literatura técnica sobre o as-sunto. Primeiro, ao invés de apresentar a formulação de casos simples visando esta-belecer as bases fenomenológicas do eletromagnetismo, procura-se utilizar problemasreais tratados a partir do equacionamento básico, i.e., equações de Maxwell. Segundo,diversos assuntos são deixados de lado, como por exemplo, o estudo de campos eletro-magnéticos em velocidades próximas a da luz que requer a utilização da relatividaderestrita e o estudo do comportamento microscópico da matéria que demanda o uso daMecânica Quântica. A razão deste formalismo é simples, a experiência tem mostradoque na maioria dos casos, o aluno de pós-graduação muito embora domine a formulaçãodas equações de circuito é incapaz de resolver os problemas relacionados à engenhariaelétrica que devam ser equacionados a partir dos postulados básicos. A ressalva ocorreapenas nos casos onde o assunto sob estudo pode ser representado com um bom grau deprecisão a partir de exemplos simples e rotineiros. Este não é um problema novo, e estálonge de ser solucionado, o Prof. William Smythe do CALTECH (California Institute ofTechnology) já expressava preocupação semelhantes quando da primeira edição de seu
v
livro “Static & Dynamic Electricity” de 1939.Uma vez que estas notas de aula foram escritas tendo-se em mente aplicações prá-
ticas e não o desenvolvimento teórico do eletromagnetismo, optou-se por evitar seguiro desenvolvimento histórico. Em apenas alguns casos mais específico apresenta-se umbreve resumo histórico com o intuito apenas de orientar o aluno.
Apesar de ser um assunto árido, a Teoria Eletromagnética é, sem dúvida alguma, fas-cinante. De fato toda a engenharia elétrica está relacionada a ela. Com relação à dificul-dade dos temas envolvidos vale lembrar a opinião do também Professor da CALTECH,Richard Feynman, expressa no prefácio escrito por Ralph Leighton em The Strange The-ory of Light and Matter: “What one fool can understand, another can”.
A base destas notas de aula é o material originalmente desenvolvido pelo Prof. Car-los Portela para essa disciplina. A maior parte dos exercícios aqui presentes são retira-dos/baseados nesse material. Apresentamos a seguir a lista de outras referências impor-tantes, agrupadas conforme a ordem de interesse1:
• Stratton*, J. A. (1941), Electromagnetic Theory, McGraw-Hill Co.
• Harrington*, R. F. (1961), Time-Harmonic Electromagnetic Fields, McGraw-HillCo.
• Portela*, C. (1999a) , Campo Eletromagnético – Relações Básicas entre as princi-pais grandezas físicas, em termos macroscópicos, em formulação simplificada, 2a
ed., COPPE/UFRJ.
• Portela*, C. (1999b) , Campos & Ondas – Ondas Cilíndricas — Aspectos Básicosdos Métodos Analíticos de Cálculo do Campo Eletromagnético, COPPE/UFRJ.
• Portela*, C. ( 1999c) , Campos & Ondas – Ondas Esféricas, COPPE/UFRJ
• Portela*, C. ( 1999d) , Campos & Ondas – Ondas Planas, 3a ed., COPPE/UFRJ.
• Slater*, J e Frank, N. (1969), Electromagnetism Dover.
• Feynman*, R.P.; Leighton, R. e Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Phy-sics, Addison Wesley, vol.II
• Jonhk, C. (1988), Engineering Electromagnetic Fields and Waves, Wiley.
• Jackson, J. (1999), Classical Electrodynamics, Wiley.
• Butkov, E. (1988), Física Matemática, LTC Editora.
• Cheng, D. K. (1983), Field and Wave Electromagnetics, Addison-Wesley.
• Eyges, L. (1972), The Classical Electromagnetic Field, Dover.
• Kraus, J.;Fleisch, D. (1999), Electromagnetics with applications, 5a ed., McGraw-Hill.
1as referências mais importantes são destacadas com ‘*’
vi
• Morettin, P. A. (1999) , Ondas e Ondaletas, EDUSP.
• Kreyszig, E. (1993), Advanced Engineering Mathematics, Wiley
• Wolfram, S. (2004), The Mathematica Book, 5th Ed., Cambridge University Press
A ementa do curso pode ser encontrada nas diversas referências acima, e estas notasde aula trazem pelo menos os aspectos introdutórios das mesmas.
• Campo eletromagnético formulado por equações de Maxwell; potenciais escalar evetorial;
• Formulações de Lorentz, Maxwell e Hertz;
• Vetor de Poynting;
• Propriedade dos meios, meios com parâmetros dependentes da freqüência e datemperatura;
• Aproximações quase estacionárias;
• Metodologias baseadas em distâncias complexas;
• Transformações de coordenadas, transformação conforme;
• Aplicações a linhas de transmissão, cabos, sistemas de aterramento, máquinas elé-tricas, equipamentos;
• Ondas planas, cilíndricas, esféricas e superficiais;
• Radiação; reflexão e transmissão em separação de meios;
• Campo associado a diversos tipos de geometrias;
• Métodos globais;
• Método dos elementos de contorno;
• Transformação por metodologias freqüência-tempo;
vii
viii
Parte I
Aspectos Introdutórios
1
CAPÍTULO 1
Funções Matemáticas
O cálculo das equações envolvidas no eletromagnetismo normalmente requer a uti-lização de funções especiais que muitas das vezes não são apresentadas em cursos decálculo na graduação. Portanto, neste capítulo apresentamos uma breve revisão de al-gumas importantes funções no cálculo tanto do campo elétrico como magnético. Livroscomo (Butkov 1988, Kreyszig 1993, Riley, Hobson & Bence 1998) apresentam de formadetalhada os assuntos abordados nesse capítulo e devem ser considerados como fonte dereferência para dúvidas.
1.1 Coordenadas Curvilíneas
Dependendo da característica e das simetrias envolvidas no problema pode ser inte-ressante utilizar um sistema de coordenadas ortogonais distinto das coordenadas cartesi-anas. Apesar de haver generalizações para sistemas de n dimensões, o foco no eletro-magnetismo está nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas.
A relação básica entre os vetores unitários em coordenadas cartesianas e os vetoresunitários em coordenadas cilíndricas e esféricas é mostrada na Fig. 1.1.
Os eixos cartesianos X , Y e Z possuem vetores unitários x, y e z, respectivamente.Para coordenadas cilíndricas, os vetores unitários são ⇢, � e z e para coordenadas esféri-cas são r, ✓ e �. Existem outros sistemas de coordenadas curvilíneas de interesse onde épossível representar as equações de Maxwell, contudo em engenharia elétrica, estes trêssistemas compõem os casos de maior interesse prático.
1.1.1 Coordenadas Esféricas
A relação entre as coordenadas esféricas e cartesianos podem ser obtidas a partir daprojeção de vetores unitários, considerando ✓ o ângulo de azimute e � o ângulo no plano
3
X
r
ρ
φ
θ
Y
Zz
xy
Figura 1.1: Sistema de vetores unitários em coordenadas cartesianas e curvilíneas
xy. A relação entre as coordenadas x, y e z são
x = r sin ✓ cos�, y = r sin ✓ sin�, z = r cos ✓
Desta forma os vetores unitários nas direções, ˆr, ˆ✓ e ˆ� são dados por (1.1).
r = sin ✓ cos� x+ sin ✓ sin� y + cos ✓ z
ˆ✓ = cos ✓ cos� x+ cos ✓ sin� y � sin ✓ z
ˆ� = � sin� x+ cos� y
(1.1)
1.1.2 Coordenadas Cilíndricas
Em coordenadas cilíndricas, podemos definir um ponto P a uma distância s da ori-gem dos eixos (x = y = z = 0) em termos da relação entre as coordenadas (x, y) domesmo, conforme mostrado abaixo
x = s cos�, y = s sin�
sendo � o ângulo de deslocamento do ponto referido ao plano xy em relação ao eixoy = 0
A coordenada z é naturalmente a mesma para o sistema de coordenadas cartesianase cilíndricas. A expressão relacionando os vetores unitários é mostrada em (1.2)
ˆs = cos� x+ sin� y
ˆ� = � sin� x+ cos� y(1.2)
4
1.2 Separação de variáveis
Em diversos casos estaremos lidando com sistemas de equações diferenciais parci-ais, como por exemplo a equação de onda cuja solução envolve derivadas a segunda emrelação ao tempo e ao espaço. A solução convencional é considerar que a função possaser expressa pelo produto duas funções independentes entre si. Por exemplo, considere aequação de uma onda de luz, u(x, t), em meio similar ao vácuo. A equação que rege ocomportamento da onda é dada por (1.3),
@2u
@t2= c2
@2u
@x2(1.3)
onde c é a velocidade de propagação da luz no vácuo. O método da separação de variáveisadmite que a onda pode ser decomposta em duas funções, uma representando a variaçãoespacial e outra a temporal, conforme mostrado abaixo.
u(x, t) = F (x)G(t) (1.4)
Desta forma por diferenciação direta, temos1:
@2u
@t2= F
d2G
dt2
@2u
@x2=
d2F
dx2G
(1.5)
Inserindo-se (1.5) na equação da onda, (1.3) obtemos a seguinte equação
Fd2G
dt2= c2
d2F
dx2G (1.6)
Rearrumando os termos
1
c2G
d2G
dt2=
1
F
d2F
dx2(1.7)
A única possibilidade da equação (1.7) ser satisfeita é que ambas os lados sejamiguais a uma constante2 k2. A constante k2 também é conhecida como constante deseparação dos meios. Desta forma podemos reescrever a equação diferencial parcialatravés de duas equações ordinárias:
d2F
dx2�kF = 0
d2G
dt2�(c k)2G = 0
(1.8)
A solução de (1.8) dependerá das condições iniciais do sistema bem como das condiçõesde fronteira. Formulações como a apresentadas em (1.4) facilitam até mesmo a imple-mentação numérica de soluções como nos métodos de elementos finitos.
1representando F(x) apenas por F e G(t) apenas por G2A razão por usar k2 ao invés de k será esclarecida mais adiante no texto, quando lidarmos com a
propagação das ondas eletromagnéticas
5
Exemplo 1.1. Considere a grandeza escalar V = V (x, y) que satisfaz à equação deLaplace em duas dimensões:
@2u
@x2+
@2u
@y2= 0
para uma região de interesse 0 x a, 0 y b, sendo V conhecida na fronteiradeste domínio,
u(x, 0) = f1(x), 0 x a,
u(x, b) = f2(x), 0 x a,
u(0, y) = g1(y), 0 y b,
u(a, y) = g2(y), 0 y b
(1.9)
Determine u(x, y) no interior do domínio, a partir dos valores das condições de con-torno.
Solução– as funções devem ser contínuas nas fronteiras, contudo os valores das funçõesna fronteira não precisam satisfazer a equação de Laplace. Sejam ↵, �, � e � os valoresdas funções nas condições de contorno. As seguintes relações devem ser satisfeitas:
f1(0) = g1(0) = ↵
f2(a) = g2(b) = �
f1(a) = g2(0) = �
f2(0) = g1(b) = �
(1.10)
Aplicando a separação u(x, y) = X(x)Y (y) surge o conjunto de duas equaçõesordinárias com coeficientes constantes:
d2X(x)
dx2+ k2X(x) = 0
d2Y (y)
dy2� k2Y (y) = 0
(1.11)
onde k2 é a constante de separação. A solução geral deste tipo de equação é da forma:
X(x) =1X
m=1
Am sin(kmx+ cm)
Y (y) =1X
n=1
Bn sinh(kny + cn)
(1.12)
todavia, (1.12) não é a única forma de solução, polinômios de Legendre ou funções devariáveis complexa também pode ser utilizadas. As constantes Am, Bn, cm, cn bemcomo as variáveis de separação km devem ser determinadas pelas condições de contorno.Como se trata de um sistema linear, o princípio da superposição pode ser aplicado, e além
6
disto, por estarmos lidando com um sistema homogêneo, cada solução particular pode sermultiplicada por um escalar diferente de zero. A solução geral pode ser expressa como:
u(x, y) =1X
k=0
Dk sin(pkx+ ck) sinh(pky + ck) (1.13)
onde pk é a variável de separação. Para simplificar os cálculos, consideremos:
� = � = � = 0
o que nos leva as seguintes ocndições de contorno,
u(0, y) = g1(0) = f1(0) = 0
u(a, y) = g2(y) = f1(a) = 0
u(x, b) = f2(x) = g1(b) = 0
(1.14)
mas para que haja solução válida,
u(x, 0) = f1(x) 6= 0 (1.15)
e f2(a) = g2(b) = � = 0, uma vez que deve haver continuidade. Para satisfazer àprimeira condição de contorno em (1.14), a expressão
u(0, y) =1X
k=0
Dk sin(ck) sinh(pky + ck) = 0 (1.16)
deve ser válida. Para isto basta que
ck = 0 8k
A segunda condição de contorno em (1.14) implica em:
u(a, y) =1X
k=0
Dk sin(pka) sinh(pky + ck) = 0 (1.17)
Desta equação é possível obter as constantes de separação, pk, pois,
sin(pka) = 0 ! pka = m⇡
logo
pk =
m⇡
am = 0, 1, 2, . . . (1.18)
Considerando a terceira condição de contorno em (1.14), temos:
u(x, b) =1X
k=0
Dk sin
✓k⇡x
a
◆sinh
✓k⇡b
a+ ck
◆= 0 (1.19)
7
que pode ser satisfeita por
k⇡b
a+ ck = 0 ! ck = �k⇡b
a
Agora podemos considerar a última condição de contorno, (1.15)
u(x, 0) = f1(x) =1X
k=1
Dk sin
✓k⇡x
a
◆sinh
✓�k⇡b
a
◆(1.20)
Como a família de soluções não inclui k = 0, condição de continuidade f1(0) = 0 é sa-tisfeita automaticamente. A expressão acima nada mais é do que uma expansão em sériede Fourier de uma dada função f1(x). Para encontrar os coeficientes, o procedimento éidêntico ao utilizado no cálculo para expansão em série de Fourier, i.e., multiplica-se porsin(m⇡/a), sendo m 6= k e integra-se no domínio x
Z a
0f1(x) sin
⇣m⇡xa
⌘dx =
Z a
0
1X
k=1
Dk sin
✓k⇡x
a
◆sin
⇣m⇡xa
⌘sinh
✓�k⇡b
a
◆dx
(1.21)
Após algumas manipulações algébricas obtemos:Z a
0f1(x) sin
✓k⇡x
a
◆dx =
a
2
Dk sinh (�k⇡b/a) (1.22)
que fornece os coeficientes Dk. A solução do problema cujas condições de contorno sãodadas por (1.14) e (1.15) é dada por:
u(x, y) =1X
k=1
2 sinh(k⇡b/a� k⇡y/a)
a sinh(⇡kb/a)sin(k⇡x/a)
Z a
0f1(⇠) sin(k⇡⇠/a)d⇠ (1.23)
1.3 Funções Especiais
Nesta seção apresentamos diversas funções não muito conhecidas dos cursos de gra-duação mas importantes para a solução das equações diferenciais encontradas no eletro-magnetismo. As funções foram agrupadas devido a relação de semelhança na formulaçãoou na aplicação.
1.3.1 Bessel
As funções de Bessel aparecem como soluções para uma série de equações diferen-ciais onde há simetria cilíndrica. A equação de Bessel de ordem ⌫ é descrita como:
xd
dx
✓xdy
dx
◆+ (x2 � ⌫2)y = 0 (1.24)
8
A solução é dada pelas funções J⌫(x) e J�⌫(x), cujas definições são
J⌫(x) =1X
m=0
(�1)
mx2m+⌫
�(m+ 1)(m+ ⌫)!22m+⌫
J�⌫(x) =1X
m=0
(�1)
mx2m�⌫
�(m+ 1)(m� ⌫)!22m�⌫
(1.25)
A Fig. 1.2 apresenta a forma de onda de algumas funções de Bessel. Em geral estamosinteressados em soluções onde ⌫ é inteiro, desta forma, �(m+ 1) = m! e as funções em(1.25) não são independentes e temos:
J�⌫(x) = (�1)
nJ⌫(x)
Nestes casos é possível obter uma outra solução através da combinação linear das funçõesde Bessel em (1.25), conhecida como função de Neumann,
N⌫(x) =J⌫(x) cos(⌫⇡)� J�⌫(x)
sin(⌫⇡)(1.26)
para o caso de ⌫ inteiro n
Nn(x) = lim
⌫!nN⌫(x) (1.27)
A função J⌫(x) é conhecido como função de Bessel da primeira espécie e de ordem ⌫.A Fig. 1.2 apresenta o gráfico da função de Bessel de primeira espécie (ordens 0 a 3), e aFig. 1.3 apresenta as funções de Neumann de ordem 1 a 4.
0 2 4 6 8 10
!0.2
0
0.2
0.4
0.6J0
J1J2 J3
Figura 1.2: Funções de Bessel de primeira espécie
A função N⌫(x) é uma função de Bessel de segunda espécie e ordem ⌫. No caso dasequações de onda também é útil utilizar uma combinação linear das funções de Bessel
9
0 2 4 6 8 10
!2
!1.5
!1
!0.5
0
0.5 N1 N2 N3 N4
Figura 1.3: Funções de Neumann
de primeira espécie. Esta família de funções é conhecida como funções de Hankel e sãodefinidas por:
H(1)⌫ (x) = J⌫(x) + jN⌫(x)
H(2)⌫ (x) = J⌫(x)� jN⌫(x)
(1.28)
As funções descritas acima são conhecidas como funções de Hankel da primeira e dasegunda espécie respectivamente. As funções de Bessel modificadas são definidas por(1.29).
I⌫(x) = j⌫J⌫(�jx)
K⌫(x) =⇡
2
(�j)⌫+1H(2)⌫ (�jx)
(1.29)
A Fig. 1.4 mostra os gráficos das funções modificadas de Bessel de primeira e segundaespécies e ordem 0 e 1.
1.3.2 Polinômios de Legendre
Os polinômios de Legendre aparecem em problemas que envolvem simetria esférica.Eles são solução da seguinte equação diferencial
(1� x2)d2y
dx2� 2x
dy
dx+ n(n+ 1)y = 0 (1.30)
A solução de (1.30) não é tão simples como no caso da equação de Bessel. Ao invésde definir uma série, define-se uma família de funções polinomiais ortogonais entre si edefinidas por
Pm(x) =1
2
mm!
dm
dxm(x2 � 1)
m (1.31)
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
4
6
8
10
I1
I0K0K1
Figura 1.4: Funções modificadas de Bessel
onde x = cos(✓). A formulação do polinômio de Legendre como apresentado em (1.31)também é conhecida como a fórmula de Rodrigues. A título de ilustração, apresenta-mos a seguir alguns dos polinômios de Legendre em função de cos(✓) e os gráficos sãomostrados na Fig. 1.5.
P0(cos ✓) = 1
P1(cos ✓) = cos(✓)
P2(cos ✓) =1
2
(�1 + 3 cos
2 ✓)
P3(cos ✓) =1
2
(5 cos
3 ✓ � 3 cos ✓)
P4(cos ✓) =1
8
(35 cos
4 ✓ � 30 cos
2 ✓ + 3)
P5(cos ✓) =1
8
(63 cos
5 ✓ � 70 cos
3 ✓ + 15)
Há também o Polinômio de Legendre associado que é definido pela equação
Pmn (x) = (1� x2)m/2 d
mPn(x)
dxm(1.32)
1.3.3 Harmônicos Esféricos
Consideremos a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, (r, ✓,�)a partir do método de separação de variáveis, de forma que a solução seja dada por umafunção
R(r)⇥(✓)�(�)
11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3!1
!0.5
0
0.5
1 P0
P1
P2
P3P4
Figura 1.5: Polinômio de Legendre
Em casos onde não haja a variação com r, e.g. o potencial ao longo da superfície de umaesfera, a solução da equação de Laplace é dada por
⇥(✓)�(�) = Pml (cos ✓)(C cos(m�) +D sin(m�)) (1.33)
A função apresentada em (1.33) pode ser representada por uma família de funções co-nhecidas como harmônicos esféricos, Y m
l (✓,�), cuja definição, para m 0, é dada por
Y lm(✓,�) = (�1)
m
s2l + 1
2⇡
(l �m)!
(l +m)!
Pml (cos ✓) exp(jm�)
onde Pml é o polinômio de Legendre associado.
Há ainda funções esféricas de Bessel, que nada mais são que funções de Bessel deordem fracionária.
j⌫(x) =
r⇡
2xJ⌫+1/2(x) = (�1)
⌫(x)⌫
d⌫
x dx⌫sinx
x(1.34)
As funções esféricas de Bessel são bem mais simples que as funções de Bessel pro-priamente ditas. A seguir apresentamos algumas das funções obtidas diretamente daaplicação de (1.34)
j0(x) =sinx
x
j1(x) =sinx
x� cosx
x
(1.35)
De forma análoga é possível definir uma função esférica de Bessel de segunda espéciedada por
n⌫(x) =
r⇡
2xYn+1/2(x) (1.36)
12
Novamente as funções esféricas são bem mais simples
n0(x) = �cosx
x
n1(x) = �cosx
x2� sinx
x
(1.37)
Maiores detalhes sobre estas funções serão apresentados no capítulo referente a pro-pagação de ondas esféricas. Com relação a definição matemática destas funções e suaaplicações em áreas outras que não o eletromagnetismo sugerimos as referências (Butkov1988, Kreyszig 1993).
1.4 Transformações Integrais
Nas aplicações de Engenharia Elétrica é comum a utilização da Transformada de Fou-rier e da Transformada de Laplace. Em termos práticos, podemos considerar a segundacomo uma extensão da primeira. Na Transformada de Fourier o domínio é da variávelimaginária j!, já na Transformada de Laplace o domínio é da variável complexa �+ j!.
1.4.1 Transformada de Fourier
A Transformada de Fourier surge quando aplica-se a série de Fourier para funçõesaperiódicas. É muito utilizada em estudos de sistemas digitais, atualmente é mais empre-gada em transitórios que a transformada de Laplace, devido a facilidades de implemen-tação numérica. Apesar de ser largamente empregada na área de tratamento de sinais, aTransformada de Fourier tem grandes vantagens no que concerne o estudo do eletromag-netismo e na área de transitórios.
A Transformada de Fourier de uma função f(t) contínua ou contínua por partes édada por,
F (!) =
Z 1
�1f(t) exp(�j!t)dt (1.38)
A transformação da variável no domínio da freqüência para o domínio do tempo pode serfeita através de:
f(t) =1
2⇡
Z 1
�1F (!) exp(j!t)d! (1.39)
De fato esta não é a única definição da transformada de Fourier. Existem diversos outrascombinações. Por exemplo, em áreas como a Física, é comum o emprego da seguintetransformada:
F (!) =1p2⇡
Z 1
�1f(t) exp(�j!t)dt (1.40)
13
e a transformada inversa é dada por:
f(t) =1p2⇡
Z 1
�1F (!) exp(j!t)d! (1.41)
Desde que se mantenha um conjunto coerente de equações pode-se usar qualqueruma das definições. Só a título de curiosidade, no Matlab, a Transformada Rápida deFourier utiliza (1.38) e (1.39), já o Mathematica utiliza (1.40) e (1.41).
Pode haver ocasiões onde seja interessante obter a resposta da integral utilizando-seum limite infinito tempo, ou a freqüência angular também em um espectro infinito. Atransformada pode ser utilizada também nestes casos. Utilizando-se a eq. (1.38) para! = 0 temos:
F (0) =
Z +j1
�j1f(t)dt (1.42)
Em diversas aplicações onde estão envolvidos sistemas físicos, a função f(t) é real,de forma que
F (�!) = F (!)⇤ (1.43)
onde ⇤ denota complexo conjugado.Caso exista alguma simetria nas formas de onda, i.e., função ímpar, f(t) = �f(�t),
podemos definir a Transformada Seno de Fourier dada por (1.44)3
F (!) =
r2
⇡
Z 1
0f(t) sin(!t)dt
f(t) =
r2
⇡
Z 1
0F (!) sin(!t)d!
(1.44)
De forma análoga podemos definir a Transformada Cosseno de Fourier para uma funçãopar, f(t) = f(�t) por (1.45).
F (!) =
r2
⇡
Z 1
0f(t) cos(!t)dt
f(t) =
r2
⇡
Z 1
0F (!) cos(!t)d!
(1.45)
Se o interesse for obter a resposta de um determinado sistema a um degrau ou im-pulso, em outras palavras, se f(t) = 0, para t < 0, podemos simplificar ainda mais atransformada inversa, como mostra (1.46).
f(t) =
r2
⇡
Z 1
0< [F (!)] cos(!t)d!
f(t) =
r2
⇡
Z 1
0=[F (!)] sin(!t)d!
(1.46)
3para a transformada de Fourier definida por (1.40).
14
1.4.1.1 Delta de Dirac
A função Delta de Dirac, �, não é estritamente uma função, contudo é de grandevalor para o estudo da resposta de um sistema. Também é importante para a obtenção dafunção de Green ou resposta impulsiva. Também conhecida como função impulso, � édefinida como
�(t) =
(0 se t 6= 0
1 se t = 0
(1.47)
Uma das propriedades de � é Z 1
�1�(t) = 1
Através desta propriedade é possível calcular a Transformada da função impulso, que éigual a 1 para todo o espectro de freqüências. Em outras palavras o espectro de freqüênciado impulso é uniforme independente da faixa de freqüência sob estudo.
Uma outra relação importante é o teorema da convolução. Seja F1(!) e F2(!) fun-ções cuja a transformada inversa é dada, respectivamente por f1(t) e f2(t), uma função
F (!) = F1(!) · F2(!)
possui uma transformada inversa dada por:
f(t) =
r1
2⇡
Z 1
�1F1(!)F2(!) exp(j!t)d!
=
Z 1
�1f2(⌧)
"r1
2⇡
Z 1
�1F1(!) exp(j!(t� ⌧))d!
#d⌧
=
Z 1
�1f1(t� ⌧)f2(⌧)d⌧
(1.48)
Um outro resultado importante é um teorema similar ao da convolução, onde a respostano tempo é o produto de duas funções, neste caso a resposta em freqüência será do tipo
F (!) =
r1
2⇡
Z 1
�1F1(↵)F2(! � ↵)d↵ (1.49)
1.4.2 Algumas Propriedades
As propriedades da Transformada de Fourier são similares a da Transformada deLaplace, como poderá ser visto na seção 1.4.5.1. A primeira delas é naturalmente ocaráter de operador linear da transformada. Em outras palavras:
F (C1f(t) + g(t)) = C1F (!) +G(!) (1.50)
onde f(t) e g(t) são funções lineares do tempo, C1 uma constante arbitrária, e F (!),G(!) são as transformadas de Fourier das respectivas funções do tempo.
15
Outra propriedade é da transformada da derivada de uma função, como mostra (1.51)para condições iniciais nulas,
F
✓dnf(t)
dtn
◆= (�j!)nF (!) (1.51)
e de forma análoga a transformada da integral de uma função é dada por:
F
✓Zf(t)dt
◆=
F (!)
�j!(1.52)
Caso uma função h(t) seja dada pela convolução de duas funções, f(t) e g(t). Nodomínio da freqüência podemos obter a seguinte relação:
H(!) = F (!)G(!) (1.53)
1.4.3 Transformada de Fourier Multi-dimensional
O conceito da Transformada de Fourier pode ser facilmente expandido para siste-mas com mais de uma dimensão. No caso de cálculo de campos bidimensionais oumesmo tridimensionais envolvendo a modelagem do solo a transformada de Fouriermulti-dimensional é bastante útil.
Seja uma função f(x, y, z) contínua ou contínua por partes, a Transformada tridi-mensional de Fourier é dada por4
F (X,Y, Z) =
1
(2⇡)3/2
ZZZf(x, y, z) exp(�jXx) exp(�jY y) exp(�jZz)dx dy dz
(1.54)
onde X , Y , Z representam as variáveis “generalizadas” das variáveis espaciais (ou tem-porais) x, y e z. A transformada inversa é dada por
f(x, y, z) =1
(2⇡)3/2
ZZZF (X,Y, Z) exp(jXx) exp(jY y) exp(jZz)dx dy dz
(1.55)
As equações (1.54) e (1.55) podem ser escritas de forma compacta considerando um vetork com componentes X , Y e Z e um vetor r com componentes x, y e z, conforme mostra(1.56).
F (k) =1
(2⇡)3/2
Zf(r) exp(�jk · r)d3r
f(r) =1
(2⇡)3/2
ZF (k) exp(jk · r)d3r
(1.56)
4supondo que cada transformada unidimensional é definida a partir de (1.40).
16
Só para citarmos um exemplo, a solução do campo elétrico e magnético envolvendoo solo é de mais fácil entendimento utilizando a transformada de Fourier espacial. Alémdisto, a Transformada de Fourier multi-dimensional é muito útil em problemas como ocálculo de parâmetros de uma linha de transmissão onde a hipótese quase estacionárianão é mais válida, ou em outras aplicações, como por exemplo a solução da propagaçãodos campos no solo ou casos onde haja a propagação de ondas esféricas.
1.4.4 Implementação da Resposta Numérica
Não raro, no caso prático ao invés de se obter a resposta nos limites da integração datransformada, a função é “truncada” até um valor máximo de freqüência angular. Esteefeito do “truncamento” pode ser entendido através de uma função H(!) definida por
H(!) =
(1 se � ⌦ < ! < ⌦
0
(1.57)
A integral de Fourier pode então ser expressa por:
f(t) =1
2⇡
Z 1
�1F (!)H(!) exp(j!t)d!
=
1
2⇡
Z ⌦
�⌦F (!) exp(j!t)d!
(1.58)
O efeito da inclusão de H(!) no domínio do tempo é dado por:
h(t) =1
2⇡
Z 1
�1H(!) exp(j!t)d!
=
1
2⇡
Z ⌦
�⌦exp(j!t)d!
=
sin(⌦t)
⇡t
=
⌦
⇡
sin(⌦t)
⌦t
(1.59)
h(t) =
Z 1
�1�(t)
sin(⌦(t� ⌧)
⌦(t� ⌧)d⌧
=
sin(t⌦)
t⌦
(1.60)
g(t) =
Z 1
�1u(t)
sin(⌦(t� ⌧)
⌦(t� ⌧)d⌧
=
1
⇡
✓⇡
2
+
Z t
0
sin(⌧⌦)
⌧⌦d⌧
◆ (1.61)
17
A Fig. 1.6 apresenta os resultados da utilização de uma faixa finita de freqüênciaspara o cálculo da transformada inversa de Fourier. Primeiro há o surgimento de umaderivada finita tanto na resposta ao degrau como na resposta impulsiva. Contudo, maiordificuldade é o surgimento da não causalidade. Na Fig. 1.6 vemos que já existe um valorde resposta para um instante t < 0, este problema pode ser solucionado deslocando-se aresposta a direita de um tempo ⌧ , i.e., a função no domínio da freqüência, F (!), passa aser F (!) exp(�j!⌧).
!4 !2 0 2 4tempo!s"
!0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Am
plitu
de
Fenômeno de Gibbs
derivada finita
Figura 1.6: Efeito do Truncamento da Resposta em Freqüência
Uma maneira de eliminação do Efeito Gibbs é a inclusão de um filtro na função a serintegrada, nesta caso temos:
f(t) =1
2⇡
Z ⌦
�⌦F (!)�(!) exp(j!t)d! (1.62)
onde �(!) é conhecida como função sinc definida por:
�(!) =sin(⇡!/⌦)
⇡!/⌦
É bastante comum também o uso da Transformada complexa de Fourier que numeri-camente é idêntica a Transformada de Laplace, comentada a seguir. A grande vantagemda Transformada complexa de Fourier reside no auxílio à obtenção de funções cuja aTransformada de Fourier não exista no sentido mais restrito.
1.4.5 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
L[f(t)] = F (s) =
Z 1
�1f(t)exp(�st)dt
18
onde s é um número complexo dado s = � + j!, sendo � um número real maior que omaior pólo positivo em F (s) e t é uma variável real.
São apresentados alguns exemplos abaixo:
L[cosh(t)] =s
s2 + 1
L[expt sin(t)] =1
1 + (s� 1)
2
L
t
1 + t2
�= � cos(s)CosIntegral(s) +
1
2
sin(s)(⇡ � 2SinIntegral(s))
L
@
@t(exp(t) sin(t))
�=
1
1 + (s� 1)
2 +
s� 1
1 + (s� 1)
2
uma vez que@
@t(exp(t) sin(t)) = exp(t) (cos(t) + sin(t))
onde s é um número complexo cuja parte real é maior que o maior pólo real positivo emF (s).
1.4.5.1 Algumas Propriedades
A derivada de uma função apresenta a seguinte transformada:
L[f 0(t)] = sF (s)� f(0)
L[f”(t)] = s2F (s)� s.f(0)� f 0(0)
LZ t
�1f(t)dt
�=
F (s)
s+
g(0)
s
onde g(t) =R t�1 f(t)dt
L[exp(�a t) f(t)] = F (s+ a)
L[f(t� a)] = F [s]exp(�a s)
L[f(bt)] = 1
bF (s/b)
Compare estas propriedades com as apresentadas em 1.4.2. Fica evidente as correlaçõesentre as transformadas.
Exemplo 1.2. Considere a equação diferencial parcial que define a propagação de ondassonoras produzidas pelo deslocamento de uma esfera de raio a imerso em fluido uniformee infinito, que pode ser descrita por
r2@2u
@t2= c2
@
@r
✓r2@u
@r
◆(1.63)
19
onde c é a velocidade de propagação da onda e com a condição inicial
u(r, 0) =@u(r, 0)
@t= 0
e com a condição de fronteira@u(a, t)
@r= f(t)
sendo que u ! 0, quando r ! 1
Solução Introduzindo uma nova variável v = ru, podemos reescrever (1.63) como
@2v
@t2= c2
@2v
@r2(1.64)
Aplicando-se a Transformada de Laplace, a solução no domínio da Transformada é dadapor:
V = A exp(�sr/c)
ou ainda
U =
A
rexp(�sr/c) (1.65)
onde V e U são as transformadas de v e u respectivamente. Aplicando-se a primeiracondição de fronteira no domínio da transformada temos:
U = �ac
r
F (s)
s+ c/aexp(�s(r � a)/c) (1.66)
pela propriedade da convolução
L�1
F (s)
s+ k
�=
Z t
0exp(�k(t� x))f(x)dx = �(t)
sendo k = c/a. Para o caso particular da entrada f(t) = �(t), temos
�(t) = exp(�ct/a)
e a solução é dada por
u = �ac
rexp
✓�t
ct� r + a
a
◆h
✓t� r � a
c
◆(1.67)
onde h(.) é a função de Heaviside ou função degrau.
20
1.5 Equações Integrais
Uma equação integral é aquela cuja variável a ser conhecida encontra-se no inte-grando. Por exemplo a expressão do potencial vetor A obtida a partir da Lei de Biot-Savart (vide capítulo 4)
A(r) =1
4⇡
ZZZ
V
J(r0)
|r� r0| exp(�jk|r� r0|)dV (1.68)
onde k é a constante de propagação do meio. A eq.(1.68) é um exemplo de equaçãointegral quando o vetor densidade de corrente J não é conhecido.
A maioria das equações que descrevem fenômenos eletromagnéticos pode ser repre-sentada por equações integrais ou por equações diferenciais ordinárias. Em casos ondea solução exata é possível e/ou necessária a solução de equações diferenciais ordináriasé comumente mais simples. Todavia há casos onde não há solução exata sendo neces-sário lançar mão de métodos aproximados de solução. É justamente nesta situação queas equações integrais são mais utéis. A razão para tanto é bastante simples, a integraçãopode ser representada por um processo de soma e neste somatório não é forçoso que cadaelemento esteja correto. Erros nalguns elementos podem ser cancelados por outros ele-mentos. Além do mais nem todos os elementos contribuem igualmente para o somatório.Há casos onde uma série infinita pode ser representada com grande precisão apenas compoucos termos, em outras palavras, no caso das equações integrais é suficiente apenasque se obtenha os termos significativos do somatório.
A título de exemplo consideremos uma equação diferencial ordinária na forma
dy(x)
dx= f(x, y(x)) (1.69)
com condição inicial y(x0) = y0. Podemos rescrever (1.69) como
y(x) = y0 +
xZ
x0
f(t, y(t))dt (1.70)
Admitindo-se que a função a ser integrada é suficientemente suave é a solução é possívelatravés do seguinte método iterativo
yk+1(x) = y0 +
xZ
x0
f(t, yk(t))dt (1.71)
sendo y0(t) = y0. Esta integral converge para y(x) quando k ! 1. Este método éconhecido como iteração de Picard-Lindelöf (Trott 2005).
Exemplo 1.3. Considere a seguinte equação diferencial ordinária
f(x) = e�x � 1
2
+
1
2
e�(x+1)+
1
2
Z 1
0(x+ 1)e�xyf(y)dy
21
Esta equação foi proposta por (Kress 1989) e possui como solução exata f(x) = e�x.Calcule o erro da solução aproximada através do processo iterativo para 0 < x < 1.
Solução— Deve-se escolher uma função inicial adequada, f0(x), de forma que
fn+1(x) = e�x � 1
2
+
1
2
e�(x+1)+
1
2
1Z
0
(x+ 1)e�xyfn(y)dy
para este exemplo há convergência para qualquer função contínua f0(x), uma das esco-lhas mais simples é f0(x) = 1.
No intervalo de x = 0 a x = 1 é feita a integração numérica de (1.71), com um passode �x = 1/10. A figura abaixo mostra o erro do método. Uma outra forma de soluçãoseria através da expansão em série do lado direito de (1.70).
0.2 0.4 0.6 0.8 1
!0.6
!0.5
!0.4
!0.3
!0.2
!0.1
Figura 1.7: Comparação da solução de uma equação integral por Picard-Lindelöf
Além das duas técnicas mencionadas acima, existem outros métodos importantespara a solução de equações integrais como os Métodos de Perturbação e Método Variaci-onal.
O Método de Perturbação é útil para a obtenção de soluções quando ocorrem mu-danças pequenas no sistema. Normalmente é aplicado quando se conhece a respostaao sistema não perturbado e o sistema perturbado é ligeiramente distinto do problemaoriginal.
O Métodos Variacional aplica-se para a determinação (identificação) de particulari-dades espécificas de um dado sistema, como freqüências de ressonância, impedâncias.Diferentemente do método anterior, o Método Variacional fornece uma aproximação dedeterminada quantidade. Um Método Variacional difere também de outros métodos deaproximação pois pode ser considerado estacionário a cerca da solução correta. Isto im-plica num método relativamente robusto à variações de determinado campo em torno dovalor real.
Um análise mais detalhada seja do Método Variacional seja do Método de Perturba-ção foge do escopo proposto no presente documento. Diversas aplicações destes métodosem eletromagnetismo podem ser encontradas no capítulo 7 de (Harrington 2001). Umaoutra fonte interessante é Harrington (1993).
22
1.6 Funções de Variáveis Complexas
Consideremos w = f(z) onde z é um complexo tal que z = x + jy e sendo u e vduas funções reais tais que w = u+ jv podemos escrever
w = u(x, y) + iv(x, y) (1.72)
Funções complexas representam mapeados entre domínios distintos. Todavia, há casosonde a relação de mapeamento não é unívoca. Este caso por vezes recebe o nome defunção multivalorada, o ou multívoca. Como exemplo podemos citar
log(z) = log |z|+ j arg(z) + j2n⇡ (1.73)
onde n = 0,±1,±2, . . ., e 0 < arg(z) < 2⇡. Este tipo de função apresenta diversosramos de corte ( “branch cut”) no domínio do plano complexo. Um outro exemplo defunção multívoca é
w = z1n (1.74)
que possui n ramos.A derivada de uma função complexa num ponto z0 do plano complexo é definida
como
df(z0)
dz= lim
z!z0
f(z)� f(z0)
z � z0(1.75)
Caso f(z) seja diferencial em todos os pontos de uma região tal que |z�z0| < r, pode-sedizer que f(z) é analítica ou holomórfica em z0. No caso de um domínio particular D noqual a função é analítica podemos dizer que f(z) é contínua em D.
1.7 Cálculo & Análise Vetorial
Nesta seção descrevemos algumas propriedades interessantes do cálculo e da análisevetorial que será utilizadas nos capítulos seguintes. Não há aqui a preocupação formalde provar ou estabelecer todas as premissas de teoremas matemáticas. Por apresentar omaterial de forma bem sucinta recomenda-se a utilização de livros como (Butkov 1988,Kreyszig 1993, Riley et al. 1998).
1.7.1 O operador r
É comum na literatura a utilização do operador r para a representação do gradiente,divergente e rotacional. Este operador é definido como um vetor mas algum cuidado deveser tomado na sua utilização visto que nem todas as operações matriciais se aplicam.Em coordenadas cartesianas, sendo x, y, z vetores unitários nas direções ortogonais nosistema de eixos de coordenadas, podemos defini-lo como:
r = x@
@x+ y
@
@y+ z
@
@z(1.76)
23
Naturalmente, o operador r não é um vetor mas pode ser tratado como tal na maioriados casos. As principais operações que podemos realizar são resumidas a seguir, onde fé uma função escalar e F uma função vetorial de componentes Fx, Fy e Fz respectiva-mente:
• aplicação a um escalar (gradiente);
rf = x@f
@x+ y
@f
@y+ z
@f
@z
• produto escalar (divergente)
r·F =
@Fx
@x+
@Fy
@y+
@Fz
@z
• produto vetorial (rotacional);
r⇥F = det
2
4x y z@@x
@@y
@@z
Fx Fy Fz
3
5 (1.77)
• produto escalar entre dois operadores r aplicados a um escalar ou a um vetor(laplaciano).
r2f =
@2f
@x2+
@2f
@y2+
@2f
@z2
r2F = x@2Fx
@x2+ y
@2Fy
@y2+ z
@2Fz
@z2
(1.78)
Uma operação que aparece bastante nos estudos do eletromagnetismo é o rotacionaldo rotacional definido por (1.79).
r⇥(r⇥F) = r(r·F)�r2F (1.79)
1.7.2 Teorema de Stokes e Green
O teorema de Stokes também é responsável pela definição do rotacional sob a formaintegral
ZZ
S
(r⇥F) · n dS =
I
`
F · dl (1.80)
onde n é o vetor normal, ou simplesmente normal a superfície S cuja fronteira é dadapor L. Ao percorrer L segundo a “regra da mão direita” obtemos o sentido positivo dovetor normal. Quando lidamos com superfícies fechadas o vetor normal cuja direção é
24
o interior do volume delimitado pela superfície fechada é distinto do vetor normal cujadireção é exterior ao volume delimitado pela superfície fechada.
Este teorema simplesmente nos diz que a integral de linha de um vetor arbitrário aolongo de um “caminho fechado” é igual a integral de superfície do componente normal dorotacional deste vetor ao redor de qualquer superfície limitada por este caminho fechado.
O teorema de Green também é conhecido como teorema de Gauss ou teorema dodivergente é estabelece que a integral do componente normal de um vetor arbitrário sobreuma superfície fechada é igual a integral do divergente de um vetor sobre o volumedelimitado por esta superfície, vide (1.81).
ZZZ
V
(r·F) dV =
I
S
F · n dS (1.81)
Utilizando-se (1.80) e (1.81) podemos definir tanto o rotacional, como mostra (1.82) e odivergente, como mostra (1.83).
(r⇥F) · n = lim
`!0
1
S
I
`
F · dl (1.82)
r·F = lim
s!0
1
V
I
S
F · n dS (1.83)
1.8 Problemas
1. Resolva
1
r
@
@rr@U(r,�, z)
@r+
@2U(r,�, z)
@z2+
1
r2@2U(r,�, z)
@�2= 0 (1.84)
2. Resolva a seguinte Equação Diferencial Parcial
@2u
@x2+
@2u
@y2= 0
no domínio 0 < x < a, 0 < y < b, sujeito as seguintes condições de contorno
u(x, 0) = f1(x), u(x, b) = f2(x)
para 0 < x < a, tendo como condições iniciais
u(0, y) = g1(y), u(a, y) = g2(y)
para 0 < y < b.
25
3. Considere o mesmo domínio do exercício anterior. Considere um potencial �(x, y)aplicado no lado definido por x = a tal que
�(a, y) = �0 h(y � b/3)h(2b/3� y)
onde h(.) é a função de Heaviside ou função degrau. Resolva a equação de La-place para o potencial � sabendo-se que o mesmo é nulo nos outros três lados doretângulo.
4. Funções especiais são em muitos casos representadas através de séries assintóticas.A expansão em série de Taylor é o caso de uma série convergente, mas uma sérieassintótica é divergente. Avalie o comportamento das seguintes aproximação dasfunções de Bessel de ordem ⌫,
J⌫(x) ⇠r
2
⇡ xcos
⇣x� ⇡
4
(1 + 2⌫)⌘
N⌫(x) ⇠r
2
⇡ xsin
⇣x� ⇡
4
(1 + 2⌫)⌘
H(1)⌫ (x) ⇠
r2
j⇡ xj�⌫
exp(jx)
H(2)⌫ (x) ⇠
rj2
⇡ xj⌫ exp(�jx)
5. As funções de Bessel esféricas podem ser obtidas através da seguinte expressão
j⌫(x) =⇡
2xJ⌫+1/2(x)
calcule a resposta da função de bessel esférica até a sétima ordem, para 0 < x < 10
1.9 Soluções Parciais
1. Notemos que se trata da aplicação da equação de Laplace em coordenadas cilín-dricas e aplicando-se o método de separação das variáveis, sendo U(r,�, z) =
R(r)�(�)Z(z) leva a
d2Z
dz2+ k2zZ = 0
d�
d�+ k2�� = 0
d2R
dr2+ r
dR
dr+R
�k2� + r2 k2z
�= 0
a última das equações acima é uma das equações de Bessel. Logo a solução é dotipo
U(r,�, z) = (C1Jn(krr) + C2Nn(krr)) (C3 exp(krz) + C4 exp(�krz)) (C5 sin(k��)C6 cos(k��))
26
Deve-se ressaltar que as expressões acima não representam soluções únicas, po-dendo haver soluções com jkr, ao invés de apenas kr.
2. A solução pode ser separada em duas parcelas distintas, i.e., u(x) = u1(x)+u2(x)onde
u1(x, y) =2
a
1X
k=1
sinh(k⇡y/a)
sinh(k⇡b/a)
aZ
0
f2(⇠) sin(k⇡⇠/a) sin(k⇡x/a) d⇠
+
sinh(k⇡/a(b� y))
sinh(k⇡b/a)
aZ
0
f1(⇠) sin(k⇡⇠/a) sin(k⇡x/a) d⇠
u2(x, y) =2
b
1X
k=1
sinh(k⇡x/b)
sinh(k⇡a/b)
bZ
0
g2(⇠) sin(k⇡⇠/b) sin(k⇡y/b) d⇠
+
sinh(k⇡/b(a� x))
sinh(k⇡a/b)
bZ
0
g1(⇠) sin(k⇡⇠/b) sin(k⇡x/b) d⇠
3. Utilizando-se os resultados anteriores, temos que o potencial é dado por
�(x, y) =2
b�0
0
B@1X
k=1
sinh(k⇡x/b)
sinh(k⇡a/b)sin(k⇡y/b)
2b/3Z
b/3
sin(k⇡⇠/b)d⇠
1
CA
A figura a seguir apresenta o potencial �(x, y) para o domínio em questão, supondob = a = �0 = 1 e calculando até o termo de ordem 30 da expansão em série deFourier A figura a seguir apresenta o potencial ao longo do lado do quadrado parax = 1, i.e., �(1, y). Como pode-se notar na figura, nos pontos de descontinuidadedo potencial há o surgimento do fenômeno conhecido como Efeito Gibbs
27
0.0
0.5
1.0
x
0.0
0.5
1.0
y
0.0
0.5
1.0
fHx,yL
Figura 1.8: Potencial �(x, y) ao longo do quadrado
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
fH1,yL
Figura 1.9: potencial ao longo do lado do quadrado para x = a
28
CAPÍTULO 2
Campo Eletromagnético –Aspectos Introdutórios
Para o estudo do eletromagnetismo podemos adotar duas posturas bastantes diversas.Na primeira adota-se o comportamento microscópico da matéria, requerendo portanto aMecânica Quântica, e deduz-se a partir dela o comportamento macroscópico. Na segundaabordagem utiliza-se diretamente a formulação das leis baseadas no comportamento ma-croscópico, admitindo-se aí que o menor elemento de volume de interesse seja tal quecontenha um grande número de partículas de forma que a Física Clássica seja válida.Desta forma, diversas relações podem ser consideradas como dados experimentais, nãose averiguando as causas das mesmas.
O emprego da Mecânica Quântica apresenta alguns atrativos por se tratar de uma for-mulação mais geral do comportamento da matéria. Contudo, não há no momento umaestruturação da teoria que permita o cálculo do comportamento macroscópico generali-zado de forma factível. Além do mais existem algumas limitações teóricas. Por exemplo,até a presente data não há uma formulação do eletromagnetismo que permita consideraro cálculo do potencial eletrostático, �, no caso da equação de Poisson, r2
� = �⇢/✏,como uma aproximação de um mecanismo mais detalhado e que não leve, em últimainstância, a alguma forma de absurdo (Feynman, Leighton & Sands 1964). Por outrolado, se r2
� = �⇢/✏ for aplicado a qualquer distância, não importando quão pequena,chega-se a outros absurdos como a energia infinita do elétron. Por estas e outras razõesque a Mecânica Quântica, apesar do seu grande grau de precisão, limita-se a aplicaçõesespecíficas. Para evitar quaisquer absurdos no estudo do eletromagnetismo aqui apresen-tado considerou-se a abordagem clássica com um limite de equacionamento em torno de0,1 mm .
Um campo que é função do tempo e das coordenadas espaciais pode ser definidocomo uma onda. Contudo, nesse texto, usaremos uma notação um pouco mais restrita,pois além dos condicionantes acima mencionadas, é necessário que o campo obedeça aequação da onda. Portanto, termos como onda ou campo são considerados sinônimos,uma vez que o campo eletromagnético obedece as equações de onda, como veremos a
29
seguir.
2.1 Equações de Maxwell
O campo eletromagnético está associado a cargas elétricas discretas que podem estarou não em movimento. Como adotamos a abordagem macroscópica, as cargas elétricassão consideradas com uma distribuição uniforme e velocidades contínuas.
Para um dado elemento de volume, dV , à escala macroscópica mas com um grandenúmero de cargas elementares, com carga elétrica dq, a densidade de carga elétrica é⇢ = dq/dV . Se a carga elétrica se desloca a uma velocidade ⌫, a densidade de correnteJ associada a esse movimento é
J =
dq
dV⌫ = ⇢⌫ (2.1)
O campo eletromagnético é definido por quatro vetores que são função das coordenadas(x, y, z, ) do ponto no espaço e do tempo, a saber:
E – campo elétrico;
D – deslocamento elétrico ou densidade de fluxo elétrico;
B – indução magnética ou densidade de fluxo magnético;
H – campo magnético.
Uma das relações entre estes vetores foi estabelecida por James Clerk Maxwell (Maxwell1954) que consolidou o trabalho de Àmpere, Gauss, Oersted, Faraday e outros. Na re-ferência acima, Maxwell não expressou o campo através das quatro equações que re-ceberam o nome de equações de Maxwell. Apenas 1964, é que o mesmo Maxwellformulou em quatro equações as relações entre eletricidade e magnetismo. A notaçãomais moderna utilizando-se o símbolo r deve-se a Heaviside, que independentementede Maxwell apresentou uma formulação mais compacta entre os campos vetoriais E eH. Um ponto curioso é que as quatro equações se reduzem a apenas uma caso a formu-lação tensorial seja adotada (Jackson 1999, Feynman et al. 1964). Além das equaçõesde Maxwell, há uma outra relação entre os vetores definida por propriedades da matériae das condições iniciais seja da temperatura, seja do estado anterior da matéria, entreoutros. Sob o ponto de vista macroscópico, essas relações podem ser tomadas comoresultado de determinação experimental.
As quatro equações de Maxwell podem ser divididas em dois grupos de duas equa-ções:
• o primeiro estabelece a relação entre o campo elétrico e o campo magnético;
• o segundo define as informações do meio, que também são conhecidas como equa-ções constitutivas.
30
Sob a forma diferencial as duas equações de Maxwell em meios “contínuos” e na ausên-cia de campos aplicados são:
r⇥E = �@B@t
r⇥H = J+
@D
@t
(2.2)
As equações acima mostram que o campo magnético relaciona-se com a “corrente” totale que a variação do campo elétrico acarreta numa variação no vetor de densidade decampo magnético. Caso haja um campo elétrico aplicado, Ea, a primeira das equaçõesem (2.2) passa a ser
r⇥(E�Ea) = �@B@t
O campo aplicado pode ser associado efeitos de heterogeneidade físico-química ou tér-mica e não às cargas e correntes.
As expressões em (2.2) podem ser escrita em forma integral, supondo ainda um meiocontínuo ou contínuo por partes e também a ausência de campos aplicados:
I
L
E · dl = �ZZ
S
@B
@t· n dS
I
L
H · dl = I+
ZZ
S
@D
@t· n dS
(2.3)
onde S é uma superfície regular arbitrária, cujo contorno é dado por L, e n é a normalexterior à superfície. Logo para o caso de um o contorno fixo L, a circulação do campoelétrico ao longo deste contorno é proporcional e de sinal contrário (de acordo com aconvenção de sinais de Stokes) à derivada em relação ao tempo do fluxo do vetor induçãomagnética através de uma superfície S qualquer delimitada por L. Portanto, a circulaçãodo campo elétrico relaciona-se com a variação do fluxo do vetor indução magnética.
Se por um lado, a formulação integral apresenta uma vantagem pois não faz restri-ções à necessidade da existência da derivada dos campos envolvidos como em (2.2). Poroutro, a programação da resolução de equações diferenciais é bem mais simples. Em con-seqüência de (2.2) e tomando como válida a hipótese de conservação de carga obtemosas outras duas equações de Maxwell
r·D = ⇢
r·B = 0
(2.4)
A primeira expressão em (2.4) define que as cargas elétricas, distribuídas com uma den-sidade ⇢ são a origem de D, em outras palavras, as linhas de força de D têm sua origemou seu fim em cargas elétricas. Já a segunda traduz que o vetor B é solenoidal e que,portanto, a densidade de suas linhas de força por um determinado volume representamusualmente caminhos fechados e não há cargas magnéticas. É importante notar que há
31
configurações, onde algumas das linhas de campo que não são caminhos fechados1. Emformulação diferencial, a conservação de carga pode ser expressa como:
r·J = �@⇢@t
(2.5)
A formulação das expressões em (2.4) sob a forma integral, é dada porI
S
B · n dS = 0
I
S
D · n dS =
ZZZ
V
⇢ dV = q(2.6)
onde V é um volume delimitado por uma superfície S fechada, regular, arbitrária, n anormal exterior à superfície e q a carga elétrica total contida no volume V .
A primeira expressão em (2.6) implica que o fluxo de B através de qualquer superfí-cie fechada é nulo, ou seja, o fluxo que entra é igual ao que sai, ou ainda, o fluxo atravésde um tubo de força é constante. Já a segunda expressão traduz que o fluxo de D atravésde uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica contida no volume delimitadopela mesma. Já em notação integral a mesma hipótese é dada por (2.7),
I
S
J · n dS = �ZZZ
V
d⇢
dtdV (2.7)
e para uma superfície fixa, ou seja, uma determinada superfície “constante” (as “bordas”e conseqüentemente toda a área envolvida não varia no tempo)
I
S
J · n dS = �dq
dt(2.8)
Utilizando-se a propriedade (Teorema de Stokes e Green)I
S
F · n dS =
ZZZ
V
r·F dV
e aplicando-se a definição de divergência (vide seção1.7)
r⇥E = �@B@t
r⇥H = J+
@D
@t
(2.9)
1Do ponto de vista formal, campos que apresentam linhas de campos que se fecham apenas no infinitotambém podem ser definidos como sendo solenoidais
32
uma outra propriedade útil é r·r⇥ F = 0 e aplicando-a em (2.2) temos2:
r· @B@t
=
@
@tr·B = 0
r· J+
@
@tr·D = 0
(2.10)
Para que a derivada do divergente de uma função seja nula é necessário que o própriodivergente desta função seja nulo. Em outras palavras:
@
@tr· F = 0 ! r·F = 0 (2.11)
Portanto, r·D� ⇢ = 0 e r·B = 0
2.2 Propriedades do meio
Na formulação das equações de Maxwell, as propriedades do meio podem ser ex-pressas através de relações entre os campos E e H com D e B respectivamente. É o casode:
D = ✏E
B = µH
J = �E
(2.12)
Contudo, estas relações não são universalmente aplicáveis uma vez que os parâmetrosdo tipo ✏, µ, � podem ser escalares ou tensores, lineares ou não lineares, variantes coma freqüência ou com parâmetros termodinâmicos ou mecânicos. Por exemplo, para umdeterminado meio anisotrópico e linear D = D(✏,E), onde ✏ é um tensor simétrico desegunda ordem. Para a relação entre o campo magnético e a densidade de campo magné-tico a permeabilidade magnética µ é considerada constante em cada elemento de volume.Excetuando-se substâncias ferromagnéticas, a relação B e H tem um valor bem próximode µ0 (permeabilidade magnética do vácuo). Nas substâncias ferromagnéticas, esta rela-ção é bastante complexa, sendo biunívoca na maioria das vezes e dependente do estadoanterior (histerese). Usualmente nestes materiais a relação |B|/|H| é algumas ordensde grandeza superior µ0. De forma geral, ainda podemos escrever a relação apresentadaem (2.12), o que implica em supor que ambos vetores possuam a mesma direção, sendoµ = µ(H,B). É possível também definir uma permeabilidade magnética incremental,µi dada por
µi =dB
dH
A última expressão em (2.12) traduz uma relação linear válida em grande números decorpos sólidos e líquidos, sendo � independente do campo elétrico mas dependente da
2A comutação dos operadores r e @/@t é admissível no eletromagnetismo pois tratamos de campos quesão supostamente contínuos, vid seçãoe 1.7
33
temperatura e da pressão. Já o vetor J, mesmo nos sólidos e líquidos depende tambémdo campo magnético, mas de forma tão fraca que normalmente é desprezada. Nos gasesa relação não é em geral linear.
A hipótese de considerar ✏, µ, � escalares e constantes só é válida em gamas limitadasde freqüência.
Limitamos a nossa análise ao caso de um contorno l fixo. Para o caso de contor-nos móveis, ou seja variantes no tempo, é necessário recorrer à teoria da relatividade.Todavia, nos casos onde as velocidades dos contornos for muito inferior à velocidadede propagação das ondas eletromagnéticas é legítimo considerar o conjunto de equaçõesacima.
2.2.1 Potenciais
Já apresentamos as equações de Maxwell, contudo será que não existe uma função oufamília de soluções para as quatro equações? A resposta é sim. As equações de Maxwellpodem ser expressas por potenciais vetores e escalares. Em capítulo posterior vamosexplorar em detalhe esse assunto.
A solução das equações de Maxwell consiste em encontrar funções “intermediárias”que se relacionam diretamente com as fontes e das quais os campos elétricos e magné-ticos podem ser derivados. Este tipo de função é conhecida como potencial e são úteistambém para o caso de eletrostática e magnetostática. A interpretação física pode sermenos clara no caso do potencial vetor magnético, A. De fato, parte da dificuldade físicaestá, possivelmente, ligada ao problema de que este tipo de solução não é univocamentedefinido: existem diversos conjuntos possíveis de solução.
Da equação da densidade de fluxo magnético na forma diferencial, (2.2) temos que ocampo B é sempre solenoidal desta forma pode ser representado na forma:
B = r⇥A0 (2.13)
como o vetor A0 não é univocamente determinado por ser escrito como:
B = r⇥A (2.14)
neste caso,
A = A0 �r (2.15)
onde é uma função escalar arbitrária de um ponto (x, y, z) que deve satisfazer tambémdeterminadas condições de derivabilidade. Aplicando-se (2.15) em (2.2) o campo elétricopode ser expresso por:
r⇥✓E+
@A0
@t
◆= 0
r⇥✓E+
@A
@t
◆= 0
(2.16)
34
Portanto, podemos escrever,
E+
@A0
@t= �r�0
E+
@A
@t= �r�
(2.17)
ou ainda
E = �r�0 �@A0
@t
E = �r�� @A
@t
(2.18)
onde � = �0 + @ /@t. As funções temporais e espaciais do tipo A (A0) são potenciaisvetores e as funções temporais e espaciais similares à � (�0) são potenciais escalares.
Qualquer par de funções A, � (ou A0, �0), para uma função arbitrária , conduz aoscampos E, B. Em meios onde a carga e a densidade de corrente são nulas, um possívelcampo é dado por �0 = 0, A0 = 0. A função escalar é agora qualquer solução daequação homogênea
r·A+ µ✏@�
@t= 0
Visto que � e satisfazem a mesma equação, pode ser escolhido de forma que � sejanulo. Neste caso, o campo é determinado apenas pelo potencial vetor.
Num meio linear, homogêneo e isotrópico, com ✏ e µ constantes no domínio do tempoconsiderado, temos:
D = �✏✓r�+
@A
@t
◆
H =
1
µr⇥A
(2.19)
Substituindo (2.19) em (2.2)
r⇥r⇥A+ µ✏r@�
@t+ µ✏
@2A
@t2= µJ
r2�+
@
@tr·A = �⇢
✏
(2.20)
Para o conjunto de equações acima podemos, ainda, impor-se uma condição adicionalarbitrária com relação ao gradiente do potencial vetor. Duas condições são possíveis. Aprimeira dá origem aos potenciais instantâneos de Maxwell, definido por r·A = 0. Asegunda, que gera os potenciais retardados de Lorentz, é dada por
r·A+ µ✏@�
@t= 0
35
Notemos que o campo elétrico é medido em volts/metro e que o potencial escalar émedido em volts. A unidade do potencial vetor pode ser expressa em webbers/metro ouvolts-segundo/metro ou mesmo joules/ampere. O produto da corrente com o potencialvetor é energia.
É possível também definir um potencial vetor elétrico dual ao potencial vetor (mag-nético) A tal que
E = �r⇥ F (2.21)
2.2.2 Potenciais Instantâneos de Maxwell
A condição adicional de Coulomb ou calibre de Coulomb dá origem aos potenciaisinstantâneos de Maxwell. Ela consiste em definir os potenciais A e � a partir de r·A =
0, o que corresponde a função arbitrária satisfazendo a condição:
r2 = r·A0 (2.22)
sendo A0 e �0 uma solução particular de (2.20). Com esta condição adicional “arbitrá-ria”, o potencial escalar � é univocamente definido por (2.23)
r2� = �⇢
✏(2.23)
Utilizando-se a identidade vetorial r2G = r(r·G)�r⇥(r⇥G) em (2.19), na equa-ção do divergente de A temos da primeira equação de (2.20),
r2A = �µ
✓J+
@D
@t
◆(2.24)
onde o vetor A é definido de forma unívoca.Consideremos um ponto de observação P 0 definido pelas coordenadas, (x0, y0, z0) e
um ponto genérico P representado por (x, y, z). Os potenciais instantâneos de Maxwelltem a seguinte solução
�(P 0, t) =1
4⇡✏
ZZZ
V
⇢(P, t)
rdV (2.25)
A(P 0, t) =µ
4⇡
ZZZ
V
1
r
✓J(P, t) +
@D(P, t)
@t
◆dV (2.26)
onde t é o tempo no ponto de observação e r =
p(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2
Na formulação apresentada em (2.25) e (2.26) os potenciais A, � não separam-se,pois implicitamente o vetor D, que por sua vez é função de �, é “empregado” na obtençãode A. Há também uma relação entre A com a corrente total J + @D/@t bem comocom � e ⇢ no mesmo instante de tempo. Ainda em relação as potenciais haveria uma
36
propagação instantânea dos campos E, H obtidos a partir dos potenciais, apesar dosmesmos possuírem uma velocidade de propagação finita dada por
⌫ =
r1
µ✏(2.27)
A expressão do potencial vetor elétrico em forma integral possui uma expressão si-milar a (2.26) como mostra a (2.28)
F(P 0, t) =✏
4⇡
ZZZ
V
1
rK(P, t)dV (2.28)
onde K é chamado de densidade de corrente magnética, cuja relação com o campo elé-trico é dada por
K = �r⇥E (2.29)
2.2.3 Potenciais Retardados de Lorentz
Um outro conjunto de potenciais comumente utilizados são conhecidos como poten-ciais retardados que se reduzem aos potenciais utilizados nos casos dos campos estáticosno limite quando não há variações do tempo. Eles consistem em utilizar a condiçãoadicional de Lorentz (Calibre de Lorentz) para definir os potenciais A e �:
r·A+ µ✏@�
@t= 0 (2.30)
que corresponde a um função arbitrária satisfazendo a condição,
r2 � µ✏@2
@t2= r·A0 + µ✏
@�
@t(2.31)
sendo A0, �0 uma solução particular de (2.20). Com esta condição adicional “arbitrária”,os potenciais A, � são univocamente definidos por (2.32)
r⇥r⇥A�r(r·A) + µ✏@2A
@t2= µJ
r2�� µ✏
@2�
@t2= �⇢
✏
(2.32)
empregando-se o mesmo raciocínio da seção anterior temos:
r2A� µ✏@2A
@t2= �µJ (2.33)
Ao contrário do item anterior, as equações apresentadas aqui separam os potenciaisA e �, relacionam A com J e � com ⇢ separadamente e possuem a forma de equaçãode onda com fontes associadas a J e ⇢, com uma velocidade de propagação ⌫ = 1/
pµ✏
37
Consideremos um ponto de observação P 0 definido pelas coordenadas, (x0, y0, z0) eum ponto genérico P representado por (x, y, z). Os potenciais instantâneos de Maxwelltem a seguinte solução
�(P 0, t) =1
4⇡✏
ZZZ
V
⇢(P, t⇤)
rdV (2.34)
A(P 0, t) =µ
4⇡
ZZZ
V
1
rJ(P, t⇤) dV (2.35)
onde t⇤ = t� r/⌫ e r =
p(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2
2.2.4 Dualidades entre os Campos
Há nas equações de Maxwell, seja na forma diferencial, seja na forma integral, umarelação de dualidade entre os vetores E e H, bem como entre D e B. Apresentamos natabela a seguir as dualidades presentes nos campos eletromagnéticos. Desta forma, aousar uma equação envolvendo cargas e correntes substituirmos os elementos na colunada esquerda pelo elemento correspondente na coluna da direita, obtemos a equação dualpara o campo magnético. De forma similar, a partir de qualquer tipo de solução para ocampo magnético é possível encontrar o campo elétrico dual. Essa dualidade simplificaa solução dos campos eletromagnéticos, uma vez que os dois campos correspondem aapenas um sistema de equações matemáticas.
Tabela 2.1: Relações duais no eletromagnetismo
Apenas Fontes Elétricas Apenas Fontes MagnéticasE H
H �E
D B
B -DJ K
A F
✏ µµ ✏
2.2.5 Vetor de Hertz
Ao invés de utilizar os potenciais vetores e escalares uma outra fórmula de soluçãoconsiste em utilizar o vetor potencial de Hertz ou simplesmente Vetor de Hertz. Destaforma é possível exprimir o campo magnético e os potenciais, � e A a partir de um únicovetor “potencial”, permitindo-se expressar tanto H e E diretamente deste vetor.
38
Numa região do espaço linear, homogênea e isotrópica, em que não haja correntes decondução nem cargas, consideramos um vetor ⇧ de forma que
A = µ✏@⇧
@t(2.36)
com uma escolha conveniente do grau de liberdade de � e A, obtemos uma soluçãocorrespondente às seguintes relações:
r2⇧E � µ✏@2⇧E
@t2= 0 (2.37)
Desta forma as demais grandezas, �, B e E podem ser relacionadas com ⇧E por:
� = �r·⇧E
B = µ✏r⇥ @⇧E
@t
E = r(r·⇧E)� µ✏@2⇧E
@t2
(2.38)
onde
r2⇧E � µ✏@2⇧E
@t2= �P
✏(2.39)
e P é um vetor de polarização associado às fontes e definido por:
J =
@P
@t⇢ = �r·P
Deixamos como exercício a prova que tanto E quanto H expressos conforme (2.38)satisfazem as equações de Maxwell. A título de ilustração a Fig. 2.1 apresenta o campovetorial para um dipolo de Hertz, estando o mesmo localizado na origem. As setas maislongas são causadas pela singularidade do dipolo na origem.
Há também uma solução alternativa ⇧M que satisfaz às equações do campo ele-tromagnético em meio linear, homogêneo e isotrópico e sem correntes de condução oucargas.
F = µ✏@⇧M
@t�⇤
= �r·⇧M
D = µ✏r⇥ @⇧M
@t
H = r(r·⇧M )� µ✏@2⇧M
@t2
(2.40)
Portanto, em principio, o campo eletromagnético pode ser decomposto em duas parcelasuma relacionada ao vetor ⇧E e outra do vetor ⇧M .
39
Figura 2.1: Campo Vetorial de um dipolo de Hertz
Para a formulação apresentada aqui a origem dos campos é externa à região conside-rada. Para interpretar a diferença entre ⇧E e ⇧M é conveniente considerar os domíniosdo espaço sem a referida restrição, o que aproveita a separação entre as duas soluçõese associa ⇧E e ⇧M às “fontes” (ou origem) do campo eletromagnético. Por exemplo,considerando meios com polarização elétrica residual, P0 e polarização magnética resi-dual, M0, ambas função de um ponto com coordenadas, x, y e z e independentes de Ee de H, mas em que não haja correntes de condução nem cargas e sendo constantes nodomínio de tempo considerado, D e H podem ser expressas por:
D = ✏E+P0
H =
1
µB�M0
(2.41)
Alternativamente a segunda equação em (2.41) pode ser expressa por: B = µ(H+M0)
utilizando-se convenientemente os graus de liberdade das soluções de potencial obtemos:
r2⇧E � µ✏@2⇧E
@t2= �P0
✏
r2⇧M � µ✏@2⇧M
@t2= �M0
E = r(r·⇧E)� µ✏@2⇧E
@t2� µ
@
@tr⇥⇧M
H = ✏@
@tr⇥⇧E +r(r·⇧M )� µ✏
@2⇧M
@t2
(2.42)
40
Nestas condições consideramos como fonte do vetor ⇧E a polarização residual elé-trica, P0, e a fonte do vetor ⇧M é a polarização residual magnética, M0. Na hipótesede, num determinado domínio espacial não houver polarização residual elétrica ou mag-nética, e o meio for caracterizado por ✏, µ e � constantes obtemos soluções do tipo:
E = r⇥r⇥⇧E � µ@
@tr⇥⇧M
H = r⇥✓✏@⇧E
@t+ �⇧E
◆+r⇥r⇥⇧M
(2.43)
Quando o interesse é o estudo de comportamento dos campos harmônicos, onde asfunções envolvidas possuam uma variação temporal do tipo exp(j!t) é mais útil relacio-nar diretamente o termo r⇥r⇥⇧E (ou r⇥r⇥⇧M ) através da relação apresentadaem (2.44).
r⇥r⇥⇧E = r (r·⇧E)� µ✏@2⇧E
@t2� µ�
@⇧E
@t= 0
r⇥r⇥⇧M = r (r·⇧M )� µ✏@2⇧M
@t2� µ�
@⇧M
@t= 0
(2.44)
2.3 Vetor de Poynting
O Vetor de Poynting é um elemento conhecido devido as disciplinas de eletromagne-tismo apresentadas na graduação. É importante pois permite uma associação do fluxo depotência com grandezas físicas diretas. A dedução do Vetor de Poynting é feita a partirdas equações de Maxwell, na ausência de campos aplicados e tomando meios que sejam“contínuos”.
r⇥E = �@B@t
r⇥H = J+
@D
@t
(2.45)
Multiplicando-se a primeira equação em (2.45) à esquerda por H e a segunda por E,onde a multiplicação é feita em termos de produto escalar, temos:
H ·r⇥E+H · @B@t
= 0
E ·r⇥H�E · @D@t
= E · J(2.46)
Subtraindo-se uma equação da outra em (2.46) e aplicando-se a identidade vetorial a
r·(F⇥G) = G(r⇥F)� F(r⇥G (2.47)
leva a (2.48).
r·(E⇥H) +E · J = �E · @D@t
�H · @B@t
(2.48)
41
Por fim, integrando-se a eq.(2.48) acima num volume V limitado por uma superfície S,temos:ZZ
S
(E⇥H) · n dS +
ZZZ
V
E · J dV = �ZZZ
V
✓E · @D
@t+H · @B
@t
◆dV (2.49)
A existência de um campo elétrico externo, E0, implica em:
J = �(E+E0) (2.50)
substituindo-se a (2.50) em (2.49), resulta em:
r·(E⇥H) + �E ·E+E · @D@t
+H · @B@t
= E0 · J (2.51)
que pode ser escrita sob a seguinte forma integralZZ
S
(E⇥H) · n dS +
ZZZ
V
�E ·E dV +
ZZZ
V
✓E · @D
@t+H · @B
@t
◆dV =
ZZZ
V
E0 · J dV
(2.52)
Definindo o vetor de Poynting como
S = E⇥H (2.53)
é possível obter a seguinte expressão, em forma diferencial:
r·S+ �E ·E+E@D
@t+H
@B
@t= E0 · J (2.54)
ou em forma integralZZ
S
S · n dS +
ZZZ
V
�E ·E dV +
ZZZ
V
✓E · @D
@t+H · @B
@t
◆dV =
ZZZ
V
E0 · J dV
(2.55)
São possíveis diversas interpretações das parcelas em (2.55), apresentamos aqui ape-nas uma:
• @u@t = E · @D
@t representa a derivada parcial em relação ao tempo da densidadevolumétrica de energia elétrica, u associada aos campos E e D;
• @w@t = H · @B
@t representa a derivada parcial em relação ao tempo da densidadevolumétrica de energia magnética, w, associada aos campos H e B;
• �E · E densidade volumétrica de potência dissipada por efeito da condutividadedo meio;
42
• E0 · J densidade volumétrica de potência fornecida ao meio por interação entre ocampo elétrico externo e a corrente de condução.
Desta forma a parcela r·S traduz o fluxo de energia eletromagnética que atravessa umasuperfície delimitada pelo elemento dS, e o fluxo do vetor de Poynting pode então serinterpretado como a potência eletromagnética que atravessa essa superfície. O fluxo deenergia eletromagnética passa ser diretamente associado aos campos E e H e não àscargas e correntes.
O raciocínio apresentado aqui diz respeito a uma superfície “fechada” e que sua gene-ralização para uma superfície aberta não é trivial e não pode seguir a estrutura apresentadaaqui.
2.4 Solução da Equação de Onda
Nos casos apresentados nos itens anteriores, em domínio do espaço onde não existemfontes associadas às grandezas em análise temos equações do tipo,
r2F + k2@2F
@t2= 0 (2.56)
onde F pode ser um vetor ou escalar, podendo incluir domínios de variáveis complexas.A equação em (2.56) nada mais é que a equação de onda, que no caso mais geral emmeio com perdas também é conhecida como equação de Helmholtz, que é uma equaçãodiferencial parcial elíptica. A solução de (2.56) pode incluir uma infinidade de formas.Um detalhe importante que deve ser ressaltado aqui:
• A solução de equações diferenciais é diferente das equações algébricas! Ninguémsabe como resolver uma equação diferencial, o que sabemos é a família de funçõesque podem ser adaptadas a um conjunto ou outro de equações dadas as condiçõesde fronteira.
No caso particular da equação de onda, podemos obter uma função ou até mesmo umsomatório finito ou infinito de funções que satisfaça às condições de fronteira ou às con-dições impostas pelas fontes no interior do domínio do espaço estudado.
Por outro lado, diversas “famílias” de soluções de equações de onda podem converter-se na sobreposição de diversas famílias de eq. de ondas. É o caso de ondas planas,cilíndricas e esféricas, onde a escolha mais conveniente do tipo de solução depende,basicamente, das condições de fronteira ou das fontes.
Consideremos um exemplo simples onde F é escalar num sistemas de coordena-das cartesianas ortogonais, função de uma única coordenada espacial, x, e do tempo, t,F (x, t), sendo o meio ideal e sem perdas de constantes µ e ✏. Temos:
@2F
@x2� µ✏
@2F
@t2= 0 (2.57)
43
A equação (2.57) tem como solução F = F1(x� ⌫t) +F2(x+ ⌫t), onde Fi são funçõesarbitrárias dos argumentos, restritos apenas às condições de contorno, correspondentesa ondas propagando-se no sentido crescente e decrescente de x com uma velocidade ⌫dada por (2.27).
No caso de haver em determinados domínios do espaço fontes associadas à grandezaem análise, uma forma mais geral de (2.57) pode ser escrita:
@2F
@x2� µ✏
@2F
@t2= M(P, t) (2.58)
onde P é um ponto do espaço e M(P, t) independe de F .A solução de (2.58) pode ser decomposta na soma de soluções particular e soluções
da equação homogênea. No caso do cálculo de campos eletromagnéticos nas aplicaçõestípicas de Engenharia é interessante utilizar funções que sejam senoidais ou exponenciaisem relação ao tempo. Em termos físicos, a resposta, na maioria das vezes, corresponde autilizar a parte real da resposta completa que é complexa. Desta forma podemos reescre-ver F (P, t) e M(P, t) da seguinte forma:
F (P, t) = <(F (P ) exp(±j!t))
M(P, t) = <(M(P ) exp(±j!t))(2.59)
onde F (P ) e M(P ) são complexos funções do ponto P e independente de t. Considerando-se então funções complexas (2.58) e (2.57) podem ser escritas como:
r2F + µ✏!2F = 0
r2F + µ✏!2F = M(2.60)
o parâmetro de propagação do meio, k, para uma freqüência angular !, pode ser expressocomo k =
p!2µ✏.
A grande vantagem da formulação complexa está no fato que ao invés de equaçõesdiferenciais nas coordenadas espaciais e no tempo, passamos a ter equações diferenci-ais ordinárias, i.e., apenas em coordenadas de espaço ou da freqüência. Note-se que oprocedimento é o memos da separação de variáveis, conforme apresentado no capítuloanterior.
Consideremos o exemplo muito simples, onde F é um escalar num sistemas cartesi-ano de coordenadas e função apenas de uma única coordenada espacial x e do tempo t,(F (x, t)). Na formulação de (2.60) temos:
F = F (x) = C1 exp(jkx) + C2 exp(�jkx) (2.61)
onde C1 e C2 são constantes complexos dadas pelas condições de contorno, logo
F (x, t) = C1 exp(jkx) exp(±j!t) + C2 exp(�jkx) exp(±j!t) (2.62)
44
As duas parcelas de (2.62) correspondem a “ondas senoidais” com fases propagando-se em sentidos opostos. No caso geral o meio é dissipativo e a equação de onda pode serexpressa como:
r2F � µ✏@2F
@t2� µ�
@F
@t= 0
r2F � µ✏@2F
@t2� µ�
@F
@t= M(P, t)
(2.63)
onde � é a condutividade do meio. A solução das equações em (2.63) é menos simplesque no caso dos meios não dissipativos. Todavia, no domínio da freqüência, a dificuldade,é essencialmente a mesma, ou seja, independente se o meio é dissipativo ou não. Porexemplo, consideremos as grandezas da forma3:
F (P, t) = <(F (P ) exp(±j!t))
M(P, t) = <(M(P ) exp(±j!t))
Para grandezas na forma complexa, as equações em (2.63) reduzem-se a:
r2F + µ✏!2F ± jµ�!F = 0
r2F + µ✏!2F ± jµ�!F = M(2.64)
sendo, o significado do parâmetro de propagação, k, do meio, com freqüência angular !é dada por:
k =
pµ✏!2 ± j!µ� (2.65)
Similar ao caso não dissipativo, a adoção da formulação complexa permite obter umaseparação de variáveis transformando as equações diferenciais parciais em ordinárias. Aalteração importante está no fato que k torna-se complexo onde antes era real para o casonão dissipativo. A parte imaginária de k está associada à atenuação, para uma freqüênciaangular !, originada pela dissipação do meio.
Conforme o caso não dissipativo, a solução envolve ondas que se propagam em sen-tidos contrários. Estas ondas, por sua vez, são grandezas do tipo senoidal-exponenciaisou exponenciais, ou seja ondas amortecidas. Em termos de grandezas não senoidais, aatenuação implica em geral na alteração da forma relativa da onda ao propagar-se, nãohavendo, em geral, soluções do tipo
F = F1(x� ⌫t) + F2(x+ ⌫t)
A análise no domínio da freqüência, tem a vantagem de permitir considerar a variaçãodos parâmetros do meio em função da freqüência, o que não pode ser expresso direta-mente, salvo formulações laboriosas, em equações diferenciais no espaço e no tempo.Por sua vez, a modelagem no domínio do tempo permite uma manipulação mais diretade fenômenos não lineares.
3Consideramos, a príncipio, o caso geral onde grandezas temporais podem ser expressos por exponen-ciais complexas do tipo exp(j!t) ou exp(�j!t). É por esta razão que agumas grandezas apresentam osímbolo ±
45
2.5 Problemas
1. Utilizando o código do cálculo do vetor de Hertz apresentado em sala de aula incluao efeito da dependência com o tempo.
2. Mostre que incluindo-se a polarização P e a magnetização M através das equaçõesnum meio isotrópico, infinito e uniforme de parâmetros ✏ e µ constantes, conformeabaixo,
D = ✏E+P
H = B/µ�M
as equações de Maxwell podem ser escritas como
r·D = ⇢ext
r⇥H = Jext +@D
@t
onde a densidade de corrente pode ser dividida em duas partes. Uma referente aoefeito da indução dos campos eletromagnéticos no meio e outra devido a ação defontes externas de corrente
J = Jind + Jext
sendo o mesmo passível de ser aplicado à densidade de carga
⇢ = ⇢ind + ⇢ext
3. Considere uma onda eletromagnética se propagando no vácuo possuindo os se-guintes componentes para o campo magnético em coordenadas cilíndricas (usandocoordenadas {r,�, z})
Hr = 0
H� = J1(kr sin↵) exp(jkz cos↵� !t)
Hz = 0
Calcule o campo elétrico associado.
4. Determine o rotacional do potencial vetor quando A é dado por
A =
ˆrr + ˆ� cos� (2.66)
e por
A =
ˆrx (2.67)
46
2.6 Soluções Parciais
1. Dica: veja o arquivo dado em sala de aula e note que pode-se animar o vetor de umtempo de propagação k=1,
2. Inserindo
J = Jind + Jext
⇢ = ⇢ind + ⇢ext
e
Jind =
@P
@t+r⇥M
⇢ind = �r·P
nas equações de Maxwell temos
r⇥B = µ
✓Jext +
@P
@t+r⇥M
◆+ µ✏
@E
@t
✏r·E = ⇢ext �r·P
que pode ser rescrito como
r⇥✓1
µB�M
◆= Jext +
@(P+ ✏E)
@t
r· (✏E+P) = ⇢ext
Agora introduzindo-se D e H conforme apresentado no enunciado, temos
r·D = ⇢ext
r⇥H = Jext +@D
@t
3. Como se trata de uma onda eletromagnética se propagando no vácuo temos B =
µ0H. É necessário verificar se as expressões estão corretas e o divergente de B énulo. Devemos resolver o seguinte conjunto de equações
Z(r⇥B) = E
Notemos que para ser a solução correta, as expressões de E devem ainda satisfazerr·E = 0 por se tratar de uma onda eletromagnética se propagando no vácuo.
4. Aplicando-se diretamente a definição de rotacional temos, para o primeiro caso
r⇥A =
cos�
rz
já para o segundo caso o rotacional do potencial vetor é nulo.
47
48
Parte II
Campos Estacionários
49
CAPÍTULO 3
Eletrostática
No caso de campos estáticos (eletrostática e magnetóstatica) podemos obter as equa-ções básicas a partir das equações de Maxwell considerando todos os termos que possuem@/@t = 0, conforme mostra (3.1)
r·E = � ⇢
✏0r⇥E = 0
r·H = 0
r⇥H = J
(3.1)
Neste caso particular é possível separar as equações em dois conjuntos, um onde apareceapenas o campo elétrico, E e outro onde há apenas campo magnético, H. Isto serve pararealçar o fato que eletricidade e magnetismo são fenômenos distintos desde que envolvamcorrentes e cargas estáticas. A eletrostática é um bom exemplo de um campo irrotacional(rotacional nulo) e com divergente diferente de zero. Já a magnetostática é um caso deum campo solenoidal (divergente nulo) e um rotacional não nulo.
3.1 Lei de Coulomb
Nesta item vamos examinar não o conjunto de equações de Maxwell, mas com umcaso mais simples envolvendo o cálculo de forças devidos a cargas estáticas.
A Lei de Coulomb nos mostra que a força ao longo de uma linha reta de uma carga,q1 para outra, q2 é dada por:
F1 =1
4⇡✏0
q1q2r212
r = �F2 (3.2)
51
onde F1 é a força que atua na carga q1, r é um vetor unitário de q1 para q2, a força F2
atua em q2 sendo igual e oposta a F1.Para aplicação geral onde há mais de duas cargas presentes, que representa um caso
mais interessante e prático, devemos nos valer do teorema da superposição pois para ashipóteses em questão podemos considerar lineares os sistemas eletrostáticos.
O campo elétrico é um conceito útil para expressar a Lei de Coulomb, digamos queE(x, y, z) é uma “força por unidade de carga” em q1 devido a todas as outras cargas,podendo ser expresso por:
E(x, y, z) =nX
j 6=1
1
4⇡✏0
qjr2ij
r1j (3.3)
Em módulo podemos expressar (3.3) por
E(x1, y1, z1) =nX
j 6=1
1
4⇡✏0
qj(x1 � xj)
[(x1 � xj)2 + (y1 � Yj)2 + (z1 � zj)2]3/2
(3.4)
Normalmente é conveniente ignorar o fato que cargas atuam em pacotes como elétrons eprótons, uma vez que não estamos interessados no que acontece em escalas tão diminutas.Uma distribuição de carga ⇢(x, y, z). Se uma quantidade de carga em pequeno volume�V2 no ponto (x2, y2, z2) é �q2, e ⇢ é definido por:
�q2 = ⇢(x2, y2, z2)�V2
A aplicação da Lei de Coulomb neste caso demanda que os somatórios de (3.3) sejamsubstituídos por uma integral sobre todo o volume contendo cargas, como mostra (3.5).
E(x, y, z) =1
4⇡✏0
ZZZ
V
⇢(x, y, z)
r2r dV (3.5)
Com a formulação integral podemos calcular os campos produzidos por uma linha,um “filme” ou uma casca esférica com carga, ou qualquer outra distribuição específicade carga. Do ponto de vista prático podemos dizer: conhecendo as cargas basta calculara integral para obtenção do campo, embora a integral envolva algumas complicações porser tridimensional.
3.2 Potencial Elétrico
O potencial elétrico pode ser relacionado com o trabalho realizado para carregar umacarga de um ponto a outro. Se uma carga move-se de um ponto a para um ponto b,
W = �Z b
aF · dl
onde F é a força elétrica que atua na carga em cada ponto e dl é o vetor diferencialde deslocamento ao longo do caminho que une os limites da integral. Todavia é mais
52
interessante considerar o trabalho por unidade de carga. A força que atua na carga é nu-mericamente igual ao campo elétrico. Chamando o trabalho realizado pela força elétricaneste caso de W 0, podemos escrever
W 0= �
Z b
aE · dl
No caso de campos eletrostáticos a integral independerá do caminho utilizado sendo fun-ção apenas dos pontos a e b. Podemos pensar no campo eletrostático como sendo conser-vativo. Uma vez que o valor da integral depende apenas dos pontos terminais podemosescolher um ponto de referência P0, considerando �(a) como o trabalho realizado pelocampo de P0 até o ponto a e �(b) é o trabalho realizado entre P0 até o ponto b. A integralenvolvida pode então ser expressa por:
�Z b
aE · dl = �(b)� �(a) (3.6)
Como a expressão (3.6) depende apenas dos pontos terminais não é necessário especificaro ponto P0, � é um campo escalar e função dos pontos (x, y, z). De forma geral podemosdefinir
�(P ) = �Z P
P0
E · dl (3.7)
sendo comum definir o ponto de referência no infinito. Portanto, para uma carga naorigem, o potencial � para um ponto (x, y, z) é dado por (3.8).
�(x, y, z) =q
4⇡✏0
1
r(3.8)
Para o caso geral de várias cargas ou uma distribuição uniforme de cargas o potencialnum ponto de coordenadas (x, y, z), temos as equações (3.9)
�(x, y, z) =X
j
1
4⇡✏0
qjrj
�(x, y, z) =1
4⇡✏0
ZZZ
V
⇢(x, y, z)
rdV
(3.9)
O potencial � possui um significado físico, é a energia potencial no qual uma cargaunitária teria ao ser “levada” de um ponto específico no espaço a partir de uma referência.O campo elétrico E pode ser expresso como:
E = �r� (3.10)
Contudo se o campo elétrico é dado pelo gradiente de um campo escalar implica que orotacional de E deve ser nulo, r⇥E = 0, o que coincide com as equações de Maxwell
53
para o caso eletrostático. Uma outra forma de entender seria lembrar que o trabalhocalculado ao longo de um caminho fechado é nulo
I
`
E · dl = 0
Sugere-se como exercício que se calcule o rotacional do campo elétrico através do campode uma carga pontual. Note que pelo princípio da superposição, se este rotacional for nulopara uma carga ele o será para qualquer distribuição de carga.
3.3 Divergente do Campo Elétrico
Pode-se se provar que para um carga pontual q o fluxo do campo elétrico que passequalquer superfície S que envolva a carga será dado por
ZZ
S
E dS =
q
✏(3.11)
Caso a superfície não envolva carga alguma, o resultado da integral será nulo. Esta é umaforma de se expressar a Lei de Gauss, apelando para um raciocínio bastante intuitivo esem grandes rigores matemáticos. Para um sistema com n cargas teremos:
ZZ
S
E · n dS =
nX
i=1
qi✏0
(3.12)
onde S é qualquer superfície fechada que envolva o conjunto de cargas, n é o vetorunitário normal a superfície S. Caso a carga seja descrita por uma densidade de carga ⇢,podemos considerar um volume infinitesimal dV e a eq.(3.12) pode ser reescrita como:
ZZ
S
E · n dS =
ZZZ
V
⇢ dV (3.13)
onde V é o volume limitado pela superfície S. Sob a forma diferencial podemos aindaescrever:
r·E =
⇢
✏0(3.14)
3.4 Equipotenciais
Ainda que já tenhamos definido o campo elétrico em termos de vetores no tempo éinteressante uma descrição geométrica do seu comportamento. De fato que, tanto o fluxo,que é proporcional a carga envolvida, quanto o campo elétrico, que é o gradiente de umafunção potencial, podem ser representados geometricamente, através da equipotenciais.
54
Figura 3.1: Linhas de Campo e Equipotenciais
As equipotenciais nada mais são que linhas que mostram todas as direções possíveisdo vetor campo elétrico. Pode-se até utilizar a “regra” que a intensidade do campo elé-trico é definida pela densidade das linhas. Em termos das linhas de campo, a Lei de Gaussnos mostra que elas devem começar na carga positiva e continuar indefinidamente até en-contrar uma carga negativa. A título de exemplo apresentamos a seguir as equipotenciaise as linhas de campo para o caso de duas cargas elementares de sinais opostos.
3.5 Equilíbrio Eletrostático
Considere um triângulo equilátero em que cargas negativas de mesmo valor sejamcolocadas no vértice deste triângulo. Se uma carga positiva fosse colocada no centro dotriângulo, o sistema permaneceria em equilíbrio? Ainda mais, este equilíbrio seria está-vel? A resposta é não, de fato, não há pontos de equilíbrios estáveis em eletrostática. ALei de Gauss torna fácil de ver esta acertiva. Primeiro, para uma carga estar em equilíbrioem determinado ponto do espaço, o campo deve necessariamente ser nulo. Segundo, parao equilíbrio ser estável seria necessário existir alguma força restauradora, caso, como noexemplo acima, houvesse um pequeno deslocamento de qualquer uma das cargas. Porexemplo, considere uma dupla de cargas q1 e q2, a força neste sistema é dada por:
F = q1E1 + q2E2
onde Ei são os campos devidos às cargas qi, supostas livres no espaço. Calculando-se odivergente da força temos:
r·F = q1(r·E1) + q2(r·E2)
Como neste caso os divergentes do campo elétrico são nulos, assim será com o diver-gente da força. Para o sistema estar em equilíbrio estável, seria necessário um divergentenegativo.
Um sistema de três cargas de mesma polaridade poderiam estar em equilíbrio sehouvesse a atuação de outras forças, conforme mostra a Fig. 3.2
55
+ ++
Figura 3.2: Cargas em equilíbrio devido a atuação de forças externas
3.5.1 Equilíbrio em Condutores
Se não há equilíbrio eletrostático, quando lidamos com um conjunto fixo de cargas, omesmo seria válido para um sistema de condutores. Em condutores, as cargas movem-selivremente. Teria esta liberdade a propriedade de manter o sistema em equilíbrio? Aresposta ainda é não. A prova fica a cargo do leitor.
Talvez estas duas curtas seções tenham trazido a idéia que não é possível manteruma carga em equilíbrio, contudo, este raciocínio esta incorreto. Para manter uma cargaem equilíbrio são necessários campos variantes no tempo, o que apenas não é o caso daeletrostática.
3.6 Equações do Potencial Eletrostático
Já vimos que o campo elétrico, no caso invariante no tempo, pode ser descrito comoo gradiente de uma função escalar como mostra (3.10) e aplicando-a em (3.1) obte-mos (3.15), supondo que o meio possui permitividade igual ao do vácuo.
r ·r� = r2� = � ⇢
✏0(3.15)
Caso ⇢ seja conhecido para qualquer ponto (x, y, z), o potencial em coordenadas (x0, y0, z0)será dado por:
�(x0, y0, z0) =
ZZZ
V
⇢(x, y, z)
4⇡✏0rdV
onde dV é o diferencial de volume e r é a distância entre os pontos (x, y, z) e (x0, y0, z0).Neste caso particular a equação diferencial a ser resolvida é substituída pela integraçãonum volume.
A equação (3.15) é conhecida como equação de Poisson e a grande maioria dos pro-blemas de eletrostática resume-se ao seu estudo ou de uma equação similar, a equaçãode Laplace, como mostra a (3.16) no caso de não haver cargas, ou densidade de cargas,envolvidas.
r2� = 0 (3.16)
A solução do campo eletrostático é direta caso a posição de todas as cargas seja conhe-cida, como veremos em alguns exemplos a seguir.
56
3.6.1 Dipólo Elétrico
Considere duas cargas de valores q e �q separadas de uma distância vertical d, coin-cidente com o eixo z e seja a origem das coordenadas o ponto médio da distância quesepara as cargas. O potencial é dado por:
�(x, y, z) =1
4⇡✏0
"qp
(z � (d/2))2 + x+ y2� qp
(z � (d/2))2 + x+ y2
#(3.17)
Casos interessantes ocorrem onde estamos apenas interessados no campo em distânciasque podem ser comparadas como muito maiores que a separação das cargas, comumenteconhecidos como dipólos.
Se as cargas estão separadas por uma distância d finita podemos realizar a expansãobinomial
(z � d
2
)
2 ⇡ z2 � zd
e se por conveniência de notação adotarmos z2 + x2 + y2 = r2, é possível manipular aexpressão (3.17) da seguinte forma
1p(z � (d/2))2 + x+ y2
⇡ 1pr2(1� (zd/r2)
⇡ 1
r
✓1� zd
r2
◆�1/2
Aplicando-se novamente a expansão binomial temos:
1
r
✓1 +
zd
2r2
◆
De forma similar, podemos efetuar raciocínio semelhante para a outra fração em (3.17),o que nos dá a seguinte expressão para o potencial
�(x, y, z) =1
4⇡✏0
z
r3qd (3.18)
O termo qd é comumente conhecido com o momento de dipólo elétrico e recebe o sím-bolo p = qd. Desta forma podem reescrever (3.18) como
�(x, y, z) =1
4⇡✏0
p cos ✓
r2(3.19)
onde z/r = cos ✓ é o ângulo do eixo do dipólo e o raio do vetor que separa a origemao ponto (x0, y0, z0) onde se quer calcular o potencial. Uma outra forma de escrever aeq.(3.19) consiste em definir um vetor p de magnitude p, cuja direção é ao longo do eixodo dipólo sendo orientado da carga negativa para a positiva e r é o vetor unitário radial.Desta forma
�(r) =1
4⇡✏0
p
r3r (3.20)
57
O campo elétrico é obtido pelo gradiente como mostra a eq.(3.21) para os componentesEz , Ex e Ey.
Ez = � p
4⇡✏0
3 cos
2 ✓ � 1
r3
Ex =
p
4⇡✏0
3zx
r5
Ey =
p
4⇡✏0
3zy
r5
(3.21)
A obtenção do campo projetado num plano r✓ nos dá:
Er = �2p cos ✓
4⇡✏0r3
E✓ =p sin ✓
4⇡✏0r3
(3.22)
sendo o campo total dado por E = Err+ E✓✓.
3.6.2 Potencial de Dipólo como um gradiente
A fórmula do dipólo pode ser expressa como
� = � 1
4⇡✏0p ·r
✓1
r
◆(3.23)
De forma um pouco mais compacta podemos ainda escrever
� = �p ·r�0 (3.24)
onde �0 = 1/4⇡✏0r é o potencial de uma carga unitária pontual.Para uma distribuição arbitrária de cargas, o procedimento é similar. Por exemplo a
uma distância R arbitrária e muito maior que a separação entre as cargas d, o potencialdo conjunto pode ser dado por
� =
1
4⇡✏0
X
i
qiri
Simplificações posteriores podem ainda ser feitas caso as distâncias ri sejam aproxima-damente iguais a uma distância R de forma que
� =
1
4⇡✏0
Q
R
onde Q é apenas a soma total das cargas no objeto sob estudo.
58
3.7 Polarização do Dielétrico
Em muitos casos é interessante incluir o vetor de polarização, P, como a diferençaentre os vetores de campo elétrico, E e densidade de campo elétrico, D.
P = D� ✏0E
Aplicando-se o divergente na equação acima temos:
r·E =
1
✏0(⇢�r·P) (3.25)
Não é difícil ver que a partir da eq.(3.25), podemos entender o efeito do dielétrico comode uma distribuição cuja densidade de volume é
⇢0 = �r·P
Qualquer ponto interior ao dielétrico satisfaz à equação modificada de Poisson
r2� =
1
✏0(⇢+ ⇢0) (3.26)
A eq.(3.26) é válida independente das hipóteses de isotropia e homogeneidade do meio.Caso existam pontos de descontinuidades, como fronteiras do dielétrico, o vetor D
n · (D2 �D1) = !
n · (E2 �E1) =1
✏0! � 1
✏0n · (P2 �P1) =
1
✏0(! + !0
)
(3.27)
As fontes do campo eletrostático são cargas cujas densidades volumétricas são dadas por⇢ e superficiais !.
O potencial num ponto arbitrário dentro do dielétrico ou externo a ele pode ser ex-presso por
�(x0, y0, z0) =1
4⇡✏0
0
@ZZZ
V
⇢�r·Pr
dV +
ZZ
S
! + n · (P1 �P2)
rdS
1
A (3.28)
A polarização também é útil no que tange o significado físico do vetor de Hertz ⇧introduzido no capítulo anterior. Lembrando que � = � r· ⇧, podemos escrever aequação de Poisson como
r·✓r2⇧+
1
✏0P
◆= 0 (3.29)
e a equação acima será satisfeita se r2⇧ = �P/✏0. O vetor ⇧ é determinado através daseguinte integral
⇧(x0, y0, z0) =1
4⇡✏0
ZZZ
V
P(x, y, z)
rdV (3.30)
Devido a eq.(3.30), o vetor de Hertz também é conhecido como potencial de polarização.
59
3.8 Funções de Variáveis Complexas
Consideremos que todas as funções envolvidas podem ser expressas por campos bi-dimensionais, e que a variável complexa ⇣ = x + jy é tal que F (⇣) é uma funçãocomplexa, podendo ser escrita sob a forma
F (⇣) = U(x, y) + jV (x, y)
onde U(x, y) e V (x, y) são funções reais das variáveis x e y. Podemos nos valer agorade um postulado das funções complexas que nos diz
@U
@x=
@V
@y@V
@x= �@U
@y
(3.31)
A prova da eq.(3.31) pode ser encontrada em diversos livros de análise de funções com-plexas (Riley et al. 1998, Dettman 1962, Kreyszig 1993). Uma conseqüência direta daeq.(3.31) é que ambas as funções satisfazem a equação de Laplace.
A título de exemplo, considere o caso onde F (⇣) = ⇣2, o que nos leva a
U(x, y) = x2 � y2
V (x, y) = 2xy
a função U(x, y) nos dá a equação de diversas hipérboles
x2 � y2 = A
para A igual a zero termos o caso de linhas diagonais passando pela origem.
Figura 3.3: Mapeamento conforme(linhas de campo e equipotenciais)
O campo na direção x pos-sui uma propriedade interessante,Ex = �2x, sendo proporcio-nal à distância ao eixo de co-ordenadas. É importante lem-brar também que as curvas paraV =constante são ortogonais emrelação as U=constante. O queimplica que ao escolher uma fun-ção F (⇣) obtemos de U e V tantoas equipotenciais como as linhasde campo. Contudo, é necessá-rio uma nota de advertência aqui.Embora seja uma técnica pode-rosa, ela se adequa basicamente asistemas bidimensionais, podendoser considerada um método indi-reto. A Fig. 3.3 apresenta as linhasde campo e as equipotenciais do caso descrito acima.
60
3.9 Métodos para o Cálculo do Campo Eletrostático
Até a agora o que utilizamos consiste em métodos indiretos, todavia métodos maisdiretos são necessários na maioria dos casos de interesse prático. O caso mais simplesenvolve a solução da equação de Laplace num determinado domínio, ou seja, sujeito, aum conjunto específico de condições de fronteira. É comum designar-se este tipo de pro-blema “boundary-value problem”. Excetuando-se nalguns casos onde, devido a simetria,é possível obter uma resposta analítica utilizando-se funções especiais é comum utilizarmétodos numéricos para a solução deste tipo de problema.
3.9.1 Harmônicos Circulares
Em diversas aplicações podemos limitar a nossa análise a um sistema bi-dimensional,pois todas as superfícies equipotenciais são cilindricas. A unidade de carga é uma linhade carga também chamada por vezes de uma reta carregada, i.e. condutor de raio fino esuposto infinito, paralela ao eixo e expressa em coulomb por unidade de comprimento.Esta aproximação não é adequada em configurações onde a geometria do circuito sejainfluenciada pelo efeito de ponta. Todavia, há uma grande variedade de aplicações ondeé possíivel adotar tal procedimento.
Em eletrostática, o sistema sob estudo deve atender a equação de Poisson ou Laplace.O primeiro se refere aos sistemas onde há condutores carregados enquanto que o segundolida mais com sistemas onde o meio é dielétrico. Usualmente, o maior interesse se dá naanálise do comportamento em dielétricos do campo gerado por condutores. Portanto,vamos nos ater nesta seção a funções que são solução da equação de Laplace em duasdimensões. Para tanto, consideremos um sistema em coordenadas cilíndricas (r,�, z)supondo possível a separação de variáveis. Logo, o potencial V pode ser expresso como
V = R(r)�(�)Z(z) (3.32)
No caso particular onde Z(z) é constante, a solução da equação de Laplace se reduz aduas dimensões. As funções que resolvem a equação de Laplace são conhecidas comoharmônicos circulares. Harmônicos pois o termo é comumente usado para descrever afamília de funções que podem representar a equação de Laplace em determinado domí-nio. Circulares pois as funções apresentam uma simetria próxima do círculo na maioriados casos.
Como se trata de um problema bi-dimensional, adotamos aqui as coordenadas polares(r, ✓). Logo,
V = V (r, ✓) = R(r)⇥(✓)
e a a equação de Laplace passa a ser
r@
@r
✓r@V
@r
◆+
@2V
@✓2= 0 (3.33)
61
Aplicando-se a separação de variáveis temos o seguinte conjunto de equações
d2⇥
d✓2= �n2✓
r2d2R
dr2+ r
dR
dr= n2R
(3.34)
A solução da primeira equação em (3.34) é dada pela equação do movimento harmônico
⇥ = A cos(n✓) +B sin(n✓) (3.35)
enquanto que a segunda equação em (3.34) possui soluções da forma
R = C rn +D r�n (3.36)
para n 6= 0. Para n = 0 temos as soluções
⇥ = A✓ +B
R = C ln(r) +D(3.37)
onde n é chamado de grau do harmônico. A solução completa, i.e. harmônicos circulares,são então, para o caso de grau (ou ordem) zero
V (r, ✓) = (A✓ +B)(C ln(r) +D) (3.38)
e para o caso onde o grau não é zero
V (r, ✓) = (A cos n✓ +B sin n✓)(C rn +D r�n) (3.39)
É importante ter em mente que no caso geral há ambas soluções, i.e. (3.38) e (3.39)existem simulataneamente.
3.9.1.1 Expansão Harmônica de uma Linha de Carga
Consideremos um meio linear, homogêneo, isotrôpico de permeabilidade e permiti-vidade relativas constantes. Nesse meio é inserido um condutor fino e muito longo deforma que a hipótese de linha (reta) de carga pode ser admitida. A carga por unidadede comprimento é q. A projeção da reta no plano r, ✓ nos dá um ponto de coordenadas(r0, ✓0). A distância entre a linha de carga q ao ponto P é dada por R, e a expressão dopotencial eletrostático é dada por
V = � 1
4⇡✏(2q lnR) = � q
2⇡✏ln
�r2 + r0
2 � 2r r0 cos(✓ � ✓0)�
(3.40)
onde o ponto P possui coordenadas (r, ✓). Através da expansão em séries de potência oargumento do logaritmo natural em (3.40) pode ser escrito como
r2 + r02 � 2r r0 cos(✓ � ✓0) = �2q
✓ln r � r0
rcos(✓ � ✓0)�
1
2
⇣r0r
⌘2cos 2(✓ � ✓0)� · · ·
◆
(3.41)
62
No caso de r > r0 e expandindo-se os termos em cosn(✓ � ✓0) temos
V =
q
2⇡✏
" 1X
n=1
1
n
⇣ror
⌘n(cos n✓0 cos n✓ + sin n✓0 sin n✓)� ln r
#(3.42)
Para r < r0 o procedimento é similar e resulta em
V =
q
2⇡✏
" 1X
n=1
1
n
✓r
r0
◆n
(cos n✓0 cos n✓ + sin n✓0 sin n✓)� ln r0
#(3.43)
Exemplo 3.1. Considere um cilindro composto por um condutor ideal de raio a e umdielétrico de raio interno a e raio externo b. A permitividade relativa do dielétrico é✏r. Este cilindro está imerso em meio uniforme, homogêneo e isotrópico onde existe umcampo elétrico uniforme de intensidade E. O eixo central do cilindro é perpendicularao campo uniforme. O potencial no meio externo ao cilindro é da forma
V = Er cos ✓
Calcule a expressão completa do potencial eletrostático em todo o domínio em questão.
Solução— No infinito o potencial devido às cargas induzidas no cilindro devem desapa-recer, logo termos contendo rn não pode existir na expressão de V . Tomando o eixo xcomo eixo que corta os dois cilindros em dois semi-círculo iguais vemos que o potencialé uma função par, logo os termos em sin ✓ também devem ser descartados. O potencialno meio externo é da forma
V0 = Er cos ✓ +1X
n=1
Anr�n
cos n✓ (3.44)
Uma vez que no cilindro tanto r = 0 como r = 1 estão excluídos termos em rn er�n podem ocorrer, contudo devido a simetria do problema não há termos em sin n✓. Opotencial no dielétrico é portanto da forma
Vi =
1X
n=1
�Bnr
n+ Cnr
�n�cos n✓ (3.45)
Se o centro do cilindro for tomado como origem então V = 0 em todo a parte condutorado cilindro. Já encontramos a solução para a equação de Laplace que satisfaz as condi-ções de contorno no infinito e as condições de simetria. Devemos determinar An, Bn eCn a partir das condições de fronteira entre os meios dielétricos e entre a parte condutorae a parte dielétrica do cilindro. Para r = b temos
@V0
@r= ✏r
@Vi
@rV0 = Vi
(3.46)
63
Aplicando em (3.46) as expressões em (3.45) e (3.44) temos
Eb cos ✓ +1X
n=1
Anb�n
cos n✓ =1X
n=1
�Bnb
n+ Cnb
�n�cos n✓ (3.47)
Para n 6= 1 temos
Anb�n
= Bn bn+ Cnb
�n
�Anb�n�1
= ✏r�Bnb
�n�1 � Cnb�n�1
� (3.48)
Na interface com a parte condutora do cilindro, r = a, Vi = 0 temos
0 = Bn an+ Cna
�n (3.49)
A única forma de atender a todas as equações das condição de contorno dadas por (3.48)e (3.49) é dada por
An = Bn = Cn = 0
Para n = 1 temos
E �A1b�2
= ✏r�B1 � C1b
�2�
E +A1b�2
= B1 + C1b�2
0 = B1a+ C1a�1
(3.50)
Resolvendo (3.50) em termos das constantes A1, B1 e C1 obtemos
A1 = �Eb2a2(1 + ✏r) + b2(✏r � 1)
b2(1 + ✏r) + a2(✏r � 1)
B1 =2Eb2
b2(1 + ✏r) + a2(✏r � 1)
C1 =�2E(ab)2
b2(1 + ✏r) + a2(✏r � 1)
(3.51)
Finalmente a expressão completa do potencial é dada por
V0 =
✓E r +
A1
r
◆cos ✓
Vi =
✓B1 r +
C1
r
◆cos ✓
(3.52)
Exemplo 3.2. Com o intuito de detalhar um pouco mais o comportamento de um dié-letrico consideramos agora um cilindro dielétrico na presença de linha de carga q.Considera-se que o meio exterior ao cilindro é homogêneo linear e isotrôpico. O ci-lindro possui raio a e a linha de carga faz uma projeção no plano r✓ de forma quepode ser representada por um ponto r0 = b, ✓0 = 0. Calcule a expressão do potencialeletrostático em todo o domínio.
64
Solução— Para a expressão completa do potencial é necessário sobrepor ao potencial dalinha de carga o potencial devido à polarização do dielétrico, que por sua vez, tende azero no infinito. O potencial no meio externo ao cilindro é dado por
V0 =q
2⇡✏1
1X
n=1
1
n
⇣rb
⌘2+
An
rn
�cos n✓ � ln b
!(3.53)
onde ✏1 é a permitividade do meio. No interior do cilindro como o potencial deve serfinito para r = 0 e simétrico em relação ao eixo x temos
Vi =q
2⇡✏2
1X
n=1
Bnrncos n✓ � ln b
!(3.54)
Fazendo V0 = Vi quando r = a temos
1
n
⇣ab
⌘2+
An
an= anBn (3.55)
A outra condição de fronteira, dada por
@V0
@r= ✏r
@Vi
@r
para r = a temos
an�1
bn� n
an+1An = n✏ra
n�1Bn (3.56)
Logo as expressões das constantes são
An =
1� ✏r1 + ✏r
1
n
a2n
nbn
Bn =
2
(1 + ✏r)nbn
(3.57)
O potencial exterior do cilindro é dada por
V0 =q
2⇡✏2
" 1X
n=1
1
n
⇣rb
⌘n+
1� ✏r1 + ✏r
a2n
(b r)n
�cos n✓ � ln b
#(3.58)
e o potencial interno é dada por
Vi =q
⇡✏2(1 + ✏r)
1X
n=1
1
n
⇣rb
⌘2cos n✓ � q
2⇡✏2ln b (3.59)
A expressão em (3.58) é a expansão em harmônicos circulares de três linhas de cargalocalizadas no eixo x. A primeira linha de carga possui intensidade q e localiza-se emx = b. As outras duas linhas de cargas formam um dipolo e estão localizadas em x =
65
a2/b, com intensidade q1 e em x = 0 com intensidade �q1. Já a expressão em (3.59) é oresultado da expansão de uma carga q2 situada em x = b. A relação entre as intensidadesde carga é dada por
q1 =1� ✏r1 + ✏r
q
q2 =2
1 + ✏rq
(3.60)
Portanto, quando um cilindro dielétrico não carregado de raio a é levado próximo a umareta de carga q com os eixos paralelos e a uma distância r = b separando o cilindro dareta. O potencial adicional na região externa ao cilindro é o mesmo se o cilindro fossesubstituído por duas “imagens”. A primeira “imagem” consiste de uma linha de carga q1localizada entre a linha de carga original e o eixo a uma distância r1 = a2/b do último.A segunda “imagem” é uma linha de carga �q1 localizada na origem. Esta configuraçãoé representada na Fig. 3.4. O potencial no interior do cilindro é o mesmo, exceto por uma
r1
−q1
q1
r
q
R
Figura 3.4: “Imagens” de uma linha de carga em cilindro dielétrico
termo aditivo como se q fosse substituída por q2.
3.9.2 Campo Devido a Duas Cargas
Apresentamos aqui o caso de cálculo de campo devido a duas cargas de valores dis-tintos, sendo portanto um generalização do caso de dipólos. Consideremos, a principio,um meio linear homogêneo e isotrópico, com permeabilidade magnética µ e permitivi-dade elétrica ✏ constantes e condutividade nula, ocupando todo o espaço. Imersas nestemeio há duas cargas pontuais q1 e q2 em regime estacionário e separadas a uma distânciaa. Consideremos um sistemas cartesiano (x, y, z) de coordenadas de forma que a carga q1se encontra no ponto (0, 0, 0) e a carga q2 no ponto (a, 0, 0), onde o eixo z é perpendicularao plano onde se encontram as cargas.
O potencial escalar � associado a estas cargas num ponto genérico P de coordenadas(x, y, z) arbitrando � = 0 num ponto infinitamente afastado é
� =
1
4⇡✏
"q1p
x2 + y2 + z2+
q2p(x� a)2 + y2 + z2
#(3.61)
A expressão acima pode ser simplificada introduzindo a razão q = q2/q1 e o vetor r2 =
66
y2 + z2
� =
q14⇡✏
"1p
x2 + r2+
qp(x� a)2 + r2
#(3.62)
Utilizando coordenadas “relativas” ⇠ = x/a e ⇢ = r/a temos
� =
q14⇡✏
"1p
⇠2 + ⇢2+
qp(⇠ � 1)
2+ ⇢2
#(3.63)
Da expressão em (3.63) podemos notar que, em geral, para duas cargas de valor constanteem posição fixa:
• � é função de x e r, portanto as equipotenciais tem simetria cilíndrica em relaçãoà reta que passa pelas duas cargas, o eixo x no caso da coordenadas adotadas nesteexemplo;
• As superfícies equipotenciais são definidas por equações onde � é constante, por-tanto para uma determinada configuração a forma relativa das equipotencias ex-pressa em coordenadas “relativas” (⇠, ⇢) depende apenas da relação entre as duascargas q;
• Em coordenadas “relativas” as equipotencias são definidas pelo termo constante Kdado por
K =
"1p
⇠2 + ⇢2+
qp(⇠ � 1)
2+ ⇢2
#(3.64)
Portanto do exame de (3.64) verificamos, que para o caso q < 0, a forma analítica torna-se particularmente simples para K = 0, pois neste caso a equação da equipotencial sereduz a
1p⇠2 + ⇢2
=
�qp(⇠ � 1)
2+ ⇢2
(3.65)
que pode ser escrita da seguinte forma, uma vez que a razão q é real
q2(⇠2 + ⇢2) = (⇠ � 1)
2+ ⇢2
(q2 � 1)⇠2 + (q2 � 1)⇢2 + 2⇠ � 1 = 0
⇠2 +2⇠
q2 � 1
+ ⇢2 =1
q2 � 1
(3.66)
A ultima expressão em (3.66) pode ainda ser ainda escrita como✓⇠ +
1
q2 � 1
◆2+ ⇢2 =
✓q
q2 � 1
◆2 (3.67)
67
A expressão em (3.67) é uma equação de uma esfera de raio “relativo” Rr dado por
Rr =
����q
q2 � 1
����
e cujo centro é dado pela seguintes coordenadas “relativas” ⇠ = 1/(1 � q2) e ⇢ = 0. Ocentro em coordenadas cartesianas xc, yc, zc é dado por
xc =a
1� q2yc = 0 zc = 0
Com isto podemos ver que
• Se �q < 1, i.e., |q2| < |q1|, a esfera envolve a carga q2;
• Se �q > 1, i.e., |q2| > |q1|, a esfera envolve a carga q1;
• Se q = �1, i.e., |q2| = |q1|, a esfera degenera num plano ortogonal à reta definidapelas duas cargas e equidistantes das mesmas.
A esfera corta o eixo x nos pontos M e N de coordenadas
⇠m =
1
1� q⇢m = 0
⇠n =
1
1 + q⇢n = 0
Em coordenadas cartesianas (x, y, z) temos
xm =
a
1� qym = zm = 0 (centro� raio)
xn =
a
1 + qyn = zn = 0 (centro + raio)
As distâncias di do centro da esfera as cargas qk são:
• para �q > 0 e |q| < 1 –
d1 =a
1� q2d2 =
aq2
1� q2
• para �q > 0 e |q| > 1 –
d1 =a
q2 � 1
d2 =aq2
q2 � 1
Das expressões acima temos que d1d2 = R2, ou seja, o raio da esfera é a média geo-métrica entre das distâncias d1 e d2. Logo, a relação entre as cargas q pode ser expressapor
q =
q2q1
= �r
d2d1
= �d2R
68
q1 2q
d2
d1
a
R
r
x
(a) |q| < 1
1d
d2
q2q1
a
r
R
x
(b) |q| > 1
Figura 3.5: Posicionamento da esfera e das cargas
!6 !4 !2 0 2 4 6Ξ
!6
!4
!2
0
2
4
6
Ρ
(a) Equipotenciais
!0.5 0 0.5 1 1.5Ξ
!1
!0.5
0
0.5
1Ρ
(b) Detalhe
Figura 3.6: Equipotenciais devido a duas cargas distintas com q = �0, 5
Na Fig. 3.5 representa-se esquematicamente a posição das cargas q1 e q2 e da esfera parao caso onde a esfera envolve q1 (|q| < 1) e quando a esfera envolve q2 (|q| > 1).
A Fig. 3.6 apresenta as equipotenciais em coordenadas relativas ⇠ e ⇢ sendo a relaçãoentre as cargas q = �0, 5.
No caso geral, podemos notar que o termo K é o responsável pelo comportamentodo potencial escalar para uma configuração particular de cargas, visto que
K = 4⇡✏a�
q1(3.68)
Portanto, podemos analisar o comportamento do potencial escalar em função da relaçãoentre K e as coordenadas “relativas”. Em outras palavras K, pode ser entendido comoum potencial eletrostático “normalizado”. A Fig. 3.7 apresenta K em função de ⇠, para
69
q = �0, 5, ao longo da reta em que se encontram as duas cargas (definidas por x =
0, y = 0 ou por ⇢ = 0).
!6 !4 !2 0 2 4 6Ξ
!10
!5
0
5
10
K
(a)
!10 !5 0 5 10Ξ
!0.3
!0.2
!0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
K
(b) Detalhe
Figura 3.7: K em função da coordenada “relativa” ⇠
É possível também expressar o potencial eletrostático, ou mesmo K, em função dascoordenadas relativas como mostra a Fig. 3.8. Neste passamos a ter uma superfície ondenos pontos de localização das cargas há uma descontinuidade visto que o potencial nesteponto é infinito.
!1
0
1
2
Ξ!1
0
1
Ρ
!100
1020Φ
!1
0
1Ξ
Figura 3.8: Potencial Eletrostático “normalizado” K em função das coordenadas “rela-tivas”
Até agora dedicamos uma certa atenção ao potencial eletrostático, todavia o interessefinal é o cálculo do campo elétrico e das linhas de força devida às cargas q1 e q2. O campoelétrico E, no caso eletrostático, é obtido a partir apenas de �, i.e.,
E = �r� = �@�@x
x� @�
@yy � @�
@zz (3.69)
70
onde x, y e z são vetores unitários em coordenadas cartesianas (x, y, z). Sendo o poten-cial escalar dado por
� =
1
4⇡✏
q1p
x2 + y2 + z2+
q2p(x� a)2 + y2 + z2
!(3.70)
as derivadas são
�@�@x
=
x q1p
(x2 + y2 + z2)3+
(x� a) q2p((x� a)2 + y2 + z2)3
!
�@�@y
=
y q1p
(x2 + y2 + z2)3+
y q2p((x� a)2 + y2 + z2)3
!
�@�@z
=
z q1p
(x2 + y2 + z2)3+
z q2p((x� a)2 + y2 + z2)3
!
Devido a simetria do campo elétrico em relação ao eixo x, é possível representar ocampo através de uma formulação bidimensional, num eixo de coordenadas (r, x), sendor um eixo ortogonal a x, de forma que
r2 = y2 + z2
Com isto o E pode ser escrito como, onde r é um vetor unitário na direção r,
E = Exx+ Err (3.71)
sendo
Ex =
1
4⇡✏
x q1p
(x2 + r2)3+
(x� a) q2p((x� a)2 + r2)3
!
Er =1
4⇡✏
r q1p
(x2 + r2)3+
r q2p((x� a)2 + r2)3
! (3.72)
As linhas de força do campo elétrico podem ser obtidas através do cálculo do fluxode campo elétrico. Para tanto, consideremos num plano ortogonal ao eixo x, cortandoesse eixo no ponto de coordenada x, uma grandeza , igual ao fluxo do vetor E atravésde um círculo de raio r⇤ centrado no eixo x, mais uma constante arbitrária K 0. Logo
� = K 0+
Z r⇤
0Ex2⇡rdr (3.73)
Logo
= K 0+
q12✏
� xp
x2 + (r⇤)2± 1 + q
� (x� a)p
(x� a)2 + (r⇤)2± 1
!!(3.74)
71
Em princípio, com relação ao primeiro símbolo ± em (3.74), deveria considerar-se osinal positivo para valores de x > 0 e o sinal negativo caso contrário, já com relaçãoao segundo símbolo ±, o valor positivo seria para valores de x > a e negativo casocontrário. Com esta adoção de sinais e com K 0
= 0, a função seria descontínua nascoordenadas das cargas similar ao que acontece com � (vide Fig. 3.8). Por exemplo,se considerarmos dois círculos com valores iguais de r⇤, um cujo centro é em x = 0
+
e outro de centro x = 0
�, formar-se a um cilindro de espessura “muito pequena” queabrange uma carga interna q1. O fluxo do vetor densidade de campo elétrico, D = ✏E,através da superfície do cilindro é igual a diferença entre os fluxos de D através dos doiscírculos, sendo igual a q1, o que traduz a descontinuidade do fluxo de E igual a q1/✏ emx = 0. Essa descontinuidade corresponde exatamente à mudança de sinal no ± relativoà parcela do campo associada a q1.
A constante K 0 pode ser escolhida com descontinuidade, nos valores de x correspon-dentes às cargas, para evitar estas descontinuidades em ao longo de um tudo de força.Para assegurar a continuidade de é necessário apenas considerar sinais fixos para ossímbolos ± em (3.74), o que dispensa explicitar K 0, ou seja
=
q12✏
1� xp
x2 + (r⇤)2+ q
1� (x� a)p
(x� a)2 + (r1)2
!!(3.75)
Portanto, ao longo de uma linha de força do vetor E temos
K” =
2✏
q1=
1� xp
x2 + (r1)2+ q
1� (x� a)p
(x� a)2 + (r1)2
!!(3.76)
para cargas situadas no eixo x, nos pontos x = 0 e x = a, sendo que para cada linha deforça K” é constante. Na Fig. 3.9 representa graficamente algumas linhas de força docampo E num plano que contenha o eixo x em coordenadas “relativas” (⇠, ⇢).
Um caso interessante de cálculo de linha de força ocorre para K” = 0, pois a expres-são em (3.76) passa a ter dois ramos de solução, um onde
r1 = 0 x > a (3.77)
e outro onde 1� xp
x2 + (r1)2+ q
1� (x� a)p
(x� a)2 + (r1)2
!!= 0 r1 6= 0 (3.78)
Para �1 < q < 0, o tubo de força de E definido por (3.78) (atendendo à simetriado campo em relação ao eixo x) separa, de um lado, as linhas de força entre a carga demaior módulo e pontos situados no infinito, e, de outro lado, as linhas de força entre asduas cargas.
Para q < �1, o tudo de força correspondente à separação dos dois conjuntos de linhasde força de E corresponde a
K” = 2(q + 1)
72
!4 !2 0 2 4Ξ
!4
!2
0
2
4
Ρ
(a)
!0.5 0 0.5 1 1.5Ξ
!1
!0.5
0
0.5
1
Ρ(b) Detalhe
Figura 3.9: Linhas de Força do vetor E
!1 0 1 2 3 4Ξ
!2
!1
0
1
2
Ρ
Figura 3.10: Tubo de força que separa os tipos de linhas de força de E
Na Fig. 3.10 representa-se graficamente a linha de força do vetor E num plano contendo oeixo x que define o tudo de força que separa os dois tipos de linhas de força mencionadosacima. Para a obtenção da figura consideramos q = �0, 5 e coordenadas (⇠, ⇢)
Similar ao potencial eletrostático, é possível definir um parâmetro Kx, diretamenteproporcional ao componente x do campo E, em função de ⇠ ao longo da reta em que sesituam as cargas. O parâmetro é dado por
Kx =
4⇡✏a2
q1Ex =
⇠
(⇠2 + ⇢2)3/2+ q
(⇠ � 1)
((⇠ � 1)
2+ ⇢2)3/2
(3.79)
onde Ex é a componente de E segundo o eixo x (ao longo desse eixo e a única compo-nente não nula de E). A Fig. 3.11 apresenta o gráfico de Kx em função da coordenada
73
“relativa” ⇠. Um ponto importante em relação ao cálculo de Kx ao longo do eixo x é quedeve ser usada a expressão (3.79) com ⇢ = 0 evitando aplicar simplificações a priori quepodem levar a resultados errôneos, conforme mostra a expressão em (3.80)
Kx 6= 1
⇠2+ q
1
(⇠ � 1)
2(3.80)
!4 !2 0 2 4Ξ
!100
!50
0
50
100
K x
Figura 3.11: Comportamento de Kx em função de ⇠
Para terminar esta subseção apresentamos na Fig. 3.12 o comportamento de Kx emfunção das coordenadas relativas ⇠ e ⇢, onde pode ser notado que o ponto onde estãolocalizadas as cargas representam pontos de descontinuidade para o campo elétrico.
!2!1
01
2Ξ
!2
!1
0
12
Ρ
!1!0.5
00.51
Kx
!2!1
01Ξ
Figura 3.12: Comportamento de Kx em função de ⇠ e ⇢
Em diversos casos de aplicações práticas é possível obter as respostas com elevadagrau de acurácia em termos de cargas elementares. Este procedimento recebe o nome de“Charge Simulation Model” (CSM).
74
3.9.3 Campos em Condutores
Nos exemplos anteriores lidamos com situações nas quais a distribuição de carga éconhecida logo de início. É um tipo de problema sem maiores complicações, envolvendono máximo algumas integrações.
−q
r
r’
+q
(a) Imagem singela
+q −q
−q
+q
−q
+q −q
q
O
A
Bα
(b) Múltiplas imagens
Figura 3.13: Método das Imagens
Para a introdução do assunto considere um dipolo como do exemplo anterior, ondeum filme metálico extremamente fino é colocado na mesma posição que uma equipoten-cial, seria como se não houvesse o filme metálico e a situação seria a mesma no casodo dipólo. Para uma carga positiva q colocada sobre uma superfície plana idealmentecondutora, seria o mesmo que ter uma carga �q posicionada a uma distância a igual masem sentido contrário à distância entre a carga positiva e a superfície, conforme mostraa Fig. 3.13(a). Se a carga �q for removida, o campo na região ocupada por +q não semodifica caso uma densidade de carga ! é espalhada pela superfície do filme metálicoextremamente fino. A contribuição desta carga induzida na superfície condutora é deter-minada simplesmente pela substituição a distribuição superficial por uma carga pontualequivalente. No caso em questão, o plano y = 0 que separa as cargas é uma equipoten-cial. O potencial em qualquer ponto (x, y, z) para y > 0 é dado por (3.81).
�(x, y, z) =q
4⇡✏
1p
x2 + (y � a)2 + z2� 1
x2 + (y + a)2 + z2
!(3.81)
A derivada da normal em y = 0 deve ser tomada no sentido da carga positiva para a carganegativa, conforme mostra a (3.82),
✓�@�@y
◆
y=0
= � 1
2⇡✏
aq
r3(3.82)
onde r =
px2 + a2 + z2 e a densidade de carga é
! = � aq
2⇡ r3(3.83)
75
Consideremos agora um caso onde uma carga q é colocada entre dois planos condu-tores ideais que se interceptam conforme mostrado na Fig. 3.13(b). A princípio, pareceque só existe uma imagem em cada plano, pois o par de cargas ±q transversais aos planosOA e OB produzam equipotenciais ao longo dos plano condutores. Contudo, o conjuntode três cargas, a carga original e suas duas imagens, não produz potenciais constantes emnenhum dos planos condutores. É necessário formar as imagens destas imagens de formasucessiva até que as novas imagens coincidam, ou até que todas as novas imagens este-jam bem distantes da região de modo a não influenciar o potencial. A primeira condiçãoé sempre satisfeita desde que ↵ = ⇡/n onde n é um número inteiro. O número total deimagens ni é obtido através da seguinte expressão
ni =2⇡
↵� 1
para o caso do ângulo em radianos. Portanto, como para a Fig. 3.13(b) foi utilizado umângulo de 45 graus, obtemos 7 imagens.
Em diversos casos, inclusive aqueles envolvendo aplicação em Engenharia de AltaTensão, é impossível obter equipotenciais de formas arbitrárias através do arranjo deum número finito de cargas e de imagens das mesmas. Todavia, uma boa aproximaçãode algumas superfícies pode ser obtida pelo arranjo de algumas cargas pontuais e desuas respectivas imagens. Este método é conhecido como aproximação por sucessivasimagens ou conjunto infinito de imagens (Smythe 1950).
Consideremos, por exemplo, um meio homogêneo, linear e isotrópico de permitivi-dade ✏ e condutividade nula onde existam duas esferas condutoras de raios a e b cujoscentros são colineares e distam c, sendo que no primeiro casos
c > (a+ b) e a < b
e no segundoc < (b� a) e a < b
O centro da esfera de raio b é o ponto O, e para a esfera de raio a é o ponto O0. Em ambosos casos, a esfera de raio a está no potencial v = 1 V, e a segunda esfera possui potencialnulo. Para o primeiro caso, consideramos a princípio uma carga pontual no ponto O0 devalor
q = 4⇡✏a
desta forma o potencial da esfera de raio a é unitário. A esfera de raio b é levada aopotencial zero pela imagem q0 de valor
q0 = �4⇡✏ab
c
colocada a uma distância b2/c a esquerda de O. Agora a fim de retorna o potencial daesfera de raio a à unidade é necessário uma imagem q” dada por
q” = � aq0
c� nb
76
onde n = b/c, no ponto a2/(c� nb) a direita de O0. Todavia, uma terceira carga agora énecessária de valor
q000 = � bq”
c�ma/(1� n2)
= � 4⇡✏mn2a
1�m2 � n2
onde m = a/c, que deve ser posicionada a uma distância adequada. Pode-se notarque o efeito da inclusão de um novo conjunto de carga e imagem tende a diminuir oumesmo se cancelar. Portanto, é possível obter-se uma aproximação de boa qualidadecom um conjunto relativamente pequeno de cargas e imagens. De fato, este processopode ser entendido como uma aproximação assintótica das equipotenciais reais. No casode c < (b� a) o procedimento seria similar só que o valor de q” seria
q” =
aq0
c� nb
o valor da segunda carga, q”, também afetaria o valor de q000 e assim sucessivamente. Acapacitância própria csa da esfera de raio a é dada por
csa = 4⇡✏a
✓1 +
mn
1� n2+
m2n2
(1� n2)
2 �m2+ ·◆
(3.84)
e a capacitância própria csb da esfera de raio b é dada por
csb = 4⇡✏a
✓1 +
mn
1�m2+
m2n2
(1�m2)
2 � n2+ ·◆
(3.85)
e a capacitância mútua entre esferas é dada por
cm = 4⇡✏a
✓�na� mn2a
1� n2 �m2� ·◆
(3.86)
Estas expressões são válidas para o caso onde c > (b + a). Para o segundo caso, ondec < (b� a), a capacitância própria csa2 da esfera de raio a é dada por
csa2 = 4⇡✏a
✓1� mn
1� n2� m2n2
(1� n2)
2 �m2+ ·◆
(3.87)
a capacitância mútua entre esferas é cm2 = �cm e a capacitância própria csb da esfera deraio b neste caso não é importante.
Apresentamos a seguir um exemplo da metodologia descrita acima em aplicação prá-tica da engenharia de alta tensão.
Exemplo 3.3. Considere um espinterômetro de esferas constituído por dois eletrodos deraio R separados de uma distância L, muito afastados do solo e de outros objetos, sendoo meio exterior o ar e a tensão entre eletrodos u. Utilizando até três conjuntos de cargasrepresente as equipotenciais para esta configuração.
77
Solução–1
Há dois possíveis caminhos para a solução aqui. No primeiro considera-se que opotencial u entre as esferas é obtido considerando-se a segunda esfera aterrada, ou seja, aprimeira esfera tem potencial u enquanto a segunda esfera está aterrada. Logo na segundaesgera haverá apenas cargas imagens. No segundo caso, ambas esferas possuem potencialnão nulo, sendo u apenas a diferença entre eles.
Para o segundo caminho, devido à simetria, as cargas pontuais consideradas devempossuir polaridades opostas. Consideremos, em primeira “aproximação” duas cargas q01e q001 = �q01 localizadas nos centros das duas esferas. A carga q01 origina, por sua vez, umcampo tal que a superfície da esfera 1 é equipotencial, mas a carga q001 origina um campotal que a superfície da esfera 1 não é equipotencial.
Consideremos agora uma carga q02, imagem da carga q001 em relação à esfera 1, o con-junto das cargas q001 e q2 origina um campo tal que a superfície da esfera 1 é equipotencial.
Em segunda aproximação e atendendo à simetria do campo podemos considerar asseguintes cargas: q01 e q001 nos centros das duas esferas, e q02 e q002 imagens, respectivamente,de q001 em relação a esfera 1 e de q01 em relação à esfera 2.
Atendendo às propriedades das imagens em relação a uma esfera temos
d01d2 = R2 q = �d2R
sendo d01 = L + 2R a distância entre a carga q001 ao centro da esfera 1, d2 a distância dacarga q02 ao centro da esfera 1. Logo
d2 =R2
d1=
R2
L+ 2R=
R
2 + p
q =
q02q001
= �q02q01
= �d2R
= � R
L+ 2R= � 1
2 + p
q02q01
=
1
2 + p
onde p = L/R.Para a terceira aproximação devemos considerar a carga q03, a imagem da carga q002 em
relação à esfera 1, e a carga q003 , imagem da carga q02 em relação à esfera 2, a distâncias d3respectivamente das esferas 1 e 2, onde
d3 =R2
L+ 2R� d2=
R
2 + p� 1/(2 + p)
q =
q03q002
= �q03q02
= � R
L+ 2R� d2= � 1
2 + p� 1/(2 + p)
q03q02
=
1
2 + p� 1/(2 + p)
q03q01
=
1
2 + p� 1/(2 + p)
1
2 + p
1Para a solução deste exemplo são necessários alguns dos resultados obtidos no item 3.9.2 deste capítulo.
78
Exemplo 3.4. Considere um condutor cilíndrico de raio a e comprimento ` e com cargatotal Q arranjado em forma de um anel circular de raio R, sendo R � a. O condutorestá imerso em meio linear, homogêneo, isotrópico de permitividade ✏ e condutividadenula, sem outros condutores próximos ou objetos próximos. Obtenha a expressão geralpara o potential eletrostática � em todo os espaço bem como uma expressão aproximadapara o potencial na superfície do condutor.
Solução— Calculemos as grandezas a partir de uma distribuição linear da carga total Qdo condutor ao longo da circunferência de raio R. Consideremos também um sistema decoordenadas cartesianas tal que o centro do anel circular é também a origem dos sistemasde eixos, sendo que o condutor está no plano z = 0. A função potencial � num pontogenérico P de coordenadas (x, y, z) é
�(x, y, z) =1
4⇡✏
ZZ
S
q
DdS (3.88)
sendo q = Q/(2⇡R) a densidade linear de carga na circunferência de raio R, ds oelemento de comprimento da circunferência, D a distância de P a um ponto genérico dacircunferência. A Fig. 3.14 apresenta as projeções da espira condutora no plano y = 0
x
x
y
z
D
P
P’d
R
r
α
Figura 3.14: projeções da espira condutora
e no plano z = 0, respectivamente. Utilizando a notação definida esquematicamente na
79
referida figura temos
↵ = ⇡ � 2'
de forma que o diferencial de comprimento pode ser expresso por
ds = |rd↵| = 2|Rd'|
a distância entre um ponto genérico na superfície da espira e o ponto P 0 é dada por
d =
pR2
+ r2 � 2Rr cos↵ (3.89)
e a distância entre o centro da espira ao mesmo ponto é dada por
r =
px2 + y2
já a distância entre um ponto genérico na superfície da espira e o ponto P é dada por
D =
pd2 + z2
Utilizando a relação trigonométrica
cos↵ = �1 + 2 sin
2'
é possível escrever a distância D como
D =
p(R+ r)2 + z2 � 4Rr sin 2'
logo o potencial eletrostático pode ser dado por
�(x, y, z) =Q
4⇡✏
2
2⇡
Z ⇡
0
d'p(R+ r)2 + z2 � 4Rr sin 2'
(3.90)
fazendo
k =
s4Rr
(R+ r)2 + z2
é possível rescrever (3.90) como
�(x, y, z) = �(r, z) =Q
2⇡2✏
F (k)p(R+ r)2 + z2
(3.91)
sendo a função F (k) conhecida como integral elíptico completo de primeira espécie de-finida por
F (k) =
Z ⇡/2
0
d'p1� k2 sin 2'
(3.92)
80
Para o cálculo do potencial na superfície do condutor consideremos como represen-tativo um ponto de coordenadas x = R, y = 0, z = a, neste caso
k =
r4R2
4R2+ a2
=
1q1 +
�a2R
�2
e
k2 =1
1 +
�a2R
�2 ⇠=
1�⇣ a
2R
⌘2
Considerando ⇣ a
2R
⌘2⌧ 1
Neste caso é possível obter uma solução para integral na forma de
F (k) = ln
✓4p
1� k2
◆⇠=
ln
✓8R
a
◆
logo, o potencial na superfície do condutor �c é aproximadamente
�c ⇠=Q
4⇡2✏Rln
✓8R
a
◆(3.93)
3.9.4 Procedimentos Alternativos
A aplicação do método das sucessivas aproximadas só é indicado em configuraçõesonde é possível uma resposta adequada com poucas cargas. Há configurações inclusiveonde é possível obter uma resposta tida como “exata” pela utilização de alguns forma-lismo matemáticos não muito usuais na engenharia elétrica. Consideremos de novo ocaso das múltiplas imagens, vide Fig. 3.13(b). Caso os planos sejam mantidos no po-tencial eletrostático � = 0 e a carga esteja no ponto (a, �, 0) em coordenadas cilíndricas(r, ✓, z), o potencial é dado por
� =
q
4⇡✏↵p2ar
Z 1
⌘
d⇣pcosh(⇣)� cosh(⌘)
✓sinh(⇡⇣/↵)
cosh(⇡⇣/↵)� cos(⇡(✓ � �)/↵)� sinh(⇡⇣/↵)
cosh(⇡⇣/↵)� cos(⇡(✓ + �)/↵)
◆ (3.94)
onde ⌘ = cosh
�1((a2 + r2 + z2)/2ar). A origem do sistema de coordenada cilíndricas
é o ponto onde os dois plano se interceptam.
q
Figura 3.15: Carga pontualpróxima a plano condutor fi-nito
De acordo com Landau & Lifshitz (1984), a fórmulaacima foi apresentada, utilizando um sistema de unidadescgs, primeiramente por H. M. Macdonald em 1894.
Para o caso particular onde o ângulo ↵ = 2⇡ temosuma configuração de uma carga pontual próxima a um
81
plano condutor finito, conforme ilustrado na Fig. 3.15.Nesse caso, a integral em 3.94 pode ser calculada expli-citamente o que resulta em
� =
q
4⇡✏
1
Rcos
�1
�cos(
12(✓ � �))
cos(⌘/2)
!� 1
R0 cos�1
�cos(
12(✓ + �))
cos(⌘/2)
!!(3.95)
onde R =
pa2 + r2 + z2 � 2ra cos(⇥� �), e R0
=
pa2 + r2 + z2 � 2ra cos(⇥+ �).
A Fig. 3.16 apresenta as equipotenciais para esta configuração (Trott 2004).
Figura 3.16: Equipotenciais para carga pontual próxima a filme condutor finito
No caso envolvendo duas esferas mostrado no exemplo 3.3 é possível obter uma so-lução dita exata através da utilização de coordenadas bipolares (↵,�,') (Lebedev 1972).A relação entre as coordenadas bipolares e as coordenadas cartesianas (x, y, z) é dadapor
x =
c sin↵ cos'
cosh� � cos↵
y =
c sin↵ sin'
cosh� � cos↵
z =
c sinh�
cosh� � cos↵
(3.96)
onde 0 ↵ ⇡, �1 � 1, �⇡ < ' ⇡, e c > 0 é um fator de escala. Porexemplo, no caso de um dipolo com cargas pontuais, as equipotenciais são representadas
82
por pontos onde � é constante, e as as linhas de força são representadas por pontos onde↵ é constante. O exemplo a seguir demonstra a aplicação das coordenadas bipolares parao problema do espinterômetro.
Exemplo 3.5. Considere um meio sem perdas, homogêneo, linear e isotrópico. Nessemeio se encontram duas esferas condutoras de raio a com potenciais +V e �V , respec-tivamente. Os centros das esferas distam 2`. Tomando-se como centro das coordenadaso ponto meio que une as duas esferas, a esfera com potencial negativo possui o centrono ponto z = �`. Calcule o campo eletrostático para esta configuração.
Solução— As esferas possuem equações � = ±�0 em coordenadas bipolares. Os parâ-metros c e �0 podem ser escolhidos de forma que
c coth�0 = `c
sinh�0= a
ou seja
c =p`2 � a2 cosh�0 =
`
a
Com isso o problema se resume a encontrar o potencial eletrostático � que é harmônicono domínio ��0 � �0 e satisfaça as condições de contorno
�|�=��0 = �V
�|�=�0 = V(3.97)
A solução para o campo eletrostático é do tipo2
� =
p2 cosh� � 2 cos↵
1X
n=0
MnPn(cos↵) sinh(�(n+ 1/2)) (3.98)
sendo Mn constantes obtidas a partir das condições de fronteira. A expressão final parao potencial eletrostático é dada por
� = Vp2(cosh� � cos↵)
1X
n=0
e��0(n+1/2) sinh(�(n+ 1/2))
sinh(�0(n+ 1/2))Pn(cos↵) (3.99)
3.10 Formulação de Problemas em Eletrostática
A resolução da maioria dos problemas em Eletrostática lida com a solução de umproblema de condição de contorno ou fronteira. Apresentamos a seguir um pequenoresumo dos passos envolvidos na resolução dos problemas.
• r2� = 0 em todos os pontos que não estão na superfície de contorno ou direta-mente associados às fontes;
2vide (Lebedev 1972) para detalhes sobre a obtenção da solução
83
• � é contínuo em todos os pontos, incluindo a fronteira de dielétricos ou condutores,a exceção são os pontos onde estão localizadas as fontes;
• No caso de superfície separando dois dielétricos temos ao longo destas superfície
✏2
✓@�2@n
◆= ✏1
✓@�1@n
◆(3.100)
• Na interface de um condutor e um dielétrico, a derivada da normal do potencialrelaciona-se diretamente com a densidade superficial de carga ! por
✏
✓@�
@n
◆= ! (3.101)
• Na superfície de um condutor ou
– � é uma constante conhecida �i ou
– � é uma constante desconhecida eZZ
S
✏@�
@ndS = �qi (3.102)
• � é regular no infinito desde que todas as fontes estejam a uma distância finita daorigem.
3.11 Algumas Aplicações
Apresentamos a seguir dois casos interessantes e não triviais do cálculo de camposeletrostáticos. O primeiro consiste no cálculo de oscilações de plasma existente na at-mosfera terrestre (Feynman et al. 1964) e o segundo relaciona-se com o caso do campoelétrico no interior de semi-condutores.
3.11.1 Oscilações de Plasma
Consideramos agora um caso onde o campo não é determinado por cargas fixas ou porcargas em superfícies condutoras, mas sim pela combinação de dois fenômenos físicos.O campo será governado simultaneamente por dois conjuntos de equações:
• eletrostática;
• equações de movimento determinando a posição das cargas na presença do campo.
Um exemplo relativamente simples onde ocorre as condições acima descritas é oplasma. O plasma é um gás ionizado consistindo de íons e elétrons livres distribuídosnuma região do espaço. A ionosfera é um exemplo de plasma. Os raios ultravioleta
84
“expulsam” elétrons das moléculas de ar, criando elétrons livres e íons. Pode-se descon-siderar o movimento iônico, pois os íons são muito mais pesados quando comparado comos elétrons.
Considere a princípio, uma plasma sem estímulo externo onde n0 é a densidade deelétrons no equilíbrio e conseqüentemente o número de íons positivos. Vamos supor queos elétrons são de alguma forma afastados do equilíbrio. Se a densidade de elétrons numadada região é aumentada, eles tenderão rapidamente a regressar a condição de equilíbrioanterior ao distúrbio. Ao tentar retornar ao ponto de equilíbrio, os elétrons adquiremenergia cinética e tendem a “perder o ponto de parada”, causando uma oscilação contí-nua. Para simplificar o raciocínio vamos considerar apenas o movimento em apenas umadireção, x e que o deslocamento do ponto de equilíbrio é dado por s(x, t). A densidadesofrerá a mudança de
n =
n0�x
�x+�s=
n0
1 + (�s/�x)(3.103)
Considerando que a densidade de carga seja pequena, podemos utilizar a expansão bino-mial e
n =
n0�x
�x+�s=
n0
1 + (�s/�x)(3.104)
Considerando que os íons positivos não sejam rápidos o suficiente devido a maior inércia,quando comparados com os elétrons, a densidade desses íons positivos permanece iguala n0. Cada elétron possui uma carga �qe de forma que a densidade de carga média édada por
⇢ = �(n� n0)qe
ou⇢ = n0qe
ds
dx
onde o termo �s/�x é considerado como um diferencial. A densidade de carga por suavez relaciona-se com o campo elétrico por
r·E =
⇢
✏0(3.105)
Tomando-se, por simplicidade, que o problema é unidimensional e desconsiderandoquaisquer outro campo exceto aquele devido ao deslocamento de elétrons, podemos re-escrever a eq.(3.105) como
@Ex
@x=
n0qe✏0
@s
@x(3.106)
O campo Ex pode ser calculado pela simples integração de (3.106), como mostra(3.107)
Ex =
n0qe✏0
s+K (3.107)
85
e como Ex = 0 para s = 0, considera-se condições quiescentes, logo a constante K énula.
A força num elétron na posição s é dada por
Fx = �n0q2e✏0
s
que é uma força restauradora ao deslocamento do elétron. Isto causa uma oscilaçãoharmônica no elétron. A equação do deslocamento do elétron passa a ser dada por:
med2s
dt2= �n0q2e
✏0s (3.108)
onde s varia harmonicamente, ou em notação de exponencial complexa, exp(j!pt), onde!p é
!2p =
n0q2e✏0me
(3.109)
que também é conhecida como freqüência angular de plasma. É comum encontrar tam-bém na literatura uma formulação onde o resultado é expresso em termos de e2, onde
e2 =q2e4⇡✏
desta forma podemos escrever a eq.(3.108) como
!2p =
4⇡n0e2
me(3.110)
Esta ressonância natural do plasma possui alguns interessantes aspectos, como:
• Se um sinal de rádio, por exemplo, deve ser transmitido pela ionosfera a propa-gação somente é possível se a freqüência é superior a freqüência de plasma, casocontrário o sinal é completamente refletido, é por isto que altas freqüências sãonecessárias para a comunicação com satélites;
• Se um sinal deve ser propagado até uma estação além do horizonte, é necessáriotransmiti-lo num freqüência inferior a de plasma para que ele possa ser refletido;
3.11.2 Campo no Interior de Semi-condutores
No caso de semi-condutores o problema normalmente consiste em achar um funçãode concentração C(x) de transportadores (elétrons e buracos). Por simplicidade conside-ramos que é factível se desprezar a recombinação e geração de transportadores. Vamossupor que o sistema de elétrons e buracos possa ser expresso de acordo com a física
86
clássica, com isto podemos definir as concentrações de equilíbrio de elétrons n(x) e bu-racos p(x) imersos num campo potencial (x) são definidos pela estatística Boltzmann,conforme mostra a eq.(3.111).
n(x) = ni exp
⇣q✓( (x)� F )
⌘
p(x) = ni exp
⇣q✓( (x)� F )
⌘ (3.111)
onde ni é uma concentração intrínseca de elétrons, F é chamado potencial de Fermi,que pode ser considerado constante para todo o semi-condutor, e é tomado como nívelde referência para o potencial ( F = 0), q é a carga do elétron, ✓ = kT é a temperaturaestatística. Com as hipótese acima, o potencial (x) é dado como solução da equação dePoisson, que no caso unidimensional, torna-se
d2 (x)
dx2=
q
✏(n(x)� p(x)� C(x)) (3.112)
onde ✏ é a constante dielétrica, e a concentração C(x) pode ser representado pelo poten-cial embutido D(x) usando a definição
C(x) = ni(exp(q
✓ D(x))� exp
⇣�q
✓ D(x)
⌘) (3.113)
As condições de contorno são
(0) = D(0) + U0
(l) = D(l)
Utilizando-se uma mudança de variáveis
�(X) =
q
✓ (x)
�D(X) =
q
✓ D(x)
u0 =q
✓U0
c(X) =
C(x)
ni
através da transformação de escala x = �DX e
�D =
p✏✓/q2n
é conhecido como comprimento de Debye. Desta forma podemos expressar D(x) como
D(x) = arc sinh(c(X)/2) = ln
✓1
2
⇣c(X) +
pc(X)
2+ 4
⌘◆(3.114)
87
A eq.(3.112) pode ser escrita como
d2�(X)
dX2= exp(�(X))� exp(�(X))� c(X) (3.115)
com as seguintes condições de contorno
�(0) = �D(0) + u0
�(L) = �D(L)
e onde L = 1/�D
3.12 Problemas
1. Calcule o potencial no ponto P localizado a uma altura h verticalmente acima docentro de um disco sabendo que:
(a) a densidade de carga é uniforme sendo dada por ⇢s;
(b) a densidade de carga é distribuida de forma que
⇢s =q
4⇡ apa2 � r2
num ponto qualquer da superfície do disco com coordenadas (r,�).
2. Considere um meio linear homogêneo e isotrópico, com ✏ e µ constantes e con-dutividade nula, ocupando todo o espaço. Suponha que duas cargas pontuais q1 eq2 estão imersas neste meio, em regime estacionário, separadas de uma distânciaa. Determine o potencial � e os campos E e D correspondentes e as equações dassuperfícies equipotenciais e das linhas de força de E. Represente graficamente asequipotenciais e as linhas de força de E num plano que se encontram as cargas nasseguintes hipóteses:
(a) q1 = 1 µC, q2 = q1 e a = 1 m;
(b) q1 = 1 µC, q2 = 2q1 e a = 1 m;
(c) q1 = 1 µC, q2 = �2q1 e a = 1 m;
3. Considere o mesmo sistema do ítem anterior onde P é o ponto central do conjuntode cargas. Adote coordenadas esféricas com centro em P e com o eixo z tal que ascoordenadas das duas cargas são respectivamente z1 = a/2 e z2 = �a/2. Seja ra distância de um ponto genérico ao ponto P . Análise o comportamento � e de Epara r >> a, nas duas hipóteses anteriores. Verifique que, sendo q1 e q2 de sinaisopostos, uma das equipotenciais é uma esfera e determine o raio, R da mesma e alocalização do centro da esfera, em função das coordenadas das duas cargas e darelação q2/q1
88
4. Considere uma esfera condutora de raio R, com carga total q1, imersa em meio li-near homogêneo e isotrópico, com ✏ e µ constantes e condutividade nula, ocupandotodo o espaço exterior à esfera. Considere imersa neste meio isolante, externo àesfera, uma carga pontual q1 a uma distância d > R do centro da esfera em regimeestacionário. Represente graficamente as equipotenciais e as linhas de força deE num plano em que se encontrem a carga q2 e o centro da esfera, nas seguinteshipóteses:
(a) q1 = 1 µC, q2 = 0, R = 1 m e d = 2 m;
(b) q1 = 1 µC, q2 = �1 µC, R = 1 m e d = 2 m;
(c) q1 = 0, q2 = �1 µC, R = 1 m e d = 2 m;
5. Considere uma esfera isolante de raio R constituída por material linear homogêneoe isotrópico com ✏ e µ constantes e condutividade nula, completamente envolvidapor material condutor. Considere imersas no meio isolante, interno a esfera, cargasdistribuídas definidas pela densidade volumétrica de carga em função do ponto noespaço em regime estacionário. Determine o potencial � e o campo E correspon-dente no meio isolante e a densidade de carga na superfície da esfera.
6. Considere um meio isolante, de parâmetros ✏ = 4✏0 e µ = µ0 e de condutivi-dade nula, entre dois eletrodos metálicos cilíndricos, “muito longos”, um de raioexterno R1 = 10 mm e outro de raio itnerno R2 = 50 mm e de raio externoR3 = 51 mm, de eixos paralelos e a uma distância a = 30 mm, conforme repre-sentação na Fig. 3.17. Suponha que, em regime estacionário, o condutor internotem uma carga por unidade de comprimento q1, o condutor externo tem uma cargapor unidade de comprimento q2 = 0 e o meio exterior ao condutor externo é ovácuo. Determine no meio isolante entre os dois condutores e no meio envol-vente, o potencial � e os campos E e D correspondentes, bem como as equaçõesdas superfícies equipotenciais e das linhas de força de E. Para uma tensão entreos condutores u = 50 kV, determine a capacitância por unidade de comprimentoentre os condutores e a densidade de carga na superfície dos condutores.
2
3
1 a
Figura 3.17: 1– condutor interno; 2– meio isolante; 3– condutor externo
89
7. Considere um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais xy e outro de co-ordenadas ⇠⌘ definido a partir de sy por W = ⇠ + j⌘ = f(x+ jy), onde f é umafunção analítica de variável complexa ⇣ = x+jy. Análise a correspondência entreos domínios ⇣ e W para as seguintes transformações
(a) W = ⇣2
(b) W = 1/⇣
(c) W = exp(⇣)
(d) W = sin ⇣
(e) W = (⇣ � 1)/(⇣ + 1)
(f) W = (j � ⇣)/(j + ⇣)
(g) W = (⇣ � a)/(a⇣ � 1)
(h) W = ⇣ + ⇣�1
(i) W = ln((⇣ � 1)/(⇣ + 1))
(j) W = ln((⇣ + 1)/(⇣ � 1))
(k) W = k ln(k/(1� k))+ ln(2(1� k))+ j⇡� k ln(⇣ +1)� (1� k) ln(⇣ � 1)
(l) W = j⇡ + ⇣ + ln ⇣
(m) W = h/⇡(q⇣2 � 1 + cosh
�1(⇣))
(n) W = ln coth(⇣/2)
3.13 Soluções Parciais
1. O diferencial do potencial (') em coordenadas cilíndricas é dado por
d' =
⇢s
4⇡ph2 + r2
d� dr (3.116)
logo
' =
⇢s4⇡✏
Z a
0
Z 2⇡
0
r
4⇡ph2 + r2
d� dr =
⇢s2✏
⇣pa2 + h2 � h
⌘(3.117)
para o seguindo item basta repetir o procedimento considerando a expressão de ⇢sem função de r que leva a
' =
q
8a
✓2 tan
�1
✓a
2h� h
2a
◆+ ⇡
◆(3.118)
2. Veja seção 3.9.2
3. idem
4. ibidem
90
CAPÍTULO 4
Magnetostática
Todo campo magnético pode ser representado por uma campo eletrostático de estru-tura idêntica produzido por uma distribuição de dipólo e duas camadas fictícias. Todavia,esta equivalência é puramente formal. Não há na magnetostática quantidade correspon-dente a carga livre. Portanto, quaisquer que sejam as vantagens analíticas da analogiaeletrostática é importante lembrar que a estrutura física de um campo devido a distribui-ção estacionária de corrente difere fundamentalmente daquele de qualquer configuraçãode cargas elétricas.
Similar ao caso dos campos eletrostáticos, o campo magnetostático pode ser obtidoa partir das Equações de Maxwell considerando todos os termos que possuem @/@t = 0,conforme mostra (4.1).
r·H = 0
r⇥H = J(4.1)
Apresentamos apenas duas das equações, pois similar ao caso eletrostático é possívelseparar as equações em dois conjuntos, um onde aparece apenas o campo elétrico, E,e outro onde há apenas campo magnético, H. Para definir o comportamento do campomagnetostático é necessário adicionar a equação de continuidade, que para este casoestacionário é dada por:
r·J = 0 (4.2)
às duas equações de (3.1). Em outras palavras, a (4.2) mostra que não há acúmulo decargas, e que estamos lidando com correntes estacionárias.
Do conjunto de equações em (4.1) e (4.2) podemos inferir que a distribuição de cor-rente num campo estacionário é solenoidal, em outras palavras, todas as linhas de cor-rente ou se fecham sobre si mesmas ou começam e terminam no infinito. Pela relção
91
entre B e H podemos também afirmar que o mesmo comportamento é válido para aslinhas de fluxo magnético.
A formulação integral é obtida pela aplicação do teorema de Stokes a (4.1)I
`
H · dl =ZZ
S
J · n dS = I (4.3)
onde S é qualquer superfície cujo contorno é dado pela curva C, e I é a corrente total queatravessa esta superfície e possui sempre divergente nulo. A integral de linha de H noentorno de um caminho fechado é igual a corrente enlaçada: ou seja o campo magnéticonão é conservativo! A expressão na forma integral de uma campo solenoidal delimitadopor uma superfície fechada S, é mostrada em (4.4) para o caso do vetor B
I
S
B · n dS = 0 (4.4)
Por sua vez, todo campo solenoidal pode ser representado em termos de um vetor po-tencial, conforme mostrado no capítulo 1. Desta forma é possível expressar o vetor Bpor
B = r⇥A (4.5)
Como na maioria dos casos o interesse é em regiões não ferromagnéticas, a relação entreB e H é linear e no caso de um meio homogêneo e isotrópico, esta relação é unívoca,B = µH, permitindo-nos escrever
r⇥r⇥A = µJ (4.6)
Conforme mostrado no capítulo 1, é possível também definir um potencial escalar “as-sociado” ao potencial vetor. De fato, podemos definir diversos calibres para o vetorpotencial A. No caso da magnetostática, o mais comum é utilizar o calibre de Coulombque define1:
r·A = 0 (4.7)
em coordenadas retangulares é possível reescrever (4.6) como
r2A = �µJ (4.8)
Exemplo 4.1. Considere um campo magnético bidimensional, função apenas das coor-denadas (x, y), e sendo os vetores H e B paralelos ao plano xy. Mostre que o fluxo dovetor B por unidade de comprimento é igual à diferença entre a componente z do vetorA que passa no plano xy em dois pontos a e b numa superfície paralela ao eixo z.
1No caso mais geral de campos harmônicos no tempo, é possível utilizar o Calibre de Lorentz
r·A = �j!✏�
92
Solução— A relação entre o vetores B e A é dada por
B = r⇥A =
@Az
@yˆx� @Az
@xˆy (4.9)
uma vez que B possui componentes apenas nas direções dos vetores unitários ˆx e ˆy. Odiferencial de área ds é dado por
ds = dsx ˆx+ dsy ˆy (4.10)
O fluxo do vetor B, ,entre os pontos a e b é dado por
=
bZ
a
B · n dS (4.11)
onde o integrando é definido por
B · ds =✓@Az
@xdsx �
@Az
@ydsy
◆ˆz (4.12)
logo a solução da integral em (4.11) é dada por
=
bZ
a
@Az
@xdsx �
bZ
a
@Az
@ydsy = Az(a)�Az(b) (4.13)
Uma vez que o vetor potencial é apenas função da coordenada z podemos rescrever a(4.13) da seguinte forma
= (A(b)�A(a)) · 1ˆz
(4.14)
4.1 Potencial Escalar
A existência de uma função potencial escalar associada com o campo eletrostático éuma conseqüência direta do fato que, no caso eletrostático, o campo elétrico é irrotaci-onal, i.e. possui rotacional nulo. No caso do campo magnetostático só é possível fazereste tipo de relação em regiões onde não há distribuição qualquer de corrente estacioná-ria. Caso contrário, o rotacional de H será sempre não nulo. Portanto, caso seja possívelisolar/dividir o domínio sob estudo de forma que seja possível criar uma região fechadaonde não haja corrente alguma, em outras palavras, onde J = 0, temos que
r⇥H = 0 (4.15)
então dentro desta região podemos expressar H como
H = �r�M (4.16)
93
A integral de linha do campo magnético ao longo de qualquer contorno dentro da regiãoonde não há circulação de corrente e conectando dois pontos P e Q é dada por:
QZ
P
H · dl = �QZ
P
r�M dl = �M (P )� �M (Q) (4.17)
Aqui vale uma ressalva. Os caminhos utilizados para ir de P a Q devem estar todosdentro da região onde não há correntes. Como conseqüência temos que a função �Mpode ser descontínua ou biunívoca. Podemos reduzir todas estas situações ao fato que aintegral de H não é independente do caminho.
Pode parecer portanto que a formulação via potencial escalar não é uma ferramentaútil, contudo no caso de ímãs permanentes ou materiais magnetizados, este tipo de formu-lação apresenta vantagens interessantes. Por exemplo, no caso de uma ímã permanente,podemos escrever no caso de pontos interiores do ímã
H = �(r�M +M+M0) (4.18)
uma vez que o divergente do campo magnético é nulo, o potencial escalar satisfaz aequação de Laplace
r2�M = �⇢⇤
onde ⇢⇤ = �grad(M+M0), sendo análogo à densidade de carga no caso eletrostático.Portanto, dentro de qualquer região contendo ímãs permanentes e material polarizável noqual a densidade de corrente seja nula, o problema magnetóstatico é matematicamenteequivalente ao problema eletrostático. A seguir apresentamos um exemplo simples deuma esfera magnetizada onde o campo é calculado em pontos interiores e exteriores àesfera.
Exemplo 4.2. Considere um campo magnético bidimensional função das coordenadasx, y e independente da coordenada da coordenada z. A permeabilidade magnética éconstante e escalar e ambos os vetores H, B são paralelos ao plano xy. No domínioem questão não há corrente de deslocamento nem de condução e o mesmo se encontraem regime quase-estacionário (variações temporais lentas, quando comparadas com asvariações espaciais). Determine a relação entre as derivadas parciais da componente Az
do potencial vetor A tal que B = r⇥A e do potencial escalar � tal que H = �r�.Verifique a possibilidade de considerar uma função analítica de variável complexa ⇣ =
x+ jy que no domínio complexo represente tanto Az como �.
Solução— A expressão para o vetor de densidade de campo magnético já foi vista noExemplo 4.1, equação (4.9). Em se tratando de um meio linear
H =
B
µ=
1
µr⇥A (4.19)
94
Como H = �r� temos
H = �ˆx@�
@x� ˆy
@�
@y=
1
µ
✓@Az
@yˆx� @Az
@xˆy
◆(4.20)
logo
@�
@x= � 1
µ
@Az
@y@�
@y=
1
µ
@Az
@x
(4.21)
Consideremos a representação complexa do conjunto de coordenadas xy por meio davariável complexa ⇣ = x + jy. Consideremos uma grandeza complexa � definida apartir do potenciais vetor e escalar definida como
� = Az + jµ� = P + jQ (4.22)
supondo que � seja uma função analítica em ⇣, i.e. � = �(⇣) temos
@�
@x=
d�
d⇣
@⇣
@x=
d�
d⇣=
@Az
@x+ jµ
@�
@x(4.23)
@�
@y=
d�
d⇣
@⇣
@y= j
d�
d⇣=
@Az
@y+ jµ
@�
@ylogo
d�
d⇣= µ
@�
@y� j
@Az
@y
(4.24)
A compatibilidade entre as expressões em (4.23) e (4.24) corresponde às relações entreas derivadas dos potencias conforme mostra (4.21). Portanto, a principio, é possívelconsiderar � função analítica de ⇣. Com isso
d�
d⇣=
@Az
@x+ jµ
@�
@x=
@Az
@x� @Az
@y(4.25)
ou ainda
d�
d⇣= �j
✓@Az
@y� j
@Az
@x
◆= �j(Bx + jBy) (4.26)
Portanto é possivel relacionar os potenciais com a função complexa da seguinte forma
Az = < (�(⇣))
� =
1
µ= (�(⇣))
B = µH = jd�
d⇣
(4.27)
95
Exemplo 4.3. Seja uma esfera uniformemente magnetizada de raio a imersa num meiohomogêneo, linear e isotrópico de condutividade nula. O potencial magnético é dadopor
�M =
1
3
4⇡M0 z
Já para o exterior da esfera, o potencial é descrito por
�M =
4⇡1
3
M0a3z
(
px2 + y2 + z2)3
Calcule o vetor densidade de fluxo no interior e no exterior da esfera, esboçando umgráfico com as linhas de fluxo.
Solução— Tanto o campo externo quanto o interno podem ser obtidos diretamente dopotencial através da relação B = r�M . Denominando-se o campo interno por Bin eo externo por Bext, respectivamente, temos (onde xyz designam vetores unitários nasdireções cartesianas ortogonais):
Bin =
4Mo⇡
3
z
Bext =4a3Mo�xz
(x2 + y2 + z2)5/2x+
4a3Mo�yz
(x2 + y2 + z2)5/2y +
4a3Mo�z2
(x2 + y2 + z2)5/2z� 4a3M0⇡
3(x2 + y2 + z2)3/2z
A Fig. 4.1 abaixo mostra o gráfico das linhas de força obtido com o Mathematica para ocaso particular de a = 1 e M0 = 2.
4.2 Potencial Vetor
Um ponto importante que ainda não abordamos é se o Potencial Vetor é apenas umaferramenta útil ao cálculo, como no caso do potencial escalar na eletrostática, ou se real-mente representa um campo “real”. Afinal, não seria o campo magnético H o “elemento”real, uma vez que é ele que determina a força atuante numa partícula? Antes de respondera pergunta, vale lembrar um comentário de Feynman et al. (1964):
Antes de mais nada nós devemos dizer que o termo campo real não é muitosignificativo. Primeiro, você não percebe o campo como sendo “real”, poisa idéia de campo já é, por si só bastante abstrata. Você não pode colocar suamão em determinado ponto do espaço e sentir o campo magnético. Além domais, o valor do campo magnético não é absolutamente definido. Através daescolha de um sistema de coordenadas adequado é possível, por exemplo,fazer com que o campo magnético em determinado ponto desapareça.
Do ponto de vista do formalismo matemática, um campo é uma ferramenta matemá-tica utilizada para evitar a idéia da ação a distância. Em outras palavras, um campo “real”
96
Figura 4.1: Densidade de campo magnético para uma esfera uniformemente magneti-zada
é um conjunto de números que especificamos de certa forma a tornar o que acontece numdeterminado ponto dependa apenas nos números naquele ponto.
Possivelmente, o que torna o Potencial Vetor um pouco “misterioso” seja o fato denão ser único, que pode ser mudado pela adição de um gradiente de uma função escalar.
É importante realçar a utilidade do vetor potencial, mesmo que para problemas maissimples seja possível obter B ou H diretamente pela Lei de Ampére. Para aqueles maisansiosos pela correlação entre a natureza física do fenômeno e as ferramentas que usa-mos para descrevê-lo vale notar que tanto o Potencial Vetor como o Potencial Escalardesempenham papel importante na descrição da energia das partícula, sendo ferramentalmais direto na inclusão de efeitos derivados dos campos eletromagnéticos na MecânicaQuântica.
4.3 Potencial Vetor com correntes conhecidas
Como visto anteriormente, o campo magnético e o vetor potencial podem ser deter-minados diretamente das correntes. Mostramos a seguir tal procedimento em maioresdetalhes, começando com a equação básica
r⇥H = J (4.28)
97
o que implica de fato em (4.6). Aqui é importante perceber que a (4.6) é similar a equaçãodo caso eletrostático
r2� = �⇢✏
tal fato ficará mais claro se lembrarmos a identidade vetorial mostrada em (1.79) nocapítulo 1.
r⇥(r⇥A) = r(r·A)�r2A
aplicando-se o calibre de Coloumb, r·A = 0, a equação acima torna-se a (4.8). Lembrando-se que o laplaciano opera em cada componente retangular de A temos três equações,sendo que cada uma delas é bastante similar a r2� = �⇢/✏. Desta forma tudo o que foiaplicado para o caso da solução de Poisson para o caso eletrostático pode ser aplicado nocálculo de A quando a densidade de corrente J é conhecida. Se a distribuição de correntepode ser circunscrita por uma esfera de raio finito, cada componente do potencial vetorpode ser expresso através da integral
Ai(x0, y0, z0) =
µ
4⇡
ZZZ
V
Ji(x, y, z)
rdV (4.29)
sendo i = 1, 2, 3 e estendendo-se por todo espaço. Lembrando que cada componentepode ser recombinado para produzir a seguinte relação vetorial
A(x0, y0, z0) =µ
4⇡
ZZZ
V
J(x, y, z)
rdV (4.30)
onde as coordenadas x0, y0 e z0 representam o ponto onde se quer calcular o vetor po-tencial e as coordenadas x, y e z se referem ao ponto onde as componentes do vetorde densidade de corrente existem e r =
p(x0 � x)2 + (y0 � y)2 + (z0 � z)2. Notemos
aqui que se J é uma função absolutamente integrável então A é contínua possuindo de-rivadas a primeira em todos os pontos, sejam eles interiores ou exteriores à distribuiçãode corrente.
A equação (4.30) pode ainda ser simplificada no caso de uma corrente em condutorescuja seção transversal seja tão pequena em relação a distância r sendo possível admitirque a densidade de corrente é uniforme e unidirecional, com sentido de propagação aolongo do condutor. Desta forma
J dV = J dS d` = I d`
onde I é a corrente total que percorre o condutor e dl é um infinitesimal de comprimentodo condutor. Uma vez que I deve ser constante, podemos então reescrever a (4.30)
A(x0, y0, z0) =µI
4⇡
I
`
1
rd` (4.31)
no qual a integral deve se estender ao longo de todo o circuito `.
98
Exemplo 4.4. Apresentamos a seguir dois exemplos bastante simples para o cálculo docampo magnético imersos num meio uniforme, isotrópico e sem perdas. O primeiro casoé um condutor sem perdas, infinito, conduzindo uma corrente I e raio a. O segundo casoé o de uma espira com conduzindo a mesma corrente I , sendo que a espira forma umcírculo de raio a. Calcule o campo magnético nestes dois cenários2
Solução— No caso do condutor infinito, a primeira hipótese consiste em tratar a correntecomo sendo uniformemente distribuída na seção transversal. A solução pode até se valerda simetria cilíndrica do problema. Seja r a distância radial de um ponto qualquer aocondutor e tomando o condutor como o centro das coordenadas, e sendo a o raio docondutor temos, vide Fig. 4.2(a),
H =
I
2⇡a2r, (r < a)
H =
I
2⇡r, (r > a)
o campo exterior é independente do raio e também pode ser obtido pela lei de Biot-Savart 4.4. Devemos notar aqui que caso fosse utilizado o potencial escalar magnéticopara obter a expressão de H na região externa ao condutor, a integral não convergiria.Isto se dá pois a região onde a corrente é não nula se estende até o infinito, contrariando ahipótese implícita no caso do potencial escalar onde a região onde não há corrente podeser confinada. O potencial vetor pode ser calculado
Ar = A✓ = 0
Az =µI
2⇡ln(1/r)
não é difícil verificar que o rotacional em coordenadas cilíndricas da expressão acimatende a infinito conforme r ! 1.
Para o caso da espira circular temos na verdade dois conjuntos distintos de problemas.O primeiro consiste no cálculo de H no eixo central da espira e o segundo em qualquerponto no exterior da mesma. No caso do campo no eixo central da espira e tomando-ocomo o centro das coordenadas e utilizando coordenadas cilíndricas (r�z), temos que oelemento dl ao longo da espira tem comprimento ad�, onde a é o raio da espira. Esteelemento, por sua vez, é sempre perpendicular ao vetor r que une um ponto qualquer naespira a outro no eixo da mesma, em outras palavras de um ponto qualquer na espira a umponto qualquer no eixo z. Ao se deslocar o ponto na espira surge uma superfície cônica,que cancela todas as componentes de H exceto a radial, desta forma:
dHz =a dHpa2 + z2
logo
Hz =a2I
2(a2 + z2)3/2(4.32)
2Para a obtenção dos gráficos foram utilizados arquivos do programa Mathematica baseados no item 1.12de (Trott 2004)
99
no centro da espira (z = 0) o campo reduz a
Hz(z = 0) =
I
2a
sendo similar ao campo criado por um fio infinito.Para o caso do cálculo do campo em qualquer ponto exterior a espira é mais cô-
modo utilizar coordenadas esféricas, (r,�, ✓). Neste caso, excetuando-se o eixo z, haveráapenas componente de A na coordenada � devido a simetria do problema. A título deexemplificação vamos calcular o potencial vetor num ponto de coordenadas (r, 0, ✓), i.e.� = 0, o diferencial do potencial vetor num elemento d` é dado por:
dA� =
µI cos�
4⇡Rd` (4.33)
onde R é a distância entre o elemento d` na espira ao ponto (r, 0, ✓). O vetor potencial éachado após a integração ao longo da espira
A� =
µaI
4⇡
2⇡Z
0
cos�
Rd� (4.34)
A distância R pode ser expressa em termos do raio e das coordenadas do ponto de obser-vação
R2= r2 + a2 � 2ra sin ✓ cos�
substituindo-se o valor de R a solução do vetor potencial pode ser encontrada através deintegrais elípticas ou até mesmo da integração numérica, (vide seção 4.6, problema 1). Épossível simplificar a expressão se o interesse é o campo a grandes distâncias da espiratal que r � a. Isto implica em
R ⇡ rp1� 2a/r sin ✓ cos�
logo
1/R ⇡ r�1(1 + a/r sin ✓ cos�) (4.35)
Substituindo-se (4.35) em (4.34), é possível escrever
A� =
µIa2
4r2sin ✓ (4.36)
Apesar do resultado acima ter utilizado um ponto específico do espaço, (� = 0), devido àsimetria o mesmo é válido para qualquer valor de �. As componentes do vetor densidadede fluxo magnético podem ser obtidas diretamente da definição do vetor potencial, ecomo o meio é suposto linear, temos:
Hr =I⇡a2
2⇡r3cos ✓
H✓ =I⇡a2
2⇡r3 sin ✓H� = 0
(4.37)
100
A Fig. 4.2(b) mostra as linhas de campo entorno da espira com corrente I . O termoI⇡a2 é também conhecido como momento de dipólo magnético, m. Tal formulação nospermite reescrever a equação de A como
A = � µ
4⇡m⇥r
✓1
r
◆(4.38)
A equação (4.38) mostra que para pontos distantes de qualquer fonte de campo se reduzao campo de um dipólo magnético, independentemente se a fonte é um material mag-nético ou uma corrente estacionária. Isto equivale a dizer que um dipólo infinitesimalde um material magnético é essencialmente o mesmo que um dipólo infinitesimal de umlaço de corrente elétrica.
(a) condutor fino e infinito (b) espira fina
Figura 4.2: Linhas de campo magnético em dois casos simples
4.4 A Lei de Biot-Savart
No caso de uma região onde há uma corrente I estacionária, sendo dl um elementodo condutor, imerso num meio linear homogêneo e isotrópico, a equação do potencialvetor é dada por
A =
µI
4⇡
I
`
1
rd` (4.39)
onde a integral se estende por todo o comprimento ` do circuito. O campo magnéticopode ser obtido diretamente do rotacional de A num ponto qualquer de coordenadas(x0, y0, z0) em função da densidade de corrente num ponto de coordenadas (x, y,) e apósalguma manipulação algébrica
H(x0, y0, z0) =1
4⇡
ZZZJ(x, y, z)⇥
✓1
r
◆dV (4.40)
101
Se r0 é um vetor unitário relacionando a distância r entre o ponto (x, y, z) e um pontoqualquer de observação (x0, y0, z0)
H(x0, y0, z0) =1
4⇡
ZZZJ⇥ r0
r2dV (4.41)
Caso haja corrente apenas em circuitos de pequenos condutores é possível substituir otermo J dV por I d`. Desta forma podemos reescrever (4.41)
H(x0, y0, z0) =I
4⇡
Z
`
s0 ⇥ r0
r2d` (4.42)
onde s0 é um vetor unitário na direção tangencial ao elemento de corrente I d`. A Lei deBiot-Savart expressa por (4.42) também pode ser expressa em forma diferencial
dH =
1
4⇡
s0 ⇥ r0
r2I d` (4.43)
A maior limitação da formulação diferencial reside no fato que o elemento de campomagnético pode não ser univocamente definido. Por exemplo, para a expressão em (4.43)pode-se adicionar qualquer função vetorial cuja integral num caminho fechado seja nula.
Exemplo 4.5. Seja um magneto cilíndrico cuja projeção é mostrada na Fig. 4.3, sendo ao raio interno e b o raio externo e 2⇡�2↵ o arco que define o entre-ferro, e admitindo-seque o meio envolvente é linear, homogêneo e isotrópico, com permeabilidade escalar econstante µ. O magneto possui o mesmo valor de permeabilidade que o meio envolvente.Utilizando coordenadas cilíndricas bidimensionais calcule o vetor potencial magnéticoe as linhas de campo.
Figura 4.3: Exemplo 4.5
Solução—O diferencial do potencial vetor A, dA é dado por
dA =
µ0I
⇡
1X
n=1
1
n
✓an � bn
rn
◆cos(n✓1) cos(n✓)d✓1 (4.44)
102
onde ✓ é o ângulo de um ponto genérico P localizado no exterior do magneto e ✓1 évariável de integração do ângulo, que varia de 0 a ↵. O potencial vetor é encontrado apartir da integração de (4.44) de 0 a ↵. Para r > b, temos
A =
µ0I
⇡
1X
n=1
1
n
✓an � bn
rn
◆sin(n↵) cos(n✓) (4.45)
e de forma similar, para b > r > a
A =
µ0I
⇡
↵ ln
✓b
r
◆+
1X
n=1
1
n2
⇣ar
⌘2�⇣rb
⌘n�sin(n↵) cos(n✓)
!(4.46)
e para r < a
A =
µ0I
⇡
↵ ln
✓b
r
◆+
1X
n=1
1
n2
⇣ra
⌘2�⇣rb
⌘n�sin(n↵) cos(n✓)
!(4.47)
4.5 Polarização Magnética
Conforme vimos na seção anterior há uma relação entre um elemento magnetizadoe outro com um corrente estacionária. Apresentamos aqui maiores detalhes sobre estarelação/distribuição para um elemento delimitado por um volume V e uma superfícieS. Admitimos, por simplicidade que a magnetização M inclui qualquer magnetizaçãopermanente ou residual M0 caso a mesma exista. Reescrevendo a equação do vetorpotencial agora em função da magnetização, M leva a, supondo que o meio exteriorpossua permeabilidade magnética µ
A(x0, y0, z0) =µ
4⇡
ZZZ
V
M(x, y, z)⇥r✓1
r
◆dV (4.48)
Aplicando-se a identidade vetorial
M⇥r✓1
r
◆=
r⇥M
r�r⇥
✓M
r
◆
em conjunto com o Teorema de Green e Stokes, vemos que é possível dividir a integralem (4.48) em duas
A(x0, y0, z0) =µ
4⇡
ZZZ
V
r⇥M
rdV +
µ
4⇡
ZZ
s
M⇥ n
rdS (4.49)
Portanto, o potencial vetor devido a um corpo magnetizado é exatamente o mesmo queseria produzido por uma corrente volumétrica e outra superficial cujas densidades são
J = r⇥M
K = M⇥ n(4.50)
A validade do resultado de (4.50) pode ser facilmente demonstrado é deixado comoexercício, podendo ser encontrada também na pag. 243 de (Stratton 1941).
103
4.6 Problemas
1. um fio circular de raio a carrega uma corrente constante I , sendo a origem doplano xy o centro do círculo. O meio em torno do círculo é homogêneo, isotrópicocom condutividade nula e ✏ e µ constantes. Um ponto no espaço é localizado emcoordenadas cilíndricas r, �, z, sendo x = r cos�, y = r sin(�). Utilizando ocalibre de Coulomb mostre que o potencial vetor em qualquer ponto no campo édado por
A� =
aµI
2⇡
⇡Z
0
cos↵pa2 + r2 + z2 � 2ar cos↵
d↵ =
µ
⇡kI
ra
r
✓1� k2
2
◆K � E
�
(4.51)
onde k2 = 4ar/((a+ r)2 + z2), e K e E são integrais eliptícas completas do pri-meiro e do segundo tipo. Compare este resultado com o obtido através do Calibrede Lorentz para campos harmônicos no tempo, utilizando coordenadas esféricas,
A� = Ay|�=0 =aµI
4⇡
2⇡Z
0
f cos↵ d↵ (4.52)
onde
f =
exp(�jkpr2 + a2 � 2ra sin ✓ cos↵)p
r2 + a2 � 2ra sin ✓ cos↵
sendo k = !pµ✏ a constante de propagação de um meio sem perdas e ✓ o ângulo
de azimute.
(a) Mostre que sepr2 + z2 � a, a expansão (4.51) torna-se a equação do po-
tencial vetor para um dipolo magnético.(b) A partir das expressões (4.51) e (4.52) calcule a componente Hr do campo
magnético e compare as respostas.(c) Expanda f em série de potência em torno do ponto a = 0 e mostre que
A� ⇡ µ⇡a2
4⇡exp(�jk r)
✓jk
r+
1
r2
◆sin ✓
2. Considere um campo magnético bidimensional, função das coordenadas x e y eindependente de z, sendo os vetores H e B paralelos ao plano xy, num domínio doespaço em que não haja corrente de condução nem corrente de deslocamento, e emque µ seja escalar e constante em regime quase-estacionário. Determine a relaçãoentre as derivadas parciais em relação a x e y da componente Az do potencialmagnético escalar �M .
3. Considere um condutor de cobre disposto dentro de uma ranhura de uma máquinaelétrica, tal que a ranhura vista no plano xy tem profundidade h = 50 mm e largura
104
2b = 10 mm, e o entreferro tem largura a = 2 mm. Suponha que a permeabilidademagnética no ferro nas proximidades da ranhura é infinita. Determine as distri-buições de densidade de corrente e de campo magnético no condutor, associadas àcorrente total no condutor. Suponha uma corrente alternada senoidal de amplitudeI e freqüência f .
4. Considere dois condutores sem perdas de permeabilidade µ, imersos num meiohomogêneo, isotrópico e sem perdas de mesmo valor de permeabilidade magné-tica. Um dos condutores está orientado no eixo z enquanto o outro condutor estáparalelo ao eixo y mas passando pelo ponto (0, 1, 0), conforme mostra a Fig. 4.4.Calcule o campo magnético e desenhe as linhas de campo para esta configuração.
xy
z
y
Figura 4.4: Problema 4
4.7 Soluções Parciais
1. Considere o plano xy coincidente com o plano do círculo percorrido pela corrente.Em um ponto P qualquer no espaço, o vetor potencial possui apenas a componenteA� (para um sistemas de coordenadas cilíndricas) devido a simetria da configura-ção. A intensidade O potencial vetor é dada por (4.30). Aplicando-se ao problemaem questão, obtemos
A� =
µI
2⇡
⇡Z
0
a cos�pa2 + r2 + z2 � 2a r cos�
d�
Se o círculo for pequeno, é possível simplificar a expressão acima
A� =
µI
2⇡
�Z
0
a cos�
r0
✓1 +
a r cos�
r20
◆d� ⇡ a2µ I
4r2sin ✓
105
onde r0 =pr2 + z2 � a, e ✓ o ângulo de azimute. Para o cálculo dos componen-
tes do campo magnético temos
Br = µHr = �@A�
@z
Bz = µHz = �1
r
@r A�
@r
Logo
Hr =I
2⇡
z
rp(a+ r)2 + z2
�K +
a2 + r2 + z2
(a� r)2 + z2E
�
Hz =I
2⇡
1p(a+ r)2 + z2
K +
a2 � r2 � z2
(a� r)2 + z2E
�
2. Vide Exemplo 4.2
3. Consideremos que os vetores J, H, A e B são função apenas de y e do tempot. Os vetores J e A apresentem apenas componentes z não nulas, e os vetores He B possuem apenas componentes na direção x. Desprezando-se as correntes dedeslocamento dentro do condutor temos
r⇥H = J ! �@H@y
ˆz = Jˆz
r⇥E = �@B@y
! @E
@yˆx = �@B
@tˆx
r⇥A = B ! @A
@yˆx = µHˆx
Sabemos ainda que J = �E. Agora, vamos utilizar agora a notação complexapara a representação de grandezas alternadas senoidas de freqüência f e pulsação! = 2⇡f , tais que
P = <[ ¯P exp(j!t)]
sendo ¯P complexo e independente de t. Aplicando-se a formulação complexa àsequações dos campos leva a
d ¯H
dy= � ¯E
d ¯E
dy= �j!µ ¯H
Por substituição direta de ¯E nas equações acima, a equação de ¯H passa a ser des-crita como
d2 ¯H
dy2� j!µ� ¯H = 0
106
que possui soluções do tipo
¯H = C1 sin(⌫y) + C2 cos(⌫y)
onde ⌫ =
p�j!µ� e C1, C2 são constantes. A partir das hipóteses, H = 0 para
y = 0, logo C2 = 0 e ¯H = C1 sin(⌫y) e portanto
¯J = �C1⌫ cos(⌫y)
¯E = �C1⌫
�cos(⌫y)
¯A = �C1µ
⌫(1� cos(⌫y))
Para o vetor ¯A é arbitrado A = 0 para y = 0. As condições de contorno aindaestabelecem que 2b ¯H = �¯I , onde ¯I é o complexo associado ao comportamentoda corrente, logo
C1 = �¯I
2 b sin(⌫h)
¯H = �¯I
2 b sin(⌫h)sin(⌫y)
¯J =
¯I⌫
2 b sin(⌫h)cos(⌫y)
¯E =
¯I⌫
2 b� sin(⌫h)cos(⌫y)
A partir destes resultados podemos definir a impedância interna por unidade decomprimento como
¯E(y = h)¯I
= Zi = Ri + jXi =⌫
2 b� tan(⌫h)
Notemos ainda que para f ! 0, a impedância interna por unidade de comprimentodeve ser aproximar à resistência do condutor em corrente contínua por unidade decomprimento. De fato isso ocorre pois quando a freqüência tende a zero, ⌫ tendepara zero e o mesmo ocorre com o termo tan(⌫h). Logo
Zi(f = 0) =
1
2 b h�
4. Ver solução apresentada em sala de aula.
107
108
Parte III
Propagação de Ondas
109
CAPÍTULO 5
Propagação de Ondas Planas
Como lembra Slater & Frank (1969), possivelmente o maior êxito da Teoria deMaxwell foi a previsão da existência de ondas eletromagnéticas cuja a velocidade depropagação era igual aos dados experimentais sobre a velocidade da luz. Foi a partir daíque ficou claro que a luz era também uma forma de radiação eletromagnética, com curtocomprimento de onda. Foi somente anos mais tarde que Hertz demonstrou experimental-mente a existência de ondas eletromagnéticas com comprimentos de onda maiores.
Estudo da propagação de ondas eletromagnéticas abrange uma grande gama de apli-cações em Linhas de Transmissão à Telecomunicações. É um estudo que envolve es-sencialmente a análise do comportamento do campo eletromagnético no espaço e notempo, sendo bastante comum na literatura técnica soluções baseadas em formulaçõesaproximadas. Apresentamos aqui uma estrutura um pouco distinta. Primeiro, a soluçãorigorosa dos diferentes “tipos” de propagação é mostrada, utilizando em todos os casosas equações de Maxwell como ponto de partida. Segundo, ao invés de demonstrar a teo-ria com aplicações mais simples, optamos por aplicações bem próximas da realidade daEngenharia Elétrica, em particular na transmissão de energia.
5.1 Formulação Básica
Consideremos aqui o problema de resolver as equações de Maxwell em meio homo-gêneo, linear e isotrópico de parâmetros ✏, µ e � constantes, sem cargas ou correntesque não as determinadas pela lei de Ohm. Como conseqüência os campos E, H devemsatisfazer às equações abaixo para um sistema de coordenadas cartesiano (xyz).
@2E
@x2� µ✏
@2E
@t2� µ�
@2E
@t2= 0
@2H
@x2� µ✏
@2H
@t2� µ�
@2H
@t2= 0
(5.1)
111
Excetuando-se soluções particulares onde o campo H é constante no tempo e/oucampo E atenua-se exponencialmente no tempo com constante ⌧ = ✏/�, para as con-dições impostas, as componentes de E e H segundo z são nulas. Pelo uso do vetor dePoynting pode-se mostrar que para este tipo de onda a propagação ocorre apenas na di-reção de z sendo os campos E e H transversais a direção de propagação. Este tipo deonda é chamada também de onda TEM (Transverse Electromagnetic) ou modo TEM depropagação. Para o mesmo sentido de propagação, caso não houvesse a componente Hz ,a onda seria tida TM (Transverse Magnetic) e para o caso de não existir Ez , a onda é ditaTE (Transverse Electric). Ondas TE e TM podem ser classificadas como ondas não uni-formes. O modo TEM é a configuração mais simples de propagação e em diversos casosum dos mais importantes pois caracteriza uma onda plana. Todavia, lembremos que esteé um caso especial e não uma solução geral da propagação de ondas eletromagnéticas.
A solução de equações diferenciais do tipo (5.1) pode ser feita através do métodode separação de variáveis, vide capítulo 1, sec. 1.2. Seja F (z, t) uma função capaz derepresentar quaisquer das componentes de E e H, aplicando a separação de variáveistemos
F (z, t) = F1(z)F2(t)
o que nos leva ao seguinte conjunto de equações
1
F1
d2F1
dz2=
µ✏
F2
d2F2
dt2+
µ�
F2
dF2
dt2= �k2 (5.2)
onde k2 é a constante de separação de variáveis. O conjunto de equações diferenciais em(5.2) pode ser resolvido através de diversos métodos, como por exemplo uma transfor-mada de Laplace (ou Fourier) bidimensional. No caso em questão é comum supor que apropagação espacial e temporal é do tipo exponencial, sendo a propagação temporal dotipo harmônica (exp(pt, onde p é um número complexo). Desta forma
F1(z) = A exp(jk z) +B exp(�jk z)
F2(t) = C exp(pt)(5.3)
O “operador” p deve satisfazer a seguinte equação
µ✏p2 + µ�p+ k2 = 0
ou ainda
p2 +�
✏p+
k2
µ✏= 0 (5.4)
Resolvendo a (5.4) e substituindo p = j! obtemos
k = ±p!2µ✏� j!µ� (5.5)
Em engenharia elétrica, o mais comum é adotar a propagação para valores positivos de z aparcela exp(�jk z), ou simplesmente exp(��z), onde � = jk. A seção 5.1.1 apresenta
112
algumas informações adicionais sobre a escolha da função de propagação. A partir de(5.5) e considerando apenas a raiz positiva podemos expressar � por
� =
pj!µ� � !2µ✏ = ↵+ j� (5.6)
A quantidade sob a raiz quadrada em (5.6) é um número complexo que, para freqüênciasangulares ! reais, localiza-se no segundo quadrantes, logo a raiz positiva situa-se noprimeiro quadrante, i.e., ↵ e � são positivos.
Para meios não dissipativos (� = 0), com parâmetros µ e ✏ independentes da freqüên-cia, a propagação segundo z ocorre sem atenuação e com “velocidade de fase” v =
1/pµ✏ independente da freqüência. Nestas condições temos:
• a velocidade de propagação constitui uma característica robusta do meio;
• a densidade de energia elétrica é igual a densidade de energia magnética;
• os vetores E e H estão em fase no tempo com a relação constante entre os módulosdada por
����E
H
���� =r
µ
✏
constante e independente da freqüência, e esta relação real tem o significado de“impedância de onda.”
Para meios dissipativos (� > 0), mesmo com parâmetros µ, � e ✏ independentesda freqüência, a propagação segundo z ocorre com atenuação e “velocidade de fase”dependentes da freqüência. Nestas condições temos:
• a velocidade de propagação não constitui uma característica robusta do meio, hádiversas velocidades de propagação do meio;
• as densidades de energia elétrica e magnética não são iguais entre si;
• os vetores E e H não estão em fase e a relação entre os módulos varia com afreqüência;
• o vetor de Poynting pode, eventualmente, mudar de sentido ao longo do período dasgrandezas alternadas senoidais (sendo nulo nos instantes em que, eventualmente,um dos campos E ou H seja nulo.
5.1.1 Alguns comentários sobre a notação
Há uma gama de notações possíveis para a representação da propagação das ondas,uma vez que as formas de onda de solução baseiam-se na escolha de funções arbitrárias.Em áreas como a Física é comum a adoção do fator temporal como sendo exp(�j!t)
113
ao invés de exp(j!t). Conforme apresentado por Stratton (1941), este tipo de aborda-gem apresenta como vantagem que o expoente positivo exp(jkR) é mantido para a ondaviajante positiva, sendo k dado por
k2 = !2µ✏+ j!µ�
Por outro lado, esta formulação implica na necessidade de se escolher o sinal do parâ-metro complexo k de forma que a parte imaginária do mesmo seja menor que zero. Emoutras palavras, deve-se escolher o sinal da raiz de k2. Em Engenharia Elétrica é maiscomum adotar exp(�jkR) para a onda viajante positiva, onde
k2 = !2µ✏� j!µ�
desta forma não é necessário escolher o sinal da raiz de k, vide (Harrington 2001). Paraesta formulação a grandeza temporal é exp(j!t). Note-se que a relação entre a notaçãoadotada por Stratton (1941) e Harrington (2001) equivale a trocar j por �j (rotação de180 graus no plano complexo).
Uma outra notação também comum em Engenharia e em alguns livros da Física comoem (Slater & Frank 1969), consiste em modelar a propagação por exp(��R), neste caso
�2 = �!2µ✏+ j!µ�
Conforme já definido na eq.(5.6), não é difícil verificar que as formulações em Slater &Frank (1969) e Harrington (2001) são equivalentes e facilitam a utilização numérica parafreqüências positivas.
5.1.2 Relação entre os Campos
Supondo, como definido anteriormente, que tanto o campo elétrico como o campomagnético não possuem componentes na direção da propagação, podemos escrever asseguintes relações entre os componentes de E e H nas coordenadas x e y, supondo aindaque o meio seja linear, homogêneo, isotrópico e sem fontes, para uma propagação noeixo z dada por exp(��z), onde z é o sentido de propagação.
�Ey = �j!µHx
��Ex = �j!µHy
0 = �j!µHz
��Hz = 0
�Hy = (� + j!✏)Ex
��Hx = (� + j!✏)Ey
0 = (� + j!✏)Ez
��Ez = 0
As relações entre os componentes podem ainda se relacionar por
Ex
Hy= �Ey
Hx= Z0 =
j!µ
�=
�
� + j!✏(5.7)
114
onde Z0 é a impedância intrinseca, ou característica, ou “impedância de onda”. Estasrelações também podem ser expressas em forma vetorial
H =
�
j!µn⇥E (5.8)
onde n é o vetor unitário no sentido de propagação.No caso de se considerar a propagação associada a um vetor de campo elétrico que
pode ser decomposto em dois vetores E1 e E2 propagando-se em sentidos opostos deforma que
E = E1 exp(�z + pt) +E2 exp(��z + pt) (5.9)
e de forma semelhante
H = H1 exp(�z + pt) +H2 exp(��z + pt) (5.10)
as equações de campo impõem as relações
H1 =�
pµn⇥E1
H2 = � �
pµn⇥E2
(5.11)
que nada mais são que uma generalização da expressão em (5.8). A primeira expressãoem (5.11) assume a mesma forma de (5.8) caso p = j!.
Exemplo 5.1. Analisamos a seguir a forma de uma onda plana correspondente a umimpulso de campo elétrico, propagando-se em meio linear e homogêneo. A Fig. 5.1apresenta o campo elétrico em função do tempo para z = 0. Calcule e representegraficamente a função de transferência W em função da freqüência f , que relaciona ocampo elétrico para z = 100 m e para z = 0 para as seguintes configurações
(a) ✏ = 80, 1✏0, µ = µ0, � = 10
�9 S/m, z = 100 m;
(b) ✏ = 80, 1✏0, µ = µ0, � = 10
�4 S/m, z = 100 m;
(c) ✏ = 80, 1✏0, µ = µ0, � = 10
�3 S/m, z = 100 m;
(d) ✏ = 80, 1✏0 + 10
�6q
2⇡! , µ = µ0, � = 10
�4+ 10
�6p
!2⇡ S/m, z = 100 m;
Para cada um dos casos calcule também o comportamento do campo elétrico no domíniodo tempo para z = 100 m.
Solução De acordo com o enunciado, a função de transferência W pode ser definida por
W (f) =E(100, t)
E(0, t)
115
0 20 40 60 80 100t !Μs"
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
E!V#m"
(a) Onda completa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3t !Μs"
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
E!V#m"
(b) Frente de onda
Figura 5.1: Impulso em função do tempo
Admitindo-se que o campo elétrico é apenas função da coordenada z e do tempo t, po-demos escrever
Wi(f) = exp(�jki zi)
onde Wi é a função de transferência associada ao item i do exemplo, ki é o fator depropagação associado ao item i, e z1 = 100 m para todos os itens. Desta forma o
W (f) = exp(�j100p!2µ✏� j!µ�)
Para o primeiro exemplo temos:
Wa(f) = exp
⇣�j100
p�j! 1, 25664 · 10�15
+ !28, 91214 · 10�16
⌘
A Fig. 5.2 apresenta a forma de onda de W no domínio da freqüência, onde Reidentifica a parte real e Im a parte imaginária de W . Notemos que devido ao baixo valorda condutividade não há atenuação perceptível na função de transferência.
A forma de onda do impulso de campo elétrico no domínio do tempo pode ser obtidopela aplicação da Transformada Inversa de Fourier ao produto de W com o valor docampo elétrico para z = 0 no domínio da freqüência.
5.2 Ondas Planas em Meios Não Homogêneos
Diferentemente dos casos anteriores apresentamos aqui o formalismo necessário paraa análise da propagação de ondas em materiais não homogêneos. Estes meios são carac-terizados por parâmetros µ, ✏ e � dependem das coordenadas (x, y, z) de um ponto numsistema de coordenadas cartesianas. Neste caso, as equações de Maxwell passam a ser
116
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1f !MHz"
!1
!0.5
0
0.5
1
W Im
Re
(a) item (a)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1f !MHz"
!0.75
!0.5
!0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
W Im
Re
(b) item (b)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1f !MHz"
!0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
W
Im
Re
(c) item (c)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1f !MHz"
!0.5
!0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
WIm
Re
(d) item (d)
Figura 5.2: Função de transferência do campo elétrico para a propagação de uma ondaplana em z = 100 m
r·(✏E) = ⇢
r·(µH) = 0
r⇥E = �j!µH
r⇥H = �(� + j!✏)E
(5.12)
A maior dificuldade para a solução do sistema definido por (5.12) é a inclusão dasderivadas espaciais de µ, ✏ e �. A solução é bastante trabalhosa e normalmente só épossível em situações onde é possível desprezar certos componentes de campo ou direçãode variação espacial.
A título de exemplo consideremos um meio onde as ondas eletromagnéticas são defi-nidas por (5.12) sem que haja perdas ou cargas (� = ⇢ = 0). É uma configuração similarao caso de dielétricos homogêneos, sendo necessário apenas resolver as equações queenvolvem o rotacional dos campos. Suponhamos, ainda, que a onda eletromagnética sepropaga na direção z, com o campo elétrico definido apenas pela componente na direçãox (Ex), e o campo magnético dado apenas pela componente na direção y, (Hy) e µ e✏ não possuem variação no plano transversal à direção de propagação z. Da aplicação
117
direta das equações de Maxwell temos
dEx
dz= �j!µHy
dHy
dz= �j!✏Ex
(5.13)
Um ponto interessante com relação a (5.13) é que o conjunto de equações é idênticoas equações de uma linha de transmissão não uniforme, onde Ex é análogo à tensão, Hy
à corrente, µ e ✏ à indutância e à capacitância por unidade de comprimento respectiva-mente. A solução é possível no caso de, por exemplo, uma onda TM sem variações emy, com variações exponenciais em x e apenas variações em z para µ e ✏, de forma que
Ex = V (z) exp(�jk x)
Hy = I(z) exp(�jk x)
Ez = A(z) exp(�jk x)
(5.14)
ao aplicar (5.14) nas equações de Maxwell obtemos
d I(z)
dz= �j!✏V (z)
d V (z)
dz + jkA= �j!µI(z)
�jk I(z) = j!✏A(z)
(5.15)
resolvendo-se (5.15) em função de A(z) temos
d V (z)
dz= �j
✓!µ� k
!✏
◆I(z) (5.16)
Notemos que a (5.16) é de fato uma equação de onda não uniforme, conforme mencio-namos no início do item. Para esta configuração ainda é possível obtermos soluções paraondas TE sob condições similares, deixamos a tarefa como exercício para o leitor.
O formalismos para a solução dos campos em meios anisotrópicos é bem distintodo caso de um meio homogêneo. A fim de apresentar com maiores detalhes o compor-tamento de alguns sistemas anisotrópicos é necessário antes apresentar alguns detalhessobre as propriedades destes meios, conforme mostrado a seguir.
5.2.1 Propriedades Dielétricas e Magnéticas de Meios Anisotrópicos
Uma das características dos materiais anisotrópicos é que a polarização não é pa-ralela ao campos elétrico aplicado e depende da direção do mesmo. O campo elétricoaplicado num material anisotrópico ao longo de um eixo de um sistemas de coordenadas,orientado arbitrariamente, conduz à polarização com componentes em todas as direções.Como exemplo tomemos um sistema que não possui polarização espontânea e que sóhaja componente de campo elétrico na direção x, (E = Ex), desta forma
P = ✏0(Ex�e11 x+ Ex��e12 y + Ex�e13 z) (5.17)
118
onde �e é a susceptibilidade elétrica, cujos índices referem-se aos componentes de P eE. No caso de existir componentes de campo elétrico em todas as componentes
2
4Px
Py
Pz
3
5= ✏0
2
4�e11 �e12 �e13
�e21 �e22 �e23
�e31 �e32 �e33
3
5
2
4Ex
Ey
Ez
3
5 (5.18)
É ainda possível relacionar D e P de forma que
2
4Dx
Dy
Dz
3
5= ✏0
2
41 + �e11 �e12 �e13
�e21 1 + �e22 �e23
�e31 �e32 1 + �e33
3
5
2
4Ex
Ey
Ez
3
5 (5.19)
Relações similares se aplicam ao campo magnético, a densidade de fluxo magnético e asusceptibilidade magnética.
5.2.2 Propagação de Ondas em Meios Anisotrópicos
Recentemente surgiram diversas aplicações onde são necessários o estudo do com-portamento de propagação de ondas eletromagnéticas em meios anisotrópicos, como porexemplo, propagação de ondas em plasmas, ferrites, sistemas maser nas freqüências demicroondas e de luz.
Os materiais anisotrópicos podem ser divididos em duas classes, dependendo dosmodos naturais de propagação, que podem ser ondas polarizadas linearmente ou circu-larmente. No caso de ondas polarizadas linearmente, as componentes de permitividade(vide (5.22) e de permeabilidade são simétricas. Já nas ondas polarizadas circularmente,também chamadas de meio girotrópicos, as componentes de permitividade e de permea-bilidade dos meios isentos de perdas são anti-simétricas. O comportamento girotrópicosurge, por exemplo, no caso da aplicação de um campo magnético finito a um plasma. Ocomportamento dielétrico de um plasma depende do movimento de partículas carregadas.Se um elétron for forçado pelo campo elétrico de uma onda a se mover com componentede velocidade normal ao campo magnético aplicado, uma componente de velocidade emoutra direção surge, causado pela força v ⇥ B, onde v é a velocidade de propagaçãodo elétron. Os termos fora da diagonal representam este acoplamento. A interação doplasma com um campo magnético finito causa a rotação dos campos duma onda polari-zada linearmente enquanto esta progride. Este tipo de rotação é conhecido como rotaçãode Faraday.
5.2.2.1 Relações Fundamentais
A relação entre E e D apresentada em (5.22) pode ser apresentada em forma matricial
D = ✏E (5.20)
119
onde ✏ é a matriz de permitividade. De fato, a forma mais adequada de tratar os camposnestes casos é através da utilização de tensores. Lembrando apenas que vetores são ten-sores de posto um e a matriz quadrada com propriedades de transformação apropriadas éum tensor de posto dois. Com isto, o tensor permitividade pode ser escrito como
✏ = ✏0(I+ ˆ⇠e) (5.21)
onde I é a matriz identidade.De acordo com Landau & Lifshitz (1987) pode ser mostrado que ✏ é simétrico. Uma
transformação de coordenadas particularmente importante é então possível pois um ten-sor simétrico de posto dois pode ser diagonalizado pela rotação do sistema de coorde-nadas. Em outras palavras, escolhendo-se adequadamente o sistema de coordenadas épossível escrever ✏ da forma
✏ =
2
4✏11 0 0
0 ✏22 0
0 0 ✏33
3
5 (5.22)
Quando o sistema de coordenadas é escolhido de forma a ter o tensor de permitividadediagonal, os eixos do sistema de coordenadas são chamados de eixos principais do meio.
Uma formulação em muito semelhante pode ser aplicado ao campos magnético.
B = µH (5.23)
onde µ = µ0(I+ ˆ⇠m), sendo I a matriz de identidade, µ o tensor permeabilidade e ˆ⇠m otensor susceptibilidade magnética. O tensor permeabilidade geralmente não é simétrico,principalmente em meios girotrópicos (Landau & Lifshitz 1987).
Neste sistema os campos elétricos e magnéticos podem ser expressos por
r⇥E = �j!µH
r⇥H = �j!✏E(5.24)
Na grande maioria dos casos de interesse prático é raro a necessidade de se representara permeabilidade e a permitividade através de tensores. O mais comum é que quandoum deles for tensor o outro será escalar. Nos casos onde a permeabilidade é escalar e apermeabilidade é um tensor, o campo elétrico é definido por
r⇥r⇥E = !2µ✏E (5.25)
que pode ser reescrita através da aplicação da expressão do rotacional do rotacional defi-nido por (1.79).
r2E�r(r·E) + !2µ✏E = 0 (5.26)
Nos casos onde a permitividade for escalar e a permeabilidade um tensor, aplicando-se omesmo raciocínio, temos
r2H�r(r·H) + !2✏B = 0 (5.27)
120
Exemplo 5.2. Consideremos um meio que contém um plasma com um campo magnéticoinfinito cuja direção pode ser associada ao eixo z de um sistema de coordenadas carte-siano. Analise o problema da propagação de ondas TEM paralelas ou perpendicularesao campo magnético. Para o meio em questão o tensor permitividade é dado por
✏ =
2
4✏0 0 0
0 ✏0 0
0 0 ✏33
3
5
a permeabilidade por ser considerada igual a µ0. Calcule o campo elétrico admitindo-seque o mesmo se propaga exponencialmente.
Solução
5.3 Reflexão e Transmissão
Consideremos dois meios lineares homogêneos e isotrópicos de parâmetros ✏1, µ1, �1e ✏2, µ2, �2 respectivamente e separados por um plano S, conforme mostrado na Fig. 5.3,sendo n o vetor unitário normal a S orientado do meio 1 para o meio 2, r o vetor posiçãode um ponto genérico P no espaço em relação a uma origem de coordenadas localizadasem S. Os parâmetros de propagação dos dois meios k1 e k2 são dados respectivamentepor
k1 =p
µ1✏1!2 � j!µ1�1
k2 =p
µ2✏2!2 � j!µ2�2
Consideremos uma onda plana incidente em S, de freqüência angular ! = 2⇡f , comdireção e sentido de propagação definidos pelo vetor unitário n0 no sentido do meio 2para o meio 1, conforme mostrado em Fig. 5.3. A amplitude do campo elétrico é dada, nodomínio da freqüência, por um complexo E0, admitindo-se que a propagação no tempoé do tipo exp(j!t), os vetores do campo elétrico e magnético incidente são dados por
Ei = E0 exp(�jk2 n0 · r+ j!t)
Hi =k2!µ2
n0 ⇥E0(5.28)
A incidência da onda plana em S origina o movimento de cargas e correntes na vi-zinhança de S, cujo efeito está associado, em geral, a uma onda refletida no meio 2 e auma onda transmitida no meio 1. Estas duas ondas podem ser interpretadas como ondasplanas de amplitudes E1 e E2 e vetores unitários de direção e sentido de propagação n1 en2, conforme mostra esquematicamente a Fig. 5.3. É importante notar que por estarmoslidando com grandezas complexas não é incomum ocorrer casos onde os ângulos são,também, complexos.
121
P
1
n0 θ2θ0
n1
n2
Meio 2
Meio 1S
n
r
θ
Figura 5.3: Reflexão de Ondas Planas
Para que se tenha uma solução do tipo onda plana temos
Et = E1 exp(�jk1 n1 · r+ j!t)
Er = E2 exp(�jk2 n2 · r+ j!t)
Ht =k1!µ1
n1 ⇥Et
Hr =k2!µ2
n2 ⇥Er
(5.29)
no caso de E0, E1, E2 constantes n, n0, n1, n2 deverão ser coplanares e paralelo aoplano de incidência definido pelo par de vetores n e n0, e
sin ✓2 = sin(⇡ � ✓2) = sin ✓0
k2 sin ✓0 = k1 sin ✓1(5.30)
Trata-se das leis de reflexão e transmissão de Snell, notando-se que no caso de ✓0 real, ✓2é complexo.
No caso dos vetores de campo elétrico, a relação entre E0, E1, E2 é definida pelascondições de continuidade em S. Essa relação depende do “ângulo” de E0 com o planode incidência. Em geral, E0 pode ser decomposta em duas componentes uma normalao plano de incidência (E0N ) e, outra, paralela ao plano de incidência (E0P ). A cadacomponente estão associados coeficientes de transmissão e de reflexão, funções de ✓0e dos parâmetros do meio que, por exemplo, definem a componente normal no meio1(E1N ) e no meio 2 (E2N ) a partir de E0N . De forma idêntica, as componentes paralelasno meio 1 (E1P ) e no meio 2 (E2P ) são obtidas a partir de E0P . Através da superposiçãodos componentes normais e paralelos obtemos E1 e E2.
Consideremos um onda caracterizada por um campo elétrico normal ao plano deincidência E0N e portanto onda incidente com polarização, referida a E, também normalao plano de incidência.
As condições de continuidade das componentes tangenciais dos campos E, H nasuperfície S, para a onda caracterizada por E0N , implicam nas seguintes relações
cos ✓2 = cos ✓0
122
k1 cos ✓1 =qk21 � k22 sin ✓0
Desta forma é possível estabelecer as seguintes relações entre os campos elétricos e mag-néticos
E1N = TNE0N
E2N = RNE0N
H1N = T ⇤NH0N
H2N = R⇤NH0N
(5.31)
sendo TN e RN os coeficientes de transmissão e reflexão, geralmente complexos, referi-dos ao campo elétrico e dados por
TN =
2µ1k2 cos ✓0
µ1k2 cos ✓0 + µ2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.32)
RN =
µ1k2 cos ✓0 � µ2
qk21 � k22 sin
2 ✓0
µ1k2 cos ✓0 + µ2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.33)
e sendo T ⇤N , R⇤
N os coeficientes de transmissão e reflexão, respectivamente, em geralcomplexos e referidos a H, de forma que
T ⇤N =
2µ2k1 cos ✓0
µ1k2 cos ✓0 + µ2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.34)
R⇤N =
µ1k2 cos ✓0 � µ2
qk21 � k22 sin
2 ✓0
µ1k2 cos ✓0 + µ2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.35)
Notemos que os coeficientes de reflexão são idênticos, RN = R⇤N
Consideremos, agora, uma onda caracterizada por E0P , paralelo ao plano de incidên-cia e com polarização, referida a E, também, paralela ao plano de incidência.
As condições de continuidade das componentes tangenciais dos campos elétricos emagnéticos na superfície S implicam nas relações
cos ✓2 = cos ✓0
k1 cos ✓1 =qk21 � k22 sin ✓0
Desta forma é possível estabelecer as seguintes relações entre os campos elétricos e mag-néticos, de forma similar ao realizado para a onda de incidência normal
E1P = TPE0P
E2P = RPE0P
H1P = T ⇤PH0P
H2P = R⇤PH0P
(5.36)
123
sendo os coeficientes de transmissão e reflexão TP e RP , geralmente complexos, dadospor
TP =
2µ1k1k2 cos ✓0
µ2k21 cos ✓0 + µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.37)
RP =
µ2k21 cos ✓0 � µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0
µ2k21 cos ✓0 + µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.38)
e sendo T ⇤P , R⇤
P os coeficientes de transmissão e reflexão, respectivamente, em geralcomplexos e referidos a H de forma que
T ⇤P =
2µ2k21 cos ✓0
µ2k21 cos ✓0 + µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.39)
R⇤P =
µ2k21 cos ✓0 � µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0
µ2k21 cos ✓0 + µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.40)
Ainda similar ao caso da onda com incidência normal, R⇤P = RP .
Um caso interessante ocorre quando uma onda plana pode ser caracterizada por n0
normal ao plano S, i.e. ✓0 = 0. Trata-se de uma condição em que os coeficientes detransmissão e reflexão são dados por
TN = TP =
2µ1k2µ1k2 + µ2k1
T ⇤N = T ⇤
P =
2µ2k1µ1k2 + µ2k1
RN = RP =
µ1k2 � µ2k1µ1k2 + µ2k1
R⇤N = R⇤
P =
µ1k2 � µ2k1µ1k2 + µ2k1
RN = R⇤N = RP = R⇤
P
(5.41)
Exemplo 5.3. Suponhamos dois meios lineares, homogêneos e isotrópicos caracteriza-dos por parâmetros ✏, µ e � independentes da freqüência na gama de 0 a 1 MHz. O meio1 é caracterizado por ✏1 = 40✏0, µ1 = µ0 e �1 = 0, 01 S/m. Calcule os coeficientes dereflexão e transmissão para uma onda incidente normal ao plano S e com um ângulo deincidência ✓0 = ⇡/20.
Solução No caso da onda com incidência normal ✓0 = 0 e os coeficientes de transmissãosão iguais ao do caso de incidência paralela, i.e. TN = TP = T e T ⇤
N = T ⇤P = T ⇤. O
mesmo ocorre para os coeficientes de reflexão, RN = RP = R e R⇤N = R⇤
P = R⇤ AFig. 5.4 apresenta os fatores de propagação dos meios 1 e 2, em função da freqüência. AFig. 5.5 apresenta os coeficientes de transmissão TN e T ⇤
N em função da freqüência.
124
1 10 100 1000 10000 100000. 1.!106f !Hz"
"0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04k
Im
Re
(a) k2
1 10 100 1000 10000 100000. 1.!106f !Hz"
"0.1
0
0.1
0.2
k
Im
Re
(b) k1
Figura 5.4: Fator de propagação dos meios
1 10 100 1000 10000 100000. 1.!106f !Hz"
"0.05
0
0.05
0.1
T
Re
Im
(a) TN
1 10 100 1000 10000 100000. 1.!106f !Hz"
0
0.5
1
1.5
2
T"
Im
Re
(b) T ⇤N
Figura 5.5: Coeficientes de Transmissão
5.4 Campos Quase Estacionários
Todo os fenômenos descritos pela teoria de circuitos são de natureza eletromagnética.Portanto, as leis de circuito (Leis de Kirchoff, por exemplo) são deriváveis a partir dasequações de Maxwell. Todavia, existem fenômenos como radiação que são adequada-mente descritos pelas equações de Maxwell mas carecem de representação a partir dasleis de circuitos. Isto implica que a teoria de circuitos pode ser analisada como um sub-conjunto restrito de soluções das equações de Maxwell. Um ponto interessante é que asleis da teoria de circuitos são antecedem às equações de Maxwell e datam de um períododa história onde a pesquisa de fenômenos eletromagnéticos se restringia a fenômenos ele-tromagnéticos lentos (Fano, Adler & Chu 1960). Conseqüentemente, a classe de soluçõesdas equações de Maxwell descritas adequadamente pela teoria de circuito caracterizam-se por uma lenta variação temporal, daí a origem do nome quase estacionário.
5.4.1 Condições de Reflexão e Transmissão em Regime Quase Estacionário
O campo elétrico estacionário originado por um carga pode ser decomposto em on-das planas, em que o campo é paralelo à direção de propagação. Por outro lado, quandoa freqüência tende para zero, o campo tende para o campo estacionário na “vizinhança”
125
das “fontes” de carga e de corrente. Portanto, para muitas aplicações como a transmis-são de energia em linhas de transmissão é possível aplicar a hipótese de campo quase-estacionário. Isto equivale, em termos práticos, à aplicar uma metodologia similar aocálculos dos campos estáticos elétricos e magnéticos para a resolução do campo eletro-magnético variante no tempo. Portanto, em principio, para uma fonte de corrente injetadanum meio linear, homogêneo e isotrópico, distribuída uniformemente ao longo de umsegmento de reta na aproximação quase estacionária, os campos E e H são ortogonais,sendo E paralelo à direção de propagação (como limite).
Um ponto importante é que ao tender-se para a aproximação quase estacionária, o co-seno diretor de n tende para infinito, onde n é o vetor unitário na direção de propagação.
Com esta interpretação, as condições de reflexão e transmissão de ondas planas, emplanos de separação de meios lineares, homogêneos e isotrópicos, no domínio da validadeda aproximação quase estacionária, tendem para as condições de reflexão e transmissãode corrente contínua, para meios de condutividade finita e não nula.
Consideremos, por exemplo, o coeficiente de reflexão RP , da formulação relativa aondas planas
RP =
µ2k21 cos ✓0 � µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0
µ2k21 cos ✓0 + µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0
sendo k1, k2 os parâmetros de propagação dos meios 1 e 2. Com as convenções de sinaisdessa formulação, os sentidos tomados como positivos para as componentes de campoelétrico, nas ondas incidentes e refletida, são opostos. Considerando sentidos positivoscoincidentes para essas duas ondas tem-se
RP = �µ2k21x� µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0
µ2k21 cos ✓0 + µ1k2
qk21 � k22 sin
2 ✓0(5.42)
fazendo cos ✓0 = x, logo sin
2 ✓0 = 1� x2 e levando |x| ! 1 temos
RP = �µ2k21x� µ1k2pk21 � k22(1� x2)
µ2k21x+ µ1k2pk21 � k22(1� x2)
= �µ2k21 � µ1k22
r1 +
k21k22
1x2 � 1
x2
µ2k21 + µ1k22
r1 +
k21k22
1x2 � 1
x2
(5.43)
Como |x2| � 1 e |x2| � |k21/k22| logo
RP ⇡ �µ2k21 � µ1k22µ2k21 + µ1k22
⇡ !(✏2 � ✏1) + j(�2 � �1)
!(✏2 + ✏1) + j(�2 + �1)(5.44)
e se além das hipótese anteriores, for
!|✏2 � ✏1| ⌧ |�2 � �1|
126
!|✏2 + ✏1| ⌧ |�2 � �1|
logo
Rp ⇡�2 � �1�2 + �1
(5.45)
5.5 Aplicações de Campos Quase Estacionários
Em diversas aplicações de ondas planas temos configurações onde o comprimentode onda das grandezas envolvidas é muito maior que a maior dimensão do circuito. Éo caso por exemplo, de linhas de transmissão de energia em regime estacionário, ondeem aplicações convencionais e em níveis de tensão de até 230 kV, o comprimento docircuito não ultrapassa 200 km, enquanto que o comprimento de onda para 60Hz é deaproximadamente 5000 km. Nestas configurações é comum se designar a aproximaçãoquase estacionária da linha, o que implica em aproximar o comportamento da linha porrelações similares aos campos estacionários. Um ponto importante e nem sempre expli-citado na literatura é que no caso de linhas de transmissão ao se supor a aproximaçãoquase estacionária fica implícito que a linha não irradia. Caso contrário, não seria possí-vel utilizar este tipo de aproximação. No capítulo 8 vamos apresentar maiores detalhessobre aplicações de campos quase estacionários para o cálculo de parâmetros de circuitosde transmissão de energia.
5.6 Problemas
1. Considere um feixe de n condutores cilíndricos de raio r muito longos e dispostoshorizontalmente e cujos eixos estejam dispostos regularmente num cilindro de raioR cujo centro esteja a uma altura H do solo, considerado plano. Suponha quetodo os condutores estão em regime estacionário e não haver outros condutores ouobjetos próximos ao feixe. Considere tensão, u nula entre os condutores e o solo,R � a, H � a. Determine a matriz de coeficientes de potencial, as cargas porunidade de comprimento dos condutores e total do feixe, a distribuição de cargana superfície dos condutores, a tensão e o campo elétrico no meio envolvente (ar),considerando
(a) Distribuição linear de carga, centrada no interior de cada condutor;
(b) Distribuição linear de carga, descentrada no interior de cada condutor.
2. Repita o exercício anterior, mas considerando, agora, tensões u1, u2 . . . , un entreos condutores 1, 2 . . . , n e o solo, R � a, H � a.
3. Considere um condutor cilíndrico de raio R = 0, 01 m e comprimento L = 1 m,com carga elétrica Q, imerso num meio linear, homogêneo e isotrópico, infinitoem todas as direções, de permitividade ✏ e condutividade nula. Suponha não haver
127
outros condutores ou objetos próximos deste condutor e regime estacionário. Aná-lise e discuta métodos para determinar o coeficiente de potencial, a distribuição decarga na superfície do condutor, a tensão e o campo elétrico no meio envolvente,considerando as seguintes hipóteses:
(a) Distribuição linear de carga, centrada no interior do condutor;
(b) Distribuição linear de carga, descentralizada no interior do condutor.
(c) Discuta o erro dos métodos de cálculo dos itens anteriores quanto aos seguin-tes aspectos:
• coeficiente de potencial e tensão do condutor em relação a um pontomuito afastado
• potencial na superfície do condutor e forma da superfície equipotencial• campo elétrico na superfície externa do condutor• distribuição de potencial e de campo elétrico no meio envolvente
4. Suponha o condutor imerso num meio linear, homogêneo e isotrópico, infinito emtodas as direções, de permitividade ✏ e condutividade nula. Suponha não haveroutros condutores ou objetos próximos deste condutor, regime estacionário e con-dutor com carga total Q. Determine as grandezas elétricas associadas ao condutor,supondo que as mesmas podem ser obtidas, aproximadamente, a partir de uma dis-tribuição linear da carga total Q, do condutor, ao longo da circunferência de raio Rassociada à definição da superfície do condutor.
5. Considere um condutor cilíndrico de raio r = 0, 01 m, disposto em anel circularde raio R = 1 m no ar a uma distância H = 4 m do solo suposto plano, comtensão u = 100 kV em relação ao solo. Suponha não haver outros condutoresou objetos próximos deste condutor e regime estacionário. Determine a funçãopotencial � e o campo elétrico E no ar e a carga no condutor por unidade decomprimento. Suponha r ⌧ R e R ⌧ H , discuta depois procedimentos paraevitar estas restrições.
128
CAPÍTULO 6
Propagação de Ondas Cilíndricas
Em diversas configurações devido a geometria do problema sob estudo é mais práticolidar com a formulação do problema em sistemas de coordenadas que não o cartesiano.Há casos também onde as fontes possuem simetria cilíndrica ou cujo comportamentodominante se “aproxime” dessa simetria. Entende-se aqui como coordenadas cilíndricasa sistema cilíndricos circulares, excluindo-se, nessa análise, as coordenadas elipsoidais eoutros sistemas similares.
Para a solução dos campos cilíndricos o interesse principal é obter, quando possível,um potencial escalar e/ou vetorial a partir do qual representa-se o campo eletromagnético.Uma vez que, desde que no domínio em questão não existam fontes, o campo elétricopode ser expresso pela sobreposição de campos associados aos modos TE (“TransverseElectric”– Transversal elétrico) e TM (“Transverse Magnetic”– Transversal magnético),de forma a obter uma solução factível. Do ponto de vista do rigor matemático, há umainfinidade de tipos de soluções, são as condições de contorno que impõem condiçõesas quais as sobreposições de soluções particulares devem satisfazer. Admite-se que apropagação das ondas eletromagnéticas ocorre apenas ao longo do eixo z do sistemas decoordenadas.
Caso as condições de fronteira sejam suficientes para definir o campo, a solução“global” do campo eletromagnético torna-se unívoca. Todavia, a unicidade refere-seapenas à solução “global” mas não a cada uma das “ondas” que sejam consideradas. Porexemplo, uma onda cilíndrica pode decompor-se em ondas planas ou em ondas esféricase inversamente.
6.1 Equações de um campo cilíndrico por Vetor de Hertz
Consideremos um campo eletromagnético associado a um vetor de Hertz, ⇧ orien-tado ao longo do eixo z, sendo os outros componentes nulos, que pode ser representado
129
por outros dois vetores⇧ = ⇧E +⇧M
onde
⇧E = ⇧Eˆz
⇧M = ⇧Mˆz(6.1)
Conforme mostrado no capítulo 2 os campos elétrico e magnético podem ser dados, con-siderando um meio homogêneo, linear e isotrópico, por
E = r⇥r⇥⇧E � µr⇥ @⇧M
@t
H = r⇥✓�⇧E + ✏
@⇧E
@t
◆�r⇥r⇥⇧M
(6.2)
onde, de acordo com (2.44),
r⇥r⇥⇧E = �rr·⇧E � µ✏@2⇧E
@t2� µ�
@⇧E
@t
r⇥r⇥⇧M = �rr·⇧M � µ✏@2⇧M
@t2� µ�
@⇧M
@t
(6.3)
O vetor ⇧E dá origem a um campo eletromagnético onde não há a componente ˆz, docampo magnético, ou seja produz um campo eletromagnético de modos TM, este tipo decampo em algumas referências, (e.g. (Stratton 1941)) recebe o nome de campo do tipoelétrico. Já o vetor ⇧M dá origem a um campo eletromagnético de modos TE e recebe,por vezes, o nome de campo do tipo magnético.
O campo eletromagnético obtido pela superposição de ⇧E e ⇧M é de caráter geralpodendo representar qualquer condição de fronteira onde não estejam envolvidas as fon-tes. No caso de haver fontes, as mesmas podem ser representadas através da inclusão devetores de Hertz adicionais.
Uma vez que o vetor potencial de Hertz possui apenas uma componente é possívelassociá-lo a um escalar , em outras palavras seja ⇧z a intensidade de qualquer um dosvetores de Hertz, logo
⇧z =
O escalar chamado também de função de onda deve também satisfazer a equação deonda escalar, uma vez que o vetor de Hertz a satisfaz (vide Capítulo 2). Para um sistemade coordenadas cilíndricas (r, ✓, z), temos
1
r
@
@r
✓r@
@r
◆+
1
r2@2
@✓2+
@2
@z2� µ✏
@2
@t2� µ�
@
@t= 0 (6.4)
Supondo que = 0 exp(j!t) e lembrando, apenas, que a equação de onda, ou equaçãode Helmholtz, é dada no domínio da freqüência por r2 + k2 , admitindo-se um meio
130
homogêneo, linear, infinito e isotrópico de permeabilidade magnética µ, condutividade �e permitividade ✏, com um fator de propagação k, onde
k2 = !2µ✏� j!µ�
A solução de (6.4) é obtida através do método de separação de variáveis. Considere,a principio que a função de onda , possa ser decomposta em três funções conformemostrado abaixo.
= R(r)⇥(✓)Z(z) (6.5)
Aplicando-se (6.5) em (6.4) resulta em
1
rR
d
dr
✓rdR
dr
◆+
1
r2⇥
d2⇥
d✓2+
1
Z
d2Z
dz2+ k2 = 0 (6.6)
Para que haja solução em (6.6) é necessário que
1
Z
d2Z
dZ2= �h2 (6.7)
onde h é uma constante. Substituindo (6.7) em (6.6) resulta em
r
R
d
dr
✓rdR
dr
◆+
1
⇥
d2⇥
d✓2+ (k2 � h2)r2 = 0 (6.8)
Para que a equação acima seja satisfeita é necessário que
1
⇥
d2⇥
d⇥2= �n2 (6.9)
sendo n uma constante, podendo ser complexa. É possível então obter a seguinte equação
r
R
d
dr
✓rdR
dr
◆� n2
+ (k2 � h2)r2 = 0 (6.10)
que é uma equação diferencial ordinária apenas em r. Agora é possível escrever umconjunto de três equações diferencias ordinárias
rd
dr
✓rdR
dr
◆+
�(rkr)
2 � n2�R = 0 (6.11)
d2⇥
d✓+ n2
⇥ = 0 (6.12)
d2Z
dz2+ h2 = 0 (6.13)
onde h2 + k2r = k2. As equações (6.12) e (6.13) são equações harmônicas que possuemcomo solução funções exponenciais, usualmente essas exponenciais são diretamente pro-porcionais às coordenadas, i.e. f(✓) = exp(n✓) e f(z) = exp(hz). A equação (6.11)pertence a família de equações diferenciais cuja solução é dada por funções de Bessel, deprimeira, segunda espécie, funções modificadas de Bessel e funções de Hankel.
131
6.1.1 Modos TM
Uma vez que a função de onda relaciona-se diretamente com o campos elétrico emagnético e supondo-a, ainda, uma função harmônica no tempo, temos
ETM = Err + E✓✓ + Ezz
HTM = Hrr +H✓✓(6.14)
Lembrando que para modos TM, a componente Hz do campo magnético é nula. A ex-pressão detalhada dos componentes do campo elétrico e magnético é mostrada em (6.15).
Er =@2
@r@z
E✓ =1
r
@2
@✓@z
Ez =@2
@z2+ k2
Hr =
✓� + j!✏
r
◆@
@✓
H✓ = � (� + j!✏)@
@r
(6.15)
As expressões em (6.15) podem ser obtidas diretamente pela relação entre os campose os potenciais escalar � e vetor A conforme mostra a (6.16)
� = �r·⇧E
A = µ�⇧E + µ✏@⇧E
@t
E = �r�� @A
@t
H =
1
µr⇥A
(6.16)
sendo ⇧E = ⇧M z = z
6.1.2 Modos TE
Os componentes dos campos elétrico e magnético no caso de campos transversaiselétricos são dados por
ETE = Err + E✓✓
HTE = Hrr +H✓✓ +Hzz(6.17)
132
sendo
Er =j!µ
r
@
@✓
E✓ = �j!µ@
@r
Hr =@2
@r@z
H✓ =1
r
@2
@✓@z
Hz =@2
@z2+ k2
(6.18)
Lembrando que em modos TE não há componente Ez . Similar ao caso dos modosTM, as expressões em (6.18) podem ser obtidas diretamente pela relação entre os campose os potenciais escalar elétrico �M e vetor potencial elétrico F conforme mostra a (6.19)
�M = �r·⇧M
F = µ✏@⇧M
@t
E = �1
✏r⇥ F
H = �r�M � @F
@t� �
✏F
(6.19)
sendo ⇧M = ⇧M z = z
6.2 Campos derivados de funções de onda cilíndricas circula-res
Designamos aqui por funções de onda cilíndricas circulares o conjunto de funçõeselementares cujo produto é solução da equação de onda em coordenadas cilíndricas.Considerando um domínio homogêneo, linear e isotrópico podemos representar o campoeletromagnético a partir de combinações lineares da função de onda conforme mostraa (6.20)
nhk = Jn⇣rpk2 � h2
⌘exp(jn✓) exp(±jhz + j!t)
nhk = H(1)n
⇣rpk2 � h2
⌘exp(jn✓) exp(±jhz + j!t)
(6.20)
Caso a constante de propagação h for complexa, o campo não é necessariamente perió-dico ao longo do eixo z. Uma expressão explícita para h em função da freqüência e daconstante de propagação do meio k somente pode ser obtida através dos valores de para um dado cilindro de raio constante ou no plano z igual a uma constante é conhe-cido. Em outras palavras, os valores das “constantes” de separação dependem sempre
133
das condições de contorno ou fronteira. A direção de propagação é positiva ou negativade acordo com o sinal de h.
A primeira equação em (6.20) deve ser empregada a domínios finitos incluindo o eixor = 0. Já no caso de analisar o comportamento a grandes distâncias das fontes deve serempregada a segunda equação em (6.20), pois a função de Hankel para grandes valoresde argumento pode ser representada por sua expansão assintótica
H(1)n (r) '
r2
⇡exp
✓i
✓r � 2p+ 1
4
⇡
◆◆(6.21)
A expressão em (6.21) representa uma onda que se propaga radialmente.As expressões em (6.20) servem para a análise de ondas planas não uniformes, ou
não-homogêneas. Os planos de fase constante propagam-se ao longo do eixo z com ve-locidade v = !/↵, onde ↵ é a parte real de h e as amplitudes desses planos dependem der e ✓. Este tipo de onda somente pode ser criado em meios onde as fontes se localizama distâncias finitas à referência do sistema de coordenadas. As ondas planas estudadasno Capítulo 5 são estritamente uniformes, uma vez que os planos de fase constante tam-bém implicam em amplitude constante. Ondas planas uniformes implicam que o meio éinfinito, homogêneo, e as fontes do campo estão infinitamente remotas.
No caso de modos TM passamos a ter os seguintes valores para as componentes docampo elétrico,
Er = jh@ nhk
@r
E✓ =jh
r
@ nhk
@✓Ez =
�k2 � h2
�
Hr =(� + j!✏)
r
@ nhk
@✓
H✓ = �(� + j!✏)@ nhk
@r
(6.22)
e para os modos TE temos
Er =j!µ
r
@ nhk
@✓
E✓ = �j!µ@ nhk
@r
Hr = jh@ nhk
@r
H✓ =jh
r
@ nhk
@✓Hz =
�k2 � h2
�
(6.23)
Cada função de onda elementar é identificada univocamente pelos valores de n, h e k.Quando n = 0, o campo é simétrico em relação ao eixo z. Quando as condições iniciais
134
são definidas para um determinado plano ou superfície cilíndrica, a solução é construídapela superposição de funções de onda elementares. Para um determinado valor de k e hobtemos os seguintes campos, no caso de uma solução geral
Er = ih1X
n=�1an@ n
@r� !µ
r
1X
n=�1nbn n
E✓ = �h
r
1X
n=�1nan n � j!µ
1X
n=�1bn@ n
@r
Ez =�k2 � h2
� 1X
n=�1an n
(6.24)
Hr = j(� + j!✏)
r
1X
n=�1nan n + ih
1X
n=�1bn@ n
@r
H✓ = �(� + j!✏)1X
n=�1an@ n
@r� h
r
1X
n=�1nbn n
Ez =�k2 � h2
� 1X
n=�1bn n
(6.25)
onde an e bn são os coeficientes a serem determinados a partir das condições iniciais.Alguns autores, preferem substituir o termo � + !✏ por �k2/(j!µ) nas expressões em(6.25). Uma outra notação encontrada na literatura consiste em utilizar z = j!µ e y =
� + j!✏, contudo acreditamos que não haja grande vantagens em utilizar este tipo denotação, podendo inclusive causar confusão com os vetores unitários. Por isto, optou-sepor evitar este tipo de notação no presente texto.
Exemplo 6.1. Considere o condutor vertical enterrado no solo, com trechos isolados etrechos em contato com o solo. O solo possui três camadas horizontais de parâmetrosdistintos, conforme mostrado na Fig. 6.1. Na última camada não há condutor, sendo queem cada camada, o solo pode ser considerado, homogêneo, linear e isotrópico. Calculeo campo magnético e elétrico nas três regiões.
Solução— Por apresentar simetria cilíndrica podemos lidar apenas com n = 0, logo
0 = J0(rpk2 � h2) exp(jhz) exp(j!t)
0 = H(1)0 (r
pk2 � h2) exp(jhz) exp(j!t)
(6.26)
onde k2 = !2µ✏ � j!µ�. Para um par de valores fixos de ! (ou k) e h, o campo
135
CamadaTipo A
CamadaTipo B
CamadaTipo C
Solo
h1
h2
h3
Figura 6.1: Condutor vertical enterrado no solo
eletromagnético correspondente é da forma:
Er = jha0@ 0
@r
E✓ = �j!µb0@ 0
@rEz = (k2 � h2)a0 0
Hr = jhb0@ 0
@r
H✓ = �jk2
!µa0@ 0
@r
Hz = (k2 � h2)b0 0
(6.27)
Para as funções consideradas em (6.26) obtemos
@ 0
@r= �
pk2 � h2J1
⇣rpk2 � h2
⌘exp(j(±hz + !t))
@ 0
@r= �
pk2 � h2H(1)
1
⇣rpk2 � h2
⌘exp(j(±hz + !t))
(6.28)
Para a camada tipo A, com condutor vertical isolado, de raio exterior R, com camadaisolante de pequena espessura, de raio interno R e raio externo Re, supondo o condutormaciço, ou em tubo com “espessura de penetração” do campo no condutor bastante in-ferior à espessura do tubo e representando pelo índice 1 as grandezas no condutor e pelo
136
índice i as grandezas no isolante e pelo índice 2 as grandezas no meio externo, temos nocondutor (r < R):
k2 = k21 = !2µ1✏1 � j!µ1�1
a0 = a01
b0 = b01
0 = J0(rq
k21 � h2) exp(j(!t± hz))
(6.29)
Já no isolante (R < r < Re) temos :
k2 = k2i = !2µi✏i � j!µi�i
a0 = a0i
b0 = b0i
0 =
✓J0(r
qk21 � h2) + ⌘H(1)
0 (rq
k21 � h2)
◆exp(j(!t± hz))
(6.30)
e no meio externo (r > Re)
k2 = k22 = !2µ2✏2 � j!µ2�2
a0 = a02
b0 = b02
0 = H(1)0 (r
qk21 � h2) exp(j(!t± hz))
(6.31)
Para obtenção das constantes devemos igualar as componentes do campo eletromagné-tico, em outras palavras, devemos atender à continuidade das componentes tangenciais deE e H na superfície de separação dos meios. Com isto temos um sistema de 8 equaçõeslineares e homogêneas nos 8 coeficientes: b01, b0i, b0i⇤ = ⌘b0i, b02 a01, a0i, a0i⇤ = ⌘a0i,a02. Devendo os coeficientes satisfazer ainda à relação complementar b0i a0i⇤ = b0i⇤ a0i
Para obtenção da solução, além da trivial, onde todos os componentes são nulos,devemos separar o equacionamento em dois tipos de soluções, desginadas aqui soluções↵ e soluções �.
As soluções ↵ são definidas por b01 = b0i = b0i⇤ = b02 = 0 que implicam que acomponente E✓, Hr e Hz sejam nulas. O campo magnético é perpendicular à direção depropagação z, logo as soluções ↵ são do tipo TM, ou campo magnético transversal. SeEz não for nula, o campo elétrico não é ortogonal à direção de propagação z. Se algunsdos meios forem não dissipativos, i.e. condutividade nula ou infinita, pode ter a compo-nente Ez nula, havendo apenas a componente Er ortogonal à direção de propagação z.Nesse caso, temos campos do tipo TEM, Transversal Eletromagnético. Passamos a ter oseguinte sistema de equações
2
664
A11 A12 A13 A14
A21 A22 A23 A24
A31 A32 A33 A34
A41 A42 A43 A44
3
775
2
664
a01a0ia0i⇤a02
3
775 =
2
664
0
0
0
0
3
775 (6.32)
137
onde os elementos da matriz A são dados por1
A11 = (k1 � h2)J0(Rqk21 � h2)
A12 = (ki � h2)J0(Rq
k2i � h2)
A13 = (ki � h2)H(1)0 (R
qk2i � h2)
A21 = � jk21!µ1
J1(Rq
k21 � h2)
A22 =jk2i!µi
J1(Rqk2i � h2)
A23 =jk2i!µi
H(1)0 (R
qk2i � h2)
A32 =�k2i � h2
�J0(Re
qk2i � h2)
A33 =�k2i � h2
�H(1)
0 (Re
qk2i � h2)
A34 = ��k22 � h2
�H(1)
0 (Re
qk22 � h2)
A42 = � jk2i!µi
qk2i � h2J1(Re
qk2i � h2)
A43 = � jk2i!µi
qk2i � h2H(1)
1 (Re
qk2i � h2)
A44 = � jk22!µ2
qk22 � h2H(1)
1 (Re
qk2i � h2)
(6.33)
Os demais elementos são nulos, i.e., A14 = A24 = A31A41 = 0 Para que haja soluçõesnão nulas de (6.32), o determinante da matriz de elementos Aij deve ser nulo. A equaçãotranscendente de incógita h
det(A) = 0
fornece os valores de h para os quais se tem soluções, não nulas, do “tipo ↵”, corres-pondendo cada valor de h a um modo, onde há apenas a componente H✓ do campomagnético, e as componentes Er e Ez para o campo elétrico. Em geral, havendo si-metria cilíndrica dos meios envolvidos e condições impostas, há uma infinidade enume-rável de soluções de tipo ↵ para n = 0, que podemos designar por soluções ↵i, ondei = 0, 1, 2, . . .. Todavia, há uma solução que aqui designamos por ↵0 correspondente auma componente imaginária de h de módulo muito inferior aos módulos da componenteimaginária de h associadas às restantes soluções ↵i, (i 6= 0). As soluções com menoresmódulos podem ser associadas aos modos mais rápidos e portanto que efetivamente sepropagam no meio em questão.
As soluções de tipo � são definidas por
a01 = a0i = a0i⇤ = a02 = 0
1Esta matriz A nada tem a ver com o potencial vetor magnético A
138
Esta condição implica que as componentes Er, Ez e H✓ são nulas, e que o campo elétricoE seja perpendicular à direção de propagação z, portanto, representam soluções do tipoTE (transversal elétrico). Similar ao caso dos modo TM, os modos TE se “reduzem” aomodo TEM caso um dos meios envolvidos possuir condutividade nula ou infinita. Comtratamento semelhante ao apresentado para as soluções de tipo ↵ obtém-se característicase condicionamentos de soluções de tipo �, que são, basicamente, duais às soluções de tipo↵.
Conforme o caso das soluções de tipo ↵, também há uma infinidade enumerável desoluções de tipo �, chamadas aqui de �i, onde i = 0, 1, 2, . . .. Caso a solução ↵0 apre-senta uma componente imaginária de h menor também que os módulos associados a parteimaginária de h para as soluções �i, a solução ↵0 é considerada dominante para efeitosde comportamento dos condutores e campo eletromagnético, exceto na proximidade dasextremidades de condutores e descontinuidades de meios.
Para a camada do tipo B, com o condutor não isolado temos apenas dois meios,representando pelo índice 1 as grandezas no condutor e pelo índice 2 as grandezas nomeio externo. No condutor (r < R) temos:
k2 = k21 = !2µ1✏1 � j!µ1�1
a0 = a01
b0 = b01
= J0(rpk2 � h2) exp(jhz) exp(j!t)
(6.34)
No meio externo (r > R)
k2 = k21 = !2µ1✏1 � j!µ1�1
a0 = a02
b0 = b02
= H(1)0 (r
pk2 � h2) exp(jhz) exp(j!t)
(6.35)
Atendendo-se aos mesmos condicionantes para o caso da camada do tipo A, obtemosum sistema de quatro equações lineares homogêneas nos 4 coeficientes: b01, b02, a01,a02. Novamente temos dois tipos de solucões, a saber, soluções de tipo ↵ e de tipo �. Assoluções de tipo ↵ são definidas por
b01 = b02 = 0
O sistema de equações a ser resolvido têm a forma
A11 A12
A21 A22
� a01a02
�=
0
0
�(6.36)
139
onde
A11 =�k21 � h2
�J0
✓Rq
k21 � h2◆
A12 = ��k22 � h2
�H(1)
0
✓Rq
k22 � h2◆
A21 = � jk21!µ1
qk21 � h2J1
✓Rqk21 � h2
◆
A22 = � jk22!µ2
qk22 � h2H(1)
1
✓Rqk22 � h2
◆
(6.37)
A solução para o caso não trivial é dada por det(A) = 0.As soluções do tipo � são definidas por
a01 = a02 = 0
com tratamento similar ao apresentado para as soluções de tipo ↵, obtemos para as solu-ções de tipo � respostas, basicamente, duais às soluções de tipo ↵.
Para a camada tipo C homogênea, sem condutor vertical, mas procurando soluçõesem coordenadas cilíndricas associadas ao condutor de raio R em camadas superiores àcamada em análise. Atendendo às condições de regularidades das funções de Besselpara argumento zero e para argumento de módulo tendendo para infinito e à separaçãode domínios nas camadas em condutor, considera-se um único domínio, para r > 0 efunções de onda do tipo
= J0(rpk2 � h2) exp(j!t) exp(±jhz)
impondo a condição de fronteira para r ! 1, e portanto o argumento da função deBessel deve ser real, i.e.
pk2 � h2 = g (6.38)
sendo g real e k2 = !2µ✏� j!µ.Novamente temos aqui duas soluções. As soluções de tipo ↵ caracterizadas por b0 =
0, e as soluções de tipo � caracterizadas por a0 = 0.
6.3 Problemas
1. Considere que o vetor potencial A, possa ser definido pela função de onda , deforma que A = z. Sabendo-se que satisfaz a equação de onda calcule oscampos elétricos e magnéticos a partir de , e compare com os resultados doscampos eletromagnéticos calculados a partir do vetor de Hertz.
2. Mostre que a função de onda , dada por
= Cej(�1+�2)cos(h1x� �1) cos(h2y � �2)e
jh3z+j!t
140
onde h21 + h22 + h23 = k, satisfaz a equação de onda e sendo ⇧z = , calculeas componentes do campo elétrico e magnético e as impedâncias em coordenadascartesianas. Suponha primeira que so há modos TM. Repita o procedimento paraos modos TE.
3. Considere um solo em única camada e de condutividade � = 0, 01 S/m, permi-tividade relativa 100, e permeabilidade magnética relativa igual a 1. Consideretambém um condutor vertical não isolado, muito afastado de outros condutores,de raio externo 0,05 m e muito longo, o condutor possui permitividade relativa de10 e permeabilidade relativa igual a 1 e condutividade igual a 3106 S/m. Suponhaque na interface entre o solo e o ar é injetada uma corrente I0 de amplitude uni-tária. Supondo que os parâmetros do solo são constantes e para uma freqüênciade 1 kHz calcule o comportamento das componentes do campo elétrico (parte reale parte imaginária) em função da coordenada r, bem como o comportamento docampo magnético. Calcule a densidade de potência “relativa” dissipada no solopara z = 0.
4. Repita o item anterior considerando que o condutor possui um isolamento de es-pessura 0,005 m. O isolamento possui condutividade de 10�14 S/m, permitividaderelativa igual a 3 e permeabilidade magnética relativa igual a 1. Calcule o valormédio (no tempo) da componente z do vetor de Poynting.
6.4 Soluções Parciais
1. dica veja a formulação dos campos apresentada e Harrington
2.
3. Consideremos, a príncipio, as soluções do tipo ↵, onde há apenas campos TM,onde há apenas as componentes Er, H✓ e Ez , i.e. bn = 0. Como o problemapossui simetria cilindrica só necessitamos de soluções para n = 0. Portanto, paraa determinação dos campos é necessário apenas determinar os coeficientes a0 nocondutor (meio 1 –a01) e no solo (meio 2 – a02). Para determinar os componentesé necessário, antes, obter a constante de separação h de forma similar ao descritono exemplo 6.1, para o caso da camada tipo B. A matriz A é definida por (6.37) erepetida em (6.39)
"�21 J0(�1R) ��22 H
(1)0 (�2R)
(�1 + j!✏1)�1 J1(�1R) �(�2 + j!✏2)�2H(1)1 (�2R)
#(6.39)
onde �1 =
pk21 � h2, �2 =
pk22 � h2, R é o raio do condutor e k1 é a constante
de propagação do condutor e k2 é a constante de propagação do solo. Os valoresde h são determinados pelos zeros de det(A) = 0 que é uma equação transcen-dental em função da variável h. A solução de (6.39) pode ser obitda pelo métodode Newton-Raphson ou pelo método da secante. No caso de funções complexas
141
envolvendo funções de Bessel, onde a derivada tmbém é um funcào de Bessel masde ordem superior, o Jacobiano costuma apresentar problemas numéricos. A maiorlimitação do método da secante reside na necessidade de identificar as regiões pró-ximas às raízes. No caso do problema em questão, supomos que h é da ordem dek2 pois, desta forma, há uma maior “concentração” dos campos no condutor. Destaforma para uma freqüência de 2 kHz, o valor de h é dado por
h = 0, 00627459� j0, 00634044 (6.40)
Uma vez que o sistema de equações que define as constantes é indeterminado sópodemos estabelecer a relação entre os coeficientes. Utilizando a notação da matrizA conforme (6.37) obtemos a relação entre os coeficientes
a02 = �A11
A12a01 (6.41)
O coeficiente a01, por sua vez, pode ser determinado a partir da relação entre acorrente injetada na superfície do solo e o campo magnético na interface entre osolo e o ar. Para r = R temos
H✓ =I02⇡R
(6.42)
onde, para z = 0, temos
H✓ = �(�1 + j!✏1)�1J0(R�1) exp(j!t)a01 (6.43)
Logo,
a01 = � I02⇡(�1 + j!✏1)�1RJ1(R�1)
(6.44)
Os componentes do campo elétrico para o modo TM são dado por
Er = �jh a02
qk22 � h2H(1)
1 (rqk22 � h2 exp(j(hz + !t))
Ez = a02(k22 � h2)H(1)
0 (rq
k22 � h2) exp(j(! t+ hz))
H✓ = �a02jk22!µ2
H(1)0 (r
qk22 � h2) exp(j(! t+ hz))
(6.45)
Para uma dada freqüência, o campo eletromagnético está no domínio complexo,portanto nas figuras a seguir as partes reais e imaginárias são identificadas pelossímbolos < e = respectivamente. A Fig. 6.2 apresenta a componente em r docampo elétrico relativo Err(r) = Er(r)/I0, notemos que a parte real coincidecom a parte imaginária. Caso fosse utilizada a notação onde o comportamento nodomínio do tempo é do tipo exp(�j! t), obteríamos como resposta o complexoconjugado da função apresentada. Na Fig. 6.3 apresentamos o comportamento dacomponente em z do campo elétrico relativo Ezr(r) = Ez(r)/I0 em função de
142
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
E rr!r" !
"
Figura 6.2: Componente em r do campo elétrico relativo para z = 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r
!0.00012
!0.00011
!0.0001
!0.00009
E zr!r"
"
#
Figura 6.3: Componente z do campo elétrico relativo para z = 0
r na interface entre o solo e o ar, a intensidade do campo é bastante inferior, e aocontrário da figura anterior, no caso da representação temporal do tipo exp(�j! t),a componente resultante teria parte real negativa. O campo magnético relativo,definido a partir da componente em ✓, i.e, H✓r(r) = H✓(r)/I0 em função de r éapresentado na Fig. 6.4 onde é possível notar que a parte imaginária desta funçãoé praticamente nula.
143
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1r
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
HΘr!r"
"
#
Figura 6.4: Componente ✓ do campo magnético para z = 0
144
CAPÍTULO 7
Propagação de Ondas Esféricas
De forma similar ao que foi feito no caso de propagação de ondas cilíndricas, para aanálise da propagação de ondas esféricas, o campo eletromagnético pode ser decompostoem dois campos parciais, ambos derivados de uma função escalar que satisfaça à equaçãode onda em coordenadas esféricas.
Se as condições impostas pelas condições de fronteira forem suficientes para definiro campo, a solução global obtida para os campos E e H é unívoca, embora possa existiruma multiplicidade de potenciais escalares e vetores para uma mesma solução global.A unicidade dos campos refere-se apenas à solução “global” mas não a cada uma das“ondas” que sejam consideradas para obter a solução global. Por exemplo, uma ondaesférica pode decompor-se em somas infinitas de ondas cilíndricas ou planas.
Embora, sob o ponto de vista do formalismo matemática, a análise em ondas es-féricas pode ser considerada uma formulação mais geral do comportamento do campoeletromagnético, o maior interesse está nos casos onde as fontes de “carga” ou “cor-rentes” de “pequenas dimensões”, ou cujo comportamento dominante se “aproxime” dageometria esférica.
7.1 Equação de Onda em Coordenadas Esféricas
Considerado uma variação harmônica do tipo exp(j!t), o campo elétrico e magné-tico podem ser definidos a partir do par de vetor de Hertz ⇧E e ⇧M , conforme mostra a(7.1).
E = r⇥r⇥⇧E � j!µr⇥⇧M
H =
jk2
!µr⇥ r⇥⇧E +r⇥r⇥⇧M
(7.1)
145
O objetivo é encontrar funções de onda tal que
⇧E =
1
k
1X
n
bn a
⇧M =
1
j!µ
1X
n
an a
(7.2)
onde a é um vetor constante que pode possuir componentes nas três direções, portanto asolução via Vetor de Hertz, embora muito útil em coordenadas cilíndricas, não apresentagrandes vantagens para o tratamento da propagação de ondas esféricas. Há casos, inclu-sive, onde é mais interessante buscar uma solução geral, independente da separação emmodos TE e TM. Uma solução mais prática pode ser obtida através da solução da equa-ção (escalar) de onda em coordenadas esféricas. Supondo que a função de onda possuivariação harmônica com o tempo da forma exp(j!t) e um meio com parâmetros �, ✏ eµ e lembrando que não há imposições com relação ao comportamento destes parâmetrosem função da freqüência, a equação de onda pode ser escrita como (para um sistema decoordenadas (r, ✓,�):
1
r2@
@r
✓r2@
@r
◆+
1
r2sin✓
@
@✓
✓sin ✓
@
@✓
◆+
1
r2sin2✓
@2
@ 2+ k2 = 0 (7.3)
onde k2 = !2µ✏ � j!µ. Aplicando-se a separação de variáveis a (7.3) e sendo dadopor (7.4)
= R(r)H(✓)�(�) (7.4)
obtemos após algumas manipulações algébricas
sin
2 ✓
R
d
dr
✓r2
dR
dr
◆+
sin ✓
H
d
d✓
✓sin ✓
dR
d✓
◆+
1
�
d2�
d�2+ k2r2 sin2 ✓ = 0 (7.5)
A equação dependente apenas de � é separada considerando soluções do tipo
1
�
d2�
d�2= �m2 (7.6)
onde m é uma constante. Substituindo-se (7.6) em (7.5) e dividindo-se a expressão re-sultante por sin2 ✓ resulta em
1
R
d
dr
✓r2
dR
dr
◆+
1
H sin ✓
d
d✓
✓sin ✓
dH
d✓
◆� m2
sin
2 ✓+ k2r2 = 0 (7.7)
A equação em (7.7) pode ser separada duas expressões, uma dependendo de r e outra✓. Por razões que ficarão aparentes mais tarde a equação dependente de ✓ é reescritacomo:
1
H sin ✓
d
d✓
✓sin ✓
dH
d✓
◆� m2
sin
2 ✓= �n(n+ 1) (7.8)
146
e com isto a equação para a variação em r é dada por
1
R
d
dr
✓r2
dR
dr
◆� n(n+ 1) + k2r2 = 0 (7.9)
Portanto, para a solução da equação de onda em coordenadas esféricas devemos resolvero seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias:
d
dr
✓r2
dR
dr
◆+R(�n(n+ 1) + (kr)2) = 0
1
sin ✓
d
d✓
✓sin ✓
dH
d✓
◆+H
✓n(n+ 1)� m2
sin
2 ✓
◆= 0
d2�
d�2+m2
� = 0
(7.10)
Diferente do caso de ondas cilíndricas não há aqui inter-relação entre as constantes deseparação. A equação em R é muito semelhantes as equações de Bessel cilíndricas epossuem soluções conhecidas como funções de Bessel esféricas, usualmente represen-tadas por bn(kr). A relação entre estas funções e as funções de Bessel cilíndricas é dotipo1
bn(kr) =
r⇡
2krBn+1/2(kr) (7.11)
É interessante notar que as funções de Bessel esféricas são mais simples que suascontrapartes cilíndricas. Consideremos, por exemplos as funções esféricas de ordem zero
j0(kr) =sin(kr)
kr
n0(kr) = �cos(kr)
kr
h(1)0 =
exp(jkr)
jkr
h(2)0 = �exp(�jkr)
jkr
(7.12)
Um detalhe interessante é que das funções de Bessel esféricas somente as famílias dadaspor jn(kr) são finitas para r = 0.
A equação em ✓ relaciona-se com a equação de Legendre e possui como solução asfunção associada de Legendre de primeiro tipo Pm
n (cos ✓) ou segundo tipo Qmn (cos ✓),
representadas genericamente por Lmn , (vide capítulo 1 para maiores detalhes). A solução
1Em geral os livros de matemáticas usam o símbolo z para funções de Bessel Esféricas e Z para funçõesde Bessel cilíndricas, contudo para evitar confusão com a representação de impedâncias adotamos aqui b eB, respectivamente.
147
geral é dada pela combinação linear de todo conjunto possível de soluções. São as con-dições de fronteira de determinam se um conjunto particular de soluções deve ou não serempregado. A solução geral é do tipo
=
X
m
X
n
cmn mn =
X
m
X
n
cmnbn(kr)Lmn (cos ✓) exp(jm�) (7.13)
Sistemas com simétrica cilíndrica em relação ao eixo z também podem ser represen-tados através de ondas esféricas considerando m = 0 na formulação da função de onda,i.e. incluindo a variação temporal do tipo exp(j!t)
= bn(kr)P0n(cos ✓) exp(j!t) (7.14)
Já sistemas com simetria esférica em relação ao ponto de origem correspondem a solu-ções envolvendo m = 0, n = 0, logo
= bn(kr) exp(j!t) (7.15)
No caso de uma onda esférica é comum considerar a direção r como sendo a direçãode propagação. Contudo, diferente do caso de propagação de ondas em linhas de trans-missão não se pode supor que os componentes variam exponencialmente segundo r, poiscomo mostra (7.9) a variação é dada por uma função de Bessel específica na qual o com-portamento exponencial se verifica apenas assintoticamente para valores elevados de r.Para representar os campos eletromagnéticos em função de é necessário que a mesmaseja um dos componentes retangulares dos vetores potencial magnético A ou elétrico F.No caso do vetor potencial magnético temos
A = z = cos ✓r� sin ✓✓ (7.16)
onde ✓, r e z são vetores unitários. No caso do vetor potencial elétrico temos o dual onde
F = z = cos ✓r� sin ✓✓ (7.17)
A expressão em (7.16) gera um campo TM em relação a z, mas não em relação a r,enquanto que a expressão em (7.17) produz um campo TE em relação a z. A expressãocompleta do campos é deixada como exercício. Uma alternativa um pouco mais simplesé incluir a propagação segundo r nos vetores potenciais, de forma que
A = Arˆr
F = F rˆr(7.18)
onde A e F são funções escalares obtidas através da solução da equação de onda emcoordenadas esféricas. Os campos são obtidos por (7.19).
E = �r⇥ F rˆr+1
� + j!✏r⇥ r⇥ Arˆr
H = r⇥ Arˆr+1
j!✏µr⇥ r⇥ F rˆr
(7.19)
148
Estas expressões acima são suficientes para expressar qualquer campo com variaçãoharmônica no tempo em um região homogênea linear e isotrópica do espaço de parâ-metros �, µ e ✏ dependentes da freqüência ou não. Expandindo os termos em (7.19) eescrevendo os vetores potenciais A = Arˆr e F = Frˆr temos
Er =1
� + j!✏
✓@2Ar
@r2+ k2Ar
◆
E✓ =1
(� + j!✏)r
@2Ar
@r@✓� 1
r sin ✓
@Fr
@�
E� =
1
(� + j!✏)r sin ✓
@2Ar
@r@�+
1
r
@Fr
@✓
Hr =1
j!µ
✓@2Fr
@r2+ k2Fr
◆
H✓ =1
r sin ✓
@Ar
@�+
1
j!µ r
@2Fr
@r@✓
H� = �1
r
@Ar
@✓+
1
j!µ r sin ✓
@2Fr
@r@�
(7.20)
onde k2 = !2µ✏� j!µ�.
7.1.1 Obtenção Direta dos Campos
Similarmente ao que ocorre com a equação de onda em coordenadas esféricas, ondenão há relação entre as constantes de separação, as equações de Maxwell expressas emcoordenadas esféricas também se “desacoplam”. Desta forma, é possível representar doisdos componentes dos campos em função do terceiro, contudo, para a solução global aindaé necessário separar em modos TE e TM.
Consideremos a principio o caso dos modos TE, suponhamos que Hr ( a componentena direção r do campo magnético) é uma função escalar de (r, ✓,�) e uma outra funçãoescalar u que se relacionam por
u = r Hr (7.21)
e donde u é solução da equação de onda em coordenadas esféricas, i.e. u = . Sabendo-
149
se que nos modos TE, Er = 0, temos:
Hr =u
r
H✓ =1
n(n+ 1)
1
r
@2(ru)
@✓@r
H� =
1
n(n+ 1)
1
r sin ✓
@2(ru)
@�@r
E✓ = � j!µ
n(n+ 1)
1
r sin ✓
@(ru)
@�
E� =
j!µ
n(n+ 1)
1
r
@(ru)
@✓
(7.22)
A validade das expressões em (7.22) pode ser verificada pela substituição nas equa-ções de Maxwell. A única restrição é que u satisfaça a equação de onda em coordenadasesféricas, que é um dos postulados da solução. Para o caso dos modos TE é possívelainda reescrever H✓ e H� em função não de u mas dos componentes do campo elétrico,conforme mostra a (7.23).
H✓ =1
j!µ r
@(rE�)
@r
H� = � 1
j!µ r
@(rE✓)
@r
(7.23)
Para os modos transversais magnéticos TM, a situação é análoga, Hr = 0. A com-ponente radial do campo elétrico Er se relaciona com uma função escalar v tal que
Er =v
r(7.24)
onde v satisfaz a equação de onda em coordenadas esféricas, i.e., v = . Os demaiscomponentes do campo elétrico e magnético são dados por
E✓ =1
n(n+ 1)r
@2(rv)
@✓@r
E� =
1
n(n+ 1)r sin ✓
@2(rv)
@�@r
H✓ =� + j!✏
n(n+ 1)r sin ✓
@(rv)
@�
H� = � � + j!✏
n(n+ 1)r
@(rv)
@✓
(7.25)
onde também é possível expressar os componentes do campo elétrico em função doscomponentes do campo magnético
E✓ = � 1
(� + j!✏) r
@(rH�)
@r
E� =
1
(� + j!✏) r
@(rH✓)
@r
(7.26)
150
Deixamos como exercício a comparação dos campos obtidos utilizando (7.25) e (7.22)com aqueles calculados a partir de (7.20).
7.2 Alguns Exemplos
Para analisar de forma mais concreta o formalismo, bem como o comportamento dapropagação de campo eletromagnético em ondas esféricas, consideramos a seguir algunsexemplos supondo um meio uniforme, homogêneo, linear e isotrópico e com as seguintesconfigurações:
• injeção de corrente distribuída ao longo de um segmento de reta;
• corrente em segmento de reta de comprimento “muito reduzido”;
• dipolo oscilante;
7.2.1 Injeção de corrente distribuída ao longo de um segmento de reta
R
Pzp
Rp
r
p
ξa
−a
θ
Z
Figura 7.1: Injeção decorrente ao longo de umsegmento de reta
Consideremos um segmento de reta de comprimentoL = 2a, imerso em meio linear, homogêneo e isotrópico,conforme mostra a Fig. 7.1. Supondo um sistema de coorde-nadas cartesianas (x, y, z) tal que o centro do segmento coin-cida com o centro do sistema de coordenadas. O centro dosegmento é considerado também o centro das coordenadasesféricas. Suponhamos injetada no meio, a partir desse seg-mento, e com distribuição uniforme ao longo do segmento,uma corrente alternada (corrente total, soma da corrente decondução e da corrente de deslocamento, injetada no meio apartir do segmento) do tipo
it = It exp(j! t) (7.27)
A corrente injetada no meio, a partir do elemento infinitesi-mal de comprimento d` no segmento é portanto
itd`
L= It exp(j! t)
d`
L(7.28)
O segmento de reta em questão é definido por
x = 0
y = 0
z = ⇠ � a ⇠ a
(7.29)
151
Já o ponto genérico P possui coordenadas (xp, yp, zp). Logo, o potencial escalar ',associado à corrente injetada no meio, é definido por
' =
aZ
�a
It exp(j! t)
4⇡L(� + j!✏)
exp(jk⇢)
⇢d⇠
=
It exp(j! t)
4⇡L(� + j!✏)
aZ
�a
exp(jk⇢)
⇢d⇠
(7.30)
onde ⇢ =
pr2 + ⇠2 � 2r⇠ cos ✓ �
qx2p + y2p + (zp � ⇠)2. O campo elétrico associado
à corrente injetada no meio pode ser obtido pela diferenciação de (7.30), sendo dado por
E =
It exp(j! t)
4⇡L(� + j!✏)
aZ
�a
ˆ⇢
⇢(1� jk⇢)
exp(j k⇢)
⇢2d⇠ (7.31)
ondeˆ⇢
⇢=
1
⇢(xpˆx+ ypˆy + (zp � ⇠)ˆz)
é o vetor unitário de um ponto qualquer ao longo do segmento de reta para o ponto P , eˆx, ˆy e ˆz vetores unitários relativos ao sistema de coordenadas (x, y, z). Supondo que osegmento de reta seja suficientemente curto, ou um ponto P suficientemente longe temos,r ⇡ ⇢, logo
exp(jk⇢) ⇡ exp(jkr)
(1� jk⇢) exp(jk⇢) ⇡ (1� jkr) exp(jkr)(7.32)
e, portanto,
' ⇡ exp(jkr)It exp(j! t)
4⇡L(� + j!✏)
aZ
�a
1
⇢d⇠ (7.33)
ou simplesmente ' = exp(jkr)'0. Para o campo elétrico, a situação é similar
E ⇡ (1� jkr) exp(jkr)E0 (7.34)
sendo
E0 = �r'0 =It exp(j! t)
4⇡L(� + j!✏)
aZ
�a
1
⇢2ˆ⇢
⇢d⇠ (7.35)
O potencial escalar '0 e o campo elétrico E0 correspondem àqueles obtidos a partira daaproximação quase estacionária. Designando-se
R2p = x2p + y2p
152
pode-se escrever a distância ⇢ =
qR2
p + (zp � ⇠)2 e com isto o potencial escalar asso-ciado a aproximação quase estacionária pode ser expresso como
' =
It exp(j! t)
4⇡L(� + j!✏)
aZ
�a
1qR2
p + (⇠ � zp)2d⇠
=
It exp(j! t)
4⇡L(� + j!✏)ln
0
@
q(a� zp)2 +R2
p + (a� zp)q
(a+ zp)2 +R2p � (a+ zp)
1
A
(7.36)
Seja o fator de escala M(R, z) definido por
M(R, z) = ln
0
@
q(a� zp)2 +R2
p + (a� zp)q(a+ zp)2 +R2
p � (a+ zp)
1
A (7.37)
Logo, o potencial escalar pode ser escrito como
'0 =It
4⇡L(� + j!✏)exp(j! t)M(R, z) (7.38)
e o campo elétrico E0 pode ser definido como
E0 = �r'0 ==
It4⇡L(� + j!✏)
exp(j! t)⇣�Nr
x
Rˆx�Nr
y
Rˆy �Nzˆz
⌘(7.39)
onde Nr = @M/@R e Nz = @M/@z. A relação entre o potencial “real” e sua aproxima-ção quase estacionária pode ser escrita como
' = '0F(0)
(r) (7.40)
onde F (0)(r) = exp(jkr). A relação entre o campo elétrico “aproximado” e o campo
elétrico real é dado por
E = E0F (r) (7.41)
onde F (r) = (1� jkr) exp(jkr). Devemos ressaltar que as relações em (7.40) e (7.41)consideram a priori que |ka| ⌧ 1 e que o segmento de reta é curto.
7.2.2 Corrente injetada em segmento de reta de comprimento muito redu-zido
Consideremos, agora, um filete de corrente i injetada em um segmento de compri-mento, muito reduzido, �`, paralelo ao eixo z e cujo centro coincide com a origem dosistema de coordenadas cartesianas (x, y, z). Consideremos que o sentido positivo dacorrente corresponde a z crescente. O comportamento da corrente é harmônico do tipo
i(t) = I exp(j!t) (7.42)
153
onde I é em geral um número complexo. Consideremos um ponto genérico P de coor-denadas (x, y, z), a uma distância r � �` do centro do filete da corrente e onde
r =
px2 + y2 + z2
O potencial vetor A, que pode ser obtido diretamente da integração da densidade decorrente, no ponto P é dado por
A =
µI�`
4⇡ rexp(jkr) exp(j!t)z (7.43)
sendo z o vetor unitário do eixo z. O campo elétrico em sua forma mais geral é dado por
E = �r'� @A
@t(7.44)
contudo, como neste caso não há cargas, o potencial ' é nulo. Logo, a expressão docampo elétrico associado ao potencial vetor, EA, é
EA = �j!µI
4⇡ rexp(jkr) exp(j!t) (7.45)
ou simplesmente
EA = EA0F(0)
(r) (7.46)
sendo F (0)(r) o mesmo definido no item anterior, i.e.
F (0)(r) = exp(jkr)
e onde
EA0 = �j!µI�`
4⇡ rexp(j!t)ˆz (7.47)
é o campo na aproximação quase estacionária. O fator F (0)(r) traduz a relação entre o
campo elétrico “correto” e o campo elétrico na aproximação quase estacionária, sendo es-calar e independente da intensidade do campo elétrico, não afetando a direção do mesmo.A expansão em série desta fator resulta em, considerando apenas os primeiros termos epara |jkr| < 1,
F (0)(r) = 1 + ⇠ +
⇠2
2
+
⇠3
6
+
⇠4
24
+
⇠5
120
+O[⇠6]
onde ⇠ = jkr, admitindo-se ainda que |jkr| ⌧ 1 temos
F (0)(r) ⇡ 1
Em outras palavras, o comportamento do campo “correto”, em geral, tende assintotica-mente para o comportamento do campo na hipótese quase estacionária. A propagação de
154
EA, no sentido associado à fase de EA, e para uma dada pulsação !, ocorre na direção esentido de r.
O campo magnético HA associado A é dado por
HA =
1
µr⇥A (7.48)
em coordenadas cartesianas temos
HA =
µI�`
4⇡
✓� 1
r2+
jk
r
◆exp(jkr) exp(j!t)
⇣yrˆx� x
rˆy⌘
(7.49)
ou simplesmente HA = HA0F (r), sendo F (r) o mesmo definido no item anterior, e
HA0 =I�`
4⇡r2exp(j!t)
⇣yrˆx� x
rˆy⌘
(7.50)
o campo na aproximação quase estacionária. Similar ao comportamento do campo elé-trico, a “propagação” de HA, em interpretação associada à fase de HA para uma dadapulsação !, ocorre na direção e sentido de r.
7.2.3 Dipolo Oscilante
Possivelmente um dos exemplos mais simples e talvez um dos mais importantes,no que diz respeito a ondas esféricas, é o caso dos campos produzidos por um dipoloelétrico oscilante, conforme mostra a Fig. 7.2. Este dipolo produz uma onda TM e comisto, a função escalar v deve depender de ✓ e � a fim de que os componentes do campoeletromagnético não sejam nulos. Com isto, apesar a simetria esférica, não podemos tera solução associada a n = 0 pois P0(cos ✓) = 1 não depende do ângulo visto que éconstante. Vamos considerar, a principio, n = 1, m = 0, logo a função escalar é do tipo
v = (j1(kr)� j n1(kr)) cos ✓ =
✓� 1
kr+
j
(kr)2
◆e�j kr
cos ✓ (7.51)
onde k é a constante de propagação do meio. Pela aplicação direta de (7.25) em (7.51)obtemos os componentes do campo eletromagnético, conforme mostra a (7.52).
Er = k
✓j
(kr)3� 1
(kr)2
◆ej(!t�k r)
E✓ =k
2
✓j
(kr)3� 1
(kr)2� j
kr
◆ej(!t�kr)
sin ✓
H� =
(� + j!✏)
2
✓j
(kr)2� 1
kr
◆ej(!t�k r)
sin ✓
(7.52)
Os outros componentes são nulos, visto que não há dependência segundo �. Estas fun-ções podem, naturalmente, ter a amplitude multiplicada por uma constante arbitrária.
Para entender o significado da solução, consideremos, primeiramente, os componen-tes do campo eletromagnético mais importantes a pequenas distâncias do dipolo, que são
155
x
θ
φr
y
z
+q
−q
φ
θ
i
Figura 7.2: Dipolo com cargas harmônicas
aqueles com as maiores potências de r no denominador. Enquanto que o campo elétricoé devido a existência de um dipolo na origem, o campo magnético é devido ao elementode corrente correspondente derivado da variação temporal do momento de dipolo. Seja,portanto, um dipolo de momento p e variação temporal do tipo exp(j!t) cujo potencialé dado por (vide cap. 3, item 3.6.1 para detalhes)
' =
p cos ✓
4⇡✏r2(7.53)
cujo campo é dado por
Er = �@'@r
=
2p
4⇡✏
cos ✓
r3ej!t
E✓ = �1
r
@'
@r=
p
4⇡✏
sin ✓
r3ej!t
(7.54)
Notemos que as expressões dos componentes do campo elétrico em (7.53) são cons-tantes e relacionam-se com aquelas apresentadas em (7.52) por �jk2p/(2⇡✏). Notemostambém que um dipolo com momento p ej!t produz uma corrente elementar igual a suaderivada temporal, i.e. j! p ej!t, logo de acordo com a Lei de Biot-Savart
H� =
j! p
4⇡
sin ✓
r2(7.55)
A expressão em (7.55) também se relaciona com H� de (7.52) pela constante �jk2/(2⇡✏).Portanto, ao se multiplicar os componentes do campo eletromagnético por esta constante,obtemos componentes que além de representar soluções da equação de Maxwell a qual-quer distância se reduzem ao campo de um dipolo de momento p ej!t para pequenasdistâncias, de tal forma que pode representar corretamente o campo deste dipolo. Os
156
componentes são:
Er =p k3
2⇡✏ej(!t�kr)
cos ✓
✓j
(kr)2+
1
(kr)3
◆
E✓ =p k3
4⇡✏ej(!t�kr)
sin ✓
✓� 1
kr+
j
(kr)2+
1
(kr)3
◆
H� =
j! p k2
4⇡✏ej(!t�kr)
sin ✓
✓j
kr+
1
(kr)2
◆(7.56)
Exemplo 7.1. Supondo um meio linear, homogêneo, isotrópico e sem perdas onde se in-sere o dipolo da Fig. 7.2 e a projeção do mesmo no plano xz conforme mostra a Fig. 7.3,onde P é um ponto genérico no espaço. mostre que para um dipolo orientado ao longodo eixo z de momento p ej!t o potencial escalar e o potencial vetor são dados por (7.57),sendo c = 1/
pµ✏
' = � p
4⇡✏
d
dr
✓exp(j!(t� r/c))
r
◆cos ✓
Ar =j!µ p
4⇡ rexp(j!(t� r/c)) cos ✓
A✓ = �j!µ p
4⇡ rexp(j!(t� r/c)) sin ✓
A� = 0
(7.57)
e calcule os componentes do campo elétrico e magnético.
θ
P
+q
−qx
z
R
ab
Figura 7.3: Projeção dodipolo no plano xz
Solução— Considerando a projeção no plano xz do di-polo temos:
a =
s
R2+
✓`
2
◆2
� 2R`
2
cos ✓
b =
s
R2+
✓`
2
◆2
+ 2R`
2
cos ✓
(7.58)
Para R � (`/2) podemos aproximar as expressões em(7.58) por
a ⇡ R� `
2
cos ✓
b ⇡ R+
`
2
cos ✓(7.59)
Logo, o potencial escalar ', onde q(t) = Q exp(j!t), podeser definido por
' =
1
4⇡✏
✓q(t� a
pµ✏)
a�
q(t� bpµ✏)
b
◆(7.60)
157
e passa a ser aproximado por
' =
Q
4⇡✏
exp
�j!(t�p
µ✏�R� `
2 cos ✓�)
�
R� `2 cos ✓
�exp
�j!(t�p
µ✏�R+
`2 cos ✓
�)
�
R+
`2 cos ✓
!
=
Q exp(j!(t�Rpµ✏))
4⇡✏R
exp(�j!
pµ✏ `
2R cos ✓)
1� `2R cos ✓
�exp(j!
pµ✏ `
2R cos ✓)
1 +
`2R cos ✓
!
(7.61)
Adotando-se a simbologia, k = !pµ✏, t⇤ = t � R
pµ✏, considerando `/2 ⌧ !
pµ✏, e
`/2 ⌧ R podemos escrever
' ⇡ Qej!t⇤
4⇡✏R
1� j k `
2 cos ✓
1� `2R cos ✓
�1 + j k `
2 cos ✓
1 +
`2R cos ✓
!
=
Qej!t⇤
4⇡✏R
✓4R(1� j kR)` cos ✓
4R2 � (` cos ✓)2
◆
=
Qej!t⇤cos ✓
4⇡✏R(1� j kR)
(7.62)
Portanto, o potencial escalar associado ao dipolo é
' =
p
4⇡✏exp(j! t) exp(j kr)
✓1
R2� j k
R
◆cos ✓ (7.63)
Os componentes do campo elétrico são obtidos a partir do gradiente do potencial escalarpara um dado instante de tempo. O gradiente de ' em coordenadas esféricas é dado por
r' =
@'
@Rˆr++
1
R
@'
@✓ˆ✓ +
1
R sin ✓
@'
@�ˆ� (7.64)
Pela expressão do potencial e pela simetria do problema é possível identificar que não hácomponente do campo elétrico na direção �, já que o potencial escalar independe destacoordenada, i.e.
@'
@�= 0
Logo, o gradiente do potencial escalar é dado por
r' =
p
4⇡✏exp(j! t) exp(j kR)
✓ˆr cos ✓
� 2
R3+
2j k
R2+
k2
R
�+
ˆ✓ sin ✓
� 1
R3+
j k
R2
�◆
(7.65)
O potencial vetor A associado ao dipolo pode ser calculado a partir da corrente i(t)com orientação �ˆz no filete de comprimento `, a relação entre a corrente e a carga dosdipolos é dada por
i(t) =dq(t)
dt= j!Q exp(j! t) (7.66)
158
Adotando-se as mesmas hipóteses que no cálculo do potencial escalar temos
A =
µ
4⇡
Z
V
J(t� rpµ✏)
r=
µ
4⇡Ri(t� r
pµ✏)`(�ˆz) = � µ
4⇡Ri(t⇤)ˆz` (7.67)
substituindo o valor da corrente em (7.67) temos
A = �µ j!p
4⇡Rexp(j!t⇤)ˆz
= �µ j!p
4⇡Rexp(j!t) exp(j kR)
⇣cos ✓ˆr� sin ✓ˆ✓
⌘ (7.68)
O rotacional do vetor potencial A para um dado instante de tempo é dado por
r⇥A =
1
R
✓@RA✓
@R� @AR
@✓
◆ˆ�
= �j!µ p
4⇡ej!t
⇤✓
1
R2� j k
R
◆ˆ�
(7.69)
A expressão completa para o campo elétrico é obtido a partir do vetor potencial e dopotencial escalar, conforme mostra (7.70). Já o campo magnético pode ser obtido direta-mente de A como mostra (7.71)
E = �r'� @A
@t(7.70)
H =
1
µr⇥A (7.71)
Devido a simetria do sistema temos que E� = Hr = H✓ = 0, as demais componentesdos campos são apresentadas em (7.72)
Er =p exp(j!t) exp(j kR)
2⇡✏R3(1� j kR) cos ✓
E✓ = �p exp(j!t) exp(j kR)
4⇡✏R3
�1� j kR� (kR)
2�sin ✓
H� = �j!p exp(j!t) exp(j kR)
4⇡R2(1� j kR) sin ✓
(7.72)
7.3 Problemas
1. Considere o dipolo apresentado na Fig. 7.2, imerso em meio linear, homogêneo,sem perdas e uniforme, de parâmetros ✏r = µr = 1. O momento de dipolo ép = 1 µCm. Seja um ponto P1, a uma distância muito superior a ` (distânciaque separa as cargas no dipolo), de coordenadas cartesianas (x, y, z) dadas por(100/
p2, 0, 100/
p2). Determine a partir de ' e A as componentes não nulas de
E e H. Represente graficamente o comportamento das componentes não nulas do
159
campo eletromagnético em função da freqüência para 10
3 < f < 10
9 Hz. De-termine os erros relativos das componentes não nulas do campo eletromagnéticoem coordenadas esféricas, expressos em função de R, dos parâmetros do meio eda freqüência, se as mesmas forem calculadas considerando a aproximação quaseestacionária (i.e. supondo a propagação instantânea das grandezas eletromagnéti-cas. Para o ponto P1 em questão, determine as gamas de freqüências em que oserros relativos das componentes não nulas do campo eletromagnético são meno-res ou iguais a 0, 01 e 0, 1, se essas componentes forem calculadas considerando aaproximação quase estacionária.
2. Ainda para o mesmo dipolo, determine o valor médio, no tempo, do vetor de Poyn-ting para um ponto de coordenadas esféricas (R, ✓,�), sendo R � `. Determineo valor médio, no tempo do fluxo do vetor de Poynting através de uma esfera deraio R, com centro no centro do dipolo. Considerando agora ` = 1, determine emfunção da freqüência f a potência radiada pelo dipolo, e o valor eficaz da correntei(t), no segmento que une as cargas do dipolo.
3. Considere um quadrado de lado L constituído por um fio condutor de condutivi-dade “muito elevada” e de raio “muito reduzido”, onde em um dos lados há umafonte de corrente de dimensões muito reduzidas se comparadas a L. Suponha umacorrente cosenoidal i = I cos(!t), onde ! = 2⇡f , percorrendo todos os ladosdo quadrado de forma idêntica e que o quadrado está imerso em meio linear, ho-mogêneo, isotrópico, infinito em todas as direções e de parâmetros �, µ, epsilon.Seja um ponto P , situado no plano do quadrado e a uma distância X do centro doquadrado. Determine o campo elétrico e o campo magnético no ponto P .
4. Seja um condutor cilíndrico de raio r e comprimento 2a, com material de condu-tividade muito superior à do meio envolvente, imerso em meio condutor homogê-neo, de condutividade �, em regime estacionário, supondo desprezível a correntede deslocamento em relação à corrente de condução em regime quase estacionário.Seja I a corrente injetada pelo condutor no meio envolvente. Considere, prelimi-narmente, a hipótese de uma distribuição linear e uniforme de corrente injetada nomeio envolvendo sendo
iI
2a
a corrente injetada por unidade de comprimento. Calcule o potencial eletrostático' e a resistência do condutor para esta configuração.
Soluções parciais
Problema 4 — O potencial em ponto de coordenadas (⇠, r) associado ao diferencialde corrente di injetada no meio envolvente a partir de um elemento dx na vizinhançado ponto no eixo do condutor de coordenada x é (supondo potencial nulo em pontos
160
infinitamente afastados
d' =
di
4⇡�p(x� ⇠)2 + r2
=
I
4⇡�2a
dxp(x� ⇠)2 + r2
(7.73)
O potencial no ponto de coordenadas (x, r) associado à corrente I injetada no meio en-volvente nas hipóteses indicadas é dado por
' =
I
4⇡�2af(⇠, r) (7.74)
sendo
f(⇠, r) =
aZ
�a
dxp(x� ⇠)2 + r2
= ln
p(a� ⇠)2 + r2 + (a� ⇠)p(a+ ⇠)2 + r2 � (a+ ⇠)
!
As equipotenciais passam a ter a forma de elipsóides cujos focos são dados pelos pontosextremos do condutor. A Fig. 7.4 apresenta algumas equipotenciais em coordenadasrelativas (⇠0, r0) definidas por:
⇠0 =⇠
2ar0 =
r
2a
!1 !0.5 0 0.5 1r’
!1
!0.5
0
0.5
1
Ξ'
Figura 7.4: Equipotenciais para um condutor cilíndrico (eletrodo)
161
162
Parte IV
Aplicações
163
CAPÍTULO 8
Elementos de Circuito
Neste apresentamos algumas aplicações práticas da propagação de ondas em sistemaselétricos, enfatizando a importância da modelagem do comportamento dos sistemas apartir das equações de Maxwell. São abordados aqui não só os problemas relacionadosa impedância interna, por unidade de comprimento, bem como a impedância de retornopelo solo, por unidade de comprimento, de sistemas reais de transmissão. O capítulotermino apresentado a modelagem pro eletrodos cilíndricos que permite a aplicação darepresentação do comportamento, por exemplo, de malhas de aterramento.
É importante lembrar que exceto quando dito explicitamente, o termo impedância éutilizado neste capítulo sempre se referindo a impedância unitária, ou seja, por unidadede comprimento.
8.1 Impedâncias de Condutores Cilíndricos
R0
R1
r
r+dr
Figura 8.1: Condutor CilíndricoTubular
Considere o condutor cilíndrico tubular de raiointerno R0 e raio externo R1 conforme mostrado naFig. 8.1 e coordenadas cilíndricas (r,�, z), sendo zo coordenada longitudinal do condutor. A impedân-cia interna deste tipo de condutor pode ser obtida di-retamente da equações diferencial que define a cor-rente que percorre o condutor. No interior do condutoradmite-se que o campo elétrico depende apenas da co-ordenada r, sendo orientado ao longo do eixo do con-dutor, dentro do condutor o campo magnético possuiapenas componente tangencial e depende apenas doraio r. Em outras palavras, o vetor E possui apenascomponente z e H possui apenas componente em �,
165
ambos função do raio r. Admite-se também o com-portamento de funções harmônicas tanto para campoelétrico como magnético, ou seja
E = E0 exp(j!t)z
H = H0 exp(j!t)ˆ�(8.1)
Considerando que no condutor � � !✏ (i.e. desprezando as correntes de descolamento),obtemos das equações de Maxwell
r⇥E = �@E@r
= �j!µH
r⇥H = r@H
@r+H = J = �E
(8.2)
Considerando que ambos os campos dependem apenas de r, i.e. dentro das aproximaçõesque as atenuações longitudinais são desprezíveis, a derivada parcial pode ser substituídapela derivada total. Desta forma é possível escrever a seguinte equação diferencial
r2dE
dr+ r
dE
dr� j!µ�r2E = 0 (8.3)
Definindo o parâmetro adimensional ⇢ = rpj!µ�, e utilizando apenas a intensidade do
campo elétrico, E expressão em (8.3) é reescrita como
⇢2dE
dr+ ⇢
dE
dr� ⇢2E = 0 (8.4)
A equação em (8.4) torna-se uma das equações de Bessel e possui solução do tipo
E = C1I0(⇢) + C2K0(⇢) (8.5)
onde C1 e C2 são constantes, I0 e K0 são funções de Bessel modificadas de primeira esegunda espécie de ordem zero (vide 1). A intensidade do campo magnético é dada por
H =
1
j!µ
dE
dr=
�pj!µ�
(C1I1(⇢)� C2K1(⇢)) (8.6)
As constantes podem ser determinadas a partir das condições de contorno que são:
• Campo magnético nulo para r = R0;
• Corrente no condutor nula para r < R0
Da primeira condição de contorno temos
C1
C2=
K1(⇢0)
I1(⇢0)(8.7)
166
onde ⇢0 = R0pj!µ�. Pela segunda condição de contorno temos:
I =
Z R1
R0
�E2⇡rdr = 2⇡�
Z R1
R0
rEdr (8.8)
mudando a variável de integração para o parâmetro adimensional ⇢ = rpj!µ�, (dr =
d⇢/pj!µ�) temos
I =
2⇡
j!µ
Z ⇢1
⇢0
⇢Ed⇢
=
2⇡
j!µ
C1
Z ⇢1
⇢0
⇢I0(⇢)d⇢+ C2
Z ⇢1
⇢0
⇢K0(⇢)d⇢
� (8.9)
A solução das integrais em (8.9) é obtida aplicando-se a relação entre as derivadas dasfunções de Bessel. Logo
I =
2⇡
j!µ[C1⇢1I1(⇢1)� C1⇢0I1(⇢0)� C2⇢1K1(⇢1) + C2⇢0K1(⇢0)] (8.10)
Aplicando-se a relação entre as constantes dada por (8.9) é possível escrever
I =
2⇡
j!µC1
I1(⇢1)� I1(⇢0)
K1(⇢1)
K1(⇢0)
�(8.11)
Logo a primeira constante é dada por
C1 =j!µI
2⇡⇢1
K1(⇢0)
I1(⇢1)K1(⇢0)� I1(⇢0)K1(⇢1)(8.12)
e a segunda constante é dada por
C2 =j!µI
2⇡⇢1
I1(⇢0)
I1(⇢1)K1(⇢0)� I1(⇢0)K1(⇢1)(8.13)
A impedância interna do condutor, zi , é dada pela relação entre o campo elétrico nasuperfície exterior do condutor e a corrente I
Zi =C1I0(⇢1) + C2K0(⇢1)
I(8.14)
Portanto
zi =j!µ
2⇡⌘R1
K1(⌘R0)I0(⌘R1) +K0(⌘R1)I1(⌘R0)
I1(⌘R1)K1(⌘R0)� I1(⌘R0)K1(⌘R1)(8.15)
sendo ⌘ =
pj!µ�. No caso de condutores cilíndricos sólidos, i.e. R0 = 0 a expressão
em (8.15) é simplificada pois as funções K0, K1 não podem ser consideradas na soluçãovisto que tendem a infinito. Seguindo um raciocínio similar ao apresentado acima, masusando apenas funções de Bessel Ii(.), a impedância interna de um condutor cilíndrico édada por
zi =j!µ
2⇡⌘R1
I0(⌘R1)
I1(⌘R1)(8.16)
A dedução completa de (8.16) é deixada como exercício.
167
8.2 Impedância Externa para Condutores e Solo Ideais
Antes de apresentar a impedância externa por unidade de comprimento no caso ondehá perdas, calculamos aqui os valores da matriz de impedância por unidade de compri-mento quando tanto o condutor como o solo são admitidos ideais. Para tanto, conside-remos uma linha trifásica com um condutor por fase e sem cabos pára-raios. O solo éconsiderado plano e os condutores retilíneos e horizontais, conforme a disposição apre-sentada na Fig. 8.2. Os condutores são supostos homegêneos de raio r = 0, 01 m, commaterial de permeabilidade magnética relativa igual a 1. O solo também possui µ = µ0.Considere uma seção transversal da linha, muito afastada de seus terminais em que astensões transversais, em relação ao solo, e as correntes nas três fases são de seqüênciapositiva. O valor de pico das tensões é de 200 kV e das correntes é de 500 A. A freqüênciado sistema é 60 Hz. Considere tamém um ponto w conforme mostrado na figura.
Ar
7 m 7 m
10 m
5 m
4 m
w
Solo
Figura 8.2: Configuração de uma linha de transmissão sem perdas.
Considerando a aproximação quase estacionária, atendendo aos valores dos parâme-tros do condutor e do solo, a relação entre a matriz de cargas por unidade de comprimento,q, e a matriz de tensões transversais u é muito aproximadamente dada por
q = C u
u = D q
D =
1
2⇡✏P
(8.17)
onde ✏ é a permitividade do ar, e a matriz P nada mais é que a matriz de coeficientes depotencial de Maxwell que é dada por
P = log
2
64
2h1r1
R012
R12
R013
R13R0
21R21
2h2r2
R023
R23R0
31R31
R032
R32
2h3r3
3
75 (8.18)
onde hi é a altura do condutor i, ri é o raio do condutor i, Rij é a distância entre ocondutor i e o condutor j. A matriz de capacitância, C, por unidade de comprimento, é
168
dada por
C = 2⇡✏P�1 (8.19)
ou simplesmente C = 2⇡✏ ˜C. Portanto, sendo Ek o campo elétrico E na superfície docondutor k tal que Ekn é a componente ortogonal a essa superfície de Ek e cujo valormédio (no espaço ao longo do perimetro ao longo do perímetro do condutor é ˆEkn, temos
ˆEkn =
2
4E1n
E2n
E3n
3
5=
q
2⇡✏r=
˜Cu
r(8.20)
Ao considerar o solo ideal podemos utilizar o método das imagens, logo há na verdadeseis condutores ao invés de simplesmente três. As cargas por unidade de comprimentonos condutores 1 a 6 são respectivamente
2
6666664
q1q2q3q4q5q6
3
7777775=
2
6666664
q1q2q3�q1�q2�q3
3
7777775= 2⇡✏ r
2
6666664
E1n
E2n
E3n
�E1n
�E2n
�E3n
3
7777775(8.21)
Naturalmente, para este sistema temos
6X
k=1
qk = 0
Passamos a ter um conjunto de três pares de cargas, e para cada par de cargas há umacarga qe por unidade de comprimento em linha de carga paralela ao condutor, a umadistância b desse eixo, e a imagem dessa carga em relação à superfície cilíndrica docondutor, constituída por uma linha de carga a uma distância a do eixo, com carga porunidade de comprimento qi = �qe, tal que o conjunto das duas cargas lineares originaum campo em que uma equipotencial coincide com a superfície do condutor, conformeilustrado a seguir. O potencial ', no ar, associado ao par de cargas lineares em questão,de densidades lineares qi = �qe, qe, em ponto genérico de coordenadas (x, y) é dado por
' =
qi2⇡✏
log
s(x� b)2 + y2
(x� a)2 + y2
!=
qi4⇡✏
log
(x� b)2 + y2
(x� a)2 + y2(8.22)
O campo elétrico correspondente no ar é
E = �r' = � qi2⇡✏
✓x� b
(x� b)2 + y2� (x� a)
(x� a)2 + y2
◆ˆx+
✓y
(x� b)2 + y2� y
(x� a)2 + y2
◆ˆy
�
(8.23)
169
y
ab
r
qi qe
x
Figura 8.3: equipotencial associada ao condutor
sendo ˆx, ˆy os vetores unitários segundo os eixos de coordenadas x e y, representado naFig. 8.3. Consideremos um ponto genérico na superfície do condutor G definido por umângulo ↵, sendo ↵ = 0 o ponto na reta que une as duas cargas. Nesse ponto temos
E = � qi2⇡✏
✓r cos↵� b
(r cos↵� b)2 + (r sin↵)2� r cos↵� a
(r cos↵� a)2 + (r sin↵)2
◆ˆx
+
✓r sin↵
(r cos↵� b)2 + (r sin↵)2� r sin↵
(r cos↵� a)2 + (r sin↵)2
◆ˆy
�
(8.24)
A componente de E ortogonal à superfície do condutor, En é
En = Ex cos↵+ Ey sin↵ =
=
qi2⇡✏ r
1��rb
�2
1� 2rb cos↵+
�rb
�2(8.25)
A expressão em (8.25) pode ser escrita de forma simplificada En =
qi2⇡✏ rF (↵)
F (↵) =1�
�rb
�2
1� 2rb cos↵+
�rb
�2
Para (r/b) ⌧ 1,
F (↵) ⇡ 1 +
2r
bcos↵
Consideremos, agora, um segundo sistema de coordenadas, dado por eixos deslocados deum ângulo � em relação a eixo cartesiano original dado por (x, y). Temos para o campona superfície externa do condutor, associado ao par de cargas qi, qe
En =
qi2⇡✏ r
F (↵,�) (8.26)
170
φi
qe
x
y
b
a
r q
Figura 8.4: equipotencial associada ao condutor para um segundo eixo de coordenadas
onde
F (↵,�) =1� (r/b)2
1� (2r/b)2 cos(↵� �) + (r/b)2
Supondo, como no caso anterior, (r/b) ⌧ 1
F (↵,�) = 1 +
2r
bcos(↵� �)
En ⇡ qi2⇡✏ r
✓1 +
2r
bcos(↵� �)
◆(8.27)
Portanto, para o conjunto de pares de cargas k, j que definem o campo na vizinhanáexterna do condutor k, temos na superfície externa do condutor k, uma componenteEn(k,↵) ortogonal à superfície do condutor, do campo E,
En(k, alpha) =6X
j=1
qkjw⇡✏ r
✓(1 +
2r
bkjcos(↵� �kj)
◆(8.28)
Lembrando que no caso de (8.28) j 6= k. Para k = 1, temos
bkj =
2
66664
b12b13b14b15b16
3
77775=
2
66664
7
14
20p449p596
3
77775(8.29)
qkj =
2
66664
q12q13q14q15q16
3
77775=
2
66664
�q2�q3�q4�q5�q6
3
77775(8.30)
171
�kj =
2
66664
�12�13�14�15�16
3
77775=
2
66664
0
0
�⇡/2� arctan(20/7)� arctan(20/14)
3
77775(8.31)
8.3 Impedâncias Externa de Condutor Enterrado
Para o cálculo da impedância externa de condutores cilíndricos enterrados, vamosconsiderar, inicialmente, um condutor infinitamente logo, com uma pequena camada iso-lante. A corrente no condutor isolado e retorna pelo solo. O raio do condutor conside-rando o isolante é r. O condutor em si pode ser considerado sem perdas, i.e., ideal, e estáenterrado em solo de permeabilidade magnética µs, condutividade �s e permitividade ✏sconstantes. O ar possui condutividade nula, permeabilidade magnética µ0 e permitivi-dade ✏0 iguais a do vácuo. A Fig. 8.5 apresenta uma descrição desta configuração.
solof,yf)
y2
y1
x
ar
(x
Figura 8.5: Condutor infinito enter-rado
Para uma corrente I percorrendo o condu-tor, a densidade de corrente é dada por
J = I�(x� xf )�(y � yf ) (8.32)
onde xf e yf são as coordenadas do condutor.Os campos são considerados através de funçõesespaciais e temporais cuja relação é a seguinte
F (x, y, t) = T (x, y)G(t)
sendo G(t) uma função harmônica do tipo exp(j!t). A representação temporal é ob-tida através de métodos de transformação inversa considerando os campos modelados nodomínio da freqüência. Portanto podemos escrever, já considerando B = µH e D = ✏E:
r⇥E = �j!µH
r⇥H = J+ j!✏E
r·E = 0
(8.33)
Resolvendo o conjunto de equações em (8.33) em função do campo elétrico e apli-cando a seguinte identidade vetorial
r⇥r⇥ F = rr· F�r2F
e sabendo que J = �E obtemos
�r2E = �(j!µ�E+ !✏E) (8.34)
172
uma vez que a densidade de corrente é unidirecional. O cálculo da impedância de retornopelo solo passa a ser a solução de variante da equação de Poisson bi-dimensional. Deforma compacta podemos dizer que o problema se restringe a resolver
r2E =
1
p2E (8.35)
ondep2 =
1
2=
1
j!µ(� + j!✏)
O parâmetro p pode ser entendido como a profundidade de penetração complexa e nadamais que a constante de propagação do meio. Sendo Ea o campo elétrico (intensidade)no ar, função das coordenadas x e y, e Es o campo elétrico (intensidade) no solo, tambémfunção das coordenadas x e y, podemos dividir o problema em dois sistemas de equações
r2Ea = 0 y1 � 0 (8.36)
r2Es = ⌘2sEs + j!µsI�(x� xf )�(y2 � tf ) y2 � 0 (8.37)
onde tf = �yf , I é a magnitude do filamento de corrente,
⌘s =1
ps=
pj!µs(�s + j!✏s)
e � é a função impulso de Dirac associada ao filamento. As condições de fronteira são asseguintes:
Ea = Es = E0 y1 = y2 = 0 (8.38)1
µ0
@Ea
@y=
1
µs
@Es
@y1= � 1
µs
@Es
@y2y1 = y2 = 0 (8.39)
A terceira condição de fronteira é que os campos sejam zero, e.g. Ea = Es = 0 parax ! 1 e y ! 1.
Para a resolução de (8.36) aplica-se a técnica uma transformada bi-dimensional deFourier às coordenadas xy1 (no ar) e xy2 (no solo). Para o eixo x, temos
F (⇠) =
Z 1
1f(x) exp(�j⇠x)dx (8.40)
Para o eixo y1 e para o eixo y2 a transformada seno é aplicada
Fs(�) =
Z 1
0f(y) sin(�y)dy
f(y) =2
⇡
1Z
0
Fs(�) sin(y�)d�(8.41)
173
No ar, utilizamos as coordenadas x e y1
Ea =
Z 1
�1Ea exp(�j⇠x)dx
Ea =
Z 1
0Ea sin(�y1)dy1
(8.42)
Das propriedades da transformada de Fourier, pode-se mostrar que para o eixo x
1Z
�1
@2Ea
@x2exp(�j⇠x)dx = �⇠2
1Z
�1
Ea exp(�j⇠x)dx = �⇠2Ea
1Z
�1
@2Ea
@y2exp(�j⇠x)dx =
@2Ea
@y
(8.43)
Aplicando-se (8.43) a (8.38) leva a
�⇠2Ea +@2Ea
@y2= 0 (8.44)
Aplicando-se a transformada seno de Fourier a y1 leva a
1Z
0
�⇠2Ea sin(�y1)dy! = �⇠2Ea
1Z
0
@2Ea
@y21sin(�y1)dy1 = �E0 � �2Ea
(8.45)
Desta forma podemos reescrever (8.44) como
Ea =
�
⇠2 + �2E0 (8.46)
É necessário agora derivar as expressões das transformadas para o solo onde x e y2são usados como coordenadas
Eg =
Z 1
�1Eg exp(�j⇠x)dx
Eg =
Z 1
0Eg sin(�y2)dy2
(8.47)
Por um processo similar ao apresentado no caso do ar, chegamos as seguintes expressões
�⇠2Es +@2Es
@y22= ⌘2gEs + j!µsI exp(�j⇠x)�(y2 � tf)
(⇠2 + ⌘2 + �2)Es = �E0 � j!µsI exp(�j⇠xf ) sin(�tf )
(8.48)
174
Usando ✓2 = ⇠2 + ⌘2g , podemos reescrever (8.48) como
Es =�
✓2 + �2E0 � j!µgI exp(�j⇠x)
sin(�tf )
✓2 + �2(8.49)
Aplicando-se a inversa da transformada seno de Fourier a (8.46) e a (8.49) leva a
Ea =
2
⇡E0
Z 1
0
� sin(y�)
⇠2 + �2d�
Es =2
⇡E0
Z 1
0
� sin(t�)
✓2 + �2d�� 2
j!µs
⇡I exp(�j⇠xf )
Z 1
0
sin(tf�) sin(t�)
✓2 + �2d�
(8.50)
De acordo com (Gradshteyn & Ryzhisk 2000) para y1 > 0
Z 1
0
� sin(y�)
⇠2 + �2d� =
⇡
2
exp(|⇠|y) (8.51)
e para y2 > 0
Z 1
0
sin(tf�) sin(y2�)
✓2 + �2d� =
⇡
4|✓|(exp(�|y2 � tf ||✓|)� exp(�|y2 + tf ||✓|)) (8.52)
Logo
Ea = E0 exp(�|⇠|y)
Es = E0 exp(�|✓|y2)�j!µsI exp(�j⇠xf )
2|✓| (exp(�|y2 � tf ||✓|)� exp(�|y2 + tf ||✓|))
(8.53)
Utilizando-se a condição de fronteira E0, (vide (8.38)), temos
@Ea
@y1
����y1=0
= � |⇠|E0 exp(�|⇠|y1)��y1=0
= �|⇠|E0
@Es
@y2
����y2=0
= �|✓|E0 exp(�|✓|y2) |y2=0+
�j!µsI exp(�j⇠xf )
2|✓| (|✓| exp(�|y2 � tf ||✓|) + |✓| exp(�|y2 + tf ||✓|)) |y2=0
= �|✓|E0 � j!µsI exp(�j⇠xf ) exp(�tf |✓|)(8.54)
Com isto obtemos para E0
� 1
µ0|⇠|E0 = � 1
µs(�|✓|E0 � j!µsI exp(�j⇠xf ) exp(�tf |✓|)) (8.55)
Explicitando o parâmetro ✓ podemos escrever
E0 = �j!µsI exp(�j⇠xf ) exp
⇣�tf
q⇠2 + ⌘2g
⌘
µsµ0|⇠|+
q⇠2 + ⌘2g
(8.56)
175
Uma vez que o campo E0 é conhecido, os campos no solo e no ar podem ser obtidos pelatransformação inversa de (8.53). Desta forma temos para Ea, ja efetuando a substituiçãode y2 por �y1 e tf por �yf
Ea = �j!µsI
⇡
Z 1
0
exp(�y1⇠ + yfp⇠2 + ⌘2)
µr⇠ +p⇠2 + ⌘2
cos(⇠(x� xf ))d⇠ (8.57)
onde µr é a permeabilidade magnética relativa do solo. Já o campo elétrico no solo édado por
Es = �j!µsI
⇡
Z 1
0
exp
⇣�(y1 + yf )
p⇠2 + ⌘2
⌘
µr⇠ +p⇠2 + ⌘2
cos(⇠(x� xf))d⇠
� j!µsI
2⇡
Z 1
�1
exp
⇣�|� y1 + yf |
p⇠2 + ⌘2
⌘
2
p⇠2 + ⌘2
exp(j(x� xf ))d⇠
+
j!µsI
2⇡
Z 1
�1
exp
⇣�|� y1 � yf |
p⇠2 + ⌘2
⌘
2
p⇠2 + ⌘2
exp(j(x� xf ))d⇠
(8.58)
A impedância externa devido ao retorno pelo solo por unidade de comprimento édada por
Zs = �Es
I(8.59)
Aplicando-se a definição integral da função de Bessel modificada de Bessel de se-gunda espécie, i.e.,
K0 (⌘d) =
Z 1
�1
exp
⇣�ap⇠2 + ⌘2
⌘
2
p⇠2 + ⌘2
exp(j⇠b)d⇠ (8.60)
onde d =
pa2 + b2 é possivel simplificar (8.59) conforme mostrado abaixo
Zs =j!µsI
2⇡
2
4K0 (⌘r)�K0 (⌘D) + 2
Z 1
0
exp
⇣�2h
p⇠2 + ⌘2
⌘
µr⇠ +p⇠2 + ⌘2
cos(⇠ r)d⇠
3
5
(8.61)
onde D =
p4h2 + r2, sendo h a profundidade do cabo enterrado e r o seu raio. A
expressão em (8.61) é idêntica à fórmula de impedância de retorno pelo solo para ca-bos enterrados desenvolvida por Pollaczek em meados da década de 1920. O caso daimpedância mútua para cabos enterrados é deixado como exercício.
176
8.4 Formulação das Matrizes Unitárias para Linhas de Trans-missão
Para a representação correta das linhas de transmissão é necessário o cálculo do efeitoda variação da freqüência nos seus parâmetros unitários, a saber a impedância longitudi-nal e a admitância transversal, ambas por unidade de comprimento.
A matriz de impedância por unidade de comprimento Z para o caso geral de umcircuito de transmissão onde há n-fases, pode ser dividida em três partes, asaber:
Z = Zi + Ze + Zs (8.62)
sendo Zi relaciona-se com a impedância interna dos condutores cilíndricos por unidadede comprimento, Ze é a matriz de impedância espacial por unidade de comprimentodevido ao meio externo, i.e., supondo condições ideais nos condutores e no solo, e Zs éa matriz de impedância de retorno pelo solo, também por unidade de comprimento.
No caso da matriz de admitância por unidade de comprimento, há duas parcelas.Uma devida ao efeito do acoplamento capacitivo entre as distintas fases e entre as fasese o solo. A outra se deve às perdas ohmicas nos isoladores das fases.
8.4.1 Matriz de Impedância Unitária
Excetuando-se caso onde há efeito de proximidade, a matriz Zi é diagonal e seuselementos são dados por (8.14) no caso de condutores cilíndricos tubulares e por (8.16))no caso de condutores cilíndricos sólidos.
A matriz Ze tem sua formulação apresentada na seção 8.2 deste capítulo. Já a ma-triz Zs representa a impedância de retorno pelo solo por unidade de comprimento e foielaborada por Carson no início do século passado. A expressão dos elementos de Ze ésimilar ao caso do cabo enterrado é deixada como exercício. Apresentamos aqui apenasas expressões finais. Os elementos próprios da matriz Ze são dados pela equação (8.63)e os mútuos, pela equação (8.64),
zextii =j!µ0
2⇡ln
2hir
+
j!µ0
⇡Js (8.63)
zextij =j!µ0
2⇡ln
Dij
dij+
j!µ0
⇡Jm (8.64)
onde hi é a distância vertical entre o condutor i e o solo, Dij é a distância entre o condutori e a imagem do condutor j, dij é a distância entre o condutor i e o condutor j, Js e Jmsão dados respectivamente por (8.65) e (8.66).
Js =
Z 1
0
exp(�2hi�)
�+
p�2 + ⌘2
d� (8.65)
177
Jm =
Z 1
0
exp(�(hi + hj)�)
�+
p�2 + ⌘2
cos (dij �) d� (8.66)
Uma alternatica à solução das integrais é o emprego do métodos das imagens deslo-cado de uma distância complexa p =
p⇢solo/(j!µ). Nesse caso, os elementos da matriz
Ze são dados por (8.67)
z0extii =j!µ0
2⇡ln
2(hi + p)
r
z0extij =j!µ0
2⇡ln
sx2ij + (hi + hj + 2p)2
x2ij + (hi � hj)2
! (8.67)
onde xij é a distância horizontal entre o condutor i e o condutor j.
8.4.2 Matriz de Admitância Unitária
A matriz de admitância para uma linha de transmissão aérea é dada por
Y = G+ j!C (8.68)
onde G é uma matriz diagonal representando as perdas nos isoladores e a matriz decapacitância por unidade de comprimento é dada por (8.19).
8.5 Formulação das Matrizes Unitárias de Cabos Subterrâ-neos
No cálculo de parâmetros de um cabo elétrico coaxial, também conhecido como cabo“Single-core” é necessário formular as matrizes de impedância e admitância por unidadede comprimento a partir das leis de Kirchoff das malhas e dos nós. Para ilustrar esteprocedimento apresentamos em detalhe o cálculo da matriz de impedância e admitânciapor unidade de comprimento para um cabo enterrado contendo blindagem e armadura.Nestes cálculos o solo é admitindo como sendo um bom condutor, i.e. �s >> !✏s,onde �s é a condutividade e ✏s é a permitividade do solo. O caso geral de n cabosenterrados no solo, incluindo o caso onde deve ser considerado o efeito de proximidadeentre condutores próximos é tratado nos exercícios.
8.5.1 Matriz de Impedância Unitária para Cabos Enterrados
Para o cálculo das impedâncias de um cabo enterrado considere a Fig. 8.6 onde émostrado, de forma esquemática, a seção lateral da parte inferior de um cabo subterrâneo,contendo condutor, isolante, blindagem e armadura. De acordo com a figura, fazemostambém as seguintes hipóteses com relação as correntes circulantes:
178
• I2 = �Ic , I3 = �I4 e I5 = �IS , onde IS é a corrente circulante no solo, e Ic acorrente no condutor central;
• Ib = I2 + I3 = �(Ic + I4) , Ia = I4 + I5 = I4 � Is;
• I4 = �(Ic + Ib)
desta forma, a corrente circulante no solo pode ser expressa em função das correntes queadentram os outros condutores conforme mostra (8.69), e de acordo com a referência desinal da Fig. 8.6
IS = �(Ic + Ib + Ia) (8.69)
dx
34V34
V12 + dV12
+ dV23
+ dV34
I5
I4
I3
I2
Zisol3
11Z
Zbi
Z
Z
Zai
Zae
be
am
Zisol1
Zisol2
Zbm
Ic
Ia
Ib
Is
V12
V23V23
V
Figura 8.6: Formulação da matriz de impedâncias de um cabo subterrâneo
Aplicando-se a lei das tensões de Kirchoff podemos escrever a seguinte equação paraa queda de tensão entre condutor central e blindagem, V12 (obedecendo a notação utili-zada na Fig. 8.6):
V12 = Z11Icdx� Zisol1I2dx� ZbiI2dx� ZbmI3dx+ V12 + dV12 (8.70)
179
Rearranjando os termos da equação acima e lembrando que I2 = �Ic, podemos escrevera equação da tensão no trecho dx para a tensão V12. Caso o processo seja repetido paraas outras tensões V23 e V34 podemos escrever:
�dV12
dx= (Z11 + Zisol1 + Zbi)Ic + ZbmI3
�dV23
dx= (Zbe + Zisol2 + Zai)I4 + ZbmIc � ZamIS
�dV34
dx= (Zae + Zisol3 + Zbi)Ic + ZbmI3
(8.71)
Considerando-se o solo como referência, podemos escrever que a tensão na armadura Va,a tensão na blindagem Vb, e a tensão no condutor central Vc são dadas respectivamentepor:
Va = �V34
Vb = �(V23 + V34) = Va � V23
Vc = V12 + Vb
(8.72)
pode-se reescrever as equações das tensões como:
�dVa
dx=(Zae � Zam + Zisol3 + Z0)(Ic + Ib) + (Zae + Zisol3 + Z0)Ia
�dVb
dx=(Zbe � Zbm + Zisol2 + Zai + Zae � 2Zam + Zisol3 + Z0)Ic+
(Zbe + Zisol2 + Zai + Zae � 2Zam + Zisol3 + Z0)Ib+
(Zae � Zam + Zisol3 + Z0)Ia
�dVc
dx=(Z11 + Zisol1 + Zbi + Zbe � 2Zbm + Zisol2 + Zai + Zae � 2Zam + Zisol3)Ic+
(Zbe � Zbm + Zisol2 + Zai + Zae � 2Zam + Zisol3 + Zb)Ib+
(Zae � Zam + Zisol3 + Z0)Ia(8.73)
ou utilizando notação matricial
dV
dx= �ZI (8.74)
onde V é o vetor coluna com as tensões na armadura, na blindagem e no condutor centralrespectivamente, I é o vetor de corrente e Z é a matriz de impedância por unidade decomprimento.
180
8.5.2 Matriz de Admitância Unitária para Cabos Coaxiais
Considerando o circuito equivalente para um comprimento �x conforme mostradona Fig. 8.7 é possível escrever o conjunto de equações
Ic = ycb(Vc � Vs)dx+ Ic + dIc
Ib = ycb(Vs � Vc)dx+ yba(Vs � Va)dx+ Ib + dIb
Ia = yba(Va � Vs)dx+ ya(Va)dx+ Ia + dIa
(8.75)
a
dx
bI +dI
aI +dI
sI +dI
b
a
s
ycb
yba
y
I +dIccc
Ia
Ib
Is
Va
I
Vc
Vb
Figura 8.7: Formulação da matriz de admitância de um cabo subterrâneo
Rearranjando-se os termos de (8.75), podemos escrever
�dIcdx
= ycbVc � ycbVb
�dIbdx
= �ycbVc + (ycb + yba)Vb � ysaVa
�dIadx
= �ybaVs + (yba + ya)Va
(8.76)
ou utilizando notação matricial
dI
dx= �YV (8.77)
181
onde V é o vetor coluna com as tensões na armadura, na blindagem e no condutor centralrespectivamente, I é o vetor de corrente e Y é a matriz de admitância por unidade decomprimento dada pela (8.74).
Y =
2
4ycb �ycb 0
�ycb ycb + yba �yba0 �yba yba + ya
3
5 (8.78)
A matriz de coeficientes de potencial é obtida a partir da inversão da matriz Y apresen-tada acima, e possui a seguinte formulação
P = Y�1=
2
4Pc + Pb + Pa Pb + Pa Pa
Pb + Pa Pb + Pa Pa
Pa Pa Pa
3
5 (8.79)
sendo Pc o coeficiente de potencial devido ao meio isolante entre o condutor central ea blindagem, Pb o coeficiente de potencial devido ao meio isolante entre a parte externada blindagem e a armadura e Pa o coeficiente de potencial devido à armadura e o meioexterno.
8.6 Modelagem de Elementos por Eletrodos
Em diversas aplicações de Engenharia Elétrica, mesmo em regime quase estacioná-rio, é necessário uma modelagem mais concreta do comportamento dos elementos en-volvidos no que tange à representação de campos eletromagnéticos. Podemos citar porexemplo, o caso de cálculo das tensões de toque e passo em malhas de aterramento, emesmo a representação adequada de componentes como torres e cabos contrapesos nocaso de estudos de desempenho de linhas de transmissão.
Consideremos, por exemplo, um condutor em forma cilíndrica de raio r e compri-mento 2a, com material de condutividade muito superior à do meio envolvente, imersoem meio condutor homogêneo, de condutividade �, em regime quase-estacionário, su-pondo desprezível a corrente de deslocamento em relação à corrente de condução. AFig. 8.8 apresenta a configuração estudada, onde o eixo ⇠ coincide com o eixo do condu-tor. Supomos, sujeito a verificações posteriores, que para determinar o campo elétrico nomeio envolvente há no condutor uma distribuição linear e uniforme de corrente injetadano meio envolvente, sendo
i =I
2a(8.80)
a corrente injetada por unidade de comprimento, e onde I é a corrente total injetada pelocondutor no meio envolvente. O diferencial de potencial d� num ponto de coordena-das ⇠, r associado à corrente di injetada no meio envolvente a partir de um elementoinfinitesimal dx do condutor de coordenada x é
d� =
1
4⇡�
dip(x� ⇠)2 + r2
(8.81)
182
a a
ξ
r
Figura 8.8: Condutor singelo imerso em meio condutor
supondo o potencial nulo em pontos infinitamente afastados. O potencial no ponto decoordenadas (x, r) associado à corrente I injetada no meio envolvente é dado por
� =
I
4⇡� 2af(⇠, r) (8.82)
sendo
f(⇠, r) =
aZ
�a
dxp(x� ⇠)2 + r2
= ln
✓r1 + d1r2 � d2
◆(8.83)
onde r1 =
p(a� ⇠)2 + r2, r1 =
p(a+ ⇠)2 + r2, d1 = a � ⇠, d2 = a + ⇠. Na
Fig. 8.9 representam-se algumas equipotenciais em coordenadas relativas, tomando 2acomo unidade, ⇠0 = ⇠/(2a), r0 = r/(2a).
Consideremos a função f(⇠, r) ao longo da superfície do condutor (na qual /phi deveser constante e portanto o mesmo se sucede com f(⇠, r). Para pontos muito afastados daextremidade supomos
2a � r
a� ⇠ � r
⇠ + a � r
183
!1 !0.5 0 0.5 1r’
!1
!0.5
0
0.5
1
Ξ'
Figura 8.9: Equipotenciais de um condutor cilíndrico
de forma que
f(⇠, r) = ln
(
p(a� ⇠)2 + r2 + a� ⇠)(
p(a+ ⇠)2 + r2 + a+ ⇠)
r2
!
= ln
0
BBBB@
(a� ⇠)
"1 +
r1 +
⇣r
a�⇠
⌘2#(a+ ⇠)
"1 +
r1 +
⇣r
a+⇠
⌘2#
r2
1
CCCCA
⇡ ln
✓4(a� ⇠)(a+ ⇠)
r2
◆
⇡ ln
2a
r+ ln
"1�
✓⇠
a
◆2#
(8.84)
Portanto, desde que satisfeitas as condições indicadas, a variação relativa de f(⇠, r) di-minuirá quando r/(2a) ! 0. Nesse caso e se r2 + ⇠2 � a2 e após alguma manipulação
184
algebrica obtemos
f(⇠, r) = ln
2ap⇠2 + r2
!(8.85)
O potencial “médio” ¯�, ou simplesmente num segmento de reta paralelo ao condutor,caracterizado por r constante e ⇠1 < ⇠ < ⇠2 é dado por
=
¯� =
I
4⇡� 2a
1
|⇠1 � ⇠2|F (⇠1, ⇠2, r) (8.86)
onde
F (⇠1, ⇠2, r) = F (⇠2, r)� F (⇠1, r) =
⇠2Z
⇠1
ln
"p(a� ⇠)2 + r2 + (a� ⇠)p(a+ ⇠)2 + r2 � (a+ ⇠)
#d⇠ (8.87)
No caso em questão onde o condutor possui comprimento 2a é limitado pela coor-denadas ⇠ = �a e ⇠ = a. Logo, o potencial médio é diretamente proporcional aF (a,�a, r)/(2a), onde
F (a,�a, r) = 2
r �
p(2a)2 + r2 + a ln
"r2 + 4a (2a+
p(2a)2 + r2)
r2
#!(8.88)
logo, o potencial médio ¯� = é dado por
=
I
4⇡� 2a
2
4 r
2a�r1 +
⇣ r
2a
⌘2+ ln
1 +
q1 +
�r2a
�2
r/(2a)
3
5 (8.89)
No caso de r/(2a) ⌧ 1
=
I
2⇡� 2a
✓ln
4a
r� 1
◆(8.90)
e se r/(2a) � 1
=
I
4⇡� r(8.91)
A resistência própria do condutor Rp é obtida supondo uma corrente I no condutor ecorrente nula em qualquer outro condutor próximo, tal que a tensão U entre o condutore um ponto remoto é
U = RpI
logo, temos
Rp =1
4⇡� a
2
4 r
2a�r1 +
⇣ r
2a
⌘2+ ln
1 +
q1 +
�r2a
�2
r/(2a)
3
5 (8.92)
no caso particular de r/(2a) ⌧ 1 temos
Rp ⇡1
4⇡� a
✓ln
4a
r� 1
◆(8.93)
185
8.6.1 Condutores paralelos
Consideremos, a principio, dois condutores, 1 e 2, cilíndricos paralelos, ambos decomprimento 2a, imersos em meio condutor uniforme e separados de uma distância d. Acondutividade ambos condutores é muito maior que a do meio envolvente. Suponhamosque o potencial �21 do condutor 2 em relação a um ponto muito afastado, com correntenula no condutor 2 e com corrente I injetada no meio envolvente a partir do eixo docondutor 1 e uniformemente distribuída ao longo desse eixo. O valor médio do potencialao longo do eixo do condutor 2, associado a este campo é dado por
21 =¯�21 =
I
4⇡� a
2
4 d
2a�
s
1 +
✓d
2a
◆2
+ ln
1 +
q1 +
�d2a
�2
d2a
3
5 (8.94)
No caso de d/(2a) � 1,
21 =I
4⇡� a
ln
4a
d� 1
�(8.95)
A resistência mútua entre o condutor 1 e o condutor 2 R21 tal que a corrente no condutor1 é I1 = I e a corrente no condutor 2 é nula, é definida por
U2 = R21I1 (8.96)
onde U2 é a tensão entre o condutor 2 e um ponto remoto. Logo
R21 =1
2⇡� 2a
2
4 d
2a�
s
1 +
✓d
2a
◆2
+ ln
1 +
q1 +
�d2a
�2
d2a
3
5 (8.97)
no caso de d/(2a) ⌧ 1
R21 =1
4⇡� a
ln
4a
d� 1
�(8.98)
Consideremos agora dois condutores cilíndricos paralelos, eventualmente não coli-neares de comprimentos L1 = 2a e L2, respectivamente, e de raios R1 e R2 muito in-feriores aos respectivos comprimentos. O arranjo dos condutores, bem como a definiçãodas distâncias envolvidas é representado esquematicamente na Fig. 8.10
Consideremos estes condutores imersos em meio linear, homogêneo, isotropico, einfinito em todas as direções. O meio possui condutividade �, permitividade ✏ e perme-abilidade µ. Supomos que a condutividade do material dos dois condutores é muito su-perior a �. A príncipio, vamos admitir que para uma freqüência f , e pulsação ! = 2⇡ f ,� � !✏. A hipótese quase estacionária também é considerada como sendo válida.
Admitamos, preliminarmente, e sujeita a verificação posterior de validade e limitesde aplicabilidade, a hipótese de considerar o efeito da corrente injetada pelos condutores,no meio envolvente, por meio de uma distribuição de correnete linear e uniforme no eixodos condutores.
186
A1 A2
B1 B2
d11
d21
d12
d22
ξ
η
ξ1 ξ2
a
`21
`22
`11
`12
r
Figura 8.10: Condutores paralelos
Suponhamos injetada no meio externo a partir do condutor 1 uma corrente I, sendonula a corrente entre o condutor 2 e o meio externo. De acordo com as hipóteses consi-deradas a densidade de corrente por unidade de comprimento é dada por i = I/(2a). Opotencial em ponto genérico do meio de coordenadas (⇠, r) arbitrando potencial nulo empontos infinitamente afastados é
� =
i
4⇡�f(⇠, r) =
I
4⇡� 2af(⇠, r) (8.99)
onde
f(⇠, r) =
aZ
�a
dxp(x� ⇠)2 + r2
= ln
p(a� ⇠)2 + r2 + (a� ⇠)p(a+ ⇠)2 + r2 � (a+ ⇠)
(8.100)
O valor médio do potencial associado a este campo, ao longo do eixo do condutor 2 édado por
=
¯� =
I
4⇡� 2a(⇠2 � ⇠1)
⇠2Z
⇠1
f(⇠, ⌘)d⌘
=
I
4⇡� 2a(⇠2 � ⇠1)F (⇠1, ⇠2, a, ⌘)
(8.101)
187
sendo
F (⇠1, ⇠2, a, ⌘) = d11 � d12 � d21 + d22 + ⇠2 lnd22 � `22d12 � `12
+ a lnd22 + `22d21 + `21
+ a lnd12 + `12d11 + `11
� ⇠1 lnd21 � `21d11 � `11
(8.102)
onde `11 = ⇠1 + a , `12 = ⇠2 + a , `21 = ⇠1 � a , `22 = ⇠2 � a , d11 =
p`211 + ⌘2 ,
d12 =p`212 + ⌘2 , d21 =
p`221 + ⌘2 , d22 =
p`222 + ⌘2 , e
�a =
`21 � `112
=
`22 � `122
, a =
`11 � `212
=
`12 � `222
, ⇠1 =`11 + `21
2
, ⇠2 =`12 + `22
2
Sabemos também que devido a geometria do sistema
`11 � `12 � `21 + `22 = 0 (8.103)
Supondo preliminarmente que o potencial �21 do condutor 2 em relação a um pontomuito afastado, com corrente nula no condutor 2, e com corrente I injetada no meioenvolvente, a partir do condutor 1, é igual ao valor médio do potencial ao longo do eixodo condutor 2, na ausência do condutor 2, e com corrente I injetada no meio envolvente,a partir do eixo do condutor 1, e uniformemente distribuída ao longo desse eixo.
O valor médio do potencial ao longo do eixo do condutor 2, associado a este campoé dado por 21.
21 =I
4⇡� 2a(⇠2 � ⇠1)F (⇠1, ⇠2, a, ⌘) (8.104)
Seja R21 resistência mútua entre o condutor 1 e o conduor 2, tal que, com correnteI1 = I no condutor 1, e corrente nula no condutor 2 (e em outros eventuais condutores),a tensão U2, entre o condutor 2 e um ponto remoto é dada de forma similar aos casosanteriores
U2 = R21I1 (8.105)
Nas hipóteses indicadas, temos
R21 =1
4⇡� 2a(⇠2 � ⇠1)[d11 � d12 � d21 + d22
+`11 ln(d11 � `11)� `12 ln(d12 � `12)� `21 ln(d21 � `21) + `22 ln(d22 � `22)]
(8.106)
8.6.2 Condutores ortogonais
Consideremos, agora, dois condutores ortogonais, não coplanares, de comprimentosrespectivamente L1 = 2a e L2 de forma cilíndrica circular, e de raios R1 e R2 muitoinferiores aos respectivos comprimentos. O condutor 1 situa-se entre os pontos A1 eA2, e o condutor 2 está entre B1 e B2, conforme mostrado na Fig. 8.11. Consideremos
188
12d
22d21d
A1
A2
B1
B2
11d
ξ
ζ
η
Figura 8.11: Condutores ortogonais
que os condutores estão imersos no mesmo meio e com as mesmas condições dos casosanteriores. O sistema de coordenadas (⇠, ⌘, ⇣) adotado é tal que o eixo ⇠ coincide com ocondutor 1, o eixo ⇣ é paralelo ao condutor 2, e o eixo ⌘ é transversal ao ponto médio docondutor 1.
Suponhamos injetada no meio externo, a partir do condutor 1, uam corrente I, sendonula a corrente entre o condutor 2 e o meio externo. Suponha também que a densidade decorrente, por unidade de comprimento é do tipo i = I/(2a). O potencial em ponto gené-rico no meio, de coordendas (⇠, ⌘, ⇣) arbitrando potencial nulo em pontos infinitamenteafastados.
� =
I
4⇡� 2aln
p(a� ⇠)2 + ⌘2 + ⇣2 + (a� ⇠)p(a+ ⇠)2 + ⌘2 + ⇣2 � (a+ ⇠)
(8.107)
O valor médio do potencial � é obtido a partir da integração do entre os pontos ⇣1 e ⇣2, deforma análoga ao apresetado no item anterior. Efetuando-se um procedimento idênticoao do item anterior temos a seguinte expressão para a resistência mútua.
R21 =1
4⇡� 2a(⇣2 � ⇣1)
⌘
✓arctan
⇠2⇣2⌘d22
� arctan
⇠1⇣2⌘d12
� arctan
⇠2⇣1⌘d21
+ arctan
⇠1⇣1⌘d11
◆
� ⇠2 ln⇣2 + d22⇣1 + d21
+ ⇠1 ln⇣2 + d12⇣1 + d11
+ ⇣2 ln�⇠2 + d22�⇠1 + d21
+ ⇣1 ln�⇠2 + d21�⇠1 + d11
�
(8.108)
189
onde ⇠1 = ⇠ + a, ⇠2 = ⇠ � a e
d11 =q⇠21 + ⌘2 + ⇣21 d12 =
q⇠21 + ⌘2 + ⇣22
d21 =q⇠22 + ⌘2 + ⇣21 d22 =
q⇠22 + ⌘2 + ⇣22
8.7 Propagação de ondas em condutor fino sobre solo com per-das
Nessa seção apresentamos o caso de um condutor muito fino, i.e., o diâmetro docondutor pode ser considerado desprezível face as outras dimensões do circuito, comocomprimento do mesmo, e altura do condutor. O solo é considerado real, possuindo per-das e a componente !✏s não é desprezada. Para tanto, considere a seguinte configuração:
• Condutor fino ideal de raio a colocado em meio de permitividade ✏1 = ✏r1✏0,permeabilidade µ1 = µr1µ0 e condutividade �1, onde ✏0 é a permitividade dovácuo e µ0 a permeabilidade do vácuo. O condutor possui altura constante h eé paralelo a interface do meio com a terra. Aqui o solo também é consideradohomogêneo e unforme com parâmetros ✏2, µ2, �2.
Este tipo de problema foi originalmente solucionado por Carson em 1926 para o casode sistemas de telefonia. Mais tarde esse resultado foi amplamente empregado na solu-ção dos sistemas de transmissão de energia. Uma característica interessante é que emsistemas de potência, as freqüência envolvidas são tais que permitem admitir o compor-tamento quase-estacionário. Pois, a altura dos condutores é sempre muito menor que ocomprimento total do circuito de transmissão, sendo também muito menor que o compri-mento de onda da freqüência industrial. Anos mais tarde, em meados de 1950, Kikuchiapresentou uma solução mais acurada do comportamento dos campos, empregando umaexpansão asintótica para a resolução da equação modal. O objetivo deste trabalho erainvestigar a transição do comportamento quase-estacionário para o caso de onda super-ficial. A partir do trabalho de Kikuchi, Wait publicou uma expressão para o comporta-mento modal a partir dos vetores de Hertz. Essa solução pode ser considerada “exata”, nosentido que parte da hipótese do comportamento tridimensional dos campos envolvidos.A utilização dos vetores de Hertz permite separar as equações de Maxwell associadas aosmodos TM e TE.
No domínio da freqüência, a propagação de corrente ao longo do condutor é excitadopor uma fonte externa expressa como
I(x) = I0 exp(��z) (8.109)
onde � = j� é a constante de propagação do circuito a ser determinada, uma vez quedepende das condiçções de contorno, i.e, altura do condutor e características do meio. Osvetores de Hertz, ⇧E e ⇧H em ponto genérico (x, y, z), assumem as seguintes expressões
190
no ar
⇧E(x, y, z) = � j!µ1
4⇡ k21I0 exp(�j� z)
1Z
�1
(exp(�u1 |y � h|) +Re(�) exp(�u1 |y + h|)) exp(�jx�)
u1d�
⇧H(x, y, z) = � j!µ1
4⇡ k21I0 exp(�j� z)
1Z
�1
RH(�) exp(�u1 |y + h|)exp(�jx�)
u1d�
(8.110)
Os termos RE e RH são calculados a partir das condições de continuidade dos camposnas fronteiras entre os meios e são dados por
RE(�) = �1 + u12k12
k21 � �2
✓1
u1 + u2� �2
k22u1 + k21u2
◆(8.111)
RH(�) =2k12��
j!µ1(k21 � �2)
✓1
u1 + u2� �2
k22u1 + k21u2
◆(8.112)
Nas expressões acima u1 =p�2 + �2 � k21 , u2 =
p�2 + �2 � k22 , sendo k1 (cons-
tante de propagção do meio ‘1’) e k2 (constante de propagação do meio ‘2’) dadas por
k1 =p!2µ1✏1 � j!µ�1
k2 =p!2µ2✏2 � j!µ�2
A restrição em relação às constantes dos meios está no fato que a parte real de ambasdeve ser positiva.
Para o solo temos os seguinte vetores
⇧Es(x, y, z) = � j!µ1
4⇡ k21I0 exp(�j� z)
1Z
�1
REg(�) exp(�u1 h+ u2 y)exp(�jx�)
u1d�
⇧Hs(x, y, z) = � j!µ1
4⇡ k21I0 exp(�j� z)
1Z
�1
RH(�) exp(�u1 h+ u2 y)exp(�jx�)
u1d�
(8.113)
onde
REs(�) = u12k12
k22 � �2
✓1
u1 + u2� �2
k22u1 + k21u2
◆(8.114)
RHs(�) = � 2�� k12
j!µ1(k22 � �2)
✓1
u1 + u2� �2
k22u1 + k21u2
◆(8.115)
191
Considerando µ2 = µ1 é possível obter uma expressão para o campo elétrico emponto genérico (x, y, z) através das integrais de Sommerfeld. A constante de propagaçãopode então, ser obtida através da solução da seguinte equação
� =
pZ Y (8.116)
onde
Z =
j!µ1
2⇡(⇤+ 2Q)
Y =
�1 + j!✏12⇡
1
⇤+ 2M
(8.117)
sendo
⇤ = K0
✓j aqk21 � �2
◆�K0
✓j 2h
qk21 � �2
◆
Q =
1Z
0
exp(�2u1 h)
u1 + u2cos(a�)d�
M =
1Z
0
exp(�2u1 h)k22k21
u1 + u2cos(a�)
(8.118)
Temos, portanto, um conjunto de equações integrais a ser resolvido para a determina-ção da constante de propagação. Infelizmente, a solução de equações integrais ainda éum assunto árido, e pouco pesquisadores têm se dedicado a este tipo de solução, prefe-rindo abordagens baseadas ou em aproximações ou em expansões em série das integraise solução da equação modal usando Newton-Raphson ou um outro método similar.
As expressões em (8.117) são reduzidas àquelas apresentadas por Carson se:
aqk21 � �2 ⌧ 1
2hqk21 � �2 ⌧ 1
2h ⌧ a
k1h ⌧ 1
����k21k22
����⌧ 1
Nesse caso é possível representar as funções de Bessel por aproximações em série depotência para pequenos argumentos, a integral Q se reduz a integral de Carson, videeq.(8.65), e a integral M pode ser desprezada.
8.8 Problemas
1. Considere um condutor toroidal cuja superfície externa é constituída pelos pontosa distância a de uma circunferência de raio R, sendo a ⌧ R. Determine o campo
192
associado a este condutor em regime quase estacionário, em condições de simetriacilíndrica, e analise a aplicação do resultado obtido ao cálculo de campo em con-figurações com simetria cilíndrica, considerando os aspectos indicados nos quatroitens a seguir.
2. Considere um eletrodo de terra constituído por condutor de cobre de raio r dispostoem dois anéis circulares de raios R1 e R2 paralelos ao solo e a profundidades H1,H2 estando os centros dos dois anéis na mesma reta vertical. Suponha o solo uni-forme linear e homogêneo, com permitividade ✏s e condutividade �s, e permeabi-lidade magnética µs. Considere injetada no solo, a partir do eletrodo, uma correntei, com retorno a grande distância do eletrodo. Suponha, em alternativa, regimeestacionário (corrente contínua, i = 1) e regime quase estacionário, alternado defreqüência f , sendo
i =p2I cos(2⇡ft)
Considere r = 0, 01 m, R1 = 4 m, R2 = 6 m, H1 = 0, 5 m, H2 = 1 m,I = 100 A, ✏s = 200✏0, �s = 0, 0001 S/m, µs = µ0, f = 60 Hz. Determine,nestas condições:
(a) A tensão do eletrodo, em relação a um ponto remoto;
(b) A potência total dissipada no solo;
(c) A distribuição de potencial e de campo elétrico na superfície do solo;
(d) A distribuição de J e de potência dissipada por unidade de volume, no solo
3. Análise a aplicação da solução analítica acima obtida para determinação de cam-pos com simetria cilíndrica. Para aplicação numérica, considere a distribuiçãode campo elétrico na vizinhança de um eletrodo cilíndrico oco, de raio internoR1 = 1 m, raio externo R2 = 1, 2 m e comprimento L = 1 m, imerso num meiolinear, homogêneo e isotrópico. Admita regime estacionário.
4. Considere uma linha trifásica com um condutor por fase e dois cabos pára-raiose suponha condutores cilíndricos e paralelos ao solo, suposto plano e horizon-tal. Seja rf o raio externos dos condutores de fase de índices 1, 2, 3 e rt o raioexterno dos cabos pára-raios de índices 4, 5. Seja h1 a distância do eixo do con-dutor i ao solo e yi a distância algébrica do eixo do condutor i a um plano ver-tical paralelo à linha (i = 1, 2 . . . 5). Admita que rf ⌧ hi rt ⌧ hi, rf ⌧p(yi � yj)2 + (hi � hj)2,
rf ⌧p(yi � yj)2 + (hi � hj)2, sendo i = 1 . . . 5, j = 1 . . . 5, e j 6= i
(a) Determine a matriz de coeficientes de potencial, a matriz de capacitância ea matriz de admitância transversal para grandezas alternadas de freqüênciaf , todas por unidade de comprimento da linha e referidas explicitamente aoscinco condutores, discutindo os erros conseqüentes das hipótese simplificati-vas admitidas, incluindo as expressamente mencionadas acima e outras queeventualmente sejam admissíveis para a maioria das aplicações.
193
(b) Repita o item anterior, agora considerando os cabos pára-raios aterrados.
(c) Determine o potencial escalar � e o campo elétrico E no ar, represente gra-ficamente o perfil do campo elétrico na superfície do solo e na superfícieexterna dos condutores. Para aplicação numérica, considere a altura dos con-dutores de fase de 15 m e altura dos cabos pára-raios de 22 m. O espaçamentoentre fases é de 10 m, e os cabos pára-raios distam 7 m da fase central.
(d) Considerando a geometria da linha de transmissão do item anterior, analiseo comportamento, em função do tempo, do campo elétrico na superfície dosolo, na superfície externa dos condutores e num ponto genérico no ar.
5. Considere um cabo isolado representado por um condutor central cilíndrico de raioR1 = 10 mm, um isolamento entre os raios R1 e R2 = 20 mm, e um condutorexterno entre os raios R2 e R3 = 22 mm. Suponha que o condutor interno temcondutividade �1 = 55.106 S/m, permitividade relativa ✏r1 = 20, permeabilidaderelativa µri = 1, o condutor externo tem condutividade �2 = 4, 7.106 S/m, per-mitividade relativa ✏r2 = 20 e permeabilidade relativa µr2 = 1, e o isolante temcondutividade �i = 10
�15 S/m, permitividade relativa ✏ri = 2, 5 e permeabilidademagnética relativa µri = 1. Todos estes parâmetros são constantes. Considereregime alternado de freqüência f = 60 Hz e uma seção transversal do cabo, muitoafastada das extremidades, com tensão u entre os dois condutores, corrente i nocondutor central e corrente �i no condutor externo. O cabo é envolvido por ar emuito afastado de outros elementos com cargas ou corrente.
(a) Determine em função da freqüência f a capacitância, a susceptância e admi-tância transversais unitárias. i.e. por unidade de comprimento do cabo;
(b) Determine em função de f a indutância, a resistência e a impedância lon-gitudinais unitárias, do isolante, do condutor interno, do condutor externo etotais.
(c) Considere a expressão analítica da impedância longitudinal unitária total, nahipótese de meio isolante ideal (�i = 0) e condutores ideais (�1 = �2 = 1).Analise a hipótese de considerar meios não ideais usando, formalmente, aexpressão anterior mas com parâmetros geométricos fictícios em geral com-plexos. Defina esses parâmetros fictícios em função dos parâmetros geomé-tricos reais, dos parâmetros do meio isolante e dos dois condutores, e de f .Particularize, simplificando o resultado anterior para valores elevados de f epara valores reduzidos de f , discutindo os erros conseqüentes das simplifica-ções consideradas. Discuta a generalização deste tipo de procedimento paracálculo e interpretação do comportamento de conjuntos de condutores.
194
Referências Bibliográficas
Butkov, E. (1988), Física Matemática, LTC Editora.
Dettman, J. W. (1962), Mathematical Methods in Physics and Engineering, Dover Inc.
Fano, R. M., Adler, R. B. & Chu, L. J. (1960), Electromagnetic fields, energy, and forces,Wiley.
Feynman, R. P., Leighton, R. & Sands, M. (1964), The Feynman Lectures on Physics,Vol. II, Addison Wesley.
Gradshteyn, L. S. & Ryzhisk, L. M. (2000), Table of Integrals, Series and Products, sixthedn, Academic Press. Translated from the Russian by Scripta Technica, Inc.
Harrington, R. F. (1993), Field Computation by Moment Methods, IEEE Press Series onElectromagnetic Waves, IEEE Press, New York.
Harrington, R. F. (2001), Time-Harmonic Electromagnetic Fields, The IEEE Press Serieson Electromagnetic Wave Theory, IEEE Press, Piscatawat, NJ. Reissue of 1961edition.
Jackson, J. D. (1999), Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons.
Kress, R. (1989), Linear Integral Equations, Springer-Verlag, New York.
Kreyszig, E. (1993), Advanced Engineering Mathematics, Wiley.
Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1984), Electrodynamics of Continuous Media, Vol. 8 ofCourse of Theoretical Physics, Pergamon Press. Fourth revised English Edition.
Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1987), The Classical Theory of Fields, Vol. 2 of Courseof Theoretical Physics, Butterworth-Heinemann. Fourth revised English Edition.
Lebedev, N. N. (1972), Special Functions and their applications, Dover Publications,Inc., New York.
195
Maxwell, J. C. (1954), A Treatise on Electricity & Magnetism, Vol. 2 vol., Dover Pu-blications, Inc. republication of the third edition published by Clarendon Press in1891.
Portela, C. (1983), Regimes Transitórios, COPPE/UFRJ–ELETROBRAS.
Riley, K., Hobson, M. & Bence, S. (1998), Mathematical Methods for Physics and Engi-neering, Cambridge University Press.
Slater, J. C. & Frank, N. H. (1969), Electromagnetism, Dover, New York. republicationof the work originally published in 1947 by Mc-Graw Hill.
Smythe, W. R. (1950), Static and Dynamic Electricity, McGraw-Hill.
Stratton, J. A. (1941), Electromagnetic Theory, McGraw-Hill Co.
Trott, M. (2004), The Mathematica Guidebook for Graphics, Springer.http://www.mathematicaguidebooks.org/.
Trott, M. (2005), The Mathematica Guidebook for Numerics, Springer.http://www.mathematicaguidebooks.org/.
196
