Carlos Alex Souza da Silva

Campos tensoriais anti-simetricos de

materia em espacos curvos

Fortaleza

16 de Julho de 2007

Carlos Alex Souza da Silva

Campos tensoriais anti-simetricos de

materia em espacos curvos

Dissertacao submetida a Coordenacao doCurso de Pos-Graduacao em Fısica, da Uni-versidade Federal do Ceara, como requisitoparcial para a obtencao do grau de Mes-tre em Fısica

Orientador:

Ricardo Renan Landim de Carvalho

universidade federal do ceara - Departamento de Fısica

Fortaleza

16 de Julho de 2007

Carlos Alex Souza da Silva

Campos tensoriais anti-simetricos demateria em espacos curvos

Dissertacao submetida a Coordenacao doCurso de Pos-Graduacao em Fısica, da Uni-versidade Federal do Ceara, como requisitoparcial para a obtencao do grau de Mes-tre em Fısica

Aprovada em 16 de Julho de 2007

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Ricardo Renan Landin de Carvalho(Orientador)

Universidade Federal do Ceara

Prof. Dr.Carlos Alberto dos Santos AlmeidaUniversidade Federal do Ceara

Prof. Dr. Dionısio Bazeia FilhoUniversidade Federal da Paraıba

A memoria de JoaoMuritiba

Agradecimentos

Foram muitas as pessoas que me apoiaram de forma direta ou indireta no desenvolvi-mento desse trabalho. Por isso tentarei fazer meus agradecimentos da forma mais geralpossıvel para que nao cometa nenhuma injustica.

A Deus.

A minha famılia, a qual amo muito.

Aos irmaos da Igreja Batista de Nova Metropole.

A Fundacao Cearence de Apoio ao Desenvolvimento Cientıfico e Tecnologico-FUNCAP pelo suporte financeiro, que tornou possıvel a realizacao deste tra-balho.

Ao Professor Ricardo Renan Landim de Carvalho por ter me orientado nestetrabalho.

Ao Professor Carlos Alberto dos Santos Almeida, por seus conselhos e incen-tivos.

Aos colegas e professores do curso de pos-graduacao pelo apoio e fraternidade.

Aos colegas de graduacao e professores da UECE.

Aos funcionarios do Departamento de Fısica da UFC, que sempre estao pron-tos a nos ajudar.

Resumo

E feita uma analise da teoria de Avdeev-Chizhov para os campos tensoriais anti-simetricos de materia em um espaco-tempo curvo. Mostra-se que em um cenario dessetipo, assim como no espaco de Minkowski, a teoria de Avdeev-Chizhov pode ser formuladacomo uma teoria do tipo λϕ4 para um campo ”auto-dual complexo”. Verifica-se que istosimplifica em muito o estudo dos campos de materia em um espaco-tempo com curvatura.Calculamos o tensor momentum-energia e, no final, resolvemos as equacoes de Einsteinpara o campo de materia em um espaco-tempo do tipo Schwarzschild.

Abstract

An analysis about the antisymmetric tensor matter fields Avdeev-Chizhov theory ina curved spacetime is performed. We show, in a curved spacetime , that the Avdeev-Chizhov theory can be seen as a kind of a λϕ4 theory for a ”complex self-dual”field. Thisrelationship between Avdeev-Chizhov theory and λϕ4 theory simplify the study of tensormatter fields in a curved space-time. The energy-momentum tensor for matter fieldsis computed, and we solve the Einstein’s equations for matter fields in a Schwarzschildmetric

Sumario

INTRODUCAO p. 11

1 CAMPOS TENSORIAIS ANTI-SIMETRICOS p. 13

1.1 O campo tensorial de gauge abeliano no espaco-tempo de Minkowski . p. 14

1.2 O campo tensorial de materia no espaco-tempo de Minkowski . . . . . p. 15

1.2.1 O modelo de Avdeev-Chizhov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

1.3 Analise classica do hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 17

1.4 Interpretacao geometrica do campo tensorial de materia . . . . . . . . . p. 20

1.4.1 O campo tensorial auto-dual complexo no espaco-tempo de Min-

kowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20

1.4.2 Construindo uma acao para o campo auto-dual complexo . . . . p. 22

1.4.3 Acoplamento do campo auto-dual complexo com fermions de Dirac p. 24

1.4.4 O modelo tensorial de materia como uma teoria λϕ4 . . . . . . . p. 25

2 ELEMENTOS DE RELATIVIDADE GERAL p. 28

2.1 Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

2.1.1 Transformacao de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

2.1.2 Vetores contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.1.3 Invariantes.Vetores covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

2.1.4 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

2.1.5 Tensor de metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

2.1.6 Sımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

2.1.7 Diferenciacao covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32

2.1.8 Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

2.2 O tensor de curvatura de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35

2.2.1 O tensor e o escalar de Ricci; o tensor de Einstein . . . . . . . . p. 36

2.3 O princıpio da equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

2.4 O princıpio da covariancia geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

2.5 As equacoes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

2.5.1 Derivacao das equacoes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

2.5.2 Propriedades das equacoes de Einstein . . . . . . . . . . . . . . p. 43

2.5.3 Condicoes de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 44

2.6 A metrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

3 CAMPOS TENSORIAIS DE MATERIA EM ESPACOS CURVOS p. 49

3.1 Condicao de auto-dualidade complexa em espacos curvos . . . . . . . . p. 50

3.2 O modelo tensorial de materia como uma teoria λϕ4 em espacos curvos p. 51

3.3 Tensor momentum-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

3.4 Campos tensoriais de materia em um espaco-tempo do tipo Schwarzschild p. 56

3.4.1 Construindo um cenario esfericamente simetrico . . . . . . . . . p. 56

3.4.2 Construindo um cenario estatico . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 58

3.4.3 Tensor momentum-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 60

3.4.4 Resolucao das equacoes de Einstein para os campos de materia . p. 61

CONCLUSAO p. 64

Apendice A -- Matrizes e espinores de Dirac p. 65

A.1 Matrizes e espinores de Dirac no espaco de Minkowski . . . . . . . . . . p. 65

A.2 Espinores em espacos-tempo curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 66

A.2.1 Tetradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 67

A.2.2 Espinores de Dirac em espacos curvos . . . . . . . . . . . . . . . p. 68

Apendice B -- Campos tensoriais anti-simetricos com simetria esferica p. 69

B.1 Rotacoes infinitesimais de uma esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 69

B.2 Campos tensoriais anti-simetricos com simetria esferica . . . . . . . . . p. 70

B.3 A polarizacao do campo Tµν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 73

Referencias p. 75

Trabalhos publicados e em preparacao referentes a dissertacao

Para facilitarmos a compreencao dos resultados obtidos, os quais deram origem a esta

dissertacao, segue a lista dos trabalhos publicados e em preparacao:

C.A.S.Silva and R.R. Landim, ”Antisymmetric Tensor Matter Fields in a Cur-

ved Space-time” hep-th/0710.0679.

C.A.S.Silva and R.R. Landim, ”Antissymetric Tensor Matter Fields in a Schwarzs-

child Space-time”(em preparacao).

11

INTRODUCAO

Surgindo primeiramente como campos de gauge (1), os campos tensoriais anti-simetricos

tem sido objeto de estudos ao longo dos anos . Eles aparecem em teorias de supergravi-

dade em varias dimensoes (2) e na teoria de campos efetiva de baixas energias, derivadas

das cordas relativısticas (3), alem de terem um importante papel na construcao de teorias

topologicas (4–7), como os modelos BF. Os campos tensoriais anti-simetricos encontram

espaco, tambem, no estudo de teorias do tipo conforme (8), onde novamente podemos

citar a supergravidade(9). Estes, entretanto, possuem invariancia conforme e por isso

nao podem ser vistos como campos de gauge. Assim, devemos trata-los como campos de

materia.

Em 1994, L.V. Avdeev e M.V. Chizhov (10) propuseram um modelo simples para

campos tensoriais anti-simetricos de materia de segunda ordem no espaco tempo de Min-

kowski. O trabalho de Avdeev e Chizhov (10) abriu o caminho para novas investigacoes a

respeito dos campos tensoriais anti-simetricos, ja que mostrou a possibilidade de criarmos

uma teoria de campos tensoriais que nao sejam de gauge. Em 1996, V. Lemes, R.R. Lan-

dim e S.P. Sorella (11) mostraram que a teoria de Avdeev-Chizhov pode ser vista como

uma teoria do tipo λϕ4 para um campo tensorial anti-simetrico complexo ϕµν , satisfazendo

uma condicao de autodualidade complexa (ϕµν = iϕµν), onde ϕµν = 12εµναβϕ

αβ e εµναβ e

o tensor de Levi-Civita. Esta condicao fixa univocamente as contracoes de Lorentz para o

tensor na lagrangeana ϕ4, reproduzindo deste modo a acao de Avdeev-Chizhov (10). Isto

possibilitou, de forma bastante simples, a generalizacao da teoria para o caso nao-abeliano

(11).

O objetivo do nosso trabalho consiste em investigar a relacao entre a teoria de Avdeev-

Chizhov e λϕ4 em um espaco-tempo quadridimensional (3+1) curvo. Dessa forma, testa-

remos, primeiramente a validade da condicao de autodualidade complexa em um espaco-

tempo com curvatura e, apos, verificaremos se a acao para o campo complexo reproduz,

neste contexto, a acao de Avdeev-Chizhov. Como veremos, teremos uma resposta posi-

tiva para as indagacoes acima, e como resultado disto, conseguiremos, de forma bastante

simples, generalizar a teoria de Avdeev-Chizhov para espacos-tempo com curvatura.

A dissertacao e organizada como segue. No primeiro capıtulo faremos uma revisao

12

sobre as propriedades dos campos tensoriais anti-simetricos e dos aspectos classicos do

modelo tensorial de materia, incluindo as suas propriedades geometricas. No segundo

capıtulo, faremos uma breve revisao de alguns topicos de Relatividade Geral que serao

necessarios para o desenvolvimento da teoria em espacos curvos. No terceiro capıtulo,

investigaremos a relacao entre Avdeev-Chizhov e λϕ4 em espacos com curvatura, calcula-

remos o tensor momentum-energia para o campo de materia e, no final, como um exemplo

da teoria, resolveremos as equacoes de Einstein para o mesmo campo em um espaco-tempo

do tipo Schwarzschild. A dissertacao possui ainda dois apendices. O primeiro apresenta

uma breve revisao sobre espinores de Dirac em espacos curvos e o segundo uma revisao

sobre campos tensoriais anti-simetricos com simetria esferica.

13

1 CAMPOS TENSORIAISANTI-SIMETRICOS

Os campos tensoriais anti-simetricos foram introduzidos na literatura em 1968 por

V. I. Ogievetsky e I. V. Polubarinov (1), e encontraram grande utilizacao em teorias de

supergravidade (3, 12). Mais recentemente os campos tensoriais foram estudados sob o

ponto de vista topologico, sendo obtidos invariantes topologicos que generalizam o numero

de lincagem tridimensional (5). Outros resultados interessantes sao o da geracao de massa

topologica para os campos de gauge abelianos sem o mecanismo de Higgs (13), e de que

os campos tensorias nao-abelianos possuem uma estrutura supersimetrica (14). Entre-

tanto estes campos possuem uma particularidade: sao campos de gauge. Se for dada uma

dinamica para estes campos, o propagador nao e definido, isto e possuem modos zeros,

e e necessario usar uma fixacao de gauge da mesma maneira que se faz para a teoria de

Yang-Mills, por exemplo.

Em 1994 L. V. Avdeev e M. V. Chizhov apresentaram um modelo de teoria de campo

abeliano de gauge, formulado no espaco-tempo de Minkowski, o qual apresentava simetria

conforme, de forma que, os campos tensoriais anti-simetricos descritos por ela, deveriam

ser vistos, agora, como campos de materia e nao como campos de gauge. Uma das im-

portantes propriedades apresentada por este modelo e que a constante de acoplamento

de calibre adquire liberdade assintotica, isto e sua funcao β e negativa, resultado ate

entao desconhecido para teorias abelianas (15). Esta relevante propriedade motivou in-

vestigacoes posteriores(11).

Este capıtulo e dividido como segue. Na primeira secao faremos uma exposicao a

nıvel classico sobre o campo tensorial de gauge abeliano livre em quatro dimensoes. Na

segunda secao faremos um resumo dos resultados obtidos por L. V. Avdeev e M. V.

Chizhov sobre o campo tensorial de materia. Na secao seguinte introduziremos o campo

auto-dual complexo, e construimos, posteriormente, uma acao para o mesmo, acoplando-o

ao campo de gauge Aµ e aos fermions de Dirac. Finalizando, reproduziremos, na ultima

secao, o resultado obtido em (11) de que o modelo do campo tensorial de materia pode

14

ser visto como uma teoria do tipo λϕ4 para um campo anti-simetrico auto-dual complexo

no espaco-tempo de Minkowski.

1.1 O campo tensorial de gauge abeliano no espaco-

tempo de Minkowski

O ponto de partida na construcao da acao livre do campo tensorial de gauge abeliano

no espaco-tempo de Minkowski e fazer uma analogia com a acao do campo de gauge

abeliano Aµ. O campo Aµ e substituido por um campo anti-simetrico de segundo rank

Bµν e a curvatura Fµν = ∂µAν − ∂νAµ e extendida a uma curvatura completamente anti-

simetrica de tres ındices Hµνσ = ∂[µBνσ]. Usando o fato de que ∂µ∂ν = ∂ν∂µ, podemos

generalizar a simetria de gauge do campo Aµ ao campo Bµν :

δBµν = ∂µΛν − ∂νΛµ, (1.1)

onde Λµ e um parametro vetorial local. A acao do campo Bµν renormalizavel por power-

counting 1 e invariante sob a transformacao de gauge 1.1 e dada por (13):

SB =∫d4x

1

6HµνσH

µνσ, (1.2)

que e a generalizacao do termo de Maxwell.

Em contrapartida a acao do campo de gauge Aµ, que descreve dois graus de liberdade

fısicos, a acao 1.2 descreve apenas um grau de liberdade (13). Para vermos isso, notemos

que Hµνσ tem (43) = 4 componentes independentes. Como consequencia podemos escrever

Hµνσ em termos de um vetor quadrimensional hρ

Hµνρ = εµνρσhσ, (1.3)

onde εµνσρ e o tensor de Levi-Civita. Como Hµνσ = ∂[µBνσ], obtemos para o campo hµ:

hσ = −1

6εµνρσ∂

[µBνρ], (1.4)

onde usamos o fato de que εµνρσεµνρα = −6δσα.2 Tomando a divergencia de hσ na equacao

1Um modelo e renormalizavel por power-counting se as constantes de acoplamento possuem dimensoesde massa nao negativa, limitada pela dimensao do espaco-tempo.

2No apendice A expomos as notacoes, convencoes e todas as identidades usadas no decorrer da dis-sertacao.

15

1.4, temos ∂σhσ = 0. Por outro lado, a equacao de movimento do campo Bµν

∂σHµνσ = εµνσρ∂σhρ = 0, (1.5)

nos diz que, devido ao teorema de Poincare, o campo hµ pode ser escrito como hµ = ∂µφ, e

como hµ tem divergencia nula, isto implica que ∂2φ = 0. Isto mostra que a acao do campo

de gauge tensorial livre 1.2, descreve partıculas sem massa e com um grau de liberdade

dado pelo campo escalar φ.

No caso geral, sendo B um campo anti-simetrico de rank P emD-dimensoes, o numero

de graus de liberdade para o caso livre e dado por(

D−2P

). Por exemplo para P = 1 e

D = 4 (que corresponde ao campo Aµ) temos (21) = 2 graus de liberdade. No caso em

que o campo B interage com outros campos, este nao possui mais somente um grau de

liberdade. Devido aos termos de acoplamentos o campo B passa a ter tres graus de

liberdade (13). Citamos, por exemplo, o acoplamento do campo Bµν com o tensor de

curvatura de gauge Fµν sem o termo cinetico, isto e∫d4xεµνρσBµνFρσ. (1.6)

Esta acao, conhecida como teoria BF , possui propriedades topologicas e foi ampla-

mente estudadas nos ultimos anos (4, 14).

1.2 O campo tensorial de materia no espaco-tempo

de Minkowski

1.2.1 O modelo de Avdeev-Chizhov

O modelo originariamente proposto por Avdeev-Chizhov (10) consiste de um campo

tensorial anti-simetrico de segundo rank acoplado ao campo de gauge abeliano axial Aµ e a

campos espinoriais de Dirac, sendo um acoplamento do tipo Yukawa com estes espinores.

A acao total do modelo e dada por (10)

Sinv =∫d4x

{ 1

4g2FµνF

µν + iψγµ∂µψ − ψγµγ5Aµψ +1

2(∂λTµν)

2

− 2(∂µTµν)2 + 4Aµ

(T µν∂λTλν − T µν∂λTλν

)+ 4

(1

2(AλTµν)

2 − 2(AµTµν)2)

+ yψσµνTµνψ +

q

4

(1

2(TµνT

µν)2 − 2TµνTνρTρλT

λµ)}

(1.7)

16

onde (g, y, q) sao constantes de acoplamentos e Tµν = −Tνµ e um tensor de segundo rank

anti-simetrico. Observa-se que o acoplamento dos espinores com o campo Aµ e do tipo

quiral devido a presenca da matriz γ5. Temos ainda a presenca do tensor de Levi-Civita

num dos termos de acoplamento de A com T . O tensor dual Tµν e definido como

Tµν =1

2εµνρσT

ρσ , (1.8)

1

2εµνρσT

ρσ = −Tµν .

Nos usamos a metrica do espaco-tempo de Minkowski com ηµν = diag(+ − −−) e deno-

tamos σµν = i2[γµ, γν ]. A acao 1.7 e deixada invariante pelas transformacoes de gauge

(10)

δAµ = ∂µω , (1.9)

δψ = −iωγ5ψ ,

δψ = −iωψγ5 ,

δTµν = −2ωTµν ,

e pelas transformacoes discretas de paridade PP e de conjugacao de carga CC (16):

i) Paridade PP

x → xp = (x0,−xi) , i = 1, 2, 3 (1.10)

ψ → ψp = γ0ψ

A0 → Ap0 = −A0 , Ai → Ap

i = Ai

T0i → T p0i = −T0i , Tij → T p

ij = Tij .

ii) Conjugacao de carga CC

ψ → ψc = CψT , C = iγ0γ2 , (1.11)

Aµ → Acµ = Aµ ,

Tµν → T cµν = −Tµν .

Note que as transformacoes de paridade dos campos sao do tipo axial devido a presenca

do tensor ε e da matriz γ5.

17

O termo cinetico do campo tensorial Tµν nao e degenerado, pois o propagador 〈Tµν(−p) Tαβ(p)〉pode ser facilmente calculado e nao requer a introducao de termos apropriados de fixacao

de calibre para Tµν :

〈Tµν(−p) Tαβ(p)〉 =i

p2Πµν αβ(p),

Πµν αβ(p) =1

2(gµαgνβ − gµβgνα)

− gµαpνpβ + gνβpµpα − gµβpνpα − gναpµpβ

p2,

Πµν ρσ(p) Πρσ αβ(p) =1

2(gµαgνβ − gµβgνα) .

Esta propriedade mostra que o campo anti-simetrico Tµν da acao de Avdeev-Chizhov

1.7, e realmente um campo tensorial de materia. Observando a forma do propagador,

conclui-se que o campo Tµν tem dimensao ultra-violeta 1. Dispomos na tabela abaixo as

dimensoes dos campos e das constantes de acoplamentos do modelo:

Aµ ψ Tµν g y qdim 1 3/2 1 0 0 0

Tabela 1: Dimensao dos campos e das constantes de acoplamento

Como podemos ver da tabela acima o modelo e renormalizavel por power-counting.

1.3 Analise classica do hamiltoniano

Nesta secao faremos um resumo sobre a positividade do hamiltoniano livre do modelo

do campo tensorial de materia, proposto por Avdeev-Chizhov (10), a nıvel classico. O

hamiltoniano da parte livre da acao 1.7 e dado por:

H =∫d4x

[(∂0A)2 − (∂iA)2 + 2(∂iAi)

2 + (A → B)], (1.12)

onde o tensor Tµν foi decomposto em um vetor tridimensional Ai = T0i e um pseudo-

vetor Bi = 12εijkTjk. Para tornar mais explıcita as partes transversais e longitudinais

que contribuirao para o hamiltoniano, e conveniente usar a representacao de momentum.

Fazemos entao uma transformada de Fourier nas componentes Ai e Bi do campo tensorial

Tµν :

A(x) =∫d4xeikxA(k), B(x) =

∫d4xeikxB(k). (1.13)

18

Escolhemos um sistema de referencia mutuamente ortogonal ei, onde o versor e3 e tomado

na direcao longitudinal, e3 = k/|k|. Neste sistema especıfico de coordenadas A(k) =

ai(k)ei, e B(k) =bi(k)ei. Usando esta decomposicao a parte livre da acao 1.7 fica:

S = 2π∫d4k

{ 2∑i=1

[a∗i (k)(k

20 + k2)ai(k) + b∗i (k)(k

20 + k2)bi(k)

]+2k0|k|[a∗1(k)b2(k) + b∗2(k)a1(k)− a∗2(k)b1(k)− b∗1(k)a2(k)]

+a∗3(k)(k20 − k2)a3(k) + b∗3(k)(k

20 − k2)b3(k)

}. (1.14)

Fazendo as seguintes transformacoes nas amplitudes ai e bi

a1(k) = 1√2[c1(k) + d2(k)], a2(k) = 1√

2[c2(k) + d1(k)], a3(k) = c3(k);

b1(k) = 1√2[d1(k)− c2(k)], b2(k) = 1√

2[d2(k)− c1(k)], b3(k) = d3(k) ,

obtemos uma expressao diagonalizada de 1.14:

S = 2π∫d4k

[c∗1(k)(k0 − |k|)2c1(k) + c∗2(k)(k0 + |k|)2c2(k)

+c∗3(k)(k0 − |k|)(k0 + |k|)c3(k)(c→ d)]. (1.15)

A variacao da acao 1.15 nos leva as seguintes equacoes de movimento para os coeficientes

(ci, di)

(k0 − |k|)2c1(k0,k) = 0, (k0 + |k|)2c2(k0,k) = 0,

(k0 − |k|)(k0 + |k|) c3(k0,k) = 0, (1.16)

com mesmas solucoes para di(k). As solucoes mais gerais de 1.16 sao

c1(k0,k) = δ(k0 − |k|) c1(k) + δ′(k0 − |k|) c1(k),

c2(k0,k) = δ(k0 + |k|) c2(k) + δ′(k0 + |k|) c2(k),

c3(k0,k) = δ(k0 − |k|) c3(k) + δ(k0 + |k|) c3(k), (1.17)

onde a derivada da funcao delta que aparece em 1.17 e com respeito a k0. Os coeficientes de

1.17 nao sao todos independentes, devido a restricao dos campos A(x) e B(x) serem reais.

Pode-se mostrar que c3 e d3 e todas as amplitudes com ındices 2 nao sao independentes.

E importante analisarmos detalhadamente as solucoes dadas pela equacao 1.17. As

solucoes c3(k0,k) e d3(k0,k) que sao do setor longitudinal, possuem apenas a funcao δ, e

levam a solucoes tipos ondas planas no espaco das configuracoes. O hamiltoniano neste

19

setor de solucoes e positivo definido

H+ =∫d3k 4k2(c∗3(k)c3(k) + d∗3(k)d3(k)), (1.18)

e portanto as solucoes longitudinais tem significado fısico. As solucoes transversas pos-

suem um termo com a derivada da delta. Estes tipos de solucoes crescem linearmente

com o tempo no espaco das configuracoes e consequentemente nao possuem interpetracao

de ondas planas. O hamiltoniano nao e positivo definido no setor transverso

H− =∫d3k

{2c∗1(k) c1(k)− 2|k| [c∗1(k) c1(k) + c∗1(k) c1(k)] + (c→ d)

}. (1.19)

Note que se nao existisse a solucao em δ′, H− seria nulo, e consequentemente o hamiltoni-

ano seria positivo definido, sendo dependente apenas do setor longitudinal, como podemos

ver de 1.18. Estas solucoes, bem diferentes das ondas planas, nao possuem ainda um sig-

nificado fısico definido. Pode-se argumentar, junto com os proprios autores, que estas

solucoes por nao serem limitadas no infinito temporal, nao podem ser interpretadas em

termos de partıculas e portanto nao deveriam ser consideradas. Apenas dois graus de

liberdade longitudinais contribuiriam para a dinamica do modelo. Isto levaria a quanti-

zar somente as solucoes de tipo onda plana. Sem duvida, a correta interpretacao fısica

das solucoes que crescem linearmente com o tempo necessita ainda de futuras reflexoes e

pesquisas.

E importante salientar as principais diferencas entre os modelos dos campos tensori-

ais de materia e dos campos de gauge tensoriais (1). Como podemos observar, o campo

tensorial de materia admite uma interacao com fermions e uma auto interacao (o termo

quartico em 1.7) o que nao ocorre com o campo de gauge tensorial (1). Outro ponto

importante e quanto ao termo cinetico. No caso do tensor de materia o propagador e bem

definido enquanto que no caso do tensor de gauge necessita-se de uma fixacao de gauge

para se obter o propagador. O termo cinetico da acao do campo de gauge tensorial escrito

em termos do campo Bµν e dada por (1)

SB = −∫d4x

( 1

4(∂λBµν) ∂

λBµν − 1

2(∂µB

µλ) ∂νBνλ

). (1.20)

A primeira vista os termos cineticos de 1.7 e 1.20 sao praticamente os mesmos. Mas

como podemos observar ha um coeficiente relativo de 1/4 entre os dois termos que cons-

tituem o termo cinetico para o caso de materia e de 1/2 para o caso de gauge. Este fator

20

e a diferenca vital entre os dois modelos. A parte livre da acao 1.7 admite ainda uma

invariancia conforme (17).

Em contrapartida ao campo de gauge tensorial, que possui apenas um grau de liber-

dade on-shell, o campo tensorial de materia tem dois graus de liberdade on-shell, que sao

as componentes longitudinais do vetor A e do pseudo-vetor B. Uma outra observacao e

que, decorrente da imposicao da positividade do hamiltoniano e da simetria de gauge, o

campo tensorial descreve partıculas relativısticas sem massa (10).

1.4 Interpretacao geometrica do campo tensorial de

materia

Nas secoes anteriores foi apresentado um novo tipo de interacao envolvendo um campo

tensorial anti-simetrico de materia, o qual era diferente do campo tensorial de gauge

introduzido ha alguns anos (1). Este modelo, proposto em 1994 por Avdeev-Chizhov (10),

apesar de seu carater abeliano, possui liberdade assintotica para o acoplamento de calibre.

Nesta secao faremos um estudo no sentido de entendermos os aspectos matematicos que

conduzam a uma formulacao puramente geometrica do modelo, a qual, entre outras coisas,

possibilitou a construcao nao-abeliana do mesmo (11).

A primeira observacao a ser feita e que o campo tensorial Tµν pode ser visto como

componente de um campo complexo ϕµν anti-simetrico que satisfaz a uma condicao de

”auto-dualidade complexa” no espaco-tempo de Minkowski (11). Com esta propriedade,

que depende da assinatura do espaco-tempo em que a teoria e formulada, mostraremos

que o modelo do campo tensorial de materia pode ser reformulado como uma teoria do

tipo λϕ4.

1.4.1 O campo tensorial auto-dual complexo no espaco-tempode Minkowski

Antes de entrarmos em detalhes sobre a condicao de auto-dualidade complexa, faremos

uma breve revisao sobre as propriedades e notacoes que serao usadas no decorrer deste

capıtulo. Vamos trabalhar no espaco-tempo de Minkowski, cuja metrica e dada por ηµν

= diag(+ − −−). O tensor de Levi-Civita εµνρσ no espaco-tempo de Minkowski tem as

seguintes propriedades (16) (18):

21

εµ1µ2µ3µ4εν1ν2ν3ν4 = −δ[ν1

µ1...δν4]

µ4, (1.21)

εµνρσερστω = −2(δµτ δ

νω − δµ

ωδντ ) , (1.22)

com a normalizacao

ε1234 = 1 , ε1234 = −1 . (1.23)

Para um tensor de segundo rank anti-simetrico qualquer, e facil ver da equacao 1.22 que

˜ηµν = −ηµν , (1.24)

o que impossibilita a existencia de tensores auto-duais no espaco-tempo de Minkowski. A

solucao e estender a condicao de auto-dualidade, interpretando-a como uma equacao de

auto-valores do operador εµνρσ envolvendo um tensor anti-simetrico complexo ϕµν :

ϕµν = λϕµν , (1.25)

onde λ e uma constante complexa. Levando em conta a equacao 1.24, vemos facilmente

que λ = ±i, sendo i a unidade imaginaria. Portanto no espaco-tempo de Minkowsky

temos uma condicao de auto-dualidade complexa 3 ϕµν :

ϕµν = iϕµν . (1.26)

A condicao de auto-dualidade complexa 1.26 e facilmente resolvida. Escrevendo ϕµν

em termos de suas componentes reais e imaginarias,

ϕµν = Tµν + iRµν , (1.27)

e substituindo em 1.26, nos temos:

ϕµν = Tµν + iTµν . (1.28)

Esta equacao nos mostra explicitamente que o tensor ϕµν tem seis componentes indepen-

dentes apesar de ser um tensor de segundo rank complexo.

3Por convencao escolhemos o sinal positivo do auto-valor λ. Os resultados independem desta escolha.

22

1.4.2 Construindo uma acao para o campo auto-dual complexo

Como o campo ϕµν e complexo, ou seja um campo com carga nao-nula, a acao que

descreve este campo deve ser invariante sob o grupo U(1). Desejamos construir um modelo

renormalizavel com o campo auto-dual complexo ϕµν que permita o acoplamento com o

campo de gauge abeliano Aµ. Usaremos a transformacao fundamental de um campo de

materia sob o grupo local U(1) para o campo tensorial ϕµν

δϕµν = iαϕµν , δϕµν∗ = −iαϕµν

∗ , (1.29)

sendo ϕ∗µν o complexo conjugado de ϕµν . A derivada covariante e construıda segundo o

procedimento padrao

Dσϕµν = ∂σϕµν − iAσϕµν , (1.30)

de modo que se transforme covariantemente como 1.29

δ(Dσϕµν) = iα(Dσϕµν) , δ(Dσϕµν)∗ = −iα(Dσϕµν)

∗ , δAµ = ∂µα . (1.31)

A acao mais geral renormalizavel por power-counting e invariante pelas transformacoes

U(1) dos campos (eq.1.29), deve ser da forma:

S =∫d4x

((Dϕ)∗(Dϕ) +

m2

4ϕ∗ϕ+

q

8(ϕ∗ϕ)2

), (1.32)

onde a estrutura de ındices de Lorentz foi omitida, de modo a se compor de maneira mais

geral levando em conta o carater quiral do campo ϕµν dado pela equacao 1.28.

Primeiramente, vamos analisar o termo de massa ϕ∗ϕ. Desde que nenhum ındice de

Lorentz deve ficar livre, a unica contracao possıvel para este termo e

m2

4ϕµν∗ϕµν . (1.33)

Para verificarmos como o termo de massa se comporta sob a condicao de auto-dualidade

complexa do tensor ϕµν , usaremos uma importante propriedade valida para qualquer

tensor auto-dual complexo no espaco-tempo de Minkowski. Seja O um operador qualquer

ϕ∗µνOϕµν = ϕµνOϕ∗µν =

1

4εµναβεµνλδϕαβOϕ∗λδ

= −ϕ∗λδOϕλδ, ⇒ ϕ∗µνOϕµν = 0 . (1.34)

Usando a propriedade mostrada acima com O = 1, vemos que, devido a condicao de

auto-dualidade complexa do campo ϕµν , o termo de massa nao existe.

A mesma analise pode ser feita para o termo cinetico e devido a 1.34 o unico termo

23

nao nulo e ∫d4xDµϕ∗

µνDρϕρν , (1.35)

modulo integracao por partes.

Para finalizarmos a estrutura dos ındices de Lorentz da acao 1.32, resta analisar o

termo de auto-interacao. Da equacao 1.34 vemos que o termo ϕµν ∗ϕµνϕαβ ∗ϕαβ nao

existe. Ha tres termos possıveis que podem contribuir para a auto-interacao. Estes sao:

i)ϕ∗µνϕαβϕ∗µνϕαβ, ii)ϕ∗µνϕαβϕ∗

ναϕβµ, iii)ϕ∗µνϕναϕ∗αβϕβµ. (1.36)

Entretanto estes termos sao completamente equivalentes devido a 1.26 e a seguinte iden-

tidade, valida em quatro dimensoes:

εαβµνTρλ... + εραβµTνλ... + ενραβTµλ... + εµνραTβλ... + εβµνρTαλ... = 0, (1.37)

onde Tρλ... e um tensor qualquer. Vamos provar a equivalencia entre os termos de 1.36.

Consideremos os termos i) e ii):

ϕ∗µνϕαβϕ∗µνϕαβ = −iϕ∗µνϕαβϕ∗

µνϕαβ = − i2εµνλσϕ

∗µνϕαβϕ∗λσϕ

αβ (1.38)

Usando a identidade 1.37 nos ındices µ, ν, λ, σ e α, temos

ϕ∗µνϕαβϕ∗µνϕαβ = i

2ϕ∗µνϕαβϕ∗λσ(εαµνλϕαβ + εσαµνϕλβ) (1.39)

+ i2ϕ∗µνϕαβϕ∗λσ(ελσαµϕνβ + ενλσαϕµβ)

= 4ϕ∗µνϕαβϕ∗ναϕβµ.

A equivalencia entre os termos i) e iii) e verificada usando o mesmo procedimento

acima. Portanto, ficamos apenas com um termo de auto-interacao

ϕ∗µνϕναϕ∗αβϕβµ (1.40)

Com os resultados obtidos sobre a contracao dos ındices de Lorentz, a acao invariante do

tensor auto-dual complexo ϕµν acoplado ao campo de gauge vetorial abeliano Aµ e dada

por

Sinv = − 14g2

∫d4xFµνF

µν (1.41)

−∫d4x

((Dµϕ

µν)∗(Dσϕσν) +q

8(ϕ∗µνϕναϕ

∗αβϕβµ)), (1.42)

onde incluımos o termo de Maxwell. A acao 1.42 e invariante sob transformacoes U(1)

24

locais e ainda sob a transformacao discreta de paridade:

x→ xp = (x0,−xi) , i = 1, 2, 3 (1.43)

A p0 (xp) = −A0(x) , A p

i (xp) = Ai(x) ,

ϕ p0i (xp) = −ϕ∗

0i(x) , ϕ pij (xp) = ϕ∗

ij(x) .

Na secao seguinte mostraremos que o campo auto-dual complexo ϕµν admite um

acoplamento com fermions de Dirac, compatıvel com a invariancia local U(1).

1.4.3 Acoplamento do campo auto-dual complexo com fermionsde Dirac

Como a dimensao de massa dos fermions de Dirac e 3/2, os unicos termos renorma-

lizaveis por power-counting que se podem construir com os fermions de Dirac e com o

campo auto-dual complexo sao da forma

∫d4x aψσµνψϕ

µν + bψγ5σµνψϕµν + c.c, (1.44)

sendo a, b constantes arbitrarias e c.c o termo complexo complementar.

Podemos mostrar que o segundo termo de 1.44 e equivalente ao primeiro. Para isso

usaremos uma propriedade das matrizes σµν e γ5 valida no espaco-tempo de Minkowski

(16):

iσµν = γ5σµν . (1.45)

Como o campo ϕµν e um campo auto-dual complexo, isto e, obedece a equacao 1.26,

temos

γ5σµνϕµν = iγ5σµνϕ

µν = σµνϕµν . (1.46)

Portanto a interacao mais geral entre os fermions de Dirac e o campo auto-dual complexo

renormalizavel por power-counting e

∫d4xaψσµνψϕ

µν + c.c . (1.47)

Desejamos que o termo em 1.47 seja um invariante, com o campo ϕµν se transformando

sob U(1) local (eq.1.29) e sob a transformacao discreta 1.44. A transformacao do fermion

25

nao pode ser do tipo δψ = iωψ, pois 1.47 nao e invariante sob esta transformacao. A

transformacao do femion deve ser quiral, devido a natureza quiral do tensor ϕµν . Podemos

escrever a transformacao de ψ como

δψ = iωγ5ψ, (1.48)

onde ω e um parametro local. Usando 1.48 e 1.29 em 1.47 temos:

δ∫d4xaψσµνψϕ

µν + c.c =∫d4xa(2iωψγ5σµνψϕ

µν + iαψσµνψϕµν) + δ(c.c) = 0. (1.49)

Usando a identidade 1.45 e facil ver que 1.49 se anula para α = −2ω. Portanto 1.47 e

invariante sob as transformacoes

δψ = − i2αγ5ψ

δψ = − i2αψγ5 (1.50)

δϕµν = iαϕµν .

Como ψσµνψ e real, o termo de interacao fermion-tensor real e invariante sob 1.51 e 1.44

e ∫d4x

1

2y ψσµνψ(ϕµν + ϕ∗µν), (1.51)

sendo y uma constante real, com dimensao de massa nula.

1.4.4 O modelo tensorial de materia como uma teoria λϕ4

Nesta secao mostraremos que a acao do campo auto-dual complexo e completamente

equivalente a acao de Avdeev-Chizhov 1.7. Primeiro vamos escrever a acao completa para

o campo ϕµν com interacao com o campo de gauge Aµ e com os fermions de Dirac

Sinv =∫d4x

{− 1

4g2FµνF

µν + iψγµ∂µψ − ψγµγ5Aµψ (1.52)

−∫d4x

((Dµϕ

µν)∗(Dσϕσν) +q

8(ϕ∗µνϕναϕ

∗αβϕβµ))

+∫d4x

1

2yψσµν(ϕ

∗µν + ϕµν)ψ},

sendo invariante sob as transformacoes:

δAµ = ∂µω , (1.53)

26

δ ψ = −iωγ5ψ ,

δ ψ = −iωψγ5 ,

δ ϕµν = −2iωϕµν .

Escrevendo ϕµν em termos de suas componentes reais e imaginarias Tµν , Tµν e usando as

seguintes identidades

TµλTλν = TµλT

λν +1

2δνµTαβT

αβ , (1.54)

TµλTλν = −1

4δνµ TαβT

βα ,

(1.55)

(∂σTµρ)Tσρ = −1

2Tαβ∂µTαβ − Tµρ∂

σT ρσ ,

Tµρ∂σTσρ = −1

2Tαβ∂µTαβ − (∂σTλµ)T σλ ,

e

Tαβ∂2Tαβ = −2Tαβ∂ν∂

βT να − 2Tαβ∂ν∂βT να , (1.56)

e facil ver que a acao 1.53 e as transformacoes 1.54 se reduzem a

Sinv =∫d4x

(− 1

4g2 FµνFµν + iψγµ∂µψ − ψγµγ5Aµψ +

1

2(∂λTµν)

2 (1.57)

− 2 (∂µTµν)2 + 4Aµ(T µν∂λTλν − T µν∂λTλν)

+ 4 (1

2(AλTµν)

2 − 2(AµTµν)2) + yψσµνT

µνψ

+ q4(1

2(TµνT

µν)2 − 2TµνTνρTρλT

λµ)),

e

δAµ = ∂µω , (1.58)

δψ = −iωγ5ψ ,

δψ = −iωψγ5 ,

δTµν = −2ωTµν ,

que sao a acao de Avdeev-Chizhov e as transformacoes dos campos sob a simetria de gauge,

mostradas anteriormente. Como podemos ver a acao de Avdeev-Chizhov e completamente

equivalente a acao do campo tensorial auto-dual complexo. A parte exclusiva do campo

27

tensorial auto-dual complexo e tipo uma teoria λϕ4. Assim o modelo do campo tensorial

de materia pode ser visto como uma teoria λϕ4 de um campo tensorial que obedece uma

condicao de auto-dualidade complexa. Esta nova interpretacao do modelo possibilitou

fazer a generalizacao nao-abeliana de uma maneira bastante elegante (11), e como veremos

no capıtulo 3, facilitara tambem a sua generalizacao para espacos com curvatura.

28

2 ELEMENTOS DERELATIVIDADE GERAL

Neste capıtulo, faremos uma breve revisao dos conceitos de relatividade geral que

serao necessarios para o desenvolvimento deste trabalho.

2.1 Geometria Riemanniana

2.1.1 Transformacao de coordenadas

Um conjunto de quatro variaveis independentes xµ, onde µ = 0, 1, 2, 3, pode ser con-

siderado como as coordenadas de espaco quadridimensional V4. Cada conjunto de valores

de xµ define um ponto de V4. Seja um outro conjunto de coodenadas x′µ, relacionadas as

primeiras xν , por:

x′µ = fµ(xν) , (2.1)

onde fµ sao quatro funcoes reais independentes de xν . Uma condicao necessaria e su-

ficiente para que fµ seja independente e que seu jacobiano nao zere identicamente. A

equacao (2.1) define uma tranformacao de coodenadas no espaco V4. Desde que o jacobi-

ano e diferente de zero, podemos escrever xµ em termos de x′ν como:

xµ = gµ(x′ν). (2.2)

Uma direcao em um ponto P no espaco V4 e determinada pela diferencial dxµ. A

mesma direcao e determinada em um outro sistema de coodenadas x′ν pela diferencial

dx′µ. As duas diferenciais sao relacionadas, usando (2.1), por

dx′µ =∂x′µ

∂xνdxν =

∂fµ

∂xdxν . (2.3)

29

Aqui foi usada a notacao da soma de Einstein, de acordo com a qual ındices gregos

repetidos sao somados sobre seus valores 0, 1, 2, 3.

2.1.2 Vetores contravariantes

Sejam dois conjuntos de funcoes V µ e V ′µ relacionadas por

V µ =∂x′µ

∂xνV ′µ , (2.4)

similar a forma como dx′µ e dxµ sao relacionados. V µ e V ′µ sao chamadas, entao, de

componentes de um vetor contravariante nos sistemas de coordenadas xµ e x′µ, respecti-

vamente. Assim, quatro funcoes dos x′σ em um sistema de coodenadas podem ser tomadas

como as componentes de um vetor contravariante com componentes em um outro sistema

de coodenadas dadas pela equacao 2.4.1

2.1.3 Invariantes.Vetores covariantes

Duas funcoes f(x) e f ′(x) definem um invariante se elas sao redutıveis uma a outra

por uma transformacao de coodenadas. Seja f uma funcao das coodenadas. Entao,

∂f

∂x′µ= (

∂f

∂xν)(∂xν

∂x′µ). (2.5)

Dois conjuntos de funcoes Vµ e V ′µ sao ditos componentes de um vetor covariante em dois

sistemas x e x′, respectivamente, se eles sao relacionados por uma lei de transformacao

da forma 2.5

V ′µ = (∂xν/∂x′µ)Vν . (2.6)

Por exemplo, se f e uma funcao escalar, entao ∂f/∂xµ e um vetor covariante. Ele e

chamado gradiente de f . O produto V µWµ e um invariante se V e um vetor contravariante

e W e um vetor covariante. Inversamente, se a quantidade V µWµ e um invariante e V µ

ou Wµ sao vetores arbitrarios, entao o outro e um vetor.

1Um vetor contravariante define uma direcao em cada ponto do espaco V4. Sejam V µ as componentesde um vetor contravariante e seja dxµ um deslocamento na direcao de V µ. Entao dx0

V 0 = ... = dx3

V 3 .

Este conjunto de equacoes admite tres funcoes fk(xµ) = ck independentes, onde k = 0, 1, 2, os c′s sao

constantes arbitrarias e a matriz ∂f/∂cν e de terceira ordem. As funcoes fk sao solucoes da equacaodiferencial parcial V ν∂fk/∂xν = 0. Entao usando as leis de transformacao 2.1 e 2.2 nos obtemos V ′k = 0para k = 0,1,2, e V ′3 6= 0. Assim, pode ser escolhido um sistema de coodenadas de forma que todas ascomponentes, menos uma, de um dado vetor contravariante sejam iguais a zero.

30

2.1.4 Tensores

Tensores de determinada ordem sao definidos por generalizacoes das equacoes 2.4 e

2.6. Entao a equacao 2

T ′µ1...µmν1...νn

=∂x′µ1

∂xρ1· · · ∂x

′µm

∂xρm

∂xσ1

∂x′ν1· · · ∂x

σn

∂x′νnT ρ1...ρm

σ1...σn(2.7)

define um tensor misto de ordem m + n, contravariante de ordem m de covariante de

ordem n. Um invariante e um tensor de ordem zero e um vetor e um tensor de ordem

um. Quando a posicao relativa de dois ındices, seja covariantes ou contravariantes, nao e

relevante, o tensor e dito simetrico com respeito a estes ındices. Quando a posicao relativa

de dois ındices de um tensor e trocada e o tensor obtido difere do original somente no

sinal, o mesmo e chamado de anti-simetrico em relacao a estes dois ındices.

2.1.5 Tensor de metrica

Pode-se introduzir em um manifold Riemanniano um tensor covariante de ordem

dois, simetrico, usualmente denotado por gµν , chamado de tensor de metrica, o qual e uma

funcao das coordenadas do espaco-tempo e, devido a sua simetria, possui dez componentes

independentes. O quadrado da distancia entre dois pontos vizinhos no espaco-tempo pode

ser expresso por meio do tensor de metrica:

ds2 = gµνdxµdxν . (2.8)

A expressao acima e algumas vezes chamada de elemento de linha. Espacos Riemannia-

nos sao casos especiais de espacos metricos 3 que possuem elementos de linha na forma

quadratica 2.8. Em nosso trabalho, vamos trabalhar com espacos Riemannianos com as-

2Outras quantidades se transformam de acordo com:

T ′µ...α... = JN ∂x′µ

∂xρ

∂xβ

∂x′α · · ·Tρ...β...

Aqui J e o determinante Jacobiano |∂xα/∂x′β |. T ′µ...α... e chamado de densidade tensorial de peso N. Por

exemplo, se g′ e o determinante de g′µν , entao, g′ = J2g, onde g = detgµν . Entao, para os elementos de

volume quadridimensionais, em dois sistemas de coordenadas, temos:

(−g)1/2d4x = (−g′)1/2d4x′

3Um espaco e dito metrico se nele podemos definir uma distancia escalar entre qualquer par de pontosvizinhos. Exemplos de espacos metricos sao o espaco tridimensional euclidiano da mecanica newtonianae o espaco de Minkowski da relatividade especial

31

sinatura da metrica -2, 4 ou seja, vamos trabalhar com metricas do tipo (+,−,−,−).

Alem do tensor de metrica covariante gµν , podemos tambem definir um tensor de

metrica contravariante gµν . O ultimo e o inverso de gµν . Se considerarmos gµν como uma

matriz, entao, gµν e dado pelo cofator de gµν dividido por seu determinante,

gµν =∆µν

g, (2.9)

onde g e o determinante de gµν ,

g = detgµν (2.10)

e ∆µν e o cofator de gµν . Consequentemente, temos a seguinte relacao entre dos tensores

covariante e contravariante:

gαρgρβ = δβ

α. (2.11)

Podemos, por meio de gµν e gµν levantar e abaixar ındices de tensores ordinarios,

como e mostrado abaixo:5

T µν = gµρT νρ (2.12)

Tρσ = gνσTνρ . (2.13)

Finalmente, e interessante mencionar que o levantamento de ambos os ındices do tensor

covariante gµν tem como resultado o tensor de metrica contravariante:

gµαgνβgαβ = gµν . (2.14)

Da mesma forma, baixando ambos os ındices de gµν , temos como resultado gµν

gαµgβνgµν = gαβ (2.15)

2.1.6 Sımbolos de Christoffel

Dos dois tensores gµν e gµν podemos definir as funcoes:

Γαρσ =1

2(∂gρα

∂xσ+∂gσα

∂xρ+∂gρσ

∂xα) (2.16)

e

Γµρσ = gµαΓαρσ. (2.17)

4A assinatura da metrica e definida como o excesso de sinais positivos em relacao aos negativos.5Uma consequencia dessas relacoes e que, em um espaco Riemanniano, nao temos uma distincao

fundamental entre tensores covariantes e contravariantes.

32

Eles sao simetricos em relacao a ρ e σ, e sao chamados de sımbolos de Christoffel de

primeiro e segundo tipo, respectivamente. Os sımbolos de Christoffel, entretanto, nao sao

componentes de um tensor. Considerando a lei de transformacao para gµν , nao e difıcil

mostrar que Γαρσ se transforma de acordo com a seguinte relacao:

Γ′νµα =

∂xβ

∂x′µ∂xγ

∂x′α∂xδ

∂x′νΓδβγ + gβγ

∂xβ

∂x′ν∂2xγ

∂x′µ∂x′α. (2.18)

Fazendo uso da lei de transformacao para gαβ, chegaremos na lei de transformacao de

Γδβν :

Γ′δβν =

∂x′δ

∂xα

∂xµ

∂x′β∂xσ

∂x′νΓα

µσ +∂x′δ

∂xσ

∂2xσ

∂x′β∂x′ν. (2.19)

De 2.16 nos obtemos:

Γµαµ =

1

2gµν ∂gµν

∂xα. (2.20)

Esta equacao pode ser reescrita em termos do determinante g de gµν . A regra para a

expansao de um determinante leva a formula:

∂g

∂gµν

= ggµν

e, consequentemente:

dg = ggµνdgµν = −ggµνdgµν .

Entao nos temos:

∂αg = ggµν∂αgµν = −ggµν∂αgµν . (2.21)

O uso de 2.21 permiti-nos escrever 2.20 na forma:

Γµαµ = ∂α(ln

√(−g)) (2.22)

2.1.7 Diferenciacao covariante

Temos visto que as derivadas de um invariante sao as componentes de um vetor

covariante. Este e o unico caso, para um sistema mais geral de coordenadas, no qual a

derivada de um tensor e um tensor. Ha expressoes envolvendo derivadas primeiras de

tensores as quais nao sao componentes de um tensor. Para ver isso, vamos proceder da

seguinte forma: Sejam V µ e V ′µ um vetor contravariante em dois sistemas de coodenadas

x e x′. Entao:

V µ = V ′ν(∂xµ/∂x′ν).

33

Diferenciando esta equacao com respeito a xα e usando 2.19, nos obtemos:

∂V µ

∂xα= (

∂V ′ρ

∂x′ν+ V ′σΓ′ρ

σν)∂x′ν

∂xα

∂xµ

∂x′ρ− V ρΓµ

ρα. (2.23)

Vamos, entao, definir um novo objeto, a derivada covariante de V µ por:

∇αVµ = ∂αV

µ + ΓµραV

ρ. (2.24)

E facil ver que a derivada covariante definida acima se transforma como um tensor misto

de segunda ordem:

∇αVµ = ∇νV

′ρ∂x′ν

∂xα

∂xµ

∂x′ρ.

Da mesma forma, podemos definir a derivada covariante de um vetor covariante Vµ por:

∇αVµ = ∂αVµ − ΓµραVρ. (2.25)

Da equacao acima, podemos mostrar que, para o rotacional de um vetor Vµ, nos temos:

∇αVβ −∇βVα = ∂αVβ − ∂βVα. (2.26)

Entao, uma condicao necessaria e suficiente para que a derivada covariante de um vetor

seja simetrica e que o mesmo seja um gradiente. Podemos ainda escrever a derivada

covariante de tensores de segunda ordem:

∇γTαβ =

∂Tαβ

∂xγ+ Γα

γλTλβ + Γβ

γλTαλ (2.27)

∇γTαβ =

∂Tαβ

∂xγ+ Γα

γλTλβ − Γβ

γλTαλ (2.28)

∇γTαβ =∂Tαβ

∂xγ− Γα

γλTλβ − ΓβγλTαλ (2.29)

e de tensores de ordem qualquer:

∇γTα...β... =

∂Tα...β...

∂xγ+ Γα

γλTλ...β... + ...− Γλ

γβTα...λ... − ... (2.30)

A derivada covariante segue algumas regras as quais sao sumarizadas a seguir:

1 A derivada covariante de uma combinacao linear de tensores, com coeficientes constan-

tes, e dada pela combinacao linear das derivadas covariantes de cada tensor.(Linearidade)

34

2 A derivada covariante de produros internos e externos de tensores obedece as mesmas

regras das derivadas ordinarias.

3 A derivada covariante do tensor de metrica e igual a zero:

∇ρgµν = 0 ; ∇ρgµν = 0. (2.31)

Como resultado disso a derivada covariante do determinante da metrica g tambem e nula:

∇µg = 0. (2.32)

4 A derivada covariante do delta de kronecker e igual a zero

∇ρδµν = 0.

5 A derivada covariante de uma funcao escalar φ(x) e igual a sua derivada parcial:

∇µφ(x) =∂φ(x)

∂xµ

. (2.33)

2.1.8 Geodesicas

A equacao diferencial da curva que possui um extremo de comprimento e chamada de

equacao da geodesica. Esta equacao descrevera o movimento de uma partıcula de teste

em um campo gravitacional.

Para encontrar a equacao da geodesica, vamos olhar para as relacoes que devem ser

satisfeitas para que a integral abaixo tenha um valor estacionario:

S =∫Lds, (2.34)

onde os limites de integracao sao tomados como dois pontos fixos. Entao, nos temos de

encontrar a solucao para o problema variacional:

S = δ∫Lds = 0, (2.35)

com a Lagrangeana L dada por:

L =(gµν

dxµ

ds

dxν

ds

)1/2(2.36)

35

e cujo valor e igual a unidade sobre a curva geodesica.

Usando calculo variacional, nos obtemos para a variacao da acao integral 2.64:

δ∫Lds =

∫ [ ∂L∂xµ

δxµ +∂L

∂(dxµ/ds)δ(dxµ

ds

)]ds. (2.37)

O segundo termo da integral acima pode ser escrito como a diferenca de dois termos:

d

ds

[ ∂L

∂(dxµ/ds)δxµ

]− d

ds

[ ∂L

∂(dxµ/ds)

]δxµ , (2.38)

o que pode ser diretamente verificado se usarmos a identidade d(δxµ)/ds = δd(xµ)/ds.

Sob integracao o primeiro termo de 2.38 nao contribuira em nada, desde que se assuma,

como usual, que as variacoes zerem nos extremos da curva. A equacao 2.37 pode, entao,

ser escrita da seguinte forma:

δ∫Lds =

∫[ ∂L∂xµ

δxµ +d

ds

∂L

∂(dxµ/ds)

]δxµds , (2.39)

para uma variacao arbitraria δxµ. Devido a arbitrariedade da variacao, a equacao 2.39

nos fornece a equacao de Euler-Lagrange:

d

ds

∂L

∂(dxµ/ds)− ∂L

∂xµ= 0. (2.40)

E no sentido de obter uma expressao explıcita para equacao da geodesica, vamos usar

a Lagrangiana 2.36 na equacao de Lagrange 2.40. Assim, nos obtemos a equacao da

geodesica:d2xα

ds2+ Γρ

αβ

dxα

ds

dxβ

ds= 0 (2.41)

onde usamos o fato de que ao longo da geodesica ds2 = gρσdxρdxσ.

2.2 O tensor de curvatura de Riemann

Chegamos agora a um importante conceito na descricao de um espaco-tempo curvo,

o tensor de curvatura. Ele nao e importante apenas para descrever a geometria de um

espaco curvo, mas tambem para a construcao de outros tensores, os quais darao uma

descricao completa da gravitacao.

Se diferenciarmos covariantemente um tensor ∇ βVα, dado por 2.25, obteremos

∇γ∇ βVα =∂

∂xγ

(∂Vα

∂xβ− Γρ

αβVρ

)− Γδ

βγ

(∂Vα

∂xδ− Γρ

δαVρ

)− Γδ

αγ

(∂Vδ

∂xβ− Γρ

δβVρ

). (2.42)

36

Subtraindo da equacao acima a mesma expressao, mas com os ındices β e γ trocados,

teremos:

(∇γ∇β −∇β∇γ)Vα = RραβγVρ , (2.43)

onde

Rραβγ =

∂Γραγ

∂xβ−∂Γδ

αβ

∂xγ+ Γδ

αγΓρβδ − Γδ

αβΓργδ. (2.44)

O tensor Rραβγ e chamado de tensor de curvatura de Riemann.

Da mesma forma, quando o comutador (∇γ∇β −∇β∇γ) e aplicado a um vetor con-

travariante V α, ou a um tensor misto de segunda ordem T νµ , nos obtemos:

(∇γ∇β −∇β∇γ)Vα = −Rα

ρβγVρ , (2.45)

(∇γ∇β −∇β∇γ)Tνµ = Rρ

µβγTνρ −Rν

ρβγTµρ , (2.46)

ou para um tensor de ordem qualquer:

(∇γ∇β−∇β∇γ)Tρσ...µν... = Rκ

µβγTρσ...µκ... +Rκ

νβγTρσ...µκ... + ...−Rρ

κβγTκσ...µν... −Rσ

κβγTρκ...µν... − ... (2.47)

a equacao acima e chamada de identidade de Ricci.

Escrevendo agora:

Rαβγδ = gαρRρβγδ, (2.48)

podemos verificar as seguintes propriedades para o tensor de curvatura:

Rαβγδ = −Rβαγδ = −Rαβδγ , (2.49)

Rαβγδ = Rγδαβ (2.50)

e

Rαβγδ +Rαγδβ +Rαδβγ = 0. (2.51)

2.2.1 O tensor e o escalar de Ricci; o tensor de Einstein

Do tensor de curvatura de Riemann, nos podemos obter por contracao o tensor de

Ricci, o qual e definido por:

Rαβ = Rµαµβ = gµνRµανβ , (2.52)

o qual, de 2.49, e simetrico:

Rαβ = Rβα (2.53)

37

A expressao explıcita para o tensor de Ricci pode ser obtida do tensor de curvatura

de Riemann. Usando 2.44, nos obtemos:

Rαβ =∂Γρ

αβ

∂xρ−∂Γρ

αρ

∂xβ+ Γσ

αγΓρρσ − Γσ

αρΓρβσ. (2.54)

Contraindo Rαβ, nos obtemos o escalar de de curvatura de Ricci:

R = Rαα = gαβRαβ = gαβgµνRµανβ. (2.55)

Podemos, agora definir o tensor de curvatura de Einstein:

Gµν = Rµν −1

2gµνR (2.56)

o qual, como veremos mais adiante sera fundamental para a descricao de processos fısicos

em espacos com curvatura.

Finalmente, podemos definir o tensor de Ricci com traco nulo:

Sµν = Rµν −1

4gµνR. (2.57)

E importante mencionar que o tensor de curvatura de Riemann, e as formulas sub-

sequentes dadas acima, nao sao limitadas a descricao de um espaco quadridimensional,

mas sao tambem validas em espacos com um numero arbitrario de dimensoes.

2.3 O princıpio da equivalencia

Experimentos do tipo Eotvos (19) (20) mostraram, com grade precisao, a equivalencia

entre as massas gravitacional e inercial. Entao a forca gravitacional que age sobre um

corpo, deve ter uma certa relacao com forcas de origem inerciais, sendo as ultimas pro-

porcionais a massa inercial. A relacao entre a forca gravitacional e a forca inercial e a

base do princıpio da equivalencia, o qual pode ser enunciado de varias formas, uma das

quais e colocada a seguir:

As forcas gravitacionais e as forcas inerciais, agindo sobre um corpo, sao equivalentes e

indistinguıveis

38

E muitas vezes conveniente fazer a distincao entre dois tipos de princıpio da equi-

valencia, um em uma forma forte e outro em uma forma fraca. O primeiro e o que servira

de base para a teoria da relatividade geral, enquanto o segundo e o que pode ser derivado

diretamente do experimento de Eotvos.

O princıpio da equivalencia forte pode ser colocado da seguinte forma:

Em um referencial em queda livre e com velocidade angular nula,as leis da fısica locais

tem uma mesma forma, independente da posicao do referencial no espaco.

E o princıpio da equivalencia fraco pode ser enunciado como:

A aceleracao gravitacional de um corpo e independente da composicao e da estrutura da

materia que o forma.

Uma consequencia do princıpio da equivalencia como colocado acima, e o fato de

que nao pode existir, em relatividade geral, referenciais inerciais. Entao quando existe

gravitacao em uma determinada regiao do espaco, nao se pode introduzir um referencial

inercial. Isto acontece porque em sistemas desse tipo, por sua propria definicao, todas

as aceleracoes de origem inercial zeram e, por isso, poderıamos separar as aceleracoes de

origem gravitacional das de origem inercial, o que contradiz o princıpio da equivalencia.

Somente localmente podemos introduzir um referencial inercial. A impossibilidade de

adaptar referenciais inerciais, onde os sistemas diferem um do outro por movimentos com

velocidade constante, a teoria da relatividade geral faz com que o conceito de aceleracao

deixe de ser absoluto, como na mecanica newtoniana e na relatividade especial. Neste

sentido, a teoria da relatividade geral assume que a aceleracao possui, somente, um signi-

ficado relativo, da mesma forma que a teoria da relatividade especial faz para velocidade.

2.4 O princıpio da covariancia geral

Como foi explicado na secao anterior, se usarmos um sistema de coordenadas nao-

inercial, forcas nao-inerciais aparecem e, sobre uma base local, elas se comportam como

forcas gravitacionais e sao indistinguıveis das mesmas. Entao nos vemos que a relativi-

dade especial nao e valida em um regiao extensa do espaco onde o campo gravitacional

esteja presente. A relatividade especial e valida somente localmente. Em geral, quando

a gravitacao esta presente, um espaco tempo curvo e necessario para acomodar o campo

39

gravitacional. Portanto, as leis da fısica serao geralmente covariantes sob as mais gerais

transformacoes de coordenadas. Na formulacao original da teoria da relatividade geral,

proposta por Einstein, dois princıpios formam a base da teoria: o princıpio da equi-

valencia, discutido na ultima secao, e o princıpio da covariancia geral. O ultimo pode ser

enunciado das seguintes formas:

1 - Todos os sistemas de coordenadas sao igualmente bons para descrever os processos

fısicos, entao nao deve haver preferencia entre um sistema de coordenadas e outro.

2 - As equacoes que descrevem as leis da fısica deverao ter forma tensorial e ser expressas

em um espaco-tempo Riemanniano quadridimensional.

3 - As equacoes descrevendo as leis da fısica deverao ter a mesma forma em todos os

sistemas de coordenadas.

Como nos podemos ver, as tres versoes do princıpio da covariancia geral nao sao com-

pletamente equivalentes. Da descricao acima, entretanto, nos aprendemos que, de acordo

com o princıpio da covariancia geral as coordenadas em relatividade geral nao servem para

nada mais que indicar os eventos no espaco-tempo, em outras palavras, as coordenadas

so possuem algum significado em relatividade geral mediante algum processo de medida.

As consequencias fısicas e os resultados nao dependerao do sistema de coordenadas par-

ticular usado para se obter os resultados. Somente quantidades independentes da escolha

do sistema de coordenadas terao significado fısico.

O princıpio da covariancia geral pode, frequentemente, servir como um guia para de-

rivar as equacoes para as leis da fısica. Em particular, este princıpio e muito util quando

nos tentamos generalizar as leis da fısica de sua forma na relatividade restrita para a

forma que elas devem ter em relatividade geral, incorporando, entao o campo gravitacio-

nal nestas equacoes. O princıpio da covariancia geral diz que tudo que precisamos fazer

sao as seguintes substituicoes:

ηµν → gµν , (2.58)

∂µ → ∇µ , (2.59)

onde ηµν e gµν sao as metricas do espaco-tempo plano e curvo, respectivamente, e ∂µ,

∇µ sao a derivada parcial ordinaria e a derivada covariante definida na secao 2.1.7. Este

uso do princıpio da covariancia geral e repetidamente feito em relatividade geral, ele e

similar ao uso do princıpio do acoplamento mınimo da teoria de campos, mas e muito

mais poderoso.

40

Em conclusao, enquanto o princıpio da equivalencia leva a introducao de um espaco-

tempo curvo, o princıpio da covariancia geral guia-nos na formulacao das equacoes que

descrevem as leis da fısica. Na verdade, estes dois princıpios sao mais do que e necessario

para se construir a teoria da relatividade geral, a qual e dita ser um dos maiores achados

da fısica teorica. Eles levam diretamente a ideia de que o fenomeno gravitacional pode ser,

de uma forma elegante, descrito por meio da geometria Riemanniana do espaco-tempo.

2.5 As equacoes de Einstein

Tendo desenvolvido as ferramentas matematicas necessarias para descrever o campo

gravitacional nas ultimas secoes, e ja com os princıpos da equivalencia e covariancia geral

em maos, podemos agora derivar as equacoes de campo de Einstein. Estas sao as equacoes

basicas da relatividade geral.

2.5.1 Derivacao das equacoes de Einstein

Existem muitas formas de derivar as equacoes de Einstein. Aqui, vamos fazer isto a

partir de um princıpio variacional. Usaremos este caminho por julgarmos o mais geral

e sintetico, ja que podemos derivar, a partir do mesmo, nao somente as equacoes de

Einstein, mas tambem as equacoes de outros campos que casualmente interajam com a

gravidade.

O campo gravitacional e descrito pela acao de Einstein-Hilbert, dada por:

SG =∫d4x

√−gR , (2.60)

onde a integracao e feita sobre todo o espaco e sobre a coordenada x0, tomada entre dois

valores dados. Nos podemos adicionar a integral acima uma outra que descreva todos os

outros campos presentes, que nao sejam gravitacionais. Desta forma, a acao mais geral

que podemos escrever para descrever o nosso sistema fısico sera dada por:

SG =∫d4x

√−g(LG − 2κLM) , (2.61)

onde LG e a lagrangeana do campo gravitacional enquanto LM e a lagrangeana dos outros

campos. Alem disso κ = 8πG/c4 e a constante gravitacional de Einstein, com G sendo a

constante gravitacional de Newton e c a velocidade da luz.

41

Nos impomos que a variacao da acao acima seja nula:

δSG = 0 (2.62)

Variando a primeira parte da integral 2.61, nos obtemos:

δ∫d4x

√−gR = δ

∫d4x

√−ggµνRµν (2.63)

=∫d4x

√−ggµνδRµν +

∫d4xRµνδ(

√−ggµν).

Para encontrar a variacao do tensor de Ricci, nos podemos usar o sistema de coorde-

nadas geodesico 6, de forma que teremos:

δRµν = δ{∂Γρ

µν

∂xρ−∂Γρ

µρ

∂xν+ Γσ

µνΓρρσ − Γσ

µρΓρνσ

}Γσ

µρ (2.64)

= δ(∂Γρ

µν

∂xρ−∂Γρ

µρ

∂xν

)=

∂(δΓρµν)

∂xρ−∂(δΓρ

µρ)

∂xν

= ∇ρ(δΓρµν)−∇ν(δΓ

ρµρ).

A equacao acima e, como podemos ver, uma equacao tensorial. Entao ela e valida em

todos os sistemas de coordenadas e em todos os pontos do espaco-tempo e nao somente

no sistema geodesico. Consequentemente, o integrando da primeira integral do segundo

membro da equacao 2.64 pode ser escrito na seguinte forma:

√−ggµνδRµν =

√−ggµν{∇ρ(δΓ

ρµν)−∇ν(δΓ

ρµρ)} (2.65)

=√−g{∇ρ(g

µνδΓρµν)−∇ν(g

µνδΓρµρ)}

=√−g{∇α(gµνδΓα

µν)−∇α(gµαδΓρµρ)}.

Assim, nos podemos escrever:

√−ggµνδRµν =

√−g∇αV

α , (2.66)

onde

V α = gµνδΓαµν − gµαδΓρ

µρ. (2.67)

Usando, agora, a seguinte identidade:

∇µVµ =

1√−g

∂

∂xµ(√−gV µ) (2.68)

6O sistema de coordenadas geodesico e definido como o sistema de coordenadas no qual todas ascomponentes dos sımbolos de Christofell zeram em um dado ponto (18, 21).

42

Nos obtemos para a primeira integral do segundo membro da equacao 2.64 :∫d4x

√−ggµνδRµν =

∫d4x

∂(√−gV α)

∂xα(2.69)

Entretanto a integral acima zera desde que, pelo teorema de Gauss, ela e igual a uma

integral de superfıcie de√−gV α, a qual e nula devido as variacoes dos sımbolos de

Christoffel zerarem nos limites da integracao.

A segunda integral do segundo membro de 2.64 nos da:∫d4xRµνδ(

√−ggµν) =

∫d4x

√−gRµνδg

µν +∫d4xRµνg

µνδ√−g (2.70)

=∫d4x

√−gRµνδg

µν +∫d4xRδ

√−g.

Usando a regra para a expansao de um determinante em cofatores leva a seguinte relacao:

∂g

∂gµν= ∆µν , (2.71)

onde ∆µν e o cofator do elemento gµν de determinante g. Da regra usada para se obter

o inverso de um determinante, e da definicao do tensor de metrica contravariante gµν , a

equacao acima pode ser reescrita como:

∂g

∂gµν= ggµν . (2.72)

Consequentemente, nos temos:

dg = ggµνdgµν . (2.73)

Diferenciando a relacao gµνgµν = δµµ = 4, nos obtemos:

gµνdgµν = −gµνdgµν . (2.74)

Usando, entao, o ultimo resultado em 2.73, nos obtemos:

dg = −ggµνdgµν . (2.75)

Dai, nos encontramos:

δ√−g =

−1

2

1√−g

δg =−1

2

√−ggµνδg

µν . (2.76)

Obtemos, consequentemente que:∫d4xRµνδ(

√−ggµν) =

∫d4x

√−g(Rµν −

1

2gµνR)δgµν (2.77)

43

Somando os resultados acima, teremos finalmente, para a variacao da parte gravitacional

da acao 2.61:

δ∫d4x

√−gR =

∫d4x

√−g(Rµν −

1

2gµνR)δgµν . (2.78)

A segunda parte de 2.61, a qual descreve todos os outros campos, com excecao do

campo gravitacional, pode ser calculada tambem atraves do metodo variacional. Nos

obtemos:

δ∫d4xLM =

∫ [∂(√−gLM)

∂gµνδgµν +

∂(√−gLM)

∂gµν, α

δgµν, α

]. (2.79)

O segundo termo do segundo membro da equacao acima pode ser escrito como uma

integral de superfıcie, que nao contribui em nada, menos um outro termo, como segue:

δ∫d4xLM =

∫ {∂(√−gLM)

∂gµν− ∂

∂xα

[∂(√−gLM)

∂gµν, α

]}δgµν . (2.80)

Definindo, agora, o tensor momentum-energia:

Θµν =2√−g

{∂(√−gLM)

∂gµν− ∂

∂xα

[∂(√−gLM)

∂gµν, α

]}, (2.81)

nos, entao obtemos para a variacao da parte nao-gravitacional da acao 2.61:

δ∫d4xLM =

1

2

∫d4x

√−gΘµνδg

µν (2.82)

Assim, no final nos obtemos:

δS =∫d4x

√−g(Rµν −

1

2gµνR− κΘµν)δg

µν (2.83)

Desde que esta equacao deve ser valida para qualquer variacao δgµν , concluimos que o

integrando acima tem de ser nulo, ou seja:

Rµν −1

2gµνR = κΘµν (2.84)

A expressao acima e a equacao de Einstein.

2.5.2 Propriedades das equacoes de Einstein

Vamos fazer uma breve discussao sobre algumas propriedades importantes das equacoes

de Einstein. Primeiramente, nos notamos que a dependencia das mesmas em relacao as

funcoes de campo e nao linear, o que pode ser facilmente visto da estrutura do tensor

de Ricci 2.54. Este fato distingue as equacoes do campo gravitacional das equacoes de

campo de outras teorias conhecidas, como o eletromagnetismo. Obviamente o princıpio

da superposicao nao e valido para as equacoes de Einstein, isto significa, entre outras,

44

coisas que a soma de duas solucoes das equacoes de Einstein nao e necessariamente uma

solucao.

Temos tambem que a conservacao da energia e do momentum, expressa pela equacao

∇µΘµν = 0 (2.85)

esta essencialmente contida nas equacoes de Einstein. A equacao 2.85, de fato, contem as

equacoes do movimento da distribuicao de materia que e descrita pelo tensor momentum

energia em consideracao. Desta forma, as equacoes de Einstein contem as equacoes do

movimento da materia que produz o campo gravitacional, de forma que a distribuicao

e o movimento da materia que produz o campo gravitacional nao pode ser determinada

arbitrariamente. A distribuicao e o movimento da materia sao determinados pelas funcoes

de campo gravitacional, ou seja, as componentes do tensor de metrica, e ao mesmo tempo

o tensor de metrica e determinado pela distribuicao e o movimento da materia descrita

pelas equacoes de Einstein. Em relatividade geral, nao temos de estudar separadamente

as equacoes do movimento da materia, elas sao uma consequencia das identidades de

Bianchi e da nao-linearidade das equacoes de Einstein. Esta propriedade da teoria da

relatividade geral e uma de suas caracterısticas mais belas.

Para tornar mais clara a discussao acima, vamos comparar a relatividade geral a

eletrodinamica. Na ultima teoria, a qual e obviamente linear, usamos as equacoes de

Maxwell e a Lei de forca de Lorentz para descrever os processos fısicos. As equacoes de

Maxwell contem a equacao de conservacao da carga, entretanto, elas nao incluem, ou nao

produzem as equacoes de movimento das cargas, as ultimas seguem da Lei de forca de

Lorentz, a qual e postulada separadamente. Por causa da linearidade das equacoes de

Maxwell, a distribuicao e o movimento das cargas pode ser determinado arbitrariamente.

O campo eletromagnetico e determinado subsequentemente pela resolucao das equacoes

de Maxwell.

2.5.3 Condicoes de coordenadas

As equacoes de Einstein desenvolvidas nas secoes anteriores sao dez equacoes diferen-

ciais parciais nao-lineares, sendo as incognitas as dez componentes de gµν , o tensor de

metrica. A primeira vista, o problema de resolver essas equacoes parece satisfatorio desde

que o numero de incognitas e igual ao de equacoes. Entretanto, desde que o tensor de

Einstein satisfaz as quatro identidades de Bianchi:

∇νGµν = 0, (2.86)

45

o tensor de metrica nao pode ser determinado univocamente desde que e introduzida

uma liberdade adicional, dada pelas transformacoes de coordenadas, as quais incluem

quatro funcoes arbitrarias. A solucao para este problema e impormos quatro condicoes

diferenciais adicionais, as quais sao chamadas de condicoes de coordenadas, e provem a

determinacao do sistema de coordenadas no qual o tensor de metrica e calculado.

E interessante notar aqui que a escolha das condicoes de coordenadas em relatividade

geral e semelhante a escolha do gauge na eletrodinamica. Ao resolvermos as equacoes

de Maxwell para os potenciais, temos de fixar o gauge. Este grau de liberdade adicional

existe ja que, se Aµ e uma solucao das equacoes de Maxwell, entao Aµ + ∂µΛ tambem

sera.

2.6 A metrica de Schwarzschild

Nas ultimas secoes apresentamos as equacoes de Einstein e comentamos suas propri-

edades. Para terminar este capıtulo vamos resouve-las para o caso de um campo gravita-

cional esfericamente simetrico . Vamos usar o seguinte elemento de linha para descrever

uma metrica esfericamente simetrica :

ds2 = eνdt2 − eλdr2 − r2(dθ2 + sen2θdφ2) (2.87)

onde estamos utilizando as coordenadas (t, r, θ, φ). Para encontrar as equacoes diferenciais

satisfeitas por ν e λ, temos de resolver as equacoes de Einstein 2.84. Para este fim, nos

precisamos calcular os sımbolos de Christoffel nessa metrica. Usando entao 2.16, obtemos:

Γ000 =

ν

2, Γ0

01 =ν

′

2, Γ0

11 =λ

2eλ−ν

Γ100 =

ν′

2eν−λ , Γ1

01 =λ

2, Γ1

11 =λ

′

2Γ1

22 = −re−λ , Γ133 = −rsen2θe−λ (2.88)

Γ212 =

1

r, Γ2

33 = −senθcosθ

Γ313 =

1

r, Γ3

23 = cotθ.

As outras componentes zeram por propriedades de simetria. Nas equacoes 2.89, o ponto

denota diferenciacao em relacao a coordenada temporal e a prima diferenciacao em relacao

a r.

Com os sımbolos de Christoffel acima, nos podemos calcular as expressoes para o

tensor de Ricci e o tensor de Einstein, usando 2.54 e 2.56, respectivamente. As unicas

46

componentes nao-nulas do tensor misto de Einstein G νµ fornecem, entao, as seguintes

equacoes de campo:

G 00 = −e−λ

( 1

r2− λ

′

r

)+

1

r2= κT 0

0 , (2.89)

G 10 = −1

2e−λ λ

r= κT 1

0 , (2.90)

G 11 = −e−λ

(ν ′

r+

1

r2

)+

1

r2= κT 1

1 , (2.91)

G 22 = −1

2e−λ

(ν

′′+ν

′

2+ν

′ − λ′

r− ν

′λ

′

2

)(2.92)

+1

2e−ν

(λ+

λ

2− nλ

2

)= κT 2

2 ,

G 33 = G 2

2 = κT 33 , (2.93)

todas as outras componentes do tensor de Einstein sao identicamente nulas.

As equacoes de campo podem, agora, ser integradas exatamente para o caso de um

campo gravitacional esfericamente simetrico no vacuo, ou seja na ausencia de materia.

Faremos isto tomando o tensor momentum-energia como igual a zero nas equacoes 2.89 a

2.93. Nos obtemos, entao, as seguintes equacoes independentes :

−e−λ(ν ′

r+

1

r2

)− 1

r2= 0 , (2.94)

−e−λ(λ ′

r− 1

r2

)+

1

r2= 0 , (2.95)

λ = 0. (2.96)

Adicionando as duas primeiras equacoes de 2.96, nos encontramos:

ν′+ λ

′= 0 , (2.97)

de forma que:

ν + λ = f(x0) , (2.98)

onde f(x0) e uma funcao somente da coordenada temporal x0.

Podemos, agora, fazer uma transformacao de coordenadas que mantenha a forma do

elemento de linha 2.87 inalterada. Esta e uma transformacao arbitraria da coordenada

temporal x0 da forma x0 = h(x′ 0), mantendo as coordenadas espaciais inalteradas, xk =

x′ k, para k = 1, 2, 3. Sob esta transformacao de coordenadas nos obtemos:

g′

00 =∂xα

∂x ′0

∂xβ

∂x ′0gαβ =

( dx0

dx ′ 0

)2g00 = h2g00. (2.99)

47

Se nos escolhermos a funcao h(x′ 0) como

h =dx0

dx ′ 0= e−f(x0)/2 , (2.100)

com f(x0) dado por 2.98, nos obtemos de 2.99:

g′

00 = e−fg00 = eν−f . (2.101)

De acordo com isso, a transformacao acima adiciona a funcao ν uma funcao arbitraria do

tempo, enquanto mantem inalterada todas as outras componentes do tensor de metrica.

A equacao 2.101 mostra que podemos escolher a funcao h de tal forma que ν + λ = 0 no

novo sistema de coordenadas. Consequentemente, usando a terceira das equacoes 2.96,

vemos que tanto ν como λ podem ser tomadas como independentes do tempo. Chegamos,

entao, ao importante resultado de que um campo gravitacional esfericamente simetrico

no vacuo e necessariamente estatico 7.

As equacoes 2.96 podem agora ser integradas. Suas solucoes sao dadas por:

eν = e−λ = 1− rs

r, (2.102)

onde rs e uma constante de integracao, a qual pode ser determinada a partir do reque-

rimento de que a segunda lei de Newton seja satisfeita a grandes distancias do centro de

massa. Isto acontecera, para uma distribuicao de massa esfericamente simetrica, se:

rs =2Gm

c2, (2.103)

nesta forma rS e chamado de raio de Schwazschild

Nos entao obtemos, para uma campo gravitacional esfericamente simetrico, o seguinte

tensor de metrica covariante:

gµν =

1− rs

r

−(1− rs

r)−1

−r2

−r2sen2θ

. (2.104)

7Este resultado e conhecido como teorema de Birkhoff (18, 21–24).

48

Enquanto o tensor de metrica contravariante toma a seguinte forma:

gµν =

(1− rs

r)−1

−(1− rs

r)

−r−2

−r−2sen−2θ

. (2.105)

A metrica representada acima e conhecida como metrica de Schwazschild.

49

3 CAMPOS TENSORIAIS DEMATERIA EM ESPACOSCURVOS

Neste capıtulo, faremos uma analise dos campos tensoriais de materia em um espaco

tempo curvo. Como vimos no capıtulo 1, a teoria de Avdeev-Chizhov, que descreve os

campos de materia, e completamente equivalente a uma teoria do tipo λφ4 para o campo

complexo ϕµν , o qual obedece a condicao de auto-dualidade complexa ϕµν = iϕµν , onde

esta propriedade depende da assinatura da metrica do espaco em que estamos trabalhando.

A introducao de um espaco-tempo curvo implica em certas dificuldades, ja que agora

o proprio espaco-tempo, assim como os campos, se comporta de forma dinamica. Assim,

o estudo da teoria de Avdeev-Chizhov, o qual ja era difıcil no espaco-tempo plano, pode

se tornar uma tarefa ainda mais complicada e cansativa em um cenario com curvatura.

Entretanto, vamos tentar contornar estas dificuldades mostrando que a teoria de Avdeev-

Chizhov e completamente equivalente a uma teoria do tipo λϕ4, a qual e mais simples,

tambem em um espaco-tempo curvo. Como veremos, esta equivalencia existe, o que

implicara em simplificacao, ja que, como veremos, tornara mais facil o calculo do tensor

momentum-energia para o campo Tµν , o qual em relatividade geral descreve a distribuicao

de materia que produz o campo gravitacional.

No final, como um exemplo da teoria, vamos resolver as equacoes de Einstein para

o campo Tµν em um espaco - tempo do tipo Schwazschild. Neste cenario, veremos que

o campo tensorial de materia possui apenas dois graus de liberdade longitudinais, o que

segundo a secao 1.3, implica na positividade de seu hamiltoniano.

50

3.1 Condicao de auto-dualidade complexa em espacos

curvos

Para mostrar a equivalencia entre Avdeev-Chizhov e λϕ4 em um espaco com curva-

tura de quatro dimensoes e assinatura -2, vamos, primeiramente, verificar se e possıvel

construir um tensor auto-dual complexo em um cenario desse tipo.

O dual de um tensor em um espaco curvo de quatro dimensoes e definido como:

Fµν =1

2εµνρσF

ρσ, (3.1)

com

εµνρσ =√−gεµνρσ,

εµνρσ =1√−g

εµνρσ, (3.2)

onde εµνρσ e o tensor de Levi-Civita definido no capıtulo 1.

Vamos, agora, tentar construir um campo complexo ϕµν de forma semelhante ao que

fizemos no espaco-tempo plano:

ϕµν = Tµν + iTµν . (3.3)

Da equacao acima, temos que:

ϕµν = Tµν + i˜T µν , (3.4)

onde Tµν e dado por 3.1 e, para˜T µν , teremos:

˜T µν =

√−g2

εµναβ(Tαβ) =

√−g2

εµναβ

( 1

2√−g

εαβστTστ

)(3.5)

=1

4εµναβε

αβστTστ =−2

4(δσ

µδτν − δσ

ν δτµ)Tστ (3.6)

= −Tµν , (3.7)

de forma que ficamos com:

ϕµν = Tµν − iTµν → iϕµν = Tµν + iTµν = ϕµν , (3.8)

51

ou seja,

iϕµν = ϕµν , (3.9)

de forma que podemos construir tensores auto-duais complexos tambem em espacos-tempo

curvos com quatro dimensoes.

3.2 O modelo tensorial de materia como uma teoria

λϕ4 em espacos curvos

Com a possibilidade de construirmos campos autoduais complexos em espacos curvos,

vamos nesta secao investigar se a acao do campo auto-dual complexo ϕµν e equivalente a

acao de Avdeev-Chizhov tambem neste tipo de cenario. Neste sentido, vamos primeira-

mente escrever a acao completa para o campo ϕµν com interacao com o campo de gauge

Aµ e com os fermions de Dirac em um espaco-tempo com curvatura. Para isto, vamos

usar os princıpios da equivalencia e da covariancia geral descritos nas secoes 2.3 e 2.4,

respectivamente, e fazer as seguintes transformacoes:

ηµν → gµν ,

d4x →√−gd4x,

ϕµν, α → ϕµν

; α,

ϕµν|α → ϕµν

||α.

Aqui usamos || para designar a derivada covariante em relacao a transformacoes de co-

ordenadas e de gauge, e | para designar a derivada covariante somente em relacao a

transformacoes de gauge1. Vamos, tambem, trocar as matrizes de Dirac em um espaco-

tempo plano γµ pelas matrizes de Dirac em espacos curvos ρµ e a derivada usual de um

espinor ψ pela derivada covariante espinorial, conforme e mostrado no apendice A

1A notacao acima e usada na referencia (18)

52

γµ → ρµ,

ψ, µ → ψ; µ.

Tambem, vamos incluir a acao da gravidade, a qual de acordo com 2.60, e dada por:

Sg =∫√

−gRd4x ,

onde R = gµνRµν e o escalar de Ricci.

Dai, a acao para o campo ϕµν em espacos curvos sera:

Sinv =∫√

−gd4x( 116πG

R− 14g2FµνF

µν + iρµψ; µ − ψρµγ5Aµψ − (ϕµν‖µ)∗(ϕ‖σ

σν)

+ q8(ϕ∗µνϕναϕ

∗αβϕβµ) + 12yψσµν(ϕ

∗µν + ϕµν)ψ ), (3.10)

possuindo, de forma semelhante ao que acontece no espaco de Minkowski, as seguintes

invariancias:

δAµ = ω; µ = ω, µ ;

δψ = −iωγ5ψ ; (3.11)

δψ = −iωψγ5 ;

δϕµν = −2iωϕµν . (3.12)

Escrevendo ϕµν em termos de suas componentes Tµν , Tµν e usando as seguintes iden-

tidades:

TµλTλν = TµλT

λν +1

2δνµTαβT

αβ ;

53

TµλTλν = −1

4δνµ TαβT

βα ; (3.13)

TµρTσρ; σ = −1

2TαβTαβ; µ − (Tλµ; σ)T σλ ; (3.14)

TαβTαβ; µ

; µ = −2TαβTνα; β

; ν − 2TαβTνα; β

; ν ; (3.15)

e facil ver que a acao 3.10 e as transformacoes acima se reduzem a

Sinv =∫√

−gd4x( 116πG

R− 14g2FµνF

µν + iρµψ; µ − ρµγ5Aµψ + 12(Tµν; λ)

2 (3.16)

−2(T ; µµν )2 + 4Aµ(T µνT ; λ

λν − T µνT ; λλν ) + 4(1

2(AλTµν)

2 − 2(AµTµν)2)

+yψσµνTµνψ + q

4(1

2(TµνT

µν)2 − 2TµνTνρTρλT

λµ) ),

e

δAµ = ω; µ = ω, µ ;

δψ = −iωγ5ψ ; (3.17)

δψ = −iωψγ5 ;

δTµν = −2ωTµν . (3.18)

Temos que a acao e as transformacoes encontradas acima descrevem uma teoria do

tipo Avdeev-Chizhov em espacos curvos. Mostramos assim que, tambem neste contexto,

a teoria de Avdeev-Chizhov e equivalente a uma teoria do tipo λφ4 . Como veremos, este

resultado simplificara o estudo dos campos de materia em espacos com curvatura.

54

3.3 Tensor momentum-energia

Nesta secao, vamos supor que temos uma determinada distribuicao de campos de

materia gerando um campo gravitacional. Como vimos na secao 2.5.2, as propriedades

dessa distribuicao sao determinadas pelas componentes do tensor de metrica, as quais sao

as solucoes das equacoes de Einstein. Segundo estas mesmas equacoes, as propriedades

dessa distribuicao de materia sao descritas pelo tensor momentum-energia Θµν definido

na secao 2.5. Dessa forma, este objeto possui grande importancia em relatividade geral.

Vamos mostrar nesta secao que a equivalencia entre a teoria de Avdeev-Chizhov e a

teoria λϕ4 em espacos curvos simplifica, em muito, o calculo do tensor momentum-energia

para os campos de materia.

Usando 2.81, temos:

Θµν =2√−g

{∂(√−gL)

∂gµν− ∂

∂xα[∂(√−gL)

∂gµν, α

]}. (3.19)

Como a teoria de Avdeev-Chizhov para o campo T µν e completamente equivalente a te-

oria λφ4 para o campo ϕµν tambem em espacos curvos, podemos usar a lagrangeana que

descreve um ou outro modelo para calcular o tensor momentum-energia acima. Como a

acao para o campo ϕµν e mais simples, vamos usar a mesma. Alem disso, como vamos

ver, o fato de ϕµν ser autodual complexo ira simplificar os calculos em espacos curvos.

Tomando a equacao 3.10, temos que somente o termo cinetico da lagrangeana para o

campo ϕµν poderia apresentar alguma dependencia das derivadas metrica em relacao as

coordenadas. Entretanto, da condicao de auto-dualidade complexa, ϕµν = iϕµν , podemos

escrever:

(ϕµν|| µ)∗(ϕ|| σ

σν ) = gνλ(ϕµν|| µ)∗(ϕσλ

|| σ). (3.20)

Para um tensor de segunda ordem anti-simetrico Sµν , temos que

Sαβ; α =

1

2εαβµνSµν, α , (3.21)

dai,

ϕαβ|| α =

1

2εαβµνϕµν| α. (3.22)

55

Entao ficamos com:

(ϕµν|| µ)∗(ϕ || σ

σν ) = gσωgρφgτγεµναβεωνφγ(ϕαβ |µ)∗(ϕρτ |σ)

=−1

4gσωgρφgτγδµαβ

ωφγ (ϕαβ |µ)∗(ϕρτ |σ).

Como podemos perceber nao ha dependencia nas derivadas da metrica em relacao as

coordenadas na lagrangeana para o campo ϕµν , de forma que o segundo termo do lado

direito de 3.19 e nulo. Calculando, entao, o termo remanescente da mesma equacao,

encontraremos,

Θµν = 3gρφ(ϕ[φν , ω])∗(ϕ , ω

ρµ − 1

2gτωϕρτ , µ) (3.23)

− q

8(ϕ∗λγϕγµϕ

∗βν ϕβλ + 3ϕ∗λγϕ σ

γ ϕ∗σνϕµλ)

− 1

2gµνL+ (µ↔ ν). (3.24)

Em termos do campo de materia Tµν temos:

Θµν = − (3/2)gρφT[ωφ , ν](T, ω

ρµ − 1

2gτωTρτ , µ) + (T → T )

+q

2(T λ

µ TνλTωφTωφ + 4TβνTµλT

λαT βα )

− 1

2gµνL+ (µ↔ ν),

onde suprimimos, sem perda de generalidade, os termos de interacao com os campos ele-

tromagnetico e espinorial.

Se considerarmos a interacao dos campos de materia com o campo eletromagnetico,

e facil verificar que o Θµν possui invariancia de gauge.

Temos que a derivada covariante de gauge tem de se transformar da mesma forma

que os campos, ou seja,

δ(ϕρσ |µ) = 2iωϕρσ |µ. (3.25)

Podemos, entao, definir, para o campo ϕµν , a seguinte derivada covariante de gauge:

56

ϕρσ |µ = −iϕρσ, µ − 2Aµϕρσ, (3.26)

dai, variando sob gauge o tensor momentum-energia, teremos:

δΘµν = 3gρφ[δ(ϕ[φν , ω])∗(ϕ , ω

ρµ − 1

2gτωϕρτ , µ) + (ϕ[φν , ω])

∗(δϕ , ωρµ − 1

2gτωδϕρτ , µ)

− q

8δ(ϕ∗λγϕγµϕ

∗βν ϕβλ + 3ϕ∗λγϕ σ

γ ϕ∗σνϕµλ) +

1

4h2

√−gδ

(1

4gµνFαβF

αβ − FµαFα

ν

)− 1

2gµνδL+ (µ↔ ν) = 0

Assim, provamos que o Θµν e invariante de gauge.

3.4 Campos tensoriais de materia em um espaco-tempo

do tipo Schwarzschild

Como aplicacao da teoria vista nas secoes anteriores, vamos aqui resolver as equacoes

para o campo tensorial de materia em um espaco-tempo do tipo Schwarzschild, ou seja,

em um espaco-tempo estatico e com simetria esferica. Esta situacao corresponde a inves-

tigarmos, por exemplo, a geometria do espaco-tempo no interior de uma estrela formada

pelo campo tensorial de materia e que possua as simetrias especificadas acima. Como o

campo de materia e carregado, este problema e, neste aspecto, similar ao problema de

Reissner-Nordstrøm.

3.4.1 Construindo um cenario esfericamente simetrico

Nesta secao, vamos iniciar nossas investigacoes sobre a forma que Tµν deve ter para

que o mesmo produza um cenario de Schwarzschild. Vamos comecar com as condicoes de

simetria esferica.

A primeira forma para um tensor de segunda ordem anti-simetrico com simetria

esferica foi encontrada por Papapetrou (25) e possuıa somente as componentes radiais

T10 = w(r, t) e T23 = v(r, t)senθ diferentes de zero. Entretanto, Papapetrou se baseou em

um argumento erroneo, como foi mostrado alguns anos mais tarde por P.C. Vaidya, o qual

encontrou a forma correta para um tensor de segunda ordem anti-simetrico com simetria

57

esferica, a qual continha, alem das componentes radiais acima, componentes transversas

(26, 27). Por outro lado, como mostrado pelo proprio Vaidya algumas teorias fısicas,

como a eletrodinamica e a entao teoria do campo unificado de Einstein, nao suportavam

estas novas componentes, fazendo com que as mesmas fossem assumidas como nulas nes-

tas teorias. Assim, vamos comecar nossa investigacao de uma forma ingenua, admitindo

que o campo de materia Tµν esfericamente simetrico possui a forma sugerida por Vaidya e

verificar se a teoria de Avdeev-Chizhov suporta ou nao as componentes transversas acima.

Seguindo Vaidya, teremos:

Tµν =

0 −H −Qv Qu sin θ

H 0 Pv −PusenθQv −Pv 0 E sin θ

−Qusenθ Pusenθ −Esenθ 0

,

onde as letras maiusculas sao funcoes de (r, t) e as minusculas de (θ, φ), sendo que as

funcoes u e v estao relacionadas a polarizacao do campo.2

Podemos simplificar a forma de Tµν introduzindo quatro condicoes de coordenas, as

quais, como vimos no capıtulo 2, sao necessarias para que possamos resolver as equacoes

de Einstein. Entao, seguindo o proprio Vaidya, vamos fazer uma transformacao de coor-

denadas de forma que as quatro condicoes abaixo sejam obedecidas:

v = 0

u = 1 (3.27)

q(∂t/∂t′) − p(∂r/∂t′) = 0

a(∂t/∂r′)2+ 2b(∂t/∂r′)(∂r/∂r′) + c(∂r/∂r′)2 = 0 (3.28)

onde a, b e c sao constantes arbitrarias.

E facil de verificar, com base em 3.28, que a arbitrariedade das constantes a, b e c

permite-nos sempre definir a transformacao acima de modo que o jacobiano da mesma

nunca zere e, assim, esta transformacao e sempre possıvel 3 .

2a demonstracao desse resultado encontra-se no apendice B.3ver secao 2.1.1

58

Com esta transformacao, Tµν adquire, a seguinte forma:

Tµν =

0 −H 0 0

H 0 0 −Psenθ0 0 0 Esenθ

0 Psenθ −Esenθ 0

, (3.29)

onde, agora, H, E e P sao funcoes das novas coordenadas, as quais chamaremos de (r′, t

′).

E interessante, tambem, escrevermos a forma do dual Tµν ,

Tµν =

0 −E ′ P ′ 0

−E ′ 0 0 0

−P ′ 0 0 −H ′senθ

0 0 H ′senθ 0

, (3.30)

onde, chamando as novas coordenadas somente de r e t,

E′(r, t) = r−2e(ν+λ)/2E(r, t), P

′(r, t) = −Pe(ν−λ)/2 e H

′(r, t) = r2e−(ν+λ)/2H(r, t).

(3.31)

3.4.2 Construindo um cenario estatico

Vamos agora investigar que condicoes devemos impor sobre os campos de materia

para que os mesmos reproduzam um cenario estatico. Primeiramente, vamos admitir a

existencia de um campo de Killing tipo-tempo ξµ(x), ξµξµ > 0, ortogonal a uma famılia

de hipersuperfıcies e vamos impor que os campos de materia obedecam a equacao de

Killing:

ξρTµν , ρ + Tµρξρ, ν + Tρνξ

ρ, µ = 0. (3.32)

Vamos considerar, agora, as linhas-mundo(trajetorias) do vetor ξµ. Desde que ele e tipo-

tempo, podemos construir um sistema de coordenadas tal que somente a coordenada

temporal x0 mude ao longo dessas trajetorias. Assim, as trajetorias de ξµ permanecerao

sobre o nosso eixo x0 de forma que, em nosso novo sistema de coordenadas as componentes

espaciais de ξµ zeram. Alem disso, nos podemos escolher a componente nao nula do nosso

vetor de Killing como sendo igual a um (18). Entao, nos teremos:

ξµ(x) = (1, 0, 0, 0). (3.33)

59

Usando 3.33 na equacao de Killing 3.32, nos ficamos com:

Tµν , 0 = 0.4 (3.34)

Vamos agora investigar o caso no qual as trajetorias do vetor de Killing ξµ sao orto-

gonais a uma famılia de hipersuperfıcies.

A equacao de uma famılia de hipersuperfıcies f e dada por

f(xα) = µ , (3.35)

onde os diferentes membros da famılia correspondem a diferentes valores de µ.

Nos podemos definir o vetor

ην = f , ν (3.36)

como sendo ortogonal a famılia de hipersuperfıcies f (21). Entao, um campo vetorial Ξµ

sera ortogonal a f quando

Ξµ = λ(x)ηµ , (3.37)

onde λ(x) e uma funcao arbitraria das coordenadas. Usando 3.33 e 3.36 encontraremos

as seguintes equacoes:

f , 0 = g00λ−1 (3.38)

e

f , 1 = 0. (3.39)

De 3.38 nos teremos

f = g00

∫dt λ−1(r, t) + τ(r), (3.40)

onde τ(r) e uma funcao arbitraria.

Desde que λ(r, t) e uma funcao arbitraria, nos podemos escolher a integral acima como

sendo: ∫dt λ−1(r, t) = g00κ(t) (3.41)

de forma que

f(r, t) = κ(t) + τ(r). (3.42)

4Nos tambem temos que em nosso novo sistema de coordenadas, todas as componentes do tensor demetrica sao independentes do tempo (18, 21).

60

Em nosso trabalho, vamos sempre usar famılias de hipersuperfıcies desse tipo. Posterior-

mente, voltaremos a este ponto.

3.4.3 Tensor momentum-energia

No sentido de escrever as equacoes de Einstein para os campos de materia, vamos

calcular o tensor momentum-energia para os mesmos. Vamos usar a equivalencia entre a

teoria de Avdeev-Chizhov e a teoria λϕ4 para simplificar os nossos calculos. De acordo

com 1.28, 3.29 e 3.30, o campo complexo ϕµν pode ser escrito como:

ϕµν =

0 α(r) β(r) 0

−α(r) 0 0 γ(r)senθ

−β(r) 0 0 ω(r)senθ

0 −γ(r)senθ −ω(r)senθ 0

. (3.43)

onde α(r), β(r), γ(r) e ω(r) sao funcoes complexas.

Estamos agora prontos para calcular as componentes do tensor momentum-energia.

Para a componente Θ00, encontraremos:

Θ00 = e−(λ+ν)β , rβ∗, r − r−2eν−λ{r−2γ(ω , r + ω∗

, r) cot θ + e−νβ , rβ∗, r (3.44)

− ω , rω∗, r − r−2γ2 cot2 θ}+ q{...},

de forma que temos uma dependencia em cot θ e cot2 θ, o que de acordo com a equacao 2.89

nao pode acontecer. Assim, a forma esfericamente simetrica de Tµν 3.29 implica em uma

forma de Θµν que nao e esfericamente simetrica. E facil ver que este problema desaparece

se fizermos γ(r) = 0 , ou seja, se anularmos as componentes transversais em 3.29. Isto

nos faz concluir que, assim como a eletrodinamica, a teoria de Avdeev-Chizhov para

os campos de materia nao admite componentes transversas em Tµν . Uma consequencia

bastante interessante desse resultado e que, no cenario em que estamos trabalhando, os

campos de materia possuirao apenas dois graus de liberdade radiais, de forma que se

escolhermos a direcao radial como sendo a longitudinal, segundo a analise feita na secao

1.3, os campos de materia possuirao hamiltoniano positivo definido. Tomando, entao,

γ = 0 e usando a condicao de auto-dualidade complexa para escrever a seguinte relacao:

α = ir−2e(ν+λ)/2ω, (3.45)

61

ficamos com:

Θ00 = r−4eν−λω , rω∗, r −

3q

4r−8eν(ω∗ω)2, (3.46)

ou ainda:

Θ 00 = r−4e−λω , rω

∗, r −

3q

4r−8(ω∗ω)2. (3.47)

As outras componentes, diferentes de zero, de Θµν serao:

Θ 11 = −r−4e−λω , rω

∗, r −

3q

4r−8(ω∗ω)2, (3.48)

Θ 22 = −r−4e−λω , rω

∗, r −

3q

4r−8(ω∗ω)2, (3.49)

Θ 33 = −r−4e−λω , rω

∗, r −

3q

4r−8(ω∗ω)2. (3.50)

Antes de resolvermos as equacoes de Einstein para os campos de materia, vamos voltar

a equacao 3.42. Se, nela, escolhermos τ(r) = ω(r) e usarmos 3.39, nos teremos que

ω , r = 0 , (3.51)

de forma que ficamos com

Θ 00 = Θ 1

1 = Θ 22 = Θ 3

3 = −3q

4r−8(ω∗ω)2. (3.52)

Estas sao, entao, as componentes do tensor momentum-energia para os campos tensoriais

de materia em um espaco-tempo esfericamente simetrico e estatico.

3.4.4 Resolucao das equacoes de Einstein para os campos demateria

Vamos, agora, resolver as equacoes de Einstein, as quais sao dadas por 2.89 a 2.93

com Θµν encontrado acima. Nos ficamos, entao com:

−e−λ( 1

r2− λ , r

r

)+

1

r2= −3κq

4r−8(ω∗ω)2, (3.53)

62

−e−λ( 1

r2+ν , r

r

)+

1

r2= −3κq

4r−8(ω∗ω)2, (3.54)

λ = 0. (3.55)

As outras equacoes de Einstein podem ser derivadas a partir destas.

Subtraindo as duas primeiras equacoes acima, teremos:

ν , r + λ , r = 0, (3.56)

o implica que

ν + λ = f(x0), (3.57)

onde f(x0) e funcao somente da coordenada temporal x0.

Podemos, agora, fazer uma transformacao de coordenadas de tal forma que x0 =

h(x′ 0), onde a prima indica o novo sistema de coordenadas, mantendo as coordenadas es-

paciais inalteradas. Esta transformacao de coordenadas deve manter a forma do elemento

de linha inalterada. Assim, teremos:

g′

00 =∂xα

∂x ′ 0

∂xβ

∂x ′ 0gαβ =

( dx0

dx ′ 0

)g00 = h2g00. (3.58)

Se escolhermos h(x′ 0) de tal forma que

h =dx0

dx ′ 0= e−f(x0)/2, (3.59)

com f(x0) dada acima, teremos:

g′

00 = e−fg00 = eν−f . (3.60)

De acordo com isto, a transformacao acima soma a ν uma funcao arbitraria do tempo, en-

quanto mantem inalteradas as outras componentes do tensor de metrica. Assim, podemos

escolher h de tal forma que ν + λ = 0 no novo sistema de coordenadas. Consequentemente

de 3.55, tanto ν com λ podem ser tomadas como independentes do tempo.

Tomando, agora, a equacao 3.53, podemos escreve-la como:

d

dr[r(1− e−λ)] =

−3κq

4r6(ω∗ω)2, (3.61)

63

a qual tem como solucao geral:

e−λ = eν = 1− rs

r−r6q

r6, (3.62)

onde

rq =(3κq(ω∗ω)2

20

)1/6. (3.63)

Sumarizando todos os resultados acima, teremos a seguinte expressao para a metrica:

gµν =

1− rs

r− r6

q

r6

−(1− rs

r− r6

q

r6 )−1

−r2

−r2sen2θ

, (3.64)

a qual, de forma semelhante a metrica de Reissner - Nordstrøm, depende da carga do

campo (18, 21, 23).

64

CONCLUSAO

Neste trabalho, mostramos que a teoria de Avdeev-Chizhov para os campos tensoriais

de materia pode, assim como no espaco de Minkowski, ser vista como uma teoria do tipo

λϕ4 para um campo tensorial complexo ϕµν que satisfaca uma condicao de autodualidade

complexa ϕµν = iϕµν em espacos-tempo com curvatura.

Mostramos, tambem, que a relacao entre as teorias acima simplifica em muito o calculo

do tensor momentum-energia para os campos de materia, facilitando, portanto, a genera-

lizacao da teoria de Avdeev-Chishov para espacos-tempo curvos.

Apos, como uma aplicacao da teoria, resolvemos as equacoes de Einstein em um

espaco-tempo do tipo Schwazschild, mostrando que os campos tensoriais de materia re-

produzem uma metrica que, de forma semelhante a de Reissner-Nordstrøm (18, 21, 23),

depende da carga do campo. Alem disso, mostramos que em um cenario esfericamente

simetrico, os campos tensoriais de materia possuem apenas dois graus de liberdade radi-

ais, de forma que o hamiltoniano dos mesmos e positivo definido, conforme discusao feita

na secao 1.3.

Futuras investigacoes sobre a generalizacao, para espacos-tempo curvos, do caso nao

abeliano da teoria de Avdeev-Chizhov podem ser feitas. Alem disso, pode-se estudar o

mecanismo de geracao de massa para Tµν descrito em (28), no limite de campos gravita-

cionais fracos.

65

APENDICE A -- Matrizes e espinores de

Dirac

Neste apendice apresentamos uma breve revisao sobre as matrizes e os espinores de

Dirac no espaco-tempo de Minkowski e em um espaco-tempo curvo, os quais foram utili-

zados, respectivamente, nos capıtulos 1 e 3 desta dissertacao.

A.1 Matrizes e espinores de Dirac no espaco de Min-

kowski

As matrizes de Dirac sao definidas como:

γ0 =

1 0

0 −1

γ =

0 σ

−σ 0

,

onde σ= (σ1, σ2, σ3) sao as matrizes de Pauli e 1 a matriz identidade 2× 2

1 =

1 0

0 1

, σ1 =

0 1

1 0

, σ2 =

0 −ii 0

, σ3 =

1 0

0 −1

. (A.1)

As matrizes γi, i = 1, 2, 3 sao anti-hermitianas e γ0 e hermitiana. Alem disso, as

matrizes γ satisfazem a algebra de Cliford:

{γµ, γν} = γµγν + γνγµ = 2gµν . (A.2)

Introduz-se uma nova matriz γ5

γ5 = γ5 = − i

4!εµναβγ

µγνγαγβ, γ†5 = γ5 (A.3)

66

com

γ25 = 1

{γ5, γµ} = 0 (A.4)

Define-se tambem uma outra matriz em termos do comutador das matrizes γ:

σµν =i

2[γµ, γν ] ,

com

[γ5, σµν ] = 0 , (A.5)

a qual satisfaz a importante identidade:

γ5σµν =

i

2εµναβσ

αβ (A.6)

A matriz de conjugacao de carga de espinores e definida por

C = iγ2γ0, (A.7)

satisfazendo as seguintes identidades:

CγµC = γTµ

Cγ5C = −γT5

CσµνC = −σTµν (A.8)

C(γ5γµ)C = −(γ5γµ)T

A.2 Espinores em espacos-tempo curvos

Campos espinoriais tem sido estudados em relatividade geral por muitos autores (29),

(30), (31), (32), (33) e de, pelo menos, tres pontos de vista diferentes, sendo estes tres,

em princıpio, equivalentes.1 Aqui, vamos usar o formalismo das tetradas.

1Estes formalismos sao sumarizados na referencia (31)

67

A.2.1 Tetradas

Seguindo Newmann e Penrose (32), vamos introduzir uma base de vetores lµ, nµ,

mµ e m∗µ em cada ponto de um manifold Riemanniano com assinatura −2. As tetradas

consistem de dois vetores reais tipo-luz lµ e nµ, e um par de vetores tipo-luz complexos

mµ e m∗µ, formados por dois vetores reais ortonormais tipo-espaco, aµ e bµ, como segue:

mµ =(aµ − ibµ)√

2. (A.9)

As tetradas satisfazem as relacoes de pseudo-ortogonalidade:

lµnµ = −mµm

∗µ = 1, (A.10)

com todos os outros produtos escalares zerando. Introduzindo os sımbolos eµa para as

tetradas (lµ, nµ, mµ e mµ∗), com a = 1, 2, 3, 4 enumerando as tetradas, vamos definir,

trabalhando em cada ponto, uma matriz de escalares gab, a qual chamaremos de ”frame

metric”:

gab = gµνeµae

νb . (A.11)

Desde que eµa sao L.I. e gµν e nao singular, segue-se que gab e nao-singular e, portanto,

invertıvel. Definimos, portanto, a sua inversa gab, por

gabgac = δc

b . (A.12)

Nos usaremos, entao, gab para levantar e baixar ındices, da mesma forma que fazemos

com o tensor de metrica. Podemos, ainda, verificar a relacao inversa

gµν = eaµe

bνgab. (A.13)

Tomando,agora, eµ1 = lµ; eµ

2 = nµ; eµ3 = mµ; eµ

4 = m∗µ, da condicao de pseudo-

ortonormalidade, nos teremos:

gab =

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 −1 0

, (A.14)

de forma que, ficamos com:

gµν = eaµe

bνηab (A.15)

68

Tambem, temos que a condicao de pseudo-ortogonalidade, pode ser escrita, agora, como:

(ea)µ(eb)µ = ηab (A.16)

Outras relacoes sao:

gµν = 2[l(µnν) −m(µm∗ν)] (A.17)

gµν = 2[l(µnν) −m(µm∗ν)] (A.18)

que nos dao o tensor de metrica em termos de produtos de tetradas.

A.2.2 Espinores de Dirac em espacos curvos

Tendo introduzido o formalismo das tetradas na secao anterior, vamos agora discutir

como os espinores de Dirac sao formulados em um espaco-tempo curvo.

As matrizes de Dirac sao definidas em espacos curvos da seguinte forma:

ρµ = eµaγ

a, (A.19)

onde a = 0, 1, 2, 3 e ρµ satisfazem a algebra de Clifford:

ρµρν + ρνρµ = 2gµν . (A.20)

E a matriz ρ5 e definida como:

ρ5 = − i

4!εabmnγ

aγbγmγn = γ5 (A.21)

onde εabmn e o tensor de Levi-Civita em espacos curvos, que no formalismo das tetradas

e definido como:

εabmn = eαae

βb e

µme

νnεαβµν (A.22)

sendo εαβµν o tensor de Levi-Civita no espaco-tempo plano, definido no capıtulo 1.

E conveniente definirmos, tambem a derivada covariante de um espinor de Dirac:

∇µψ = ∂µψ + Γµψ (A.23)

onde

Γµ =1

4ρνρ

ν; µ (A.24)

e a conexao de Fock - Ivannenko (29) (30) (34) (31) (35).

69

APENDICE B -- Campos tensoriais

anti-simetricos com

simetria esferica

O estudo de campos tensoriais anti-simetricos com simetria esferica foi inicialmente

feito por Papapetrou, onde o mesmo mostrou que um tensor Tµν anti-simetrico tendo

somente as componentes radiais T10 = w(r, t) e T23 = v(r, t)senθ diferentes de zero e

esfericamente simetrico (25). Mais tarde, P.C. Vaidya obteve uma forma mais geral para

um tensor anti-simetrico com simetria esferica, a qual possuıa alem das componentes

radiais encontradas por Papapetrou componentes transversas (26), (27). A forma proposta

por Vaidya foi utilizada na secao 3.4.1. Neste apendice, vamos fazer uma pequena revisao

dos argumentos utilizados por Vaidya.

B.1 Rotacoes infinitesimais de uma esfera

Aqui, estaremos interessados na geometria bidimensional de uma esfera de raio a. A

forma quadratica fundamental ψ sobre a superfıcie da esfera e dada por:

ψ = a2dθ2 + a2 sin2 θdφ2 = g22(dx2)2 + g33(dx

3)2. (B.1)

As componentes contravariantes ξµ, µ = 2, 3 de uma transformacao infinitesimal, a qual

pode ser representada pelo movimento de uma esfera em torno de um dos seus diametros,

satisfazem as seguintes equacoes de Killing:

cos θξ2 + sin θ(∂ξ3/∂φ) = 0,

sin2 θ(∂ξ3/∂θ) + (∂ξ2/∂φ) = 0, (B.2)

∂ξ2/∂θ = 0.

70

Da terceira das equacoes B.2, temos que ξ2 = X3, onde X3 e uma funcao somente de

φ. Indicando por primas as derivadas das funcoes em relacao aos argumentos, das duas

primeiras equacoes nos temos:

∂ξ3/∂φ = −X3 cot θ,

∂ξ3/∂θ = −X ′

3cossec2θ. (B.3)

As equacoes acima tem a seguinte condicao de consistencia:

X ′′3 +X3 = 0 ou X3 = A cos(φ+B). (B.4)

Nos entao chegamos a seguinte forma final para as componentes contravariantes ξµ de

uma rotacao infinitesimal de uma esfera em torno de seu diametro:

ξ2 = A cos(φ+B), (B.5)

ξ3 = −A sin(φ+B) cot θ + C, (B.6)

onde A,B e C sao constantes arbitrarias.

B.2 Campos tensoriais anti-simetricos com simetria

esferica

A condicao de simetria esferica para um campo tensorial e a seguinte: existe um

sistema de referencia tal, que depois de uma rotacao arbitraria em torno do centro de si-

metria, as novas componentes T ′µν do tensor possuem a mesma forma funcional em relacao

as novas coordenadas x′µ que as componentes antigas do tensor Tµν possuıam em relacao

as coordenadas antigas xµ.

Vamos tomar o centro de simetria como sendo a origem de nosso sistema de coorde-

nadas e considerar uma rotacao infinitesimal dada por:

x′µ = xµ + ξµδε , (B.7)

71

sendo δε infinitesimal e

ξ0 = 0, ξ1 = 0

ξ2 = A cos(φ+B) ,

ξ3 = −A sin(φ+B) cot θ + C. (B.8)

E claro de consideracoes gerais que transformacoes arbitrarias das coordenadas r e t

manterao a simetria esferica de uma expressao tensorial inalterada. Entao, em B.8 sao

consideradas transformacoes somente nas coordenadas θ e ϕ estipulando-se que ξ0 = ξ1 =

0.

O criterio de simetria esferica de um tensor Tµν e:

T ′µν(x

′µ) = Tµν(x′µ). (B.9)

Substituindo de B.7 os valores de xµ no segundo membro de B.9, expandindo em serie de

Taylor e considerando somente os termos da ordem de δε, podemos escrever o criterio de

simetria esferica como:

T ′µν(x

′µ) = Tµν(xµ) + Tµν , µξ

µδε. (B.10)

Por outro lado, aplicando a lei de transformacao tensorial a Tµν , nos teremos:

T ′µν(x

′µ) = Tµν(xµ)− [ξα

, µTαν + ξα, νTαµ]δε. (B.11)

Subtraindo B.10 e B.11, chegamos na seguinte equacao:

ξα, µTαν + ξα

, νTαµ + Tµν , αξα = 0, (B.12)

a qual e chamada de equacao de Killing.

Os dois primeiros termos do primeiro membro da equacao acima surgem a partir da lei

de transformacao de um tensor, enquanto o terceiro, o qual pode ser chamado de termo de

transporte, surge porque o valor de Tµν no ponto xµ e comparado com Tµν transformado

no ponto que possui, depois da transformacao, coordenada xµ (e portanto, originalmente

tinha coordenadas xµ − ξµδε).

E facil verificar que, como resultado de B.12, T10 e T23cossecθ tem de satisfazer so-

mente uma equacao da forma:

z , αξα = 0, ou ξ2(∂z/∂θ) + ξ3(∂z/∂ϕ). (B.13)

72

A solucao geral da equacao acima e dada por:

z = f(w, r, t), (B.14)

w = Asen(ϕ +B)senθ + C cos θ, (B.15)

sendo f uma funcao arbitraria dos seus argumentos.

Como a transformacao das coordenadas r e t, em campos esfericamente simetricos,

podem ser estudadas independentemente das transformacoes das coordenadas θ e ϕ, vamos

primeiramente escrever a funcao f como um produto de uma funcao de (r, t) por uma

funcao de (θ, ϕ), onde a forma das funcoes de (θ, ϕ) sera determinada pelo criterio B.12,

enquanto a forma das funcoes de (r, t) sera decidida pelas equacoes de campo que governam

Tµν . Portanto, de B.12, nos podemos escrever:

T10 = H(r, t)h(w) ; T23 = E(r, t)senθk(w) , (B.16)

onde H, E, h e k sao funcoes arbitrarias de seus argumentos.

Escrevendo as outras componentes de Tµν como produtos de funcoes de (r, t) por

funcoes de (θ, ϕ), encontraremos que B.12 nos da a seguinte forma para as mesmas:

T12 = P (r, t)v(θ, ϕ), T13 = −P (r, t)u(θ, ϕ)senθ,

T20 = Q(r, t)v(θ, ϕ), T30 = −Q(r, t)u(θ, ϕ)senθ.

Obviamente, todas as funcoes de (r, t) sao arbitrarias, mas u(θ, ϕ) e u(θ, ϕ) tem de satis-

fazer as seguintes equacoes:

−Asen(ϕ+B)u(θ, ϕ)cosecθ + ξ2(∂v(θ, ϕ)/∂θ) + ξ3(∂v(θ, ϕ)/∂ϕ) = 0, (B.17)

−Asen(ϕ+B)v(θ, ϕ)cosecθ + ξ2(∂u(θ, ϕ)/∂θ) + ξ3(∂u(θ, ϕ)/∂ϕ) = 0. (B.18)

Combinando, entao as equacoes acima nos obtemos:

ξα[∂(u2 + v2)/∂xα] = 0, (B.19)

e

ξα[∂(arctan(u/v))/∂xα] + Asen(ϕ+B)cosecθ = 0. (B.20)

73

De B.19 nos encontramos imediatamente que

u2 + v2 = f 2, (B.21)

onde f = f(w) e uma funcao arbitraria de w.

A equacao B.20 pode ser integrada fornecendo o seguinte resultado:

u/v = A cos(ϕ+B){∂w/∂θ}−1, (B.22)

de forma que chegamos a:

v = A cos(ϕ+B)(A2 + C2 − w2)−1/2f(w), (B.23)

u = (Asen(ϕ+B) cos θ − Csenθ)(A2 + C2 − w2)−1/2f(w). (B.24)

Assim, a expressao final de Tµν que satisfaz o criterio B.12 e:

Tµν =

0 −Hh −Qv Qusenθ

Hh 0 Pv −PusenθQv −Pv 0 Eksenθ

−Qusenθ Pusenθ −Eksenθ 0

, (B.25)

onde P, Q, E e H sao funcoes arbitrarias de r e t; h e k sao funcoes arbitrarias de w,

dada por B.15. As funcoes v e u sao dadas por B.23 e B.24, respectivamente. Devemos

observar que B.25 nao e a solucao mais geral de B.12, ja que admitimos transformacoes

separadas para as coordenadas (r, t) e (θ, ϕ).

B.3 A polarizacao do campo Tµν

Vamos agora considerar, com mais detalhes, a dependencia das componentes de Tµν

nas variaveis θ e ϕ. Essa dependencia e encontrada principalmente nas funcoes u, v e w.

Temos de B.25 que Tµν contem componentes radiais, T10 e T23, e tambem componen-

tes transversas T12, T20, T13 e T30. Temos que as componentes transversas de um tensor

anti-simetrico de segunda ordem com simetria esferica sao tomadas em cada ponto do

plano tangente a uma esfera. E bem conhecido do eletromagnetismo que, no plano tan-

74

gente, as componentes transversas do campo eletromagnetico podem tomar algum par de

direcoes ortogonais dependendo da polarizacao da respectiva onda. Entao uma onda ele-

tromagnetica polarizada pode escolher, devido a sua polarizacao, uma direcao preferencial

sempre que ela possuir simetria esferica. Efeitos de polarizacao, os quais ocorrem no plano

tangente a esfera em cada ponto, deverao entao ser exibidos nas componentes transversas

de nosso tensor anti-simetrico. Dessa forma, as funcoes u e v, as quais so ocorrem nas

componentes transversas de Tµν , podem ser tomadas para indicar polarizacao.

Ha, ainda, uma outra forma na qual as funcoes de θ e ϕ podem aparecer em nosso

campo tensorial. Se uma rotacao infinitesimal dada por B.7 e B.8 e feita em torno de

um diametro QOQ’ da esfera, e claro que campos tensoriais que possuam simetria axial

em torno de QOQ’, mas que nao possuam simetria esferica em torno do ponto O, irao

obedecer ao criterio B.12 e podem estar presentes em sua solucao. E facil ver que funcoes

indicando simetria axial em torno de QOQ’ serao, tambem, funcoes de θ e ϕ. Na secao

B.2 vimos que a funcao w e proporcional ao cosseno de um angulo POQ, onde P e o

ponto da esfera sobre o qual o valor do tensor e calculado. E portanto claro que w, a

qual ocorre tanto nas componentes radiais como nas transversas, indica simetria axial em

torno de um eixo. Dessa forma, nos podemos remover todas as funcoes de w do nosso

tensor fazendo-as iguais a unidade. Alem disso, podemos escolher as orientacoes dos eixos

das nossas coordenadas polares de forma que possamos obter valores simplificados para

as funcoes u(θ, ϕ) e v(θ, ϕ) :

v = 0 , u = 1, (B.26)

obtemos, assim, a forma final de Tµν esfericamente simetrico:

Tµν =

0 −H 0 qsenθ

H 0 0 −psenθ0 0 0 Esenθ

−qsenθ psenθ −Esenθ 0

.

75

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