Caos Em Siatemas Mecânicos

7/24/2019 Caos Em Siatemas Mecnicos

1/30

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/267955828

Caos em sistemas mecnicos

ARTICLE

READS

125

1 AUTHOR:

Marcelo Savi

Federal University of Rio de Janeiro

135PUBLICATIONS 1,464CITATIONS

SEE PROFILE

All in-text references underlined in blueare linked to publications on ResearchGate,

letting you access and read them immediately.

Available from: Marcelo Savi

Retrieved on: 19 February 2016
https://www.researchgate.net/profile/Marcelo_Savi?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_7https://www.researchgate.net/profile/Marcelo_Savi?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_7https://www.researchgate.net/profile/Marcelo_Savi?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_7https://www.researchgate.net/?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_1https://www.researchgate.net/profile/Marcelo_Savi?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_7https://www.researchgate.net/institution/Federal_University_of_Rio_de_Janeiro2?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_6https://www.researchgate.net/profile/Marcelo_Savi?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_5https://www.researchgate.net/profile/Marcelo_Savi?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_4https://www.researchgate.net/?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_1https://www.researchgate.net/publication/267955828_Caos_em_sistemas_mecanicos?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_3https://www.researchgate.net/publication/267955828_Caos_em_sistemas_mecanicos?enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA%3D%3D&el=1_x_2


2/30

Caos em sistemas mecnicos

M. A. Savi, Instituto Militar de Engenharia, Departamento de Engenharia Mecnicae de Materiais, 22.290.270 - Rio de Janeiro - RJ

Resumo. Sistemas dinmicos no-lineares so passveis de apresentar respostascaticas. Modernamente, o caos entendido como o comportamento estocsticode sistemas determinsticos. Este trabalho apresenta uma reviso sobre asprincipais caractersticas do caos em sistemas mecnicos: sensibilidade scondies iniciais, ferradura de Smale, atrator estranho, conjunto de Cantor,dimenso fractal e expoentes de Lyapunov. Discute-se tambm a anlise desries temporais no-lineares. Apresenta-se uma coleo de resultadosrelacionados a sistemas mecnicos inteligentes e a anlise de sries temporaisaplicada a um pndulo experimental. Uma grande variedade de respostas podeser observada incluindo o caos e o hipercaos.

1. Introduo

O estudo de modelos lineares criou paradigmas que se enraizaram na tradiohistrica. O determinismo estrito um bom exemplo disto e pode ser bemrepresentado pelo pensamento de Laplace: Devemos ver o estado presente douniverso como o efeito do seu estado anterior, e como a causa daquele que vir.Uma inteligncia que, em qualquer instante dado, soubesse todas as foras pelaqual o mundo natural se move e a posio de cada uma de suas partes

componentes, e que tivesse tambm a capacidade de submeter todos estes dados aanlise matemtica, poderia encompassar na mesma frmula os movimentos dosmaiores objetos do universo e aqueles dos menores tomos; nada seria incerto paraele, e o futuro, assim como o passado, estaria presente diante de seus olhos.

Eulerexplicita bem a dificuldade de tratar problemas no-lineares quando falasobre o movimento de fluidos: Se no nos permitido penetrar a um conhecimentocompleto sobre o movimento dos fluidos, no mecnica e insuficincia dosprincpios conhecidos do movimento que se deve atribuir isto, mas prpriaanlise que aqui nos abandona.

Em fins do sculo XIX, Poincar estudava o problema da dinmica de trscorpos, concluindo que o acaso deveria se contrapor ao determinismo estrito de

Laplace: Uma causa muito diminuta, que nos escapa, determina um efeitoconsidervel, que no podemos deixar de ver, e ento dizemos que este efeito devido ao acaso. Se pudssemos conhecer exatamente as leis da natureza e asituao do universo no instante inicial, seramos capazes de prever exatamente a


3/30

2 M. A. Savi

situao deste mesmo universo no instante subsequente. Mas mesmo quando as leis

naturais j no tivessem mais segredo para ns, s poderamos conhecer a situaoinicial aproximadamente. Se isto nos permite antecipar a situao subsequente como mesmo grau de aproximao, ficamos satisfeitos, dizemos que o fenmeno foiprevisto, que governado por leis. Mas nem sempre isto ocorre; pode acontecerque diferenas mnimas nas condies iniciais produzam diferenas muito grandesno fenmeno final; um erro mnimo nas primeiras produziria um erro enorme nesteltimo. A previso torna-se impossvel e temos o fenmeno do acaso.

Apesar da clara viso de Poincar, foi s em 1963, quando Lorenzdesenvolviaestudos sobre problemas atmosfricos, que se retomou a idia do acaso na anlise desistemas dinmicos. Contando com o auxlio de um computador, Lorenz tratava omodelo de Rayleigh-Bernard para conveco de fluidos, e observou que umapequena variao nas condies iniciais poderia acarretar grandes diferenas na

evoluo do sistema. Este fenmeno ficou conhecido como efeito borboleta, comouma aluso de que se uma borboleta batesse suas asas em algum lugar do planeta,poderia alterar a resposta de um sistema dinmico do outro lado da Terra. Tratava-sede um sistema totalmente determinstico cujos resultados poderiam ser aleatrios.

Gleick (1987) coloca que este trabalho trouxe a assustadora compreenso deque equaes matemticas simples podiam servir de modelo para sistemas toviolentos. Iniciava-se a o moderno estudo do caos, cujas idias bsicas haviamsido lanadas por Poincar. O caos uma das inmeras possibilidades decomportamento de um sistema no-linear. a dinmica libertada da previsibilidade.

A idia de que a natureza bem comportada, que domina o senso comum, umaconsequncia da exagerada utilizao de modelos lineares, o que limitou o espectrode anlise por muitos anos, eliminando uma incrvel variedade de comportamentos.

A cincia moderna tende a atribuir o nome caosao comportamento estocsticode sistemas determinsticos (Stewart, 1991). Cabe estabelecer a distino entrefenmenos aleatrios e caticos. Os fenmenos aleatrios dizem respeito a sistemasno-determinsticos. Ou seja, o sistema apresenta uma resposta aleatria como umaconsequncia de uma entrada aleatria. Por outro lado, os fenmenos caticos sodeterminsticos. Assim, para uma entrada totalmente conhecida e determinada surgeuma resposta aparentemente aleatria.

O presente trabalho tem como objetivo apresentar alguns conceitos bsicosrelacionados ao caos. Inicialmente apresenta-se uma breve reviso histrica de

alguns sistemas dinmicos no-lineares que impulsionaram o estudo do caos. Aseguir, tratam-se algumas caractersticas apresentadas em uma resposta catica,assim como algumas ferramentas importantes para sua anlise. Para ilustrar o caos,consideram-se sistemas dinmicos com memria de forma e a anlise de um pnduloexperimental.


4/30

Caos em Sistemas Mecnicos 3

2. Reviso Histrica

Em fins do sculo XIX Poincar se props a estudar a dinmica de um sistema detrs corpos. Este problema bem mais complexo do que o problema da dinmica dedois corpos, usualmente considerada na poca. A Figura 1 mostra rbitas de umamassa gravitando em torno de outros dois corpos, onde observa-se a grandecomplexidade da resposta.

Figura 1 rbitas de uma massa gravitando em torno de outros dois corpos(Stewart, 1991)

Quase um sculo depois, Lorenz (1963)estudava problemas meteorolgicos apartir do modelo de conveco natural de Rayleigh-Barnard, quando se deparoucom o caos. O estudo contempla duas placas paralelas separadas por um fluido. Aplaca superior est a uma temperatura mais baixa que a inferior. Assim, por ao datemperatura, o fluido da parte inferior tende a subir enquanto o fluido da porosuperior tende a descer por ao da gravidade. Esse comportamento forma umarecirculao conforme mostrado na parte superior da Figura 2. Contudo, alteraesem algumas condies do problema podem tornar o padro de resposta bem maiscomplexo, conforme mostrado nas partes inferiores da Figura 2.

Desde ento, inmeros pesquisadores passaram a se debruar sobre o caos,analisando diferentes sistemas dinmicos associados a uma srie de situaes fsicas.May (1976), por exemplo, tratou um sistema dinmico relacionado com ocrescimento populacional de espcies de insetos. Este trabalho ficou conhecidocomo Mapa Logstico e avalia a populao em um ano,Xi+1, a partir do ano anterior,Xi: )1(1 =+ iii XXX . O parmetro define o tipo de resposta do sistema. Sem

dvida, trata-se de um sistema simples do ponto de vista matemtico e que possuiuma dinmica muito rica.
https://www.researchgate.net/publication/216301049_Deterministic_Nonperiodic_Flow?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/22221244_Simple_Mathematical_Models_With_Very_Complicated_Dynamics?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/216301049_Deterministic_Nonperiodic_Flow?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/22221244_Simple_Mathematical_Models_With_Very_Complicated_Dynamics?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


5/30

4 M. A. Savi

Figura 2 Conveco natural (Van Dyke, 1982)

Com o passar dos anos, inmeras contribuies relevantes foram proporcionadaspor diversos pequisadores. Dentre eles, vale destacar: Fegeibaum, Smale, Shaw,

Duffing, ,van der Pol, Yorke, Grebogi, Ott, Guckenheimer, Holmes, Moon,Abarbanel, Thompson, Chua.

Em paralelo ao estudo da dinmica de sistemas, Mandelbrot (1982) estabeleceu aexistncia da geometria da natureza em contraste com a geometria clssica quefornece uma primeira aproximao das estruturas dos objetos fsicos. Assim, ageometria fractal pode ser considerada como um extenso da geometria clssica.Fractais tem sido observados na natureza em diferentes situaes variando desdeformas geomtricas s cincias fsicas. Basicamente, possvel caracterizar fractaisem dois grupos distintos: objetos slidos e atratores estranhos. O primeiro tipo,corresponde aos objetos fsicos que existem no espao fsico ordinrio. Por outrolado, o segundo tipo considera objetos conceituais que existem no espao de estadode sistemas dinmicos caticos (Theiler, 1990). A Figura 3 mostra algumas

representaes de sistemas naturais a partir da geometria fractal.

Figura 3 Geometria fractal (Barnsley, 1988).

Em seu recente livro, Lorenz (1996) afirma que opimballest para o caos assimcomo o dado est para a probabilidade. Diferenas mnimas nas condies iniciaisdo lanamento da bola, podem acarretar diferenas muito grandes depois de umcerto tempo, inviabilizando certas jogadas. De maneira anloga, uma pequenavariao no impulso de um esquiador no incio de uma pista pode acarretar grandes
https://www.researchgate.net/publication/223130366_Estimating_fractal_dimension?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/223130366_Estimating_fractal_dimension?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


6/30


diferenas em um determinado ponto da pista. A Figura 4 mostra um esquema de

umpimball e de uma pista de esqui, mostrando trajetrias para diferentes condiesiniciais.

Figura 4 Sensibilidade s condies iniciais (Lorenz, 1996).(a) Pimball. (b) Pista de esqui.

Atualmente, muitas reas do conhecimento tm se deparado com o caos, dentreas quais vale destacar a engenharia (Piccoli & Weber, 1998; Moon, 1998; Mees &Sparrow, 1987), a medicina (Goldberger et al., 1990), a ecologia (Schaffer, 1985),a

biologia (Hassel et al., 1991) e a economia (Aguirre & Aguirre, 1997; Peel &Speight, 1994). A resposta catica tambm tem sido associada a padres deinteligncia ou de criatividade. Isto tem motivado estudos que reavaliem asconcepes tradicionais, utilizando mtodos analticos, numricos e experimentais

alternativos. Briggs & Peat (2000) afirmam que o caos revela que, em vez deresistir s incertezas da vida devemos aproveit-las.

3. Comportamento Catico

Um sistema dinmico pode ser expresso na forma contnua, ou de um mapa,discreto no tempo:

. (1a)nRxxfx = ,)(&

. (1b)nii RXXFX =+ ,)(1Isto significa que um campo vetorial, x, est sendo submetido a uma transformao

imposta porf. O espao das variveis dependentes do sistema, x, definido como oespao de fase (Wiggins, 1990).Umponto de equilbrioouponto fixo desse sistemadinmico definido como sendo o ponto em que o sistema pode permanecerestacionrio, ou seja, um ponto onde a soluo no varia com o tempo. Assim, se
https://www.researchgate.net/publication/216633130_Order_and_Chaos_in_Ecological_Systems?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/216635545_Spatial_Structure_and_Chaos_in_Insect_Population-Dynamics?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/216635545_Spatial_Structure_and_Chaos_in_Insect_Population-Dynamics?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/216635545_Spatial_Structure_and_Chaos_in_Insect_Population-Dynamics?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/258629276_Introduction_To_Applied_Nonlinear_Dynamical_Systems_And_Chaos?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/216635545_Spatial_Structure_and_Chaos_in_Insect_Population-Dynamics?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/258629276_Introduction_To_Applied_Nonlinear_Dynamical_Systems_And_Chaos?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/216633130_Order_and_Chaos_in_Ecological_Systems?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


7/30

6 M. A. Savi

nRx for um ponto de equilbrio do sistema dinmico, ento 0)( =xf . De

maneira anloga diz-se que, para um mapa, nRX um ponto de equilbrio se)(XFX= (Guckenheimer & Holmes, 1983).

A estabilidade do sistema pode ser avaliada de diversas maneiras. Na vizinhanado ponto de equilbrio, pode-se lanar mo de uma linearizao do sistema a partirde uma mudana de coordenada do tipo xx = . Com isso, o sistema linearizado

possui uma forma: Df=& , onde Df a Jacobiana do sistema. Uma anlise de

seus autovalores proporcionam uma imagem sobre a dinmica do sistema nasvizinhanas do ponto de equilbrio. A Tabela 1 mostra tipos de pontos de equilbrioem um contexto bidimensional.

Tabela 1 Tipo de pontos de equilbrio.

y

x

Poo

y

x

Fonte

y

x

Sela

y

x

Centro

y

x

Espiral Estvel

y

x

Espiral Instvel

3.1. Ferradura de Smale

Na medida que o tempo evolui, f impe transformaes ao campo vetorial x. Umaanlise qualitativa do sistema dinmico permite entender o comportamento globaldo sistema. A base para esta anlise a topologia, que pode ser entendida como a


8/30


cincia que trata as transformaes contnuas e as propriedades geomtricas de

alguns objetos sob a ao de transformaes (Singer & Thorpe, 1967).

Considere ento, um quadrado unitrio, Q, submetido ao da funo fque otransforma de tal forma que contrai em uma direo enquanto o expande em outra,deformando Qde modo que ele se mantenha no espao original. Assim,ftransformaQ, conforme mostra a Figura 5. De maneira anloga, pode-se pensar em umatransformao inversa, de tal forma que a contrao e a expanso de Q seriamtomadas de forma diferente, conforme mostra a Figura 6.

V0 V1f f

V00

V11

V10

V01

f

...

0 1

1

H1

H0

Figura 5 - Sequncia de transformaes impostas ao quadrado Qpela funof.

f-1

f-1

...

H1

H0

0 1

V1V0

1

H11H10

H01H00

f-1

Figura 6 - Sequncia de transformaes impostas ao quadrado Qpela funo inversa

def.

No limite, a interseo das transformaes impostas por f (linhas verticais Figura 5) com aquelas impostas por f 1(linhas horizontais Figura 6), formam umconjunto invariante de pontos (Wiggins, 1990; Guckenheimer & Holmes, 1983).Este conjunto possui a forma de um conjunto de Cantor que fechado e totalmentedesconexo, possuindo uma infinidade incontvel de pontos (Moon, 1992). Estastransformaes implicam que, a um ponto qualquer de Q, p, pode-se associar umavizinhana, , que pode ser infinitamente pequena, e onde pode-se escolher umoutro ponto qualquer, p~ . Independente do tamanho da vizinhana , existe um

nmero finito de vezes quefatua sobre o sistema de tal forma que os pontos pp ~e

esto separados de uma distncia finita. Diz-se ento que o sistema possui fortesensibilidade s condies iniciais (Wiggins, 1990).Esta propriedade caracteriza ocomportamento catico de um sistema dinmico. Trata-se do efeito borboleta,mencionado por Lorenz, e das causas muito diminutas, enunciadas por Poincar,

para caracterizar a imprevisibilidade dos sistemas com comportamento catico. AFigura 7 mostra uma ilustrao clara dessa dependncia (Strogatz, 1994).
https://www.researchgate.net/publication/224043755_Non-Linear_Oscillations_Dynamical_Systems_and_Bifurcations_of_Vector_Fields?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/258629276_Introduction_To_Applied_Nonlinear_Dynamical_Systems_And_Chaos?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/224043755_Non-Linear_Oscillations_Dynamical_Systems_and_Bifurcations_of_Vector_Fields?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/258629276_Introduction_To_Applied_Nonlinear_Dynamical_Systems_And_Chaos?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/258629276_Introduction_To_Applied_Nonlinear_Dynamical_Systems_And_Chaos?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


9/30

8 M. A. Savi

Figura 7 Representao esquemtica da forte dependncia s condiesiniciais associada ferradura de Smale (Strogatz, 1994).

A forma de ferradura, assumida pelo quadrado unitrio aps as transformaes

impostas porf, que identifica o que se chama de ferradura de Smale. A existnciada ferradura de Smale uma das caractersticas de um sistema dinmico queexperimenta o caos. Assim, sob determinadas condies, a funo f transforma osistema de forma que existe, em direes distintas, uma expanso, uma contrao euma deformao (ou dobramento). Esta constatao impe que um sistema dinmiconecessita de pelo menos 3 dimenses para exibir um comportamento catico(Wiggins, 1990; Guckenheimer & Holmes, 1983). Holisticamente, o processo deformao desta ferradura tem sido visualizada como a transformao do padeiro,onde associa-se o quadrado unitrio, Q, massa de po que preparada a partir demovimentos de contrao-expanso-dobramento (Gleick, 1987; Stewart, 1991).

De forma rigorosa, a existncia da ferradura uma condio necessria, mas no

suficiente, para a existncia do caos. A ferradura de Smale define o mecanismo deformao de uma estrutura fractal, que o conjunto de Cantor (Moon, 1992). AFigura 8 mostra casos tpicos da obteno desse conjunto. A regra para a construodo conjunto no contexto unidimensional, por exemplo, dividir indefinidamente osegmento de reta em trs partes, onde duas permanecem e uma desconsiderada.Uma regra anloga pode ser proposta no contexto tridimensional.

Figura 8 - Conjuntos de Cantor (Gleick, 1987).
https://www.researchgate.net/publication/224043755_Non-Linear_Oscillations_Dynamical_Systems_and_Bifurcations_of_Vector_Fields?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/224043755_Non-Linear_Oscillations_Dynamical_Systems_and_Bifurcations_of_Vector_Fields?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/258629276_Introduction_To_Applied_Nonlinear_Dynamical_Systems_And_Chaos?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


10/30


O conjunto de Cantor possui uma estrutura com auto-similaridade

como umaconsequncia de sua lei de formao (Barnsley, 1988). A auto-similaridade implicaque, observando uma ampliao de uma parte do conjunto, constata-se umaestrutura idntica ao conjunto original. Isto proporciona uma natureza fracionria

para a estrutura do conjunto. No contexto unidimensional, por exemplo, o segmentode reta original substitudo por um conjunto de pontos que jamais ocupa toda adimenso original, mas que por outro lado, no possui dimenso nula. Diz-se que oconjunto possui uma naturezafractal, como uma aluso ao termo fracionrio.

O estudo do caos e da dinmica no-linear envolve uma srie de ferramentasprprias. A definio dos invariantes geomtricos fundamental no diagnstico deuma resposta catica. A seguir, apresentam-se algumas destas ferramentas.

3.2. Seo de Poincar

A seo de Poincar elimina uma dimenso do sistema permitindo que setransforme um sistema contnuo no tempo em um mapeamento discreto (Thompsom& Stewart, 1986). Uma maneira de se definir a seo de Poincar observar umadada rbita apenas em pontos discretos, estroboscopicamente tomados em umasuperfcie (Figura 9).

Figura 9 Seo de Poincar (Moon, 1992).

3.3. Atrator e Dimenso Fractal

Atrator o conjunto limite para o qual se converge na medida em que o tempoevolui. Existem atratores de diversas dimenses. Por exemplo, um nico pontorepresenta um atrator de dimenso zero, enquanto uma linha, um atrator dedimenso 1.

Sistemas dinmicos que exibem comportamento catico apresentam trajetriasno espao de estado que convergem para um atrator estranho. Hausdorff (1919)forneceu uma definio rigorosa de dimenso fractal, que corresponde a um

propriedade bsica de um atrator. A estranheza de um atrator catico est associado


11/30

10 M. A. Savi

com sua dimenso fractal. Diz-se que um conjunto possui natureza fractal, como

uma aluso ao termo fracionrio, caracterizando uma dimenso no inteira. De ummodo geral, pode-se dizer que a dimenso fornece o valor da informao necessriapara especificar a posio de um ponto no atrator com uma certa preciso. Adimenso tambm, um limite inferior do nmero de variveis essenciaisnecessrias para descrever a dinmica do sistema.

Existem muitas maneiras de se quantificar ou definir a dimenso fractal. Farmeret al. (1983) dividem a dimenso basicamente em dois grupos. Um grupo quedepende somente de propriedades geomtricas, chamado de dimenso fractal oudimenso mtrica; e um outro grupo, que depende no s de propriedadesgeomtricas, mas de propriedades probabilsticas, chamado de dimenso da medidanatural ou dimenso probabilstica. De fato, existe uma outra categoria definida a

partir das propriedades dinmicas do atrator. Trata-se da dimenso de Lyapunovou

conjectura de Kaplan-Yorke. As propriedades complexas dos atratores estranhostornam a determinao da dimenso do atrator um problema no trivial.

Uma definio geomtrica, intuitiva, para a dimenso Dpode ser proposta comosendo o expoente que expressa a escala ou graduao de um objeto de grandeza(objectsBulk) com o seu tamanho: objeto de grandeza tamanhoD. Esse objeto degrandeza pode corresponder a um volume, uma massa, ou mesmo uma medida docontedo de informao, enquanto que o tamanho uma distncia. Portanto, adefinio de dimenso usualmente proposta como uma equao da seguinte forma,

)log(

)log(lim

0 tamanho

grandezaD

tamanho= (2)

onde o limite para um tamanho pequeno feito para garantir uma invarincia sobreuma suave mudana de coordenadas. O mesmo tambm implica que a dimenso sejauma quantidade local, fazendo com que definies globais para a dimensorequeiram algum tipo de mdia.

As variaes do objeto de grandeza e do tamanho caracterizam os diferentesmedidores de dimenso. A dimenso deHausdorff e a de capacidadeso exemplosde dimenses mtricas, enquanto a dimenso pontual (pointwise), de informaoede correlaoso exemplos de dimenses das medidas naturais. Outras definies

podem ser encontradas em Farmer et al. (1983), Mayer-Kress (1985), Paladin &Valpiani (1987) e Theiler (1990).

A presena da estrutura fractal no sistema dinmico, apesar de no estarnecessariamente associada ao caos, pode estar associada a imprevisibilidade nosentido de provocar uma forte dependncia das condies iniciais. Isto estariaassociado a fronteira fractal de uma bacia de atrao de um dado ponto de


12/30


equilbrio. Um atrator captura todas as rbitas que se iniciem na sua bacia de

atrao. Se a fronteira de dois atratores suave, isto caracteriza duas regiesdistintas que so bem definidas. Se por outro lado, a fronteira for fractal, istosignifica que dois pontos indefinidamente prximos podem levar a pontos deequilbrio distintos, o que torna impossvel prever a evoluo do sistema (Moon,1992).

3.4. Expoentes de Lyapunov

Os expoentes deLyapunovavaliam a sensibilidade s condies iniciais, verificandoa divergncia exponencial no tempo de trajetrias vizinhas, e representam um doscritrios mais importantes utilizados para definir o caos em sistemas dinmicos. Ocomportamento catico caracterizado pela existncia de, pelo menos, um dosexpoentes deLyapunovpositivo. Em situaes em que mais de um dos expoentes

positivo, tem-se o que se convencionou chamar de hipercaos. A partir dadeterminao desses expoentes, possvel avaliar outros invariantes do sistema oque mostra a importncia de se calcular precisamente os expoentes de Lyapunov.

Quando o sistema dinmico possui um modelo matemtico estabelecido quepermite a sua linearizao em torno de uma determinada trajetria, os expoentes deLyapunov podem ser calculados com preciso a partir do algoritmo proposto porWolf et al. (1985).Por outro lado, a determinao desses expoentes a partir de umsinal experimental bem mais complicada e, basicamente, existem dois mtodosdisponveis: o mtodo das trajetrias ou mtodo direto ou do espao real e o mtododas perturbaes ou dos espaos tangentes ou mtodo da matriz Jacobiana.

O mtodo das trajetrias foi inicialmente desenvolvido por Wolf et al.(1985)e asua idia bsica est relacionada com a evoluo da distncia, no espao tangente,de duas trajetrias inicialmente muito prximas. Apesar de possibilitar o clculo detodos os expoentes de Lyapunov, na realidade, esse mtodo limita-se somente aomaior expoente ou expoente dominante. Se por um lado isso suficiente paracaracterizar o comportamento catico de um dado sistema, por outro inviabiliza oclculo dos outros invariantes.

Aproveitando a idia lanada por Wolf et al., dois algoritmos similares foramdesenvolvidos posteriormente por Rosenstein et al. (1993) e por Kantz (1994).Esses algoritmos consideram que a divergncia entre duas trajetrias em umadeterminada direo oscila ao longo do sinal, fornecendo o espectro dos expoentesdeLyapunovefetivos. Desta forma, o maior expoente efetivo definido como sendo

o coeficiente angular de uma regio de uma curva associada a direo de maiorinstabilidade.

O mtodo das perturbaes, parece ser mais promissor no clculo dos expoentesdeLyapunov em sries temporais. Como esse mtodo calcula todos os expoentes de
https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


13/30

12 M. A. Savi

Lyapunov, permite a determinao dos outros invariantes do sistema. O produto da

Jacobiana ao longo da trajetria pode determinar o espectro de Lyapunov, atravs daevoluo dos autovalores dessa matriz. Para fazer uso disso, o mapa s(t + 1) = f[s(t)] necessita, de alguma maneira, ser conhecido mesmo que aproximadamente.Existem vrias tcnicas para se extrair esse mapa em sries temporais. Sano &Sawada (1985) e Eckmann et al. (1986), desenvolveram algoritmos similares, nosquais o sistema analisado considerando uma aproximao das matrizes jacobianasa partir de um algoritmo de mnimos quadrados. Brown et al. (1991) e Briggs(1990) modificaram esses algoritmos, introduzindo um polinmio de ordem superior

para definir as matrizes jacobianas, o que acarreta melhores resultados. Kruel et al.(1993) refinaram o algoritmo de Sano & Sawada (1985) na determinao de umadas matrizes de covarincia, geradora da matriz Jacobiana, o que fornece melhoresresultados quando o sinal est contaminado com rudo.

Para introduzir a idia geral da determinao dos expoentes de Lyapunov,considere uma trajetria do sistema dinmico, que evolui a partir de uma condioinicial. Considere tambm uma vizinhana desta trajetria, que pode ser definida poruma esfera de dimetro d0. De cada ponto desta esfera, parte uma nova trajetria e oconjunto de todas as trajetrias possveis forma, em cada tempo t, esferasdeformadas. Deseja-se avaliar como duas trajetrias, suficientemente prximas,divergem uma da outra na medida que o sistema evolui. Em outras palavras, deseja-se avaliar como a esfera inicial se comporta na medida que o tempo evolui (Figura10).

y

t0

y3

1y

d0

t1

(x , t)

d (t)i

(x , t)2

1

2Figura 10 - Avaliao dos expoentes de Lyapunov.

A variao do dimetro desta esfera pode ser expressa a partir da seguinteexpresso: d(t) = d0 b

t, onde b uma base de referncia. Se o expoente fornegativo ou nulo, as trajetrias no divergem. Se por outro lado, for positivo,indica que as trajetrias divergem, caracterizando o caos.

Algoritmos prprios devem ser considerados para avaliar os expoentes de

Lyapunov (Wolf et al., 1985; Parker & Chua, 1989). A divergncia de umatrajetria catica localmente exponencial. Todavia, uma distncia ddesta trajetriano deve ir para infinito uma vez que ela representa um sistema fsico. Desta forma,

para avaliar a mdia desta divergncia das trajetrias, deve-se tomar uma mdia do
https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/222460963_Determining_Lyapunov_Exponents_From_a_Time_Series?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


14/30


crescimento exponencial em vrios pontos sobre a trajetria. Assim, quando a

distncia d(t) torna-se muito grande, define-se um novo d0(t) para reavaliar adivergncia. Com isso, possvel definir uma mdia capaz de medir a divergncia, eos expoentes de Lyapunov so definidos da seguinte forma,

=

=

n

k k

kb

n td

td

tt1 100

)(

)(log

1 . (3)

A partir do espectro de Lyapunov, possvel formular um procedimento queavalie a dimenso do atrator. Considere o espectro de Lyapunov, ordenado de formadecrescente. A conjectura de Kaplan-Yorke estabelece que a dimenso de Lyapunov definida da seguinte forma (Wolf et al., 1983):

1

1

+

=+=j

j

ii

jD

(4)

ondej definido a partir das seguintes condies,

0 e (5)1

>=

j

ii 0

1

1


15/30

14 M. A. Savi

existentes para os atuadores, as ligas com memria de forma (SMAs) constituem

uma boa alternativa para funcionarem em estruturas inteligentes quando necessitam-se grandes foras e deformaes e quando as frequncias so baixas (Savi & Braga,1993). Os atuadores de SMAs so fceis de fabricar, relativamente leves e capazesde produzir grandes foras ou deslocamentos com baixo consumo de energia. Asligas Ni-Ti, Ni-Al, Cu-Zn, Cu-Zn-Al, Cu-Zn-Sn, Cu-Zn-Si, Cu-Zn-Ga, Cu-Al-Ni,Cu-Au-Zn, Cu-Sn, Au-Cd, Fe-Pt, Mg-Cu, Fe-Mn-Si-Cr-Ni so algumas daschamadas SMAs (Wayman, 1980).

A anlise da resposta dinmica de sistemas inteligentes envolve sistemas commltiplos graus de liberdade ou contnuos. Os sistemas dinmicos no-lineares comdimenso alta tendem a possuir um comportamento complexo tanto nascaractersticas temporais quanto espaciais. No passado, a maior parte dos trabalhossobre dinmica catica dedicou-se a analisar a evoluo temporal de sistemas com

dimenso baixa. Recentemente, no entanto, tendo em vista o grande nmero deaplicaes tericas e prticas, o caos espao-temporal tem atrado a ateno deinmeros pesquisadores (Umberger et al., 1989; Barreto et al., 1997; Lai &Grebogi, 1999; Shibata, 1998). O forte apelo geomtrico dos conceitos relacionadoscom a dinmica catica introduz dificuldades no estudo de sistemas com mltiplosgraus de liberdade ou contnuos.

De uma maneira geral, a anlise do caos em sistemas mecnicos pode serpensada a partir de trs grupos: Sistemas discretos, governados por equaesdiferenciais ordinrias e sistemas contnuos, governados por equaes diferenciais

parciais, consituem os dois primeiros. Os sistemas discretos representam umaaproximao dos sistemas contnuos. Por fim, o terceciro grupo contempla a anlisede sries temporais, onde se avalia a dinmica do sistema a partir de uma sequnciaescalar de pontos, normalmente obtida a partir de um experimento.

Este trabalho apresenta uma coleo de resultados associados ao caos emsistemas mecnicos. Sistemas discretos com memria de forma exemplificam aanlie dos dois primeiros grupos. Com relao ao terceiro grupo, considera-se aanlise de sries temporais obtidas a partir de um pndulo experimental.

4. Sistemas com Memria de Forma

Os efeitos de memria de forma e pseudoelasticidade so fenmenos termoelsticos,associados transformao de fase martenstica, presentes nas ligas com memriade forma (SMAs). As transformaes de fase martensticas so processos no-

difusivos envolvendo fases slidas que ocorrem a velocidades muito elevadas.Atribui-se a causa dessas transformaes a diferena de energia livre entre asestruturas constituintes envolvidas no processo, o que induz modificaes nasligaes qumicas, tornando as transformaes de fase de carter essencialmentecristalogrfico. Essas transformaes apresentam como principais caractersticas a


16/30


no-dependncia do tempo, forte dependncia da temperatura e a propriedade de

reversibilidade. A dinmica de sistemas com atuadores com memria de formaapresentam caractersticas intrinsecamente no-lineares e uma resposta muito rica(Machado, 2002).

4.1. Oscilador com 1 Grau de Liberdade

Considere um oscilador, com um grau de liberdade, que consiste de uma massa macoplada a um elemento de liga com memria de forma e um amortecedor, viscosolinear. O sistema excitado harmonicamente. A fora de restituio descrita a

partir do modelo polinomial (Falk, 1980) e, desta forma, chega-se ao seguintesistema dinmico,

(6)5

0

3

0011

10

)1()sen( yyyyy

yy

+=

=

Neste trabalho, simulaes numricas so realizadas utilizando o mtodo RungeKutta de quarta ordem com passos menores que t = 2 / 200. Para todas assimulaes estudadas consideram-se os seguintes parmetros: = 0,2, = 1, =1,3x103, = 4,7x105. A caracterizao do comportamento catico feita atravs dosexpoentes de Lyapunov e sua determinao utiliza o algoritmo de Wolf et al.(1985).

A Figura 11 apresenta os espaos de estado para diferentes temperaturas.Quando = 0,7, onde somente a fase martenstica estvel, existem trs pontos deequilbrio, sendo dois estveis e um instvel. Para uma temperatura = 1,5, quandoas duas fases cristalogrficas esto estveis, ocorre um aumento do nmero de

pontos de equilbrio para cinco pontos, onde trs so estveis, do tipo centro, e doisdeles so instveis, do tipo sela. Por outro lado, para altas temperaturas, = 3,5,onde somente a fase austentica encontra-se estvel, o sistema apresenta somente um

ponto de equilbrio, estvel do tipo centro (Machado et al., 2001).

Figura 11 Retrato de fase para diferentes temperaturas.(a)= 0,7. (b) = 1,5. (c) = 3,5
https://www.researchgate.net/publication/223389854_Model_free_energy_mechanics_and_thermodynamics_of_shape_memory_alloys?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/223389854_Model_free_energy_mechanics_and_thermodynamics_of_shape_memory_alloys?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


17/30

16 M. A. Savi

Figura 12 - Diagrama de bifurcao em . (a) 0 0,1; (b) 0,056 0,06.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

Figura 13 - Surgimento e formao do atrator catico. (a) = 0,05875; (b) =0,059; (c) = 0,0592; (d) = 0,0593; (e) = 0,0595; (f) = 0,05965; (g) =

0,059675; (h) = 0,05969; (i) = 0,06.

Considere agora a resposta do sistema submetido a um foramento harmnico auma temperatura = 0,7, onde a fase martenstica estvel. Para se ter uma idia docomportamento global do sistema, utiliza-se o digrama de bifurcao onde o


18/30


parmetro de controle a amplitude do foramento, . A Figura 12a apresenta este

diagrama no intervalo 0 0,1, onde observam-se os valores de para os quaistm-se comportamento peridico e catico. Quando = 0,0575 o sistema perde aestabilidade e ocorre uma bifurcao do tipo duplicao de perodo. Em = 0,05875acontece uma nova bifurcao. Estas bifurcaes se repetem, sucessivamente,formando o que se chama de cascata de duplicao de perodos que aparece comouma sequncia infinita de duplicao de perodos at o aparecimento do caos(Alligood et al., 1997).Uma ampliao destes diagramas no intervalo 0,056 0,060 est mostrado na Figura 12b, permitindo que se observe a transio docomportamento peridico ao catico. Quando = 0,0593, ocorre um sbitoaparecimento de um atrator catico, associado a existncia de um expoente deLyapunov positivo. Este fenmeno conhecido como crise, definida por Grebogi etal. (1983) como sendo uma coliso entre um atrator catico e uma rbita ou um

ponto fixo instvel.

A Figura 13 mostra sees de Poincar relacionadas a diferentes valores doparmetro . As Figuras 13a,b,c esto relacionadas ao comportamento peridico deperodo 2, 4 e 8, respectivamente. Na Figura 13d, observa-se o instante dosurgimento do atrator, enquanto as Figuras 13e,f,g,h,i mostram a subsequenteformao do atrator. A Figura 14 mostra a evoluo dos espaos de estado para asmesmas situaes anteriores. A Figura 15, por sua vez, mostra a evoluo dosexpoentes de Lyapunov para os casos tratados, corroborando a explicao dosurgimento do atrator.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)
https://www.researchgate.net/publication/52008124_Chaos_An_Introduction_to_Dynamical_Systems?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/52008124_Chaos_An_Introduction_to_Dynamical_Systems?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/52008124_Chaos_An_Introduction_to_Dynamical_Systems?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==https://www.researchgate.net/publication/52008124_Chaos_An_Introduction_to_Dynamical_Systems?el=1_x_8&enrichId=rgreq-cfd7abe4-0ad4-4399-8a3c-f2b8ff4f3c84&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzI2Nzk1NTgyODtBUzoxOTAxMTU3NzUyNjI3MjBAMTQyMjMzODU0MTI4NA==


19/30

18 M. A. Savi

(g) (h) (i)

Figura 14 - Espaos de fase. (a) = 0,05875, perodo-2; (b) = 0,059, perodo-4;(c) = 0,0592, perodo-8 ; (d) = 0,0593, caos ; (e) = 0,0595, caos; (f) =

0,05965, caos ; (g) = 0,059675, caos ; (h) = 0,05969, caos; (i) = 0,06 , caos.

Figura 15 Expoentes de Lyapunov.

4.2. Osciladores Acoplados

Considere agora um oscilador com memria de forma, e dois graus de liberdade. Afora de restituio descrita a partir do modelo polinomial. Desta forma, chega-se

ao seguinte sistema dinmico,

(7)

52

232

2213

32

232

2213

502

2212

302

221223

232

2212

221

02221332213212121222

2213

32

502

2212

302

2212

501

30122

221

022211321212121111

10

)()()]1()1([

)1()()sin(

)()()1(

)]1()1[()()sin(

yy

yyyyy

yyyy

yy

yyyyyyy

yyyy

yy

+

+++

+++=

=

+++

++++=

=

A definio dos pontos de equilbrio pode ser feita atravs da anlise dainterseo das superfcies f1(y0,y2) e f3(y0,y2) com a superfcie nula. A variao datemperatura altera a quantidade e a estabilidade dos pontos de equilbrio. A Figura16 mostra as projees destas superfcies, indicando os pontos de equilbrio. Os


20/30


pontos marcados com um retngulo (verde) so os pontos de equilbrio estveis

enquanto aqueles marcados com um crculo (vermelho) so instveis (Machado &Savi, 2001a,b,c).

A simulao da resposta em vibrao livre mostra uma dinmica interessante. Apartir de uma condio inicial o sistema apresenta saltos antes de convergir para umponto fixo estvel (Figura 17). Isto ilustra a dificuldade de se analisar o problema apartir de seus sub-espaos. Note que em um determinado sub-espao, alguns pontospodem ser vistos como uma espiral estvel. Contudo, existe uma rbita instvelassociada a outra dimenso que torna o ponto instvel.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h)Figura 16 Pontos de equilbrio para diferentes temperaturas. (a) (1; 2; 3) = (0,7;0,7; 0,7). (b) (1; 2; 3) = (0,7; 1,5; 0,7). (c) (1; 2; 3) = (0,7; 3,5; 0,7). (d)(1; 2;3) = (1,5; 0,7; 1,5). (e) (1; 2; 3) = (1,5; 1,5; 1,5). (f) (1; 2; 3) = (1,5; 3,5; 1,5).

(g) (1; 2; 3) = (3,5; 3,5; 3,5). (h) (1; 2; 3) = (0,7; 3,5; 1,5).


21/30

20 M. A. Savi

Figura 17 Vibrao livre. (y0,y1,y2,y3) = (0,01; 0,0; 0,01; 0,0) e (1; 2; 3) = (1,5;0,7; 1,5)

A anlise das vibraes foradas mostra que, dependendo da temperatura deconexo, a resposta do sistema pode ser bastante modificada. A Figura 18 apresentaduas projees em sub-espaos de trs dimenses, para duas situaes distintas. Na

primeira, quando a conexo apresenta uma temperatura onde a fase martenstica estvel, existe o hipercaos que tende a modificar o padro usual do atrator estranho.Por outro lado, na segunda situao, onde a temperatura de conexo est na regioaustentica, a resposta catica, apresentando o padro usual de um atrator estranho.Deste ponto de vista, pode-se dizer que o hipercaos tende a quebrar a ordemassociada resposta do sistema.

Figura 18 Caos e hipercaos em um sistema com memria de forma com dois grausde liberdade.

5. Anlise de Sries Temporais

Alligood et al. (1997) colocam que obviamente, a idia de que um experimentoreal possa ser governado por um conjunto de equaes uma fico. Um conjuntode equaes diferenciais, ou um mapa, pode modelar um sistema apenas da formasuficiente para fornecer resultados teis. Nesse contexto, torna-se importante


22/30


analisar sistemas dinmicos sem que se conhea detalhes sobre a sua dinmica, no

possuindo portanto um modelo matemtico estabelecido. Uma alternativa para isso a anlise de sries temporais que podem ser obtidas diretamente a partir de umexperimento (Kantz & Schreiber, 1997).

De uma maneira geral, um experimento no mede todas as variveis de estadodo sistema e, usualmente, tem-se disponvel a evoluo no tempo de apenas umavarivel de estado. Dessa forma, interessante analisar o sistema dinmico a partirdessa srie temporal o que feito a partir de tcnicas de reconstruo do espao deestado.

5.1. Reconstruo do Espao de Estado

A reconstruo do espao de estado baseada no mtodo da defasagem no tempo(time delay) tem provado ser uma poderosa ferramenta na anlise de sistemas fsicosno-lineares com comportamento catico. As idias fundamentais sobre a tcnicaso creditadas a Ruelle (1979), Packard (1980) e Takens (1981), e uma de suas

principais caractersticas a preservao dos invariantes geomtricos do sistema(dimenso do atrator, expoentes de Lyapunov e outros).

Normalmente, no se sabe a prioriquantas e quais so as variveis de estado deum sistema dinmico o que dificulta a determinao da sua dimenso. Assim, antesde se reconstruir o espao de estado faz-se necessrio determinar a dimenso deimerso do sistema (embedding dimension), definindo um conjunto de coordenadasque serve como base para a reconstruo do espao de estado. Um dos mtodosmais eficientes para a determinao dessa dimenso o mtodo dos falsos vizinhos.

A idia bsica da reconstruo do espao de estado est calcada no fato de que ahistria temporal de um sinal contm informaes sobre variveis de estado noobservveis que podem ser usadas para prever um estado presente. Considere entouma srie temporal,s(t), que representa a trajetria de um dado sistema dinmico. Oespao de estado do sistema pode ser reconstrudo a partir desta srie considerandoa tcnica da defasagem no tempo (time delay). Esta tcnica foi inicialmente proposta

por Ruelle (1979) e Packard (1980) e posteriormente por Takens (1981) e Sauer etal.(1991). A tcnica traas(t) versuss(t+), onde uma defasagem (delay). Este

procedimento motivado pelo fato de que a trajetria representada no espao defase reconstrudo possui propriedades similares ao espao de fase original, sendotopologicamente equivalentes (Moon, 1992). Se o sinal experimental representado

por s(n), n = 1, 2,... N, onde N o nmero total de amostras, ento o vetorreconstrudo dado por:

)})1((),...,(),({)( ++= dnsnsnsnu (8)


23/30

22 M. A. Savi

ondeDe a dimenso de imerso do sistema escolhido de tal maneira que De> 2DA+ 1, sendo DA a dimenso do atrator. u(n) representa a dinmica reconstruda naimerso. Os resultados de Takens (1980) garantem que o atrator reconstrudo e ooriginal so difeomrficos. Alm disso, a srie temporal de uma nica varivel suficiente para a reconstruo desde que a dimenso de imerso seja suficientementegrande (Takens 1980; Sauer et al., 1991). Assim, a escolha correta da defasagem eda dimenso de imerso De so de extrema importncia para a identificao dosinvariantes geomtricos. Existe uma grande variedade de tcnicas para avaliar esses

parmetros. A determinao do tempo de defasagem , pode ser efetuada atravs domtodo da informao mtua mdia (Fraser, 1989), cuja a idia bsica determinara defasagem que gere vetores defasados contendo a menor quantidade deinformao em relao ao original. A dimenso de imerso, De, por sua vez, podeser avaliada atravs do mtodo dos falsos vizinhos prximos (Kennel et al., 1992)

cuja idia bsica variar a dimenso do sistema verificando a quantidade de falsosvizinhos prximos. Quando o aumento da dimenso no implicar na eliminao defalsos vizinhos prximos, tem-se a dimenso procurada.

5.2. Pndulo Experimental

Considere um pndulo experimental composto de um disco, um peso em suaextremidade, um sensor de movimento e um dispositivo que gera um amortecimentomagntico. Este pndulo excitado por um sistema composto de um motor e umdispositivo mola-fio (Figura 19). A anlise dos sinais realizada sem efetuarnenhum tipo de filtragem (Franca & Savi, 2001a).

12

3

44

5

7

6


24/30


Figura 19 - Pndulo no-linear experimental. (1) pndulo no-linear; (2) dispositivo

de amortecimento; (3) sensor de movimento encoder; (4) molas; (5) motor 12DC; (6) transdutor magntico; (7) Interface A/D Science Workshop

A partir de agora, desenvolve-se a anlise de um sinal catico. A Figura 20mostra um trecho da evoluo do deslocamento angular do sinal caticoexperimental, sendoN= 30589;voltagem 4,2 V; s= 20 Hz e ca= 0,0125.

0 5 10 15 20 25

t[s]

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

s(t)[rad]

Figura 20 - Sinal catico experimental- deslocamento angular versustempo.

A anlise dos parmetros de imerso feita a partir do mtodo da informaomtua mdia para determinar o tempo de defasagem e do mtodo dos falsosvizinhos prximos para determinar a dimenso de imerso. A Figura 21 mostra oresultado desta anlise.

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00

Time delay [x 0.05 s]

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

AverageMutualinformation[bits]

= 6

Time Delay (x 0.05s)

AverageMutualInformation[bits]

1 2 3 4 5

De

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

%o

ffalseneighbords(x100)

N = 30500

%o

fFalseNeighbors(x100)

1 2 3 4 5

(a) (b)

Figura 21 Anlise dos parmetros de imerso. (a) Tempo de defasagem. (b)Dimenso de imerso.


25/30

24 M. A. Savi

A partir da identificao dos parmetros de imerso, o espao de estado pode ser

reconstrudo atravs do mtodo das coordenadas defasadas. A Figura 22 mostra umtrecho do espao de estado reconstrudo bem como o espao de estado real (s(t)versusy(t)). Observa-se uma semelhana entre os espaos, apresentando apenas uma

pequena rotao. Esta diferena no interfere na avaliao dos invariantesgeomtricos. A Figura 23 mostra a seo de Poincar contruda com o auxlio de umsensor magntico que avalia a frequncia do motor de excitao.

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

s(t) [rad]

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

s(t+

0,30s)[rad]

-2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.0

x(t) [rad]0

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

y(t)[rad/s]

(a) (b)

Figura 22 - Espao de estado do sinal catico: (a) Reconstrudo; (b) Real.

-1.50 0.00 1.50 3.00 4.50

s(t) [rad]

-1.50

0.00

1.50

3.00

4.50

s(t+0,3

0

s)[rad]

s(t+0.30s)[rad]

-1.50 0.00 1.50 3.00 4.50

s(t) [rad]

-7.50

-5.00

-2.50

0.00

2.50

5.00

7.50

10.00

12.50

y(t)[rad/s]

(a) (b)

Figura 23 Seo de Poincar do sinal catico: (a) Reconstrudo; (b) Real.

As concluses sobre o tipo de resposta do sistema devem ser confirmadas a

partir da anlise do invariantes geomtricos. Aps uma anlise sobre a sensibilidadeao rudo (Franca & Savi, 2001b, 2002) utiliza-se o algoritmo de Kantz (1994) paraavaliar os expoentes de Lyapunov e a dimenso de correlao atravs do algoritmode Hegger et al. (1999) para avaliar a dimenso do atrator. A Figura 24 mostra o


26/30


resultado dessa anlise que indica que o expoente de Lyapunov, associado a

inclinao do primeiro trecho da curva positivo (= + 0.177). Por outro lado, adimenso do atrator estentre 2,20 e 2,77, mostrando que um nmero no-inteiro.

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00

-1.60

-1.20

-0.80

-0.40

0.00

0.40

S()

N = 1233

De = 6

De = 9

De = 12

S(

)

0.00 0.01 0.10 1.00

log ( )

0.00

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

log(DC)

N = 30500

De = 3

De = 4

De = 5

De = 6

log()

DC

(a) (b)

Figura 24 Invariantes geomtricos: (a) Expoente de Lyapunov; (b) Dimenso doatrator.

6. Concluses

Este trabalho apresentou uma reviso sobre as principais caractersticas do caosemsistemas mecnicos. Para que um sistema dinmico apresente uma resposta catica

necessrio que ele possua caractersticas no-lineares. Neste caso, dependendo dosparmetros do sistema, ele pode responder caoticamente. Discutiu-se aqui que ocaos possui forte sensibilidade s condies iniciais. Alm disso, uma respostacatica deve estar associada a existncia da ferradura de Smale, o que caracteriza a

presena de uma estrutura fractal. Como consequncia desta condio, o sistemadinmico deve possuir dimenso maior ou igual a 3 para que possa experimentar omovimento catico. A resposta catica possui ainda um atrator estranho, do tipo deum conjunto de Cantor, com dimenso fractal. Os expoentes de Lyapunovconstituem outra forma para se quantificar o caos. O caos definido quando umexpoente de Lyapunov positivo. Quando existe mais de um expoente positivo, omovimento associado ao hipercaos. Este trabalho apresentou exemplos de sistemasmecnicos caticos: sistemas com memria de forma, analisados a partir deequaes diferenciais e um pndulo experimental, analisado a partir de sua srie

temporal obtida experimentalmente. Os sistemas com memria de forma possuemuma dinmica muito rica podendo apresentar respostas catica e hipercaticas. Emsistemas acoplados, com dois graus de liberdade, v-se que a conexo austenticatende a preservar a ordem em contraste com a conexo martenstica. O hipercaos o


27/30

26 M. A. Savi

mecanismo relacionado a quebra da ordem. Com relao a anlise de sries

temporais, a reconstruo do espao de estado foi efetuada a partir do mtodo dascoordenadas defasadas usando o mtodo da informao mtua mdia para avaliar otempo de defasagem e a tcnica dos falsos vizinhos prximos para determinar adimenso de imerso. Tanto a reconstruo quanto a determinao dos invariantesgeomtricos foram realizadas sem efetuar nenhuma filtragem do sinal, o que mostraque as tcnicas discutidas no so sensveis ao rudo.

7. Agradecimentos

O autor gostaria de agradecer o suporte do CNPq e da FAPERJ e aos alunos de Ps-Graduao do IME, especialmente Luciano Guimares Machadopelo seu trabalhoem sistemas discretos com memria de forma e Luiz Fernando Penna Franca, porseu trabalho em anlise de sries temporais. O autor agradece ainda o Prof. Pedro

M. C. L. Pacheco (CEFET/RJ) por sua ativa participao nas pesquisas queforneceram os resultados aqui apresentados.

8. Bibliografia

[1] Aguirre, L. A. & Aguirre, A. (1997), A Tutorial Introduction to NonlinearDynamics in Economics,Nova Economia, v.7, n.2, pp.9-47.

[2] Alligood, K. T., Sauer, T. D. & Yorke, J. A. (1997), Chaos: An Introductionto Dynamical Systems, Springer-Verlag.

[3] Barnsley, M. (1988), Fractals Everywhere, Academic Press.[4] Barreto, E., Hunt, B. R., Grebogi, C. & Yorke, J. A. (1997), From High

Dimensional Chaos to Stable Periodic Orbits: The Structure of ParameterSpace,Physical Review Letters, v.78, n.24, pp.4561-4564.

[5] Briggs, K., An improved method for estimating Lyapunov exponents ofchaotic time series,Physics Letters A151, 1990, 27-32.

[6] Briggs, J. & Peat, F. D. (2000), A Sabedoria do Caos, Campus.[7] Brown, R., Bryant, P. & Abarbanel, H. D. I., Computing the Lyapunov

spectrum of a dynamical system from an observed time series, PhysicalReview A 43, 1991, 2787-2806.

[8] Duerig, T., Pelton, A. & Stckel, D., 1999, An overview of Nitinol MedicalApplications,Materials Science and Engineering A, v.273-275, pp.149-160.

[9] Eckemann, J. -P., Kamphorst, S. O., Ruelle, D. & Ciliberto, S., Lyapunovexponents from time series,Physical Review A34, 1986, 4971-4979.

[10] Falk, F. (1980), Model Free-Energy, Mechanics and Thermodynamics ofShape Memory Alloys,ACTA Metallurgica, v.28, pp.1773-1780.

[11] Farmer, J. D., Ott, E. & Yorke, J. A. (1983), The Dimension of ChaoticAttractors,Physica 7D, pp.153-180.[12] Franca, L. F. P. & Savi, M. A. (2001a), Distinguishing Periodic and Chaotic

Time Series Obtained from an Experimental Nonlinear Pendulum, NonlinearDynamics, v.26, n.3, 2001, pp.253-271.


28/30


[13] Franca, L.F.P. & Savi, M.A. (2001b), Estimating Attractor Dimension on the

Nonlinear Pendulum Time Series, Revista Brasileira de Cincias Mecnicas,v.XXIII, n.4, 2001, pp.427-439.[14] Franca, L. F. P. & Savi, M. A. (2002), Evaluating Noise Sensitivity on the

Time Series Determination of Lyapunov Exponents Applied to the NonlinearPendulum, Submetido ao Shock and Vibration.

[15] Fraser, A. M. (1989), Reconstructing Attractors from Scalar Time Series: AComparison of Singular System and Redundancy Criteria, Physica D, v.34,

pp.391-404.[16] Gleick, J. (1987), Caos, Campus.[17] Grebogi, C., Ott, E. & Yorke, J.A. (1983), Crises, Sudden Changes in

Chaotic Attractors, and Transient Chaos,Physica 7D, pp.181-200.[18] Goldberger, A., Ringney, D. & West, B. (1990), Chaos and Fractal in Human

Physiology, Scientific American, v.262, n.2, pp.34-41.

[19] Guckenheimer, J. & Holmes, P. (1983), Nonlinear Oscillations, DynamicalSystems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, New York.

[20] Hassel, M. P., Comins, H. N. & May, R. M. (1991), Spatial Structure andChaos in Insect Population Dynamics,Nature, v.353, pp.255-258.

[21] Hausdorff, F. (1919), Dimension und usseres Mass, Math. Annalen, v.9,pp.157.

[22] Hegger, R., Kantz, H. & Schreiber, T., Practical implementation of nonlineartime series methods: The Tisean package, Chaos 9, 1999, 413-435.

[23] Kantz, H. & Schreiber, T. (1997), Nonlinear Time Series Analysis,Cambridge.

[24] Kennel, M. B., Brown, R. & Abarbanel, H. D. I. (1992), Determiningembedding dimension from phase-space reconstruction using a geometricalconstruction,Physical Review A 25, 1992, 3403-3411.

[25] Kruel, TH. M. Eiswirth, M. & Schneider, F.W. (1993), Computation ofLyapunov Spectra: Effect of Interactive Noise and Application to a ChemicalOscillator, Physica D, v.63, pp.117-137.

[26] Lagoudas, D. C., Rediniotis, O. K. & Khan, M. M. (1999), Applications ofShape Memory Alloys to Bioengineering and Biomedical Technology,Submitted to World Scientific.

[27] Lai, Y. C. & Grebogi, C. (1999), Modeling of Coupled Chaotic Oscillators,Physical Review Letters, v.82, n.24, pp.4803-4806.

[28] Lorenz. E. N. (1996), A Essncia do Caos, Editora UnB.[29] Lorenz, E. N. (1963), Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of

Atmosferic Science, v.20, pp.130-141.[30] Machado, L. G. (2002), Caos em Sistemas Dinmicos com Mltiplos Graus

de Liberdade e Memria de Forma, Dissertao de Mestrado, Departamentode Engenharia Mecnica e de Materiais, IME.[31] Machado, L. G., Savi, M. A. & Pacheco, P. M. C. L. (2001), Bifurcaes e

Crises em um Oscilador com Memria de Forma, COBEM 2001 - XVI


29/30

28 M. A. Savi

Congresso Brasileiro de Engenharia Mecnica, 26-30 Novembro 2001,

Uberlndia - MG.[32] Machado, L. G. & Savi, M. A. (2001a), Free Vibration of Coupled ShapeMemory Oscillators: Influence of Temperature Variations, EMC 2001 - IVEncontro de Modelagem Computacional, 12-14 Novembro 2001, NovaFriburgo - RJ, pp.80-89.

[33] Machado, L. G., Savi, M. A. (2001b), On the Free Vibration of a Two-Degree of Freedom Shape Memory Oscillator, CILAMCE 2001 - 22thCongresso Ibero Latino-Americano sobre Mtodos Numricos paraEngenharia, Campinas, Brasil, 7-9 Novembro 2001.

[34] Machado, L. G., Savi, M. A. (2001c), Analysis of Free Response of a Two-Degree of Freedom Shape Memory Oscillator, APLICON 2001 - 1a. EscolaBrasileira de Aplicaes em Dinmica e Controle, 30 Julho - 3 Agosto 2001,So Carlos - SP, pp.1-6.

[35] May, R. M. (1976), Simple Mathematical Models with Very ComplicatedDynamics,Nature, v.261, pp.459-467.

[36] Mayer-Kress, G. (1985), Introductory Remarks in Dimensions andEntropies, in Chaotic Systems, G. Mayer-Kress (Ed.), Springer-Verlag.

[37] Mees, A. I. & Sparrow, C. (1987), Some Tools for Analyzing Chaos,Proceedings of the IEEE, v.75, n.8, pp.1058-1070.

[38] Moon, F. C. (1998), Dynamics and Chaos in Manufacturing Processes,John Wiley & Sons.

[39] Moon, F. C. (1992), Chaotic and Fractal Dynamics, John Wiley & Sons,New York.

[40] Packard, N. J., Crutchfield, J. P., Fromer, J. D. & Shaw, R. S. (1980),Geometry from a Time-Series, Physical Review Letters, v.45, n.9, pp.712-716.

[41] Paladin, G. & Vulpiani, A. (1987), Anomalous Scaling Laws in Multi-FractalObjects, Physical Reports Review Section of Physics Letters, v.156, n.4,

pp.147-225.[42] Peel, D. A. & Speight, A. E. H. (1994), Hysteresis and Cyclical Variability in

Real Wages, Output and Unemployment - Empirical-Evidence from NonlinearMethods for the United-States, International Journal Systems Science, v.25,n.5, pp.943-965.

[43] Piccoli, H. C. & Weber, H. I. (1998), Experimental Observation of ChaoticMotion in a Rotor with Rubbing,Nonlinear Dynamics, v.16, n.1, pp.55-70.

[44] Rogers, C. A. (1993), A New Philosophy of Design: Intelligent MaterialSystems and Structures, COBEM 93 - XII Congresso Brasileiro deEngenharia Mecnica, Braslia, Brasil, v.I, pp.1-6.

[45] Rogers, C. A. (1995), Intelligent Materials, Scientific American, September,pp.122-127.[46] Ruelle, D. (1979), Ergodic Theory of Differentiable Dynamical Systems,

Mathmatique of the Institut des Hautes tudes Scientifiques, n.5, pp.27.


30/30


[47] Sano, M. & Sawada, Y., Measurement of the Lyapunov spectrum from a

chaotic time series,Physical Review Letters55, 1985, 1082-1085.[48] Sauer, T., Yorke, J. A. & Casdagli, M. (1991), Embedology, Journal ofStatistical Physics, v.3/4, n.65, pp.579-616.

[49] Savi, M. A. & Pacheco, P. M. C. L. (2002), Chaos and Hyperchaos in ShapeMemory Systems,International Journal of Bifurcation and Chaos, v.12, n.3,2002, pp.645-657.

[50] Savi, M. A. & Braga, A. M. B. (1993), Chaotic Vibrations of an Oscillatorwith Shape Memory, Revista Brasileira de Cincias Mecnicas - RBCM,v.XV, n.1, pp.1-20.

[51] Schaffer, W.M. (1985), Order and Chaos in Ecological Systems, Ecology,v.66, n.1, pp.93-106.

[52] Shibata, H. (1998), Quantitative Characterization of Spatiotemporal Chaos,Physica A, v.252, pp.428-449.

[53] Singer, I. M. & Thorpe, J. A. (1967), Lecture Notes on Elementary Topologyand Geometry, Scott, Foresman & Company.

[54] Stewart, I. (1991), Ser que Deus Joga Dados? A Nova Matemtica doCaos, Jorge Zahar Editor.

[55] Strogatz, S. H. (1994), Nonlinear Dynamics and Chaos, Perseus.[56] Takens, F. (1981), Detecting Strange Attractors in Turbulence, Warwick,

Lecture notes in Mathematics, v.898, Ed. D. Rand & L.-S Young, Springer,pp.366-381.

[57] Theiler, J. (1990), Estimating fractal dimension,Journal of Optical Societyof America, v.7, pp.1055-1073.

[58] Thompsom, J. M. T & Stewart, H. B. (1986), Nonlinear Dynamics andChaos, John Wiley & Sons, Chichester.

[59] Umberger, D. K., Grebogi, C., Ott, E. & Afeyan, B. (1989), SpatiotemporalDynamics in a Dispersively Coupled Chain of Nonlinear Oscillators,PhysicalReview A, v.39, n.9, pp.4835-4842.

[60] Van Dyke, M. (1982), An Album of Fluid Motion, Parabolic Press.[61] van Humbeeck, J. (1999), Non-medical Applications of Shape Memory

Alloys,Materials Science and Engineering A, v.273-275, pp.134-148.[62] Wayman, C. M. (1980), Some Applications of Shape Memory Alloys,

Journal of Metals, June, pp.129-137.[63] Wiggins, S. (1990), Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems

and Chaos, Springer-Verlag, New York.[64] Wolf, A., Swift, J. B., Swinney, H. L. & Vastano, J. A. (1985) - Determining

Lyapunov Expoents from a Time Series,Physica 16D, pp.285-317.

Documents

Caos Em Siatemas Mecânicos