CAP 10 - Métodos de Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias CNC2014

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  • 10 MTODOS DE RESOLUO DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS

    10.1 Introduo

    10.2 Notaes e Conceitos relativos s Equaes Diferenciais Ordinrias

    10.3 Mtodos Numricos de Passo Simples

    10.4 Mtodo de Euler

    10.5 Mtodo de Euler Modificado

    10.6 Mtodos da Srie de Taylor

    10.7 Mtodos de Runge-Kutta

    10.8 Mtodos de Numricos de Passo Mltiplo

    10.9 Referncias para o Item

  • 10.1 INTRODUO

    O objetivo geral desta unidade temtica estudar mtodos de resoluo numrica de

    equaes diferenciais ordinrias, visto que nas mais diversas reas do conhecimento

    surgem problemas cuja modelagem matemtica recai na soluo de uma equao

    diferencial. Modelos em equaes diferenciais so apresentados no exemplo 10.1.

    Exemplo 10.1: Modelagem e soluo de trajetrias balsticas, trajetria dos satlites,

    redes eltricas, curvaturas de vigas, estabilidade de avies, teoria das vibraes,

    reaes qumicas, etc. Outros exemplos em dinmica populacional so os modelos

    Malthusiano de crescimento populacional, de Verhulst e de Volterra com duas espcies.

    No resfriamento de um corpo alguns modelos so os de resfriamento de um corpo sem

    e com variao da temperatura do meio ambiente. Em Geometria ou Fsica alguns

    modelos so estudados so da tractriz, catenria, espelho parablico, curvas de

    perseguio, queda livre de corpos sem e com a resistncia do ar, movimento de

    projteis sem e com a resistncia do ar. Em Psicologia e Biologia tm-se os modelos de

    Ebbinghaus, a lei da alometria e modelos epidemiolgicos.

    Exemplo 10.2: Outros exemplos mais especficos de fenmenos ou problemas escritos

    matematicamente em equaes diferenciais so:

    A reao qumica reversvel de primeira ordem A B , descrita pela equao

    = A AdC dt kC , na qual CA a concentrao do reagente A, k a constante da reao e t

    o tempo decorrido desde o incio da reao.

    A descarga de um circuito eltrico contendo um resistor em srie com um capacitor,

    descrito pela equao = +0V R(dQ dt) C Q , para a qual V0 a tenso contnua de

    alimentao do circuito, R a resistncia, C a capacitncia, Q a carga eltrica

    acumulada no capacitor e =i dQ dt a corrente do circuito.

    Em muitas situaes pode ocorrer que a soluo exata de uma equao diferencial

    ordinria no seja possvel ou muito difcil de ser determinada. Um exemplo :

  • Exemplo 10.3: Um problema de valor inicial em equaes diferenciais ordinrias no

    lineares, para um modelo epidemiolgico tipo S.I.R., com tempo inicial t0=0 como:

    Para desenvolver metodologias de soluo numrica de equaes diferenciais

    necessrio lembrar de algumas notaes e conceitos empregados nessa temtica.

    10.2 NOTAES E CONCEITOS RELATIVOS S EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS

    Alguns dos conceitos necessrios ao mnimo entendimento da temtica referem-se s

    condies iniciais, condies de contorno, problema de valor inicial, entre outros.

    Definio 10.1: Uma equao diferencial ordinria de ordem (EDO) n uma equao

    que pode ser descrita, para funo incgnita y de varivel independente x , como:

    ( ) ( )( )n

    n n 1

    n

    d yy f x,y,y',y'',...y

    dx= = (1)

    Uma equao diferencial ordinria (EDO) de primeira ordem para as variveis x

    (independente) e y (dependente) , de (1), como:

    ( ) ='dy y f x,ydx

    (2)

    No caso particular em que ( ) ( )=f x,y f x , pode-se obter a soluo geral para a EDO de

    primeira ordem (2) pelo mtodo de separao de variveis como:

    ( ) ( ) ( )= = + = dy

    f x dy f x dx y f x dx cdx

    onde c uma constante de integrao da integral indefinida.

    Exemplo 10.4: Exemplos de equaes diferenciais ordinrias, classificando-as, so:

  • =dy

    2xdx

    (1 ordem) + =dy dy3 17y 0dx dx

    (2 ordem)

    = +2 2dy

    x ydx

    (1 ordem) 23 2

    3 2

    d y d y15 2y 15

    dx dx

    + =

    (3 ordem e 2 grau)

    Definio 10.2: Obter uma soluo de uma EDO Resolver uma equao diferencial do

    tipo (1) obtendo uma expresso que satisfaa a equao original.

    Exemplo 10.5: Considere a equao diferencial ordinria =dy dx cos(x) . Ento a

    expresso ( ) ( )y F x sen x C= = + uma famlia de funes que so solues para a EDO

    dada. Com efeito, pois diferenciando ( ) ( ) = +y F x sen x C em relao x obtm-se:

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    d dy F x

    dx dxd

    sen x c cos(x) 0 cos(x)dx

    dy dx cos(x)

    = + = + =

    =

    A figura 10.1 ilustra a trajetria das solues da EDO para diferentes valores de c.

    Figura 10.1: Solues da equao ( )dy / dx cos x= .

    Definio 10.3: As condies a serem impostas equao diferencial ordinria, inicio da

    resoluo e nas fronteiras do domnio de definio so designadas, respectivamente,

    por condies iniciais e condies de contorno.

    Essa conceituao importante, pois como mostrado na figura 10.1 uma equao

    diferencial pode ter infinitas solues que a satisfaz, o que pode no ser aceitvel para

    problemas reais sob certo conjunto de dados.

  • Observao 10.1: Considere a equao do exemplo 10.5, =dy dx cos(x) . Uma soluo

    geral para ela ( )= +y sen x c . Para determinar a constante c impe-se uma condio

    inicial ao problema, obtendo o que se designa por Problema de Valor Inicial (PVI).

    Quando so impostas condies s fronteiras do domnio de definio obtm-se um

    Problema de Valor de Contorno (PVC). Nestas notas de aulas no sero abordados PVC!

    Exemplo 10.6: Neste exemplo apresentam-se duas situaes, um PVI (EDO com uma

    condio inicial) e um PVC (EDO com condio de contorno), respectivamente:

    ( )dx /dt cos t;t 0

    x(0) 0

    =

    = Exemplo de PVI ( ) [ ]

    =

    = =

    dy / dx cos x;x a,b

    y(a) c,y(b) d Exemplo de PVC

    A resoluo de Problema de Valor Inicial (PVI) enfoca equaes diferenciais ordinrias

    de primeira ordem, pois uma equao diferencial ordinria de ordem n pode ser

    transformada em um sistema de n equaes de primeira ordem, atravs de uma

    conveniente mudana de variveis. O exemplo 10.7 ilustra essa situao.

    Exemplo 10.7: Transformar o PVI de terceira ordem em um sistema de primeira ordem

    com trs equaes.

    ( )( )( )

    [ ]

    ''' x 2

    '

    ''

    y xy' e y x 1

    y 0 1; x 0,1

    y 0 0

    y 0 1

    = + + +

    =

    = =

    Soluo: A seguinte seqncia de clculos mostra as mudanas de variveis realizadas e

    apresenta os resultados.

    { ( ){{ ( ){{ ( ){

    = = =

    = = =

    = = + + + =

    '1 1 2 1

    ' '2 2 3 2

    '' ' x 23 3 2 1 3

    Entao (derivando) :Sej

    y y y y ; y 0 1

    y y y y ; y 0 0

    y y y xy e

    a

    y x 1 ; y 0

    m:

    1

    Portanto, nestas notas de aulas sero desenvolvidos apenas mtodos para equaes

    diferenciais de primeira ordem do tipo (2) com uma condio inicial =0 0y(x ) y . Ou seja,

    somente so tratados PVI como (3):

  • ( ) = =

    '

    0 0

    dyy f x,y

    dxy(x ) y

    (3)

    E quando for necessrio resolver um problema de ordem n , transforma-se o problema

    em um sistema de n equaes de primeira ordem e aplica-se o mtodo a cada uma

    delas, simultaneamente, como se ver em detalhes.

    10.3 MTODOS NUMRICOS DE PASSO SIMPLES

    Como muitas equaes diferenciais no admitem solues por expresses analticas,

    elas devero ser feitas de forma aproximada. Abordagens tradicionais nesse sentido

    so realizar um desenvolvimento em srie ou calcular de aproximadamente o valor da

    soluo num conjunto finito de valores da varivel independente. Assim, nessa seo

    so estudados mtodos numricos que permitem obter solues aproximadas de EDOs.

    Alguns dos mtodos mais usuais para tal so os designados Mtodos de Passo Simples

    que so caracterizados pelo fato de que + k 1 sima iterao da varivel de interesse,

    +k 1y , depende apenas das informaes da soluo da k sima iterao, ky , e da

    equao diferencial no ponto ( )k kx ,y . Mtodos usuais dessa classe so os de Euler,

    Euler modificado (aperfeioado) e Runge-Kutta de 3 e de 4 ordens.

    10.4 MTODO DE EULER

    O Mtodo de Euler, tambm conhecido como mtodo da reta tangente, um popular

    mtodo de soluo de equaes diferenciais ordinrias, com intuito acadmico. Com

    efeito, pois embora seja um mtodo simples de desenvolver e de programar, muitos

    problemas prticos no devem ser resolvidos utilizando-o, visto que tem baixa preciso

    e estabilidade. Para detalhes veja as referncias indicadas.

    Existem distintos caminhos para deduzir o mtodo, mas seguindo a metodologia por

    srie de Taylor, ele pode ser obtido considerando o PVI (3). Nesse caso tomando

    + =i 1 ix x h , 0 i n como sendo a amplitude de subintervalos discretos do domnio de

    definio, de um desenvolvimento por srie de Taylor para [ ]( ) 2y C a,b em torno de

  • ( )+ i i 1x ,x obtm-se para ( ) ( )+ +i 1 iy x y x h que ( ) ( ) ( ) ( )+ = + + 2

    i 1 i i

    hy x y x hy' x y''

    2; ( )+ i i 1x ,x ,

    sendo ( ) ( )( )=' i i iy x f x ,y x e truncando a srie no segundo termo escreve-se:

    ( ) ( ) ( )( )+ +i 1 i i iy x y x hf x ,y x (4)

    Que designada de frmula de Euler de primeira ordem para soluo de PVI tipo (3).

    Observao 10.2: No caso em que i o= obtm-se usando (3), tomando = 1 0h x x , que:

    ( ) ( ) ( )( ) +1 0 0 0y x y x hf x ,y x ou seja ( ) ( ) ( )( )

    1 0 0 0y x y x

    f x ,y xh

    e, ento, ( )

    1 00 0

    1 0

    y yf x ,y

    x x ou seja,

    ( ) + 1 1 0 0 0y (x x )f x ,y que a equao da reta que passa pelos pontos ( )0 0x ,y e ( )i 1x , y .

    Observe que quando = 1 0h x x