Cap. 3. Tensão - Departamento de Engenharia Civil · x yt s 0 y x y n y n y x y y y Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes do vector

Disciplina MMC, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Cap. 3. Tensão

1. Existência das forças internas

2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy

3. Vector das tensões no ponto P

3.1 Componentes cartesianas

3.2 Componentes intrínsecas

4. Tensor das tensões no ponto P

4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões

4.2 Componentes de tensão

4.3 Prova da simetria de componentes em 2D

5. Equações de equilíbrio 5.1 Prova em 2D

6. Cálculo das componentes do vector das tensões

7. Carácter tensorial das tensões

7.1 Prova da lei de transformação em 2D

8. Notas sobre 3D

9. Tensões principais

10. Estados de tensão

11. Outras designações

12. Outras representações 12.1 Elipse de Lamé

12.2 Quadricas de Cauchy


sistema 1

A

Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento

Conjunto (sistema 1 & sistema 2) está em equilíbrio

sistema 1

sistema 2

sistema 2

B

forças internas

= sistema 3

F

1. Existência das forças internas

Conjunto (sistema 2 & (- sistema 3)) está em equilíbrio

sistema 1 e – sistema 3 são equivalentes

“- sistema 3” exprime o efeito da parte retirada A carregada com o sistema 1

Forças externas

= carregamento

corte

A B

Conjunto (sistema 1 & sistema 3) está em equilíbrio

sistema 2 e sistema 3 são equivalentes

sistema 3 exprime o efeito da parte retirada B, carregada com o sistema 2

F

forças internas

= - sistema 3


V

Augustin Cauchy (1789-1857)

Leonhard Euler (1707-1783) 2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy

n P

V

n

Pt

Densidade das forças

internas no ponto P,

efeito de V

n

Pt

Densidade das forças

internas no ponto P,

efeito de VV

n

= normal exterior unitária

n

P

em vez de forças internas usa-se a densidade das forças internas


3. Vector das tensões no ponto P

A

Flimt

0A

n

P

Unidade N/m2=Pa

106Pa=MPa

Define-se à volta do P um elemento infinitesimal de área

A faceta é sempre ligada ao resto do MC

A faceta ligada a parte A

com a normal exterior

unitária

A faceta ligada a parte B

com a normal exterior

unitária

Escolha-se um ponto P, que pertence à superfície de corte

Bn P

BF

PAn

AF

O vector da densidade das forças internas

no ponto P chama-se

que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetas PA

corte

A B P

Força interna elementar Força interna elementar

Densidade das forças internas,

ou seja o vector das tensões


tx, ty, tz: componentes cartesianas

do vector das tensões

O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal,

o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua

é indiferente do modo que ΔA tende para zero

é indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual

2 componentes em 2D, 3 em 3D

P

n

PAt

n

P,y At

n

P,x At

n

Pt

P

3.1 Componentes cartesianas

0t n

P,x A

0t n

P,y A

Verifica-se que o sinal das componentes

cartesianas é oposto

n

PBt n

P,y Bt

n

P,x Bt

O sentido do vector das tensões relacionado às duas facetas no mesmo ponto

com a normal da mesma direcção é sempre oposto

0t n

P,x B

0t n

P,y B

x

y


tn, tt: componentes intrínsecas

do vector das tensões

2 componentes em 2D e em 3D

tn: com sentido da normal tracção, positiva

tn: contra sentido da normal compressão, negativa

tn: componente normal

tt: componente tangencial ou de corte

n

P

n

PBt

n

P,n Bt

n

P,t Bt

n

P

n

PAt

n

P,n At

n

P,t At

3.2 Componentes intrínsecas

Nota:

Pontos da circunferência Mohr = componentes intrínsecas das facetas

Verifica-se que o sinal da componente intrínseca normal é igual nas duas facetas.

Verifica-se que as intensidades de ambas componentes

não dependem do referencial

Pode-se atribuir o sinal à componente tangencial, mas apenas em 2D.

Este sinal depende do referencial e segue as regras das facetas

positivas e negativas (explicação mais tarde). Se o referencial for igual

nas duas facetas, o sinal seria também igual.


Pode-se provar, que para isso

tem que se saber vector das tensões relacionado:

- em 3D a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P

- em 2D a 2 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P

Mantém-se o ponto P mas escolha-se uma faceta com normal diferente

as componentes do vector das tensões serão diferentes

É preciso determinar o número dos valores necessários para poder

unicamente exprimir componentes do vector das tensões a qualquer faceta

4. Tensor das tensões no ponto P

Diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P, quando se conhecem

as componentes do vector das tensões em qualquer faceta que nele passa

4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões

Devido a simetria do tensor das tensões (provada mais tarde) as componentes

destes vectores das tensões devem finalizar

3 dados não contraditórios em 2D

e 6 dados não contraditórios em 3D


P

Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto P Prova em 2D

n

xt

y

yt

y

xt

x

xt

x

yt

n

yt

x

y s

sinsx cossy

sintcostt

0stytxt

y

x

x

x

n

x

n

x

x

x

y

x

sintcostt

0stytxt

y

y

x

y

n

y

n

y

x

y

y

y

Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes

do vector das tensões pode ser considerada uniforme

As forças de volume não foram consideradas, porque contribuem

com o termo de ordem maior (área versus aresta)

Sabendo componentes cartesianas nas facetas (x) e (y) é possível

determinar as componentes cartesianas na faceta inclinada

Nota: as condições de equilíbrio

escrevem-se para forças e momentos,

nunca para componentes de tensão


Comprovando, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas

é suficiente para determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja

é suficiente para definir o estado das tensões no ponto P,

costumam-se escolher facetas do referencial original e em vez

de componentes cartesianas marcam-se nelas componentes intrínsecas.

Mais ainda, cada faceta representa-se nas suas duas formas

e assim de facto recorta-se um rectângulo elementar do MC.

Representação geométrica das componentes de tensão

em 2D no rectângulo elementar

4.2 Componentes de tensão

Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo coordenado

Convenciona-se

Faceta positiva : o sentido da componente positiva coincide

com o sentido do eixo coordenado

Faceta negativa : o sentido da componente positiva é oposto

ao sentido do eixo coordenado

Quando o sentido da normal é oposto ao sentido do eixo coordenado


x

y

xxyx

xy

y

yx

yyx

Neste caso as componentes intrínsecas do vector das tensões chamam-se

componentes do tensor das tensões

Componente normal

Componente tangencial

ou componente de corte

o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção

Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas

do vector das tensões em cada faceta coincidem,

contudo o sentido positivo satisfaz as regras definidas no slide anterior

Facetas positivas

Facetas negativas

Representação das componentes

na forma matricial

yyx

xyx


0yxxy yxxy

yxxy

força força

momento momento

x

y

x

x

y

y

xy

xy

yx

yx

y

x

4.3 Prova da simetria de componentes em 2D

yxy

xyxRepresentação das componentes

na forma matricial

Equilíbrio dos binários

Escolha-se vizinhança elementar

rectangular em torno do ponto P,

mergulhada no MC e escreve-se

o equilíbrio dos binários

As forças de volume e as

variações de tensão não

foram consideradas,

porque contribuem

com o termo de ordem

maior


0yxfxyy

xyxx

y x

xy

xyxyx

xx

0fyx

x

xyx

0f

yxy

yxy

Nota: o equilíbrio dos

momentos dava a

relação de simetria,

agora com a prova mais rigorosa

do que no slide anterior

x

y

xy

yy

y

y

xx

xy

xy

xx

x

x

yy

xy

xy

xy

xy

xfyf

5. Equações de equilíbrio

Vizinhança elementar

rectangular em torno

do ponto P,

mergulhada no MC

Interior

Augustin Cauchy (1789-1857)

5.1 Prova em 2D

2 equações de equilíbrio

não são suficientes

para resolver 3 incógnitas


6. Cálculo das componentes do vector das tensões

nt

Fronteira

Carga cartesiana distribuída na

superfície, valores dados

x,0p

y,0p

x

xy

yxy

sinsx cossy

0spxy x,0xyx

sincosp xyxx,0

yxyxxx,0 nnp

yyxxyy,0 nnp

Componentes cartesianas de analogia:

P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária

Tsin,cosn Tcos,cos,cosn 2D 3D

Condições de fronteira

np0

Tsin,cosn

x

y s

Vizinhança elementar triangular

do ponto de superfície P


Componentes intrínsecas

cosntntt nTnn

n

O sentido da componente tangencial não está definido pela esta expressão

Componente normal e tangencial calculam-se como escalares

A componente normal é positiva quando o sentido dela

coincide com o sentido da normal: tracção

Alternativamente, em 2D apenas!!! Tsin,cosn

nt

n

nt

n

tt

P n

n

nt

n

tt

P

s

nt

Tcos,sins

sttTnn

t

Tensão normal na direcção {n}

2n

n

2nn

t ttt

Tensão tangencial na faceta {n}


x

y

s

sinsx

cossy

7.1 A prova da lei de transformação em 2D

x

xy

yxy x

x

xx

xy

0sxcossin

ysincos

xxyy

xyx

cossin2sincosxy

2

y

2

xx

cossin2cossinxy

2

y

2

xy

22

xyyxxysincoscossin

Equações de equilíbrio em 2D

0sxsincos

ycossin

xyxyy

xyx

Analogamente: Tensão é

tensor da 2ª ordem

7. Carácter tensorial das tensões


x

y

z

x

xyxz

y

yz

yx

zx

z

zy

Representação geométrica das componentes

no paralelepípedo elementar (facetas positivas)

Tensão é tensor simétrico

6 componentes em 3D

Representação das componentes

na forma matricial

z

yzy

xzxyx

sim

Equações de equilíbrio

(de Cauchy) no interior

0fzyx

y

yzyxy

0fzyx

xxzxyx

0fzyx

zzyzxz

8. Notas sobre 3D

3 equações de equilíbrio não são

suficientes para resolver 6 incógnitas

Condições de fronteira

np0


9. Tensões principais

Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz

yx

xy

p

22tg

a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e

mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais

2

yx

m

2

xy

2

yx

2R

Rm1 R

m2

,

onde

1

1

2

2

1

p

2 1

0xy

Rmmax Rmmin

2qualquer componente normal Tensão de corte máxima:

acompanhada

de 2

R 21max

m

2

1

0

0

mmax

maxm

1

2


Notas sobre a circunferência de Mohr

Os pontos da circunferência correspondem às componentes intrínsecas

do vector das tensões nas facetas correspondentes

As facetas positivas e negativas diferem de 180º, o que representa a rotação

de 360º na circunferência, por isso as componentes são iguais,

como era de esperar

acimaOrientação das componentes de corte

determina a posição do ponto na circunferência

de Mohr indiferentemente do referencial

abaixo

x

0xy

yx

yx

y x

y

0xy 0xy 0xy


10. Estados de tensão

Tracção pura

1

1

Compressão pura

2

2

xy

xy

xy

xy

Pressão hidrostática

p

p

p

p

Estado tangencial puro

xy1

xy1

xy2

xy2

as componentes do tensor das tensões não variam com a posição

0

0

mmax

maxm

0C

Homogéneo ou uniforme:


Isostáticas

Tangentes às direcções principais

Tracção pura

1

1 xy

xy

xy

xy

Estado tangencial puro

Compressão pura

2

2

Pressão hidrostática

Qualquer direcção é principal, isostáticas não fazem sentido

analogamente

p

p

p

p


11. Outras designações Tensor esférico e tensor desviador de tensão

'Im

onde σm é a tensão média 3

I

331zyx321

m

m1oc3/I

2

2

1ocI3I

3

2

T3/1,3/1,3/1n

Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão

no plano cuja normal é importante para teoria

Tensão de von Mises

2vM I3

22

m

2

221

2

1vM R3

2

32

2

31

2

21vM2

1

2D

3D

consequentemente 0I1

de plasticidade

Importante para

teoria de plasticidade

Richard von Mises (1883-1953)

importante para a energia de deformação


12. Outras representações

12.1 Elipse de Lamé

Gabriel Lamé (1795-1870)

1y~x~

2

min

2

max

em 2D

Elipsóide de Lamé

em 3D 1z~y~x~

2

3

2

2

2

1

correspondem às componentes do vector das tensões

numa faceta com a normal {n} de componentes

nx, ny, nz no referencial principal

z~,y~,x~

z3y2x1 nz~,ny~,nx~ z

3

y

2

x

1

nz~

,ny~

,nx~

Assume-se, que

1nnnz~y~x~ 2

z

2

y

2

x

2

3

2

2

2

1


max

min

Em 2D

max

min

max

min

nt

n


x

y

1yxy2x 2

yxy

2

x

em 2D

A curva não depende do

referencial, porque o

determinante de [σ] é invariante

12.2 Quádricas de Cauchy

2xx

d

1

Positivo para

v.p. positivos

Negativo para

v.p. negativos

Quádrica = superfície que se pode representar

por uma equação algébrica do segundo grau

Quádrica de Cauchy = coeficientes desta equação

coincidem com as componentes do tensor das tensões

1y

xy,x

yxy

xyx

x

maxx~

miny~

xd

Quando 0det

1/1

y~

/1

x~y~x~

min

2

max

22

min

2

max

ou seja quando os valores próprios têm

o mesmo sinal, a curva corresponde a elipse

max/1

min/1


0minmax

Real para +1

Imag. para -1

a

b

max

1a

min

1b

Real para +1

Imag. para -1

minmax 0

Assimptotas com declives

a

bm

min

max

Real para -1

Imag. para +1

minmax 0

Real para -1

Imag. para +1

minmax0

minmax 0

Real para +1

Imag. para -1

Real para -1

Imag. para +1

No referencial principal

Hipérboles

aa

b

b

b

a

b

a


1xxxxTT

em 3D

Todos v.p. positivos e +1 no lado direito

Todos v.p. negativos e -1 no lado direito Elipsóide

Vamos analisar superfícies reais

2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica 2 valores positivos

1 negativo

De duas folhas, real para -1 De uma folha, real para +1

2xx

d

1

como em 2D


1 valor positivo

2 negativos

De uma folha, real para -1

2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica

De duas folhas, real para +1

As rotações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios,

no slide anterior o “eixo” foi formado pelo (3),

neste slide o “eixo” coincide com (1)

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Cap. 3. Tensão - Departamento de Engenharia Civil · x yt s 0 y x y n y n y x y y y Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes do vector