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Circuito Magnético IST – DEEC / Energia 2007/08 António Dente

Cap II Magnetic Circuit

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Circuito Magnético

IST – DEEC / Energia 2007/08 António Dente

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1

1.Circuito Magnético Na maioria dos sistemas electromecânicos, em particular nos de potência mais elevada, a criação de forças electromagnéticas fundamenta-se nas forças de Lorentz, isto é, na interacção de cargas eléctricas em movimento com o campo de densidade de fluxo. É o que acontece nos geradores e motores eléctricos, nos actuadores e nos captores dispositivos eléctricos com características funcionais muito diferentes, mas cujo funcionamento depende em todos eles da existência de um campo de densidade de fluxo. As diferentes soluções construtivas empregues para a criação do campo de densidade de fluxo e a distribuição da densidade de corrente originam características funcionais também diferentes. A título de exemplo apresentam-se posteriormente vários dispositivos electromecânicos e algumas soluções construtivas de conversores rotativos. De qualquer forma, neste tipo de dispositivos e conversor electromecânico importa obter campos B (excitação) intensos confinados a uma determinada região do espaço. Para este efeito recorre-se à utilização de materiais que, pelas suas propriedades magnéticas, permitem "canalizar" as linhas de força da indução magnética que têm a sua origem em magnetos permanentes ou em correntes eléctricas. Estabelece--se assim aquilo que se designa por circuito magnético do conversor.

Nas máquinas eléctricas, nomeadamente quando há peças em movimento, existe uma zona restrita de pequenas dimensões, o entreferro, cujo material constituinte é o ar e onde importa criar uma distribuição de densidade de fluxo conveniente.

1.1. Equações do circuito magnético Para concretizar a noção de circuito magnético considere-se o exemplo da Figura 1. Trata-se de uma bobina constituída por um certo número de espiras de cobre as quais podem ser enroladas em torno de um núcleo de ferro, material magnético de elevada permeabilidade. Nesta figura mostra-se também um corte do conjunto formado pela bobina e pelas peças em ferro. Note-se a existência de um pequeno entreferro o qual quebra a continuidade do material magnético.

Figura 1 – Bobina de fio de cobre, elementos em ferro constitutivos do seu

núcleo e corte transversal.

Conhecendo a geometria, as características magnética dos materiais e a distribuição da densidade de corrente determina-se a distribuição da indução magnética recorrendo às equações de Maxwell. Na integração destas equações e em alguns casos práticos recorre-se a uma grandeza auxiliar definida como se indica. Sendo ∇ • B = 0, recorre-se a

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2

um campo auxiliar, o potencial vector A, tal que B = ∇ × A 1. Com este campo auxiliar escreve-se:

HJ ×∇=

(1)

)(1 AJ ×∇×∇=µ

(2)

Sem perda de generalidade assume-se ∇ • A = 0 , hipótese esta que permite escrever para um meio homogéneo a equação2

JA µ−=∇ 2

(3)

Como resolução analítica desta equação apenas é conhecida em alguns casos simples, nos casos restantes a solução tem é encontrada por métodos numéricos3 usando-se algoritmos dedicados. Em qualquer dos casos conhecendo a distribuição do potencial vector conhece-se a distribuição das restantes variáveis. Recorrendo a uma solução numérica para uma bobina como a representada na Figura 1 e numa análise a duas dimensões (em rigor os resultados são válidos apenas para o plano médio) obtêm-se resultados como os que se mostram na Figura 2. Esta figura apresenta a distribuição do potencial vector para duas situações diferentes. Na Figura 2 à esquerda, a bobina está imersa no ar e no lado direito apresenta o caso em que a bobina tem um núcleo constituído essencialmente por peças em ferro de elevada permeabilidade magnética.

Figura 2 – Linhas de força da indução magnética. Influência das

características magnéticas do material na distribuição da densidade de fluxo magnético. À esquerda bobina imersa no ar e à direita a bobina tem um núcleo de ferro.

Analisando os resultados das figuras, constata-se que o valor elevado da permeabilidade magnética do ferro em relação ao material circundante, o ar, faz com que as linhas de força da densidade de fluxo magnético fiquem praticamente confinadas ao interior deste

1 Esta solução garante que se verifica ∇ • B = 0 porque a divergência de um rotacional é sempre igual a zero. 2 O recurso ao potencial vector é útil quando torna possível reduzir o número de equações diferenciais a resolver simultaneamente, com a escolha de um referencial com um dos seus eixos alinhado com a direcção da densidade de corrente. 3. A pde-toolbox do MatLab resolve com facilidade estes problemas.

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3

material. Diz-se, nestas circunstâncias, que o ferro "canaliza" as linhas de força da indução magnética e que as “fugas” – linhas de força com percurso significativo ou total fora do ferro - são escassas. Em casos como este, em que há zonas significativas do espaço em que as propriedades do campo electromagnético são relativamente uniformes, representa-se o comportamento do sistema de forma relativamente simples. Em termos simplificados a técnica a empregar consiste em representar essas zonas homogéneas de uma forma global. Isto é, nessas zonas do espaço admite-se que as propriedades do campo electromagnético não variam de ponto para ponto pelo que a representação matemática passa a ser feita por equações diferenciais ordinárias em vez de equações diferenciais às derivadas parciais. Em conclusão, nestes casos é possível construir um modelo de parâmetros concentrados, modelo quantitativamente preciso e mais simples do que o representado pelas equações de Maxwell em regime quasi-estacionário. Para obter este modelo a metodologia é a mesma que foi anteriormente empregue para os circuitos eléctricos. Para concretizar este objectivo considere-se a designada lei de Ampère a qual estabelece que a circulação do vector campo magnético H ao longo de um contorno fechado C é igual à soma das correntes abraçadas por este contorno, ou seja, é igual à força magneto motriz f.m.m.. Esta lei, representada pela equação (5) resulta da aplicação do teorema de Stockes à equação (4). Este procedimento é análogo ao efectuado com o campo eléctrico, embora no caso do campo magnético não haja um significado físico específico para a relação (5)4. Quando na zona do espaço em consideração não há cargas em movimento o campo magnético pode também ser determinado usando uma função escalar, o potencial magnético (6).

JH =×∇

(4)

∑∫∫∫ =•==• kkS

mm iNdSF nJdsH

(5)

mV−∇=→=×∇ HH 0

(6)

Em cada troço em que há uniformidade no valor da indução magnética e à semelhança com a intensidade da corrente eléctrica, define-se o fluxo magnético (7). Esta zona funciona como um tubo de fluxo de indução magnética caracterizado geometricamente pelo valor da secção A e pelo comprimento do troço, l.

BAds

A

=•=φ ∫∫ nB

(7)

Em termos magnéticos o material deste troço é caracterizado por uma relação entre a indução e o campo magnético, que aqui se admite linear HB µ= . Esta relação constitutiva é uma espécie de “lei de Joule magnética”, mas apenas como analogia, pois não se lhe associa qualquer fenómeno de dissipação inerente à condução de cargas magnéticas. De qualquer forma, a passagem de um fluxo φ num troço com secção A, comprimento l e num meio caracterizado pela permeabilidade µ, origina uma queda de

4 No caso do campo eléctrico a circulação deste campo corresponde ao trabalho necessário para fazer circular a unidade de carga nesse contorno fechado.

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4

tensão magnética quantificada pela relação (8), uma expressão análoga à lei de ohm em que o parâmetro Rm é designado por relutância magnética do troço ou ramo5.

φµ

φ mmm RUAlHlU =→==

(8)

Com a representação anterior a relação (5) toma a forma (9) quando no contorno fechado existem n ramos caracterizados como em (8). O resultado expresso pela relação (9) corresponde à lei das malhas do circuito magnético.

...111

mmFRA

lU

n

mjj

n

jj

jj

n

mj === ∑∑∑ φµ

φ

(9)

Também no circuito magnético estabelece-se a lei dos nós, a qual corresponde à equação de Maxwell 0=•∇ B . A expressão (10) representa a aplicação desta lei num nó de um circuito magnético onde confluem m ramos e que se enuncia dizendo que a soma dos fluxos que entram num nó é igual a zero.

01

=∑m

(10)

Para se resolver um circuito magnético, determinar os fluxos em todos os seus ramos, escrevem-se equações independentes em número igual ao número de fluxos a determinar sendo estas equações escritas invocando a lei das malhas e a lei dos nós – leis de Hopkinson – da mesma forma que no caso dos circuitos eléctricos com as leis de Kirchoff.

Problema Pretende-se resolver o circuito magnético apresentado na Figura 1 sabendo que a sua espessura é uniforme e igual a 4cm e que na bobina com 400 espiras circula uma corrente de 5 A.

O circuito magnético é representado pelo circuito representado na Figura 3 o qual é obtido por analogia com o circuito eléctrico.

Figura 3 – Circuito equivalente do circuito magnético.

Na representação do circuito magnético consideram-se três ramos, o direito, o esquerdo e o central e em cada um há duas relutâncias magnéticas em série. Uma corresponde ao

5 Por vezes também se usa o inverso da relutância, a permeância magnética.

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5

troço em que o material é o ferro e a outra corresponde ao troço em que o material é ar (entreferro). As relutâncias são calculadas tendo em conta a secção em cada troço e o seu comprimento. Para o comprimento de cada troço considera-se o comprimento da linha média e no cálculo das secções admite-se em cada ramo do circuito que as secções no ferro e no ar têm o mesmo valor.

2

0

818 cmAcmlA

lRR f

rf

fdfef ====

µµ

2

0

168 cmAcmlA

lR ccf

crf

cfcf ===

µµ

Nos entreferros os valores das relutâncias são:

ccadaea A

RA

RR00 µδ

µδ ===

As relutâncias resultantes em cada ramo do circuito têm os valores:

)1(0 δµµδ

rf

flde

lA

RRR +===

)1(0 δµµδ

rf

cf

cc

lA

R +=

Como a permeabilidade magnética no ferro tem um valor muito elevado, o entreferro, mesmo de pequena dimensão, é em primeira aproximação dominante na caracterização do circuito magnético conforme os resultados anteriores evidenciam. No caso limite em que se despreza a contribuição do ferro, este funciona como um condutor magnético ideal (permeabilidade infinita) onde não há queda de tensão magnética. É esta a hipótese que se assume como primeira aproximação, pelo que:

ccl A

RA

R00 µδ

µδ ≈≈

Uma vez caracterizados magneticamente os três ramos do circuito escreve-se o sistema de equações invocando as leis de Hopkinson – lei dos nós aplicada num nó e lei das malhas aplicada a duas malhas. As convenções utilizadas na escrita destas equações são facilmente compreensíveis.

iNFmmFmmRRFmmRR e

ccdl

ccel

cde

=

=+=+=−+

φφφφφφφ 0

Com as aproximações efectuadas e tendo em conta os valores relativos das relutâncias tem-se o resultado:

220 c

dec

c NiA φφφδ

µφ ==≈

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6

Num sistema como o da Figura 1 é armazenada energia a qual é trocada com o exterior pelos terminais da bobina6. Em muitos casos é prático caracterizar a bobina pelo valor da indutância - coeficiente de indução. Para determinar este parâmetro determina-se previamente o valor do fluxo ligado. Deste modo, e sem contabilizar a dispersão o fluxo ligado com a bobina é determinado por (11), pelo que o valor para a indutância é o indicado por (12).

iNAN ece20

δµφψ ==

(11)

20eNALLi

δµψ =→=

(12)

Neste exemplo, a energia armazenada no circuito magnético é determinada por (13), valor que também é calculado recorrendo ao valor da densidade de energia magnética e integrando para todo o volume – neste caso para o entreferro. A título de exercício verifique esta afirmação para o caso presente.

2

21 LiWm =

(13)

No problema anterior apresentou-se uma primeira abordagem para a realização de uma bobina, elemento que armazena energia magnética em que os materiais utilizados na sua construção, em particular o material condutor e o material do núcleo foram considerados materiais perfeitos. Porém a bobina “real” apresenta outros fenómenos que intervêm no balanço de energia, e resultam das “imperfeições” dos materiais usados na sua construção. Por exemplo, os condutores não sendo perfeitos são sede de perdas por efeito de Joule que se quantificam usando uma resistência adicional com valor conveniente em série com a indutância. Também no ferro usado na realização do circuito magnético há perdas adicionais, nomeadamente as perdas por histerese e as perdas por correntes de Foucault que têm que ser consideradas

1.2. Perdas por histerese Os materiais magnéticos utilizados na construção de conversores electromecânicos têm um comportamento complexo, exibindo fenómenos fortemente não lineares como a saturação e a histerese. Este último facto traduz-se numa característica (B,H) que depende da história da dinâmica a que o material foi sujeito. No entanto, quando se actua sobre o sistema de forma repetitiva de modo a que o campo de indução tem variações periódicas com amplitude constante, verifica-se que a característica (B,H) estabiliza conforme se representa na Figura 4.

6 No exemplo em causa considera-se que não há peças móveis e portanto não há energia mecânica em causa. Posteriormente este caso será analisado.

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7

B2

B1 Figura 4 - Ciclo de histerese característico do material magnético.

Nestas condições de funcionamento, a variação da energia magnética em cada período tem um valor não nulo que se calcula integrando sobre todo o volume a variação da densidade de energia magnética determinado por (14).

∇ wm = H dBB10B20B1

∫ (14)

O integral (14) representa a área do ciclo de histerese. Resultados experimentais mostram que esta área é proporcional à potência α da amplitude máxima do campo B para variações alternadas sinusoidais e que α varia entre 1.7 e 2 conforme os materiais. Sendo as variações periódicas de frequência f, a energia entregue por unidade de tempo (potência) ao material magnético por unidade de massa, escreve-se na forma (15) onde figura a amplitude máxima de B.

ph ∝ f BMα

(15)

Fisicamente esta energia que é dissipada pelo material magnético, corresponde à energia dissipada por "atrito" no movimento periódico de orientação de "magnetos elementares" definidos no interior do material magnético.

1.3. Ímanes Permanentes As características magnéticas macroscópicas dos materiais dependem directamente de fenómenos microscópicos relacionados com os movimentos orbitais dos electrões. A estas deslocações de carga eléctrica correspondem correntes eléctricas que originam campos magnéticos. Na constituição dos materiais e, a um nível microscópico, existem assim pequenos ímanes (pequenas agulhas magnéticas) susceptíveis de serem sensibilizados por campos magnéticos exteriores.

Em grande número de materiais, devido à orientação aleatória destes ímanes elementares, não se revela a nível macroscópico qualquer campo magnético resultante. No entanto, noutros materiais, por exemplo os materiais ferromagnéticos, apresentam um reforço na indução magnética resultante, devido à orientação coordenada dos "ímanes elementares". Quando a maior parte destes ímanes elementares já estão alinhados com o campo exterior não há um reforço significativo da indução magnética resultante com o aumento do campo aplicado. O material entra num regime de saturação magnética. Além deste processo, a experiência mostra que, nestas substâncias, como o ferro, o cobalto e o níquel, a indução magnética não é determinada apenas pela intensidade do campo magnético, mas depende também da forma como o campo é estabelecido. Este fenómeno é representado pelas curvas de magnetização, como as que são representadas na Figura 5.

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8

Nesta figura é visível a existência de um fenómeno de histerese, bem como a persistência da indução mesmo na ausência do campo magnético exterior, a indução remanescente Br,. Para anular a indução é necessário inverter a excitação e aplicar um campo coercivo Hc.

Figura 5 - Curvas de magnetização.

Alguns materiais têm ainda um comportamento magnético mais complexo, pois são magneticamente anisótropos. Isto é, a magnetização efectua-se mais facilmente em direcções preferenciais. No ferro, estas direcções têm a ver com o processo de laminagem a que é sujeito.

Neste estudo, relativo a sistemas electromecânicos, interessa prioritariamente caracterizar o comportamento dos materiais ao nível macroscópico, isto é, ao nível da aplicação das leis de Maxwell na sua forma pontual ou ao nível de uma representação em termos de circuito. Por este motivo, é normalmente suficiente caracterizar o material magnético por uma curva de magnetização, relação B(H). Considere-se, então, um íman permanente caracterizado pela curva (1) representada na Figura 6. Quando a indução magnética aumenta desde um certo valor inicial constata-se que a característica de magnetização principal (1) é abandonada. Para as aplicações electromecânicas é suficiente admitir que este deslocamento se efectua segundo a recta (2), a recta de retorno, a qual é aproximadamente paralela à tangente à característica principal no ponto (0,Br). Se a indução diminui, os pontos de funcionamento são pontos desta recta desde que o valor da indução se mantenha superior a Bmin. Caso contrário haverá uma desmagnetização do íman ficando eventualmente estabelecida outra recta de retorno. Deve notar-se que, quando há variações de sinal, o fenómeno de histerese manifesta-se conforme mostra a Figura 7.

Figura 6 - Característica

magnética de um íman permanente

Figura 7 - Histerese da recta

de retorno.

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9

Na Figura 8 apresentam-se características de magnetização de alguns materiais mais comuns utilizados na construção de sistemas electromecânicos. Note-se nesta figura a diversidade de valores relativos à magnetização remanescente e ao campo coercivo grandezas particularmente importantes para estabelecer limites às condições de funci-onamento dos conversores com ímanes permanentes. Um valor elevado de magne-tização remanescente contribui para diminuir as dimensões do conversor enquanto que um campo coercivo elevado permite correntes elevadas no conversor sem perigo de desmagnetização.

Figura 8 - Características magnéticas de materiais vulgarmente utilizados

como ímanes permanentes.

Problema Para mostrar como se articula a caracterização do íman permanente com o circuito magnético em que é inserido considere-se o circuito magnético anteriormente apresentado e de novo representado na Figura 9. No caso presente existe na perna central um íman permanente em vez da bobina. Este íman tem a mesma secção da perna central e um comprimento lm igual a 2cm. No circuito assim constituído existe o entreferro, o íman permanente e o núcleo em ferro com elevada permeabilidade magnética. Apenas para se ter maior simplicidade analítica admite-se que o ferro tem uma permeabilidade magnética infinita e, portanto, apenas o entreferro e o íman são relevantes.

12cm

2cm

4cm

2cm

2cm

6cm

2cm

Figura 9 - Exemplo de um circuito magnético com íman permanente.

A resolução do circuito magnético faz-se como anteriormente e basta ter em consideração a alteração da relutância magnética na perna central do núcleo de ferro, a

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10

queda de tensão magnética no íman permanente e o facto de a f.m.m. ser agora nula. As relações especificadas pelas relações (16) contabilizam estas alterações.

2

0

166 cmAcmlA

lR ccf

crf

cfcf ==

µµ=

=+φ+φ

=+φ+φ

=φ−φ+φ

0

0

0

mmccdl

mmccel

cde

lHRR

lHRR

(16)

Pelo sistema de equações anterior determina-se o valor dos fluxos

22/c

decl

mmc RR

lH φφφφ ==+

−=

(17)

Como o fluxo na perna central é o mesmo que atravessa também o íman escreve-se mmc AB=φ , onde Bm é a indução magnética no íman. Esta relação em conjunto com o

resultado (17) possibilita a escrever a relação (18) que é relativamente genérica. No caso em análise esta relação tem a forma (19), pois A=Am.

emcl

em

me

m

m

RRAl

HB Λ−=Λ

+=ΛΛ−=

2/1

(18)

δµ

20m

m

m lHB −=

(19)

O resultado anterior evidencia como o circuito exterior contribui para fixar o ponto de funcionamento do circuito. Neste caso ele estabelece uma relação linear, a recta de carga, entre os campos B e H na zona do íman. O ponto de funcionamento do circuito deve satisfazer em simultâneo duas relações: a imposta pela recta de carga (característica exterior) e a imposta pela característica do material do íman.

Figura 10 - Recta de retorno e recta de carga de um circuito magnético.

Graficamente, o ponto de funcionamento corresponde à intersecção destas duas curvas. No entanto, na generalidade dos sistemas electromecânicos, a permeância externa varia por razões funcionais (entreferro variável). Nestas condições, em vez de se utilizar a

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11

característica do íman, é mais correcto recorrer-se à recta de retorno. A Figura 10 ilustra esta situação tendo-se admitido que a permeância exterior varia entre um valor máximo e um valor mínimo.

1.4. Perdas por correntes de Foucault Geralmente, os materiais magnéticos utilizados na construção de conversores electromecânicos são também materiais condutores. Nestes materiais, quando sujeitos a campos magnéticos variáveis ou quando em movimento num campo magnético, desenvolvem-se correntes induzidas no seu seio e, em consequência, desenvolvem-se perdas por efeito de Joule – perdas por correntes de Foucault - que importa quantificar.

Para concretizar a análise desta situação considere-se o caso usual de uma chapa de material magnético, como a que se representa na Figura 11, material esse que é caracterizado por uma condutividade σ e por uma permeabilidade magnética, µ. Para permitir um estudo analítico simples, admite-se que a chapa de material magnético tem uma espessura muito mais pequena do que as outras dimensões lineares, d<<(l, h). Esta hipótese possibilita desprezar os efeitos de extremidade, isto é, permite considerar que as distribuições da indução magnética e da densidade de corrente dependem apenas do tempo t e da coordenada x. Supõe-se ainda que o campo B tem apenas componente segundo Z.

X

Z

Y

d

Bh

lJ

Figura 11 - Chapa magnética.

As condições de simetria que se assumem permitem representar a indução magnética e a densidade de corrente pelas funções (20). Com estas hipóteses e recorrendo às equações de Maxwell, estabelece-se a equação (21) cuja resolução permite conhecer a distribuição de B e permite também determinar a distribuição da densidade de corrente J por intermédio de (22).

yz etxJJetxBB ),(),( ==

(20)

tB

xB

∂∂=

∂∂ µσ2

2

(21)

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12

xBJ

∂∂−=

µ1

(22)

A equação (21) é uma equação de difusão a qual é usada no estudo de fenómenos de regime permanente e no estudo de fenómenos transitórios. É a primeira situação que se vai abordar para quantificar as perdas por correntes de Foucault.

Considere-se, então, o caso que tem mais interesse prático, em que o campo B varia no tempo com uma forma alternada sinusoidal com pulsação ω. O desenvolvimento desta situação é análogo ao efectuado no estudo do efeito pelicular pelo que apenas se apresentam os resultados finais, ficando para o leitor a tarefa de os verificar a título de exercício7. Assim, a distribuição do campo B (amplitude complexa) é dada por (23), onde B0 é o valor do campo no plano intermédio da chapa (x=0) e a p corresponde ao valor (24). A distribuição da densidade de corrente determina-se por (25).

)cosh(0 xpBB =

(23)

)1(2

jp += ωσµ

(24)

)sinh(0 xppBJµ

−=

(25) A Figura 12 mostra a distribuição normalizada da amplitude do campo B/B0 em função

da distância ao centro da chapa, distância normalizada em relação à espessura de penetração (26) da chapa magnética. Este resultado evidencia que em regimes varáveis no tempo só é lícito considerar uma distribuição uniforme da indução magnética quando a espessura da chapa é pequena em relação à espessura de penetração Dp, grandeza que depende das características eléctricas e magnéticas do material e também da frequência. Na Figura 13 mostra-se o valor desta grandeza para diferentes frequências e para dois materiais vulgarmente utilizados na construção de sistemas electromecânicos, o cobre e o ferro silicioso.

ωσµα21 ==pD

(26)

Como se constata pelos resultados da Figura 13 estes dois materiais apresentam espessuras de penetração muito diferentes resultantes das suas características8. À frequência usual em sistemas de potência – 50Hz - o cobre apresenta uma espessura de

7 - Dado que o regime é alternado sinusoidal e o sistema é linear considera-se uma solução de variáveis separáveis da forma:

tjz exBtxB ω)(),( =

8 Cobre: σ= 56 106 Sm-1, µr=1; ferro silicioso: σ= 2 106 Sm-1, µr=7000

Page 15: Cap II Magnetic Circuit

13

penetração da ordem de 1 cm, enquanto que no ferro silicioso este valor é da ordem de 0,6mm.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura 12 - Distribuição da amplitude do campo B/B0 em função da

distância ao centro do condutor, distância normalizada em relação à espessura de penetração.

Figura 13 - Variação da espessura de penetração Dp com a frequência, para

o cobre e para o ferro silicioso.

Figura 14 - Distribuição da amplitude da densidade de corrente numa chapa

de ferro silicioso com 4mm de espessura e a uma frequência de 400Hz.

A densidade das correntes induzidas no interior do material tem também uma distri-buição não uniforme conforme se exemplifica na Figura 14.

Page 16: Cap II Magnetic Circuit

14

Nesta figura representa-se a distribuição padronizada desta distribuição para uma chapa de ferro silicioso com 4 mm de espessura e para uma frequência de 400 Hz.

A circulação de correntes parasitas origina perdas por efeito de Joule (perdas no ferro por correntes de Foucault) que interessa atenuar na realização de circuitos magnéticos. O cálculo da densidade destas perdas efectua-se recorrendo à relação (27).

21)( eff JEJpσ

>=•=<

(27)

O resultado final do cálculo das perdas por unidade de volume (28) é obtido integrando (27) tendo em conta a expressão da densidade de corrente. Por ser prático utiliza-se nesta expressão o valor médio do campo B (30).

)(241 222 pdFBd

VP

mσω=

(28)

)2/(sinh)sinh(

23)( 2 pdpd

pdpdpdF −=

(29)

2/)2/sinh(1

0

2/

2/ dpdpBdxB

dB

d

dm == ∫− (30)

A Figura 15 apresenta a evolução do termo correctivo F(pd) (29) constatando-se que para chapas de pequena espessura (pd<1) se considera simplesmente:

222

241

mBdVP σω=

(31)

Figura 15 - Valor correctivo das perdas por correntes de Foucault F em

função de |pd|.

Para evitar a má utilização do material magnético e reduzir as perdas devidas às cor-rentes induzidas parasitas, o circuito magnético é construído através do empilhamento de chapa isolada de material magnético com pequena espessura como se representa na Figura 16, em vez da utilização de material maciço. É, nestas circunstâncias, usual a uti-

Page 17: Cap II Magnetic Circuit

15

lização de chapa magnética com espessura entre 0,25mm e 1mm e com elevado valor de resistividade o que se consegue pela adição de silício ao ferro.

Figura 16 - Circulação de correntes no interior das chapas que constituem o

circuito magnético.

As perdas totais no ferro do circuito magnético têm duas origens distintas, as perdas por histerese e as perdas por correntes de Foucault podendo escrever-se para a densidade das perdas globais no ferro a relação de proporcionalidade seguinte, onde como se referiu α tem um valor entre 1,7 e 2,2.

αMMFe fBkBfkp 2

221 +∝

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16

2. Circuito magnético de conversores electromecânicos rotativos No capítulo anterior apresentou-se a noção de circuito magnético e usaram-se metodologias relativamente genéricas para a sua resolução. Agora refere-se uma classe importante de circuitos magnéticos, os circuitos magnéticos de conversores electromecânicos rotativos. Estes casos têm uma análise mais complexa devido a algumas particularidades, nomeadamente quando a bobina tem as suas espiras distribuídas espacialmente, quando há movimento relativo de elementos do circuito magnético e a distribuição da indução magnética variar de forma significativa em cada ponto do entreferro.

Para concretizar esta análise considere um conversor eléctrico rotativo cuja secção transversal está representada na Figura 17. Conhecem-se as seguintes dimensões do conversor: diâmetro exterior do rotor Dr= 9,52 cm, entreferro δ=3 mm e comprimento longitudinal do corpo da máquina Lm=21cm. No rotor, a peça móvel, existe uma bobina que permite criar uma distribuição uniforme de densidade de corrente nas duas zonas assinaladas na figura que ocupam dois sectores de 90º com uma espessura muito pequena. Para permitir o movimento do rotor há um entreferro que separa o estator e o rotor, ambos constituídos por ferro de elevada permeabilidade magnética.

θ

Figura 17 - Corte transversal numa máquina rotativa com distribuição

uniforme de densidade de corrente no rotor.

Figura 18 – Linhas de corrente da indução magnética no circuito magnético

de um conversor rotativo.

A Figura 18 apresenta uma solução numérica do problema, mostrando as linhas de corrente da indução magnética para uma certa posição angular do rotor e para um certo valor da densidade de corrente, a qual se considera uniformemente distribuída nas zonas assinaladas.

Page 19: Cap II Magnetic Circuit

17

Sem entrar em detalhes – os quais são analisados posteriormente – o resultado da simulação mostra que no entreferro o campo de indução aparenta ser radial e a sua distribuição apresenta condições de simétrica. Aceitemos esta escala de observação para encontrar uma caracterização da bobina em termos de parâmetros concentrados. Além disto, admite-se também que a permeabilidade magnética do ferro é muito elevada, pelo que é um “condutor magnético perfeito”. Com estas hipóteses só há queda de tensão magnética no entreferro.

Para determinar a distribuição da f.m.m. escolhe-se um contorno de circulação como o indicado na Figura 19 em que há uma simetria nos valores do campo magnético no entreferro. Para este tipo de contorno tem-se:

dSFmm

HFmm

S∫∫

•=

=•=

nJ

dsH

)(

)(2)(

α

δαα

(32)

Neste resultado apenas há queda de tensão no entreferro. Além disso, se na bobina existirem N espiras onde circula a corrente i a queda de tensão em cada ponto do entreferro tem o andamento representado na Figura 19.

Figura 19 – Cálculo da f.m.m. associada a um tubo de fluxo elementar e

distribuições da densidade de corrente e da queda de tensão magnética.

A distribuição da indução magnética que tem também o andamento análogo ao do campo magnético é dada pela relação (33), em que o ângulo é medido em relação ao eixo de simetria da bobina.

−≤<−−

−≤<−−+

≤<−

≤<+−−

≤<−

=

43

2

443

2)

232(

442

43

42)

212(

43

2

)(

0

00

0

00

0

πγπδ

µ

πγπδ

µπγ

δµ

πγπδ

µ

πγπδ

µπγ

δµ

πγπδ

µ

γ

Ni

NiNi

Ni

NiNi

Ni

B

(33)

Page 20: Cap II Magnetic Circuit

18

Usando o resultado anterior calcula-se a energia magnética armazenada no entreferro o que permite determinar o valor dado pela relação (34) da indutância da bobina, onde ke é um factor de forma da bobina9.

912,02

)2/( 20 ≈= eer kkNlDLδπµ

(34)

9 Posteriormente o conceito associado a este parâmetro será desenvolvido. Por agora faça apenas a comparação com o valor da indutância quando a bobina tem todas as espiras localizadas no mesmo sítio.

Page 21: Cap II Magnetic Circuit

19

3.Enrolamentos dos conversores rotativos Nos conversores electromecânicos rotativos usam-se enrolamentos de material condutor para gerarem no entreferro uma distribuição espacial de f.m.m. com uma forma conveniente. Estes enrolamentos são constituídos por conjuntos de bobinas formadas por grupos de espiras que ocupam posições na periferia do estator ou do rotor, posições que são escolhidas de forma criteriosa. Frequentemente, essa distribuição de f.m.m. no entreferro deve ter uma forma sinusoidal como acontece nos conversores rotativos. Para se conseguir um bom aproveitamento dos materiais e para manter pequenas as dimensões de entreferro os condutores das espiras são distribuídos de forma judiciosa e colocados em cavas. Além disso esta solução facilita a fixação mecânica dos condutores ao estator ou ao rotor. Estes enrolamentos são designados enrolamentos distribuídos em contraponto aos enrolamentos concentrados de construção mais fácil, porque as espiras têm todas a mesma posição magnética.

Não está no âmbito destes apontamentos detalhar os aspectos construtivos dos enrolamentos, mas apenas sublinhar os mais essenciais e necessários a uma melhor compreensão do funcionamento dos conversores rotativos. Uma informação mais detalhada é encontrada em livros clássicos de máquinas eléctricas alguns dos quais são indicados na bibliografia.

3.1. Distribuição de f.m.m. de bobinas concentradas Em alguns casos, estes enrolamentos são constituídos por bobinas concentradas, isto é, todas as espiras de um conjunto de bobinas (que constituem cada fase da máquina) ocupam a mesma “posição magnética”. Esta situação ocorre nos transformadores, no circuito de excitação das máquinas síncronas de pólos salientes, nos pólos de excitação das máquinas de corrente contínua etc.. A Figura 20 mostra o aspecto dessas duas soluções típicas para os enrolamentos das máquinas eléctricas que já foram referenciadas: com enrolamentos concentrados e com enrolamentos distribuídos.

Figura 20 – “Motorformer da ABB” motor síncrono de elevada potência e

elevada tensão nominal. No rotor (R) é visível a existência de bobinas concentradas nos pólos do circuito de excitação. No estator (F) que também se mostra no lado direito reconhece-se um enrolamento distribuído.

No que se segue considere um conversor rotativo como o representado na Figura 19 e para o cálculo da f.m.m. proceda como nesse capítulo. Apenas a distribuição de

Page 22: Cap II Magnetic Circuit

20

correntes é diferente. Assim a Figura 21 apresenta de forma estilizada a distribuição dos condutores das espiras de um enrolamento concentrado num pólo de uma máquina. Nessa figura apresenta-se também a distribuição de corrente e de f.m.m. no entreferro para estas espiras cujos condutores activos estão distanciados de 180º eléctricos. A distribuição estilizadas das correntes é representada matematicamente por impulsos de Dirac, o que claramente é uma aproximação, e a f.m.m. tem uma forma periódica rectangular10 a que corresponde o desenvolvimento em série (35). Esta representação exagera a amplitude das harmónicas de ordem mais elevada em relação à distribuição real.

Nbi

Nbi/2

π/2- π /2

Figura 21 - Distribuições de correntes e de f.m.m. de Nb espiras concêntricas

numa máquina com um par de pólos.

])12cos[(12

)1()2

(40

απ

++

−= ∑=

kk

iNF

k

kb

m

(35)

3.2. Distribuição de f.m.m. de um enrolamento uniformemente distribuído Este enrolamento é usado no rotor das máquinas de corrente contínua, o induzido. Conjuntos com o mesmo número de espiras – as secções – são espaçados de forma regular na periferia do rotor. Se o número de condutores é elevado como acontece usualmente a distribuição de condutores é uniforme e a f.m.m. tem uma forma praticamente triangular. Este caso estilizado está representado para um passo polar na Figura 22.

Figura 22 – Distribuições de correntes e de f.m.m. de Nb espiras

uniformemente distribuídas.

3.3. Distribuição de f.m.m. de bobinas distribuídas Em muitas circunstâncias a existência de harmónicas na distribuição de f.m.m. não é conveniente, porque originam termos parasitas e pulsatórios no binário do conversor que contribuem para aumentar a fadiga mecânica dos materiais, perturbam o

10 - Compare esta distribuição de f.m.m. com a apresentada no capítulo anterior, bem como a que se apresenta no ponto seguinte.

Page 23: Cap II Magnetic Circuit

21

funcionamento da máquina e degradam o rendimento do processo de conversão de energia. Além disso, estas harmónicas causam interferências electromagnéticas com outros equipamentos eléctricos. Por estas razões é importante eliminar ou atenuar estes termos parasitas da f.m.m. o que se consegue com uma distribuição criteriosa das espiras do enrolamento.

Figura 23 - Espiras condutoras coladas em cavas do rotor de um conversor

rotativo.

Nos enrolamentos distribuídos há conjuntos de espiras agrupados de forma concentrada e com os respectivos condutores activos dentro de duas ranhuras como se representa na Figura 23. Este conjunto concentrado de N/q espiras origina uma distribuição de f.m.m. como a que é representado de forma estilizada na Figura 21 e quantificada por (35) fazendo Nb=N/q. Suponha-se agora os q grupos de espiras são colocados de forma distribuída com desfasagem relativa igual a γ. Nestas condições, a f.m.m. resultante é a soma das contribuições de cada um dos q conjuntos com N/q espiras, o que se traduz pelas expressões (36) e (37)11.

]})1()[12cos{(12

)1()2

(40 1

γαπ

−−++

−= ∑ ∑= =

jkkq

NiFk

q

j

k

m

(36)

2)12(sin

2)12(sin

]}2/)1()[12cos{(12

)1()2

(40

γ

γ

γαπ

+

+

=

−−++

−= ∑=

kq

qk

K

qkKk

NiF

dk

dkk

k

m

(37)

11 O cálculo do factor de forma é moroso, mas determina-se de forma mais fácil usando a representação de Euler para as funções sinusoidais e tendo em conta a fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica.

Page 24: Cap II Magnetic Circuit

22

Figura 24 – Distribuição da f.m.m. de 3 conjuntos de bobinas concentradas

desfasadas de 20º eléctricos.

Comparando (37) com (35) verifica-se que o enrolamento distribuído apresenta a amplitudes das harmónicas atenuadas por um factor Kdk – factor de forma - em relação ao enrolamento concentrado e o seu eixo de simetria tem a posição angular (q-1)γ/2. A Figura 24 apresenta a distribuição de f.m.m. resultante de um conjunto de três bobinas desfasadas de 20º eléctricos e percorridas pela mesma intensidade de corrente. Na Tabela 1 indicam-se os valores do factor de forma do enrolamento para um caso específico no qual se verifica uma redução substancial das harmónicas 5, 7 e 11.

Tabela 1 – Kdk para uma bobina com q=3 conjuntos de espiras desfasados entre si de γ = 9/π rad eléctricos.

k nh Kd 0 1 0,961 3 0,672 5 0,223 7 -0,184 9 -0,335 11 -0,18

3.4. Enrolamento de dupla camada Nas situações mais correntes o enrolamento da máquina é constituído por duas camadas de bobinas idênticas à que se descreveu no ponto anterior. Os dois conjuntos de bobinas estão desfasados espacialmente e são percorridas pela mesma intensidade. Os condutores de cada bobina de uma camada ocupam apenas meia cava, a parte restante da cava é preenchida por condutores da segunda camada conforme a Figura 23 faz entender. Este tipo de enrolamento designa-se enrolamento em dupla camada podendo existir enrolamentos multicamada. A f.m.m. resultante é determinada pela expressão geral (38) para um enrolamento multicamada que se obtém somando as cq contribuições de cada camada (37) desfasada de γc

Page 25: Cap II Magnetic Circuit

23

2)12(

sin

2)12(

sin

]}2/)1(2/)1()[12cos{(12

)1()2

(40

cc

cc

ck

ccbckdkk

kc

mc

kq

qk

K

qqkKKk

NiqF

γ

γ

γγαπ

+

+

=

−−−−++

−= ∑=

(38)

Tal como para o caso do conjunto de bobinas distribuídas o enrolamento com várias camadas tem o seu eixo de simetria desfasado de (qc-1)γc/2 em relação à primeira camada e as amplitudes das harmónicas são atenuadas por um factor Kck.

Na Tabela 2 indicam-se os valores deste factor de enrolamento para o caso específico de duas camadas no qual se verifica atenuação acrescida das harmónicas 5, 7 e 11.

Tabela 2 – Kck para um enrolamento de dupla camada com desfasagem de ( 9/π ) graus eléctricos.

k nh Kck 0 1 0,981 3 0,872 5 0,643 7 0,344 9 0,005 11 -0,34

Para a f.m.m. resultante, representada na Figura 25, isto é, para a f.m.m. criada pela corrente constante que circula nas bobinas das duas camadas e que constituem uma fase da máquina, há uma atenuação sensível nas suas harmónicas, conforme se indica na Tabela 3. Note-se em particular a atenuação da 5ª e da 7ª harmónica. Repare-se também que neste exemplo a 3ª harmónica mantém um valor muito importante.

Figura 25 – Distribuição de f.m.m. de um enrolamento de dupla camada com

3 conjuntos de bobinas em cada camada desfasadas de 20º e com as camadas desfasadas também do mesmo ângulo.

Page 26: Cap II Magnetic Circuit

24

Tabela 3 – Factor de enrolamento para uma fase com 3 bobinas distribuídas e em dupla camada e γ= γc= 9/π rad eléctricos

nh Kr=KdkKck

1 0,953 0,585 0,147 -0,069 0,00

11 0,06

Quando o conversor é polifásico o enrolamento completo tem m fases. Cada fase é constituída por várias bobinas interligadas conforme se referenciou, mas com posições desfasadas na periferia de m/2π graus eléctricos. Quando a máquina tem p pares de pólos o que foi exposto mantém-se e considerada como uma descrição por par de pólos pelo que a distribuição da f.m.m. no entreferro tem um período eléctrico completo para

p/2π graus mecânicos.

3.5. Enrolamento de passo fraccionário Na descrição anterior admite-se que as espiras que constituem as bobinas do enrolamento têm um passo polar isto é, os seus condutores activos estão separados de (π/p) graus mecânicos ou π graus eléctricos. No entanto, com bastante frequência recorre-se a enrolamentos em que as bobinas têm espiras com passo polar mais reduzido12. A medida do passo polar é indicada por uma fracção que traduz a separação dos condutores activos em termos relativos (ao passo completo) e expressa em número de cavas. Na Figura 26 apresenta-se um plano de enrolamento onde se indica o número da cava a sua posição em termos de ângulos mecânico e eléctrico e com a indicação da fase a que pertencem os condutores activos instalados nessa cava e a respectiva camada. Para concretizar repare que uma das bobinas da fase R tem os seus condutores activos na cava 1 na camada C1 e os outros condutores activos dessa bobina estão na camada 2 da cava 9. A separação dos condutores activos, ou passo polar, é igual a 80º mecânicos ou 160º eléctricos ou seja estão distanciados de 8 cavas. O passo completo 180º eléctricos é igual a 90º mecânicos ou tem uma distância de 9 cavas. Diz-se, neste caso que se trata de bobinas com passo fraccionário 9/8=pη .

Cava 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ºmec 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ºelec 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 C1 R1a R2a R3a S1 S2 S3 T1 T2 T3 R1 R2 C2 R2 R3 S1 S2 S3 T1 T2 T3 R1a R2a R3a

Figura 26 – Plano de um enrolamento trifásico para um conversor com 2 pares de pólos, em dupla camada e 3 bobinas por pólo, distribuídas e com passo fraccionário.

Para se determinar a distribuição da f.m.m. em enrolamentos com passo fraccionário seguem-se essencialmente os mesmos pontos referidos para o enrolamento de passo completo. Na verdade, como se verifica na Figura 26, o conjunto das bobinas de passo

12 A vantagem do enrolamento com passo fraccionário reside numa montagem mais fácil de executar e esta solução permite ainda reduzir o comprimento médio das cabeças das bobinas.

Page 27: Cap II Magnetic Circuit

25

fraccionário comporta-se com se existissem apenas bobinas de passo completo desfasadas de um ângulo igual a:

)1(2 pf ηπγ −=

(39)

A utilização de enrolamentos distribuídos permite a criação de distribuições com forma espacial aproximadamente sinusoidal, porque introduz efeitos de filtragem. No entanto, há outras fontes que originam harmónicas espaciais de alta-frequência na distribuição da densidade de fluxo campo magnético. É o que acontece com as alterações dimensionais do entreferro devido à existência das cavas e dentes. Para atenuar estas harmónicas as cavas das máquinas eléctricas desenvolvem-se longitudinalmente com um enviesamento adequado.

Para terminar refere-se que no exemplo que se vem a considerar a 3ª harmónica tem um peso substancial. No entanto, isto não constitui um inconveniente quando o conversor é trifásico não tem o neutro ligado. Neste caso a distribuição de f.m.m. resultante (com a contribuição de todas as fases) não tem 3ª harmónica. Fica para o leitor justificar este facto.

Page 28: Cap II Magnetic Circuit

26

4. Campo girante de f.m.m.

No capítulo anterior mostrou-se como se podem criar distribuições de f.m.m. com uma forma específica no entreferro de um conversor rotativo. Nessa análise a distribuição é estacionária, mas em muitos casos as distribuições devem ter um movimento de rotação, isto é, devem constituir uma distribuição girante. Neste capítulo referem-se diferentes formas de realizar este objectivo.

4.1. Campo girante resultante de correntes estacionárias em bobinas móveis No capítulo anterior, mostrou-se que uma distribuição conveniente das espiras de uma bobina permite criar uma distribuição sinusoidal de f.m.m.. Supondo que este enrolamento está colocado no rotor do conversor, quando este altera a sua posição angular a forma da distribuição mantém-se alterando naturalmente a sua posição angular em relação ao estator. Isto é, a distribuição de f.m.m. acompanha a posição dos condutores onde circula a corrente que está na sua génese. Em particular quando o rotor roda a uma certa velocidade angular, arrastando consigo a bobina, a distribuição, também roda com a mesma velocidade. Diz-se que nestas circunstâncias se obtém um campo girante com uma pulsação rpω numa máquina com p pares de pólos.

4.2. Campo pulsante Considere-se então um conversor com entreferro uniforme onde a distribuição da densidade de fluxo magnético é sinusoidal devido à distribuição conveniente das espiras da bobina, ou que se assume apenas a primeira harmónica do desenvolvimento em série de Fourier, isto é tem-se uma distribuição cujo andamento é descrito por uma relação da forma (40), onde se considera um factor de forma kB.

)cos(2

4)( 0 αδ

µπ

α iNk

B B=

(40)

Quando a corrente que percorre a bobina varia sinusoidalmente no tempo com frequência ω, então a distribuição da indução magnética tem a amplitude modulada pela corrente e é representada pela expressão (41).

[ ])cos()cos(2

2),(

)cos()cos(2

4),(

0

0

ttINktB

tINktB

MB

MB

ωαωαδ

µπ

α

αωδ

µπ

α

−++=

=

(41)

Este resultado mostra que a distribuição estacionária (campo pulsante) resulta da sobreposição de dois campos girantes com a mesma amplitude, mas que rodam em sentido contrário com velocidade angular ω em relação ao referencial onde está a bobina, conforme mostram as relações (42).

)cos(2

2),(

)cos(2

2),(

0

0

tINktB

tINktB

MB

e

MB

d

ωαδ

µπ

α

ωαδ

µπ

α

+=

−=

(42)

Page 29: Cap II Magnetic Circuit

27

A Figura 27 ilustrar esta situação através da representação da distribuição sinusoidal por uma grandeza vectorial.

Figura 27 – Formação de um campo pulsante por dois campos girantes.

Note-se que se a bobina rodar com velocidade angular ωr, os campos girantes rodam em relação ao estator com as velocidades:

res

rds

ωωωωωω

+−=+=

(43)

4.3. Campo girante resultante de correntes variáveis em bobinas estacionárias O resultado expresso pelas relações (42) mostra que uma bobina com distribuição conveniente das suas espiras e percorrida por uma corrente alternada sinusoidal cria no entreferro de um conversor rotativo uma distribuição de indução magnética que resulta da sobreposição de dois campos girantes que rodam com a mesma velocidade angular, embora em sentidos contrários. Imagine-se agora que há duas bobinas em tudo semelhantes na sua constituição – mesmo número de espiras que são distribuídas da mesma forma – e que essas bobinas estão colocadas no espaço com um desfasamento entre elas de 90º eléctricos. A Figura 28 representa esquematicamente este circuito magnético.

θ

1 2

Figura 28 – Circuito magnético de um conversor rotativo com duas bobinas

em quadratura.

Page 30: Cap II Magnetic Circuit

28

Se as bobinas forem percorridas por correntes alternadas sinusoidais com a mesma frequência, a mesma amplitude e desfasagem de 90º obtém-se um campo girante de f.m.m. conforme se evidencia na expressão (44)

[ ]

+−−+−+−=

−++=

)22

cos()22

cos(2

2),(

)cos()cos(2

2),(

2

1

πωπαπωπαπ

α

ωαωαπ

α

ttINktFm

ttINktFm

MB

MB

[ ]

[ ])cos()cos(2

2),(

)cos()cos(2

2),(

2

1

ttINktFm

ttINktFm

MB

MB

ωαπωαπ

α

ωαωαπ

α

−+−+=

−++=

)cos(2

421 tINkFmFmFm M

B ωαπ

−=+=

(44)

Conhecendo a distribuição resultante da f.m.m. determina-se a distribuição resultante da densidade de fluxo no entreferro que é também um campo girante com forma sinusoidal e roda no sentido directo com velocidade ω (45).

)cos(2

4),( 0 tINk

tB MB ωαδ

µπ

α −=

(45)

Problema 1 a) Um conversor rotativo trifásico cujo circuito magnético é semelhante ao que se tem vindo a considerar. As bobinas de cada fase estão desfasadas entre si de 120º eléctricos. Mostre as três fases vão gerar no entreferro um campo girante de densidade de fluxo quando cada bobina é percorrida por uma corrente alternada sinusoidal com igual amplitude e frequência mas também desfasadas entre si de 120º. Considere os casos de sistema trifásico de correntes com sequência directa (1, 2 e 3) e sequência inversa (1,3, 2).

b) Se as bobinas da alínea anterior estiverem montadas no rotor e se este rodar com velocidade ωr, determine a frequência de variação da densidade de fluxo medida por um observador colocado num ponto do estator.

c) Repita a alínea b) supondo que as bobinas estão montadas no estator e que o observador está num ponto do rotor.

Problema 2 Repita o problema anterior, mas suponha que os condutores das espiras das bobinas estão distanciados de π/p, onde p designa o número de pares de pólos. Isto é, a distribuição de f.m.m. desenvolvida por uma das bobinas representa-se pela forma:

[ ]3/2)1(cos2

4 παπ

−−= jpiNkfmm jB

j