CAP. IV – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL - Escola Superior de ... IV... · Determinar a tabela das diferenças divididas da função f definida pelos seguintes pontos: xi 0.3 1.5 2.1

Acetato 1- Interpolação Polinomial

CAP. IV – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

INTRODUÇÃO

Muitas funções são conhecidas apenas num conjunto finito e discreto de pontos de

um intervalo [a,b].

Exemplo:

A tabela seguinte relaciona calor específico da água e temperatura:

temperatura (ºC) 20 25 30 35

calor específico 0.99907 0.9985 0.9982 0.9918

Suponhamos que se queira calcular:

a) calor específico da água a 27.5ºC;

b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.9983.

INTERPOLAÇÃO

quando são conhecidos somente os

valores numéricos da função para

um conjunto de pontos e é

necessário calcular o valor da

função num ponto não tabelado

quando a função em estudo

tem uma expressão tal que

operações como a integração e

diferenciação sejam difíceis


Tendo-se que trabalhar com esta função e sem se dispôr da sua forma analítica,

substitui-se esta, por outra função, que é uma aproximação da função dada, deduzida

a partir dos pontos conhecidos.

FUNÇÃO APROXIMANTE

Estas funções podem ser de vários tipos tais como exponencial, logarítmica,

trigonométrica e polinomial.

Aqui vamos estudar apenas as funções polinomiais.

CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO

Consideremos (n+1) pontos distintos, x0, x1, ..., xn, no intervalo [a, b] e os valores da

função f(x) nesses pontos, f(x0), f(x1), ... , f(xn).

Uma das formas de interpolação de f(x) que iremos ver consiste em se obter uma

função g(x) tal que:

função aproximante

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

)f(x)g(x......

)f(x)g(x)f(x)g(x

nn

11

00


GRAFICAMENTE:

Função aproximante → polinómio → interpolação polinomial

Conhecidos os pontos (suporte da interpolação)

(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)) com xi <xi+1, i=0,...,n-1 e x0=a e xn=b,

pretende-se aproximar f(x), por um polinómio

pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … +a2x2 + a1x1 + a0 = ∑=

n

0i

ii xa

tal que

pn(xi) = f(xi), i= 0, …,n.

Os coeficientes a0, a1, ...., an são determinados à custa da resolução do seguinte

sistema:


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++++

=+++++

=+++++

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

==

−

−

−

)f(x....

)f(x)f(x

aaa....aa

.

1 x x..... xx

..........1 x x...... xx

1 x x...... xx

)f(xaxaxa ... xaxa

......)f(xaxa xa ... xa xa

)f(xaxaxa ... xaxa

)f(x )(xp.......

)f(x )(xp)f(x )(xp

n

1

0

0

1

2

1-n

n

n2

n1-n

nn

n

12

11-n

1n

1

02

01-n

0n

0

n0n12

n21n

n1-nn

nn

10112

121n

11-nn

1n

00012

021n

01-nn

0n

nnn

11n

00n

A solução do sistema anterior é única se o determinante da matriz for diferente de

zero, o que acontece se os (n+1) pontos, x0, x1, ..., xn forem todos distintos.

Temos o seguinte teorema:

TEOREMA 1:

Sejam dados (n+1) pontos distintos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)).

Então existe um único polinómio pn(x) de grau inferior ou igual a n

que satisfaz pn(xi) = f(xi) , i=0, ... ,n.


FORMAS DE OBTER O POLINÓMIO:

resolução do sistema linear obtido anteriormente;

interpolação de Newton com diferenças divididas;

interpolação de Newton com diferenças finitas.

FÓRMULA DO ERRO (TRUNCATURA)

Os cálculos anteriores estão afectados de dois tipos de erros:

a) erro de arredondamento

b) erro de truncatura - cometido quando decidimos aproximar a função

f por um polinómio de grau n.

teoricamente, conduzem ao mesmo polinómio

] [n0

1)(n

n10n x,x algum para , 1)!(n

)(f). x-.(x ... ). x-).(x x-(x (x)E ∈ξ+

ξ=

+


4.1 RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR

EXEMPLO 1 (INTERPOLAÇÃO LINEAR) :

Determinar o polinómio interpolador para a função f conhecida pelos seguintes

pontos e calcular o valor de f(1.5).

xi 1 2 yi 0.84 0.91

EXEMPLO 2 (INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA):

Determinar o polinómio interpolador para a função conhecida pelos pontos:

xi -1 0 2 yi 4 1 -1


[ ] [ ] [ ]ini

1-ni ini1ini1iiy

n

xx x..., ,xf x, ... ,xf

x,..., x,xfi −−

==∇+

+++++

[ ] [ ] [ ]i1i

y0

y0

i1i

i1i1iiy xx

xx

xfxf x,xf i1ii −

∇−∇=

−−

==∇++

++

+

[ ] iiiy0 y)f(xxfi ===∇

ini

y1-n

y1-n

yn

xxi1 i

i −

∇−∇=∇

+

+

4.2 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Conceito de Diferença Dividida

Seja f uma função da qual se conhecem os (n+1) pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n.

A 1ª derivada de f(x) no ponto x0 é por definição:

0

0

0xx0

´

x-x )f(x - f(x)lim )(xf

→= .

A diferença dividida de 1ª ordem é definida como uma aproximação da 1ª derivada:

0 x-x

)0f(x-f(x)x,0xf =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ (1)

Se fizer x=x1 em (1), tem-se a diferença dividida de 1ª ordem em relação aos

argumentos x0 e x1 : 0 x- 1x0y -1y

0 x- 1x)0f(x-)1f(x

x,0xf 0y ===∇ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

1

4.2.1 OPERADOR DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Ordem

0

1

...

n


TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS:

xi ∇0yi ∇1yi ∇2yi .... ∇nyi x0 f[x0]

f[x0,x1] x1 f[x1] f[x0,x1,x2]

f[x1,x2] x2 f[x2] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,...,xn] f[x2,x3]

.... ... ... ... f[xn-2,xn-1,xn] f[xn-1,xn]

xn f[xn]

EXEMPLO:

Determinar a tabela das diferenças divididas da função f definida pelos seguintes

pontos:

xi 0.3 1.5 2.1 yi 3.09 17.25 25.41

Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças divididas

xi f(xi)= 0iy∇ 1

iy∇ 2iy∇

0.3 3.09 1.5 17.25 2.1 25.41


4.2.2 POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Consideremos os (n+1) pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n, e pn(x) o polinómio interpolador

de f(x) nesses pontos x0, x1, ... , xn :

f(xi) = pn(xi) = ∑=

n

0j

jij )(xa

Pela definição de diferença dividida de 1ª ordem, tem-se que:

Pela definição de diferença dividida de 2ª ordem, tem-se que:

Substituindo pn [x, x0] em (1), obtém-se:

[ ] [ ]10n1010n00nn x, xx,).px(x.)x(xx,xp).xx()(xp (x)p −−+−+=

Continuando assim sucessivamente, obtemos:

[ ] [ ] [ ]

[ ] (1) xx,p).xx()(xp (x)p

xx)(xp)(xp

xxxpxp xx,p

0n00nn

0

n0n

0

n0n0n

−+=⇔

−−

=−−

=

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]10n110n0n

1

0n10n10n

x, xx,).px(xx,xp xx,p

xx

xx,px,xpx, xx,p

−+=⇔

−−

=


[ ] [ ]

[ ] [ ]nx..., ,1x,0 xx,n).pnx)...(x1x(x.)0x(xnx..., ,1 x,0xn).p1-nx)...(x1x(x.)0x(x...

....2x,1 x,0xn).p1x(x.)0x(x1x,0xnp).0xx()0(xnp (x)np

−−−+−−−+

+−−+−+=

Como

pn(x) é de grau n, então [ ] 0x..., , x,xx,p n10n =

pn (x0) =f(x0) = y0

pn [x0, …, xi] = f [x0, …, xi] = ∇i y0

podemos escrever:

0yn).1-nx)...(x1x(x.)0x(x....0y2).1x(x.)0x(x0y1.)0x(x0y(x)np ∇−−−++∇−−+∇−+=

)1-nx)...(x1x(x.)0x(x0yn....)1x(x.)0x(x0y2)0x(x0y10y −−−∇++−−∇+−∇+=

Ou ainda,

EXEMPLO:

Determinar o polinómio interpolador de Newton para a função f definida pelos

seguintes pontos:

xi 0.3 1.5 2.1 yi 3.09 17.25 25.41

∑ ∏= =∇+=

n

1i

1-i

0jj0

i0n )x-(x y y(x)P

Polinómio Interpolador

de Newton para

diferenças divididas


hxx

z 0−=

PONTOS IGUALMENTE ESPAÇADOS:

Admitamos que os pontos xi são igualmente espaçados, isto é:

xi+1 = xi + h, i=0, ...,n, sendo h uma constante denominada passo.

Consideremos a variável auxiliar, z, dada por .

Tem-se que:

x-x0 = h.z

x-x1 = x-(x0+h) = x-x0-h = h.z-h = h.(z-1)

x-x2 = x-(x1+h) = x-x1-h = h.(z-1)-h = h.(z-2) ..... x-xn-1= x-(xn-2 +h) = x- xn-2-h = h.(z-(n-2))-h = h.(z-(n-1))

Substituindo os valores anteriores no polinómio interpolador de Newton para

diferenças divididas

0yn).1-nx)...(x1x(x)0x(x0y).1x(x)0x(x0y)0x(x0y(x)np ∇−−−++∇−−+∇−+= ....... 21

obtém-se:

0yn1)).(n2)...h(zh(z 1).h(z hz.....0y21).-h(z hz.0y1hz.0y(x)np ∇−−−−++∇+∇+= ,

isto é,

,1))(n(z...2)(z1)(zz0ynnh....1)-(zz0y22h z0y11h0y(x)np −−⋅⋅−⋅−⋅⋅∇⋅++⋅⋅∇⋅+⋅∇⋅+=

Ou ainda:

∑ ∏∇+== =

n

1i

1-i

0j0

ii0n j)-(z y.h y(x)p

Polinómio Interpolador de Newton

para pontos igualmente espaçados


4.3 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS FINITAS

Seja f uma função da qual se conhecem os (n+1) pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n,

onde os pontos xi são igualmente espaçados:

xi+1 = xi + h, i=0, ...,n

4.3.1 OPERADOR DE DIFERENÇAS FINITAS

Ordem

0

1

...

n

EXEMPLO:

Determinar a tabela das diferenças finitas da função f definida pelos seguintes pontos:

xi 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 yi 9.82 10.84 12.88 13.98 16.99

Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças finitas

xi f(xi)= 0iy∆ 1

iy∆ 2iy∆ 3

iy∆ 4iy∆

3.5 9.82 1.02 1.02 -1.96 4.81 4.0 10.84 2.04 -0.94 2.85 4.5 12.88 1.10 1.91 5.0 13.98 3.01 5.5 16.99

iiy0 y)f(xi ==∆

i1ii y0

y0

i1iy1 yy ∆−∆=−=∆ ++

i1ii y1-n

y1-n

yn ∆−∆=∆ +


4.3.2 POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS FINITAS

Nesta secção vamos considerar que os (n+1) pontos xi são igualmente

espaçados: xi+1 = xi + h, i=0, ...,n.

Segue-se um teorema que relaciona as diferenças divididas com as diferenças finitas.

TEOREMA 2:

Seja f uma função definida nos pontos (xi, yi), i=0, ... ,n tais que,

xi+1 - xi = h, i=0, ..., n.

Tem-se que:

f[xi, xi+1,...,xi+k] =

Considere-se o polinómio interpolador de Newton para pontos igualmente espaçados:

∑=

∏=

∇+=n

i

1-i

0jj)-(z 0yiih 0y(x)np

1.

Substituindo n ..., 1,i ,i!.h

ypor y i0

i

0i =

∆∇ , obtém-se:

0k kk!.hiyk

iyk ≥∀∆

=∇ ,

∑ =∏∆

+== =

n

1i

j1-i

0j

0i

0n hx-x

j-z com j)-(z i!y y(x)p

Polinómio Interpolador

Gregory-Newton

para diferenças finitas


EXEMPLO:

Dada a função f, conhecida nos pontos abaixo tabelados, calcule f(0.25).

xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001

Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças finitas

xi 0yi∆ 1

yi∆ 2yi∆ 3

yi∆ 4yi∆

0.1 0.125 -0.061 0.024 -0.006 0 0.2 0.064 -0.037 0.018 -0.006 0.3 0.027 -0.019 0.012 0.4 0.008 -0.007 0.5 0.001


4.4 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO

Como já observamos, ao se aproximar uma função real f(x) em [a, b],

nos nós distintos x0, x1, ..., xn ∈[a, b], por um polinómio de grau ≤n, pn(x),

comete-se um erro de interpolação (erro de truncatura) da função f pelo

polinómio pn , ou seja,

[ ] b a, xo todopara (x),pf(x) (x)e nn ∈= -

EXEMPLO:

Temos que:

p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1;

e1=f1(x)-p1(x) > e2=f2(x)-p1(x), para todo o x∈[x0,x1].

...


Fórmulas para o erro de interpolação:

TEOREMA 3

Seja f uma função com derivadas contínuas até à ordem n+1 em [a, b] e

pn um polinómio de grau ≤ n interpolador de f nos pontos distintos

x0, x1, ..., xn ∈[a, b], então, para todo o x∈[a, b], temos

en(x)=(x - x0). (x - x1). (x - x2)...(x - xn). 1)!(n)(f 1)(n

+ξ+

(A)

em que ( )∈ξ=ξ x ] min.{ x0, x1, ..., xn, x }, máx.{ x0, x1, ..., xn, x } [

i.é, ( )∈ξ=ξ x X, sendo X⊂ [a, b] um intervalo que contém x0, x1, ..., xn e x.

A fórmula (A), do teorema anterior, tem interesse limitado do ponto de vista prático

uma vez que requer o conhecimento da derivada de ordem n+1 da função a interpolar.

Se ( ) ( )X x

1n1n xf M

∈

++ =majr

podemos calcular um limite superior do erro de interpolação:

( )( )! 1nM)x-(x ... )x-(x)x-(x)x-(xxe 1n

n210n+

⋅⋅⋅⋅⋅≤ +


4.4.1 ERRO PARA O POLINÓMIO DE NEWTON

Vimos, na dedução da fórmula do polinómio de Newton, que a diferença dividida

de ordem n está relacionada com a derivada de ordem n da função f, e que en(x) = f(x) - pn(x) = (x - x0).(x - x1).(x - x2)...(x - xn).f [x0, x1,..., xn, x] (B) Comparando (A) e (B) podemos concluir o

4.4.2 ERRO PARA O POLINÓMIO DE GREGORY-NEWTON

Efectuando a mudança de variável h

xxzx 0−=→

e atendendo a que xi = x0 + ih, i=0,1,...,n ,

temos que ( )izhx x h

xxi-z ii −=−⇒

−= .

Substituindo, x - xi para i=0, ..., n, na fórmula (B)

en(x) = f(x) - pn(x) = (x - x0).(x - x1).(x - x2)...(x - xn).f [x0, x1,..., xn, x]

obtemos o erro de interpolação:

1)!(n

)(fn)-(z ...3)-(z2)-(z1)-(zzh(x)e1)(n

1nn

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

++ ξ

Teorema 4: f [x0, x1,..., xn, x] = ( ) ( )( )! 1nf 1n

+ξ+

,

com ( )∈ξ=ξ x X, sendo X um intervalo que contém x0, x1, ..., xn e x,

e f ( )X1n+∈C .


4.5 OUTRA FORMA DE INTERPOLAÇÃO

INTERPOLAÇÃO COM SPLINES

Há casos em que o polinómio interpolador de grau elevado conduz a resultados

erróneos. Uma aproximação alternativa consiste em ajustar polinómios de ordem

mais baixa a subconjuntos dos dados. Tais polinómios chamam-se funções splines.

EXEMPLO :

Consideremos uma função f(x) tabelada nos pontos a =x0 < x1 < ... < xn= b.

DEFINIÇÃO (FUNÇÃO SPLINE)

Uma função s(x) é denominada spline de grau m com nós nos pontos xi, se

satisfaz as seguintes condições:

i) em cada subintervalo [xi-1, xi], i=1, ..., n, si(x) é um polinómio de grau m;

ii) s(x) é contínua e tem derivada contínua até à ordem (m-1) em [a,b].

DEFINIÇÃO ( FUNÇÃO SPLINE INTERPOLADORA)

Função spline que verifica:

s(xi) = f(xi), i=0, ..., n


SSPPLLIINNEESS LLIINNEEAARREESS::

A função spline linear interpolante de f(x) pode ser escrita em cada subintervalo

[xi-1, xi], i=1, ..., n como

EXEMPLO:

Calcule a função spline linear que interpola a função tabelada.

xi 1 2 5 7 yi 1 2 3 2.5

Desvantagem: primeira derivada descontínua nos nós xi

⇓⇓ SPLINES DE ORDEM SUPERIOR ( QUADRÁTICOS E CÚBICOS )

[ ]i1-i1ii

1ii

1ii

i1ii x,x x,

xxxx)f(x

xxxx)f(x(x)s ∈

−−

+−−

=−

−

−−

[ ]

[ ] [ ]5,7 x8.5),0.5x(21 ;2,5 x4),(x

31

2 1, x x, xxxx)f(x

xxxx)f(x

01

01

01

10

∈+−=∈+=

∈=−−

+−−

=

(x)s (x)s

(x)s

32

1


SSPPLLIINNEESS QQUUAADDRRÁÁTTIICCOOSS

A função spline quadrática interpolante de f(x) pode ser escrita em cada

subintervalo como

(n+1) pontos ⇒ n subintervalos ⇒ 3n constantes desconhecidas

As 3n equações para determinar as 3n constantes são:

O valor das splines quadráticas tem que ser igual nos nós interiores,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

+ )f(x )(xs1-n ..., 1,i ,

)f(x )(xs

ii1i

iii

A primeira e a última spline têm que passar nos nós finais,

s1(x0)=f(x0) e sn(xn)=f(xn)

A primeira derivada nos nós interiores tem de ser igual,

si´(xi) = si+1´(xi), i=1, ..., n-1

Escolha arbitrária num conjunto de opções.

Consideremos que a segunda derivada é nula no primeiro ponto:

s1´´(x0)=0 ⇔ a1=0

EXEMPLO: Calcular splines quadráticos que interpolam a função tabelada.

xi 3 4.5 7 9 yi 2.5 1 2.5 0.5

n ..., 1,i ,cxbxa (x)s ii2

ii =++=

(2n-2) condições

1 condição

(n-1) condições

2 condições


SSPPLLIINNEESS CCÚÚBBIICCOOSS

A função spline cúbica interpolante de f(x) pode ser escrita em cada subintervalo

como

(n+1) pontos ⇒ n subintervalos ⇒ 4n constantes desconhecidas

As 4n equações para determinar as 4n constantes são:

O valor das splines cúbicas tem que ser igual nos nós interiores;

A primeira e a última spline têm que passar nos nós finais;

A primeira derivada nos nós interiores tem de ser igual;

A segunda derivada nos nós interiores tem de ser igual;

A segunda derivada é nula nos nós finais (spline natural). 2 condições

n ..., 1,i ,dxcxbxa (x)s ii2

i3

ii =+++=

(2n-2) condições

2 condições

(n-1) condições

(n-1) condições


Outra técnica - resolução de (n-1) equações:

Cada spline cúbico pode ser escrito em cada subintervalo [xi-1, xi], i=1, ..., n como

equação (3)

Esta equação contém dois parâmetros desconhecidos (2ª derivada no final de cada

subintervalo), que podem ser determinados usando a equação:

Para todos os nós interiores, temos (n-1) condições com (n-1) incógnitas

EXEMPLO:

Ajustar splines cúbicos aos dados. Utilizar os resultados para estimar o valor em x=5.

xi 3 4.5 7 9 yi 2.5 1 2.5 0.5

)x(x6

)x)(x(xfxx

)f(x x)(x6

)x)(x(xfxx

)f(x

)x(x)x6(x

)(xfx)(x

)x6(x)(xf

(x)

1i1iii

''

1ii

ii

1ii1i''

1ii

1i

31i

1ii

i''

3i

1ii

1i''

i

−−

−

−−

−

−

−−−

−

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+

+−−

+−−

=

s

( ) ( ))f(x)f(xxx

6)f(x)f(xxx

6

)(x)fx(x)(x)fx2(x)(x)fx(x

i1i1ii

i1ii1i

1i''

i1ii''

1i1i1i''

1-ii

−−

+−−

=

=−+−+−

−−

++

++−+−equação (4)


3)0.2469(xx)1.6667(4.53)-0.1866(x

)x(x 6

)x)(x(xfxx)f(x x)(x

6)x)(x(xf

xx)f(x

)x(x)x6(x

)(xfx)(x)x6(x

)(xf(x)s

3

0011

''

01

11

010''

01

0

30

01

1''

31

01

0''

1

−+−+=

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+

+−−

+−−

=

4.5)-1.6388(xx)0.2996(74.5)-0.1022(xx)-0.1119(7

)x(x 6

)x)(x(xfxx)f(x x)(x

6)x)(x(xf

xx)f(x

)x(x)x6(x

)(xfx)(x)x6(x

)(xf(x)s

33

1122

''

12

22

121''

12

1

31

12

2''

32

12

1''

2

+−−+=

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+

+−−

+−−

=

7)-0.25(xx)-1.7610(9x)-0.1278(9-

)x(x 6

)x)(x(xfxx)f(x x)(x

6)x)(x(xf

xx)f(x

)x(x)x6(x

)(xfx)(x)x6(x

)(xf(x)s

3

2233

''

23

33

232''

23

2

32

23

3''

33

23

2''

3

−+=

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−

−+

+−−

+−−

=


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−+=

+−−+=

−+−+=

=

7)-0.25(xx)-1.7610(9x)--0.1278(9(x)s

4.5)-1.6388(xx)0.2996(74.5)-0.1022(xx)-0.1119(7 (x)s

3)0.2469(xx)1.6667(4.53)-0.1866(x (x)s

s(x)

33

332

31

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CAP. IV – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL - Escola Superior de ... IV... · Determinar a tabela das diferenças divididas da função f definida pelos seguintes pontos: xi 0.3 1.5 2.1