Cap tulo 4 Fun˘c~oes de v arias vari aveisalexfarah.weebly.com/uploads/1/9/2/5/19258027/capiv_comp.pdf · Exemplo 4.5 Vamos determinar agora as derivadas parciais da fun˘c~ao z=

Capıtulo 4

Funcoes de varias variaveis

4.1 Definicao e exemplos

Em muitas situacoes, o valor de um bem pode depender de dois ou mais fatores.Por exemplo, o lucro da venda de um produto pode depender do custo de producao edo preco que tem o produto no mercado. Relacoes deste tipo podem frequentemente serrepresentadas por funcoes matematicas que tem mais de uma variavel.

Definicao 4.1 Uma funcao f de duas variaveis x e y com valores em R (que deno-tamos por f : R×R→ R) e uma regra que associa a cada par ordenado (x, y) de numerosreais em algum conjunto um e somente um numero real z denotado por z = f(x, y).

Na equacao z = f(x, y), chamamos z de variavel dependente e nos referimos a x e ycomo variaveis independentes.

Do mesmo modo que definimos o domınio e a imagem para uma funcao de uma variavel,podemos definir o domınio e a imagem para funcoes de duas variaveis.

Definicao 4.2 O domınio de uma funcao f : R×R→ R e o conjunto de todos os paresordenados (x, y) de numeros reais para os quais f(x, y) pode ser calculada. A imagemde uma funcao f e o conjunto dos numeros reais z tais que z = f(x, y) para (x, y) nodomınio da funcao.

Exemplo 4.1 Seja a funcao f(x, y) =3x2 + 5y

x− y. Para calcular o valor de f(1,−2) basta

substituir os valores x = 1 e y = −2 na regra. Assim,

f(1,−2) =3 · 12 + 5 · (−2)

1− (−5)= −7

6.

1

4.1. DEFINICAO E EXEMPLOS CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS

Como a divisao por qualquer numero real exceto zero e possıvel, o domınio de f consisteem todos os pares ordenados (x, y) tais que x 6= y, ou seja, o conjunto de todos os paresordenados de numeros reias (x, y) tais que x 6= y.

Exemplo 4.2 Suponhamos agora que f(x, y) =√

12− x2 − y2. Entao o domınio de f eo conjunto de todos os pares de numeros reais (x, y) tais que 12− x2 − y2 ≥ 0, isto e, osvalores (x, y) tais que x2 + y2 ≤ 12. A imagem do ponto (

√2,−3) por f e

f(√

2,−3) =

√12− (

√2)2 − (−3)2 =

√1 = 1.

Nos capıtulos anteriores vimos como as funcoes de uma variavel podem ser represen-tadas graficamente como curvas desenhadas nos eixos cartesianos, isto e, num sistemade duas coordenadas ou bidimensional. As funcoes de duas variaveis com valores reaispodem ser representadas como superfıcies em um sistema de tres coordenadas ou tri-dimensional. Para construir um sistema de coordenadas tridimensional, adicionamos unterceiro eixo (eixo z) que e perpendicular aos eixos x e y ja conhecidos. O sentido positivodeste novo eixo e para cima e o negativo e para baixo. Cada ponto do espaco tem trescoordenadas e sao representadas como na Figura 1.1.

Figura 4.1: Sistema tridimensional

Para plotar uma funcao f(x, y), os pares de valores reais (x, y) sao tomados no planodos eixos x e y e o valor z = f(x, y) associa a variavel dependente com as independentes.Na Figura 1.2 temos a representacao de uma funcao em um sistema de tres coordenadascom seu domınio e sua imagem. Infelizmente, nao ha modo analogo de visualizar funcoesde mais de duas variaveis.

F. Rivero e T. Salvador 2 Matematica para Economia I

CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS 4.1. DEFINICAO E EXEMPLOS

Figura 4.2: Funcao em um sistema tridimensional

Vamos ver uma aplicacao de funcoes de duas variaveis a economia

Exemplo 4.3 Uma loja de artigos esportivos em St. Louis vende dois tipos de raquetesde tenis o modelo A e o modelo B. A demanda do consumidor para cada tipo depende deseu preco e do preco do concorrente. As vendan indicam que se o modelo A vende por xdolares cada raquete e o modelo B por y dolares cada, a demanda pela raquete A sera deD1 = 300− 20x+ 30y raquetes por ano, e pelas raquetes B sera de D2 = 200 + 40x− 10ypor ano. Expresse a receita anual total da loja proveniente da venda dessas raquetes emfuncao dos precos x e y e calcule o valor dessa receita quando o modelo A tem um precode 20 dolares e o modelo B tem um valor de 18 dolares.

Solucao: Faca R denotar a receita mensal total. Entao,

R = numero de raquetes A vendidas × preco por raquete A

+ numero de raquetes B vendidas × preco por raquete B.

Assim,

R(x, y) = (300− 20x+ 30y)x+ (200 + 40x− 10y)y

= 300x+ 200y + 70xy − 20x2 − 10y2.

Substituindo os valores para x = 20 e y = 18,

R(20, 18) = 300 · 20 + 200 · 18 + 70 · 20 · 18− 20 · 202 − 10·2 = 23560.

Entao a receita total por ano para os precos dados e de $23.560.


4.2. DERIVADAS PARCIAIS CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS

Nota sobre o limite e a continuidade de funcoes de duas variaveis

Vimos anteriormente que o limite de uma funcao de uma variavel f(x) quando x → cexiste se, e somente se, os limites laterais lim

x→c+f(x) e lim

x→c−f(x) existem e sao iguais.

Tratando com limite de uma funcao f de duas variaveis quando o ponto (x, y) tende parao ponto (a, b), devemos supor que o ponto (x, y) se aproxime do ponto (a, b) nao apenaspela direita ou pela esquerda, mas tambem por qualquer outra direcao; inclusive podemossupor que (x, y) se aproxime de (a, b) ao longo de uma curva, como mostra a Figura 1.3.Logo, a definicao de limite e continuidade para funcoes de mais de uma variavel e maiscomplicada pois temos uma infinidade de formas de nos aproximar um ponto.

Figura 4.3: Exemplos de aproximacao para um ponto em duas dimensoes

4.2 Derivadas parciais

Em muitos problemas que envolvem funcoes de duas variaveis, a meta e encontrar ataxa de variacao da funcao em relacao a uma de suas variaveis enquanto a outra e mantidaconstante. Isto e, a meta e derivar a funcao em relacao a uma variavel em particular,enquanto mantemos a outra fixa. Este proceso e conhecido como derivacao parcial, ecada derivada resultante e dita ser uma derivada parcial da funcao.

Suponha que z = f(x, y) e uma funcao de duas variaveis com valores em R definidapor f(x, y) = 2x3y. Vamos colocar um valor constante para a variavel y, por exemploy = 5. Assim temos que a funcao f(x, 5) = 2x3 · 5 e funcao somente da variavel x porquey tem un valor fixo. Portanto podemos calcular a derivada da funcao f(x, 5) em relacaoa variavel x aplicando as mesmas regras para funcoes de uma variavel. Logo,

∂

∂xf(x, 5) =

∂

∂x(2x3 · 5) = 6x2 · 5,


CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS 4.2. DERIVADAS PARCIAIS

onde estamos usando a notacao de derivada parcial que definiremos depois em detalhe.Mas a variavel y pode ter qualquer valor dentro do domınio da funcao f (neste caso odomınio de f sao todos os pares de valores reais (x, y)). Assim, podemos pegar um valorconstante qualquer e podemos derivar de novo a funcao f tal que a variavel y tem umvalor fixo que chamamos de b, isto e, y = b. Entao,

∂

∂xf(x, b) =

∂

∂x(2x3 · b) = 6x2 · b.

Colocar a letra b no lugar de y e somente uma notacao e tanto faz se colocamos umaou otra ja que a ideia e que a variavel y e considerada como uma constante no processode derivacao. Assim, a derivada parcial de f em relacao a x e a funcao obtida peladerivacao de f en relacao a x, tratando y como uma constate, e e denotada por

∂f

∂x=∂z

∂xou fx(x, y).

Do mesmo modo, a derivada parcial de f em relacao a y e a funcao obtida peladerivacao de f en relacao a y, tratando x como uma constate, e e denotada por

∂f

∂y=∂z

∂you fy(x, y).

Nenhuma regla e necessaria para o calculo das derivadas parciais. As tecnicas, regrase formulas desenvolvidas no Capıtulo ?? para diferenciar funcoes a uma variavel podemser generalizadas para funcoes de duas ou mais variaveis, considerando-se que umas dasvariaveis deve ser mantida constante e a outra diferenciada em relacao a variavel rema-nescente.

Exemplo 4.4 Seja a funcao f(x, y) = x2 + 2xy2 +2y

3x. Vamos calcular as duas deriva-

das parciais de f . Para calcular fx, pensemos em f como uma funcao da variavel x ederivamos termo a termo, tratando y como uma constante. Assim,

fx(x, y) = 2x+ 2y2 − 2

3yx−2 = 2x+ 2y2 − 2y

3x2.

Para calcular fy, pensemos em f como uma funcao da variavel y e derivamos termo atermo, tratando x como uma constante. Assim,

fy(x, y) = 0 + 4xy +2

3x−1 = 4xy +

2

3x.

Exemplo 4.5 Vamos determinar agora as derivadas parciais da funcao z = (x2+xy−y)5.Mantendo y fixo e usando a regra da cadeia para derivar z em relacao a x, obtemos

∂z

∂x= 5(x2 + xy − y)4(2x+ y).



Mantendo x fixo e usando a regra da cadeia para derivar z em relacao a y, obtemos

∂z

∂y= 5(x2 + xy − y)4(x− 1).

Exemplo 4.6 Seja f(x, y) = xe−2xy. Queremos determinar suas derivadas parciais. Daregra do produto, obtemos

fx(x, y) = e−2xy + x(−2ye−2xy) = (1− 2xy)e−2xy,

e da regra do produto por constante,

fy(x, y) = x(−2xe−2xy) = −2x2e−2xy.

Interpretacao geometrica das derivadas parciais: Como vimos na Secao 4.1,o grafico de uma funcao f : R × R → R e a superfıcie em um sistema de coordenadastridimensional formada pelos pontos (x, y, z) onde z = f(x, y). Para cada numero fixo y0,os pontos (x, y0, z) formam um plano vertical (ver Figura 4). Se z = f(x, y) e y e mantidofixo em y = y0, os pontos correspondentes (x, y0, f(x, y0)) formam uma curva no espacoque e a intersecao da superfıcie z = f(x, y) com o plano y = y0. Da mesma maneira

que para funcoes de uma variavel, em cada ponto desta curva , a derivada parcial∂z

∂xe

a inclinacao da reta tangente a curva no ponto em questao na direcao x. A situacao estailustrada na Figura 1.4.

Analogamente, se x e mantido fixo em x = x0, os pontos correspondentes (x0, y, f(x0, y))formam uma curva que e a intersecao da superfıcie z = f(x, y) com o plano x = x0. A

cada ponto dessa curva, a derivada parcial∂z

∂xe a inclinacao da tangente na direcao y. A

situacao esta ilustrada na Figura 1.5.

4.2.1 Derivadas parciais de ordem superior

As derivadas parciais podem elas mesmas ser derivadas. As funcoes resultantes saodenominadas derivadas parciais de segunda ordem. Assim, se z = f(x, y), a derivadaparcial de fx em relacao a x e a funcao que resulta da derivacao parcial de fx com respeitoa variavel x e e denotada por

fxx = (fx)x ou∂2z

∂x2=

∂

∂x

(∂z

∂x

).

A derivada parcial de fy em relacao a y e a funcao que resulta da derivacao parcial de fycom respeito a variavel y e e denotada por

fyy = (fy)y ou∂2z

∂y2=

∂

∂y

(∂z

∂y

).



Figura 4.4: Interpretacao geometrica para∂z

∂x

A derivada parcial de fx em relacao a y e a funcao que resulta da derivacao parcial de fxcom respeito a variavel y e e denotada por

fxy = (fx)y ou∂2z

∂y∂x=

∂

∂y

(∂z

∂x

).

A derivada parcial de fy em relacao a x e a funcao que resulta da derivacao parcial de fyrespeto a variavel x e e denotada por

fyx = (fy)x ou∂2z

∂x∂y=

∂

∂x

(∂z

∂x

).

Exemplo 4.7 Seja a funcao f(x, y) = xy3+5xy2+2x+1. Determinar todas as derivadasparciais de segunda ordem.

Solucao: Como fx(x, y) = y3 + 5y2 + 2, segue-se que

fxx(x, y) = 0, fxy(x, y) = 6xy + 10x.

Como fy(x, y) = 3xy2 + 10xy, segue-se que

fyy(x, y) = 3y2 + 10y, fyx(x, y) = 6xy + 10x.



Figura 4.5: Interpretacao geometrica para∂z

∂y

Exemplo 4.8 Se g(u, v) = 2e2u cos v, encontre gu, gv, guu, gvv, guv, gvu.

Solucao: Nesse caso,

gu(u, v) =∂

∂u(2e2u cos v) = 4e2u cos v

gv(u, v) =∂

∂v(2e2u cos v) = −2e2usen v.

Dai,

guu(u, v) =∂

∂u(gu(u, v)) =

∂

∂u(4e2u cos v) = 8e2u cos v

guv(u, v) =∂

∂v(gu(u, v)) =

∂

∂v(4e2u cos v) = −4e2usen v

gvu(u, v) =∂

∂u(gv(u, v)) =

∂

∂u(−2e2usen v) = −4e2usen v

gvv(u, v) =∂

∂v(gv(u, v)) =

∂

∂v(−2e2usen v) = −2e2u cosu.



As duas derivadas parciais fxy e fyx tambem sao denominadas derivadas parciaiscruzadas ou mistas de segunda ordem de f . Note que nos exemplos anteriores esasduas derivadas sao iguais. Isto nao e por acaso. O seguinte teorema, chamado Teoremade Clairaut1 ou Teorema de Schwarz2 mostra esse fato para duas variaveis.

Teorema 4.1 Seja Ω um conjunto aberto de R × R e seja f : Ω → R. Se existem asderivadas parciais cruzadas de segunda ordem e sao contınuas, entao sao iguais. Assim,

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x.

Exemplo 4.9 Calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da funcao

f(x, y) = exy + sen (x+ y).

Solucao: Primeiro precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.

fx(x, y) = yexy + cos(x+ y), fy(x, y) = xexy + cos(x+ y).

Logo,

fxx(x, y) = y2exy − sen (x+ y)

fyy(x, y) = x2exy − sen (x+ y)

fxy(x, y) = exy(1 + xy)− sen (x+ y) = fyx(x, y).

Observacoes:

i) As vezes as derivadas parciais sao denotadas por D1f para fx e D2f para fy.

ii) Da mesma maneira que podemos obter as derivadas parciais fxx, fxy, fyy e fyx, po-demos calcular suas derivadas, obtendo

fxxx =∂3f

∂x3=

∂

∂x(fxx), fxxy =

∂3f

∂y∂x2=

∂

∂y(fxx),

fyyy =∂3f

∂y3=

∂

∂y(fyy), fyyx =

∂3f

∂x∂y2=

∂

∂x(fyy), . . .

Tambem podem ser calculadas as derivadas de fxy em relacao as variaveis x e y.

iii) Como acontece para as derivadas de funcoes de uma variavel, as derivadas parciaissao definidas como limites nas variacoes nas variaveis da funcao. Assim, se f :R× R→ R e uma funcao de duas variaveis com valores em R, entao

fx(x, y) = limh→0

f(x+ h, y)− f(x, y)

he fy(x, y) = lim

h→0

f(x, y + h)− f(x, y)

h

1Alexis Claude Clairaut, foi um matematico, fısico e astronomo frances do seculo XVII.2Karl Hermann Amandus Schwarz foi um matematico alemao do final do seculo XIX e inıcio do XX

conhecido por seus trabalhos no analise complexo.


4.3. REGRAS DA CADEIA CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS

4.3 Regras da Cadeia

Em muitas situacoes praticas, um determinado valor pode ser dado em funcao de duasou mais variaveis, cada uma das quais pode ser interpretada como uma funcao de umaoutra variavel como, por exemplo, o tempo. Se a meta e encontrar a taxa de variacao emrelacao a essa outra variavel, precisamos de uma ferramenta para calcula-la. Por exemplo,suponhamos que o valor z de um determinado produto depende do preco x no mercado edo preco de venda y do produto da concorrencia e e dado pela funcao

z = x2 − 3xy + 1.

Mas o preco dos produtos dependen da demanda e do mercado e sao dados pelas funcoes

x(t) = 2t+ 1, y(t) = t2 − 1,

onde t representa o tempo. Logo, a variavel dependente z somente depende da variavelt e temos uma funcao de uma variavel com valores em R. Do mesmo modo que temos aderivacao implıcita para funcoes de uma variavel, podemos enunciar a Regra da Cadeirapara derivadas parciais

Teorema 4.2 (Primeira Regra da Cadeira) Suponha que z seja uma funcao de x ey, as quais, por sua vez, sejam funcoes de outra variavel t. Entao, z pode ser interpretadacomo uma funcao de t, e

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt

Observe que a expressao paradz

dte a soma de dois termos, cada um dos quais podendo

ser interpretado atraves da regra da cadeia como uma funcao de uma variavel. Emparticular

∂z

∂x

dx

dt= taxa de variacao de z em relacao a t para y fixo.

∂z

∂y

dy

dt= taxa de variacao de z em relacao a t para x fixo.

A Primeira Regra da Cadeia para derivadas parciais diz que a taxa de variacao total dez em relacao a t e a soma destas duas taxas ”parciais“ de variacao.

No exemplo anterior, usando a Primeira Regra da Cadeia obtemos,

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt= (2x− 3y)2 + (−3x)2t,


CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS 4.3. REGRAS DA CADEIA

que pode ser reescrita em termos de t substituindo x = 2t+ 1 e y = t2 − 1 para obter

dz

dt= 4(2t+ 1)− 6(t2 − 1)− 6t(2t+ 1) = −18t2 + 2t+ 10.

Assim,

Outro modo de calculardz

dte substituir x = 2t + 1 e y = t2 − 1 na formula de z e

derivar diretamente em relacao a t. Assim,

z(t) = (2t+ 1)2 − 3(2t+ 1)(t2 − 1) + 1 = −6t3 + t2 + 10t+ 4,

e a derivada em relacao a variavel t e a mesma que obtivemos com a derivacao implıcita.

Exemplo 4.10 Seja a funcao de duas variaveis z =√x2 + y2, onde x = sen (t + π) e

y = t3. Use a Primeira Regra da Cadeia para determinardz

dt.

Solucao:

dz

dt=∂z

∂x

dx

dt+∂z

∂y

dy

dt=

x√x2 + y2

(cos t) +y√

x2 + y2(3t2) =

x cos t+ 3t2y√x2 + y2

.

Substituindo os valores de x e y como funcoes de t, obtemos

dz

dt=

sen (t+ π)(cos t) + 3t2(t3)√(sen (t+ π))2 + (t3)2

=sen (t+ π) cos t+ 3t5√

sen 2(t+ π) + t5.

Exemplo 4.11 Uma farmacia vende dois tipos de vitaminas, uma marca A e uma marcaB. As vendas indicam que se a marca A for vendida por x u.m. por vidro e a marca Bpor y u.m. por vidro, a demanda para a marca A sera de Q(x, y) = 300 − 20x2 + 30yvidros por mes. Estima-se que, daqui a t meses, o preco da marca A sera de x = 2+0.05tu.m. por vidro e o preco da marca B sera de y = 2 + 0.01

√t por vidro. Calcular que taxa

de demanda da marca A em relacao ao tempo daqui a 4 meses.

Solucao: A meta e calculardQ

dtquando t = 4. Usando a Primeira Regra da Cadeira,

tem-se:dQ

dt=∂Q

∂x

dx

dt+∂Q

∂y

dy

dt= −40x(0.05) + 30(0.005t−

12 ).

Quando t = 4, x(4) = 2 + 0.05 · 4 = 2.2, e assim,

dQ

dt= −40 · 2.2 · 0.05 + 30 · 0.005 · 4−

12 = −4.325.

Logo, daqui a 4 meses a demanda mensal pela marca A estara diminuindo a uma taxa de3.65 vidros por mes.



As vezes, as variaveis x e y podem depender de mais de uma variavel. Entao precisamosde um resultado analogo ao Teorema 4.2. Consideremos o caso em que a variavel z e funcaode duas variaveis x e y, de modo que z = f(x, y), enquanto x e y sejam funcoes de outrasduas variaveis u e v, ou seja

x = g(u, v), y = h(u, v).

Entao z torna-se uma nova funcao de duas variaveis u e v com valores em R que podemoschamar de F

z = F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)).

Suponha que, temporariamente, a variavel v se mantenha constante. Poderıamoscalcular a derivada parcial de z em relacao a u usando a Primeira Regra da Cadeira.Assim,

∂z

∂u=∂z

∂x

∂x

∂u+∂z

∂y

∂y

∂u.

Analogamente, se mantemos a variavel u contante,

∂z

∂v=∂z

∂x

∂x

∂v+∂z

∂y

∂y

∂v.

Assim obtemos a Segunda Regra da Cadeira, onde vamos mudar a notacao para que fiquemais clara

Teorema 4.3 (Segunda Regra da Cadeira) Sejam f, g, h : R × R → R funcoes deduas variaveis com valores em R as quais denotamos por f(x, y), g(u, v) e h(u, v). Su-ponhamos que as derivadas parciais das funcoes f, g e h, fx, fy, gu, gv, hu, e hv existem edefinimos a funcao F (u, v) = f(g(u, v), h(u, v)). Entao as derivadas parciais da funcaoF podem ser calculadas como

Fu = fx(g(u, v), h(u, v))gu(u, v) + fy(g(u, v), h(u, v))hu(u, v)

Fv = fx(g(u, v), h(u, v))gv(u, v) + fy(g(u, v), h(u, v))hv(u, v).

Exemplo 4.12 Seja z = x2−y2, x = u cos v e y = vsenu. Encontre as derivadas parciais∂z

∂u,∂z

∂v.

Solucao: Primeiro vamos achar as derivadas parciais de cada uma das funcoes an-teriores:

∂z

∂x= 2x,

∂z

∂y= −2y,

∂x

∂u= cosu,

∂x

∂v= −usen v,

∂y

∂u= v cosu,

∂y

∂v= senu.



Aplicando a Segunda Regra da Cadeira obtemos

∂z

∂u=∂z

∂x

∂x

∂u+∂z

∂y

∂y

∂u

= 2x cos v − 2yv cosu

= 2(u cos v) cos v − 2(v senu)v cosu = 2u cos2 v − v2sen (2u).

∂z

∂v=∂z

∂x

∂x

∂v+∂z

∂y

∂y

∂v

= 2x(−u sen v)− 2y senu

= 2(u cos v)(−u sen v)− 2(v senu)senu = −u2sen (2v)− 2v sen 2u.

Exemplo 4.13 Sejam f(x, y) = 4x2 + 5xy − 2y3, x = 3r + 5s e y = 7r2s. Calcular asderivadas parciais fr e fs.

Solucao: Se chamamos x = g(r, s) e y = h(r, s), as derivadas parciais de cada umadas funcoes anteriores sao:

fx(x, y) = 8x+ 5y, fy(x, y) = 5x− 6y2,

gr(r, s) = 3, gt(r, s) = 5,

hr(r, s) = 14rs, hs(r, s) = 7r2.

Logo, chamando de F (s, r) = f(g(s, r), h(s, r)) e aplicando a Segunda Regra da Cadeira,

Fs(s, r) = fx(g(s, r), h(s, r))gr(r, s) + fy(g(r, s), h(r, s))hr(r, s)

= (8x+ 5y)3 + (5x− 6y2)14rs

= 24x+ 15y + 70rsx− 84rsy2

= 24(3r + 5s) + 15(7r2s) + 70rs(3r + 5s)− 84rs(7r2s)2

= −4116r5s3 + 315r2s+ 350rs2 + 72r + 120s.

Como acontece com a derivacao implıcita para funcoes de uma variavel, nao precisamosconhecer a formula da funcao f(x, y) para calcular o valor da derivada parcial em umponto. Somente precisamos conhecer o valor da funcao e de suas derivadas parciais nesseponto.

Exemplo 4.14 Seja u(x) = 2x−1, v(x) = cos(πx

)e H(x) = f(u(x), v(x)). Determinar

o valor de H ′(x) quando x = 2 sabendo que fu(3, 0) = 4 e fv(3, 0) = −2π.

Solucao: Vamos aplicar a Primeira Regra da Cadeia para calcular a derivada deH(x),

H ′(x) = fu(u(x), v(x))u′(x) + fv(u(x), v(x))v′(x)

= 2fu(u(x), v(x)) +2πfv(u(x), v(x))sen

(πx

)x2

.



Quando x = 2, temos u = 3 e v = 0. Logo,

H ′(2) = 2fu(3, 0) +2πfv(3, 0)sen

(π2

)22

= 2 · 4 +2π(−2π)sen

(π2

)22

= 8− 4π2

4= 8− π2.

Exemplo 4.15 Seja f uma funcao de duas variaveis tal que fu(3, 1) = 2 e fv(3, 1) = −5.

Se definimos a funcao V = f(2x+ 3y, ex), encontre∂V

∂xe∂V

∂yquando x = 0 e y = 1.

Solucao: Seja u = 2x + 3y e v = ex, ou seja V = f(u, v). Pela Segunda Regra daCadeia,

∂V

∂x=∂V

∂u

∂u

∂x+∂V

∂v

∂v

∂x=∂V

∂u· 2 +

∂V

∂v· ex = 2fu(u, v) + exfv(u, v).

Quando x = 0 e y = 1, temos u = 3 e v = 1. Logo

∂V

∂x= 2fu(3, 1) + e0fv(3, 1) = 2 · 2 + 1 · (−5) = −1.

Analogamente,

∂V

∂y=∂V

∂u

∂u

∂y+∂V

∂v

∂v

∂y=∂V

∂u· 3 +

∂V

∂v· 0 = 3fu(u, v).

Assim, quando x = 0 e y = 1, temos u = 3 e v = 1 e

∂V

∂y= 3fu(3, 1) = 3 · 2 = 6.

4.3.1 Diferenciacao implıcita

O procedimento da diferenciacao implıtica pode ser formulado com maior rigor e podeser generalizado pelo uso de derivadas parciais. Por exemplo, dada uma equacao naqual figurem as variaveis x e y, podemos transpor os termos para a esquerda do sinal deigualdade e a equacao toma a forma f(x, y) = 0, onde f e uma funcao de duas variaveis.Esta equacao define y como uma funcao de x se

f(x, y) = f(x, g(x)) = 0.

Vamos ver um exemplo para fixar as ideias.

Exemplo 4.16 Seja a equacao x3y2+3xy2+5x4 = 2y+7. Encontre o valor de dydx

quandox = 1 e y = 1.



Solucao: Primeiro definimos a funcao

f(x, y) = x3y2 + 3xy2 + 5x4 − 2y − 7.

Entao, f(1, 1) = 0. Pela Primeira Regra da Cadeira e derivando termo a termo, temosque se y e uma variavel que depende de x,

0 =df

dx= fx(x, y)

dx

dx+ fy(x, y)

dy

dx= (3x2y2 + 3y2 + 20x3) · 1 + (2x3y + 6xy − 2)

dy

dx.

Logo, resolvendo a equacao anterior emdy

dx, obtemos

dy

dx= −fx(x, y)

fy(x, y)= −3x2y2 + 3y2 + 20x3

2x3y + 6xy − 2.

Portanto, quando x = 1 e y = 1

dy

dx= −3 + 3 + 20

2 + 6− 2= −13

3.

Assim, de uma forma geral, se f(x, y) = 0 para certos valores (x, y) e existem asderivadas parciais da funcao f , podemos calcular dy

dxnesses pontos usando a formula

dy

dx= −fx(x, y)

fy(x, y),

para todos os ponto (x, y) tais que f(x, y) = 0.

Exemplo 4.17 Suponha que a utilidade de um consumidor proveniente de x unidades deum bem A e y unidades de um segundo bem B e fornecida pela formula

x2y + cos(π(x− y)) =y + 1

2,

onde os dois bens sao calculados em centenares de unidades. O consumidor atualmentepossui 200 unidades do bem A e 100 unidades do bem B. Achar a taxa de variacao dobem B en funcao do bem A para esses valores.

Solucao: Definimos a funcao de duas variaveis f(x, y) = x2y + cos(π(x− y))− y + 1

2,

que tem valor zero se x = 2 e y = 1. Logo, para o ponto (2, 1) podemos calcular o valor

dedy

dx. Assim,

0=df

dx=fx(x, y)

dx

dx+fy(x, y)

dy

dx=(2xy−πsen (π(x−y)))+

(x2 − πsen (π(x− y))− 1

2

)dy

dx.


4.4. EXTREMOS DE FUNCOES DE DUAS VARIAVEISCAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS

Entao,

dy

dx= − 2xy − πsen (π(x− y))

x2 − πsen (π(x− y))− 12

.

Substituindo os valores x = 2 e y = 1,

dy

dx= − 2 · 2− πsen (π)

22 − πsen (π)− 12

= − 4− 0

4− 0− 12

= −8

7.

Resposta: O bem B esta diminuindo a uma taxa de8

7unidades.

4.4 Extremos de funcoes de duas variaveis

Nesta secao vamos usar as derivadas parciais para encontrar os maximos e os mınimospara funcoes de duas variaveis com valores reias.

Geometricamente, um maximo relativo ou maximo local de uma funcao de duasvariaveis f : R×R→ R e uma cume local da superfıcie z = f(x, y), isto e um valor maisalto do que todos seus pontos vizinhos sobre a superfıcie. Analogamente, um mınimorelativo ou mınimo local de f(x, y) e o fundo de um vale, um ponto que esta maisbaixo do que qualquer ponto vizinho da superfıcie. Por exemplo, na Figura 6 temos queo ponto P = (a, b) apresenta u maximo relativo no ponto (a, b, f(a, b)) da superfıcie e oponto Q = (c, d) apresenta um mınimo relativo no ponto (c, d, f(c, d)) da superfıcie.

Figura 4.6: Interpretacao geometrica para maximos e mınimos relativos


CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS4.4. EXTREMOS DE FUNCOES DE DUAS VARIAVEIS

Como ocorre para funcoes de uma variavel, os pontos crıticos representam um papelimportante no estudo dos maximos e mınimos relativos. Portanto vamos definir o que eum ponto crıtico para funcoes de duas variaveis.

Definicao 4.3 Um ponto (a, b) no dominio de f(x, y) para o qual fx(a, b) = 0 e fy(a, b) =0 e dito ser um ponto crıtico de f .

Se as derivadas parciais de primeira ordem de f estao definidas em todos os pontosde alguma regiao do plano xy, entao os extremos relativos de f na regiao podem ocurrirsomente em pontos crıticos.

Para ver a conexao entre pontos crıticos e extremos relativos, vamos dar uma olhadana Figura 1.7. Suponha que f(x, y) tem um maximo relativo no ponto (a, b). Desse modo,a curva formada pela intersecao da superfıcie z = f(x, y) com o plano vertical y = b temum maximo relativo e, portanto, uma tangente horizontal na reta x = a. Como a derivadaparcial fx(a, b) e a inclinacao desta reta tangente (lembrar Figura 1.4, pag. 7), segue quefx(a, b) = 0. Da mesma forma, a curva formada pela intersecao da superfıcie z = f(x, y)e o plano x = a tem um maximo relativo em y = b, e assim fy(a, b) = 0.

Figura 4.7: Derivadas parciais e pontos crıticos

Embora todos os extremos relativos de uma funcao devam ocorrer em ponto crıticos,nem todos os pontos crıticos sao necessariamente extremos relativos. Considere, porexemplo a funcao f(x, y) = y2 − x2, cujo grafico se assemelha a uma sela (ver Figura1.8). Neste caso, fx(0, 0) = 0 porque a superfıcie tem um maximo relativo (e assim uma



tangente horizontal) “na direcao x”, e fy(0, 0) = 0 porque a superfıcie tem um mınimo (eassim uma tangente horizontal) “na direcao y”. Desta forma, o ponto (0, 0) e um pontocrıtico da funcao f , mas nao e um extremo relativo porque nao nem um maximo nem ummınimo. Esses pontos sao chamados de ponto de sela.

Figura 4.8: Ponto de sela

4.4.1 O teste da Derivada Segunda

Vamos generalizar o teste mostrado para funcoes de uma variavel para decidir se um pontocrıtico e um maximo ou um mınimo local de uma funcao de duas variaveis.

Teorema 4.4 (Teste da Derivada Segunda) Suponha que (a, b) seja um ponto crıticoda funcao f : R× R→ R. Seja

D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2.

Logo

1. Se D < 0, entao f tem um ponto de sela.

2. Se D > 0,

2.1) se fxx(a, b) < 0, entao f tem um maximo relativo em (a, b).

2.2) se fxx(a, b) > 0, entao f tem um mınimo relativo em (a, b).

3. Se D = 0, o teste e inconclusivo e a funcao pode ter tanto um extremo relativoquanto um ponto de sela em (a, b).


CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS4.4. EXTREMOS DE FUNCOES DE DUAS VARIAVEIS

Exemplo 4.18 Classifique os pontos crıticos da funcao f(x, y) = x2 + y2.

Solucao: (ver Figura 1.9) Primeiro vamos achar os pontos crıticos para f(x, y).Portanto vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como fx = 2x efy = 2y, o unico ponto crıtico de f e (0, 0). Para testar este ponto usamos o teste daderivada segunda.

D = fxx(0, 0)fyy(0, 0)− [fxy(0, 0)]2 = 2 · 2− 02 = 4.

Isto e, D = 4 > 0 para todo ponto (x, y) e, em particular, para (0, 0). Logo, f tem umextremo relativo em (0, 0). Mais ainda, como fxx(0, 0) = 2 > 0, segue-se que o extremorelativo em (0, 0) e um mınimo relativo.

Figura 4.9: Mınimo local de z = x2 + y2

Exemplo 4.19 Classifique os pontos crıticos da funcao f(x, y) = y2 − x2.Solucao: (ver Figura 1.8, pag. 18) Como fx = −2x e fy = 2y, o unico ponto crıtico

de f e (0, 0). Para testar ese ponto, usamos o teste da derivada segunda.

D = fxx(0, 0)fyy(0, 0)− [fxy(0, 0)]2 = −2 · 2− 02 = −4.

Ou seja, D = −4 < 0 para todo ponto (x, y) e, em particular, para (0, 0). Logo, f temum ponto de sela em (0, 0).



Exemplo 4.20 Classifique os pontos crıticos da funcao f(x, y) = x3 − y3 + 6xy.

Solucao: Primeiro vamos achar os pontos crıticos para f(x, y). Portanto vamoscalcular as derivadas parciais de primeira ordem. Como fx = 3x2 + 6y e fy = −3y2 + 6x,encontramos os pontos crıticos de f atraves da solucoes simultaneas das duas equacoes

3x2 + 6y = 0

− 3y2 + 6x = 0.

Da primeira equacao obtemos y = −x2

2, e substituindo na segunda obtemos

−3x4

4+ 6x = 0 ou − x(x3 − 8) = 0.

As solucoes da equacao sao x = 0 e x = 2. Substituindo os valores na equacao y = −x2

2,

obtemos as correspondentes coordenadas y para as coordenadas x achadas. Assim, temosque para x = 0 o valor de y e 0, e para x = 2 o valor de y e −2. Segue-se que os pontoscrıticos de f sao (0, 0) e (2,−2).

As derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) sao:

fxx = 6x, fyy = −6y, fx,y = 6.

Dessa forma,

D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2 = −36xy − 36 = −36(xy + 1).

Como D(0, 0) = −36 < 0, o ponto (0, 0) e um ponto de sela para f .

Como D(2,−2) = −36(−4 + 1) = 108 > 0 e fxx(2,−2) = 6 · 2 = 12 > 0, entao f temum mınimo relativo no ponto (2,−2).

No proximo exemplo vamos ver como aplicar a teoria dos extremos relativos pararesolver problemas de optimizacao em Economia.

Exemplo 4.21 A unica mercearia em uma pequena comunidade rural vende duas marcasde suco de laranja congelado, uma marca local, que ela obtem ao custo unitario de 30centavos, e uma marca nacional famosa, que ela obtem ao custo unitario de 40 centavos.O comerciante estima que, se a marca local for vendida a x centavos a lata, e a nacional ay centavos, aproximadamente 70−5x+ 4y latas de marca local e 80 + 6x−7y da nacionalserao vendidas a cada dia. Que preco o comerciante deve utilizar para cada marca paramaximizar o lucro das vendas de suco de laranja? (Suponha que o maximo absoluto e omaximo relativo da funcao lucro sao os mesmos).


CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS 4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Solucao: Como

Lucro Total = Lucro da venda da marca local + Lucro da venda da marca nacional

Seque-se que o lucro diario total da venda de suco de laranja e dado pela funcao

f(x, y) = (70− 5x+ 4y)(x− 30) + (80 + 6x− 7y)(y − 40)

= −5x2 + 10xy − 20x− 7y2 + 240y − 5300

Calculando as derivadas parciais da funcao f

fx = −10x+ 10y − 20, fy = 10x− 14y + 240.

Fazendo-as iguais a zero, obtemos

−10x+ 10y − 20 = 0, 10x− 14y + 240 = 0,

ou−x+ y = 2, 5x− 7y = 120.

Logo, resolvendo as equacoes simultaneamente chegamos para x = 53 e y = 55. Segue-seque o unico ponto crıtico de f e (53, 55).

Agora usamos o Teste da Derivada de Segunda Ordem para calcular o valor de D(x, y).Assım,

fxx = −10, fyy = −14, fxy = 10

eD(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y)− [fxy(x, y)]2 = −10(−14)− 102 = 40.

Como D(53, 55) = 40 > 0 e fx(53, 55) = −10 < 0, entao f tem um maximo (relativo) emx = 53 e y = 55.

Resposta: A mercearia pode maximizar seu lucro vendendo a marca local de suco por53 centavos a lata e marca nacional por 55 centavos a lata.

4.5 Multiplicadores de Lagrange

Suponha que um editor, condicionado a se manter dentro de um orcamento fixo de $60.000,pode querer decidir como dividir esa quantia entre desenvolvimento e promocao, de ma-neira a maximizar as futuras vendas de um novo livro. Se x denota a quantia alocada paradesenvolvimento, y a quantia alocada para promocao e f(x, y) o correspondente numerode livros que serao vendido, o editor gostaria maximizar a funcao de vendas f(x, y) sujeta


4.5. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE CAPITULO 4. VARIAS VARIAVEIS

a condicao x + y = 60000. Neste caso precisamos obter o maximo da funcao sujeta auma condicao ou restricao sobre as variaveis. Para resolver estos problemas vamos usaro metodo dos multiplicadores de Lagrange, no qual a introducao de uma terceira variavelpermite resolver problemas de otimizacao condicionados sem ter que resolver primeiro aequacao de restricao para uma das das variaveis.

O Metodo dos Multiplicadores de Lagrange

Suponha que f(x, y) e g(x, y) sejam funcoes cujas derivadas parciais de primeira ordemexistam. Para encontrar um maximo e mınimo relativos de f(x, y), sujeitos a restricaode que g(x, y) = k para alguma constante k, introduza uma nova variavel λ e resolva asseguintes tres equacoes simultaneamente:

fx(x, y) = λgx(x, y)

fy(x, y) = λgy(x, y)

g(x, y) = k

Se o extremo relativo procurado existir, ele sera encontrado entre as solucoes resultantes(x, y) destas equacoes.

Observacao: Apesar de ser λ uma nova variavel, seu valor nao e importante paraobter os pontos crıticos, portanto nao sempre precisaremos achar seu valor.

Exemplo 4.22 Encontre os valores maximo e mınimos da funcao f(x, y) = xy, subme-tida a restricao x2 + y2 = 8.

Solucao: Seja g(x, y) = x2 + y2. Para obter as tres equacoes de Lagrange precisamoscalcular as derivadas parciais das funcoes f e g:

fx = y, fy = x, gx = 2x, gy = 2y.

Assim, fx(x, y) = λgx(x, y)


g(x, y) = k

⇒

y = 2λx

x = 2λy

x2 + y2 = 8

Nem x nem y podem ser nulos se essas tres equacoes sao validas e entao podemos escreveras duas primeiras equacoes como

2λ =y

x, 2λ =

x

y,

o que implica quey

x=x

you x2 = y2. Agora, substituindo x2 = y2 na terceira equacao de

Lagrange obtemos 2x2 = 8, o que implica x = ±2.



Se x = 2, segue-se da equacao x2 = y2 que y = 2 ou y = −2. Analogamente, sex = −2, entao y = 2 ou y = −2. Portanto temos quatro pontos nos quais os extremoscondicionados podem ocorrer: (2, 2), (2,−2), (−2, 2) e (−2,−2). Como

f(2, 2) = f(−2,−2) = 4, f(2,−2) = f(−2, 2) = −4,

tem-se que quando x2 + y2 = 8 o valor maximo para f(x, y) e 4, que ocorre nos pontos(2, 2) e (−2,−2) e o valor mınimo de f(x, y) e −4, que ocorre nos pontos (2,−2) e (−2, 2).

Exemplo 4.23 Encontre todos os pontos crıticos e os valores maximos e mınimos dafuncao f(x, y) = 3x2 − 2xy + 5y2 sujeita a restricao x2 + 2y2 = 6.

Solucao: Seja g(x, y) = x2 + 2y2. Calculamos as derivadas parciais de f e de g paraobter as equacoes de Lagrange,

fx = 6x− 2y, fy = 10y − 2x, gx = 2x, gy = 4y.

Assim,fx(x, y) = λgx(x, y)


g(x, y) = k

⇒

6x− 2y = 2λx

10y − 2x = 4λy

x2 + 2y2 = 6

⇔

3x− y = λx

5y − x = 2λy

x2 + 2y2 = 6

Resolvendo a primeira equacao para y e a segunda para x obtemos

y = x(3− λ), (4.1)

x = y(5− 2λ). (4.2)

Substituindo a variavel y na equacao (4.2) obtemos

x = x(3− λ)(5− 2λ)

e, portanto(2λ2 − 11λ+ 14)x = 0.

Analogamente, substituindo x na equacao (4.2),

y = y(5− 2λ)(3− λ)

e, portanto(2λ2 − 11λ+ 14)y = 0.

Como nem x nem y podem ser nulos, entao o coeficiente 2λ2 − 11λ + 14 nas equacoesanteriores precisa ser zero, logo

2λ2 − 11λ+ 14 = 0, ou

(λ− 7

2

)(λ− 2) = 0.



Assim, λ =7

2ou λ = 2.

Fazendo λ =7

2e substituindo na equacao y = x(3− λ), encontramos que

y = −x2

se λ =7

2.

Substituindo y = −x2

na equacao x2 + 2y2 = 6, obtemos x2 +x2

2= 6, ou seja, x = ±2.

Quando x = 2, y = −1 e quando x = −2, y = −1.

Analogamente, fazendo λ = 2 e substituindo na equacao y = x(3 − λ), encontramosque

y = x se λ = 2.

Substituindo y = x na equacao x2 + 2y2 = 6, obtemos x2 + 2x2 = 6, ou seja, x = ±√

2.Quando x =

√2, y =

√2 e quando x = −

√2, y = −

√2.

Portanto, os pontos crıticos procurados sao (2,−1), (−2, 1),(√

2,√

2)

e(−√

2,−√

2).

Vamos calcular o valor de f(x, y) nesses pontos

f(2,−1) = f(−2, 1) = 21, f(√

2,√

2) = f(−√

2,−√

2) = 12.

Logo, o valor maximo de f(x, y) sujeita a restricao x2 + 2y2 = 6 e 21, que ocorre nospontos (2,−1) e (−2, 1), e o valor mınimo de f(x, y) sujeita a restricao x2 + 2y2 = 6 e12, que ocorre nos pontos

(√2,√

2)

e(−√

2,−√

2).

Vamos ver duas aplicacoes dos Multiplicadores de Lagrange em Economia.

Exemplo 4.24 Um editor alocou $60.000 para gastar em desenvolvimento e promocaode um novo livro. Estima-se que , se x mil dolares em desenvolvimento e y mil empromocao, aproximadamente 20x

32y exemplares do livro serao vendidos. Quanto deveria

o editor alocar para desenvolvimento e quanto para promocao de modo a maximizar asvendas?

Solucao: A meta e maximizar a funcao f(x, y) = 20x32y sujeita a resticao g(x, y) =

60 onde g(x, y) = x+ y. As equacoes de Lagrange correspondentes saofx(x, y) = λgx(x, y)


g(x, y) = k

⇒

30x

12y = λ

20x32 = λ

x+ y = 60

Das duas primeiras equacoes obtemos

30x12y = 20x

32



Se x = 0, entao λ = 0 e y = 60. Vamos supor que x 6= 0. Logo, dividindo ambos os ladosdessa equacao por 30x

12 ,

y =2

3x.

Substituindo esta expressao na terceira equacao, tem-se

x+2

3x = 60 ⇒ 5

2x = 60,

da qual segue-se que x = 36 e y = 24. Logo temos dois pontos crıticos: o ponto (0, 60)e o ponto (36, 24). Como f(0, 60) = 0 e f(36, 24) = 103680, temos que a funcao f(x, y)sujeita a restricao g(x, y) tem um maximo no ponto (36, 24) com valor de 103.680.

Resposta: Para maximizar as vendas, o editor deve gastar $36.000 em desenvolvimentoe $24.000 em promocao para obter um maximo de vendas de 103.680 exemplares do livro.

Exemplo 4.25 Um consumidor tem $600 para gastar em dois produtos, o primeiro dosquais custa $20 por unidade e o segundo, $30 por unidade. Suponha que a utilidade3

do consumidor proveniente de x unidades do primeiro produto e y unidades do segundoproduto seja dada pela funcao de utilidade de Cobb-Douglas4 U(x, y) = 10x0.6y0.4.Quantas unidades de cada produto deve o consumidor comprar para maximizar sua utili-dade?

Solucao: O custo total de comprar x unidades do primeiro produto a $20 cada e y desegundo a $30 cada e g(x, y) = 20x + 30y. Como o consumidor tem somente $600 paragastar, a meta e maximizar a funcao U(x, y) = 10x0.6y0.4 sujeita a restricao g(x, y) = 600.

As tres equacoes de Lagrange saofx(x, y) = λgx(x, y)


g(x, y) = k

⇒

6x−0.4y0.4 = 20λ

4x0.6y−0.6 = 30λ

20x+ 30y = 600

3Uma funcao utilidade U(x, y) mede a satisfacao total ou utilidade que o consumidor da posse de xunidades de um produto e y unidades de outro produto.

4A Funcao de Cobb-Douglas e usada extensamente na economia para representar o relacionamento deuma determinada saıda e as diversas entradas. Foi proposto inicialmente por Knut Wicksell, matematico-estatıstico ingles e testado ao encontro da evidencia estatıstica de construcao naval por Paul Douglase por Charles Cobb, construtores navais, finalmente em 1928 foi publicado um livro didatico sobre odesenvolvimento matematico da producao de forma geral, apos a construcao em um Pool de estaleirosnavais dos navios Titanic e Louziania, estaleiros esses reunidos na Inglaterra.



Se x = 0, entao λ = 0 e 30y = 600 ou y = 20. Se y = 0, entao λ = 0 e 20x = 600 oux = 30. Logo obtemos dois pontos crıticos de f(x, y): (0, 20) e (30, 0).

Suponhamos que x 6= 0 e y 6= 0, entao das duas primeiras equacoes de Lagrangeobtemos

6x−0.4y0.4

20=

4x0.6y−0.6

309x−0.4y0.4 = 4x0.6y−0.6

9y = 4x ⇒ y =4

9x.

Substituindo esta na terceira equacao,

20x+4

9x = 600,

da qual segue-se que x = 18 e y = 8 e obtemos o terceiro ponto crıtico, (18, 8). Os valoresda funcao utilidade U(x, y) para os tres pontos crıticos sao

U(0, 20) = U(30, 0) = 0, U(18, 8) = 10(18)0.6(8)0.4 ' 130, 137.

Logo, U(x, y) sujeito a restricao 20x + 30y = 600 tem um valor maximo de aproximada-mente 130, 137 no ponto (18, 8).

Resposta: Para maximizar a sua utilidade, o consumidor deve comprar 18 unidades doprimeiro produto e 8 unidades do segundo.


Documents

Cap tulo 4 Fun˘c~oes de v arias vari aveisalexfarah.weebly.com/uploads/1/9/2/5/19258027/capiv_comp.pdf · Exemplo 4.5 Vamos determinar agora as derivadas parciais da fun˘c~ao z=