Cap_01 Eletromagnetismo

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  • 8/15/2019 Cap_01 Eletromagnetismo

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    ANÁLISE VETORIAL 

    PARTE

    1

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    CÓDIGOS DE ÉTICA

    A engenharia é uma profissão que contribui significativamente para a economia e para o bem-estarsocial das pessoas em todo o mundo. Espera-se que os engenheiros, como membros dessa importanteprofissão, apresentem os mais altos padrões de honestidade e de integridade moral. Infelizmente, o cur-rículo de engenharia é tão denso que não há oportunidade, em muitas escolas de engenharia, para umadisciplina na área de ética. Apesar de existirem mais de 850 códigos de ética para diferentes profissõesno mundo, aqui será apresentado o Código de Ética do Instituto de Engenheiros Eletricistas e Eletrôni-cos (IEEE), para dar aos estudantes uma amostra da importância da ética nas profissões de engenharia.

    Nós, membros do IEEE, reconhecendo a importância do impacto de nossas tecnologias na qualida-de de vida em todo o mundo e aceitando a responsabilidade pessoal perante nossa profissão, nossos co-legas e as comunidades a que servimos, assumimos aqui nosso compromisso com os mais altos padrõesde conduta ética e profissional e concordamos em:

    1. Aceitar a responsabilidade de tomar decisões em engenharia condizentes com a segurança, a

    saúde e o bem-estar da população, e de prontamente tornar públicos fatores que possam pôrem perigo a população ou o meio ambiente.

      2. Evitar conflitos de interesse reais ou aparentes, sempre que possível, e indicá-los às partesafetadas sempre que esses conflitos existirem.

      3. Ser honestos e realistas ao fazer declarações ou estimativas com base em dados disponíveis.  4. Rejeitar qualquer forma de suborno.  5. Melhorar a compreensão da tecnologia, das suas aplicações apropriadas e de suas potenciais

    consequências.  6. Manter e melhorar a nossa competência técnica e empreender tarefas tecnológicas em bene-

    fício de terceiros somente se formos devidamente qualificados, por treinamento ou por expe-riência, ou após a plena exposição de nossas limitações pertinentes ao caso.

      7. Procurar, aceitar e oferecer críticas honestas a trabalhos técnicos, reconhecer e corrigir erros edar o devido crédito às contribuições de terceiros.

      8. Tratar de modo justo todas as pessoas, independentemente de raça, religião, gênero, deficiên-cias, idade ou nacionalidade.

      9. Evitar causar danos a outras pessoas, seus bens, suas reputações ou seus empregos por meio deações mal-intencionadas ou pelo uso de falsidade.

     10. Ajudar engenheiros e colegas de trabalho no seu desenvolvimento profissional e apoiá-los nocumprimento deste código de ética.

    Cortesia do IEEE – tradução livre.

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    ÁLGEBRA VETORIAL “O homem finito não tem significado sem um ponto de referência no infinito.” 

    — JEAN P. SARTRE

    1.1 INTRODUÇÃO

    O Eletromagnetismo (EM) pode ser considerado o estudo da interação entre cargas elétricas em re-pouso e em movimento. Envolve a análise, a síntese, a interpretação física e a aplicação de campos

    elétricos e magnéticos.

    O Eletromagnetismo (EM) é um ramo da Física, ou da Engenharia Elétrica, no qual os fenômenoselétricos e magnéticos são estudados.

    Os princípios do EM se aplicam em várias disciplinas afins, como: micro-ondas, antenas, má-quinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo, plasmas, pesquisa nuclear, fibraótica, interferência e compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecânica de energia, me-teorologia por radar e sensoreamento remoto.1,2 Em Física Médica, por exemplo, a energia eletro-magnética, seja na forma de ondas curtas ou de micro-ondas, é utilizada para aquecer tecidos maisprofundos e para estimular certas respostas fisiológicas, afim de aliviar a dor em determinadas

    patologias. Os campos eletromagnéticos são utilizados em aquecedores indutivos para fundir, for- jar, recozer, temperar superfícies e para operações de soldagem. Equipamentos para aquecimentode dielétricos utilizam ondas curtas para unir e selar lâminas finas de materiais plásticos. A energiaeletromagnética possibilita muitas aplicações novas e interessantes em agricultura. É utilizada, porexemplo, para alterar o sabor de vegetais, reduzindo sua acidez.

    Os dispositivos de EM incluem: transformadores, relés elétricos, rádio/TV, telefone, motoreselétricos, linhas de transmissão, guias de onda, antenas, fibras óticas, radares e lasers. O projeto des-ses dispositivos requer um profundo conhecimento das leis e dos princípios do eletromagnetismo.

    †1.2 UMA VISÃO PRÉVIA DO LIVRO

    O estudo dos fenômenos do eletromagnetismo, feito neste livro, pode ser resumido nas Equaçõesde Maxwell:

        D   v  (1.1)

        B  0 (1.2)

    1  Para numerosas aplicações de eletrostática, consulte J. H. Crowley, Fundamentals of Applied Electrostatics. New York:John Wiley & Sons, 1986.2  Para outras áreas de aplicações de EM, consulte, por exemplo, D. Teplitz, ed., Electromagnetism: Paths To Rescarch. NewYork: Plenum Press, 1982.†  Este símbolo indica seções que podem ser suprimidas, expostas brevemente ou propostas como atividades extraclasse,caso se pretenda cobrir todo o texto em um só semestre.

    CAPÍTULO 1

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    4  Parte 1 Análise Vetorial

     (1.3)

     (1.4)

    onde  o vetor operador diferencialD  a densidade de fluxo elétricoB  a densidade de fluxo magnéticoE  a intensidade de campo elétricoH  a intensidade de campo magnético v  a densidade volumétrica de cargaJ  a densidade de corrente

    Maxwell embasou essas equações em resultados já conhecidos, experimentais e teóricos. Umaolhada rápida nessas equações mostra que devemos operar com grandezas vetoriais. Consequente-mente, é lógico que dediquemos algum tempo na Parte 1 para examinar as ferramentas matemáti-cas requeridas para esse curso. As derivações das equações (1.1) a (1.4), para condições invariantes

    no tempo, e o significado físico das grandezas D, B, E, H, J e  v serão objeto de nosso estudo nasPartes 2 e 3. Na Parte 4 reexaminaremos as equações para o regime de variação temporal e as apli-caremos em nosso estudo de dispositivos do EM encontrados na prática.

    1.3 ESCALARES E VETORES

    A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo (EM)são mais convenientemente expressos e melhor compreendidos. Precisamos, primeiramente, apren-der suas regras e técnicas antes de aplicá-las com segurança. Já que muitos estudantes fazem essecurso tendo pouca familiaridade com os conceitos de análise vetorial, uma considerável atenção é

    dada ao assunto neste e nos próximos dois capítulos.3

     Este capítulo introduz os conceitos básicosde álgebra vetorial, considerando apenas coordenadas cartesianas. O capítulo seguinte parte daí eestende esse estudo para outros sistemas de coordenadas.

    Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor.

    Um escalar  é uma grandeza que só tem magnitude.

    Grandezas como tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico e população sãoescalares.

    Um vetor  é uma grandeza que tem magnitude e orientação.

    Grandezas vetoriais incluem velocidade, força, deslocamento e intensidade de campo elétrico.

    Uma outra categoria de grandezas físicas é denominada de tensores, dos quais os escalares e os

    vetores são casos particulares. Na maior parte do tempo, estaremos trabalhando com escalares e

    vetores.4

    3  O leitor que não sinta necessidade de revisão da álgebra vetorial pode seguir para o próximo capítulo.4  Para um estudo inicial sobre tensores, consulte, por exemplo, A. I. Borisenko e I. E. Tarapor, Vector and Tensor Analysiswith Application. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1968.

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 5

    Para fazer distinção entre um escalar e um vetor, convenciona-se representar um vetor por umaletra com uma flecha sobre ela, tais como

    A e→

    B, ou por uma letra em negrito, tais como A e B. Umescalar é simplesmente representado por uma letra, por exemplo: A, B, U  e V.

    A teoria do EM é essencialmente um estudo de alguns campos particulares.

    Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região.

    Se a grandeza é um escalar (ou um vetor), o campo é dito um campo escalar (ou vetorial). Exem-plos de campos escalares são: a distribuição de temperatura em um edifício, a intensidade de somem um teatro, o potencial elétrico em uma região e o índice de refração em um meio estratificado.A força gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera sãoexemplos de campos vetoriais.

    1.4 VETOR UNITÁRIOUm vetor A tem magnitude e orientação. A magnitude de A é um escalar escrito como A ou |A|. Umvetor unitário a A ao longo de A é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade (isto é, 1) ea orientação é ao longo de A, isto é:

     (1.5)

    Observe que |a A|  1. Dessa forma, podemos escrever A como

      A   Aa A  (1.6)

    o que especifica completamente A em termos de sua magnitude A e sua orientação a A.Um vetor A, em coordenadas cartesianas (ou retangulares), pode ser representado como

      ( A x , A y, A z) ou  A x a x   A ya y  A za z  (1.7)

    onde A x , A y e A z são denominadas as componentes de A, respectivamente nas direções x , y e z; a x , a y e a z são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x , y e z. Por exemplo, a x  é um vetor adi-mensional de magnitude um na direção e sentido positivo do eixo dos x . Os vetores unitários a x , a y e a z estão representados na Figura 1.1(a), e as componentes de A, ao longo dos eixos coordenados,estão mostradas na Figura 1.1(b). A magnitude do vetor A é dada por:

     

    (1.8)

    e o vetor unitário ao longo de A é dado por:

      (1.9)

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    6  Parte 1 Análise Vetorial

    1.5 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES

    Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um outro vetor C, isto é:

      C  A  B  (1.10)

    A soma de vetores é feita componente a componente. Dessa forma, se A  ( A x , A y, A z) eB  ( B x , B y, B z),

      C  ( A x    B x )a x   ( A y   B y)a y  ( A z   B z)a z  (1.11)

    A subtração de vetores é feita de modo similar:

     D  A  B  A  (B)

     ( A x    B x )a x   ( A y   B y)a y  ( A z   B z)a z   (1.12)

    Graficamente, a soma e a subtração de vetores são obtidas tanto pela regra do paralelogramo quantopela regra do “início de um-final de outro”, como ilustrado nas Figuras 1.2 e 1.3, respectivamente.

    As três propriedades básicas da álgebra que são satisfeitas por quaisquer vetores dados A, B eC, estão resumidas na tabela a seguir:

    Propriedade Soma Multiplicação

    Comutativa A  B  B  A   k A  Ak Associativa A  (B  C)  (A  B)  C k (A)  (k )ADistributiva   k (AB)  k A  k B

    onde k  e

     são escalares. A multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida na Seção 1.7.

    FIGURA 1.1 (a ) Vetores unitários a  x , a  y  e a  z ; (b) componentes de A ao longo de a  x , a  y  e a  z .

    FIGURA 1.2 Soma de vetores C  A  B: (a ) regra do paralelogramo; (b) regra do “início de um-finalde outro”.

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 7

    1.6 VETOR POSIÇÃO E VETOR DISTÂNCIA

    Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesiano, pode ser representado por ( x , y, z).

    O vetor posição r P  (ou raio vetor ) de um ponto P  é um vetor que começa na origem O do sistemade coordenadas e termina no ponto P , isto é:

      rP  OP   x a x    ya y   za z  (1.13)

    O vetor posição do ponto P é útil para definir sua posição no espaço. O ponto (3, 4, 5), por exem-plo, e seu vetor posição 3a x   4a y  5a z são mostrados na Figura 1.4.

    O vetor distância  é o deslocamento de um ponto a outro.

    Se dois pontos, P e Q, são dados por ( x P , yP, zP) e ( x Q , yQ, zQ), o vetor distância (ou o vetor se- paração) é o deslocamento de P a Q, como mostrado na Figura 1.5, isto é:

     

    rPQ  rQ  rP ( x Q   x P)a x   ( yQ   yP)a y  ( zQ   zP)a z   (1.14)

    FIGURA 1.3 Subtração de vetores D  A  B:

    (a ) regra do paralelogramo; (b) regra do “iníciode um-final de outro”.

    FIGURA 1.4 Representação gráfica do vetor posição r  p  3a  x   4a  y   5a  z .

    FIGURA 1.5  Vetor distância r PQ.

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    8  Parte 1  Análise Vetorial

    A diferença entre um ponto P e um vetor A deve ser ressaltada. Embora tanto P quanto A pos-sam ser representados da mesma maneira como ( x , y, z) e (A x , A y, A z), respectivamente, o ponto P não é um vetor; somente seu vetor posição rP é um vetor. Entretanto, o vetor A pode depender doponto P. Por exemplo, se A  2 xya x   y

    2a y   xz

    2a z e P é (2, 1, 4), então A em P seria  4a x   

    a y  32a z. Um campo vetorial é dito constante ou uniforme se não depende das variáveis de espaço

     x , y e z. Por exemplo, o vetor B  3a x   2a y  10a z é um vetor uniforme, enquanto o vetor A  2 xya x   y

    2a y   xz

    2a z é não uniforme, porque B é o mesmo em qualquer ponto, enquanto A varia

    ponto a ponto.

    Se A  10a x   4a y  6a z e B 2a x   a y, determine: (a) a componente de A ao longo de ay; (b) amagnitude de 3A  B; (c) um vetor unitário ao longo de A  2B.

    Solução:

     (a) a componente de A ao longo de a y é A y   4.

     (b) 3A  B  3(10,4, 6) (2, 1, 0) (30,12, 18) (2, 1, 0) (28, 13, 18)

    Portanto,

     (c) Seja C  A  2B  (10,4, 6) (4, 2, 0) (14, 2, 6).Um vetor unitário ao longo de C é

    ac

    ou

    ac  0,9113a x   0,1302a y  0,3906a z

    Observe que |ac| 1, como esperado.

    EXERCÍCIO PRÁTICO 1.1

    Dados os vetores A  ax  3a z e B  5a x   2a y  6a z, determine:

      (a) |A  B|

      (b) 5A  B

      (c) a componente de A ao longo de a y

      (d) um vetor unitário paralelo a 3AB

    Resposta: (a) 7, (b) (0,2, 21), (c) 0, (d) ± (0,9117, 0,2279, 0,3419).

    Os pontos P e Q estão localizados em (0, 2, 4) e (3, 1, 5). Calcule:

     (a) o vetor posiçãoP (b) o vetor distância de P até Q (c) a distância entre P e Q (d) um vetor paralelo a PQ com magnitude 10

    EXEMPLO 1.1

    EXEMPLO 1.2

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 9

    Solução:

     (a) r p  0a x   2a y  4a z  2a y  4a z (b) rPQ  rQ  rP  (3, 1, 5)  (0, 2, 4)  (3, 1, 1) ou rPQ  3a x  a y  a z (c) já que rPQ é o vetor distância de P até Q, a distância entre P e Q é a magnitude desse vetor,

    isto é:

    Alternativamente:

     (d) Seja o vetor requerido A, então:

    A   Aa A

    onde A  10 é a magnitude de A. Já que A é paralelo a PQ, o vetor unitário deve ser o mesmo derPQ ou rQP. Portanto,

    e

    EXERCÍCIO PRÁTICO 1.2

    Dados os pontos P(1, 3, 5), Q(2, 4, 6) e R(0, 3, 8), determine: (a) os vetores posição de P e R, (b) o vetor distância rQR, (c) a distância entre Q e R.

    Resposta: (a) a x  3a y  5a z, 3a x   8a z, (b) 2a x  a y  2a z, (c) 3.

    Um rio, no qual um barco navega com sua proa apontada na direção do fluxo da água, corre comorientação sudeste a 10 km/h. Um homem caminha sobre o convés a 2 km/h, do lado esquerdo parao lado direito do barco, em direção perpendicular ao seu movimento. Determine a velocidade dohomem em relação à terra.

    Solução:

    Considere a Figura 1.6 como ilustração do problema. A velocidade do barco é:

    ub  10(cos 45° a x   sen 45° a y) 7,071a x   7,071a y km/h

    A velocidade do homem em relação ao barco (velocidade relativa) é:

    um  2(cos 45° a x   sen 45° a y) 1,414a x   1,414a y km/h

    EXEMPLO 1.3

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    10  Parte 1 Análise Vetorial

    Dessa forma, a velocidade absoluta do homem é:

    uab  um  ub  5,657a x   8,485a y| uab |  10,2l 56,3°

    isto é, 10,2 km/h a 56,3o do leste para o sul.

    EXERCÍCIO PRÁTICO 1.3

    Um avião tem uma velocidade em relação ao solo de 350 km/h exatamente na direção oeste. Sehouver vento soprando na direção nordeste com velocidade de 40 km/h, calcule a velocidadereal do avião no ar e a orientação em que ele se desloca.

    Resposta: 379,3 km/h; 4,275° do oeste para o norte.

    1.7 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL 

    Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o resultado tanto pode ser um escalarquanto um vetor, dependendo de como eles são multiplicados. Dessa forma, existem dois tipos demultiplicação vetorial:

      1.  produto escalar (ou ponto): A  B

      2.  produto vetorial (ou cruzado): A  BA multiplicação de três vetores A, B e C, entre si, pode resultar em:

      3. um produto escalar triplo: A  (B  C)

    ou

      4.  um produto vetorial triplo: A  (B  C)

    FIGURA 1.6 Referente ao Exemplo 1.3.

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 11

    A. Produto escalar 

    O produto escalar  de dois vetores A e B, escrito como A B, é definido geometricamente comoo produto das magnitudes de A e B e do cosseno do menor ângulo entre eles quando estiveremdesenhados a partir do mesmo ponto de origem.

    Assim,

     A  B   AB cos  AB  

    (1.15)

    onde  AB é o menor  ângulo entre A e B. O resultado de AB é denominado de  produto escalar ,porque é um escalar, ou de produto ponto, devido ao ponto – sinal que identifica a operação. SeA  ( A x , A y, A z) e B  ( B x , B y, B z), então

     A  B   A x  B x    A y B y   A z B z  

    (1.16)

    que é obtido multiplicando-se A e B, componente a componente. Dois vetores, A e B, são ditosortogonais (ou perpendiculares) entre si se A  B  0.

    Observe que o produto ponto satisfaz as seguintes propriedades:

      (i)  Propriedade comutativa:

      A  B  B  A (1.17)

      (ii)  Propriedade distributiva:

      A  (B  C)  A  B  A  C (1.18)

      (iii) 

    A  A  |A|2

       A2

      (1.19)  Observe também que:

      a x   a y  a y  a z  a z  a x   0 (1.20a)

      a x   a x   a y  a y  a z  a z  1 (1.20b)

    É fácil provar as identidades nas equações (1.17) a (1.20) aplicando a equação (1.15) ou (1.16).

    B. Produto vetorial

    O produto vetorial de dois vetores, A e B, escrito como A  B, é uma quantidade vetorial cuja

    magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B (ver Figura 1.7) e cuja orientação é dadapelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B.

    Assim,

     A  B   AB sen  ABan  

    (1.21)

    onde an é um vetor unitário normal ao plano que contém A e B. A orientação de an é tomada comoa orientação do polegar da mão direita quando os dedos da mão direita giram de A até B, comomostrado na Figura 1.8(a). Alternativamente, a orientação de an é tomada como a orientação do

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    12  Parte 1 Análise Vetorial

    avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B, como mostrado naFigura 1.8(b).

    A multiplicação vetorial da equação (1.21) é denominada produto cruzado  devido à cruz –sinal que identifica a operação. É também denominada produto vetorial porque o resultado é umvetor. Se A  ( A x ,  A y,  A z) e B  ( B x ,  B y,  B z), então

     

    (1.22a)

       ( A y B z   A z B y)a x   ( A z B x    A x  B z)a y  ( A x  B y   A y B x )a z (1.22b)

    a qual é obtida “cruzando” os termos em permutação cíclica. Daí o nome de produto cruzado.Observe que o produto cruzado, ou produto vetorial, tem as seguintes propriedades básicas:

      (i)  Não é comutativo:

      A  B  B  A (1.23a)

    É anticomutativo:

      A  B  B  A (1.23b)

    A

    A

    B

    B

    FIGURA 1.7 O produto de A por  B é um vetor com magnitude igual à área de um paralelogramo ecuja orientação é a indicada.

    FIGURA 1.8 Orientação de A  B e a n usando: (a ) regra da mão direita; (b) regra do parafuso de ros-ca direita.

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 13

      (ii)  Não é associativo:

      A  (B  C)  (A  B)  C (1.24)

      (iii) É distributivo:

      A  (B  C)  A  B  A  C (1.25)

      (iv)

      A  A  0  (1.26)

    Também observe que

     

    a x   a y  a za y  a z  a x a z  a x   a y  

    (1.27)

    que são obtidas por permutação cíclica e estão representadas na Figura 1.9. As identidades nasequações (1.25) a (1.27) são facilmente verificadas aplicando a equação (1.21) ou (1.22). Deve serobservado que, ao obter an, usamos a regra da mão direita ou do parafuso de rosca direita, porquequeremos ser consistentes com nosso sistema de coordenadas representado na Figura 1.1, que édextrógiro. Um sistema de coordenadas dextrógiro é aquele em que a regra da mão direita é satis-feita. Isto é, a x   a y  a z é obedecida. Em um sistema levógiro, seguimos a regra da mão esquerda,ou a regra do parafuso de rosca esquerda, e a x   a y   a z é satisfeita. Ao longo deste livro, consi-deraremos sistemas de coordenadas dextrógiros.

    Da mesma forma que a multiplicação de dois vetores nos dá um resultado escalar ou vetorial,a multiplicação de três vetores, A, B e C, nos dá um resultado escalar ou vetorial dependendo decomo os vetores são multiplicados. Dessa forma, temos um produto escalar ou vetorial triplo.

    C. Produto escalar triplo

    Dados três vetores, A, B e C, definimos o produto escalar triplo como

     A  (B  C)  B  (C  A)  C  (A  B)

     (1.28)

    obtido em permutação cíclica. Se A   ( A x ,  A y,  A z), B   ( B x ,  B y,  B z) e C   (C  x , C  y, C  z), entãoA  (B  C) é o volume de um paralelepípedo tendo A, B e C como arestas. Esse volume é facil-mente obtido encontrando o determinante de uma matriz 3  3, formada por A, B e C, isto é:

     (1.29)

    FIGURA 1.9 Produto cruzado utilizando permutação cíclica: (a ) no sentido horário, para resultadospositivos; (b) no sentido anti-horário, para resultados negativos.

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    14  Parte 1 Análise Vetorial

    Já que o resultado dessa multiplicação vetorial é um escalar, a equação (1.28) ou (1.29) é denomi-nada de produto escalar triplo.

    D. Produto vetorial triplo

    Para os vetores A, B e C, definimos produto vetorial triplo como

     A  (B  C)  B(A  C)  C(A  B)

     (1.30)

    obtido usando a regra “bac  cab”. Deve ser observado que:

      (A  B)C  A(B  C) (1.31)

    mas

      (A  B)C  C(A  B) (1.32)

    1.8 COMPONENTES DE UM VETOR 

    Uma aplicação direta do produto vetorial é seu uso para determinar a projeção (ou a componente)de um vetor em uma dada direção. A projeção pode ser escalar ou vetorial. Dado um vetor A, defi-nimos a componente escalar A B de A ao longo do vetor B como [veja Figura 1.10(a)]

     A B  A cos  AB  |A| |a B| cos  ABou

      A B  A  a B  

    (1.33)

    A componente vetorial A B de A ao longo de B é simplesmente a componente escalar na equação(1.33) multiplicada por um vetor unitário ao longo de B, isto é:

     A B   A Ba B  (Aa B)a B

     (1.34)

    Tanto a componente escalar quanto a vetorial de A estão representadas na Figura 1.10. Observe, naFigura 1.10(b), que o vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais: uma compo-nente A B paralela a B e a outra (A  A B) perpendicular a B. De fato, nossa representação cartesianade um vetor consiste, essencialmente, em decompô-lo em suas três componentes mutuamente orto-gonais, como mostrado na Figura 1.1(b).

    Consideramos até aqui a soma, a subtração e a multiplicação de vetores. Entretanto, a divisãode vetores A / B não foi considerada porque é indefinida, exceto quando os vetores são paralelos

    entre si, tal que A  k B, onde k  é uma constante. A diferenciação e a integração de vetores serátratada no Capítulo 3.

    FIGURA 1.10 Componentes de A ao longo de B: (a ) componente escalar   AB; (b) componente vetorial A

    B.

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 15

    Dados os vetores A  3a x   4a y  a z e B  2a y  5a z, determine o ângulo entre A e B.

    Solução:

    O ângulo  AB pode ser determinado usando ou o produto ponto ou o produto cruzado.

    Alternativamente:

    EXERCÍCIO PRÁTICO 1.4

    Se A  a x  3a z e B  5a x  2a y  6a z, determine  AB.

    Resposta: 120,6°.

    Três campos vetoriais são dados por:

    P  2a x   a zQ  2a x   a y  2a zR  2a x   3a y  a z

    Determine: (a) (P  Q)  (P  Q); (b) Q  R  P; (c) P  Q  R; (d) sen QR; (e) P  (Q  R);  (f) um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente; (g) a componente de P ao longo de Q.

    EXEMPLO 1.4

    EXEMPLO 1.5

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    16  Parte 1 Análise Vetorial

    Solução:

     (a) (P  Q)  (P  Q)  P  (P  Q)  Q  (P  Q) P  P  P  Q  Q  P  Q  Q 0  Q  P  Q  P  0 2Q  P

     2(1  0) a x   2(4  2) a y  2(0  2) a z 2a x   12a y  4a z

     (b) O único modo em que Q  R  P faz sentido é:

    Alternativamente:

    Para encontrar o determinante da matriz 3  3, repetimos as duas primeiras linhas e multiplicamoscruzadamente. Quando a multiplicação cruzada for da direita para a esquerda, o resultado deve sermultiplicado por 1, como mostrado abaixo. Essa técnica de encontrar o determinante se aplicasomente em matrizes 3  3. Dessa maneira,

    como obtido anteriormente.

     (c) Da equação (1.28)

    P  (Q  R)  Q  (R  P)  14

    ou

    P  (Q  R)  (2, 0, 1)  (5, 2, 4) 10  0  4 14

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 17

     (d)

    (e) P  (Q  R)  (2, 0, 1)  (5, 2, 4) (2, 3, 4)

    Alternativamente, usando a regra “bac  cab”:

    P  (Q  R)  Q(P  R)  R(P  Q) (2, 1, 2)(4  0 1)  (2, 3, 1)(4  0  2) (2, 3, 4)

      (f) Um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente, é dado por:

    Observe que |a|  1, a  Q  0  a  R. Qualquer uma dessas relações pode ser usada para conferiro valor de a.

     (g) A componente de P ao longo de Q é:

    EXERCÍCIO PRÁTICO 1.5

    Sejam E  3a y  4a z e F  4a x  10a y  5a z. Determine:

     (a) a componente de E ao longo de F;

      (b) o vetor unitário ortogonal a E e F, simultaneamente.

    Resposta: (a) (0,2837, 0,7092, 0,3546), (b)  (0,9398, 0,2734, 0,205).

    Obtenha a fórmula dos cossenos,

    a2  b2  c2  2bc cos A

    e a fórmula dos senos,

    usando, respectivamente, o produto ponto e o produto cruzado.

    EXEMPLO 1.6

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    18  Parte 1 Análise Vetorial

    Solução:

    Considere um triângulo, como mostrado na Figura 1.11. Da figura, observamos que

    a b c 0

    isto é,

    b  c  a

    Portanto,

    a2  a  a  (b  c)  (b  c) b  b  c  c  2b  c

    a2  b2  c2  2bc cos A

    onde A é o ângulo entre b e c.A área de um triângulo é metade do produto entre sua altura e sua base. Portanto:

    ab sen C  bc sen A  ca sen B

    Dividindo por abc, obtém-se:

    EXERCÍCIO PRÁTICO 1.6

    Demonstre que os vetores a  (4, 0, 1), b  (1, 3, 4) e c  (5, 3, 3) formam os ladosde um triângulo. Esse é um triângulo retângulo? Calcule a área desse triângulo.

    Resposta: Sim; 10,5.

    Demonstre que os pontos P1(5, 2, 4), P2(1, 1, 2) e P3(3, 0, 8) estão todos sobre uma linha reta.Determine qual a menor distância entre essa linha e o ponto P4(3, 1, 0).

    Solução:

    O vetor distância rP1P2 é dado por:

    rP1P2  rP2  rP1  (1, 1, 2)  (5, 2, 4) (4, 1, 6)

    EXEMPLO 1.7

    FIGURA 1.11 Referente ao Exemplo 1.6.

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    19/23

    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 19

    De maneira similar,

    rP1P3  rP3  rP1  (3, 0, 8)  (5, 2, 4) (8, 2, 12)

    rP1P4  rP4  rP1  (3, 1, 0)  (5, 2, 4)

     (2, 3, 4)

     (0, 0, 0)

    mostrando que o ângulo entre rP1P2 e rP1P3 é zero (sen   0). Isso implica que P1, P2 e P3 estão sobrea mesma linha reta.

    Alternativamente, a equação vetorial da linha reta é facilmente determinada a partir da Figura1.12(a). Para qualquer ponto P sobre a linha que une P1 e P2,

    rP1P  rP1P2

    onde  é uma constante. Portanto, o vetor posição rP do ponto P deve satisfazer

    rP  rP1  (rP2  rP1)

    isto é,

    rP  rP1  (rP2  rP1) (5, 2, 4)  (4, 1, 6)

    rP  (5  4, 2  , 4  6)

    Essa é a equação vetorial da linha reta que une P1 e P2. Se P3 está sobre essa linha, o vetor posiçãode P3 deve satisfazer essa equação; r3 satisfaz essa equação quando   2.

    A menor distância entre a linha e o ponto P4 (3, 1, 0) é a distância perpendicular do ponto até

    a linha. Da Figura 1.12(b) é evidente que:

    Qualquer ponto sobre a linha pode ser usado como ponto de referência. Dessa forma, em vez deusar P1 como ponto de referência, poderíamos usar P3 tal que:

    d  |rP3P4| sen '  |rP3P4  aP3P1|

    FIGURA 1.12 Referente aoExemplo 1.7.

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    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 21

      4. A projeção escalar (ou componente) de um vetor A sobre B é  A B  A  a B, enquanto que aprojeção vetorial de A sobre B é A B   A Ba B.

      1.1  Identifique qual das seguintes grandezas não é um vetor: (a) força, (b) momentum, (c) ace-leração, (d) trabalho, (e) peso.

      1.2  Qual das seguintes situações não representa um campo escalar?

      (a) Deslocamento de um mosquito no espaço.

      (b) A luminosidade em uma sala de estar.

      (c) A distribuição de temperatura em uma sala de aula.

      (d) A pressão atmosférica em uma dada região.

      (e) A umidade do ar em uma cidade.

      1.3 Os sistemas de coordenadas retangulares, representados na Figura 1.13, são dextrógiros(seguem a “regra da mão direita”). Quais não seguem essa regra?

      1.4  Qual das expressões abaixo não está correta?

     (a) A  A  |A|2

     (b) A  B  B  A  0

     (c) A  B  C  B  C  A

     (d) a x   a y  a z (e) ak   a x   a y onde ak  é um vetor unitário.

      1.5  Qual das seguintes identidades não é válida?

     (a) a(b  c)  ab  bc

     (b) a  (b  c)  a  b  a  c

     (c) a  b  b  a

     (d) c  (a  b)  b  (a  c)

     (e) a A  a B  cos  AB

      1.6  Quais das seguintes afirmações não têm significado?

     (a) A  B  2A  0

     (b) A  B  5  2A

     (c) A(A  B)  2  0

     (d) A  A  B  B  0

      1.7  Sejam F  2a x   6a y  10a z e G  a x   G ya y  5a z. Se F e G tem o mesmo vetor unitário,G y é:

      (a) 6

     (b) 3

      (c) 0

     (d) 6

    QUESTÕES

    DE REVISÃO

    FIGURA 1.13 Referente à questão de revisão 1.3.

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    22  Parte 1 Análise Vetorial

      1.8 Dado que A  a x   a y  a z e B  a x   a y  a z, se A e B são perpendiculares entre si,  é igual a:

     (a) 2

     (b) 1/2

      (c) 0

     (d) 1

      (e) 2

      1.9 A componente de 6a x   2a y  3a z ao longo de 3a x   4a y é:

     (a) 12a x   9a y  3a z (b) 30a x   40a y  (c) 10/7

     (d) 2

      (e) 10

      1.10 Dado A   6a x   3a y  2a z, a projeção de A ao longo de a y é igual a:

     (a) 12

     (b) 4

      (c) 3

     (d) 7

      (e) 12

     Respostas: 1.1d; 1.2a; 1.3b,e; 1.4b; 1.5a; 1.6a,b,c; 1.7b; 1.8b; 1.9d; 1.10c.

      1.1  Determine o vetor unitário ao longo da direção OP, se O for a origem e P o ponto (4,5,1).

      1.2 Dados os vetores A  2a x   5a z e B  a x   3a y  4a z, determine |A  B|  A  B.

      1.3  Os vetores posição dos pontos M  e N  são a x   4a y  2a z e 3a x   5a y  a z, respectivamente.Determine o vetor distância orientado de M  a N .

      1.4  Considere A  a x   a z, B  a x   a y  a z, C  a y  2a z e determine:

      (a) A  (B  C)

      (b) (A  B)  C

      (c) A  (B  C)

      (d) (A  B)  C  1.5 Se os vetores posição dos pontos T  e S  são 3a x   2a y  a z e 4a x   6a y  2a z, respectiva-

    mente, determine: (a) as coordenadas de T  e S ; (b) o vetor distância de T  até S ; (c) a distân-cia entre T  e S .

      1.6  Considere A  a x   3a y  2a z e B  4a x   a y  8a z e determine:

      (a) os valores  e  se A e B forem paralelos

      (b) a relação entre  e  se B for perpendicular a A

      1.7 (a) Demonstre que

    (A  B)2  |A  B|2  ( AB)2

      (b) Demonstre que

      1.8  Se A  4a x   6a y  a z e B  2a x   5a z, determine:

      (a) A * B  2|B|2

      (b) O vetor unitário perpendicular a ambos os vetores A e B.

      1.9  Determine o produto ponto, o produto cruzado e o ângulo entre os vetores:

    P  2a x   6a y  5a z e Q  3a y  a z

    PROBLEMAS

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    23/23

    Capítulo 1 Álgebra Vetorial 23

      1.10  Simplifique as seguintes expressões:

      (a) A  (A  B)

      (b) A  [A  (A  B)]

      1.11  Demonstre que os sinais de ponto e de vezes podem ser intercambiados no produto escalar

    triplo, isto é, A  (B  C)  (A  B)  C.  1.12 Os pontos P, Q e R estão localizados em (1, 4, 8), (2, 1, 3) e (1, 2, 3), respectivamen-

    te. Determine: (a) a distância entre P e Q; (b) o vetor distância de P até R; (c) o ângulo entreQP e QR; (d) a área do triângulo PQR; (e) o perímetro do triângulo PQR.

      1.13 Dois pontos P(2, 4, 1) e Q(12, 16, 9) formam um segmento de linha reta. Calcule o temponecessário para que um sinal de sonar, saindo da origem e viajando a 300m/s, atinja o pontomédio de PQ.

      *1.14 (a) Prove que P  cos 1a x   sen 1a y e Q  cos 2a x   sen 2a y são vetores unitários noplano xy fazendo, respectivamente, ângulos 1 e 2 com o eixo dos x .

      (b) Usando o produto ponto, obtenha a fórmula para cos(2  1). De maneira similar,obtenha a fórmula para cos(2  1).

      (c) Se  é o ângulo entre P e Q, determine ½ |P  Q| em função de .  1.15  Dados os vetores T  2a x   6a y  3a z e S  a x   2a y  a z, determine: (a) a projeção esca-

    lar de T sobre S; (b) o vetor projeção de S sobre T; (c) o menor ângulo entre T e S.

      1.16  Se H  2 xya x   ( x    z)a y   z2a z, determine:

      (a) o vetor unitário paralelo a H em P(1, 3, 2)

      (b) a equação da superfície sobre a qual |H|  10

      1.17  Considere A  2 x a x    ya y   z2a z e B  3 x 

    2a x   6a y  a z. No ponto (1, 2, 4): (a) calculeA  B; (b) determine o ângulo entre A e B; (c) encontre o vetor projeção de A sobre B.

      1.18 Determine a componente escalar, no ponto P(1, 0, 3), do vetor H   ya x    x a z, que estáorientado em direção ao ponto Q(2, 1, 4).

    * Este asterisco indica problemas de dificuldade intermediária.