Cap05 - Teoremas de Rede

DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I

Capítulo 5

Teoremas de Rede


5.1 Circuitos Lineares

Propriedade da Proporcionalidade:

Se x e y são variáveis associadas a um elemento de dois terminais, então

este elemento é dito linear se a multiplicação de x por uma constante K

resulta na multiplicação de y pela mesma constante.

Exemplo de elementos lineares:

onde a é uma constante.

Circuito é linear se ele contém somente fontes de correntes independentes e/ou

elementos lineares.

dt

dxay

axdt

dy

axy

=

=

=


As equações que descrevem um circuito linear são obtidas pela aplicação das

leis de Kirchhoff para tensões e correntes.

Estas equações são, por exemplo, da forma:

onde f é a soma algébrica das tensões das fontes independentes no laço e

ai = 0, -1 ou +1.

fvavava nn =+++ L2211


Exemplo:

+–

2 Ω

vg1

5 Ω

+ v1 –

i1

+ –

v3

+– vg2

+v2–

i2

3i6

21321 gg vvvvv −=−+Lei de Kirchhoff:

Então, a1 = +1, a2 = +1, a3 = −1 e f = vg1 – vg2.

Note que:

O mesmo vale para a equação de correntes.

fvavava =++ 332211

KfKvaKvaKva =++ 332211


Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade

+-

2 Ω

vg1 4 Ω ig2

i

Lei de Kirchhoff de tensões: ( ) 12 42 gg viii =+−3621 gg iv

i +=

8636

4318

i [A]ig2 [A]vg1 [V]


Exemplo: Propriedade de Proporcionalidade. Achar a v1.

+-

i5 i3

i4

vg = 45 V 5 Ω

i2 i1

1 Ω 1/2 Ω+v3–

+v1–

1 Ω 3 Ω

+ v4 – + v2 –

Chute: v1 = 1 [V], então i1 = 2 [A]

[ ]A 3

21

1

1331 =⇒

+= iii

[ ]A 123 2321 =−=⇒=+ iiii

[ ]V 933332 =⋅== iv

[ ]V 1091213 =+=+= vvv

[ ]A 25

1053

4 === vi

[ ]A 532 5345 =+=⇒+= iiii

[ ]V 5511 54 =⋅=⋅= iv

[ ]V 1510534 =+=+= vvvg

Então v1 tem que ser 3 vezes maior, ou seja, v1 = 3 [V]


Exemplo:

+-

2 Ω

vg R (não linear) v = i 2= i⋅i

i+v–

Calculo da corrente que sai do terminal positivo da fonte para:

a) vg = 8 [V]

b) vg = 16 [V]

( ) 222 iiviiiRv gsg +=⇒+==

[ ]A 208228 22 =⇒=−+⇒+= iiiii

[ ]A 1231,301622 =⇒=−+ iiivg dobrou mas i não!

Proporcionalidade não se aplica!

R = i

Rs = i + 2


5.2 Superposição

Circuitos lineares com mais de 1 entrada.

Propriedade de linearidade torna possível obter a resposta nestes circuitos pela

análise de apenas uma entrada.

Exemplo:

+-

2 Ω

vg1 4 Ω ig2

i

( ) 12 42 gg viii =+−3621 gg iv

i +=Lei de Kirchhoff de tensões:


( ) 12 42 gg viii =+−

Se i1 é a componente de i devido apenas a vg1, isto é, ig2 = 0, então:

( ) 111 402 gvii =+−

Se i2 é a componente de i devido apenas a ig2, isto é, vg1 = 0, então:

( ) 12 42 gg viii =+− ( ) 042 222 =+− iii g

( ) 111 402 gvii =+−

( ) 042 222 =+− iii g

+

( )[ ] ( ) 121221 42 gg viiiii =++−+

( ) 12 42 gg viii =+−21 iii +=

611gv

i =

322gii =

3621 gg iv

i +=


Processo alternativo para obtenção de i:

+-

2 Ω

vg1 4 Ω

i1

2 Ω

4 Ω ig2

i2

61

1gv

i =

3422 2

22g

gi

ii =+

=

3621 gg iv

i +=


Superposição:

Em qualquer circuito resistivo linear contendo duas ou mais fontes

independentes, qualquer tensão (ou corrente) do circuito pode ser calculada

como a soma algébrica de todas as tensões (ou correntes) individuais causadas

pelas atuação isolada de cada fonte independente, isto é, com todas as outras

fontes independentes mortas.

Obs.: As equações envolvidas no circuito são de primeiro grau (lineares).


Exemplo: Circuito com três fontes independentes

Resolução tradicional:

[ ]

[ ]

[ ]V 18

A 2

V 6

3

2

1

=

=

=

g

g

g

v

i

v

3 Ω

+-

2 Ω

18 V6 Ω 2 A

+ v -

+ -6 V

ab

c

dnó de referência

13

3

3

: nó no tensão

: nó no tensão

: nó no tensão

gg

g

g

vvv

vv

v

+−

−

a

c

bEquação nodal (nó genérico):

0326 2

113 =−−+−

++−

gggg i

vvvvvv

[ ]V 5234 =−+= v

231 61

32

ggg ivvv −+=


Resolução por sobreposição:

3 Ω2 Ω

6 Ω

+ v1 -

+ -

6 V

ab

c

d

[ ]V 463

23

31 =⋅

+=v

6 Ω // 2 Ω em série com 3 Ω:

3 Ω2 Ω

6 Ω

+ v1 -

+ -

6 V

ab, d

c

[ ]Ω=+⋅=

23

6262

eqR


[ ]Ω=⇒=++= 1131

21

611

eqeq

RR

3 Ω2 Ω

6 Ω 2 A

+ v2 -a

bc

d3 resistores em paralelo:

[ ]V 22122 −=⋅−=⋅−= eqRv

b d

3 Ω2 Ω6 Ω 2 A-v2+

a c


[ ]Ω=+⋅=

56

3232

eqR

3 Ω

+-

2 Ω

18 V6 Ω

+ v3 -a

bc

d

3 Ω // 2 Ω em série com 6 Ω:

3 Ω

+-

2 Ω

18 V6 Ω

+ v3 -

a, c b

d

[ ]V 3186

56

56

3 =⋅+

=v

[ ]V 5324321 =+−=++= vvvv


Exemplo: Circuito com uma fonte dependente. Potência entregue a R3.

– +

1 Ω

12 V

3 Ω

i

+

–

+v–

2i V

6 A

A potência não é uma combinação linear de tensões ou correntes.

3

2vp =

Superposição não pode ser diretamente aplicada para a potência.

Mas superposição pode ser aplicada para a tensão.


– +

1 Ω

12 V

3 Ω

i1

+

–

+v1–

2i1 V

11 3 iv ⋅=

01212 111 =+++− iiv

[ ]A 26

12012312 1111 ==⇒=+++− iiii

[ ]V 63 11 =⋅= iv


1 Ω3 Ω

i2

+

–

+v2

–

2i2 V

6 A

1833

6 222

2 +=⇒=+ ivv

i

22222 312 ivivi −=⇒⋅−=+[ ]V 918

33 2

22 =⇒+−= v

vv

[ ]V 159621 =+=+= vvv [ ]W 753

153

22=== v

p


5.3 Teoremas de Thévenin e de Norton

O uso destes teoremas permite a troca de um circuito inteiro, visto de seus

terminais, por um circuito equivalente, composto de uma fonte e um resistor.

Circuito A: fontes independentes e/ou dependentes, resistores.

Circuito B: pode também ter elementos não lineares.

Restrição adicional: nenhuma fonte dependente do circuito A pode ser

controlada por uma tensão ou corrente do circuito B e vice-versa.

Circuito Linear A Circuito B

a

b

i

+v-


Pode-se substituir o circuito A por um circuito equivalente:

• uma fonte e um resistor,

• relações de tensão e corrente nos terminais a-b sejam as mesmas

Em relação ao circuito A , pode-se trocar o circuito B por uma fonte de tensão:

Aplicando o princípio da superposição ao circuito linear obtido, temos:

Circuito Linear A

a

b

i

+v-

v+-

sciii += 1


i1 = corrente produzida pela fonte de tensão v com o circuito A morto (todas as

fontes independentes foram mortas).

Lei de Ohm:

Circuito A morto

a

b

i1

v+-

Rth = resistência equivalente de A

thR

vi −=1


isc = corrente de curto circuito produzida por alguma fonte no circuito A com a

fonte v morta (curto-circuitada).

Circuito A

a

b

isc

scth

sc iR

viii +−=+= 1Descreve o circuito A , no caso geral:

Suponha que os terminais a-b estejam abertos, então

scthocscth

oc iRviR

v =⇒+−=0

v = voc tensão de circuito aberto

thsc R

vii +=

th

ocsc R

vi =

octhth

oc

thviRv

R

v

R

vi +⋅−=⇒=+

Circuito A

a

b

+voc_

i = 0


octh viRv +⋅−=

Circuito equivalente de Thévenin é descrito pela equação:

sendo a tensão v e corrente i orientadas como na figura:

Note que v é a soma de dois termos representando 2 elementos em série

cujas tensões somadas dão o valor v.

Circuito Linear A Circuito B

a

b

i

+v-


Circuito equivalente de Thévenin do circuito A:

+-

Rth

voc

i

+

v

−−−−

a

b

octh viRv +⋅−=


Circuito equivalente de Norton do circuito A:

Rthisc

+

v

−−−−

ia

b

Circuito equivalente de Norton é o dual do Thévenin.

th

oc

thocth R

v

R

viviRv +−=⇒+⋅−=

th

ocsc R

vi =

scth

iR

vi +−=


Exemplo: Circuito de Thévenin e de Norton

6 V

6 Ω

i

3 Ω R

+

v

–

2 Ω- +

2 A

a

b

Obter i em termos da carga R.


Circuito morto e obtenção Rth:

6 Ω 3 Ω

2 Ω a

b Rth

Ω=+⋅+= 4

6363

2thR


Obtenção voc:

6 V

6 Ω 3 Ω

+

voc

–

2 Ω- +

2 A

a

b

vocvoc −−−− 6

236

6 =+− ococ vv

[ ]V 6=ocv

th

ocRR

vi

+=

+-

Rth

voc

i

+

v

−−−−

a

b

R


+-

4 Ω

voc = 6 V

+

v

-

a

b

i

R

Circuito equivalente de Thévenin:

[ ]A 4

6+

=R

i


Circuito equivalente de Norton:

4 Ω

i

R1,5 A

a

b

Ω= 4thR

[ ]A 5,146

46 ==⇒=⇒= scscscthoc iiiRv

[ ]A 4

65,1

44

+=⋅

+=

RRi


Exemplo: Circuito equivalente de Norton.

Circuito morto e obtenção Rth:

2i1 V

4 Ω 6 Ω

3 Ω

10 A

a

b

- +i1

2i1 V

4 Ω 6 Ω

3 Ω a

b

- +i1

i

+

v

−−−−Rth


sc

octh i

vR =

2i1 V

4 Ω 6 Ω

3 Ω

10 A

a

b

- +i1 isc

i2

sciii −−= 12 100624 112 =+−− iii

11 2036 iiii scsc =⇒=+−

[ ]A 5=sci

1 2

( ) 062104 111 =+−−−− iiii sc


2i1 V

4 Ω 6 Ω

3 Ω

10 A

a

b

- +i1 +

voc

−−−−

16 ivoc ⋅= ( ) 062104 111 =+−−− iii

[ ]A 5840

062440 1111 ==⇒=+−+− iiii

[ ]V 3056 =⋅=ocv

[ ]Ω 6530 ===

sc

octh i

vR

[ ]A 5=sci


6 Ω5 A

+

v

-

ia

b



Exemplo: Circuito equivalente de Thévenin

2i1 V

4 Ω 6 Ω

a

b

- +i1

Por inspeção: voc = 0 e isc = 0 (não há fontes independentes).

Não podemos achar Rth através de voc = Rth isc

Solução: Excitar o circuito com uma fonte nos terminais a e b e calcular Rth.


1v

Rth =

2i1 V

4 Ω 6 Ω

a

b

- +i1

1 A

+

v

-

Rth

vv – 2i1

5612

164

2 11 iv

viv +=⇒=+−

16iv =[ ]V 3=v [ ]Ω= 3thR

3 Ω Circuito equivalente de Thévenin

chute


5.4 Fontes Práticas

Na prática uma fonte de tensão fornece uma tensão V somente quando seus

terminais estão sem carga (abertos).

Quando uma corrente flui através de seus terminais a tensão fornecida é menor

que V.

Modelo:

+-

Rg

vg

+

v

−−−−

i

RL

Fonte de tensão prática

iRvv gg −=

Circuito aberto (i = 0):

Curto circuito (v = 0):

gvv =

g

g

R

vi =


Fixados os valores de vg e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui

nos terminais.

Assim, corrente de carga é

E a tensão de saída é

Lg

g

RR

vi

+=

Lg

gLL RR

vRiRv

+=⋅=

vg

v

RL

fonte ideal

fonte prática


Pode-se substituir a fonte de tensão prática por uma fonte de corrente prática,

reescrevendo a equação:

Fazendo

Obtemos

gg

ggg R

v

R

viiRvv −=⇒−=

g

gg R

vi =

gg R

vii −=

Rg

i

RLig

a

b

+

v

−−−−

Fonte de corrente prática

gLg

g iRR

Ri

+=

iRv L ⋅=


ig

i

RL

fonte ideal

fonte prática

Fixados os valores de ig e Rg, a carga RL determina o valor da corrente que flui

nos terminais.


Exemplo: Encontrar a corrente i.

2 Ω+-

i

32 V 6 Ω 6 Ω

3 Ω 4 Ω 1 Ω

4 A

Resolução pelo método de troca sucessiva de fontes:

2 Ω

+-

i

32/3 A 6 Ω 6 Ω3 Ω

4 Ω 1 Ω

8 V


+-

i

32/3 A 2 Ω 6 Ω

4 Ω 3 Ω

8 V

+-

i

64/3 V 6 Ω

4 Ω

3 Ω 8/3 A

2 Ω


+-

i

64/3 V 2 Ω

4 Ω

8/3 A

2 Ω

+-

i

64/3 V

2 Ω4 Ω

16/3 V

2 Ω

+-

[ ]A 2242

316

364

=++

−=i


+-

i

64/3 V

2 Ω4 Ω

16/3 V

2 Ω

+-

Exemplo: Combinação de fontes em série.

+-

16 V

8 Ωi

[ ]A 28

16 ==i


5.5 Transferência Máxima e Potência

Potência pL entregue ao resistor RL:

Queremos maximizar pL!!!

+-

Rg

vg

+

v

-

i

RL

Fonte de tensão prática

LLg

gLL R

RR

vRip

22

+=⋅=


Tensão vg e Rg fixas, então,

( ) ( )( )

( )( ) 0

2

2

2

4

22

2

=+

−=

+

+−+=

+=

Lg

gLg

Lg

LLgLggL

Lg

g

LL

L

RR

vRR

RR

RRRRRvR

RR

v

dR

d

dR

dp

gL RR =

08 3

2

2

2<−=

= g

g

RRL

L

R

v

dR

pd

gL

Portanto, a condição é de máximo.


Teorema da Máxima Transferência de Potência:

• a máxima potência é entregue por uma fonte prática quando a carga RL

possui valor igual a resistência interna da fonte.

Potência máxima que uma fonte de tensão prática pode entregar a uma carga é

dada por:

Potência máxima que uma fonte de corrente prática pode entregar a uma carga

é dada por:

g

gg

gg

gL

Lg

gL R

vR

RR

vR

RR

vp

4

222

max =

+=

+=

4

2

maxgg

LiR

p =


Pode-se estender o Teorema da Máxima Transferência de Potência para um

circuito linear:

máxima potência é obtida em um dado par de terminais quando estes

terminais possuir carga igual à resistência de Thévenin do circuito.


Exemplo: Potência máxima do circuito abaixo conectando nos terminais a-b

uma carga com a resistência de Thévenin:

2i1 V

4 Ω 6 Ω

3 Ω

10 A

a

b

- +i1

[ ]Ω== 6thL RR

[ ]A 5=sci



6 Ω RL = 6 Ω5 A

a

b

Potência fornecida para a carga:

( ) ( )[ ]W 5,37

66

6900

6

90022

=+

⋅=+

=L

L

R

Rp

Qualquer outro valor de RL fornece potência menor.

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