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CAPÍTULO Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Terceira Edição RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Análise de Tensões no Estado Plano Resistência dos Materiais 6 - 2 Capítulo 6 – Análise de Tensões no Estado Plano 6.1 Introdução 6.2 Estado Plano de Tensões 6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões 6.3 Tensões Principais 6.4 Tensões Máxima de Cisalhamento 6.5 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões 6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

Cap06 - análise de tensões no estado plano 2015 [Modo de ...elt2014.com.br/materiais/1-2015/EME311-5/Slides P2/Cap06 - analise... · • Dado um estado de tensões em um ponto P,

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CAPÍTULO

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

Terceira Edição

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Análise de Tensões no Estado Plano

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 2

Capítulo 6 – Análise de Tensões no Estado Plano

6.1 – Introdução

6.2 – Estado Plano de Tensões

6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões

6.3 – Tensões Principais

6.4 – Tensões Máxima de Cisalhamento

6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 3

6.1 – Introdução

• O estado de tensões em um ponto pode ser representado por 6 componentes,

, , tensão normal

, , tensão de cisalhamento

(Note que: , , )

x y z

xy yz zx

xy yx yz zy zx xz

• O mesmo estado de tensão é representado por um conjunto diferente de componentes, se os eixos são rotacionados.

Nosso objetivo aqui é verificar as transformações de tensão no elemento, a partir

de uma rotação nos eixos coordenados e em seguida, fazer a mesma análise para a

transformação das deformações.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 4

6.2 – Estado Plano de Tensões

Estado Plano de Tensões – situação onde duas das faces do cubo elementar estão isentas de tensões.

• Consideremos o eixo z como perpendicular a estas faces, temos:

• As únicas componentes que restam são:

xy, ,x y

O estado plano de tensões ocorre, por exemplo, na superfície livre de um elemento estrutural ou elemento de máquina, i. e., em qualquer ponto da superfície não sujeita a uma força externa.

0z zx zy

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 5

6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões

• Dado um estado de tensões em um ponto P, veremos como determinar as componentes σx’, σy’, τx’ y’, associadas ao elemento, depois deste ter sido girado de um ângulo, em torno do eixo z.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 6

6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões

0 cos cos cos sen

sen sen sen cos

0 cos sen cos cos

sen cos sen sen

x x x xy

y xy

y x y x xy

y xy

F A A A

A A

F A A A

A A

• Seja o equilíbrio de um elemento prismático com as faces perpendiculares aos eixos x, y ex’ .

• As equações podem ser reescritas para produzir

cos2 sen 22 2

cos2 sen 22 2

sen 2 cos22

x y x yx xy

x y x yy xy

x yx y xy

I

II

III

2 2

2

2

lembrar que:

sen 2 2sen cos

cos2 cos sen

1 cos2cos

21 cos2

sen2

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 7

6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões

• Podemos encontrar σy’, substituindo na exp. para σx’ o ângulo por θ + 90o.

• Como: cos (2θ + 180o)= -cos2θ e sen(2θ+180o)= -sen2θ, encontramos:

A soma das tensões normais em um elemento em estado plano de tensões independe da orientação deste elemento.

Tratando as tensões de forma algébrica, a tensão de tração é positiva e a tensão de compressão é negativa.

Para a tensão de cisalhamento, se convencionou que serão positivas as tensões em cujas faces do elemento se está estudando e que tendem a girá-lo no sentido anti-horário.

cos2 sen 22 2

x y x yy xy II

• Somando membro a membro as expressões (I) e (II), encontramos:

x y x y

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 8

6.3 – Tensões Principais

• Os valores máximos e mínimos de σx’ ocorrerão para valores de θ nos quais:

• As faces do cubo elementar obtido pela rotação do ângulo θp definem planos chamados planos principais no ponto P e as tensões normais nesses planos são conhecidas como Tensões Principais e são dadas pela seguinte expressão

2

0 2sen 2 2cos2 0 tg22

x y xyx xxy p

x y

d d

d d

A equação define dois valores de θp defasados de 90º.

2

2max,min 2 2

x y x yxy

• Substituindo θ = θp na expressão (III), vemos que não há tensão de cisalhamento nos planos principais.

0x y

Resistên

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os M

ateriais

6 - 9

6.4 – Tensões Máxima de Cisalhamento

• A tesão de cisalhamento máxima se dá onde:

0 cos2 2 sen 2 0 tg 22

x y x yxy x xy c

xy

d d

d d

A equação define dois valores de θc defasados de 90º.

• Substituindo θ = θc nas expressões (I), (II) e (III), temos

2

2max e

2 2x y x y

xy med

Observa-se que tg2θc é a inversa negativa de tg2θp ;

Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º;

Logo, θc e θp estão afastados de 45º;

Isto significa que os planos onde ocorrem as tensões de cisalhamento máximas estão a 45º dos planos principais.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 10

Exemplo 6.1

Para o estado plano de tensões mostrado, determine:

(a) Os planos principais,

(b) As tensões principais,

(c) A tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal correspon-dente nestes planos.

Resistên

ciad

os M

ateriais

Exemplo 6.1 – Solução 1

SOLUÇÃO 01:

(a) Determine os planos principais:

2 2 40tan 2 1,333

50 10

2 53,1 e 233,1

xyp

x y

p

26,6 e 116,6p

(b) Determine as tensões principais:

max

min

70MPa

30MPax

y

50 MPa 40 MPa

10 MPa

x xy

x

6 - 11

50 10 50 10cos 2.26,6 40sen 2.26,6

2 250 10 50 10

cos 2.26,6 40sen 2.26,62 2

x

y

50 10sen 2.26,6 40cos 2.26,6 0 OK!

2x y

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 12

Exemplo 6.1 – Solução 1

50 10

2 2x y

med

• A correspondente tensão normal nestes planos é:

MPa20

(c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima e o valor desta tensão

MPa50max

50 10tan 2 0,75

2 2 40x y

cxy

50 10sen 2 18,4 40cos2 18,4

2x y

50 MPa 40 MPa

10 MPa

x xy

x

18, 4c

Resistên

ciad

os M

ateriais

Exemplo 6.1 – Solução 2

(b) Determine as tensões principais:

22

22

minmax,

403020

22

xy

yxyx

MPa30

MPa70

min

max

6 - 13

50 MPa 40 MPa

10 MPa

x xy

x

SOLUÇÃO 02:

(a) Determine os planos principais:

2 2 40tan 2 1,333

50 10

2 53,1 e 233,1

xyp

x y

p

26,6 e 116,6p

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 14

Exemplo 6.1 – Solução 2

2

2 22max 30 40

2x y

xy

MPa50max

45c p

18.4 , 71.6c

50 MPa 40 MPa

10 MPa

x xy

x

50 10

2 2x y

med

MPa20

(c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima e o valor desta tensão

• A correspondente tensão normal nestes planos é:

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 15

Exemplo 6.2

Uma força horizontal P de 670N é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine: (a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eixos x e y; (b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 16

SOLUÇÃO:

a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eixos x e y.

1. Determinar a força em notação vetorial;2. Encontrar o sistema equivalente na origem

C;3. Determinar os esforços internos na seção

transversal;4. Encontrar as propriedades geométricas

da seção transversal;5. Encontrar as tensões normal e de

cisalhamento no ponto;6. Desenhar o elemento plano do estado de

tensões no ponto.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 17

SOLUÇÃO:

• Esforços internos na seção transversal;

• Elemento plano do estado de tensões no ponto.

ˆ670 N

ˆ ˆ167,5 301,5 N.m

R

C

F k

M i j

Vz

x zy

x z

x S z Sxy

C z x

M MPz x

A I I

V M V MT

J I t I t

Resistên

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os M

ateriais

6 - 18

SOLUÇÃO:

b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H.

2tan 2 xy

p px y

2

2max,min

ou

2 2x y x y

xy

cos2 sen 22 2

cos2 sen 22 2

x y x yx xy

x y x yy xy

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 19

6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

• As equações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equação de um círculo, chamado de círculo de Mohr para as tensões.

2 2 2

2

2

sendo 2

e2

x med x y

x ymed

x yxy

R

R

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 20

6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

Passos para a construção do círculo de Mohr:1. Retire um ponto do elemento que se deseja estudar, no qual as tensões

normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto dessas tensões;

2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(σx;-τxy) e Y(σy;τxy)

e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σmed;0). Com centro em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E.

3. Os pontos A de coordenadas (σmax;0) e B (σmin;0) representam as tensões principais. O ângulo CAX é o ângulo 2θp.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 21

6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

• Após o círculo ser desenhado, os demais valores são encontrados geometricamente ou calculados.

2

2

2 2x y x y

med xyOC CX R

• As tensões principais são obtidas em A e B.

max

min

max

med

med

OA OC CX R

OB OC CX R

CD R

A direção de rotação de Ox para Oa é a mesma que de CX para CA.

• Os planos principais são dados por2

tan 2 xyp

x y

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 22

Exemplo 6.3

Para o estado plano de tensões mostrado,

(a) Construa o círculo de Mohr;

(b) Determine as tensões principais;

(c) Determine a tensão de cisalhamento máxima e a correspondente tensão normal.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 23

SOLUÇÃO:

; 50; 40

; 10; 40

x XY

y XY

X X

Y Y

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 24

6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

Com o círculo de Mohr definido, o estadode tensão para qualquer outra orientação

pode ser encontrado.

• Para um estado de tensão a um ângulo θ em relação aos eixos xy, construa um novo diâmetro X’Y’ com um ângulo 2θ relativo ao diâmetro XY.

• As tensões normal e a tensão de cisalhamento para esta nova orientação, são conseguidas pelas coordenadas de X’Y’.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 25

Exemplo 6.4

Para o estado de tensão mostrado, determine

(a) As tensões e os planos principais;

(b) As componentes de tensão para um elemento girado de 30º no sentido anti-horário.

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 26

2 2

2 2

100 6080 MPa

2 2

20 48 52MPa

x ymed

R CF FX

SOLUÇÃO:

(a) Planos principais e tensões principais:

; 100; 48

; 60; 48

x XY

y XY

X X

Y Y

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 27

2 2

2 2

100 6080 MPa

2 2

20 48 52MPa

x ymed

R CF FX

SOLUÇÃO:

(b) Tensões no elemento a 30o no sentido anti-horário:

; 100; 48

; 60; 48

x XY

y XY

X X

Y Y

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 28

6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões

• Círculo de Mohr para carga axial centrada:

0, xyyx A

P A

Pxyyx 2

• Círculo de Mohr para torção pura:

J

Tcxyyx 0 0 xyyx J

Tc

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 29

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

1

2

tensão tangencial

tensão longitudinal

• Seja um vaso cilíndrico de parede fina que possui comprimento l e diâmetro d, com uma espessura de parede (t) muito pequena em relação a este diâmetro.

• Suponha que neste tubo exista uma pressão interna p. Esta pressão irá atuar no interior do tubo de maneira a fazer com que exista um crescimento em seu diâmetro e um crescimento em seu comprimento.

• Para que estas variações ocorram, é necessário que apareçam tensões na parede do vaso que são as tensões principais do elemento

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 30

Determinação da tensão tangencial

• A figura ao lado mostra uma porção do cilindro de comprimento x

1

1

0 2 2zF t x p r x

pr

t

• A figura ao lado mostra uma porção do cilindro à esquerda de uma seção transversal perpendicular ao eixo x

22

2 1 2

0 2

22

xF rt p r

pr

t

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

Determinação da tensão longitudinal

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 31

Circulo de Mohr

• Tensão de cisalhamento máxima (pontos D e E) no plano do elemento é igual ao raio do círculo:

(no plano) 2

1 =

2 4

pr

t

É obtida quando se gira o elemento inicial de 45o

dentro do plano tangente à superfície.

• Os pontos A e B correspondem a tensão tangencial, σ1, e a tensão longitudinal, σ2, respectivamente.

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 32

• Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45o

com o plano das tensões, sendo seu valor:

max 2 = 2

pr

t

• No entanto, a tensão de cisalhamento máxima na parede do vaso é maior.

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

Circulo de Mohr

Resistên

ciad

os M

ateriais

6 - 33

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

• Seja um vaso de pressão esférico de raio interno r e com parede de espessura t, que contém um fluido à pressão p.

• Pela simetria, as tensões que se exercem nas quatro faces de um pequeno elemento da parede devem ser iguais.

1 2 2

pr

t

Resistên

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ateriais

6 - 34

6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas

• O circulo de Mohr para o plano das tensões se reduz a um ponto.

1 2

(no plano)

constante

= 0

• Tensão de cisalhamento máxima na parede do vaso (fora do plano das tensões):

max 1

1 =

2 4

pr

t

Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45o com o plano das tensões