Cap09 primitivas2

Capítulo 09: Primitivas

Sandra Gaspar Martins02/12/2009

IntroduçãoCapítulo 09: Primitivas pág.2/90

Introdução

ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL


Procurar a primitiva de uma função...

é procurar a função que tem essa derivada...



Procurar a primitiva de uma função... é procurar a função que tem essa derivada...



Por exemplo: uma primitiva de 3x2 é ...

x3.Porque derivando x3 se obtém 3x2...



Por exemplo: uma primitiva de 3x2 é ... x3.Porque derivando x3 se obtém 3x2...



Uma primitiva de 3e3x é ...

e3x .Porque derivando e3x se obtém 3e3x ...



Uma primitiva de 3e3x é ... e3x .Porque derivando e3x se obtém 3e3x ...



...



As primitivas são úteis sempre que conhecemos a derivada de uma funçãoe pretendemos conhecer a função...



por exemplo, quando conhecemos a velocidade e queremos saber a posição...



ou quando conhecemos a aceleração e queremos saber a velocidade...



numa infinidade de outras situações...



Veremos no capítulo seguinte, dos Integrais, como utilizar as primitivaspara calcular áreas, volumes, médias, etc, etc...



Vamos estudar várias técnicas de primitivação:

Primitivas imediatas...

Primitivação por partes...

Primitivas de funções racionais...

Primitivas de potências de senos e cosenos...

Primitivação por substituição...



Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!

Até porque...é impossível!!!!Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.



Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!Até porque...

é impossível!!!!Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.



Mas não vamos aprender a primitivar todas as funções!!!!Até porque...é impossível!!!!

Nem todas as primitivas se conseguem descrever utilizando funções elementares!!!.



Objectivos

No final deste capítulo deve:calcular primitivas imediatas;calcular primitivas por partes;calcular primitivas de potências de senos e cosenos;calcular primitivas de funções racionais;calcular primitivas por substituição;relacionar gráficos de funções com os gráficos das suasprimitivas;utilizar primitivas para resolver problemas.

Competências globais

Também deve:escrever e verbalizar os seu pensamentosde uma forma clara, concisa e organizada;justificar os raciocínios;compreender e utilizar a linguagemmatemática;utilizar programas computacionais comoferramenta de apoio ao estudo;formular hipóteses; interpretar, prever ecriticar resultados no contexto doproblema;fazer raciocínios demonstrativos, usandométodos adequados (n290es, incluem-se ométodo de redução ao absurdo, o métodode indução matemática e a utilização decontra-exemplos);ser autónomo na auto-avaliação e, senecessário, na procura de elementoscomplementares de estudo.



Note que:

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01 Definição de PrimitivaCapítulo 09: Primitivas pág.16/90

Definição de Primitiva



Primitiva

Dada uma função real de variável real f (x)chama-se primitiva de f a qualquer função cujaderivada seja f (x).

Representa-se uma primitiva de f (x) por P(f (x))ou F (x).

Exemplo:Uma primitiva de

f (x) = 2x

é

g(x) = x2

poisg′(x) =

(x2)′ = 2x .

Note que:h(x) = x2 + 5

i(x) = x2 − 3

j(x) = x2 + 20

k(x) = x2 + C, ∈ ℝ.

também são primitivas de f (x) = 2x .

Geometricamente:

Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0,1)?É m(x) = x2 + 1.



Primitiva




f (x) = 2x

ég(x) = x2

poisg′(x) =

(x2)′ = 2x .


i(x) = x2 − 3

j(x) = x2 + 20

k(x) = x2 + C, ∈ ℝ.


Geometricamente:

Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0,1)?

É m(x) = x2 + 1.



Primitiva




f (x) = 2x

ég(x) = x2

poisg′(x) =

(x2)′ = 2x .


i(x) = x2 − 3

j(x) = x2 + 20

k(x) = x2 + C, ∈ ℝ.


Geometricamente:

Qual é a primitiva de f que passa no ponto (0,1)?É m(x) = x2 + 1.



1. Verifique que qualquer das funções da direita pode ser uma primitiva da função da esquerda...

a)

b)



2. Seja a deformação de uma viga decomprimento 1, simplesmente apoiada em 2postes à mesma altura, submetida a um pesouniformemente distribuído f (x) = 1kg.Sabe-se que⎧⎨⎩ u(4) (x) = f (x)

u(0) = u(1) = 0u′′(0) = u′′(1) = 0

Determine a deformação u(x).

A viga irá deformar-se assim:

vendo com mais zoom:



3. Calcule:a) P(1) =

b) P(6) =

c) P(x) =

d) P(e3x) =

e) P(5e−x) =

f) P(sin(x)) =

g) P(cos(2x)) =

h) P(sec2 x) =

i) P(

11 + x2

)=

j) P(

11 + (−6x)2

)=

k) P(

x1 + x4

)=

l) P

(1√

1− (3x)2

)=

m) P(x2)=

n) P(7x5)=

o) P((3 + 2x)5

)=

p) P((3− 2x2)6x

)=

q) P((2 + ex)−5ex

)=

r) P((sin(x))4 cos(x)

)=

s) P (cos(x) sin(x)) =

t) P(

1x

)=

u) P(

2xx2 + 5

)=

v) P(

x4

x5 + 2

)=



Tabela de primitivasSejam u = f (x) e k , �,C ∈ ℝ.

P(k) = ... (k ∈ ℝ) P(sec2(u) u′

)= ...

P(ku) = ... (k ∈ ℝ) P(csc2(u) u′

)= ...

P (u� u′) = ... (� ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u′) = ...

P (eu u′) = ... P(csc(u) cot(u) u′)) = ...

P(

u′

u

)= ... P

(u′

√1−u2

)= ...

P (sin(u) u′) = ... P(

u′

1+u2

)= ...

P (cos(u) u′) = ...



Tabela de Primitivas



Tabela de primitivasSejam u = f (x) e k , �,C ∈ ℝ.

P(k) = kx + C (k ∈ ℝ) P(sec2(u) u′

)= tg(u) + C

P(ku) = kP(u) (k ∈ ℝ) P(csc2(u) u′

)= − cot g(u) + C

P (u� u′) = u�+1

�+1 + C (� ∈ ℝ ∖ {−1}) P(sec(u) tan(u) u′) = sec(u) + C

P (eu u′) = eu + C P(csc(u) cot(u) u′)) = − csc(u) + C

P(

u′

u

)= ln ∣u∣+ C P

(u′√

1− u2

)= arcsin(u) + C = −arccos(u) + C

P (sin(u) u′) = − cos(u) + C P(

u′

1 + u2

)= arctan(u) + C = −arccot(u) + C

P (cos(u) u′) = sin(u) + C



Primitivas quase imediatas

P (tan (u) u′) = ...

P(cot (u) u′) = ...

P (sec(u) u′) = ...

P (csc(u) u′) = ...




P (tan (u) u′) = ...

P(cot (u) u′) = ...

P (sec(u) u′) = ...

P (csc(u) u′) = ...




P (tan (u) u′) = − ln ∣cos u∣+ C

P(cot (u) u′) = ln ∣sin u∣+ C

P (sec(u) u′) = ln ∣sec u + tan u∣+ C

P (csc(u) u′) = − ln ∣csc u + cot u∣+ C











Primitivação por partes



A primitiva do produto é o produto das primitivas?

Experimente!Por exemplo:

P(exx2) = P(ex).P(x2)???

Calcule:

(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′

logo

(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′

se primitivarmos ambos os membros

P((P(u)v)′

)= P(uv) + P (P(u)v ′)

ou seja,

P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)

portanto

P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)




Experimente!

Por exemplo:

P(exx2) = P(ex).P(x2)???

Calcule:

(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′

logo

(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′


P((P(u)v)′

)= P(uv) + P (P(u)v ′)

ou seja,

P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)

portanto

P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)





P(exx2) = P(ex).P(x2)???

Calcule:

(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′

logo

(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′


P((P(u)v)′

)= P(uv) + P (P(u)v ′)

ou seja,

P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)

portanto

P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)





P(exx2) = P(ex).P(x2)???

Calcule:

(P(u)v)′ =

(P(u))′ v + P(u)v ′

logo

(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′


P((P(u)v)′

)= P(uv) + P (P(u)v ′)

ou seja,

P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)

portanto

P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)





P(exx2) = P(ex).P(x2)???

Calcule:

(P(u)v)′ = (P(u))′ v + P(u)v ′

logo

(P(u)v)′ = uv + P(u)v ′


P((P(u)v)′

)= P(uv) + P (P(u)v ′)

ou seja,

P(u)v = P(uv) + P (P(u)v ′)

portanto

P(uv) = P(u)v − P (P(u)v ′)



Primitivação por partes

P(uv) = P(u)v − P(P(u)v ′)

Deve escolher-se para v a primeira função em:

L-logaritmicasI - inversas de funções trigonométricasA - algébricasT - trigonométricasE - exponenciais

1. Calcule:a) P(x ln(x)) =

b) P(xe−x) =

c) P(ln(x)) =

d) P(x2 cos(2x)) =

e) P(ex sin(x)) =







Primitivação de funções racionais



Primitivação de funções racionais

1. grau do numerador ≥ grau do denominador—> divisão

P(

x3 − 2x + 1

)P(

x2 + 3x − 6x − 2

)2. grau do numerador < grau do denominador

A) Raízes reais simples

P(

2xx2 + x − 2

)P(

3x + 1x2 + 9x − 10

)

B) Raízes reais múltiplas

P

(2x2 + x

x2 (x − 1)2

)

P(

1x3 (x − 2)

)P

(2

(x − 1)4

)

P(

x + 12x2 − 20x + 50

)C) Raízes complexas

P(

x2 + 3x3 + x

)P(

2x2 + 8x + 17

)P(

10x2 + 10x + 26

)P(

x2 + 1x(x2 + 4x + 5)

)



D) Raízes complexas múltiplas

P

(1

x (x2 + 1)2

)

P

(x5

(x2 + 1)3

)

P

(1

(x2 + 1)2

)∗







Primitivação de potências de seno ecoseno



Primitivação de potências de seno e coseno

Primitivação de potências de seno ecoseno

Escreva a potência de seno como produto dequadrados de seno e, eventualmente, um seno.Substitua cada quadrado utilizando as fórmulasque se seguem...(Analogamente para coseno.)

Potências pares:

cos2 t = 1+cos 2t2

sin2 t = 1−cos 2t2

Potências ímpares:

cos2 t + sin2 t = 1

1. Calcule:

a) P(sin2 t) =

b) P(cos2 t) =

c) P(sin3 t) =

d) P(cos4 t) =

e) P(sin5 t) =

f) P(sin6 t) =







Primitivação por recorrência



Primitivação por recorrência

P(ex cos(x)) = ...

P(ex sin(x)) = ...



Primitivação por substituição





Seja f : R → R primitivável numintervalo I e g : J → I bijectiva,g ∈ C1(J),

P(f (x)) = P (f (g(t)).g′(t))

Substituições aconselháveis:

Função com Substituição√a2 − x2 x = a sin t√a2 + x2 x = a tan t√x2 − a2 x = a sec t

ex x = ln tln(x) e 1

x x = et

sin x e cos x x = 2 arctan tsin x e cos x a multiplicar x = arcsin t ou x = arccos t

tan x x = arctan tcot x x = arccott

x ,(

ax+bcx+d

) p1q1 , ...,

(ax+bcx+d

) pnqn

ax+bcx+d = tq onde

q = m.m.c(q1,q2, ...qn)

x e√

ax2 + bx + c√

ax2 + bx + c =√

ax + t ,a > 0√ax2 + bx + c =

√c + tx , c > 0√

ax2 + bx + c = (x − d)tonde d é uma raíz de ax2 + bx + c.



1. Calcule:

a) P(

13√

x +√

x

).

b) P(

sin(√

x + 1)√x + 1

).

c) P(√

1− x2).

d) P(

5x + 53x

52x + 54x

).

e) P (ln(x)) .

f) P( √

x + 3√

x4√

x5 +6√

x7

).

g) P(

4x + 26x

43x + 28x + 4x − 1

).

(Nota: (loga u)′ = u′

u ln a ,a > 0)



P(

e(x2))






Para Praticar . . .Capítulo 09: Primitivas pág.52/90

Para Praticar . . .



1. Quais dos seguintes gráficos representamprimitivas da função da figura 1?





4. *Seja a deformação de uma viga decomprimento 1, simplesmente apoiada em 2postes à mesma altura, submetida a um pesof (x) = −2x

(1+x2)2 . Sabe-se que⎧⎨⎩ u(4) (x) = f (x)u(0) = u(1) = 0

u′′(0) = u′′(1) = 0

Determine a deformação u(x).



5. Considere um veículo que tem o seguintecomportamento de aceleração (m/s2) emrecta:

a(t) =

⎧⎨⎩12√

t t ∈ [0,1]12− 6(t − 1)2 t ∈]1,2]

96(t+2)2 t ∈]2,+∞[

a) Determine aproximadamente o temponecessário para o veículo atingir avelocidade de 100km/h(≈ 28m/s).

b) Qual a velocidade máxima do veículo?

6. Considerando que a aceleração da forçagravítica é 9,8m/s2, e desprezando aresistência do ar, determine quanto tempodemora uma massa a chegar ao chão, se forlargada do topo de um prédio de 98m.



7. Um pequeno foguetão de ensaiosatmosféricos é lançado verticalmente a partirdo solo. O foguetão tem combustível no motorde tal modo que este funcione exactamentedurante 2 minutos; na sua trajectória ofoguetão é acelerado a 4 m/s2. Determine:a) A que altura está o foguetão um minuto

depois de ser lançado?b) Nesse instante, a que velocidade está a

subir?c) Quando o motor parar a que altura estará o

foguetão?d) Nesse instante, qual será a velocidade

atingida pelo foguetão?e) O foguetão atingirá a altura de 20km? E

100km?f) Quanto tempo leva o foguetão a atingir a

velocidade de 100m/s?g) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer

os primeiros 50 metros?h) Quanto tempo leva o foguetão a percorrer

os segundos 50 metros?

O modelo matemático que obtivemos produzresultados significativos apenas até ao instante emque o motor pára. É óbvio que depois disso aaceleração será diferente, passa a ser apenas aaceleração da gravidade que é de 9.8m/s2mas nosentido oposto ao do movimento.

i) Durante quanto tempo o foguetão sobe depoisde acabar o combustível?

j) Que altura máxima é atingida pelo foguetão?



8. Supondo que numa corrida de carros, partemos dois ao mesmo tempo, deslocam-se amboslinearmente, o carro 1 com aceleraçãoa1(t) = t e o carro 2 com aceleraçãoa2(t) = t2, determine o instante em que oscarros se voltam a encontrar.(Relembre que a derivada da posição é avelocidade e a derivada da velocidade é aaceleração.)

9. Usando séries de potências, determine umaprimitiva de ex2.

10. Determine a função real de variável real f talque

f ′′(x) =8

(x + 1)3 , f ′(1) = −1 limx→+∞

f (x) = 1



11. Calcule uma primitiva de :

a)e2x + 2e3x

1− ex

b)sin(2x)√

1 + sin2(x)

c)x4

2x3 − 4x2 + 8x − 16

d)1

x2 − 5x + 6e) x cos(x)f) x√

x + 1

g)cos(x)

sin2(x) + 7 sin(x) + 10

h)1

x2 − 5x + 6

i)√

x − 1 + 3√

x − 1x − 1

j) sin2(x)k) cos(ln(x))

l)x3

x + 1

m)2x3

sin2(3x4)+ sec(5x)

n)earctan(x)

1 + x2

o) x arctan(x)

p)sin(2x)√

1 + sin2(x)

q) x2ln(x)r) (1− x)e1+2x

s)x2 + 6x − 1

(x − 3)2(x − 1)

t)x2 + 1(x − 1)3

u)2x2 − 3x − 3

(x + 2)(x2 − 2x + 5)

v)x3

x8 − 5

w)x(x2 + 1)

(x2 + 1)4 − 5

x)3x

32x − 3x − 2

y)1

(x2 + 1)3

z) ln∣∣1 + x2

∣∣.z1) arctan(x), usando primitivação por partes.








































BibliografiaCapítulo 09: Primitivas pág.78/90

Bibliografia*

José Alberto Rodrigues.Métodos matemáticos em engenharia: Modelos em ℝ.Edições Colibri, 2007.

Deborah Hughes-Hallett, Gleason, McCallum, Flath, Lock, and Lomen.Calculus: Single variable.John Willey Sons, Inc, 4th edition, 2005.

Jaime Carvalho e Silva and Carlos M. Franco Leal.Análise matemática aplicada: exercícios, actividades, complementos e provas de avaliação.McGraw-Hill, 1st edition, 1996.

Jaime Campos Ferreira.Introdução à análise matemática.Fundação Calouste Gulbenkian, 3rd edition, 1990.

*Por ordem de adequação como complemento ao estudo.ISEL-IPL Análise Matemática 1 UIED-FCT-UNL

ANEXO: Tabela de derivadasCapítulo 09: Primitivas pág.79/90

ANEXO: Tabela de derivadasSejam u = f (x), v = g(x), k ∈ ℝ.

k ′ = 0 (sin(u))′ = cos(u)u′ (eu)′ = euu′

x ′ = 1 (cos(u))′ = − sin(u)u′ (au)′ = au ln(a)u′, a ∈ ℝ╲ {1}

(u + v)′ = u′ + v ′ (tan(u))′ = sec2(u)u′ (uv)′ = uv ln(u)v ′ + vuv−1u′

(ku)′ = ku′ (cot(u))′ = − csc2(u)u′ (∣u∣)′ = ∣u∣u

u′ =u∣u∣

u′

(u.v)′ = u′v + uv ′ (sec(u))′ = sec(u) tan(u)u′

(uv

)′=

u′v − uv ′

v2 (arcsin(u))′ =u′√

1− u2

(u�)′ = �u�−1u′, � ∈ ℚ╲ {0} (arccos(u))′ = − u′√1− u2

(√u)′=

u′

2√

u(arctan(u))′ =

u′

1 + u2

(ln(u))′ =u′

u(arccot(u))′ = − u′

1 + u2


NotasCapítulo 09: Primitivas pág.80/90

Notas(Algumas páginas em branco para utilizar como lhe aprouver... )






















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