Cap1 - Mecanica Das Estruturas - Algebra Matricial

8/13/2019 Cap1 - Mecanica Das Estruturas - Algebra Matricial

1/34

Captulo 1ELEMENTOS DE LGEBRA MATRICIAL

1.1. INTRODUO

1.1.1. Matrizes e Vetores

Uma Matriz pode ser definida como um conjunto ordenado de nmeros. As mmais usuais so formadas porm x n nmeros ordenados emm linhas en colunas,como representada na expresso (1.1):

[ ]

=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

AL

MOMM

L

L

(1.1)

Uma matrizm x n dita de ordemm porn . Quandom = 1 resulta uma matriz ouvetor linha, quandon = 1 tem-se uma matriz, vetor coluna ou simplesmente vetor.representao usual de matrizes feita utilizando-se uma letra maiscula enchaves [ ] ou mais facilmente utilizando-se a letra maiscula em negrito. Um vrepresentado usualmente como uma letra minscula entre colchetes { } ou pode um letra minscula em negrito. Assim, so exemplos de matrizes:

[ ]

=

2141042238453002

=B.......

b ; [ ] { }

===

8.105.3

y y y ; (1.2)

Um elemento ou coeficiente genrico na i-sima linha e j-sima coluna dematriz designado pelo ndice ij. Assim, na matriz [B] da Eq. (1.2), o coeficie23 = 2.4 e b31 =0.

A grande vantagem na utilizao de matrizes e vetores reside no fato de possvel representar uma quantidade qualquer de nmeros ordenados a partir dnico smbolo. Assim, equaes envolvendo uma quantidade enorme de numricos sistematicamente ordenados podem ser expressas com gransimplicidade. Por exemplo, seja o sistema de equaes algbricas lineares, deem (1.3):


2/34

Elementos de lgebra Matricial

1.1

4 x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 42 x1 - 3x2 + 2x3 - x4 = -33 x1 + x2 - 4x3 + 5x4 = 2 (1.3)-1 x1 + 3 x2 + 2x3 + x4 = -4

Por meio da representao matricial o sistema de equaes (1.3) pode ser essimplesmente como:

[A] {x} = {y}, (1.4)

sendo [A], a matriz do sistema, {x} o vetor de valores incgnitos e {y} o vetermos independentes, valendo:

123154131-23-2 2124 ]A[ = ,

=

4

3

2

1

xxxx }x{ ,

4234 =

y y y y =} y{

4

3

2

1

, (1.5)

1.1.2. Notao IndicialUma forma de representao matemtica condensada de grandezas matricconsiste da notao indicial, sendo tambm de grande utilidade para a programcomputacional. Nesta representao, uma matriz representada por seu elemgenrico:

[A] = aij , {x} = xi (1.6)

Usualmente na mecnica dos slidos os ndices subscritos (i, j = 1, 2 representam os eixos de um sistema ortogonal de referncia (x, y, z). Na notaindicial, a ocorrncia de um ndice repetido em um mesmo termo repres

somatrio, resultando:23

22

21

3

1iiiii aaaaaaa ++==

= (1.7)

3322113

1iiiii aaaaa ++==

= (1.8)

33i22i11i3

1 j jij jij bababababa ++==

= (1.9)


3/34


1.2

1.2. OPERAES COM MATRIZES

1.2.1. Igualdade de Matrizes

Duas matrizes [A] e [B] so iguais se e somente se: [A] e [B] tem a mesma ordem, ou seja, tem o mesmo nmero de linhas e co

Todos os elementos nas posies correspondentes so iguais, isto , aij= bij.

1.2.2. Soma e Subtrao de MatrizesDuas matrizes [A] e [B], sendo [A] de elementos aij e [B] de elementos bij, podemser somadas ou subtradas, se e somente se, ambas as matrizes possuem a meordem, isto , o mesmo nmero de linhas e colunas. Neste caso, a matriz resul[C]mxn ter a mesma ordem e seus elementos sero obtidos pela soma ou subtrados correspondentes elementos das matrizes [A]mxn e [B]mxn. Assim, para i = 1 at p(i = 1, p) e para j = 1 at q (j = 1, q):

bac ijijij += , ou ijijij bac = (1.10)

Como exemplo, seja calcular a soma das matrizes [A] e [B] a seguir definidas:

[ ] [ ]

=

= 543 134B;235 413A , (1.11)

resultando:

[ ] [ ] [ ]

=+= 778327BAC . (1.12)

1.2.3. Multiplicao de Matrizes por Valores Escalares

A multiplicao de uma matriz por um valor escalar resulta numa matriz de mordem, com cada elemento sendo multiplicado pelo valor escalar. Assim, sendvalor escalar tem-se:

[ ] [ ] ijij a.kcAkC == . (1.13)

Como exemplo seja obter o produto[ ] [ ]AkC = , com k = 3 e [A] definida no itemanterior, resultando:

[ ] [ ]

== 23151239

AkC . (1.14)


4/34


1.3

1.2.4. Multiplicao de Matrizes

Duas matrizes [A] e [B] podem ser multiplicadas para se obter uma terceira m[C]=[A].[B] se e somente se, o nmero de colunas de [A] for igual ao nmlinhas de [B]. Assim, se a matriz [A] tem ordem p x m ([A] p xm ) e a matriz [B] temordemm x q ([B]m xq ), a matriz resultante [C] ter ordem p x q ([A] p xq ), com oelemento genrico cij da matriz [C] sendo definido, para i = 1, p e para j = 1, q com

=

=m

1kkjikij b.ac . (1.15)

Assim, o coeficiente cij obtido pela soma dos produtos dos elementos da linha dordem i da matriz [A] pelos correspondentes elementos da coluna de ordemmatriz [B].Como exemplo, seja calcular o produto de matrizes [C]2 x2 =[A]2 x3 .[B]3 x2 , sendo:

[ ] [ ]

=

= 2312

31B;253

322A . (1.16)

Os coeficientes da matriz [C] so obtidos pela expresso (1.15), resultando:

=

=++==++=

=++==++=

87215]C[

8)2).(2()1).(5()3).(3(c;7)3).(2()2).(5()1).(3(c

;2)2).(3()1).(2()3).(2(c;15)3).(3()2).(2()1).(2(c

22

21

12

11

(1.17)

Observaes:

i) No caso geral, a soma ou subtrao de matrizes, de ordemm x n , exigem.n operaes aritmticas de soma ou subtrao. A multiplicao por escalar exigm.n operaes de multiplicao. A multiplicao de matrizes, por exemplo, [A] p xm [B]m xq ,exigem p.q.m operaes de multiplicao e p.q.(m-1) operaes de soma.

ii) A operao de multiplicao de matrizes no comutativa, isto , no casogeral [A][B][B][A]. Por exemplo, considerando as matrizes [A] e [B] anteriotem-se: [C]2 x2 = [A]2 x3 . [B]3 x2 e [D]3 x3 = [B]3 x2 . [A]2 x3 , sendo:


5/34


1.4

=

=+==+=

=+==+==+=

=+==+=

=+==+=

134081131711

]D[

;13)2).(2()3).(3(d;4)5).(2()2).(3(d

;0)3).(2()2).(3(d;8)2).(1()3).(2(d;1)5).(1()2).(2(d

;1)3).(1()2).(2(d;3)2).(3()3).(1(d

;17)5).(3()2).(1(d;11)3).(3()2).(1(d

33

32

31

23

22

21

13

12

11

(1.18)

iii) Para distinguir a ordem de multiplicao das matrizes, diz-se que no pro[A][B], a matriz [A] pr-multiplica a matriz [B] ou, de forma equivalente, a [B] ps-multiplica a matriz [A].

iv) Apesar de no comutativa, a operao de multiplicao de matrizedistributiva e associativa. A lei distributiva estabelece que:

[E]=([A]+[B])[C] = [A][C] + [B][C] (1.1

Por sua vez, a lei associativa define que:

[F] = ([A][B])[C]=[A]([B][C])=[A][B][C], (1.

estabelecendo que a ordem de multiplicao de matrizes indiferente em terde resultados finais, embora os nmeros de operaes aritmticas possam muito diferentes. Assim, o produto ([A]3 x2 .[B]2 x3 )[C]3 x1 , necessita de 27 operaesde multiplicao, enquanto que o produto [A]3 x2 .([B]2 x3 )[C]3 x1 , exige apenas 12operaes de multiplicao.

1.3. MATRIZES PARTICULARES

1.3.1. Matriz TranspostaA matriz transposta ou transposta de uma matriz [A], de ordemm x n, umamatriz de ordemn x m , sendo designada de [A]T , sendo obtida da matriz [A] pelatroca das linhas pelas colunas

[ ] [ ]

=

= 23 52

32

A253322

AT

(1.21)


6/34


1.5

1.3.2. Matriz Quadrada

Uma matriz [A], de ordemn x n dita uma matriz quadrada de ordemn . A matriz[A] definida em (1.5) uma matriz quadrada de ordem 4. Os coeficientes aii, com i =1 at n, definem a diagonal principal de uma matriz quadrada.

1.3.3 - Matriz Simtrica

Uma matriz [A] quadrada de ordemn com aij a ji dita uma matriz simtrica.Assim, toda matriz simtrica , obrigatoriamente, uma matriz quadrada. Ncaso, tem-se:

[A]= [A]T . (1.22)

1.3.4. Matriz Diagonal

Uma matriz quadrada dita diagonal quando aij = 0, para i j.

1.3.5. Matriz Identidade ou UnitriaUma matriz dita identidade quando alm de quadrada e diagonal, aii = 1. Porexemplo a matriz [I]3 uma matriz identidade de ordem 3:

[ ]

=100010001

I 3 ; (1.23)

1.3.6. Matriz Triangular

Uma matriz quadrada dita triangular quando todos os elementos situados aciabaixo da diagonal principal so nulos. Se i> j para,0a ij = tem-se uma matriztriangular inferior e se i< j para,0a ij = , tem-se uma matriz triangular superior.


7/34


1.6

1.3.7. Matriz Banda

Uma matriz dita em banda quando os elementos no nulos so agrupados emda diagonal principal. Neste caso, tem-se aij = 0, para m ji > ,sendo lb = 2m + 1 alargura da banda da matriz, conforme a seguir representado para o caso de masimtrica:

[ ]

=

...SIM.

aaa0aa0aaa000aa000a0a

A66

5655

4544

353433

2322

1311

(1.24)

Na Anlise Estrutural so obtidos sistemas de equaes cujas matrizes quadradas e, predominantemente, simtricas. Alm disso, dependendo da ordedos valores incgnitos, as matrizes possuem muitos valores nulos e procedimentos utilizados para a soluo do sistema de equaes, grande pdestes valores (certamente os situados acima do primeiro elemento no nulcada coluna) permanece nulo.

Assim, foram desenvolvidos vrios procedimentos que visam uma otimizaprocesso de soluo do sistema de equaes, tanto em relao memria requpara armazenamento dos coeficientes da matriz do sistema, quanto em relanmero de operaes necessrias ao processo.

1.3.8. Matriz InversaA inversa de uma matriz [A] designada de [A]-1. Quando esta matriz existe, oselementos desta matriz so tal que: [A] [A]-1 = [A]-1[A] = [I]. Assim, uma matrizpara admitir uma inversa obrigatoriamente uma matriz quadrada. Quandomatriz quadrada admite uma inversa, ela dita no singular. Caso contrrio, teuma matriz singular.


8/34


1.7

A obteno da matriz inversa da matriz de um sistema de equaes permisoluo do sistema. Se o sistema admite uma soluo, existe a matriz inversa-1 e pr-multiplicando ambos os termos da equao por [A]-1, obtm-se:

[ ][ ] { } [ ] { } { } [ ] { } yAx yAxAA111

== . (1.25)Embora possa ser usado, o custo computacional da inverso de uma matriz este procedimento muito desvantajoso quando comparado a outras tcnicasoluo de sistema de equaes.

Assim, em geral utiliza-se o mtodo de triangularizao (ou de eliminao) deque possui diferentes variantes em funo das tcnicas de montagemarmazenamento dos coeficientes da matriz. Em certos casos pode ser vantajoemprego de mtodos iterativos para a soluo do sistema de equaes.

1.3.9. Matriz Ortogonal

Uma matriz [A] dita ortogonal quando: [A]-1 =[A]T . Neste caso, necessariamente, amatriz [A] quadrada e simtrica.

1.3.10. Partio de Matrizes

Visando facilitar as operaes com matrizes, em especial para tirar vantagencaractersticas particulares apresentadas por certas matrizes, bastante comumpartio da matriz em submatrizes de ordens menores, como no exemplo a seg

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

=

=2x1231x1222x121

2x3131x3122x311

45444342413534333231

2524232221

1514131211

5x4

AAA

AAA

aaaaa aaaaa

aaaaaaaaaa

A (1.26)

sendo:

[ ] [ ] [ ] ;aaaaaa

A;aaa

A;aaaaaa

A3534

2524

1514

2x313

33

23

13

1x312

3231

2221

1211

2x311

=

=

=

;aaA ;aA ;aaA 45442x123431x12242412x121 === (1.27)


9/34


1.8

1.4. ESPAOS VETORIAIS REAIS. SUBESPAOS. DEPENDNINDEPENDNCIA LINEAR. BASES.

1.4.1. Espaos Vetoriais Reais

Um espao vetorial real V um conjunto de elementos denominados vetoreaceitam duas operaes bsicas: adio e multiplicao por um escalar.

Para dois vetores quaisquerx e y em V existe um nico vetorx + y chamado desoma dex e y. Parax, y e z V, a operao de soma ou adio de vetores satisfazas seguintes relaes:

i) comutativa :x + (y +z) = (x +y) +z; (1.28)

ii) associativa:x + y = y +x; (1.29)

iii)Existe um nico vetor0 (zero) em V, tal que:x + 0 = x; (1.30)

iv)Para cadax existe um nico vetor -x tal que: x + (-x) = 0; (1.31)

Para um vetor x qualquer em V, dado um nmero, existe um nico vetorx em Vchamado o produto escalar de e x. Para x e y V, a operao de multiplicaoescalar ou produto escalar atende as seguintes propriedades:

i) (x +y) =x +y; (1.32)

ii) (+) x =x +x; (1.33)

iii)() x =(x); (1.34)

iv)1x = x; (1.35)Os espaos R, R2 e R3, estudados na geometria analtica so exemplos de espaovetoriais reais. O conjunto P de todos os polinmios em x com coeficientes com a definio usual de soma e multiplicao por nmeros reais, forma um vetorial real.


10/34


1.9

1.4.2. Subespaos Vetoriais

Um conjunto (no vazio) W de um espao vetorial V um subespao de V vetor da formax +y pertencer a W, sempre que x e y pertenam a W, sendo e valores escalares arbitrrios. Todo espao vetorial tem pelo menos dsubespaos vetoriais: o espao todo e o subespao contendo apenas o vetor(subespao trivial). Um subespao distinto do prprio espao chamadsubespao prprio.

O espao R2 um subespao de R3. De fato, todas as retas e todos os planos quecontm a origem so subespao de R3.

Sendo C1[a,b] o conjunto de todas as funes que possuem uma derivada contem cada ponto do intervalo [a,b] (funes continuamente diferenciveis em [aCn[a,b] o conjunto de funes n (inteiro positivo) vezes continuamediferenciveis em [a, b], ento:

i) C1[a,b] e Cn[a,b] so espaos vetoriais;

ii) Cm[a,b] um subespao de Cn[a,b] sempre que m


11/34


1.10

1.4.4. Dependncia e Independncia Linear. Bases

Diz-se que o vetor x linearmente dependente de x,...,x,x n21 se x pode serescrito na forma: nn2211 x+...xx ++ , sendo os coeficientes i valoresescalares. Caso contrrio, x linearmente independente de n21 x,...,x,x . Assim,x linearmente dependente de n21 x,...,x,x se e somente se x uma combinao linearde n21 x,...,x,x .

Um conjunto de vetores n21 x,...,x,x linearmente independente se e somente se aequao 0=x+...xx nn2211 ++ , implica que 0==... n21 == .

Todo conjunto finito de vetores x contm um subconjunto linearmenteindependente que gera o subespao Y(x) que contm todos os vetores de X.Um subconjunto finito B linearmente independente de um espao vetorial V uma base de V, se o subespao gerado Y(B) = V.

Como exemplo clssico de uma base tem-se o conjunto dos vetores i = (1,0(0,1,0), k = (0,0,1), que formam uma base de R3. Alm disso, todo e qualquer vetor

)x,x,(xx 321= de R3 pode ser escrito de uma e somente uma forma como umcombinao linear desta base, ou seja, kx+x+ix

321=x .

Assim, um conjunto de vetores n21 e,...,e,e uma base de um espao vetorial V se esomente se todo vetor de V pode ser escrito de modo nico como combinaode n21 e,...,e,e . Como exemplo de conjunto de vetores que formam uma base paespao vetorial que os contm, tem-se:

i) )1,...,0,0,0(e,0),...,(0,1,0,...=e,0),(1,0,0,...=e n21 = formam uma base de Rn;

ii) Os polinmios 1n2 x.,.,.x,x,1 formam uma base para o espao vetorial Pn;

Diz-se que espao vetorial V tem dimenson (dim V =n ) se tem uma baseconsistindo den vetores. Caso contrrio, diz-se que o espao vetorial tem dimensinfinita.

Assim, Rn e Pn tem dimenson e P tem dimenso infinita.


12/34


1.11

1.4.5. Bases como um Sistema de Coordenadas

Se o conjunto de vetores n21 e,...,e,e forma uma base de V ento existe uma nicaforma de expressar um vetor x de V em termos dos vetores da base utilizada, isto: nn2211 e+...ee=x ++ . Neste caso, pode-se dizer que os vetores n21 e,...,e,e formam um sistema de coordenadas (ou de referncia) de V, e que os escal

n21 .,..,, so os valores das coordenadas neste sistema, que definem o vetorAlm disso, os subespaos de V gerados por cada um dos vetores da baseie sochamados de eixos de coordenadas do sistema.

Se n21 e,...,e,e forma uma base qualquer do espao vetorial V, ento a soma de dvetores de V obtida somando as componentes correspondentes e o produto d

vetor por um escalar calculado multiplicando cada componente do vetor por.

nn2211 e+...ee=x ++ e

nn2211 e+...ee= y ++ , (1.36)

ento:

nnn222111e)(+...e)(e)(= yx ++++++ . (1.37)

Analogamente:

e+...ee=)e+...ee(=x nn2211nn2211 ++++ (1.38)

Assim, se o conjunto de vetores n21 e,...,e,e forma uma base de V, existe uma nicaforma de expressar qualquer vetor x de V, em particular se:

0=e+...ee=x nn2211 ++ , (1.39)

Como ao se fazer:

0. . . n21 ==== , (1.40)

uma forma de atender a equao (1.39). Como ela nica, prova-se qvetores n21 e,...,e,e que formam a base de V so linearmente independentes.


13/34


1.12

1.4.6. Dimenso de um Espao Vetorial

A dimenson de um espao vetorial definida pelo nmero de vetores que formuma base deste espao. Neste caso,n+1 vetores quaisquer so linearmentedependentes e, alm disso, toda e qualquer base deste espao contm n vetores 1.4.7. Mudana de Base

Sejam Bu }u,...,u,u{ n21= e Bv }v,...,v,v{ n21= duas bases ordenadas de um mesmoespao vetorial V. Dado um vetor x V possvel escrev-lo como:

nn2211 u...uux +++= (1.41a)

e:nn2211 v...vvx +++= (1.41b)

Escrevendo a expresso (1.41a) na forma matricial ,tem-se:

[ ]

=

n

2

1

n21 uuuxM

L , com[ ]

=

n

2

1

BuxM

(1.42)

sendo os valores de 1 2, , . . ., n as coordenadas do vetor x na base Bu:

De modo semelhante, utilizando-se a base Bv obtm-se:

[ ]

=

n

2

1

n21 vvvx ML ; [ ]

=

n

2

1

Bvx M , (1.43)

sendo os valores de n21 .,..,, as coordenadas do vetor x na base Bv:

Como Bu }u,...,u,u{ n21= base de V, podemos escrever os vetoresv i da base Bv }v,...,v,v{ n21= , como combinao linear dos vetores da base Bu na forma:


14/34


1.13

nnn21n11nn

nn22221122

nn12211111

ua+ua+uav

ua+ua+uavua+ua+uav

+=

+=+=

L

M

L

L

. (1.44)

Substituindo a expresso (1.44) em (1.41b), obtm-se:

)ua+ua+u(a

+)ua+ua+u(a +)ua+ua+u(a=x

nnn22n11nn

nn22221122

nn12211111

+

++

L

M

L

L

. (1.45)

Igualando-se expresso (1.41a), resulta:

nnn22n11nn

n2n2221212

n1n2121111

.a.a+.a=

.a.a+.a=.a.a+.a=

++

++++

L

M

L

L

(1.46)

A expresso (1.46) pode ser escrita na forma matricial como:

=

n

2

1

nnn2n1

2n2221

1n1211

n

2

1

aaa

aaaaaa

M

L

MOMM

L

L

M. (1.47)

Fazendo-se:

[ ]

=

nnn2n1

2n2221

1n1211

BB

aaa

aaaaaa

I vuL

MOMM

L

L

, (1.48)

tem-se:

[ ] [ ] [ ]uvuv B

BBB xIx = , (1.49)

Sendo [ ] vuBBI a matriz de mudana de base de Bv para a base Bu.


15/34


1.14

Alm disso, os vetores da base Bv e da base Buso tais que:

[ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]vuuvuvvu BB1BBBB1BB I=II=I e [ ] [ ] [ ]III vuuv BBBB = (1.50)

Assim, para se obter[ ] vuBBI necessrio determinar as coordenadas da base antigaBv em relao nova base, Bu, ou seja, a matriz[ ] vuBBI constituda por colunas quedefinem as coordenadas dos vetores da base antiga Bv em relao aos vetores danova base Bu.

Por Exemplo, sejam{ }(0,1)(1,0),B = e ( ){ }4,3(),1,2B = bases do espao R2. Obter asmatrizes de mudana de base[ ]BBI e [ ]BBI .

Como a base B a base cannica, fcil obter-se a matriz[ ]BBI , bastando escreverdiretamente os vetores da base antiga( ){ }4,3(),1,2B = em termos dos vetores danova base { }(0,1)(1,0),B = :

[ ]

4132=I BB . (1.51)

Para obter-se[ ]BBI , tem-se que determinar as coordenadas da base antiga{ }(0,1)(1,0),B = em relao a nova base, ( ){ }4,3(),1,2B = :

( ) ( )( ) ( )

[ ]

213-4

111=I2/11.=a-3/11;=a

;11/4=a1/11;=a4,3a+(2,-1)a=0,14,3a+(2,-1)a=1,0 B

B2212

2111

2212

2111 (1.52)

Seja agora, a determinao da matriz de rotao da base padro (eixos cartesiax, y) de R2, { 21 e,eB = numa base nas direes x, y e{ 21 e,eB = , inclinadas de umngulo em relao a x,y e vice versa.

[ ] [ ]

cossensen-cos=R=I eeBB . (1.53)

Como[ ]eeR ortogonal:

[ ] [ ] [ ]( )

cossen-sencos=R=R=I T eeeeBB (1.54)


16/34


1.15

X

Y

X'

Y'

e' 2 e' 1

sen

cos -sen

cos q X

Y

X'

Y'

e 2

e 1

sen

cos

-sen cos

Figura 1 - Rotao de eixos

Assim, por exemplo, para os vetores11 eee tem-se :

{ } [ ] { } { } [ ] { }

sen-

coscossen

sen-cos=0

1eR=exI=x B1eeB1BBBB

{ } [ ] { } { } [ ] { }

sencos

cossen-sencos=0

1eR=exI=x B1eeB1BBBB (1.55)

1.5. TRANSFORMAES LINEARES

1.5.1. Definio

Uma transformao linear ou um operador linear, de um espao vetorial V1 numespao vetorial V2 , A:V1 V2, uma funoA que associa a cada vetor x de V1umnico vetor y de V2, de modo que:

)A(x+)A(x=)xA(x 2121 + e:

)x(A(x))A( = (1.56)

para todos os vetores x,x 21 e x V1e todos os escalares.

Estas exigncias so usualmente definidas dizendo-se que uma transformao atende as operaes algbricas de adio e multiplicao por escalar. Cconsequncia destas exigncias, uma transformao linear sempre leva o vetorde V1 no vetor zero de V2.

O espao vetorial V1 chamado de domnio deA e o conjunto de todos os vetores y

do espao V2, tais que y =A(x) para algumx, chamado de imagem deA, sendorepresentado por I(A), no necessariamente igual ao espao V2 inteiro.


17/34


1.16

1.5.2. Soma de Transformaes Lineares

Se A e B so transformaes lineares de V1 em V2, ento sua soma,A + B, tambm uma transformao linear de V1 em V2 definida para todo x de V1 como:

(A+B) (x)=A(x) +B(x) (1.57)

1.5.3. Produto de Transformaes Lineares

Sejam as transformaes linearesA e B definidas nos espaos vetoriais V1 , V2 e V3como: A:V1 V2 e B:V2 V3. Neste caso possvel definir uma transformaolinear combinada (ou multiplicada) de V1 em V3, representada comoBA, e designadao produto deA e B (nessa ordem), como:

BA(x)= B(A (x)),e:

)BA(x+)BA(x= ))B(A(x+))B(A(x=

)]A(x+)A(xB[= )]x+xB[A(=)x+xBA(

2211

2211

2211

22112211

(1.58)

Nota-se facilmente que o produtoBA est definido somente quando a imagem deAest contida no domnio deB, de modo que um dos produtosBAouAB, pode existirsem que o outro exista. Mas, mesmo no caso de ambas as transformaesA e B,aplicam um dado espao em si mesmo, no necessariamenteBA= AB. Este fatodefine que a multiplicao de transformaes lineares no-comutativa.

Por outro lado a multiplicao de transformaes lineares associativdistributiva. Desta forma sendoA, B e C, transformaes lineares,I atransformao identidade e um escalar, tem-se:

(AB)C=A(BC) (1.59a)

21212121 AB+AB=)B+A(B:eB,A+BA=)BA+(A ; (b)

(AB)A((=(A) = (c)

AIA=AI = (d)


18/34


1.17

1.5.4. Ncleo e Imagem de uma Transformao. Inversa

Seja uma transformao linearA: V1 V2. Chamando o ncleo deA, N(A), oconjunto de todos os vetores y de V2, tais queA(x)=0, ento o N(A) contm ovetor zero e, seA(x1)=0 eA(x2)=0, ento:

0=)x()x(=)xx( 22112211 AAA ++ . (1.60)

Assim, o ncleoA (N(A)) um subespao de V1, sendo de fundamental importnciapara o estudo do comportamento deA em V1.

De igual importncia a imagem deA, I(A), que forma um subespao de V2 definidopelo conjunto de todos os y de V2, tais quey=A(x), para algum x de V1, pois se:

)x(= y 11 A e )x(= y 22 A pertencem a I(A), ento:

221122112211 y+ y=)x(+)x(=)x+x( AAA , (1.61)

ento:2211 y+ y tambm pertence imagem de1.

Uma transformao linearA: V1 V2 dita sobre se e somente se a imagem deA

igual ao espao V2: I(A)=V2. Diz-se que uma transformao linearA: V1 V2 dita biunvoca se e somente se )x(=)x( 21 AA implica que 21 x=x . Assim, atransformao linearA: V1 V2 biunvoca se e somente se N(A) =0.

Transformaes lineares biunvocas so ditas isomorfismos e podem ser inverAlm disso, apresentam uma importncia particular uma vez que muitas das fuusuais so biunvocas e apresentam transformao inversa.

Assim, diz-se que se uma transformaoA: V1 V2 biunvoca, isto , ela um-a-um e sobre, quando para a cada vetor y de V2 est associado um nico vetor x deV1. A pode ser usada para definir uma funo de V2 em V1, chamada de inversa deA(A-1) tal que: x=) y(1A , onde y=)x(A . A transformao linearB = A-1: V2 V1, tambm emB e:

2V11 IAA y=(y)AA = e

1V11 IAAx=A(x)A = . (1.62)

Por outro lado, quando uma transformao linear no admite inversa ela

singular.


19/34


1.18

1.5.5. Exemplos de Transformaes Lineares

A transformao linearA: R2 R2 , dada porA(x) = (x1, -x2), define umatransformao de R2 sobre si mesmo por reflexo segundo o eixo x1. Os operadoresdiferenciais definem transformaes lineares.

1.6. REPRESENTAO MATRICIAL DE UMA TRANSFORMAMUDANA DE BASE. TENSORES.

1.6.1 - Representao Matricial de uma Transformao Linear.

Na anlise de problemas da Engenharia necessita-se relacionar determinavalores com outros valores, como por exemplo: tenso com deformadeformao com deslocamentos. Cada uma destas relaes pode ser entendidaum processo de transformao entre diferentes valores, as quais podem definidas de uma forma precisa e concisa atravs do uso de matrizes.

Assim, para a transformao linearA: V1 V2 definida pelo operadorp3pz=A 2 + , sendo V1 o conjunto dos polinmios de grau 3 em z, tal quey=A(x),

calcularA(x), para x = 3z+4z3.

Aplicando o operadorA ao elemento x definido, tem-se:

212.z+3=dzxd=x ; 24.z=dz

xd=x 22

e: 24=dzxd=x 3

3 ; (1.63a)

e:32 24.z36.z+9=A(x)= y + . (1.63b)

Pode-se verificar facilmente que esta transformao linear singular, uma vezse zx1 = e = +zx2 , sendo um nmero qualquer, 3=)x(A=)x( 21A .

Embora a determinao de y = A(x) possa ser obtido de uma forma explicitautilizando-se o diretamente o operadorA, o emprego de uma matriz para definir amesma transformao permite que esta determinao possa ser efetuadcomputacionalmente de um modo sistemtico e extremamente eficiente.

O primeiro passo para obter a matriz representativa desta transformao consiem se definir duas bases de vetores, uma para representar os elementos x de V1 e


20/34


1.19

outra, para representar os elementos y de V2. Escolhendo Bu={ n21 u,...,u,u } como abase de x e Bv ={ n21 v,...,v,v } como base de y, pode-se escrever qualquer x V1 e y V2 como:

nn2211 u...uux +++= ;nn2211 v...vv y +++= ; (1.64)

A representao matricial da transformao linear representada por:

y = A x ou{ } [ ]{ }xA y = , (1.65)

sendo:

{ } { } [ ]

n

21

BB =x=x=x uu M , as componentes do vetor x na base Bu; (1.66)

{ } { } [ ]

n

2

1

BB = y= y= y vv M , as componentes do vetor y na base Bv; (1.67)

[ ] [ ]x yA=A , matriz onde cada coeficiente aij definido pela coordenadayi obtida quando o operadorA aplicada a cada vetor u j da base Bu . Portanto, para

obter os elementos da j-sima coluna deA, basta fazer x = u j, calcular ju y A= erepresentar y em termos da base de vetores Bv.

Como exemplo de aplicao, seja calcular a representao matricial transformao linear p3pz=A 2 + , utilizando duas distintas bases:

}zu,zuz,=u1,=u{B=B3

4

2

321

vu 11 ==, (1.68)

e: }zu,3z+zuz,-1=u1,=u{=B=B 342321vu 22 == . (1.69)

Considerando a base 1, para avaliar os elementos da j-sima coluna, basta ca juA na base Bv1, resultando:

;6v+9v=6z+9z=)A(u;2v+3v=2z+6z=)A(u

;3v=3=)A(u 0;=)A(u

43

32

432

2

3

121 (1.70)


21/34


1.20

e a matrizA fica definida por:

[ ] [ ]

6000920003000030

=A=A=A 11u

11v

uu . (1.71)

Assim, para transformar o elemento x = 3z+4z3, basta determinar as coordenadasdo vetor x em relao base selecionada e fazer a operao matricial x y A= :

[ ] [ ]

=

=

=

243609

4030

6000920003000030

y

4030

x 1v1u BB , (1.72)

resultando em forma expandida o mesmo resultado obtido anteriormente:

32 z2436z+9=)x(A= y + (1.73)

Usando o mesmo procedimento obtm-se facilmente a representao na b22 uv BB = :

[ ]

=

600032003160031930

AA 22v

u , (1.74)

e:

[ ] [ ]

=

=

=

2412123

403

3

600032003160031930

y403

3

x 1v2u BB , (1.75)

que em forma expandida fica:

3232 z24z369)(z)24()3.z+(12)(z+z)-(12)(1+(-3)(1)=)x(A= y ++=+ , (1.76)

reproduzindo assim o mesmo resultado.


22/34


1.21

Considerando-se agora, que uma transformao possa ser representada por matrizA em uma dada base e que se deseja obter uma matriz A , que representmesma transformao em outra base. Neste sentido, uma forma de obter coeficientes da matriz A consiste em se avaliar a transformao nesta nova b

como no exemplo anterior. Entretanto, possvel calcular a matriz A diretamde A, simplesmente fazendo-se uma mudana na base de referncia transformao.

Assim, numa transformao definida por sua representao matricial:

Axy = ou{ } [ ]{ }xA y = , (1.77)

ser particularmente eficiente se a matriz [A] for uma matriz diagonal. Felizmente,na utilizao de mtodos numricos aplicados em problemas da Engenharia,sempre existe uma base na qual a transformao fica representada por uma madiagonal.

Entretanto, infelizmente por sua vez, na grande maior parte das aplicaprticas, esta base no conhecida de incio. Assim, o procedimento geral conem simplesmente se representar inicialmente a transformao numa adequada(vetores L.I.) de representao e, para tornar mais eficiente o processamentosoluo, transformar em sequncia a matriz obtida em uma matriz diagonal.ltima transformao, por sua vez, pode ser feita computacionalmente de um sistematizado.

1.6.2. Mudana de Base de Uma Transformao Linear

SejaA a matriz quadrada de ordemn representativa de uma transformao linearA: V1 V2, definida por:

Axy = , (1.78)

utilizando-se uma nica baseuB ={ n21 u,...,u,u } = vB ={ n21 v,...,v,v } como a base de x ecomo base de y.

Para se obter a mesma transformao representada em outra base ou sej21 VV:A , definida por xA y = , utilizando-se uma nica nova base

}v,...,v,v{B}u,...,u,u{B n21

vn

21

u === para x e y, necessrio de incio


23/34


1.22

representar todos os vetores da base antiga n1,...,=i,ui , em termos dos vetores danova base n1,...,=i,ui , de forma anloga utilizada em (1.49) ou seja:

1..n,=i,upu

n

1k kiki == ou:[ ] [ ] [ ]u

uuu

B

B

BB xPu = (1.79)

Utilizando-se estas relaes pode-se escrever:

xPx = e yPy = , (1.80)

sendo P uma matriz quadrada de ordemn, correspondente a mudana de base.

Substituindo-se a expresso anterior na definio do operador resulta:

xAPyP = . (1.81)

Imaginando que existe uma matriz inversa1P , isto , que a base escolhida possui nvetores linearmente independentes, tem-se que:

IPPPP 11 == , (1.82)

Pr-multiplicando ambos os termos da equao (1.81) por1P obtm-se:

xAPPyPP 11 = , (1.83)

resultando:

APPA 1= . (1.84)

Um procedimento alternativo e equivalente para se obter a matriz A consiste ee usar as expresses:

xPx = e Qy=y , (1.85)

sendoQ obtida das relaes que expressam os vetores da nova base n1,...,=i,ui ,em termos dos vetores da base antiga n1,...,=i,ui , com os elementos definidos por:

1..n,=i,uqu n1k

kiki =

= (1.86)


24/34


1.23

Substituindo-se (1.85) na expresso (1.78), resulta:

xQAPQyyxAPyAxy ==== . (1.87)e:

QAP=A . (1.88)

Devido a unicidade do operadorA tem-se:

1= PQ , (1.89)e:

1= QAQA . (1.90)

Exemplo:

Seja o exemplo anterior, no qual usando uma primeira base, definida }zu,zuz,=u1,=u{B 342321u === , obteve-se o operador matricial A. Determinar

a matriz representativa do operador utilizando agora uma nova base, definida}zu,3z+zuz,-1=u1,=u{B 342321u === , sendo:

[ ]

=

6000920003000030

=AuuA (1.91)

Assim, os vetores da base antiga podem ser escritos em funo dos vetores da base como:

;u=u ;u31

u31

+u31

-=u ;u-u=u ;u=u 44321321211 +

(1.92)

e obtm-se a expresso (1.80) em forma matricial, como:

[ ]

=

1000000010011

=I313131

uuP . (1.93)

De modo anlogo, tem-se:


25/34


1.24

;u=u;u3+u=u;u-u=u;u=u 4432321211 (1.94)e:

[ ]

=

1000030001100011

=IuuQ . (1.95)

De (1.88) obtm-se a matriz procurada:

[ ]

=

6000

32003160031930

AA uu . (1.96)

1.6.3. Tensores

Na anlise de problemas de engenharia, os conceitos de tensores e surepresentaes matriciais podem ser de grande importncia, em particulartensores cartesianos, definidos como aqueles cujas componentes podem representados em um sistema cartesiano.

Assim, considerando-se as coordenadas de um ponto genrico P no estridimensional, definido por suas coordenadas em relao a um sistemareferncias cartesianos 1,2,3)=i(,xi e, em relao a outro sistema cartesiano

1,2,3)=i(,xi , utilizando-se, respectivamente, bases vetoriais definidas po1,2,3)=(i,ei e 1,2,3)=(i,ei . Sejam os cosenos diretores entre os ngulos formados

entre o primeiro sistema e o segundo denominados de )e,ecos(=p jiij , na forma:

=3

1= j jiji xpx . (1.97)

Em forma matricial:

Pxx = . (1.98)

ComoP uma matriz ortogonal:

xPx T = . (1.99)


26/34


1.25

Uma grandeza chamada de escalar se ela tem apenas uma componente nosistema de coordenadasix e, alm disso, esta componente no varia quando ocorruma mudana no sistema de coordenada:

1,2,3=i,)x(=)(x ii . (1.100)

Um escalar tambm chamado de um tensor de ordem zero. Como exemplo dgrandeza escalar tem-se a temperatura em um ponto.

Uma grandeza chamada de vetor ou tensor de primeira ordem se scomponentes em relao a um sistema 1,2,3)=i(,xi e suas componentes em relaoao sistema 1,2,3)=i(,xi , so relacionados na forma indicial como:

jiji xpx = (1.101)

Esta relao corresponde a uma mudana de base de primeira ordem. Por exeuma fora um tensor de primeira ordem.

Uma entidade designada como um tensor de segunda ordem se ela temcomponentes 1,2,3)=(i,,tij no primeiro sistema de coordenadas 1,2,3)=(i,xi e nove

componentes 1,2,3)=(i,,tij no segundo sistema 1,2,3)=i(,xi , relacionadas naforma:

kl jlikij tppt = . (1.102)

Nas definies anteriores, todos os ndices variavam de 1 a 3, indicando proba trs dimenses. No entanto, poderia-se usar os ndices variando de 1 atn , com n 3. Em muitos problemas da engenharia feito uma anlise considerando-scomportamento bidimensional, neste caso n = 2.Tenses e deformaes em um ponto so exemplos de tensores de segunda orComo exemplo de representao matricial e notao indicial de tensores de segordem, dado as coordenadas de um tensor em relao a um sistema de eixoscartesianos (x, y), seja determinar as coordenadas deste tensor em relao a umoutro sistema cartesiano de coordenadas (x, y), inclinado de = 450 em relao aoprimeiro.


27/34


1.26

X

Y yy = 1

xx = 1

xy = -1

yx = -1

X'Y'

45 0

Figura 2. Representao vetorial dos componentes o tensor de tenses no plaXY.

O tensor de tenses, em relao ao sistema de coordenadas X, Y pode ser escritem forma matricial como:

[ ]

=

= 1111

yy yx

xyxx . (1.103)

A matriz de rotao do sistema (x, y) em relao ao sistema (x, y) definidocosenos diretores do primeiro sistema em relao ao segundo:

[ ]

=

= 1111

21

cossen-sencosP YX,Y',X' . (1.104)

Fazendo:

[ ] [ ]YX,Y',X'PP = , (1.105)

a mudana de base da representao do tensor de tenses se d como:

[ ] [ ][ ][ ]

= 2000=11

1121

1111

1111

21=P P T Y',X' (1.106)

Pode-se notar que as tenses cisalhantes em relao ao novo sistema so nconsequentemente, as tenses normais 0 X'X' = e 2 Y'Y' = , so as tenses principaisatuantes e os respectivos eixos so chamados de eixos principais de refernci


28/34


1.27

tensor de tenses analisado. De fato, as tenses principais definem os autovaldo tensor e os eixos X e Y definem os respectivos autovetores.

Assim um elemento genrico do tensor[ ] Y',X' pode ser escrito, na forma indicialcomo:

T ljklikij p p = . (1.107)

Como jlT lj p=p , e a ordem dos fatores irrelevante, obtm-se a expresso (1.102) :

kl jlikij pp = . (1.108)

1.7. DETERMINANTES

1.7.1. Introduo

Para uma matrizA quadrada de ordemn associada a um conjunto den vetoes}v,,v,v{ n21 L de nR , onde cada coluna (linha) de ordemi definida pelas

coordenadas do correspondente vetoriv em nR , defini-se o determinante da matrizA ou do conjunto den vetores associados, como uma funo a valores reaischamado de determinante de ordemn e designado de( )n21 v,,v,vD L ou maisdiretamente relacionada matrizA como det(A):

( ) ij

nnn2n1

2n2221

1n1211

nnn2n1

2n2221

1n1211

a=aaa

aaaaaa

=Adetaaa

aaaaaa

=AL

MMM

L

L

L

MMM

L

L

, (1.109)

onde as colunas (linhas) deA so as componentes dos vetores n21 v,,v,v L relativamente base cannica }e,,e,e{ n21 L de R n ; isto :

nnn22n11nn

nn22221122

nn12211111

ea+ea+eav

ea+ea+eavea+ea+eav

+=

+=+=

L

M

L

L

(1.110)

Esta funo, cuja forma explicita ainda no foi definida deve atender as segucondies:


29/34


1.28

i) ( ) 0=v,,v,vD n21 L ou 0aij = , se e somente se: v,,v,v n21 L so linearmentedependentes;

ii) D linear em cada uma de suas variveis; isto , paran,1,=i L :( ) ( ) ( )ni1ni1nii1 v,,v,,vD+v,,v,,vD=v,,v+v,,vD LLLLLL para , quaisquer e

vetores ni1i v,,v,,v,v LL quaisquer denR ;

iii) ( ) 1.=e,,e,eD n21 L

1.7.2 - Propriedades Bsicas dos DeterminantesA partir das condies exigidas no item anterior, podem ser definir as seguipropriedades:

i) Se um dos vetores n21 v,,v,v L o vetor zero, ento:( ) 0=v,,v,vD n21 L .

Para demonstrar esta propriedade seja o vetor0=vi , ento:( ) ( ) ( ) 0=v,,v,,v0.Dv,,,0.v,vD=v,,v,,vD ni1ni1ni1 LLLLLL = .

ii) Se ji v=v parai , ento ( ) 0=v,,v,vD n21 L .

Pela primeira exigncia do item anterior, comoiv e jv so L.D. , ento( ) 0=v,,v,vD n21 L

iii) Se a seqncia de vetores n21 u,,u,u L obtida de n21 v,,v,v L permutando-seiv e jv , ento ( ) ( )n21n21 v,,v,v-D=u,,u,uD LL .

A demonstrao dessa propriedade parte da substituio dos vetoresiv e jv pelovetor ji v+v em n ji1 v,,v,,v,,v LLLD e expandindo a expresso resultanteutilizando a segunda exigncia do item anterior:

( )( ) ( )( ) ( )n j j1ni j1

n ji1nii1

n21

v,,v,,v,,vD+v,,v,,v,,vDv,,v,,v,,vD+v,,v,,v,,vD

u,,u,uD

LLLLLL

LLLLLL

L

+=

(1.111)


30/34


1.29

Como o primeiro e o quarto termo da expresso anterior so nulos em funitem ii, resulta:

n ji1ni j1 v,,v,,v,,v-D=v,,v,,v,,vD LLLLLL . (1.112)

1.7.3. Definies

i) Se um seqncia de vetores n21 u,,u,u L obtida de n21 v,,v,v L deslocando um dosvetores iv k postos ou posies para a direita ou para a esquerda, ento:

( ) ( ) ( )n21kn21 v,,v,vD1-=u,,u,uD LL . (1.113)

Supondo que( ) ( ) ( )np2p1p e,,e,e L seja uma permutao dos vetores da base padro denR , ento com permutas sucessivas de pares de vetores nesta lista pode-

recoloc-los em sua ordem natural n21 e,,e,e L . Pela propriedade iii do item anteriortem-se:

( ) ( ) ( ) ( ) 1=e,,e,eD=e,,e,eD n21np2p1p LL , (1.114)

sendo o sinal mais ou menos em funo do nmero de trocas exigidos parareordenao seja par ou seja impar.

Assim, podemos definir que:

( ) ( ) ( ) ( ) 1=pS=e,,e,eD np2p1p L . (1.115)

ii) Seja }v,,v,v{ n21 L um conjunto de n vetores quaisquer denR . Assim, os vetoresn21 v,,v,v L podem ser definidos em funo da base padro de

nR como:

+=

+=

+=

n

1= j j jnnnn22n11nn

n

1= j j j2nn22221122

n

1= j j j1nn12211111

ea=ea+ea+eav

ea=ea+ea+eav

ea=ea+ea+eav

L

M

L

L

(1.116)


31/34


1.30

O determinante deste conjunto de vetores,( )n21 v,,v,vD L , fica definidoexplicitamente como:

( )

( )

( )n212 n1

n212 n1

2121

11

j, j jn

1= j

n

1= j jn j2 j1

n

1= j

j j jn

1= j

n

1= j jn j2

n

1= j j1

n

1= j j jn, j j

n

1= j j2

n

1= j j1

n

1= j j jn

n

1= j j j2 j

n

1= j j1

n

1= j j jn

n

1= j j j2

n

1= j j j1n21

e,e,eDa.aa=

e,,e,eDaaa=

ea,e,eDaa=

ea,,ea,eDa=

ea,,ea,eaD=v,,v,vD

LLL

LL

M

L

L

LL

(1.117)

Nesta ltima expresso, os nicos termos no nulos so aqueles para os quseqncia n21 j,, j, j L uma permutao dos nmeros n,2,1, L , pois apenas nestestermos no ocorre repetio entre os vetores n j j2, j1 e,e,e L . Assim, pode-sereescrever a funo como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

p nnp22p11pn21 a.aapS=v,,v,vD LL , (1.118)

onde a notao utilizada indica que a soma estendida s n! permutaes de{ }n,2,1, L .

iii) SejaD o determinante de uma matriz nxn qualquer. Para cada par de ndice(i,j =1,n) seja ijM o determinante (n-1) x (n-1) obtido deD eliminando-se a i-simalinha e a j-sima coluna, ento( ) ij j+iij 1-=A M chamado o cofator do elementoija , e

ijM o determinante menor deste elemento.

1.7.4. Propriedades Complementares

i) SejaA uma matriz n x n e sejaA' a matriz transposta deA, T A=A' , ento:

( ) ( )A'det=Adet . (1.119)


32/34


1.31

ii) O valor do determinante de uma matriz no muda se for somado um mltipsima coluna (linha) i-sima coluna (linha) se i j.

iii) Para todo determinante de uma matrizA (n x n), ija=D , tem-se:

n,2,1,= j,Aa=D ijn

1=iij L e n,2,1,=i,Aa=D ij

n

1= jij L , (1.120)

sendo ijA o cofator do correspondente elementoija .

iv) Para todo determinante de uma matrizA (n x n), ija=D , tem-se:

k jen,2,1,=k j,,0=Aa=D ikn

1=i ij L

e:

kien,2,1,=ki,,0=Aa=D kjn

1= jij L . (1.121)

v) Uma condio necessria e suficiente para que um conjunto den vetores}v,,v,v{ n21 L em nR seja linearmente dependente que( ) 0v,,v,v n21 =LD . Assim,

uma matrizA (n x n) no singular se e somente se( ) 0det A .

vi) O sistema den equaes algbricas lineares an incgnitas:

nnnn22n11n

2nn2222112

1nn1221111

b=xa+xa+xa

b=xa+xa+xab=xa+xa+xa

+

++

L

M

L

L

, (1.122)

tem uma nica soluo se e somente se o determinante de seus coeficientes nulo. Neste caso, a soluo do sistema dado por:

n,2,1,= j,DAb

=x

n

1=iiji

j L

(1.123)ou:


33/34


34/34


30=3.2.5=5.2.353023.=

530020413

=D = ; (1.129)

e:

( ) ( ) 50=12+38=1.3-(-1).(-6).4+2.(-6)-.71.26-131-.472

6-12.=7246-1031-2

=D =+

(1.130)

v) Seja o caso da decomposio de uma matriz, na forma:T LTLA = , sendoL umamatriz triangular inferior de diagonal unitria. Como o( ) ( ) 1=Ldet=Ldet T :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n

1-iii

T d=Ddet=L.detD.detLdet=Adet . (1.131)

Observao: A soluo de sistemas de equaes utilizando determinanteextremamente ineficiente, existindo procedimentos bem mais eficientes. exemplo, usando operaes matriciais elementares, tais como no mtodeliminao de Gauss, que transforma a matriz dos coeficientes numa mtriangular, que por sua vez admite uma soluo explicita de grande simplicidad

Documents

Cap1 - Mecanica Das Estruturas - Algebra Matricial