Cap.2 - Sistemas e Transformacao de Coordenadas

SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

- TÓPICOS DAS AULAS -

1. Introdução.

2. Sistema de coordenadas cartesianas.

3. Sistema de coordenadas cilíndricas circulares.

Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira

4. Sistema de coordenadas esféricas.

5. Sistema de coordenadas ortogonais generalizado.

6. Superfícies de coordenada constante.

Introdução

• Em geral, as quantidades físicas com que trabalhamos noEletromagnetismo são funções do espaço e do tempo.

• A fim de descrever as variações espaciais dessas quantidades,devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneiraunívoca no espaço de forma adequada.


• Isto requer o uso de um sistema de coordenadas apropriado.

• Um ponto, ou um vetor, pode ser representado em qualquersistema de coordenadas curvilíneo ortogonal ou não-ortogonal.

• Um sistema ortogonal é aquele em que as coordenadas sãomutuamente perpendiculares.

• Pode-se economizar uma parcela considerável de tempo, e de

trabalho, ao escolher um sistema de coordenadas que mais se

adapta a um determinado problema.

• Um problema difícil em um sistema de coordenadas pode ser de

fácil solução em outro sistema.

• Neste curso nos restringiremos aos três mais conhecidos


• Neste curso nos restringiremos aos três mais conhecidos

sistemas de coordenadas ortogonais:

– Cartesiano.

– Cilíndrico.

– Esférico.

Sistema de coordenadas cartesianas

• Um ponto P pode ser representado por (x, y, z).

• Os intervalos de variação das variáveis coordenadas x, y e z são

∞<<∞−

∞<<∞−

y

x


• Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser escrito como

onde âx, ây e âz são vetores unitários ao longo de x, y e z.

∞<<∞−

∞<<∞−

z

y

( )zzyyxxzyx ou,, âAâAâAAAA ++

Sistema de coordenadas cilíndricas circulares

• Um sistema de coordenadas cilíndricas circulares é conveniente

quando tratamos problemas com simetria cilíndrica.

• Um ponto P pode ser representado por (ρ, φ, z).

― ρ representa o raio do cilindro que


― ρ representa o raio do cilindro que

passa pelo ponto P.

― φ é denominado de ângulo azimutal,

sendo medido a partir do eixo x, no

plano xy.

― z é a mesma coordenada utilizada no

sistema de coordenadas cartesianas.Figura 1

• Os intervalos de variação das variáveis coordenadas ρ, φ e z são

• Um vetor A, em coordenadas cilíndricas circulares, pode ser

escrito como

∞<<∞−

<≤

∞<≤

z

πφ

ρ

20

0


escrito como

onde âρ, âφ e âz são vetores unitários ao longo de ρ, φ e z.

• âρ aponta no sentido de crescimento de ρ, âφ aponta no sentido

de crescimento de φ e âz aponta no sentido de crescimento de z.

( )zzφφρρzφρ ou,, âAâAâAAAA ++

• Dessa forma,

0

1

zρzφφρ

zzφφρρ

=⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅

ââââââ

ââââââ

âââ =×


φρz

ρzφ

zφρ

âââ

âââ

âââ

=×

=×

=×

Figura 2

• As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas

cartesianas com as do sistema de coordenadas cilíndricas

circulares (ρ, φ, z) são dadas por

φρ

φρ

sen

cos

=

=

y

x


=

+=

x

y

yx

arctg

22

φ

ρ

Figura 3

• As relações entre âx, ây, âz e âρ, âφ, âz são dadas por

φφ

φφ

cossen

sencos

φyφx

ρyρx

=⋅−=⋅

=⋅=⋅

ââââ

ââââ


Figura 4

• Podemos escrever o vetor A da seguinte forma

• Se quisermos expressá-lo em coordenadas cilíndricas circulares

podemos fazer as seguintes operações

zzyyxx âAâAâAA ++=→

( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅=⋅=→


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )zzzzyyzxxzz

φzzφyyφxxφφ

ρzzρyyρxxρρ

ââAââAââAâAA

ââAââAââAâAA

ââAââAââAâAA

⋅+⋅+⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅=⋅=

→

→

→

• Dessa forma, obtemos

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

y

x

φzφyφx

ρzρyρx

φ

ρ

A

A

ââââââ

ââââââ

A

A


⋅⋅⋅

zzzzyzxz AââââââA

[ ] ( )[ ][ ]xyzρφz ATA φ=

• Fazendo as devidas substituições, obtemos

−=

y

x

φ

ρ

100

0cossen

0sencos

A

A

A

A

φφ

φφ


zz

100 AA

[ ] ( )[ ][ ]xyzρφz ATA φ=

• De cilíndricas circulares para cartesianas, temos

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

φ

ρ

yzyφyρ

xzxφxρ

y

x

A

A

ââââââ

ââââââ

A

A


⋅⋅⋅

zzzzφzρz AââââââA

[ ] ( )[ ] [ ]ρφz

1

xyz ATA−

= φ


−

=

φ

ρ

y

x

100

0cossen

0sencos

A

A

A

A

φφ

φφ


zz

100 AA

[ ] ( )[ ] [ ]ρφz

1

xyz ATA−

= φ

• Pelas expressões anteriores, constatamos que

ou seja

( )[ ] ( )[ ]T1φφ TT =

−


[ ] ( )[ ][ ]

[ ] ( )[ ] [ ]ρφz

T

xyz

xyzρφz

ATA

ATA

φ

φ

=

=

Sistema de coordenadas esféricas

• Um sistema de coordenadas esféricas é conveniente quando

tratamos problemas com simetria esférica.

• Um ponto P pode ser representado por (r, θ, φ).

― r representa a distância, a partir da


― r representa a distância, a partir da

origem, até o ponto P.

― θ é denominado de co-latitude, sendo

medido a partir do eixo z e o vetor

posição de r.

― φ é a mesma coordenada utilizada no

sistema de coordenadas cilíndricas

circulares.Figura 5

• Os intervalos de variação das variáveis coordenadas r, θ e φ são

• Um vetor A, em coordenadas esféricas, pode ser escrito como

πφ

πθ

20

0

0

<≤

≤≤

∞<≤ r


onde âr, âθ e âφ são vetores unitários ao longo de r, θ e φ.

• âr aponta no sentido de crescimento de r, âθ aponta no sentido

de crescimento de θ e âφ aponta no sentido de crescimento de φ.

( )φφθθrrφθr ou,, âAâAâAAAA ++

• Dessa forma,

0

1

φrφθθr

φφθθrr

=⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅

ââââââ

ââââââ

âââ =×


θrφ

rφθ

φθr

âââ

âââ

âââ

=×

=×

=×

Figura 6

• As relações entre as variáveis (x, y, z) do sistema de coordenadas

cartesianas com as do sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ)

são obtidas a partir da seguinte representação gráfica


Figura 7

• Dessa forma

θ

φθ

φθ

cos

sensen

cossen

rz

ry

rx

=

=

=

++= zyxr222


=

+=

++=

x

y

z

yx

zyxr

arctg

arctg22

φ

θ

• As relações entre âx, ây, âz e âr, âθ, âφ são dadas por

coscos

cos

sensen

cossen

θx

rz

ry

rx

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

=⋅

ââ

ââ

ââ

ââ

φθ

φθ

θ

φθ

φθ


0

cos

sen

sen

sencos

φz

φy

φx

θz

θy

=⋅

=⋅

−=⋅

−=⋅

=⋅

ââ

ââ

ââ

ââ

ââ

φ

φ

θ

φθ

Figura 8

• Podemos escrever o vetor A da seguinte forma

• Se quisermos expressá-lo em coordenadas esféricas podemos

fazer as seguintes operações

zzyyxx âAâAâAA ++=→

( ) ( ) ( )⋅+⋅+⋅=⋅=→


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )φzzφyyφxxφφ

θzzθyyθxxθθ

rzzryyrxxrr

ââAââAââAâAA

ââAââAââAâAA

ââAââAââAâAA

⋅+⋅+⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅=⋅=

⋅+⋅+⋅=⋅=

→

→

→

• Dessa forma, obtemos

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

y

x

θzθyθx

rzryrx

θ

r

A

A

ââââââ

ââââââ

A

A

A


⋅⋅⋅

zφzφyφxφ AââââââA

[ ] ( )[ ][ ]xyzrθ , AMA φθφ =


−

−=

y

x

θ

r

0cossen

sensencoscoscos

cossensencossen

A

A

A

A

A

A

φφ

θφθφθ

θφθφθ


−

zφ

0cossen AA φφ

[ ] ( )[ ][ ]xyzrθ , AMA φθφ =

• De esféricas para cartesianas, temos

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=

θ

r

yφyθyr

xφxθxr

y

x

A

A

A

ââââââ

ââââââ

A

A


⋅⋅⋅

φzφzθzrz

AââââââA

[ ] ( )[ ] [ ] φφθ rθ

1

xyz , AMA−

=


−

−

=

θ

r

y

x

0sencos

cossencossensen

sencoscoscossen

A

A

A

A

A

A

θθ

φφθφθ

φφθφθ


−

φz

0sencos AA θθ

[ ] ( )[ ] [ ] φφθ rθ

1

xyz , AMA−

=

• Pelas expressões anteriores, constatamos que

ou seja

( )[ ] ( )[ ]T1,, φθφθ MM =

−


[ ] ( )[ ][ ]

[ ] ( )[ ] [ ] φ

φ

φθ

φθ

rθ

T

xyz

xyzrθ

,

,

AMA

AMA

=

=

• Na transformação de um ponto, ou de um vetor, eles não se

alteram, apenas são expressos de maneira diferente.

• Portanto, a magnitude de um vetor, por exemplo, permanece a

mesma depois de uma transformação e isso serve como um

modo de conferir o resultado da transformação.

• A distância d, entre dois pontos com vetores posição r1 e r2, é


• A distância d, entre dois pontos com vetores posição r1 e r2, é

geralmente dada por

2

12

2→→

−= rrd

• Em coordenadas cartesianas

• Em coordenadas cilíndricas circulares

( ) ( ) ( )2

12

2

12

2

12

2zzyyxxd −+−+−=

( ) ( )2

121212

2

1

2

2

2 cos2 zzd −+−−+= φφρρρρ


• Em coordenadas esféricas

( )1212121212

2

1

2

2

2 cossensen2coscos2 φφθθθθ −−−+= rrrrrrd

Exercícios

1. Obtenha a matriz de transformação de um vetor que se encontra

representado no sistema de coordenadas cilíndricas circulares

para o sistema de coordenadas esféricas.

2. Converta os pontos P (1, 3, 5), T (0, -4, 3) e S (-3, -4, -10) do

sistema de coordenadas cartesianas para os sistemas de


sistema de coordenadas cartesianas para os sistemas de

coordenadas cilíndricas circulares e esféricas.

3. Transforme o vetor

em coordenadas cilíndricas circulares e em esféricas.

z222

x222

22

âzyx

yzâ

zyx

yxQ

++−

++

+=

→

Exercícios

4. Determine Q no ponto T nos três sistemas de coordenadas.

5. Expresse os seguintes vetores em coordenadas cartesianas:

zφρ sencoscos3sen âââzA φφρφρφρ ++=→


φr

2

zφρ

sen

sencoscos3sen

âârB θ

φφρφρφρ

+=

++=

→

Sistema de coordenadas ortogonais generalizado

• Embora as leis que regem o eletromagnetismo não variem com o

sistema de coordenadas utilizado, as soluções dos problemas

exigem que as relações obtidas por essas leis sejam expressas

em um sistema de coordenadas apropriado com a geometria de

tais problemas.


• Em um espaço tridimensional, um ponto pode ser localizado

como a interseção de três superfícies, são elas: u, v e w, todas

constantes e não necessariamente precisam ser comprimentos

físicos.

• Quando essas três superfícies (u, v e w) são mutuamente

perpendiculares, tem-se um sistema de coordenadas ortogonal.

• Algumas superfícies representadas por ui = constante, podem

não ser planas, podendo ser curvilíneas.

• âu, âv e âw são os vetores unitários nas três direções coordenadas

e são denominados de vetores-base.

• Em um sistema de coordenadas curvilíneo, ortogonal e

dextrógiro, as seguintes relações são satisfeitas


dextrógiro, as seguintes relações são satisfeitas

1

0

wwvvuu

wvwuvu

vuw

uwv

wvu

=⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅

=×

=×

=×

ââââââ

ââââââ

âââ

âââ

âââ

• Qualquer vetor A pode ser escrito como a soma de suas

componentes nas três direções da seguinte forma

sendo sua magnitude dada por

wwvvuu âAâAâAA ++=→


2

w

2

v

2

u AAAA ++=→

• Em cálculo vetorial, frequentemente realizamos cálculos de

integrais de linha, de superfície e de volume.

• Em cada caso, precisamos expressar o comprimento diferencial

correspondente a uma variação diferencial em uma das

coordenadas.

• Entretanto, algumas coordenadas podem não ser comprimento


• Entretanto, algumas coordenadas podem não ser comprimento

físico e um fator de conversão é necessário para converter uma

variação diferencial dui em uma variação no comprimento dli, ou

seja,

onde hi é conhecido como coeficiente métrico e pode ser uma

função de u, v e w.

iii duhdl =

dl

dlwdlu

P

âv

âu

âw


dlvS1

S0

S2

P

Figura 9

• Um comprimento diferencial, em uma direção arbitrária, pode

ser escrito como uma soma vetorial de componentes, ou seja,

( ) ( ) ( )dwhâdvhâduhâld

dlâdlâdlâld

wwvvuu

wwvvuu

++=

++=

→

→


• Desse modo, a magnitude de dl é dada por

( ) ( ) ( )2

w

2

v

2

u

2

w

2

v

2

u dwhdvhduhdldldllddl ++=++==→

• O volume diferencial é formado pelas variações diferenciais nas

coordenadas u, v e w, nas direções âu, âv e âw, sendo dado por

( )( )( )

dudvdwhhhdv

dwhdvhduhdldldldv

wvu

wvuwvu

=

==


• Teremos ocasiões de expressar a corrente, ou fluxo, através de

uma área diferencial. Em tais casos, a área da seção

perpendicular à corrente, ou ao fluxo, deve ser utilizada. Sendo

conveniente utilizar um vetor área diferencial, cuja direção é

normal à superfície, ou seja,

dSâSd n=→

dl

dlwdlu

P

âv

âu

âw


dlvS1

S0

S2

P

Figura 10

• Em um sistema de coordenadas curvilíneas ortogonais

generalizado, a área diferencial dSu, normal ao vetor âu, é dada

por

( )( )

dvdwhhdS

dwhdvhdldldS

wvu

wvwvu

=

==


• Dessa forma, temos que as áreas diferenciais, normais a âv e âw

são

dvdwhhdS wvu =

( )( )

( )( ) dudvhhdvhduhdldldS

dudwhhdwhduhdldldS

vuvuvuw

wuwuwuv

===

===

dl

dlwdlu

P

âv

âu

âw


dlvS1

S0

S2

P

Figura 11

• Relacionando com os sistemas de coordenadas ortogonais

estudados até o presente momento, temos que

Generalizado hu

hv hwâu

âv âw

Cartesiano 1 1 1 âx ây âz


Cartesiano 1 1 1 âx ây âz

Cilíndrico 1 ρ 1 âρ âφ âz

Esférico 1 r rsenθ âr âθ âφ

Superfícies de coordenada constante

• As superfícies, nos sistemas de coordenadas, são obtidas ao

manter uma das variáveis com valor constante, enquanto que as

outras variam.Coordenadas cartesianas


Figura 12

Coordenadas cilíndricas circulares


Figura 13

Coordenadas esféricas


Figura 14

Exercício

6. Considere o campo vetorial

No ponto (1, π/3, 0), determine:

z

2

φ

2

ρ2

sencos ââeâzH ρφ

φρ +

+= −

→


a) H . âx.

b) H x âθ.

c) A componente vetorial de H normal à superfície ρ = 1.

d) A componente escalar de H tangencial ao plano z = 0.

Documents

Cap.2 - Sistemas e Transformacao de Coordenadas