Cap6- Problemas Resolvidos

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  • Problemas Resolvidos do Captulo 6

    TRABALHO E ENERGIA MECNICA

    Ateno Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros so deixados para v. treinar

    PROBLEMA 1 Resolva o problema 8 do Captulo 4 a partir da conservao de energia. (Problema 4.8 - Ummartelo atinge um prego com velocidade v, fazendo-o enterrar-se de uma profundidade l numa prancha de madeira.Mostre que a razo entre a fora mdia exercida sobre o prego e o peso do martelo igual a h/l, onde h a altura dequeda livre do martelo que o faria chegar ao solo com velocidade v. Estime a ordem de grandeza dessa razo paravalores tpicos de v e l. Soluo PROBLEMA 2 No sistema da figura, M 3 kg, m 1 kg e d 2 m. O suporte S retirado num dado instante.

    (a) Usando conservao de energia, ache com que velocidade M chega ao cho. (b) Verifique o resultado, calculandoa acelerao do sistema pelas leis de Newton.

    Soluo Considerando o nvel de referncia z 0 no cho, temosInicial Final

    m z0 0 v0 0 z1 d v1 vM Z0 d V0 0 Z1 0 V1 V

    Logo,

    Ei 12 mv02 mgz0 12 MV0

    2 MgZ0 MgdEf 12 mv1

    2 mgz1 12 MV12 MgZ1 12 mv

    2 mgd 12 MV2

    Devido conservao da energia mecnica total, Ei Ef, encontra-se (v V)

    Mgd 12 mV2 mgd 12 MV

    2 12 m MV2 M mgd V 2M mgdm M

    Portanto,

    V 2 3 1 9, 8 23 1 4, 43 m/s.

    Leis de Newton Como l1 l2 constante am aM a. Assim,T Mg Ma, T mg ma

    ou

    Prof. Dr. Abraham Moyss Cohen Departamento de Fsica PR-6.1

  • Universidade Federal do Amazonas

    mg ma Mg Ma m Ma M mg a M mgm M

    Com esta acelerao e V2 2ad 2 M mgm M d V 2M mgdm M que a mesma encontrada anteriormente.

    * * * PROBLEMA 3 Uma particula de massa m 1 kg, lanada sobre um trilho retilneo com velocidade de 3 m/s, estsujeita a uma fora Fx a bx, onde a 4 N, b 1 N/m, e x o deslocamento, em m, a partir da posio inicial. (a)Em que pontos do trilho a velocidade da partcula se anula? (b) Faa o grfico da velocidade da partcula entre essespontos. (c) A que tipo de lei de foras corresponde Fx ? Soluo Do teorema trabalho energia cintica,

    Wx0x T T0Tomando a origem na posio de lanamento, v0 3 m/s e e x0 0. Como

    Wx0x 0

    xFx dx

    0

    xa bx dx a 0

    xdx b

    0

    xxdx ax 12 bx

    2.

    e T 12 mv2 e T0 12 mv0

    , encontra-se

    ax 12 bx2 12 mv

    2 12 mv02

    ou (m 1,v0 3, a 4, b 1) 4x 12 x

    2 92 12 v

    2 v 9 8x x2 .(a) Logo, os pontos para os quais v 0, so obtidos pela soluo da equao 9 8x x2 0. Ou seja,

    x 9 m e x 1 m.(b) Grfico v x:

    1

    2

    3

    4

    v (m/s)

    -8 -6 -4 -2 0x (m)

    (c) Lei de Hooke.

    PROBLEMA 4 No sistema da figura, onde as polias e os flos tm massa desprezvel, m1 1 kg e m2 2 kg. (a)O sistema solto com velocidade inicial nula quando as distncias ao teto so l1 e l2. Usando conservao daenergia, calcule as velocidades de m1 e m2 depois que m2 desceu uma distncia x2. (b) Calcule a partir da asaceleraes a1 e a2 das duas massas. (c) Verifique os resultados usando as leis de Newton.

    Notas de Aula de Fsica I Trabalho e Energia Mecnica - Problemas Resolvidos PR-6.2

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    Soluo Vamos escolher o nvel de referncia z 0 no teto, com o sentido positivo do eixo z para cima. Comol2 2l1 constante, l2 2l1. Se l2 x2 (m2 desce) l1 12 l2

    12 x2 (m1 sobe). Derivando a relao

    l2 2l1 constante, obtm-se v2 2v1. A energia total antes dos blocos comearem a se mover vale(v10 0,v20 0, z10 l1, z20 l2

    Ei 12 m1v102 m1gz10 12 m2v20

    2 m2gz20 Ei m1gl1 m2gl2.

    e, depois, v1 12 v,v2 v, z1 l1 12 x2, z2 l2 x2

    Ef 12 m1v12 m1gz1 12 m2v2

    2 m2gz2 Ef 12 m112 v

    2 m1g l1 12 x2 12 m2v

    2 m2gl2 x2 ou seja,

    Ef 18 m1v2 m1gl1 12 m1gx2

    12 m2v

    2 m2gl2 m2gx2Da conservao da energia total, Ei Ef, encontra-se

    m1gl1 m2gl2 18 m1v2 m1gl1 12 m1gx2

    12 m2v

    2 m2gl2 m2gx20 18 m1v

    2 12 m1gx2 12 m2v

    2 m2gx2 m1v2 4m1gx2 4m2v2 8m2gx2 0

    ou

    m1 4m2 v2 8m2 4m1 gx2 0de onde se obtm

    v1 12 v 12

    8m2 4m1 gx2m1 4m2

    2m2 m1 gx2m1 4m2

    v2 v 8m2 4m1 gx2m1 4m2 22m2 m1 gx2m1 4m2

    Para os valores dados,

    v1 2 2 1gx21 4 2 3gx23

    v2 2 2 2 1gx21 4 2 2 3gx2

    3

    Prof. Dr. Abraham Moyss Cohen Departamento de Fsica PR-6.3

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    Para calculara a acelerao, usa-se Torricelli, z1 x22 ,z2 x2

    v12 2a1z1 a1 v12

    2z1 3gx2

    9x2 13 g

    v22 2a1z2 a2 v22

    2z2 12gx2

    92x2

    23 g

    Ou seja,

    a1 13 g a2 23 g

    * * * PROBLEMA 5 Um garoto quer atirar um pedregulho de massa igual a 50 g num passarinho pousado num galho5 m a sua frente e 2 m acima do seu brao. Para isso, utiliza um estilingue em que cada elstico se estica de 1 cm parauma fora aplicada de 1 N. O garoto aponta numa direo a 30 da horizontal. De que distncia deve puxar os elsticospara acertar no passarinho?

    Soluo Para acertar o passarinho, sua posio deve estar sobre a trajetria. Para a origem na mo do garoto,as coordenadas do passarinho so 5, 2. Assim, usando a equao da trajetria do projtil, podemos encontrar o valorde v0 para o 30. Ou seja,

    y x tg gx22v02 cos2

    gx22v02 cos2

    x tg y 2v02 cos2gx2

    1x tg y v0 gx2

    2cos2x tg yLogo,

    v0 9, 8 52

    2cos2 6 5 tg6 2

    13, 6 m/s.

    5 m

    2 m30

    v0

    Para calcular o quanto devem ser esticados os elsticos do estilingue para que a pedra atinja esta velocidade vamosusar a conservao da energia mecnica:

    12 kx

    2 12 mv2

    ou seja,

    x mv2konde o valor de k pode ser obtido da condio F0 1 N x0 0. 01 m (cada elstico), usando a lei de Hooke

    Notas de Aula de Fsica I Trabalho e Energia Mecnica - Problemas Resolvidos PR-6.4

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    F0 kx0. Como so dois elsticos, F 2 N para x 0, 01m. Portantok Fx 20, 01 200 N/m

    Logo, m 0, 050 kg

    x mv2k 0, 05 13, 62

    200 0, 215 m

    Ou seja, cada elstico dever ser esticado de 21, 5 cm.

    * * * PROBLEMA 6 Uma balana de mola calibrada de tal forma que o prato desce de 1 cm quando uma massa de0, 5 kg est em equilbrio sobre ele. Uma bola de 0, 5 kg de massa fresca de po, guardada numa prateleira 1 m acimado prato da balana, escorrega da prateleira e cai sobre ele. No levando em conta as massas do prato e da mola, dequanto desce o prato da balana?

    Soluo Inicialmente vamos calcular com que velocidade a bola de massa de po atinge o prato. Porconservao da energia mecnica para a bola, v0 0, z0 1m, z1 0, v1 v

    12 mv0

    2 mgz0 12 mv12 mgz1 mgz0 12 mv

    2 v 2gz0Para z0 1

    v 2 9, 8 1 4, 43 m/s.

    z0 = 1 m

    Ov

    v0 = 0

    z

    Ao atingir o prato com esta velocidade, a massa tem energia cintica que ser transformada totalmente numa parcelade energia potencial elstica (da mola) e outra de energia potencial gravitacional, devido conservao da energiamecnica. Assim, considerando a posio do prato como o nvel de referncia z 0, temos pela conservao daenergia

    12 mv

    2 mgz 12 kz2

    A soluo desta equao fornece

    z mg m2g2 kmv2k

    O valor de k pode ser calculado pela condio F 0, 5 9, 8 N x 0, 01 m ouk Fx 0, 5 9, 80, 01 490 N/m.

    Prof. Dr. Abraham Moyss Cohen Departamento de Fsica PR-6.5

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    Para m 0, 5 kg

    z 0, 5 9, 8 0, 5 9, 82 490 0, 5 4, 432

    490 z 15, 2 cmz 13, 2 cm

    Como a posio inicial do prato z 0, a soluo deve ser negativa, ou seja, z 15, 2 cm o quanto o prato abaixa.* * *

    PROBLEMA 7 Uma partcula de massa igual 2 kg desloca-se ao ongo de uma reta. Entre x 0 e x 7 m, elaest sujeita fora Fx representada no grfico. Calcule a velocidade da partcula depois de percorrer 2, 3, 4, 6 e 7 m,sabendo que sua velocidade para x 0 de 3 m/s.

    Soluo Vamos usar o teorema W T, considerando T0 12 mv02 12 2 3

    2 9 J. Assim,W02 Tx2 T0

    Como W rea do grfico F x, ento W02 2 2 4 J. Mas Tx2 12 mv2x 2 vx22 . Logo

    4 vx22 9 vx2 9 4 vx2 5 m/s.Da mesma forma

    W03 Tx3 T0Mas

    W03 W02 W23 4 12 2 1 5 JLogo,

    5 vx32 9 vx3 9 5 vx3 2 m/s.Para x 4

    W04 W02 W23 W34 4 12 2 1 12 2 1 4 J

    ento

    4 vx42 9 vx4 9 4 vx4 5 m/sPara x 6

    W06 W02 W23 W34 W46 4 12 2 1 12 2 1 2 2 0 J

    ento

    0 vx62 9 vx6 9 vx6 3 m/s

    Notas de Aula de Fsica I Trabalho e Energia Mecnica - Problemas Resolvidos PR-6.6

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    Finalmente, para x 7W07 W02 W23 W34 W46 W67 4 12 2 1

    12 2 1 2 2

    12 2 1 1 J

    logo,

    1 vx72 9 vx7 9 1 vx7 10 m/s

    * * * PROBLEMA 8 Uma partcula move-se ao longo da direo x sob o efeito de uma fora Fx kx Kx2, ondek 200 N/m e K 300 N/m2. (a) Calcule a energia potencial Ux da partcula, tomando U0 0, e faa um grfico deUx para 0, 5 m x 1 m. (b) Ache as posies de equilbrio da partcula e discuta sua estabilidade. (c) Para quedomnio de valores de x e da energia total E a partcula pode ter um movimento oscilatrio? (d) Discutaqualitativamente a natureza do movimento da partcula nas demais regies do eixo dos x.

    Dado: 0

    x xndx xn1n 1 .

    Soluo (a) Por definio,Ux

    x0

    xFx dx kx Kx2 dx k

    x0

    xxdx K

    x0

    xx2dx

    12 kx2 x02 13 Kx

    3 x03 Da condio U0 0 x0 0 e, portanto,

    Ux 12 kx2 13 Kx

    3

    Grfico: k 200 e K 300Ux 100x2 100x3

    0

    10

    20

    30