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Capítulo 8 – Controlador PID CONTROLO | 1º sem 2017/2018 Cap 8 – Controlador PID Eduardo Morgado Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (lecionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores CONTROLO MEEC 1º semestre – 2017/2018

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Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

Cap 8 – Controlador PID

Eduardo Morgado

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que

foram elaboradas (lecionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLOMEEC

1º semestre – 2017/2018

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018 ÓEd

uard

o M

orga

do

2

Controlador Proporcional -Integral-Derivativo (PID)

UTILIDADE

- Controladores de uso frequente, pela sua simplicidade.- Três Acções ajustáveis: Proporcional (P), Integral (I), Derivativa (D)- Objectivos: i) melhorar o seguimento da referência e/ou a rejeição de

perturbações ii) melhorar a resposta transitória ou estabilidade relativa

DEFINIÇÃO

Equação integro-diferencial: dt

de(t)KdeKe(t)Ku(t) Dt

IP ++= ò tt0

)(

Ou: úû

ùêë

é++= ò dt

de(t)TdeT

e(t)Ku(t) Dt

IP tt

0)(1

C(s)ue

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

3

Função de transferência: DI

P sKs

KKsC ++=)(

Ou: úû

ùêë

é++= D

IP sT

sTKsC 11)(

Três parâmetros para ajustar

pK )(sG p

1

DsT

+

+

_

+ + r

+

y

d

n

u e +

IsT1

_

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018 ÓEd

uard

o M

orga

do

4

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

P

Kp = 30

ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES apoiada no root-locus

Exemplo:

)2)(1(1)(++

=ss

sGp

e(t)Ku(t) p=

_

pKsC =)(

é a lei de controlo mais simples

à referência para os casos seguintes

0>PK

- Os diagramas root-locus representam o deslocamento dos polos da malha fechada quando se varia o ganho proporcional

- Os polos da malha fechada para os valores de parâmetros de C(s) indicados são representados por o

- Ver adiante [slides 9-10] a resposta y(t) a escalão unitário na referência r, e a escalão unitário na perturbação d

0

AÇÃO PROPORCIONAL (P)

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5

-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

I

Kp = 30

tt deKu(t)t

P ò=0

)(

sKsC P=)(

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

introduz um polo na origem à tipo aumenta à melhora o seguimento em regime permanente

mas ... (em geral) a estabilidade relativa piora

no Exemplo à os ramos do root-locus inflectem para o SPCD para Kp > 6 o sistema é instável

associar à acção Proporcional à

AÇÃO INTEGRAL (I)

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-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real AxisIm

ag A

xis

PI

Kp = 30Ti = 2

CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)

úû

ùêë

é+= ò tt deT

e(t)Ku(t)t

IP 0

)(1

úû

ùêë

é+=

IP sTKsC 11)( =

sTs

K IP

)1( +

TI : tempo integral (reset time)

polo na origem s=0 à melhora o seguimento em regime permanente

zero em:

geralmente colocado próximo do polo em s=0 para não

perturbar a dinâmica devida aos restantes polos e zeros

ITs 1-=

- a substituição P à PI melhorou seguimento em regime permanente, (tipo 0 à tipo 1), sem alterar significativamente os ramos principais do root-locus

- no ramo junto da origem: i) polo adicional da malha fechada associado a transitório lento (t elevado)ii) zero adicional da malha fechada em

ITs 1-=

( ver resposta y(t) à [slides 9-10] )

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

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-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

PD

Kp = 30Td = 0,2

CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)

úûù

êëé +=

dtde(t)Te(t)Ku(t) DP

[ ]DP sTKsC += 1)(DT : tempo derivativo

DTs 1-=o zero do controlador “atrai” os

ramos do root-locus afastando-os do SPCD

à aumenta x (amortecimento) à melhoria da estabilidade relativa

dttde )(a acção Derivativa introduz “antecipação” à o sinal de controlo u(t) depende não só da

intensidade do erro e(t) (acção P), mas também da sua rapidez de variação (acção D)

mas ... a acção Derivativa amplifica as componentes de alta frequência dos sinais (variações bruscas, ruído, ...)r(t) ~ escalão Þ sinal de controlo u(t) de grande amplitude Þ esforços, regime não-linear

( ver resposta y(t) à [slides 9-10 ] )

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

AÇÃO DERIVATIVAL (D)

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-10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

PID

Kp = 30Ti = 2Td = 0,2

CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)

úû

ùêë

é++= ò dt

de(t)TdeT

e(t)Ku(t) Dt

IP tt

0)(1

I

IDIPD

IP sT

sTTTsKsTsT

KsC )1(11)(2 ++

=úû

ùêë

é++=

reúne as acções anteriores

procura-se melhorar simultâneamente oregime permanente e a dinâmica

os zeros do controlador podem ser reais ou complexos

( ver resposta y(t) à [slides 9-10 ] )

+

C(s) Gp(s)+_

++

r

+

yd

n

ue

1

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Resposta y(t) a um escalão unitário na referência r(t) (d = 0, n = 0)

+

C(s) Gp(s)+

_

++

r

+

yd

n

u

e

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5PI

P

PD

PID

Kp = 30Ti = 2Td = 0,2

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10

+

C(s) Gp(s)+

_

++

r

+

yd

n

u

e

Resposta y(t) a um escalão unitário na perturbação d(t) (r = 0, n = 0)Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 2 4 6 8 100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045P

PI

PD

PID

Kp = 30Ti = 2Td = 0,2

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CONTROLO | 1º sem 2017/2018

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Técnicas ANTI -WINDUP da acção Integral

Problema:Saturação (não-linearidade) no actuador precedido de acção Integral (Ex: válvula, amplificador electrónico, ...)

à erro e(t) é reduzido através da retroacção negativa

à saída do controlador uc(t) cresce [pq. ui(t) = KI ò e(t) dt cresce: wind-up do integrador]enquanto e(t) não inverter a polaridade

à enquanto uc(t) > umax (actuador em saturação: u=umax) a inversão na polaridade de e(t) ocorre lentamente

Þ y(t) apresenta oscilações duráveis c/ elevada amplitude

)(sG p

Kp

_

+ r y u e

+ s

KI

uc

ui

u umin

uc

umax _

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Soluções:

i) desligar a acção Integral quando o actuador satura: “ if çucç > umax then KI = 0 “

ii) não-linearidade “zona-morta” em retroacção negativa em torno da acção integral (à tendente a repor rapidamente a entrada do integrador em zero e conduzir uc(t)para o domínio linear)

iii) outras soluções ... (ver Bibliografia)

umin

uc

umax

)(sG p

Kp

_

+ e y u +

sKI

uc

ui

u umin

uc

umax _

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CONTROLO | 1º sem 2017/2018

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OUTRAS CONFIGURAÇÕES do PID

Configuração básica

Diferenciação aplicada ao sinal de erro:

r(t) ≈ função escalão Þ u(t)~ impulsivo (na prática, com elevada amplitude)

(notar que para do exemplo anterior a função de transferência

U(s)/R(s) vem não-própria, i.e., nº zeros > nº polos))2)(1(

1)(++

=ss

sGp

pK

)(sG p

1

DsT

+

+

_

+ + r

+

y

d

n

u e +

IsT1

_

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

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Configuração alternativa :

à a Diferenciação é aplicada ao sinal de retroacção da saída (mais lento que e(t))

esta configuração ocorre na “retroacção de velocidade” com taquímetro ou encoder

Notar que ambas as configurações têm a mesma função de transferência da malha aberta (loop gain) e a mesma f. t. Y(s)/D(s) (r=0, n=0) , mas diferentes U(s)/R(s) e

Y(s)/R(s).

pK )(sG p

1

DsT-

+

+

_

+ +

+

y

d

n

u e +

IsT1

_

r

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CONTROLO | 1º sem 2017/2018

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Objectivo: Limitação do ganho para as altas frequências

Diminui a amplitude do esforço de controlo u(t)Diminui sensibilidade ao ruído n(t)Mais realista (nº polos ≥ nº zeros)

Introdução de um polo ajustável no bloco derivativo

DsT

NTs

sTD

D

+1

- Na realidade estão normalmente envolvidos mais polos (e/ou zeros) do que os incluídos nas funções de transferência dos controladores

P-I-D ideais atrás indicadas.

Contudo, desde que os polos e zeros das funções de transferência ideais sejam dominantes essa aproximação facilita a análise e o

projecto.

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AJUSTE DOS PARÂMETROS DO P-I-DRegras de Ziegler-Nichols ( ajuste empírico in loco ).Baseiam-se num ensaio experimental Dois métodos:

Processoyu

y(t)

t

A

t

R=A/t

L=td1)()(

+=

-

tsAe

sUsY dst

Tipo de Controlador Valores dos parâmetros

Proporcional Kp = 1/RL

Proporcional-Integral Kp = 0,9/RLTI = L/0,3

Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 1,2/RLTI = 2 LTD = 0,5 L

Da curva experimental em malha aberta para uma entrada escalão extraem-se: R e L

Parâmetros do PID sugeridos (resposta ao escalão da malha fechada com x ~ 0,21) :

I) Método da “curva de reacção”

Tangente desenhada no ponto de inflexão

úû

ùêë

é++= D

IP sT

sTKsC 11)(

No sistema em cadeia fechada o transitório sofre um decaimento de 25% em 1 período

Capítulo 8 – Controlador PID

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II) Método da “sensibilidade última” (ou do ganho último)

Tu

y(t)

+Processo

yKu_

Tipo de Controlador Valores dos parâmetros

Proporcional Kp = 0,5 Ku

Proporcional-Integral Kp = 0,45 KuTI = Tu/1,2

Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 0,6 KuTI = Tu /2TD = Tu /8

O ensaio é realizado em malha fechada com o controlador em modo Proporcional.

Variar ganho Kp até ao limiar da instabilidade quando se começam a observar oscilações de amplitude constante

à registar: ganho último Kp = Kue correspondente período das oscilações Tu .

úû

ùêë

é++= D

IP sT

sTKsC 11)(

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CONTROLO | 1º sem 2017/2018

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EXEMPLO de projecto do PID

C(s) Gp(s)yr +

_)12)(2)(1(1)(

+++=

ssssGp

- pelo critério de Routh-Hurwitz: estável sse -24 < K < 546

Donde: Ku = 546 à polos da malha fechada: s1 = -15 s2,3 = ± j 6,16

à Tu = 2p/6,16 = 1,02 seg

Valores de parâmetros do PID aconselhados (Tabela):Kp = 0,6 Ku = 328 TI = Tu /2 = 0,51 TD = Tu /8 = 0,128

PID com dois zeros complexos conjugados em: s1,2 = -3,90 ± j 0,25.

sjsjssCPID

)25,090,3)(25,090,3(42)( -+++=

II - Projecto através do método do ganho último de Ziegler-Nichols

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-6

-4

-2

0

2

4

6

Real Axis

Imag

Axi

s

19

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Root-locus do sistema com o controlador PID calculado – notar os polos da malha fechada

Resposta ao escalão unitário

)12)(2)(1()25,090,3)(25,090,3(42)()(

+++-+++

=ssss

jsjssGpsC

se o resultado não for aceitável à variar parâmetros em torno dos valores aconselhados

643352801564332842

)()(

234

2

++++

++=

ssssss

sRsY

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CONTROLO | 1º sem 2017/201820

II - Projecto do controlador PID apoiado no root-locus

C(s) Gp(s)yr +

_)12)(2)(1(

1)(+++

=sss

sGp

ESPECIFICAÇÕES da resposta ao escalão unitário:Sobreelevação = 20%

tempo de estabelecimento (5%) = 1 seg.erro em regime permanente nulo

Pedido: Dimensionar um controlador PID

Especificações à expressões simples para sistemas de 2ª ordem sem zeros àà Polos desejados (supostos dominantes): à - 3 ± j 6

Vamos realizar o projecto em duas etapas:i) - dimensionamento da componente Proporcional-Derivativa tentando satisfazer as

especificações dinâmicas;ii) - introdução da componente Proporcional-Integral para satisfazer a especificação

de regime permanente

EXEMPLO de projecto do PID

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

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i) - Componente Proporcional-Derivativa

para satisfazer as especificações dinâmicas: )()( asKsCPD +=

Condição de argumento:

a1 = 61,6 º à a = 6,2

Condição de módulo: ..................... à K = 60

Resultado:

º180)12(4321 +±=--- kaaaa

a1

- j 6

j 6

- 3

a4 a2

a4

a4

- 2 - 1- 12 - a

a3

em simulação : Sobreelevação » 30% > 20% (especificação) !(os polos projectados não se revelam dominantes )

à ajuste tentativo de parâmetros em simulação, apoiado no root-locus à

)2,6.(60)( +» ssCPD

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

22

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 1 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PD

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real Axis

Imag

Axi

s

PD

)12)(2)(1()5(60

)12)(2)(1()2,6(60)()(

++++

®+++

+=

ssss

sssssGsC p

3249815)5(60

3969815)2,6(60

)()(

2323 +++

+++

+=

ssss

ssss

sRsY

)5.(60)( += ssCPD

à ajuste tentativo de parâmetros em simulaçãoà deslocar o zero do controlador para “fechar” os

ramos do root-locus à aumentar x Þ S% ¯

à zero = -5à simulação: S% » 20 % , ts(5%) » 1 seg

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

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i) -

ii) - Controlador Proporcional-Integral-DerivativoPara anular o erro em regime permanente ao escalão à acção PI

sbssC

sbsasKsC PDPID

)().())(()( +=

++=

O zero s = - b é colocado na vizinhança do polo s = 0 para que o root-locusanterior resultante da utilização do PD não seja significativamente perturbado (i.e., a dinâmica obtida com o PD será conservada)

sssCPI

5,0)( +=

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real Axis

Imag

Axi

s

PID

)12)(2)(1()5,0)(5(60)()(

+++++

=ssss

sssGsC p

Capítulo 8 – Controlador PID

CONTROLO | 1º sem 2017/2018

24

Time (sec.)

Ampl

itude

Step Response

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PID

PD

1503549815)5,0)(5(60

)()(

234 ++++

++=

ssssss

sRsY zeros: z1 = - 0,5 ; z2 = - 5

polos: p1,2 = -3,27± j 5,31; p3 = - 7,98; p4= - 0,48

ssssCPID

)5,0)(5(60)( ++=

Na formulação clássica do PID:

aqueles valores de parâmetros correspondem a: Kp = 330, TD = 0,182 , TI =2,20

I

IDIPD

IP sT

sTTTsKsTsT

KsC )1(11)(2 ++

=úû

ùêë

é++=

simulação: S% » 20 % , ts(5%) » 1 seg ß satisfaz !

C(s) Gp(s)yr +

_