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Capítulo 8 – Controlador PID
CONTROLO | 1º sem 2017/2018
Cap 8 – Controlador PID
Eduardo Morgado
Transparências de apoio às aulas teóricas
Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que
foram elaboradas (lecionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
CONTROLOMEEC
1º semestre – 2017/2018
Capítulo 8 – Controlador PID
CONTROLO | 1º sem 2017/2018 ÓEd
uard
o M
orga
do
2
Controlador Proporcional -Integral-Derivativo (PID)
UTILIDADE
- Controladores de uso frequente, pela sua simplicidade.- Três Acções ajustáveis: Proporcional (P), Integral (I), Derivativa (D)- Objectivos: i) melhorar o seguimento da referência e/ou a rejeição de
perturbações ii) melhorar a resposta transitória ou estabilidade relativa
DEFINIÇÃO
Equação integro-diferencial: dt
de(t)KdeKe(t)Ku(t) Dt
IP ++= ò tt0
)(
Ou: úû
ùêë
é++= ò dt
de(t)TdeT
e(t)Ku(t) Dt
IP tt
0)(1
C(s)ue
Capítulo 8 – Controlador PID
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3
Função de transferência: DI
P sKs
KKsC ++=)(
Ou: úû
ùêë
é++= D
IP sT
sTKsC 11)(
Três parâmetros para ajustar
pK )(sG p
1
DsT
+
+
_
+ + r
+
y
d
n
u e +
IsT1
_
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CONTROLO | 1º sem 2017/2018 ÓEd
uard
o M
orga
do
4
+
C(s) Gp(s)+_
++
r
+
yd
n
ue
-10 -8 -6 -4 -2 0-6
-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
Imag
Axi
s
P
Kp = 30
ANÁLISE DE CADA UMA DAS ACÇÕES apoiada no root-locus
Exemplo:
)2)(1(1)(++
=ss
sGp
e(t)Ku(t) p=
_
pKsC =)(
é a lei de controlo mais simples
à referência para os casos seguintes
0>PK
- Os diagramas root-locus representam o deslocamento dos polos da malha fechada quando se varia o ganho proporcional
- Os polos da malha fechada para os valores de parâmetros de C(s) indicados são representados por o
- Ver adiante [slides 9-10] a resposta y(t) a escalão unitário na referência r, e a escalão unitário na perturbação d
0
AÇÃO PROPORCIONAL (P)
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-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
Imag
Axi
s
I
Kp = 30
tt deKu(t)t
P ò=0
)(
sKsC P=)(
+
C(s) Gp(s)+_
++
r
+
yd
n
ue
introduz um polo na origem à tipo aumenta à melhora o seguimento em regime permanente
mas ... (em geral) a estabilidade relativa piora
no Exemplo à os ramos do root-locus inflectem para o SPCD para Kp > 6 o sistema é instável
associar à acção Proporcional à
AÇÃO INTEGRAL (I)
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-4
-2
0
2
4
6
Real AxisIm
ag A
xis
PI
Kp = 30Ti = 2
CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)
úû
ùêë
é+= ò tt deT
e(t)Ku(t)t
IP 0
)(1
úû
ùêë
é+=
IP sTKsC 11)( =
sTs
K IP
)1( +
TI : tempo integral (reset time)
polo na origem s=0 à melhora o seguimento em regime permanente
zero em:
geralmente colocado próximo do polo em s=0 para não
perturbar a dinâmica devida aos restantes polos e zeros
ITs 1-=
- a substituição P à PI melhorou seguimento em regime permanente, (tipo 0 à tipo 1), sem alterar significativamente os ramos principais do root-locus
- no ramo junto da origem: i) polo adicional da malha fechada associado a transitório lento (t elevado)ii) zero adicional da malha fechada em
ITs 1-=
( ver resposta y(t) à [slides 9-10] )
+
C(s) Gp(s)+_
++
r
+
yd
n
ue
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-4
-2
0
2
4
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Real Axis
Imag
Axi
s
PD
Kp = 30Td = 0,2
CONTROLADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)
úûù
êëé +=
dtde(t)Te(t)Ku(t) DP
[ ]DP sTKsC += 1)(DT : tempo derivativo
DTs 1-=o zero do controlador “atrai” os
ramos do root-locus afastando-os do SPCD
à aumenta x (amortecimento) à melhoria da estabilidade relativa
dttde )(a acção Derivativa introduz “antecipação” à o sinal de controlo u(t) depende não só da
intensidade do erro e(t) (acção P), mas também da sua rapidez de variação (acção D)
mas ... a acção Derivativa amplifica as componentes de alta frequência dos sinais (variações bruscas, ruído, ...)r(t) ~ escalão Þ sinal de controlo u(t) de grande amplitude Þ esforços, regime não-linear
( ver resposta y(t) à [slides 9-10 ] )
+
C(s) Gp(s)+_
++
r
+
yd
n
ue
AÇÃO DERIVATIVAL (D)
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-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
Imag
Axi
s
PID
Kp = 30Ti = 2Td = 0,2
CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID)
úû
ùêë
é++= ò dt
de(t)TdeT
e(t)Ku(t) Dt
IP tt
0)(1
I
IDIPD
IP sT
sTTTsKsTsT
KsC )1(11)(2 ++
=úû
ùêë
é++=
reúne as acções anteriores
procura-se melhorar simultâneamente oregime permanente e a dinâmica
os zeros do controlador podem ser reais ou complexos
( ver resposta y(t) à [slides 9-10 ] )
+
C(s) Gp(s)+_
++
r
+
yd
n
ue
1
Capítulo 8 – Controlador PID
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Resposta y(t) a um escalão unitário na referência r(t) (d = 0, n = 0)
+
C(s) Gp(s)+
_
++
r
+
yd
n
u
e
Time (sec.)
Ampl
itude
Step Response
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50
0.5
1
1.5PI
P
PD
PID
Kp = 30Ti = 2Td = 0,2
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10
+
C(s) Gp(s)+
_
++
r
+
yd
n
u
e
Resposta y(t) a um escalão unitário na perturbação d(t) (r = 0, n = 0)Time (sec.)
Ampl
itude
Step Response
0 2 4 6 8 100
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045P
PI
PD
PID
Kp = 30Ti = 2Td = 0,2
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Técnicas ANTI -WINDUP da acção Integral
Problema:Saturação (não-linearidade) no actuador precedido de acção Integral (Ex: válvula, amplificador electrónico, ...)
à erro e(t) é reduzido através da retroacção negativa
à saída do controlador uc(t) cresce [pq. ui(t) = KI ò e(t) dt cresce: wind-up do integrador]enquanto e(t) não inverter a polaridade
à enquanto uc(t) > umax (actuador em saturação: u=umax) a inversão na polaridade de e(t) ocorre lentamente
Þ y(t) apresenta oscilações duráveis c/ elevada amplitude
)(sG p
Kp
_
+ r y u e
+ s
KI
uc
ui
u umin
uc
umax _
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Soluções:
i) desligar a acção Integral quando o actuador satura: “ if çucç > umax then KI = 0 “
ii) não-linearidade “zona-morta” em retroacção negativa em torno da acção integral (à tendente a repor rapidamente a entrada do integrador em zero e conduzir uc(t)para o domínio linear)
iii) outras soluções ... (ver Bibliografia)
umin
uc
umax
)(sG p
Kp
_
+ e y u +
sKI
uc
ui
u umin
uc
umax _
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OUTRAS CONFIGURAÇÕES do PID
Configuração básica
Diferenciação aplicada ao sinal de erro:
r(t) ≈ função escalão Þ u(t)~ impulsivo (na prática, com elevada amplitude)
(notar que para do exemplo anterior a função de transferência
U(s)/R(s) vem não-própria, i.e., nº zeros > nº polos))2)(1(
1)(++
=ss
sGp
pK
)(sG p
1
DsT
+
+
_
+ + r
+
y
d
n
u e +
IsT1
_
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Configuração alternativa :
à a Diferenciação é aplicada ao sinal de retroacção da saída (mais lento que e(t))
esta configuração ocorre na “retroacção de velocidade” com taquímetro ou encoder
Notar que ambas as configurações têm a mesma função de transferência da malha aberta (loop gain) e a mesma f. t. Y(s)/D(s) (r=0, n=0) , mas diferentes U(s)/R(s) e
Y(s)/R(s).
pK )(sG p
1
DsT-
+
+
_
+ +
+
y
d
n
u e +
IsT1
_
r
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Objectivo: Limitação do ganho para as altas frequências
Diminui a amplitude do esforço de controlo u(t)Diminui sensibilidade ao ruído n(t)Mais realista (nº polos ≥ nº zeros)
Introdução de um polo ajustável no bloco derivativo
DsT
NTs
sTD
D
+1
- Na realidade estão normalmente envolvidos mais polos (e/ou zeros) do que os incluídos nas funções de transferência dos controladores
P-I-D ideais atrás indicadas.
Contudo, desde que os polos e zeros das funções de transferência ideais sejam dominantes essa aproximação facilita a análise e o
projecto.
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AJUSTE DOS PARÂMETROS DO P-I-DRegras de Ziegler-Nichols ( ajuste empírico in loco ).Baseiam-se num ensaio experimental Dois métodos:
Processoyu
y(t)
t
A
t
R=A/t
L=td1)()(
+=
-
tsAe
sUsY dst
Tipo de Controlador Valores dos parâmetros
Proporcional Kp = 1/RL
Proporcional-Integral Kp = 0,9/RLTI = L/0,3
Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 1,2/RLTI = 2 LTD = 0,5 L
Da curva experimental em malha aberta para uma entrada escalão extraem-se: R e L
Parâmetros do PID sugeridos (resposta ao escalão da malha fechada com x ~ 0,21) :
I) Método da “curva de reacção”
Tangente desenhada no ponto de inflexão
úû
ùêë
é++= D
IP sT
sTKsC 11)(
No sistema em cadeia fechada o transitório sofre um decaimento de 25% em 1 período
Capítulo 8 – Controlador PID
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II) Método da “sensibilidade última” (ou do ganho último)
Tu
y(t)
+Processo
yKu_
Tipo de Controlador Valores dos parâmetros
Proporcional Kp = 0,5 Ku
Proporcional-Integral Kp = 0,45 KuTI = Tu/1,2
Proporcional-Integral-Derivativo Kp = 0,6 KuTI = Tu /2TD = Tu /8
O ensaio é realizado em malha fechada com o controlador em modo Proporcional.
Variar ganho Kp até ao limiar da instabilidade quando se começam a observar oscilações de amplitude constante
à registar: ganho último Kp = Kue correspondente período das oscilações Tu .
úû
ùêë
é++= D
IP sT
sTKsC 11)(
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EXEMPLO de projecto do PID
C(s) Gp(s)yr +
_)12)(2)(1(1)(
+++=
ssssGp
- pelo critério de Routh-Hurwitz: estável sse -24 < K < 546
Donde: Ku = 546 à polos da malha fechada: s1 = -15 s2,3 = ± j 6,16
à Tu = 2p/6,16 = 1,02 seg
Valores de parâmetros do PID aconselhados (Tabela):Kp = 0,6 Ku = 328 TI = Tu /2 = 0,51 TD = Tu /8 = 0,128
PID com dois zeros complexos conjugados em: s1,2 = -3,90 ± j 0,25.
sjsjssCPID
)25,090,3)(25,090,3(42)( -+++=
II - Projecto através do método do ganho último de Ziegler-Nichols
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-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-6
-4
-2
0
2
4
6
Real Axis
Imag
Axi
s
19
Time (sec.)
Ampl
itude
Step Response
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Root-locus do sistema com o controlador PID calculado – notar os polos da malha fechada
Resposta ao escalão unitário
)12)(2)(1()25,090,3)(25,090,3(42)()(
+++-+++
=ssss
jsjssGpsC
se o resultado não for aceitável à variar parâmetros em torno dos valores aconselhados
643352801564332842
)()(
234
2
++++
++=
ssssss
sRsY
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II - Projecto do controlador PID apoiado no root-locus
C(s) Gp(s)yr +
_)12)(2)(1(
1)(+++
=sss
sGp
ESPECIFICAÇÕES da resposta ao escalão unitário:Sobreelevação = 20%
tempo de estabelecimento (5%) = 1 seg.erro em regime permanente nulo
Pedido: Dimensionar um controlador PID
Especificações à expressões simples para sistemas de 2ª ordem sem zeros àà Polos desejados (supostos dominantes): à - 3 ± j 6
Vamos realizar o projecto em duas etapas:i) - dimensionamento da componente Proporcional-Derivativa tentando satisfazer as
especificações dinâmicas;ii) - introdução da componente Proporcional-Integral para satisfazer a especificação
de regime permanente
EXEMPLO de projecto do PID
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i) - Componente Proporcional-Derivativa
para satisfazer as especificações dinâmicas: )()( asKsCPD +=
Condição de argumento:
a1 = 61,6 º à a = 6,2
Condição de módulo: ..................... à K = 60
Resultado:
º180)12(4321 +±=--- kaaaa
a1
- j 6
j 6
- 3
a4 a2
a4
a4
- 2 - 1- 12 - a
a3
em simulação : Sobreelevação » 30% > 20% (especificação) !(os polos projectados não se revelam dominantes )
à ajuste tentativo de parâmetros em simulação, apoiado no root-locus à
)2,6.(60)( +» ssCPD
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Time (sec.)
Ampl
itude
Step Response
0 1 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
PD
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Real Axis
Imag
Axi
s
PD
)12)(2)(1()5(60
)12)(2)(1()2,6(60)()(
++++
®+++
+=
ssss
sssssGsC p
3249815)5(60
3969815)2,6(60
)()(
2323 +++
+®
+++
+=
ssss
ssss
sRsY
)5.(60)( += ssCPD
à ajuste tentativo de parâmetros em simulaçãoà deslocar o zero do controlador para “fechar” os
ramos do root-locus à aumentar x Þ S% ¯
à zero = -5à simulação: S% » 20 % , ts(5%) » 1 seg
Capítulo 8 – Controlador PID
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i) -
ii) - Controlador Proporcional-Integral-DerivativoPara anular o erro em regime permanente ao escalão à acção PI
sbssC
sbsasKsC PDPID
)().())(()( +=
++=
O zero s = - b é colocado na vizinhança do polo s = 0 para que o root-locusanterior resultante da utilização do PD não seja significativamente perturbado (i.e., a dinâmica obtida com o PD será conservada)
sssCPI
5,0)( +=
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
Real Axis
Imag
Axi
s
PID
)12)(2)(1()5,0)(5(60)()(
+++++
=ssss
sssGsC p
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Time (sec.)
Ampl
itude
Step Response
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
PID
PD
1503549815)5,0)(5(60
)()(
234 ++++
++=
ssssss
sRsY zeros: z1 = - 0,5 ; z2 = - 5
polos: p1,2 = -3,27± j 5,31; p3 = - 7,98; p4= - 0,48
ssssCPID
)5,0)(5(60)( ++=
Na formulação clássica do PID:
aqueles valores de parâmetros correspondem a: Kp = 330, TD = 0,182 , TI =2,20
I
IDIPD
IP sT
sTTTsKsTsT
KsC )1(11)(2 ++
=úû
ùêë
é++=
simulação: S% » 20 % , ts(5%) » 1 seg ß satisfaz !
C(s) Gp(s)yr +
_