Inferência – Parte 4Inferência – Parte 4

Teste de HipótesesTeste de Hipóteses

Para FreqüênciasPara Freqüências

Teste de Hipóteses Para FreqüênciasTeste de Hipóteses Para Freqüências* * ObjetivoObjetivo * *

No caso de teste de freqüências, o que deseja No caso de teste de freqüências, o que deseja

é avaliar a(s) quantidade(s) de elementos, de é avaliar a(s) quantidade(s) de elementos, de

acordo com condições iniciais, e compara-las ou acordo com condições iniciais, e compara-las ou

entre si ou ainda a algum valor de literatura pelo entre si ou ainda a algum valor de literatura pelo

qual deseja verificar a similaridade em sua qual deseja verificar a similaridade em sua

pesquisa com outras já oficializadas.pesquisa com outras já oficializadas.

Teste de Hipóteses Para FreqüênciasTeste de Hipóteses Para Freqüências* * Tipo de VariáveisTipo de Variáveis * *

• No caso de teste de freqüências, é utilizada No caso de teste de freqüências, é utilizada

para todo tipo de variáveis, desde que aquelas para todo tipo de variáveis, desde que aquelas

que são numéricas sejam redimensionadas de tal que são numéricas sejam redimensionadas de tal

forma que passam a serem categorias.forma que passam a serem categorias.

• Quando se tratar de variável real é feito Quando se tratar de variável real é feito

através de pontos de cortes.através de pontos de cortes.

Teste de Hipóteses Para FreqüênciasTeste de Hipóteses Para Freqüências* Situações ** Situações *

• Existem testes nos casos de: Existem testes nos casos de:

Variáveis Independentes;Variáveis Independentes;

bem como para Variáveis Pareadasbem como para Variáveis Pareadas

Teste de Hipóteses Para FreqüênciasTeste de Hipóteses Para Freqüências* * Consideração InicialConsideração Inicial * *

• No caso de freqüências, a única condição No caso de freqüências, a única condição

exigida é a citada acima, ou seja, trabalha-se exigida é a citada acima, ou seja, trabalha-se

com categorias e não com valores.com categorias e não com valores.

Teste de Hipóteses Para FreqüênciasTeste de Hipóteses Para Freqüências* * Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado **

• Modelos:Modelos:• Caso 1: Um critério de classificação.Caso 1: Um critério de classificação.

Neste caso o que se tem na realidade é uma Neste caso o que se tem na realidade é uma

única população em que foi subdividido em única população em que foi subdividido em

categorias e dentro de cada categoria observar a categorias e dentro de cada categoria observar a

quantidade de elementos que ali estão presentes;quantidade de elementos que ali estão presentes;

Teste de Hipóteses Para FreqüênciasTeste de Hipóteses Para Freqüências* * Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado **

• Modelos:Modelos:• Caso 2: Dois critérios de classificação.Caso 2: Dois critérios de classificação.

Neste caso o que se tem é r populações Neste caso o que se tem é r populações e que cada uma delas tenha sido subdividido e que cada uma delas tenha sido subdividido em categorias (as mesmas para cada uma em categorias (as mesmas para cada uma delas) e dentro de cada categoria e de cada delas) e dentro de cada categoria e de cada população, observar a quantidade de população, observar a quantidade de elementos que ali estão presentes.elementos que ali estão presentes.

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado Caso 1: Um critério de classificação.Caso 1: Um critério de classificação.

• Por se tratar de um única população, subdividida Por se tratar de um única população, subdividida

em categorias, os dados podem ser expostos, tal em categorias, os dados podem ser expostos, tal

qual: qual:

Categoria C1 C2 C3 . . . Ck Total

Ocorrências n1 n2 n3 nk n

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Um critério de classificação ** Um critério de classificação *

• Pretensão:Pretensão:

• O que pretende comprovar é se estas categorias, O que pretende comprovar é se estas categorias,

na população, estão ou não de acordo com uma na população, estão ou não de acordo com uma

dada condição, sendo que esta condição é a dada condição, sendo que esta condição é a

igualdade de ocorrência em cada categoria.igualdade de ocorrência em cada categoria.

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Um critério de classificação ** Um critério de classificação *

• Quadro de hipótesesQuadro de hipóteses• Denotando por: fDenotando por: f11 , f , f22 , f , f33 , . . . , f , . . . , fkk as freqüências que as freqüências que

cada categoria possui na população, o quadro de cada categoria possui na população, o quadro de hipóteses é:hipóteses é:

====

sfrequênciamesmasaspossuemcategoriasastodasNem:H

f...fff:H k

1

3210

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Valor Observado ** Valor Observado *

• Em um teste qui-quadrado, denomina valor Em um teste qui-quadrado, denomina valor

observado ás quantidades (freqüências) observado ás quantidades (freqüências)

encontradas na amostra em cada categoria.encontradas na amostra em cada categoria.

• Notação: O i , i = 1 , 2 , 3 , . . . , kNotação: O i , i = 1 , 2 , 3 , . . . , k

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Valor Esperado ** Valor Esperado *

• É a quantidade que deveria ter ocorrido em cada É a quantidade que deveria ter ocorrido em cada

uma das categorias caso Huma das categorias caso H00 seja verdadeiro. seja verdadeiro.

• Notação: E i , i = 1 , 2 , 3 , . . . , k Notação: E i , i = 1 , 2 , 3 , . . . , k

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Valor Esperado ** Valor Esperado *

• Ilustração.Ilustração.

• Caso seja verdade que o número de crianças que Caso seja verdade que o número de crianças que nascem, seja de forma equivalente por sexo, nascem, seja de forma equivalente por sexo, então, em uma cidade que em um dado ano então, em uma cidade que em um dado ano nasça 310 crianças, é de se ESPERAR, que nasça 310 crianças, é de se ESPERAR, que destas 155 (50%) sejam do sexo masculino e as destas 155 (50%) sejam do sexo masculino e as outras 155 do sexo feminino. outras 155 do sexo feminino.

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Valor Esperado ** Valor Esperado *

• Pela ilustração anterior, percebe-se que:Pela ilustração anterior, percebe-se que:

• No caso de um critério de classificação, o valor No caso de um critério de classificação, o valor

esperado é o mesmo para cada categoria e é esperado é o mesmo para cada categoria e é

dado por: dado por:

==

=CategoriasdeNúmerok

;AmostradaTamanhon

kn

E i

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Modelo Matemático de Análise** Modelo Matemático de Análise*

• Teorema 1Teorema 1

• Nas condições acima prescritas, o número:Nas condições acima prescritas, o número:

• Possui distribuição probabilística batizada de Possui distribuição probabilística batizada de Distribuição Qui-Quadrada Distribuição Qui-Quadrada

• Graus de Liberdade: Graus de Liberdade: k – 1k – 1

k

kk

E)EO(

...E

)EO(E

)EO( 2

2

222

1

2112 −

++−

+−

=χ

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Restrição ** Restrição *

• Para fazer conclusão precisa com o uso do teste Para fazer conclusão precisa com o uso do teste

Qui-Quadrado, é necessário que nenhum valor Qui-Quadrado, é necessário que nenhum valor

esperado seja inferior a 5, sendo que existe a esperado seja inferior a 5, sendo que existe a

tolerância de permitir valores esperados menores tolerância de permitir valores esperados menores

que 5 em até 20,0% das células desde que faça a:que 5 em até 20,0% das células desde que faça a:

• Correção de Yates. Correção de Yates.

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Correção de Yates ** Correção de Yates *

k

kk

E

),EO(...

E

),EO(

E

),EO( 2

2

222

1

2112 505050 −−

++−−

+−−

=χ

• 01. Pesquisa: Fazer um estudo completo em crianças ao nascer na 01. Pesquisa: Fazer um estudo completo em crianças ao nascer na cidade de Goiâniacidade de Goiânia (Dra. Margareth Giglio)(Dra. Margareth Giglio)

• No tocante a sexo da criança os valores observados em 2002, No tocante a sexo da criança os valores observados em 2002, foram:foram:

• Testar ao nível de 5,0% se a quantidade de crianças ao nascer do Testar ao nível de 5,0% se a quantidade de crianças ao nascer do sexo masculino não difere de forma significativa das do sexo sexo masculino não difere de forma significativa das do sexo feminino ou não. feminino ou não.

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Exemplo 1 ** Exemplo 1 *

Sexo masculino feminino

No. de crianças 9 305 9 874

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Exemplo 1 - Solução ** Exemplo 1 - Solução *

• Como a análise desejada é avaliar quantidades se trata Como a análise desejada é avaliar quantidades se trata de um teste de freqüências e assim usa o Qui-quadrado.de um teste de freqüências e assim usa o Qui-quadrado.

• Quadro de Hipóteses:Quadro de Hipóteses:

• Denotando por p a proporção na população (todas as Denotando por p a proporção na população (todas as crianças que nascem no Brasil) de cada sexo, vem:crianças que nascem no Brasil) de cada sexo, vem:

≠

=

FemMasc

FemMasc

pp:H

pp:H

1

0

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Exemplo 1 - Solução ** Exemplo 1 - Solução *

• Valores esperadosValores esperados

• Para que quantidade de masculino e feminino não Para que quantidade de masculino e feminino não divirja, os valores esperados são:divirja, os valores esperados são:

• Uso do Modelo MatemáticoUso do Modelo Matemático

55899

2

17919

2

98749305,EE femmasc ==+==

88116

59589

595899874

59589

595899305 222 ,

,),(

,),(

=−

+−

=χ

Teste Qui-Quadrado Teste Qui-Quadrado * Exemplo 1 - Solução ** Exemplo 1 - Solução *

• Graus de liberdade: 2 – 1 = 1 (2 é a quantia de Graus de liberdade: 2 – 1 = 1 (2 é a quantia de categorias);categorias);

• Na Tabela Qui-Quadrada: p < 0,005Na Tabela Qui-Quadrada: p < 0,005

• Conclusão:Conclusão:

Como p < 0,05, conclui: Crianças ao nascer não se Como p < 0,05, conclui: Crianças ao nascer não se

distribui de forma igualitária por sexo. distribui de forma igualitária por sexo.

Teste Qui-QuadradoTeste Qui-Quadrado

Um Caminho de ClassificaçãoUm Caminho de Classificação

FIMFIM. Prof Gercino Monteiro Filho. Prof Gercino Monteiro Filho