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MARA LÚCIA DE MIRANDA
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO EM CURSO DE ENGENHARIA: UMA ABORDAGEM COM FOCO NA LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DA DOS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação, Mestrado Profissional em Ensino de
Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como requisito parcial
para obtenção do título de Mestre em Ensino de
Matemática.
Orientadora : Dra. Maria Clara Rezende Frota
Belo Horizonte
2008
FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Miranda, Mara Lúcia de M672c Correlação e regressão em curso de engenharia: uma abordagem com foco na
leitura e interpretação de dados / Mara Lúcia de Miranda. Belo Horizonte, 2008. 159f. : il. Orientadora: Maria Clara Rezende Frota Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática 1. Estatística – Ensino-aprendizagem. 2. Correlação (Estatística). 3. Modelos
lineares (Estatística). I. Frota, Maria Clara Rezende. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 311.2:378
Mara Lúcia de Miranda Correlação e Regressão em Curso de Engenharia: Uma abordagem com foco na leitura e interpretação de dados. Dissertação apresentada ao Programa de Pós - graduação, Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Belo Horizonte, 2008 _____________________________________________________________ Professora Doutora Maria Clara Rezende Frota (Orientadora) – Programa de Pós - graduação em Ensino de Ciências e Matemática - PUC Minas ______________________________________________________________ Professor Doutor Leônidas Conceição Barroso - Programa de Pós - graduação em Geografia - Tratamento da Informação Espacial – PUC Minas ______________________________________________________________ Professora Doutora Eliane Scheid Gazire – Programa de Pós - graduação em Ensino de Ciências e Matemática - PUC Minas
AGRADECIMENTOS Aos meus pais, pelo carinho e companheirismo.
Aos meus irmãos, pelo apoio no momento de tantas atribulações.
À Professora Doutora Maria Clara Rezende Frota, pelo carinho, compreensão,
compromisso e disponibilidade em todos os momentos durante este trabalho.
À Engenheira Daniela Pereira Dias - Grupo de Pesquisa Green Solar, pela
colaboração e atenção.
Ao Professor Luiz Geraldo de Azevedo, pelo carinho e disponibilidade durante
a realização deste trabalho.
Ao Professor Doutor Dimas Felipe de Miranda, por tudo que tem feito por mim
desde a minha infância até o presente momento. A nossa convivência
representa muito a essência do meu ser.
Ao Gilvan, pelo apoio durante este trabalho.
Enfim, a todos que colaboraram diretamente ou não para a realização deste
trabalho.
RESUMO
Esse trabalho investigou possibilidades de uma abordagem
metodológica para o ensino-aprendizagem de correlação e regressão, com
base nos trabalhos de Batanero e colaboradores (1994, 1995, 1996, 2001). O
tópico estatístico foi discutido a partir de um enfoque intuitivo, com ênfase no
desenvolvimento dos níveis de compreensão de leitura de dados apresentados
na forma de gráficos e tabelas, propostos por Curcio (1987). Foram sujeitos da
pesquisa, alunos do quarto período de um curso de Engenharia, de uma
instituição particular de ensino de Belo Horizonte, Minas Gerais. Na pesquisa,
de caráter qualitativo, foram elaboradas e aplicadas duas seqüências de
atividades, envolvendo o conteúdo correlação e regressão, além da análise
desse assunto em quatro livros didáticos. Os resultados apontam que
atividades desenhadas numa linha investigativa a partir de uma abordagem
inicial intuitiva do tema correlação e regressão, utilizando gráficos e tabelas,
podem contribuir de forma significativa para o entendimento e a formalização
das idéias estatísticas. A proposta de abordagem do tema, em cursos de
engenharia, que integra esse trabalho, amplia as seqüências de atividades
testadas em sala, oferecendo novas possibilidades para uma abordagem
introdutória do tema correlação e regressão.
Palavras-chave: Ensino–aprendizagem de Estatística; Correlação e regressão
linear; leitura e interpretação de dados.
ABSTRACT
This work has investigated the possibilities of a methodologic approach
for the learning-teaching correlation and regression based on Batanero`s works
as well as his collaborators (1994, 1995, 1996, 2001). The statistical topic was
discussed from an intuitive focus emphasizing the development of the
comprehension levels of data readings presented in graph and table form
proposed by Curcio (1987). The subjects of this research were sophomore
engineering students at a students at a private education institution in Belo
Horizonte, Minas Gerais. That survey considering qualitative features has been
elaborated and applies in two sequences of activities involving content,
correlation and regression, besides an analysis contained in four books. The
resuts show that activities drawn in an investigation from an initial intintive
approach of the correlation and regression by using graphs and tables may
contribute significantly for the understanding and formalization of statistical
ideas. The proposal of the theme approach in engineering courses that
integrates this work enlarges the sequences of the activities tested in class by
offering new possibilities for an introductory approach of the theme correlation
and regression.
Key Works: Learning teaching of Statistics; Correlation and linear regression;
Data reading and comprehension.
LISTA DE GRÁFICOS E FIGURA
Gráfico 01: Diagrama de dispersão - Tendência ascendente 25
Gráfico 02: Diagrama de dispersão - Tendência descendente 26
Gráfico 03: Número de filhos e renda familiar (em salários mínimos) 32
Gráfico 04: Resíduos 35
Gráfico 05: Índice de octanagem e quantidade de aditivo 36
Gráfico 06: Produção mensal de arruelas no período de março a junho 50
Gráfico 07: Notas de Estatística e Matemática da Turma 1 – 2004 51
Gráfico 08: Níveis de leitura e interpretação de dados nos exercícios do Livro 1.
61
Gráfico 09: Níveis de leitura e interpretação de dados nos exercícios do Livro 2
62
Gráfico 10: Níveis de leitura e interpretação de dados nos exercícios do Livro 3
64
Gráfico 11: Níveis de leitura e interpretação de dados nos exercícios do Livro 4
68
Gráfico 12: Diagrama 1- Primeira Seqüência de Atividades
78
Gráfico 13: Diagrama 2 - Primeira Seqüência de Atividades
79
Gráfico 14: Diagrama 3- Primeira Seqüência de Atividades 79
Gráfico 15: Diagrama 1 – Segunda Sequência de Atividades 92
Gráfico 16: Diagrama 2 – Segunda Sequência de Atividades 93
Gráfico 17: Diagrama 3 – Segunda Sequência de Atividades 94
Figura 01: Coletor solar e reservatório térmico 90
LISTA DE TABELAS Tabela 1: Produção de peças (X) e custos (Y) em milhares de reais 29
Tabela 2: Elementos para o cálculo do coeficiente de correlação, da produção de peças (X) e custos (Y)
30
Tabela 3: Renda familiar e número de filhos 32
Tabela 4: Dados experimentais do efeito de um aditivo(X) na octanagem da gasolina (Y)
36
Tabela 5: Produção mensal de arruelas no período de março a junho – 2006
52
Tabela 6: Notas de Matemática e Estatística – Turma 1 - Escola A –2004 53
Tabela 7: Relação entre alteração da pressão sanguínea e o nível de pressão sonora
58
Tabela 8: Freqüência das categorias de Curcio nos exercícios dos quatro livros
69
Tabela 9: Percentual das categorias de Curcio nos exercícios dos quatro livros em relação ao total geral
69
Tabela 10: Percentual dos exercícios segundo as categorias de Curcio por livro
70
Tabela 11: Resultados de 18 ensaios, em corpos de prova, durante o processo de queima de massa de cerâmica para pavimentação
78
Tabela 12: Coletor solar 1 91
Tabela 13: Coletor solar 2 92
Tabela 14: Coletor solar 3 93
LISTA DE ABREVIATURAS ASA – American Statistical Association. DGE – Diretoria Geral de Estatística. ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio. IBGE – Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. MAA – Mathematical Association of America. NTCM – National Council of Teachers of Mathematics. PCN`s - Parâmetros Curriculares Nacionais.
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 11
2 O ENSINO E APRENIZAGEM DE ESTATÍSTICA: CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
15
2.1 A Estatística e o seu desenvolvimento 15
2.2 Ensino e aprendizagem de Estatística 19
2.3 Correlação e Regressão 24
2.4 Ensino e aprendizagem de Correlação e Regressão 38
3 LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DADOS NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE ESTATÍSTICA
42
3.1 A Análise e interpretação de dados: da Escola B ásica ao Ensino Superior
44
3.2 Níveis de compreensão e interpretação de dados 49
3.3 Correlação e regressão em textos didáticos: uma análise a partir dos níveis de leitura e interpretação de dados
57
3.3.1 Análise comparativa dos quatro livros e concl usões 68
4 O DESENHO METODOLÓGICO DA PESQUISA 71
4.1 O Contexto da pesquisa 71
4.2 Os instrumentos e fases de coleta de dados 72
4.3 Critérios de análise de dados 75
5 PRIMEIRA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES: TESTANDO IDÉIAS 77
5.1 A seqüência de atividades 77
5.2 Desenvolvimento das atividades e análises dos res ultados 81
6 SEGUNDA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES: MODELANDO DADOS REAIS
89
6.1 A seqüência de atividades 89
6.2 Desenvolvimento da seqüência de atividades e an álise dos resultados
95
7 CONCLUSÃO 101
REFERÊNCIAS 104
APÊNDICES 109
APÊNDICE A: Tabelas de classificação dos exercícios 110
APÊNDICE B: UMA PROPOSTA DIDÁTICO-METODOLÓGICA PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO EM CURSOS DE ENGENHARIA COM FOCO NA LEITURA E INTERPRETAÇÕ DE DADOS
115
ANEXOS 152
ANEXO A: Plano de Ensino 153
ANEXO B: Exercícios Propostos 158
11
1 INTRODUÇÃO
Essa pesquisa aborda o tema correlação e regressão no ensino de
Estatística, no contexto de um curso de engenharia.
Inquietações decorrentes da prática docente da pesquisadora, ministrando
aulas de Estatística em vários cursos, levaram-na a escolher o tema correlação e
regressão, considerando uma série de questionamentos levantados pelos alunos. O
que é associação entre variáveis? Por que estudar correlação? Existe apenas
correlação linear? Por que o coeficiente de correlação linear de Pearson apresenta-
se ora positivo e ora negativo? Será a correlação uma relação de “causa e efeito”?
Qual a utilidade da regressão? Existe apenas um tipo de regressão?
Se por um lado os alunos questionam o porquê de estudar correlação e
regressão, por outro lado, enquanto professora, a pesquisadora levanta algumas
questões acerca das formas com que tais conteúdos são apropriados pelos alunos e
empregados no seu cotidiano de estudantes de engenharia, ou mesmo
posteriormente, no seu cotidiano profissional. Por que os alunos têm dificuldades em
visualizar, através do diagrama de dispersão, a linha imaginária ascendente ou
descendente, a partir da marcação dos pares ordenados? Por que insistem em
interpretar a correlação como uma relação de “causa e efeito”? A abordagem
didática, dada ao desenvolvimento dos dois conceitos, favorece a interlocução com
outras disciplinas do curso de engenharia, no que se refere à formalização dos
conceitos e à modelagem?
Os conceitos de correlação e regressão são amplamente empregados em
situações do cotidiano, que demandam indagar a respeito de como duas variáveis
se correlacionam. Dessa forma, correlação e regressão têm instruído a pesquisa
científica desenvolvida nas mais variadas áreas, como a Psicologia, a Biologia, a
Educação, a Engenharia, entre muitas outras.
As diversas leituras feitas, as interlocuções teóricas e reflexões conduziram à
definição da seguinte questão de pesquisa: Que tipos de estratégias didáticas
podem favorecer um melhor entendimento dos conceito s de correlação e
regressão junto a estudantes de engenharia?
O objetivo geral da pesquisa foi analisar possibilidades de uma abordagem
metodológica para o ensino-aprendizagem de correlação e regressão em turmas de
12
graduação de um curso de engenharia. Tomou-se como foco a leitura e
interpretação de dados, considerada como uma competência primordial não apenas
para a Estatística, mas para instruir, de modo geral, a leitura e interpretação do
mundo, dos fenômenos da natureza, sociais e políticos, bem como para a tomada de
decisões.
Conforme apontam as diretrizes e orientações curriculares para o ensino de
diversos países, entre eles, Parâmetros Curriculares Nacionais no Brasil, Standards
do National Council of Teachers of Mathematics nos Estados Unidos,
recomendações da Associação dos Professores de Matemática de Portugal – é
através de experiências de coleta e análise de dados que os estudantes aprendem
sobre como interpretar informações, desenvolvendo habilidades para ler com
entendimento as informações apresentadas em diferentes linguagens e
representações, de modo particular, na forma de tabelas e gráficos.
A questão de pesquisa foi investigada através de uma abordagem qualitativa,
junto a alunos do quarto período, de um curso noturno de engenharia, de uma
instituição particular de ensino de Minas Gerais.
Os procedimentos metodológicos para o desenvolvimento da pesquisa
consistiram em:
• Ampliação dos estudos teóricos relativos ao desenvolvimento da pesquisa
em Educação em Estatística, de modo especial sobre o tema correlação e
regressão, usando como referências principais os trabalhos de Batanero e
Batanero e colaboradores (1994, 1995, 1996, 2001);
• Análise da abordagem do tema em livros didáticos usados na engenharia,
tendo como base as categorias de análise e interpretação de dados,
propostas por Curcio (1987);
• Elaboração de instrumentos didáticos (seqüências de atividades), a serem
utilizados para diagnóstico de competências apresentadas pelos alunos e,
ao mesmo tempo, desenvolvimento de habilidades de leitura e
interpretação de dados, numa abordagem intuitiva ao tema correlação e
regressão;
• Elaboração de uma proposta de abordagem metodológica para o ensino
de correlação e regressão, em um curso introdutório de Estatística na
Engenharia, a partir das seqüências desenvolvidas em sala.
13
O relato da pesquisa é estruturado em sete capítulos, sendo a Introdução o
primeiro deles. No capítulo 2, a primeira seção aborda alguns pontos importantes da
História da Estatística e a segunda seção discute acerca do ensino e aprendizagem
de Estatística. A terceira seção discorre a respeito de correlação e regressão,
especificamente correlação linear e regressão linear, do ponto de vista teórico. Na
quarta seção, destacam-se algumas dificuldades dos alunos com relação à
correlação e regressão.
No capítulo 3, a primeira seção discorre a respeito da análise e interpretação
de dados da Escola Básica ao Ensino Superior, tomando como base os Standarts do
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) e os Parâmetros Curriculares
Nacionais, Brasil (1998). A segunda seção apresenta o foco teórico da pesquisa, isto
é, os níveis de compreensão e interpretação de dados à luz de Curcio (1987). Nessa
seção, são discutidas algumas dificuldades, apresentadas pelos alunos durante o
processo de leitura e interpretação de dados e apontadas pela literatura. A terceira
seção apresenta uma análise a partir dos níveis de leitura de Curcio (1987) de
quatro livros didáticos de Estatística. A análise feita dos livros envolve os textos e os
exercícios, onde o tema tratado é correlação linear e regressão linear.
No capítulo 4, a primeira seção discorre a respeito do contexto da pesquisa,
nomeando os seus sujeitos, a disciplina e o curso. A segunda e terceira seções
apresentam os instrumentos e fases de coleta de dados e os critérios de análise
adotados.
No capítulo 5, a primeira seção apresenta a Primeira Sequência De
Atividades, consistindo em uma atividade investigativa composta por seis questões.
Cada questão proposta teve o seu objetivo construído a partir das categorias de
Curcio (1987). A segunda seção relata o desenvolvimento da atividade e apresenta
as idéias intuitivas dos alunos a respeito do tema abordado, bem como o processo
de socialização dessas idéias e formalização estatística das mesmas.
No capítulo 6, a primeira seção apresenta a Segunda Sequência de
Atividades, consistindo em uma atividade investigativa, desenvolvida a partir de
dados reais, composta de oito questões, elaboradas a partir das categorias de
Curcio (1987). A segunda seção discute o desenvolvimento da atividade
investigativa, analisa as idéias intuitivas dos alunos a respeito do tema, até a
formalização dos resultados de um ponto de vista estatístico.
14
No capítulo 7, são feitas as considerações finais, isto é, um pequeno relato
de como foi realizada a pesquisa, os pontos relevantes observados pela professora
pesquisadora com relação ao entendimento dos alunos em relação ao processo da
aplicação das duas atividades investigativas. Nesse capítulo, são feitas algumas
considerações em relação a limitações da pesquisa e aos cuidados que deverão ser
considerados ao trabalhar outras atividades com outras turmas. Alguns pontos são
sugeridos para que se explorem outros itens dentro do tema abordado correlação e
regressão e que podem motivar pesquisas futuras.
No Apêndice B, é apresentado o produto desta dissertação, constituído
por duas seqüências de atividades que ampliam as seqüências elaboradas e
aplicadas a duas turmas de cursos de engenharia. Integra a proposta as análises
dos textos e exercícios dos quatros livros a respeito do tema correlação e regressão
à luz das categorias de Curcio (1987). O produto desta dissertação é uma proposta
didático-metodológica para o ensino e aprendizagem de correlação e regressão em
cursos de engenharia com foco na leitura e interpretação de dados e espera-se que
ela possa contribuir de forma significativa para o ensino-aprendizagem numa
perspectiva de um olhar diferenciado para o ensino do tema abordado nessa
dissertação.
É limitado o número de trabalhos de Educação Estatística no Ensino
Superior. Espera-se que esse trabalho venha a somar-se aos já existentes e que
muitos outros trabalhos venham a contribuir de forma sugestiva a todos os
professores e pesquisadores que buscam novas formas de contribuir para o ensino-
aprendizagem.
15
2 ENSINO E APRENDIZAGEM DE ESTATÍSTICA: CORRELAÇÃO E
REGRESSÃO
A pesquisa aqui relatada teve como objetivo investigar possibilidades de uma
abordagem metodológica para o ensino-aprendizagem de correlação e regressão
em turmas de graduação de um curso de engenharia, construída a partir de um
enfoque intuitivo.
Nesse capítulo, pretendeu-se inicialmente situar o tema no contexto da
Estatística e seu ensino. Assim, a primeira seção recupera alguns pontos relevantes
da própria História da Estatística e a segunda seção busca, da mesma forma,
recuperar alguns aspectos sobre a História do Ensino de Estatística no Brasil. O
tema, objeto dessa dissertação, é tratado na seção terceira, pontuando-se também
alguns fatos históricos. A última seção destaca questões relativas ao ensino de
correlação e regressão, trazendo resultados importantes que a literatura aponta,
tendo em vista a dificuldade de abordagem do conteúdo, segundo vários
pesquisadores.
2.1 A Estatística e seu desenvolvimento
A palavra estatística, popularmente falando, está associada à idéia de dados
numéricos, apresentados principalmente na forma de gráficos ou tabelas, publicados
por órgãos governamentais (MEMÓRIA, 2004).
Tais dados dizem respeito, de modo geral, a fatos demográficos, econômicos,
sociais e políticos e são hoje amplamente veiculados na mídia, passando a
demandar das pessoas competências específicas para a leitura e interpretação dos
mesmos.
Essa concepção de Estatística está de certa forma ligada à própria origem da
Estatística. A palavra Estatística originou-se do termo em latim “Status”, que significa
Estado e surgiu da necessidade do homem de fazer levantamentos de dados,
tornando-se um instrumento para auxiliar os governantes na tomada de decisões.
Esse fato pode de certa forma justificar o forte apoio hoje aos números, quando da
16
condução de campanhas governamentais e durante gestões, justificando propostas
e medidas políticas de governos, como por exemplo, de contenção da inflação
monetária ou dos juros, ou ainda o redirecionamento de planos de investimentos na
saúde, educação e moradia para a população de baixa renda, entre várias outras.
Desde a antiguidade, a Estatística já era utilizada pelo homem, para
contabilizar populações, armamentos, riquezas, e as informações utilizadas com
objetivos militares e tributários, orientando estratégias de guerra e estratégias
fiscais. Memória (2004) lembra o relato de Confúcio1, dos levantamentos a respeito
da população chinesa, feitos há mais de 2000 anos antes de Cristo. O autor também
aponta que os egípcios, assim como as civilizações pré-colombianas, os maias, os
astecas e os incas, utilizaram recursos estatísticos, fato constatado a partir das
pesquisas arqueológicas. Da mesma forma, os balancetes do império romano, o
inventário das posses de Carlos Magno, entre outros, evidenciam ao longo da
História uma abordagem descritiva de dados, embora a Estatística enquanto
descrição de dados tenha emergido, posteriormente, no século 16, na Itália.
Os levantamentos censitários têm hoje um papel preponderante, sendo
realizados nos vários países por agências especializadas. No Brasil, o primeiro
censo, no caso apenas demográfico, foi realizado em 1872, sob a responsabilidade
da então Diretoria Geral de Estatística (DGE), um órgão governamental. Desde
1940, o levantamento censitário brasileiro é de responsabilidade do “Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística” (IBGE), tendo sido realizado em alguns anos
de modo a abordar não apenas as questões demográficas, mas econômicas,
agrícolas, industriais, comerciais, de transportes, de índices sociais, entre muitas.
(PEREIRA; MORETTIN, 1991).
A ampla disseminação das técnicas estatísticas e sua aplicação nos diversos
setores confirmam o fato, destacado por Memória (2004), que a Estatística, como
hoje se conhece está bem longe de uma mera descrição de dados. Segundo esse
autor:
A primeira tentativa para se tirar conclusões, a partir de dados numéricos, foi feita somente no século 17, na Inglaterra, com o que foi denominada Aritmética Política, que evoluiu para o que hoje se chama demografia. Contudo, só começou a existir como disciplina autônoma no raiar do século 20, o verdadeiro início da estatística moderna. (MEMÓRIA, 2004, p.12).
1 Confúcio (551 a.C. - 479a.C.), o pensador chinês que teve sua trajetória de vida marcada como mestre, filósofo e teórico político.
17
Com o passar dos anos, a Estatística evoluiu de forma significativa, através
dos trabalhos realizados por Bernoulli, Fermat, Pascal, Laplace,Gauss, Quetélet,
Galton, Pearson, Student, Fisher, Poisson, entre vários outros estudiosos.
A Estatística desenvolveu-se fundamentada nos estudos de probabilidades e
recebendo contribuições valiosas da Astronomia e do que veio a se constituir a
Biometria. Atualmente, pode ser considerada como uma ciência que permite
analisar, interpretar, conjeturar e tomar decisões, deixando de lado a sua antiga
qualificação de apenas quantificar dados.
A estatística é uma coleção de métodos para planejar experimentos, obter dados e organizá-los, resumi-los, analisá-los, interpretá-los e deles extrair conclusões. (TRIOLA, 1999, p.2).
Segundo Batanero (2001), adota-se, há cerca de trinta anos, uma divisão
clássica da Estatística em dois grandes ramos: Estatística Descritiva ou Dedutiva e
Estatística Indutiva ou Inferencial.
A Estatística Descritiva tem como essência descrever os dados,
apresentando-os de forma gráfica ou através de tabelas, restringindo-se a um
estudo de noções básicas. Este ramo, por muito tempo foi o cerne das aplicações
em pesquisas experimentais.
A Estatística Descritiva tem como fim apresentar um conjunto de dados de forma resumida, explicitando suas características, mediante representações gráficas. Os dados são usados para fins de comparação, sem utilização de princípios de probabilidade. O interesse se concentra em descrever o conjunto de dados e não planeja estender as conclusões a outros dados diferentes ou a uma população. (BATANERO, 2001, p. 10, tradução nossa)2
O segundo ramo é conhecido como Estatística Indutiva ou Inferencial.
[...] estuda os conjuntos de dados com referência a um modelo de distribuição de probabilidade ou uma família de modelos, com determinada margem de incerteza, na estimativa dos parâmetros desconhecidos dos mesmos. Supõe–se que o conjunto de dados analisados seja uma amostra de uma população e o interesse principal é predizer o comportamento da
2 La estadística descriptiva tiene como fin presentar resúmenes de un conjunto de datos y poner de manifiesto sus características, mediante representaciones gráficas. Los datos se usan para fines comparativos, y no se usan principios de probabilidad. El interés se centra en describir el conjunto de datos y no se plantea el extender las conclusiones a otros datos diferentes o a una población.
18
população, a partir dos resultados da amostra. (BATANERO, 2001, p. 10, tradução nossa)3
A todo o momento, recebe-se uma grande quantidade de informações
estatísticas da mídia escrita ou televisiva, demandando um conhecimento mais
apurado de análise e interpretação de tais informações. O conhecimento estatístico
vem de encontro às necessidades atuais do mundo globalizado, o mundo dos
negócios, sejam eles relacionados às áreas políticas, sociais, científicas ou
tecnológicas, onde a tomada de decisões se faz sempre necessária.
A Estatística caracteriza-se, hoje, por uma forte matematização e um forte
apelo aos recursos computacionais. Memória (2004) comenta o fato que até a
década de 40 (referindo-se ao período de 1940 a 1950) os conhecimentos
matemáticos demandados para entendimento da teoria estatística eram mais
reduzidos e que a situação alterou-se a ponto da leitura de artigos especializados,
mesmo aqueles das revistas aplicadas, serem inacessíveis para muitos estatísticos,
considerando-se o elevado nível de sofisticação matemática.
O avanço na área tecnológica, a produção de computadores cada vez mais
sofisticados e a criação de softwares educativos e comerciais que possibilitam usar
as funções estatísticas, expandiu o leque de aplicação da Estatística como suporte à
Biologia, Psicologia, Medicina, Economia e Engenharia, entre outras áreas de
conhecimento. Todo o ferramental estatístico computacional que é hoje
disponibilizado, de certa forma viabiliza uma infinidade de cálculos estatísticos
acerca de grandes massas de dados, minimizando a matemática exigida e
permitindo um foco nas idéias estatísticas envolvidas nos problemas.
Entretanto, nas palavras de Yates, “os computadores são bons serventes,
mas maus mestres”, podendo afastar “o estatístico do escrutínio inteligente dos
dados”, conforme aponta Memória (2004, p.86).
É relevante ainda ressaltar que, por mais sofisticados que sejam os pacotes
estatísticos empregados, a leitura e interpretação de dados é uma leitura e
interpretação de mundo.
3 [...] estudia los resúmenes de datos con referencia a un modelo de distribución probabilistico o una familia de modelos, determinando márgenes de incertidumbre en la estimación de los parámetros desconocidos del mismo. Se supone que el conjunto de datos analizados es una muestra de una población y el interés principal es predecir el comportamiento de la población, a partir de los resultados en la muestra.
19
A importância da Estatística na formação de profissionais e pesquisadores e, principalmente do cidadão, é cada vez mais valorizada, pois a falta desse conhecimento pode levar o cidadão a consumir informações sem um filtro crítico tornando-o vulnerável aos vieses que as informações estatísticas podem se prestar. (VENDRAMINI, 1998).
A Estatística tem se desenvolvido de modo a explicar dados e inferir
comportamentos, adquirindo hoje um papel relevante na formação do cidadão,
passando a integrar o currículo educacional, desde as primeiras séries da escola
fundamental.
2.2 Ensino e aprendizagem de Estatística
O ensino de Estatística de forma sistematizada é recente em muitos países.
No Brasil, o primeiro curso da matéria foi ministrado no Instituto de Educação, uma
escola de formação de professores do Rio de Janeiro, no começo da década de
1930. Entretanto, noções estatísticas isoladas, como por exemplo, tópicos de cálculo
de probabilidades e teoria de erros, integravam o currículo das escolas militares de
engenharia. (PEREIRA; MORETTIN, 1991).
Em seu texto sobre os “Primórdios do Ensino de Estatística no Brasil e na
UERJ”, Paulo Pardal (1993) destaca que esses estudos eram desenvolvidos na
Academia Real Militar desde 1810, onde os cadetes eram admitidos com apenas 15
anos de idade, e bastava que “dessem conta das quatro operações”. Segundo
Pardal, o currículo do primeiro ano compreendia aritmética, álgebra, geometria,
trigonometria e desenho. No segundo ano, dava-se seqüência aos estudos de
álgebra, geometria, desenho e geometria descritiva, geometria analítica, cálculo
diferencial e integral e suas aplicações “até onde se tem chegado nos nossos dias”,
incluindo aplicações à Física, Astronomia (matérias do 4o ano) e ao cálculo de
probabilidades. Os livros indicados eram os livros utilizados na França, no Instituto
Politécnico de Paris, criado em 1791. Segundo o mesmo autor, era de se questionar,
como os cadetes, dominando apenas as quatro operações, podiam acompanhar
estudos tão avançados e realmente quais os tópicos e qual o nível de
aprofundamento com que eram lecionados, considerando-se o elevado número de
cadeiras, para serem ministradas por poucos professores.
20
Segundo Pereira e Morettin (2004), embora tendo início em um curso de
exatas, a Estatística desenvolveu-se a partir de 1935, ligada à área de Ciências
Humanas, apresentando sempre uma conotação aplicada à Saúde, à Economia e à
Administração.
Data de 1946 o primeiro curso de pós-graduação em Estatística, criado na
USP. Posteriormente, com a reforma universitária, a Estatística ganhou um novo
impulso, decorrente da criação dos institutos, no caso da USP, Instituto de
Matemática e Estatística, congregando todas as antigas cátedras de Matemática e
Estatística, alocadas nos vários cursos.
Em outras universidades, foram criados Institutos ou Departamentos de
Estatística ou, ainda um Departamento de Matemática e Estatística, como na
instituição onde a pesquisa foi desenvolvida. Nessa instituição, o Departamento de
Matemática e Estatística foi criado em 1978 e presta serviço a vários outros cursos
que necessitam do conhecimento matemático e estatístico. No ensino superior, a
Estatística se faz presente na grade curricular de vários cursos que necessitam,
cada vez mais, de conhecimentos para análise de dados, interpretações e tomada
de decisões.
A aplicação da Estatística, por exemplo, na Engenharia, é relevante.
Podemos pensar no controle de qualidade, tomando como exemplo, a produção de
peças produzidas por uma máquina. É possível, através do controle de qualidade,
detectar se existe algum problema com as peças e, a partir daí, tomar atitudes que
possam minimizar ou resolver completamente esta situação. Todas essas decisões
são instruídas por ferramentas estatísticas.
Muitas vezes, a relação entre estatística e engenharia é ainda mais estreita. Os próprios métodos de engenharia costumam incorporar intrinsecamente procedimentos probabilísticos ou estatísticos. Assim, para que o aluno possa entender certos métodos de engenharia, é necessário que tenha conhecimento de probabilidade e estatística. (BARBETTA, 2004, p.14).
No entanto, a Estatística, na maior parte das vezes é vista pelos alunos, em
cursos de nível médio ou nível universitário, como sendo uma extensão da
matemática. Essa concepção pode ser explicada, em parte, pelo fato que em geral
as aulas de Estatística no Ensino Fundamental e Médio são ministradas por
profissionais com licenciatura em Matemática, que não necessariamente foram
formados, desenvolvendo habilidades estatísticas básicas ao longo do curso de
21
graduação, o que pode ser um fator que compromete a abordagem do conteúdo
estatístico por parte dos mesmos.
Como professora, a pesquisadora tem observado que, durante as aulas de
Estatística, na maioria das vezes, apenas o lado puramente matemático é
enfatizado, fazendo com que a Estatística seja considerada algo sem vida. Um
exemplo dessa distorção pode ser apontado no estudo das medidas descritivas. A
maioria dos alunos encara tais estudos como apenas uma aplicação de fórmulas
matemáticas e produção de gráficos, descartando, na maior parte das vezes, a
análise e a interpretação dessas medidas.
Algumas dificuldades bastante comuns do aluno são com relação ao
entendimento do “valor típico” de um conjunto de dados e a construção de gráficos.
As dificuldades concentram-se exatamente no entendimento conceitual do “valor
típico”, o valor que caracteriza o conjunto de dados.
Batanero (2001), ao se referir à idéia de ”valor típico” reporta-se a Russel y
Mokros (1991)4 para destacar três capacidades que o aluno deve desenvolver
para saber: 1) escolher o valor mais adequado para descrever os dados; 2)
fornecer um exemplo de um conjunto hipotético de dados para um valor central
dado; 3) explicar o efeito sobre um valor central, decorrente das alterações de
alguns dados no conjunto.
O desenvolvimento dessas capacidades pressupõe uma mudança de
concepção da Estatística e seu papel. Na visão do aluno, a Estatística trabalha com
uma massa de dados empíricos, por vezes reais, fornecendo fórmulas para calcular
uma série de medidas descritivas e confeccionar uma série de gráficos. Não parece
existir a preocupação, em nenhum momento, com o pensar reflexivo a respeito de
uma situação, que exige analisar, interpretar e conjeturar acerca daquela massa de
dados e por vezes tomar decisões.
Em qualquer um dos níveis de ensino, os estudantes devem ser preparados para escolher projetos, aprender a formular questões, planejar e coletar efetivamente os dados, escolher os métodos estatísticos adequados, resumir as informações e criticar os resultados obtidos, elaborar relatórios que sejam objetivos e críticos e entender as limitações da Estatística, geradas principalmente pela incerteza e pela variabilidade. (WODEWOTZKI; JACOBINI, 2004, p.235).
4 Citados em Batanero (2001, p.88). Ver referência completa no final.
22
A representação e a interpretação gráfica podem ser consideradas como
sendo outro grande problema enfrentado por parte dos alunos. Em geral eles
apresentam dificuldades no entendimento de escalas e sua elaboração, não
adotando um material adequado para confeccionar gráficos. A maior parte dos
alunos não percebe a riqueza dessa forma de representação e conseqüentemente a
interpretação dos dados dentro das varias áreas de estudo, deixa a desejar.
Batanero (2001) destaca os erros comuns dos alunos ao confeccionarem
gráficos, apoiando-se nos trabalhos desenvolvidos por Li y Shen (1992)5 ao
desenvolverem projetos estatísticos com a participação de alunos da escola
secundária. Tais erros consistem na omissão das escalas de alguns dos eixos
coordenados ou da indicação da origem do sistema de coordenadas e por vezes na
utilização de subdivisões de escalas insuficientes.
É necessário um cuidado por parte do professor para que os alunos
desenvolvam um rigor na construção dos gráficos, além do entendimento das várias
formas de representação gráfica e a melhor escolha para cada situação.
A compreensão de qualquer conteúdo estatístico depende muito da
conotação dada pelo professor em sala de aula, da ênfase conceitual e das
aplicações, que devem na medida do possível remeter a situações do contexto
cultural do aluno. Lidar com dados relacionados a sua área de interesse pode levar o
aluno a um maior comprometimento em relação ao conteúdo abordado e talvez
motivá-lo a fazer a interpretação de tais dados.
O desenvolvimento do pensamento estatístico exige uma abordagem
sistêmica e global, não se restringindo ao estudo isolado de alguns métodos e
conceitos. Inicialmente incorporado ao Ensino de Matemática e posteriormente à
Educação Matemática, o Ensino de Estatística ganhou corpo, merecendo cada vez
mais um espaço próprio, congressos e organizações sociais específicas. Segundo
Wodewotsky e Jacobini (2004), essa é uma tendência mundial. Destaca-se, por
exemplo, o número de trabalhos apresentados nos seminários internacionais
relacionados com a Estatística Aplicada, promovidos pelo Instituto Americano de
Estatística. Nos eventos de Educação Matemática essa presença é ainda reduzida.
Só recentemente, em 2001, quando da realização do VI ENEM, foi criado um Grupo
de Trabalho específico para agrupar pesquisadores brasileiros, preocupados com
5 Citados em Batanero( 2001, p.82). Ver referência completa ao final.
23
questões relativas ao desenvolvimento do pensamento estatístico e com o ensino e
aprendizagem da Estatística. O número de trabalhos de Estatística nos eventos, em
Educação Matemática, tem aumentado. Nos programas de pós-graduação em
Educação e Ensino, trabalhos relativos à Estatística, começam a se multiplicar,
lentamente. Podemos citar alguns trabalhos desenvolvidos nesta área, por exemplo,
Ara (2006), Bifi (2006) e Cazorla (2002) entre outros pesquisadores.
Uma das tendências em Educação Matemática e Educação Estatística é de
uma abordagem que prioriza a investigação. A investigação estatística acontece
segundo Ponte e colaboradores (2003), quando possibilitamos aos nossos alunos o
desenvolvimento de suas capacidades de analisar, interpretar e fazer conjecturas
em relação aos dados quantitativos. E esse objetivo de promover o desenvolvimento
de um espírito investigativo pode ser atingido de diversas maneiras.
Caminhar em busca do conhecimento exige muito mais do que temos como
referência há anos, na nossa escola tradicional. O deixar fluir na busca do aprender
é o que faz o aluno amadurecer, sendo capaz de refletir e conquistar a sua
autonomia.
A Educação Estatística ou Educação em Estatística avança a cada dia,
discutindo o processo do ensino aprendizagem dos conteúdos estatísticos,
buscando formas de envolver o aluno de maneira que seja questionador e que tenha
em mente que a construção do conhecimento não ocorre em função somente do
professor. Ao aprender a Matemática ou a Estatística, o aluno deve deixar fluir suas
idéias intuitivas, levantando conjecturas, mas buscando a validação das mesmas
através de argumentos teóricos.
O explorar inicialmente de forma intuitiva, no processo de ensino
aprendizagem, pode contribuir de forma construtiva, desde que tal procedimento
seja desenvolvido de maneira que ao findar a abordagem investigativa seja feito o
elo entre o formal e o intuitivo.
As seqüências de atividades presentes nos capítulos 5 e 6, aqui relatadas,
foram aplicadas pela professora-pesquisadora a duas turmas de engenharia.
Trazem uma proposta de abordagem inicial intuitiva, objetivando a investigação,
centrada na análise e interpretação de dados, a partir de referenciais que serão
discutidos no Capítulo 3. Ao final de cada seqüência de atividades aplicada pela
professora-pesquisadora, atentou-se para a necessidade de proceder à formalização
dos conteúdos envolvidos.
24
2.3 Correlação e Regressão
No seu cotidiano, as pessoas, freqüentemente, levantam hipóteses, na
tentativa de investigar a existência de alguma relação entre duas, ou mais variáveis.
O aumento de venda de telefones celulares, por exemplo, teria alguma associação
com o aumento de venda de pipocas nas salas de cinemas de uma dada cidade, em
certo momento?
O termo associação é usado para estudar o relacionamento entre variáveis.
As pessoas, em geral, explicam as associações entre as variáveis através do senso
comum e, na maioria das vezes, não têm noção de que essas conjecturas têm uma
sustentação teórica extremamente sofisticada no campo estatístico.
A associação entre as variáveis pode envolver variáveis qualitativas, isto é,
variáveis que não são mensuradas numericamente, como por exemplo, cor e raça
de pessoas; e variáveis quantitativas, que são mensuráveis numericamente, como
no exemplo anterior, vendas de celulares e de pipocas.
No campo estatístico, é comum reservar o termo associação para o estudo de
relações entre variáveis qualitativas, que apresentam informações através de suas
categorias e atributos. No caso das variáveis quantitativas, o termo associação
recebe o nome de correlação e pode ser a princípio, explorada através de um
diagrama de dispersão. Neste trabalho, limita-se à abordagem de correlação entre
duas variáveis.
Considerando-se duas variáveis X e Y, o diagrama de dispersão
consiste em uma forma de representar graficamente, os pares ordenados (X,Y),
observados em determinado período de tempo. A partir da visualização do diagrama
de dispersão, se pudermos perceber certo padrão em relação aos pares ordenados
(X,Y), podemos concluir, intuitivamente, que há uma correlação entre as variáveis,
conforme gráfico 1.
25
X
Y
6055504540353025
650
600
550
500
450
400
350
Gráfico 1 - Diagrama de dispersão: Tendência ascend ente
Fonte: Dados fictícios
A Correlação Estatística é uma teoria capaz de medir a intensidade de
certa força que mantém unidas duas ou mais quantidades (variáveis), ainda que isto
não implique em uma relação de causa-efeito. Existe correlação estatística entre
duas variáveis quando uma delas está de alguma forma, relacionada com a outra.
As duas variáveis estarão relacionadas de forma positiva se elas
caminharem no mesmo sentido, isto é, a um aumento de X implicar um aumento de
Y; e a uma redução de X implicar uma redução de Y, de acordo com o gráfico 1. A
relação é tida como negativa, se X e Y caminharem em sentidos opostos, conforme
o gráfico 2.
26
X
Y
282624222018161412
18
16
14
12
10
8
6
Gráfico 2 - Diagrama de dispersão: Tendência descen dente
Fonte: Dados fictícios
A correlação permite detectar apenas se há alguma relação, em um
determinado momento, entre as variáveis. É possível que haja correlação, por
exemplo, entre as variáveis X = vendas de parafusos e Y = aumento de alunos nas
universidades. Essas duas variáveis podem estar crescendo, em certo intervalo de
tempo, não porque uma é causa da outra, mas talvez por estar toda a economia do
país em crescimento.
A correlação não indica uma relação determinística (de causa-efeito)
entre as variáveis; a correlação detecta, apenas, que elas estão caminhando num
mesmo sentido, num certo momento. As análises e conjecturas devem ser feitas
pelo pesquisador da área específica, que é o sujeito capaz de extrair informações de
um conjunto de dados. A Estatística é somente um instrumento, que pode se tornar
poderoso e útil, se usado por quem possui forte fundamentação teórica e a devida
prática em sua área de atuação.
A forma como os pontos tendem a se distribuir no diagrama de dispersão
permite identificar, visualmente, a possibilidade de uma correlação linear, se os
pontos se posicionam em uma faixa que acompanha certa reta imaginária. Podem
também apresentar uma tendência não-linear, acompanhando uma curva
imaginária, tipo parabólica, exponencial ou logarítmica. No estudo das correlações,
27
as não lineares são os modelos mais complexos. Nosso objetivo é trabalhar com a
correlação linear, visto ser a mais freqüente.
Como as conclusões tiradas de diagramas de dispersão se apóiam nos
aspectos visuais do gráfico, elas tendem a ser subjetivas. Então, o pesquisador
necessita de métodos mais precisos e objetivos. Neste texto, será utilizado um
Coeficiente de Correlação Linear para detectar a intensidade de padrões lineares.
Para afirmarmos que duas variáveis são correlacionadas linearmente de
forma perfeita (todos os pontos alinhados), moderada, forte, fraca ou nula,
(referindo-se à ausência completa de tendência linear), podemos lançar mão de uma
fórmula, aceita no meio científico como apropriada para cálculo do coeficiente de
correlação linear. Ela permite calcular o grau de intensidade do relacionamento entre
as duas variáveis. A fórmula que utilizaremos é denominada correlação de
momento-produto de Pearson, ou simplesmente, coeficiente de correlação de
Pearson. A fórmula é indicada por r, e foi desenvolvida por Karl Pearson6.
Por ser r um coeficiente, ele não deve depender da unidade de medida dos
dados. Deve ser um valor numérico puro, independente das unidades quilogramas e
metros, se as variáveis forem peso e altura de indivíduos, por exemplo.
Assim, a teoria de Pearson, explorada por Barbetta, usa a alternativa de
padronizar os dados para as variáveis X e Y, separadamente, através das
expressões:
xS
Xxx
−=' (1) yS
Yyy
−=' (2)
x : cada valor da variável X
'x : cada valor padronizado
y : cada valor da variável Y
'y : cada valor padronizado
X : média dos dados da variável X Y : média dos dados da variável Y
6 Karl Pearson (1857 –1933) foi um grande contribuidor para o desenvolvimento da Estatística como uma disciplina científica séria e independente. Ele foi o fundador do Departamento de Estatística Aplicada (Department of Applied Statistics) na University College London em 1911; primeiro departamento universitário dedicado à estatística em todo o mundo.
28
O coeficiente de correlação linear de Pearson é definido, em termos dos
valores padronizados, pela expressão:
1
)''.(
−= ∑
n
yxr (3)
n: número de pares (x, y) observados.
Os numeradores das expressões (1) e (2) são os desvios em relação à média,
para os valores de X e de Y, respectivamente. Em (3), calculamos, no numerador, os
produtos dos desvios e os somamos. O sinal do resultado r de (3) será determinado
por este numerador, dependendo de os produtos positivos ou de os negativos serem
mais numerosos e maiores (LEVIN, 2004).
Assim, se r for positivo, as variáveis caminham na mesma direção, se for
negativo, elas caminham em direções contrárias. Se os pontos do diagrama
estiverem todos sobre uma reta ascendente, teremos 1+=r , correlação perfeita
positiva. Teremos 1−=r , se os pontos estiverem todos sobre uma reta
descendente. Se não houver correlação linear, r será nulo.
O valor de r varia, então de -1 a 1, qualquer que seja o conjunto de dados.
Quanto mais próximo r estiver do valor 1 ou de -1, mais forte será a correlação; e,
quanto mais perto de zero, mais fraca ela será considerada (LEVIN, 2004).
De acordo com Stevenson (1981, p.369), e em se tratando da área de
ciências sociais e humanas: r entre -1 e -0,70 ou entre 0,70 e 1, indica
relacionamento forte entre as duas variáveis; fora destes intervalos, a correlação vai
de moderada a fraca, ao se aproximar de zero; 0=r indica ausência de correlação
linear entre as duas variáveis.
29
Na tabela 1 a seguir, usaremos a expressão (3) para estudar a correlação
entre os valores X e Y.
Tabela 1 – Produção de peças (X) e custos (Y) em m ilhares de reais.
X Y 'x 'y '' yx
91
183
32
294
32
162
45
95
58
209
119
32
4,2
5,6
3,8
7,5
3,0
2,9
3,9
6,3
3,7
4,1
4,1
2,2
-0,24
0,87
-0,95
2,20
-0,95
0,37
-0,79
-0,19
-0,63
1,18
0,10
-0,95
-0,05
088
-0,32
2,15
-0,85
-0,91
-0,25
1,35
-0,38
-0,12
-0,12
-1,38
0,012
0,766
0,304
4,730
0,808
-0,337
0,198
-0,257
0,239
-0,142
-0,012
1,311
Fonte: Dados fictícios
Temos: 037,83=xS ; 503,1=yS ; 0,111=X ; Y =4,275 ;
620,7)''.( =∑ yx
Logo 69,011
620,7 ==r
Vê-se na última coluna da tabela que a soma 7,620 é positiva, o que
determina um r positivo. Isto pode ser confirmado pela observação da relação dos
elementos das duas primeiras colunas, cujo diagrama de X por Y terá uma tendência
linear positiva.
O uso da definição de coeficiente de correlação expressa em (3) é
interessante para se ter uma compreensão maior e mais conceitual da correlação.
Mas, os cálculos se tornam longos e erros de arredondamentos podem ser
acumulados. Então, a expressão (3) pode ser trabalhada algebricamente e adquirir o
formato mais usado nos livros didáticos, como em Levin, 2004.
−=
− −∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2
n xy ( x)( y)r
n( x ) ( x) n y ( y)
(4)
30
onde:
n quantidade de pares ordenados da amostra
∑ soma dos itens indicados
∑ x soma dos valores de x
∑ x² Indica a soma de cada valor de x elevada ao quadrado
(∑x)² Indica a soma dos valores de x elevada ao quadrado
∑ xy Indica a somatória do produto xy
Tabela 2, retomando os mesmos dados da tabela 1, do exemplo anterior, com
o uso da nova fórmula, teremos:
Tabela 2: Elementos para o cálculo do coeficiente d e correlação, da produção
de peças (X) e custos (Y).
X Y X2 Y2 X.Y
91
183
32
294
32
162
45
95
58
209
119
32
4,2
5,6
3,8
7,5
3,0
2,9
3,9
6,3
3,7
4,1
4,1
2,2
8281
33489
1024
86436
1024
26244
2025
9025
3364
43681
14161
1024
17,64
31,36
14,44
56,25
9
8,41
15,21
39,69
13,69
16,81
16,81
4,84
382,2
1024,8
121,6
2205
96
469,8
175,5
598,5
214,6
856,9
487,9
70,4
∑=1352 ∑=51,3 ∑=229778 ∑=244,15 ∑=6703,2
Fonte: Tabela 1
−=− −2 2
12.(5706,2) 1352.(51,3)
( 12.(251538) (1352) ).( 12.(153,55) (51,3)r
r = 0,67
31
Ao se usar a primeira expressão, encontramos r = 0,69. A pequena diferença
entre os dois resultados deve-se ao arredondamento de casas decimais nos cálculos
intermediários, e ao denominador, 1 unidade maior.
No caso da correlação linear, devemos ter cautela ao interpretarmos o
resultado do coeficiente de correlação de Pearson. Alguns enganos podem ser
cometidos durante as interpretações, como:
a) Concluir que a partir do valor do coeficiente de correlação existe uma correlação
de causalidade entre as duas variáveis (X,Y). Isto não deve ser afirmado
gratuitamente, pois, às vezes, existe uma variável oculta7 que pode influenciar o
processo de relacionamento entre as duas variáveis.
b) Fazer aplicações que envolvem variáveis como médias ou taxas, pois neste caso
deixamos de trabalhar com variações individuais. Quando consideramos médias
ou taxas, corremos o risco de inflacionarmos as variáveis em estudo.
c) Afirmar que não existe correlação entre as variáveis, uma vez que r = 0. Pode
ocorrer de não existir correlação linear entre as variáveis, mas pode existir entre
as variáveis uma correlação não linear.
Em geral, os estudantes têm dificuldades em lidar com r negativo e levantam
questões do tipo: como o valor do coeficiente de correlação de Pearson pode ser
negativo, por exemplo, r = -0,90 e, mesmo assim, existir uma forte correlação linear?
O exemplo, a seguir, objetiva mostrar uma tabela de dados, o gráfico do
diagrama de dispersão e o coeficiente de correlação de Pearson, para que se
perceba que as variáveis não estão caminhando no mesmo sentido, portanto ter-se-
á um r negativo e a correlação poderá ser forte.
Considere os dados da tabela 3: Renda familiar (em salários mínimos) e o
número de filhos, coletada de uma amostra de 8 famílias em uma cidade.
7 Define-se formalmente variável oculta como uma variável que afeta as variáveis em estudo, mas não está incluída em estudo.(TRIOLA, 1999, p. 239).
32
Tabela 3: Renda familiar e número de filhos Família Renda (X) Filhos (Y)
1 12 3
2 14 2
3 15 2
4 17 1
5 23 1
6 27 0
7 34 0
8 43 0
Fonte: Magalhães; Lima, 2007, p. 341
Renda (X)
Filhos (Y)
4540353025201510
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0000
11
22
3
Gráfico 3 – Número de filhos e renda familiar (em s alários mínimos)
Fonte: Tabela 3.
a) Observando o diagrama de dispersão, percebe-se que um valor baixo para
renda no eixo (X) tem como correspondente um valor alto para o número de
filhos (Y). E que um valor alto para renda no eixo (X) tem como
correspondente um valor baixo para o número de filhos (Y). Logo isso mostra
que as duas variáveis não estão caminhando no mesmo sentido. Esse fato irá
justificar o porquê do valor do coeficiente de correlação de Pearson ser
negativo.
b) Calculando o coeficiente de correlação de Pearson, encontramos
33
r = - 0,859, o que indica uma forte correlação linear negativa entre as duas
variáveis. O sinal negativo não interfere na força de relacionamento entre as
duas variáveis.
Quando se admite uma relação de causalidade entre as variáveis X e Y, as
técnicas de Regressão podem ser usadas para se encontrar um modelo, geralmente
uma função matemática, que expresse a lei de dependência entre as variáveis X e
Y.
Existem várias técnicas de regressão, mas neste trabalho daremos atenção à
Regressão Linear, por ser uma unidade que compõe o plano de ensino da disciplina
cursada pelos alunos que participaram dessa pesquisa.
A regressão linear é uma técnica estatística que descreve a relação entre
duas variáveis, através de uma função matemática.
A regressão linear trabalha com duas variáveis, isto é, variável Y denominada
variável resposta ou dependente e a variável X denominada variável explicativa ou
independente.
Ao observamos um diagrama de dispersão, analisando como os pares
ordenados se distribuem, podemos retomar a idéia de visualização de uma linha
imaginária ascendente ou descendente.
No gráfico1 ( da página 25), por exemplo, percebemos uma tendência
ascendente. Através da teoria da regressão, pode-se encontrar a equação da reta
que melhor se ajusta aos pontos do gráfico.
X
Y
6055504540353025
650
600
550
500
450
400
350
Gráfico 1 - Diagrama de dispersão: Tendência ascend ente
Fonte: Dados fictícios.
34
Assim um modelo de regressão linear (populacional) que pode representar tais
pares ordenados, tem a forma:
com
y , variável dependente ou resposta
x, variável dependente ou explicativa
, coeficiente linear ou intercepto da reta
1β , coeficiente angular ou inclinação de reta
ε , erro aleatório, isto é, são fatores que afetam y de modo aleatório.
Algumas suposições devem ser feitas a respeito do erro aleatório, que são
importantes para que se faça inferência a respeito da regressão linear. Tais
inferências estão relacionadas a intervalos de confiança e teste de hipóteses. As
suposições são: 1) os erros aleatórios devem ter distribuição normal com média
igual a zero e variância constante; 2) não existe correlação entre os erros, isto é, um
erro elevado não causa o aumento de outro erro.
A regressão exige que se estimem os interceptos da reta, isto é, 10 e ββ
tendo como referência uma amostra composta pelos pares ordenados (X,Y).
A determinação da equação de uma reta que mais se aproxima dos pares
ordenados pode ser representada por xbby 10ˆ += , onde b0 e b1 são estimativas de
10 e ββ . A equação, é denominada equação de regressão ou reta de regressão. O
valor b0 é o coeficiente linear da reta, isto é, o valor onde a reta intercepta o eixo y,
obtido fazendo-se x = 0. O valor b1 é o coeficiente angular da reta, sendo que
informa a variação no eixo y a cada aumento de uma unidade no eixo x.
Para determinar as estimavas de 10 e ββ , podemos utilizar: o método das
médias, o método dos pontos selecionados ou o método dos mínimos quadrados. O
método dos mínimos quadrados tem como proposta tornar mínima a soma dos
quadrados dos desvios em torno da reta estimada, isto é:
ε= = − = − −∑ ∑ ∑2 2 2
0 1ˆD (y y) (y b b x) (5)
seja mínima.
0β
β β ε= + +0 1y x
35
Observe o Gráfico 4, onde é apresentado o erro de predição: − ˆ(y y)
y
= +0 1y b b x
− ˆ(y y)
y
x
Gráfico 4: Resíduos Fonte: Dados fictícios
Para minimizar a função D, dada em (5) calculam-se as derivadas parciais da
função em relação a b0 e b1, igualando-se a zero.
Obtêm-se, após simplificações, os coeficientes:
( )( ) ( )( )( ) ( )22
2
0
∑∑∑∑∑∑
−
−=
xxn
xyxxyb
( )( )
( ) ( )221
∑∑∑ ∑∑
−
−=
xxn
yxxynb (7)
O cálculo de b0 pode ser simplificado, lembrando-se que a reta de regressão
contém o ponto ),( yx e usando-se então a fórmula (8) xbyb 10 −= no lugar da
fórmula (6).
A seguir apresenta-se um exemplo de aplicação de correlação linear e regressão
linear.
Considere um experimento em que se analisa a octanagem da gasolina (Y) em
função de um novo aditivo (X). Para isso, foram realizados ensaios com percentuais
de 1, 2, 3, 4, 5, e 6% de ativo.
(6)
36
Tabela 4: Dados experimentais do efeito de um aditi vo(X) na octanagem da
gasolina (Y)
X Y
1 80,5
2 81,6
3 82,1
4 83,7
5 83,9
6 85,0
Fonte: Barbetta; Reis; Bórnia; 2004, p.325.
Usando os pares ordenados (X,Y):
a) Construa o diagrama de dispersão;
b) Determine a reta que melhor se ajusta aos pares ordenados;
c) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson;
d) Ajuste uma reta a esses dados no diagrama de dispersão.
a)
Quantidade de aditivo (%) (X)
Índice de octanagem (Y)
654321
85
84
83
82
81
80
85,0
83,983,7
82,1
81,6
80,5
Gráfico 5: Índice de octanagem e quantidade de adit ivo Fonte: Barbetta; Reis; Bórnia; 200, p.325
37
Observando o diagrama de dispersão, percebe-se que uma baixa
porcentagem de aditivo está relacionada com um baixo índice de octanagem e que
uma alta porcentagem de aditivo está relacionada com um alto índice de octanagem.
As duas variáveis caminham no mesmo sentido. E é possível que o coeficiente de
correlação linear de Pearson seja alto, devido ao fato de visualizarmos no diagrama
pouca dispersão entre os pares ordenados. De acordo com o diagrama de
dispersão, podemos imaginar uma linha imaginária ascendente.
b) Equação da reta de regressão: Y = 79,7 + 0,886 X
Com base na equação de regressão, pode-se dizer que para cada variação
de 1% na quantidade de aditivo (X), tem-se um acréscimo de 0,886 para o índice de
octanagem (Y).
c) Coeficiente de correlação de Pearson: r = 0,987
Com r = 0,987, há evidência de uma forte correlação linear positiva,
facilmente identificada no gráfico 5. ( Página 36)
d)
Quantidade de aditivo (%) (X)
Índice de octanagem (Y)
654321
85
84
83
82
81
80
Gráfico 5: Índice de octanagem e quantidade de adit ivo (Ajuste de reta)
Fonte: Barbetta; Reis; Bórnia; 2004, p.325 .
Logo, o modelo de regressão linear fornece uma equação matemática que
permite descrever o relacionamento entre as variáveis. Com a equação da reta de
regressão matemática, podemos fazer previsões de valores futuros, acerca de
38
determinada variável, quando conhecemos os valores de outra variável envolvida no
estudo.
É importante ressaltarmos que: “[...] nem a regressão nem a correlação
podem mostrar que uma variável tenda a “causar” certos valores de outra variável.
(STEVENSON,1981, p. 342)
Cada um desses conceitos pressupõe o desenvolvimento de idéias e
processos estatísticos, podendo apresentar níveis de complexidade variados, que
justificam um investimento para investigar formas mais eficazes para seu ensino.
2.4 Ensino e aprendizagem de Correlação e Regressão
As pesquisas sobre o ensino e aprendizagem de correlação e regressão são
numerosas e, de modo geral, investigam o tema de um ponto de vista psicológico,
ou de um ponto de vista didático.
Um dos primeiros trabalhos desenvolvidos sobre o entendimento do conceito
de associação estatística foi feito por Inhelder e Piaget no ano de 19558. Eles
realizaram uma investigação com crianças de 12 a 13 anos, usando como referência
tabelas de contingência9 2 x 2, com o objetivo de analisar as habilidades dessas
crianças em diferenciar as correlações diretas, inversas e a independência. Os
autores analisaram as estratégias utilizadas pelas crianças ao lidarem com as
tabelas, concluindo que as dificuldades apresentadas, apesar da simplicidade das
tarefas propostas, explicavam-se a partir do estágio de desenvolvimento cognitivo.
Segundo Inhelder e Piaget, a idéia de correlação não é desenvolvida antes do
estágio de operações formais. A análise de tabelas de contingência tem a ver, por
exemplo, com o conceito de proporcionalidade, conceito complexo que tem
demandado estudos e pesquisas no ensino de matemática.
Sánchez Cobo, Estepa e Batanero (2000) fazem uma síntese ao se referirem
às pesquisas sobre correlação (associação), destacando vários trabalhos na área da
Psicologia que foram desenvolvidos por outros pesquisadores, tendo como foco
8 Versão consultada, Inhelder e Piaget (1976), referência no final. 9 Tabelas de contingência 2X2: Tabela de freqüência observada em que as linhas correspondem a uma variável de classificação e as colunas correspondem a outra variável de classificação;chamada também de tabela de dois critérios. Triola, 1999, p.388)
39
analisar a idéia de correlação (associação), usando a tabela de contingência 2x2
(SHAKLEE; TUCKER, 1980; CROCKER, 1981; BEYTH-MAROM, 1982)10. Outros
trabalhos foram desenvolvidos tendo como foco o estudo de como as teorias prévias
podem interferir no estudo de correlação (CHAPMAN; CHAPMAM,1969; JENNINGS;
AMABILE; ROSS, 1982; TROLIER; HAMILTON, 1986)11. Para esses autores quando
os dados do problema não coincidem com o que a pessoa espera, pode haver
conflitos cognitivos, que dificultam fazer as estimativas de correlação.
Não necessariamente, as pesquisas dentro da psicologia, abordam a
correlação a partir de tabelas de contingência. Há trabalhos que investigam a
capacidade de estimar a correlação a partir de diagramas de dispersão, ou de
conjuntos de pares de valores que evidenciam que, de modo geral, as pessoas só
identificam e são capazes de estimar correlações fortes.
As tabelas de contingência 2X2 são amplamente empregadas e os trabalhos
envolvendo juízos sobre a existência ou não de associação entre duas variáveis
podem ser classificados segundo o objetivo do estudo: 1) estratégias empregadas
para resolver o problema; 2) influência das teorias prévias; 3) exatidão dos
julgamentos de associação; 4) contexto de apresentação dos dados. Segundo
Estepa e Sanchéz Cobo (2001a), merecem destaque os trabalhos sobre a influência
das teorias prévias. Muitas vezes, a existência de uma correlação é fundamentada
apenas em nossas próprias teorias, sem evidências empíricas que as sustentem, o
que é conhecido como “correlação ilusória”. Por outro lado, pode ocorrer o fenômeno
denominado “ilusão de controle”, consistindo em uma expectativa de sucesso
pessoal que é avaliada inapropriadamente, como superior à probabilidade objetiva
de ocorrer sucesso. De acordo com os autores, os julgamentos sobre a existência
ou não de associação são influenciados por muitos fatores, como o formato dos
dados e o fato da correlação ser ou não forte. (ESTEPA; SANCHÉZ COBO, 2001a,
b).
Na Educação Matemática, em particular na Educação Estatística, as
investigações sobre correlação e regressão têm como foco principal o estudo das
concepções dos estudantes e das estratégias utilizadas quando resolvem problemas
de associação. As pesquisas identificaram junto a estudantes pré-universitários
10 Citados em Sánchez Cobo, Estepa e Batanero (2000).Ver referência no final. 11 Idem 3.
40
quatro tipos diferentes de concepções errôneas acerca da associação estatística:
determinística, unidirecional, local e causal. (ESTEPA, 2007)
Na concepção de alguns alunos, a associação é determinística: assim,
quando existe mais de um valor para a variável dependente, os alunos costumam
afirmar que as variáveis são independentes entre si.
Para alguns alunos, a associação é unidirecional e somente ocorre quando a
associação é positiva. Os alunos consideram como independentes as variáveis se a
associação é negativa.
Na concepção de alguns alunos, a associação é local; adotam uma parte dos
valores presentes em um conjunto de dados, para fazer a análise da associação, e
generalizam a conclusão de que existe associação para todo o conjunto de dados.
Alguns alunos só admitem a existência de relação causal entre variáveis. Se
tal relação não existe, as variáveis não se relacionam.
Durante a abordagem do tópico de correlação e regressão, percebe-se que
uma boa parte dos alunos tem dificuldades no entendimento desses conceitos,
apoiando-se muito no senso comum (as chamadas concepções espontâneas) e,
talvez, avançando pouco no conhecimento científico dos conceitos.
De modo geral, os livros buscam chamar a atenção do leitor para o fato de
que adotar uma concepção causal da correlação pode levar a conclusões sem
sentido e os autores costumam exemplificar isso. Barbetta, por exemplo, destaca:
É importante ressaltar que o conceito de correlação refere-se a uma associação numérica entre duas variáveis, não implicando necessariamente uma relação de causa e efeito, ou mesmo numa estrutura com interesses práticos (BARBETTA, 2001, p. 274).
Apesar da observação feita com ênfase nos livros didáticos, os estudantes
tendem a interpretar a correlação entre variáveis na tentativa de explicações de
causa e feito. O papel do professor é muito importante no sentido de alertar para
essa interpretação apressada e sem fundamentação, bem como para as demais
concepções, determinística, unidirecional, ou local, que restringem o conceito de
correlação.
No processo de ensino e aprendizagem de correlação e regressão, o aluno
precisa desenvolver um olhar mais reflexivo em relação às representações gráficas
que lhe são oferecidas, no sentido de que, ele mesmo possa examinar os dados e, a
41
partir deles fazer, por exemplo, análises em relação a tendências evidenciadas nas
“nuvens de pontos”.
Como professora, tenho observado que os alunos fazem a interlocução entre
as disciplinas estudadas por eles, antes da abordagem de correlação e regressão,
isto é, com as disciplinas que no caso especifico envolvem a representação gráfica
e, conseqüentemente, a leitura visual de dados. Uma interlocução maior com as
disciplinas de Cálculo e Cálculo Numérico poderia contribuir para que, aos poucos,
os alunos pudessem desenvolver um amadurecimento dos processos de leitura e
interpretação visual. Na realidade, a análise visual da existência ou não de
correlação e regressão entre duas ou mais variáveis, sejam elas lineares ou não-
lineares, envolve habilidade de abstração por parte dos alunos.
A falta de compreensão por parte dos alunos dos conceitos de correlação e
regressão pode ter como uma das causas, o fato de que às vezes os professores
não direcionam o ensino de forma a permitir uma abordagem do tema através de
exemplos, com uma maior ênfase nas representações gráficas. Durante o ensino de
correlação e regressão, na maioria das vezes enfatiza-se o lado puramente
matemático, isto é, utilizam-se com freqüência os algoritmos, sempre com o sentido
principal de calcular, comprometendo os aspectos interpretativos dos resultados.
Essa abordagem evidencia concepções de Matemática e de Estatística que
espelham uma visão tradicional do ensino-aprendizagem. A concepção de
Matemática que, aqui se adota, contrasta com a anterior e pode ser expressa
através das palavras de Estepa e Sánchez Cobo (2001a).
“[...] consideramos a Matemática como atividade de resolução de problemas, socialmente compartilhada, como sistema conceitual logicamente organizado e como linguagem simbólica” (ESTEPA; SÁNCHEZ COBO, 2001a, p.4).
De certa forma, essa abordagem pode não estar presente na formação básica
do aluno, de modo particular na forma, por exemplo, em que são apresentados os
conceitos estatísticos.
O trabalho aqui relatado é uma tentativa de possibilitar que alunos de um
curso de engenharia tenham experiências de, a partir de situações-problema
exploradas primeiro de modo intuitivo e visual, construirem os conceitos de
correlação e regressão, sem que o enfoque único seja o uso de fórmulas.
42
3 LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE DADOS NO ENSINO E APRE NDIZAGEM DE
ESTATÍSTICA
As informações provenientes da mídia escrita ou televisiva sejam elas
relacionadas às esferas políticas, sociais, científicas, ou a outros campos de atuação
do homem, invadem constantemente o nosso dia-a-dia. Essas informações, na
maioria das vezes, disponibilizam dados estatísticos relativos a situações do
cotidiano da vida dos cidadãos.
Essa diversidade de informação geralmente acontece de forma rápida,
exigindo-se do usuário competência durante a leitura e a interpretação desses dados
informativos. Tais informações são apresentadas aos leitores, na maioria das vezes,
em forma de tabelas ou de gráficos, sendo que a análise e interpretação dos
mesmos demandam do leitor certa cautela, pois podem existir variáveis presentes
em tais informações que, de certa forma, induzem o leitor a aceitar a veracidade dos
fatos.
No campo acadêmico, mais especificamente, na área de ensino-
aprendizagem de Estatística, a riqueza das informações na forma de tabelas ou
gráficos deve ser explorada incentivando a leitura e a interpretação dos dados. Essa
leitura e interpretação de dados exigem do aluno senso crítico conhecimentos do
conteúdo estatístico e também conhecimentos prévios a respeito de tabelas e
gráficos.
Ao longo da História, desenvolveram-se técnicas e procedimentos variados de
análise estatística de dados. Segundo Batanero (2001), até o início do século XX, a
Estatística se restringia a análises exploratórias dos dados, limitadas a um estudo
descritivo dos dados. A partir do século XX, a Estatística começou utilizar métodos
da Inferência Estatística, tendo como referência os trabalhos desenvolvidos,
sobretudo por Fisher no período de 1920 a 1930, com a introdução do teste de
hipóteses (BATANERO, 2001).
Com os avanços teóricos dentro da própria Estatística, atingindo níveis mais
sofisticados, as análises e interpretações de dados estatísticos são cada vez mais
requisitadas e de forma minuciosa, em quase todas as áreas científicas. A
Inferência Estatística começou a trilhar uma fase de grande aplicação,
43
principalmente por fornecer sustentação à análise, à interpretação, à previsão, na
tomada de decisões sobre determinada situação, com determinado grau de
confiabilidade.
Durante muitos anos, conviveu-se, entretanto, com poucos recursos
tecnológicos para trabalhar com grandes massas de dados estatísticos, o que de
certa forma tornava o trabalho dos cálculos exaustivo para alunos e professores e
para todos que necessitavam de lançar mão de recursos da Estatística.
Atualmente, computadores cada vez mais potentes, além de refinados
softwares dão rapidez e confiabilidade aos cálculos que usam grandes volumes de
dados. Assim, contamos com vários softwares com aplicações em Estatística, como
por exemplo, SAS, SPSS, STATISTICA, S–PLUS e SIMSTAT, e planilhas, dentre as
quais se destacam as do EXCEL e BR-OFFICE. Esses recursos desempenham um
papel importante nas aplicações da Estatística Descritiva e na Inferência Estatística,
pois oferecem ao aluno funções que otimizam a confecção de vários tipos de
gráficos, permitindo um foco do ensino na leitura e interpretação de dados
estatísticos. Todo esse avanço tecnológico trouxe para a estatística e seu ensino um
novo enfoque, que prioriza o desenvolvimento do pensamento e da linguagem
visual, sustentado pelo pensamento inferencial.
Essa demanda de tratamento da informação, com novos processos e
ferramentas, influencia e leva a redirecionamentos curriculares, refletindo-se desde a
Escola Básica até Ensino Superior, fato a ser discutido na primeira seção desse
capítulo. A segunda seção tem como foco os níveis de leitura e interpretação de
dados, apresentando as categorias de Curcio (1997) que constituem o principal
referencial teórico da pesquisa desenvolvida. Finalmente, na terceira seção são
apresentados os resultados da análise de quatro livros didáticos, descrevendo-se a
abordagem dada ao tema correlação e regressão. Os exercícios relativos a esse
conteúdo são classificados de acordo com a ênfase dada aos mesmos,
considerando-se as categorias de Curcio acerca de leitura e interpretação de dados.
44
3.1 A análise e interpretação de dados: da Escola B ásica ao Ensino Superior
O volume de informações com o qual uma pessoa tem de lidar no mundo de
hoje exige uma formação adequada para tal. Torna-se imprescindível saber lidar
com uma massa de dados, organizando-os e resumindo de forma que possam ser
analisados e interpretados. Essa ênfase no tratamento da informação refletiu-se nas
orientações curriculares dos diversos países, que passaram a atribuir ao
desenvolvimento do raciocínio estatístico um papel de destaque.
Tomando por base, por exemplo, o National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), os princípios e diretrizes para o ensino (Standards for School
Mathematics) apontam quatro grandes competências a serem desenvolvidas desde
a pré-escola até a série final de escolaridade obrigatória:
• “Formular questões que podem estar relacionadas a dados, coletar,
organizar e dispor dados relevantes para respondê-las;
• Selecionar e usar métodos estatísticos apropriados para analisar dados;
• Desenvolver e avaliar inferências e predições baseadas em dados;
• Entender e aplicar conceitos básicos de probabilidade; (NATIONAL
COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, 2000, tradução nossa)12.
Dentre os vários blocos de conteúdos matemáticos recomendados para cada
série, o NCTM adotou como foco para o desenvolvimento profissional, durante os
anos de 2007 e 2008, os estudos de “Análise de dados e Probabilidade”, discutindo
acerca das diferentes formas de promover um maior entendimento sobre o tópico,
sua importância, bem como das maneiras de desenvolvê-lo ao longo das várias
séries. Segundo as orientações do NCTM a “Análise de dados e probabilidade” não
se resume a apenas mais um tópico a ser lecionado a cada ano, consistindo numa
maneira de lidar com a informação. A abordagem inicial é bastante simples, de
forma a ser acompanhada por crianças bem jovens. À medida que os estudantes
evoluem, as questões se tornam mais complexas, incentivando-os a trabalhar com
grandes populações, maneiras de descrever as tendências centrais, a dispersão dos
12 … formulate questions that can be addressed with data and collect, organize, and display relevant data to answer them; select and use appropriate methods to analyze data; develop and evaluate inferences and predictions that are based on data; understand and apply basic concepts of probability.
45
dados e várias formas de representação gráfica. Espera-se ainda que os estudantes
venham a lidar não apenas com um conjunto de dados, mas com mais de um
conjunto, estabelecendo comparações entre os mesmos, compreendendo que
diferentes amostras de uma mesma população variam, mas de forma a permitir que
se façam predições e inferências. Objetiva-se a longo prazo que os estudantes
sejam capazes de desenhar experimentos que os ajudem a responder questões,
além de avaliar conclusões feitas a partir de dados.
Da mesma forma, no Brasil (1998), os Parâmetros Curriculares Nacionais
advogam uma ênfase no desenvolvimento de uma série de competências para lidar
com as informações.
As orientações para o ensino de matemática desde as séries iniciais
destacam a importância da leitura com entendimento de informações, apresentadas
na forma de tabelas e gráficos. No caso específico da Estatística que tem as suas
orientações inclusas nos PCN’s de Matemática, há um bloco denominado
Tratamento da Informação.
No ensino fundamental, a criança deve ser estimulada a coletar dados que
fazem parte do seu do seu dia-a-dia e organizá-los, através de tabelas e gráficos e a
partir deles poder tirar informações. Um exemplo para tal situação seria a realização
de uma coleta de dados referente ao consumo de pães na parte da manhã, na casa
de cada criança, pertencente a uma determinada turma. As crianças a partir da
coleta desses dados poderiam apresentá-los, através de uma tabela e de um
gráfico, por exemplo, de colunas, e posteriormente buscar informações, usando o
gráfico construído e responder, sobre a quantidade de pães, consumido em cada
casa na parte da manhã. Outra maneira de explorar esta tabela e esse gráfico seria
destacar na casa de qual aluno tem-se o maior consumo de pães. Podem-se
explorar também, a partir desses dados, observando as freqüências, as primeiras
idéias de probabilidades.
O objetivo da introdução das idéias básicas de estatística, de acordo com os
PCN’s de 1a à 4a séries é motivar a criança a coletar dados, apresentá-los através
de tabelas e gráficos sejam eles de barras, colunas, pictóricos ou em outras formas
de representações. Motivar a criança a desenvolver o espírito investigativo, a
conjecturar e a redigir textos que expressam as suas interpretações a partir dos
dados manipulados por eles. A busca de informações, pela criança, através das
tabelas e gráficos, nesse momento é fundamental para seu desenvolvimento e
46
amadurecimento intelectual. Explorar algumas idéias elementares de probabilidades,
como o número de ocorrências de uma determinada situação, ou a exploração da
média aritmética é também fundamental.
As orientações relativas aos conteúdos de matemática da 5a à 8a séries
apresentam a mesma ênfase anterior. A partir dessa fase da escolaridade, já é
possível, também, explorar as idéias de média aritmética, moda, mediana, variância
e desvio padrão e o estudo da ocorrência do acaso, através do cálculo de
probabilidades. Nestas séries, os alunos já se apóiam em teorias matemáticas, que
dão sustentação para justificar qualquer afirmação dada por eles a respeito da
análise e interpretação de exercícios propostos.
No Ensino Médio, a apresentação dos dados coletados pelos alunos, pode
ser feita através de tabelas estatísticas, que exigem o conhecimento formal do
conteúdo estatístico para a sua confecção. As idéias exploradas nas séries
anteriores, de forma mais intuitiva, no Ensino Médio exigem uma maior formalização
de acordo com a linguagem estatística. O aluno pode inferir a partir de uma dada
situação, sempre levando em consideração a sustentação teórica, para as
inferências feitas. As representações gráficas agora são mais elaboradas e o uso de
softwares com funções estatísticas possibilita ao aluno o cálculo das medidas
estatísticas, como também a construção de vários tipos de gráficos estatísticos.
Neste momento, deve-se dar maior ênfase à análise e interpretação dos dados, pois
os valores obtidos para as medidas estatísticas, como também os gráficos não
dizem nada para o aluno, se não forem analisados e interpretados dentro de um
contexto. Os estudos de análise combinatória podem ser aprofundados, bem como o
cálculo de probabilidades.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio propõem
orientações complementares (BRASIL, 2000), incentivando que sejam trabalhados
os seguintes conteúdos estatísticos: descrição de dados; representações gráficas;
análise de dados; medidas de tendência central, as medidas de dispersão ou pode-
se dizer de variabilidade. O documento destaca a importância de que o aluno
desenvolva as competências de:
1. Identificar formas para descrever e representar dados numéricos e informações de natureza social, econômica, política, científico-tecnológica ou abstrata.
47
2. Ler e interpretar dados e informações de caráter estatístico, apresentados em diferentes linguagens e representações, na mídia ou em outros textos e meio de comunicação.
3. Obter médias e avaliar desvios de conjuntos de dados ou
informações de diferentes naturezas. 4. Compreender e emitir juízos sobre informações estatísticas de
natureza social, econômica, política ou científica, apresentadas em textos, notícias, propagandas, censos, pesquisas e outros meios. (BRASIL, 1998, p.127).
A partir do que foi exposto, pode-se dizer que no Brasil, a Escola Básica
explicita hoje uma ênfase no ensino de conteúdos da Estatística, a serem
trabalhados como parte do currículo de Matemática desde as séries iniciais.
Durante o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo da Estatística, do
Ensino Fundamental ao Ensino Médio, a ênfase dada é a exploração gráfica e o
cálculo das medidas estatísticas descritivas. Os PCN’s também apontam as
vantagens do uso dos recursos tecnológicos, como calculadoras e computadores
nas escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio, mesmo cientes de que em
algumas escolas a presença de tais ferramentas é ainda muito incipiente. Essas
ferramentas apresentam, a cada momento, níveis mais altos de sofisticação. As
calculadoras, por exemplo, permitem construir gráficos e calcular medidas
estatísticas. Os computadores se expandiram e modernizaram, permitindo o uso de
softwares educacionais ou não educacionais, com funções estatísticas, acopladas e
facilmente manipuladas, tanto para o esboço de gráficos diferenciados, como para a
realização dos cálculos e medidas. Não se deve esquecer, entretanto, que o uso das
ferramentas tecnológicas apenas agiliza o cálculo das medidas estatísticas e
confecção de gráficos, mas o que realmente deve ser explorado são a análise e
interpretação dos dados.
Na Educação Superior, o ensino de Estatística teve seu berço em escolas de
engenharia, conforme destacado no Capítulo 2. Entretanto, é curioso notar que as
diretrizes curriculares para a engenharia, não explicitam a necessidade de uma
formação nessa área. A necessidade de estudos estatísticos pode ser apenas
inferida a partir, por exemplo, das competências e habilidades que os egressos do
curso devem ter adquirido, entre as quais: aplicar conhecimentos matemáticos,
científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia; projetar e conduzir
48
experimentos e interpretar resultados; avaliar criticamente a operação e a
manutenção de sistemas; comunicar-se eficientemente nas formas escrita, oral e
gráfica (BRASIL, 2001).
Em sua tese de doutorado, Ara (2006) analisa a ênfase a ser dada em um
primeiro curso de Estatística. Ele apresenta pontos destacados pela American
Statistical Association (ASA) e pela Mathematical Association of América (MAA).
Segundo Tom More, em notas divulgadas na MAA Online, já em 1992, George Cobb
articulou os princípios para a reforma do ensino de estatística, que integram as
orientações curriculares de hoje. Essas orientações citadas por Ara (2006), são
encontradas em Garfield et al (2002) e aqui resumidas:
• Mais dados e conceitos, menos receitas e repetições, buscando na
medida do possível a automatização dos cálculos, usando pacotes
estatísticos modernos.
• Enfatizar o pensamento estatístico: a importância na obtenção dos
dados, de preferência reais, a onipresença da variabilidade e sua
medida e modelagem.
• Visar a uma aprendizagem ativa, que incentiva o desenvolvimento de
projetos, o trabalho em grupo, apresentações orais e escritas.
Garfield e colaboradores (2002) colocam:
Pensamos que a pesquisa pode encorajar a investigação de como ajudar os estudantes a desenvolverem o pensamento estatístico e como verificar se os estudantes têm ou não essa habilidade. Uma possibilidade é encorajar os professores de estatística a conduzirem pesquisas de alta qualidade em sala de aula, usando seus próprios alunos e classes. (tradução nossa)13
O trabalho aqui relatado foi desenvolvido pela pesquisadora em sua própria
sala de aula, pautando-se nas recomendações de Garfield et al. (2002), tendo por
meta possibilitar aos alunos vivenciarem experiências estatísticas coletivas, com um
foco na leitura e interpretação de dados, a partir de uma abordagem intuitiva dos
conceitos de correlação e regressão.
13 We think that research should be encouraged to investigate how to help students develop statistical thinking, and how to assess whether or not students have this ability. One possibility is to encourage statistics instructors to conduct high quality classroom research using their own students an classes.
49
3.2 Níveis de compreensão e interpretação de dados
A leitura e a interpretação de dados têm sido o foco de várias pesquisas,
entre as quais destacam-se os trabalhos de Curcio (1987, 1996) e de Friel Curcio e
Bright (1991). Curcio investigou os níveis de compreensão e interpretação de
gráficos, apontando as habilidades exigidas, de acordo com as seguintes categorias:
ler os dados; ler dentro dos dados; ler além dos dados14.
A categoria ler os dados consiste numa leitura dos dados na forma em que
são apresentados no gráfico. Demanda, essencialmente, a habilidade de localizar
valores, sem realizar interpretações acerca do dado disponível.
Ler dentro dos dados consiste na leitura feita a partir dos dados
apresentados, envolvendo destrezas de ordem quantitativa e conhecimentos
adquiridos anteriormente. As operações matemáticas elementares podem ser de
grande utilidade neste tipo de leitura, que requer habilidades de leitura integrada e
comparativa dos dados.
Ler além dos dados é uma leitura que envolve inferência, isto é, demanda que
previsões sejam feitas. As informações relativas às previsões não estão visíveis no
gráfico. Este tipo de leitura demanda, normalmente, do leitor, um conhecimento
teórico mais refinado.
A exemplificação a seguir busca tornar mais claras as categorias de Curcio,
uma vez que elas serão fundamentais no desenvolvimento de todo o trabalho.
Como primeiro exemplo, consideremos a situação:
Suponha que uma Microempresa X apresentou no ano de 2006, a quantidade de
arruelas produzidas nos seguintes meses: março, abril, maio e junho.
14 Batanero (2001) atribui a Curcio uma quarta categoria denominada ler por detrás dos dados, consistindo numa avaliação do contexto em que os dados foram coletados. Segundo Watson e Moriitz (2001) essa categoria teria sido proposta por Shaughnessy, Garfield e Greer. Essa quarta categoria não foi explorada, considerando-se que análises da validade e completude dos dados não foram objeto do trabalho desenvolvido.
50
Meses (X)
Quantidade de arruelas (Y)
junhomaioabrilmarço
300
250
200
150
100
50
0
294
254264
224
Gráfico 6: Produção mensal de arruelas no período d e março a junho
Fonte: Microempresa X
As seguintes questões poderiam ser postas, a partir do Gráfico 6:
1) Qual a quantidade de arruelas produzidas no mês de abril? Uma pergunta deste tipo refere-se a ler os dados, isto é, conhecendo o eixo das abscissas (x), é possível responder imediatamente à pergunta, apenas observando o eixo das ordenadas (y).
2) Determine a quantidade total de arruelas produzidas nos meses de
março e junho. Este tipo de leitura envolve conhecimento das operações matemáticas elementares, logo exige a habilidade de ler dentro dos dados.
3) Observando o Gráfico 6, qual seria a quantidade de arruelas produzidas no mês de julho? O aluno pode a partir da análise visual dos valores correspondentes a cada coluna, inferir a respeito da possível quantidade de arruelas a serem produzidas no mês julho, levando-se em consideração os meses de março, abril, maio e junho. Este tipo de questão pressupõe ler além dos dados, pois exige do leitor inferir a respeito de uma situação que não está presente no Gráfico 6.
Sendo correlação e regressão o foco desta dissertação, será dado um exemplo abordando tal conteúdo, de forma a compreender a classificação de tarefas de acordo com as categorias de Curcio.
51
Suponhamos que seja proposta uma segunda situação:
As notas de Matemática e de Estatística de determinada turma de uma Escola
foram levantadas e apresentadas na forma do gráfico seguinte:
Notas de Matemática (X)
Notas de Estatística (Y)
98765432
9
8
7
6
5
4
9
8
7
66
5
44
Gráfico 7– Notas de Estatística e Matemática da Tur ma 1 - 2004
Fonte: Secretaria da Escola A - Belo Horizonte - (Dados fictícios). Uma questão a se propor poderia ser:
a) Qual o valor da nota de Estatística do aluno que obteve 3 pontos em
Matemática?
A questão expressa claramente a intenção de se verificar se o aluno é
capaz de ler os dados. O aluno faz a leitura do gráfico identificando a
informação solicitada, a nota de estatística, (localizada no eixo vertical), a
partir do conhecimento da nota de matemática (localizada no eixo
horizontal) e utilizando seus conhecimentos acerca de localização de
pontos no sistema cartesiano.
Outra pergunta poderia exigir um segundo nível de leitura gráfica:
b) Observando a distribuição de pontos, você consegue perceber alguma
tendência ou padrão?
A questão permite ao aluno ler dentro dos dados, isto é, verificar se a
52
distribuição de pontos, ou seja, a nuvem de pontos dada pode ser ajustada
a uma função, ou ainda, se os dados evidenciam uma tendência e também
se a relação que existe entre as variáveis, no caso as notas é direta
(crescente) ou inversa (decrescente).
Finalmente, o nível de leitura ler além dos dados pode ser explorado ao se
perguntar:
c) Determine a curva que melhor se ajuste à distribuição de pontos
apresentada e, a partir dela, responda qual o valor da nota esperada de
Estatística para o aluno que obteve 10 pontos em Matemática.
O aluno é convidado a inferir sobre a situação proposta, recorrendo a
conhecimentos adquiridos por ele anteriormente. No caso, é de se esperar que
o aluno obtenha a curva de regressão e faça a estimativa a partir da mesma.
As categorias de Curcio, embora desenvolvidas para análise e compreensão
de gráficos, podem ser adequadas também à análise de dados, apresentados
através de outras formas, de modo particular, através de tabelas.
Suponhamos que seja dada a Tabela 5 correspondente ao Gráfico 6
anteriormente apresentado.
Tabela 5: Produção mensal de arruelas no período de março a junho - 2006
Meses Quantidade de arruelas Março 224 Abril 264 Maio 254 Junho 294
Fonte: Microempresa X- Belo Horizonte - (Dados fict ícios).
O aluno, ao observar a Tabela 5, pode determinar a quantidade de arruelas
produzidas em qualquer um dos quatro meses presentes na tabela. Esse tipo de
leitura realizada a partir dos elementos explícitos na tabela pode ser classificado em
uma das categorias de Curcio que se refere em ler os dados.
Outra categoria de Curcio que pode ser explorada usando a Tabela 5 é ler
dentro dos dados, isto é, se o aluno for convidado a informar a produção média de
arruelas produzidas pela Microempresa X. Nesse caso, o aluno terá que utilizar o
seu conhecimento matemático elementar.
53
A categoria de Curcio ler além dos dados pode ser abordada pelo aluno
quando ele inferir, por exemplo, fazendo uma previsão para uma possível produção
para a quantidade de arruelas produzidas no mês de junho. O aluno terá que
observar os valores e para o exemplo dado ele poderá observar que do mês de
março a abril ocorreu um aumento de 20 unidades na produção de arruelas, do mês
de abril a maio houve uma queda de 10 unidades na produção de arruelas e que do
mês de maio a junho ocorreu um acréscimo de 40 unidades na produção. Essas
variações ocorridas nos 4 meses podem possibilitar o aluno inferir a respeito do mês
ausente na tabela.
Suponhamos que seja dada a Tabela 6, correspondente ao gráfico 7 com as
notas de Matemática e Estatística de alunos de determinada escola.
Tabela 6: Notas de Matemática e Estatística – Turma 1 - Escola A - 2004
Notas
Matemática Estatística
2 4
3 4
4 5
5 6
6 6
7 7
8 8
9 9
Fonte: Secretaria da Escola A - 2004 - B elo Horizonte - (Dados fictícios).
Pode-se solicitar que seja determinada a nota de Estatística do aluno que
obteve 4 pontos em Matemática, procedimento que exige entender a forma de
disposição dos dados na tabela 6 para ler os dados. No caso, isso significa localizar
na primeira coluna a nota 4, situada na terceira linha e ler na segunda coluna, na
mesma linha, a nota correspondente de Estatística. Embora essa habilidade seja
considerada elementar, é por vezes novidade para alunos mais jovens, não
habituados a lidar com esse tipo de representação de dados através de tabelas.
A categoria de Curcio ler dentro dos dados pode ser explorada, quando se
pergunta ao aluno, por exemplo: qual a variação das notas de Matemática? As
melhores notas são de Matemática ou de Estatística?
54
O aluno nesse momento faz a leitura dentro dos dados, comparando dados e
realizando operações matemáticas elementares, para responder à questão.
A categoria ler além dos dados pode ser explorada, usando a Tabela 6,
quando o aluno é convidado, por exemplo, a inferir a respeito da nota de Estatística
de um aluno que obteve 10 pontos em Matemática.
O aluno pode inferir a respeito da possível nota de Estatística tendo
conhecimento das variações presentes na segunda coluna da Tabela 6, que
corresponde às notas de Estatística, ou se ele tem conhecimento em determinar a
equação da reta que melhor descreve o conjunto de dados, referentes às notas de
Matemática e Estatística.
As atividades propostas de certa forma podem ser classificadas como
elementares. No entanto, a simples habilidade de ler os dados dispostos em uma
tabela, decorre de um processo de codificação e decodificação de informações, de
um entendimento acerca da disposição tabular. Da mesma forma, a localização de
dados em um gráfico.
De modo geral, as principais dificuldades apresentadas pelos alunos com
relação à leitura de gráficos e tabelas são relacionadas com os dois níveis de
compreensão: ler dentro dos dados e principalmente ler além dos dados. Na
realidade, esses dois níveis demandam o desenvolvimento de habilidades mais
complexas de comparar, operar com os dados e inferir a partir dos dados fornecidos.
Curcio (1987) desenvolveu um trabalho com alunos da 4a e 7a séries 15
indagando acerca da influência na compreensão das relações matemáticas
expressas nos gráficos de fatores como: conhecimentos prévios do aluno acerca do
tema a que se refere o gráfico; conhecimentos prévios do conteúdo matemático do
gráfico, ou seja, dos conceitos numéricos, relações e operações envolvidos;
conhecimentos prévios dos diversos tipos e formas de gráficos; sexo; desempenho
matemático e de leitura. Os resultados apontaram que todas as variáveis, exceto
sexo, são bons préditores da compreensão gráfica de alunos das duas séries
pesquisadas. Como esperado parece haver diferenças de performance dos dois
grupos de alunos, tendo em vista a idade: alunos da 7a série de modo geral
apresentam maiores conhecimentos prévios sobre gráficos e suas formas.
15 A 4a e 7a séries nos Estados Unidos, correspondem ao 2º e 4º ciclos do Ensino Fundamental no Brasil, compreendendo 9 anos de escolaridade.
55
Em particular, interessam nesse estudo os resultados de Curcio (1987) que
destacam a importância dos conhecimentos prévios do aluno acerca do tema a que
se refere o gráfico, do conteúdo matemático do gráfico e dos diversos tipos de
gráficos. Educar, estatisticamente, para a leitura e interpretação de dados demanda
esforços no sentido de conhecer e monitorar as dificuldades evidenciadas pelos
estudantes.
Batanero e colaboradores (1994) ao estudarem os erros e dificuldades na
compreensão de conceitos elementares da estatística situam a investigação dentro
do contexto da didática de ensino da estatística, destacando a importância de
conhecimentos prévios, apoiando-se na teoria de aprendizagem significativa
de Ausubel e na teoria dos obstáculos epistemológicos de Brousseau.
As dificuldades de leitura e interpretação de dados podem ser entendidas e
interpretadas a partir dos obstáculos cognitivos de Brousseau discutidos por Igliori
(1999).
A noção de obstáculo epistemológico foi introduzida na Educação Matemática
por Brousseau, que se inspirou nas idéias de Bachelard.16
Para Brousseau um obstáculo epistemológico é “ligado á resistência de um
saber mal-adaptado, no sentido de Bachelard” (IGLIORI, 1999, p.99) e considerado
como uma possibilidade para interpretação de erros cometidos pelos estudantes no
entendimento de determinado tópico em matemática.
Igliori (1999) destaca os três tipos de obstáculos, que segundo Brousseau
podem ser de natureza ontogenética, didática ou ainda epistemológica. Obstáculos
ontogênicos relacionam-se a limitações neurofisiológicas do sujeito, quando do seu
desenvolvimento; obstáculos didáticos dependem das escolhas de situações
educativas; obstáculos epistemológicos são aqueles constitutivos do conhecimento
pretendido.
O entendimento do conceito de obstáculos demanda um estudo aprofundado.
A literatura aponta vários exemplos, no sentido de tornar mais claro o conceito,
como por exemplo, em Igliori (1999) e em Batanero et al. (1994).
Na leitura e interpretação de dados, os alunos apresentam dificuldades que
podem ser classificadas como obstáculos ontogênicos, relacionados ao
16 Bachelard foi um filósofo francês, que em 1938 escreveu o livro “A formação do espírito científico”, onde o conceito de obstáculo epistemológico aparece pela primeira vez, relacionado ao conhecimento científico, instalando-se a partir de um conhecimento não questionado.
56
desenvolvimento cognitivo dos estudantes. Assim, os estudantes podem apresentar
dificuldades de entendimento das formas de apresentação de dados, pelo fato de
ainda não terem desenvolvido estruturas de abstração e representação de
informações na forma de gráficos ou tabelas. Podem, por exemplo, não ter
compreendido a representação cartesiana de pontos, o que dificultaria o
entendimento de um gráfico de dispersão.
Há outro conjunto de dificuldades que podem estar relacionadas com as
escolhas didáticas dos professores ao proporem as situações de ensino. A
antecipação de símbolos e formas, por exemplo, para o cálculo da reta de
regressão, sem uma paralela abordagem conceitual e visual pode comprometer o
entendimento, ou ainda a apresentação de dados totalmente fora do contexto
cultural dos alunos. É comentado o fato de que muitos dos cursos de Estatística são
desenvolvidos a partir de tabelas e gráficos relativos a temas que não são de
interesse dos alunos, e esses não consideram importante se esforçar por entendê-
los. Mesmo livros indicados para um determinado curso, não necessariamente
apresentam exercícios com dados relativos à área do curso. Cabe ao professor
selecionar os exercícios mais adequados.
Finalmente, um conjunto de dificuldades na leitura e interpretação de dados
pode estar ligado a obstáculos epistemológicos, por exemplo, da construção do
conceito de associação entre variáveis, preso à idéia de uma relação causal.
De maneira especial, os obstáculos didáticos são de interesse nessa
pesquisa, que objetiva apresentar uma proposta de abordagem introdutória aos
estudos de correlação e regressão em cursos de engenharia. A análise de como o
tema é abordado em alguns textos didáticos é feita a seguir, dentro da perspectiva
de que o livro didático é uma escolha educativa, gera uma situação didática que
pode facilitar ou dificultar o entendimento conceitual de determinado conteúdo pelo
aluno.
57
3.3 Correlação e regressão em textos didáticos: uma análise a partir dos níveis
de leitura e interpretação de dados
Em sua tese de doutorado, Ara (2006) analisou alguns dos principais textos
didáticos de Estatística, adotados em cursos de engenharia, constatando a
predominância de uma concepção determinística da realidade, onde se priorizam o
aspecto matemático e as técnicas, em detrimento de uma abordagem conceitual
para entendimento da realidade.
No presente trabalho, foram analisados quatro livros que discorrem sobre o
tema Correlação e Regressão, sendo dois deles específicos da área de engenharia.
O tema foi analisado em cada livro com o objetivo de verificar em que medida
a forma de apresentação do mesmo favorece o desenvolvimento das habilidades de
leitura e interpretação de dados, adotando-se para tal análise os níveis de Curcio
(1987), anteriormente discutidos: 1) ler os dados; 2) ler dentro dos dados; 3) ler além
dos dados.
A análise foi desenvolvida em duas etapas. A primeira etapa consistiu na
análise da exposição teórica sobre Correlação e Regressão (em especial a Linear)
feita pelos autores, ou seja, da forma e foco adotados na apresentação dos
principais conceitos e propriedades e a exemplificação feita (exercícios resolvidos).
A segunda etapa compreendeu a análise dos exercícios propostos nas várias
seções dos livros que abordam o tema correlação e regressão. Cada exercício
proposto foi analisado, objetivando-se identificar a ênfase do mesmo, a partir dos
níveis de leitura de dados de Curcio. Os quadros de classificação dos exercícios são
apresentados no Apêndice A.
Convém ressaltar que, a rigor, para resolver qualquer exercício pressupõe-se
uma leitura de dados. Quando nesse trabalho o exercício foi classificado como não
tendo ênfase na leitura de dados, é porque essa categoria possui uma conotação
diferente na visão de Curcio; as questões propostas não demandavam as
habilidades, por exemplo, de localizar o valor de uma variável, conhecendo a outra.
Para tornar mais claro o procedimento adotado na categorização dos
exercícios, ilustramos a classificação a partir de um exercício extraído de um dos
livros analisados (MONTEGOMERY; RUNGER, 2003, Livro 1, p.210, 10.9).
58
Um artigo no Journal of Sound and Vibration (Vol.151, 1991, pp.383-394)
descreveu um estudo investigativo da relação entre exposição ao barulho e
hipertensão. Os seguintes dados são representativos daqueles reportados no artigo.
Tabela 7: Aumento da Pressão Sanguínea e Nível de P ressão Sonora
Aumento da Pressão Sanguínea (mmHg)
Nível de Pressão Sonora (dB)
1 60 0 63 1 65 2 70 5 70 1 70 4 80 6 80 2 80 3 80 5 85 4 89 6 90 8 90 4 90 5 90 7 94 9 100 7 100 6 100
Fonte: Livro 1, p.210, 10.9 Desenhe um diagrama de dispersão de Y (aumento da pressão sangüínea) versus X
(nível da pressão sonora). Parece razoável propor um modelo de regressão linear
simples para essa situação?
(a) Ajuste o modelo de regressão linear simples usando o método dos mínimos
quadrados.
(b) Encontre o aumento médio previsto para a pressão sangüínea, associado
ao nível de pressão sonora de 85 dB.
O exercício contém as duas categorias de Curcio, isto é, ler dentro dos dados
e ler além dos dados.
A seguir procede-se à análise de cada um dos quatro livros:
Livro 1: Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros
Autores: Douglas MONTEGOMERY e George C. Runger
Editora: LTC – Livros Técnicos e Científicos
Ano: 2003.
59
O livro analisado é adotado na instituição onde ocorreu a pesquisa, em todos
os cursos de engenharia. Mesmo havendo edição mais recente do livro, foi feita a
análise da segunda edição, por ser ela utilizada pelos alunos nos cursos de
engenharia: Mecânica, Eletrônica, Mecatrônica, Controle e Automação e Civil.
O livro consta de 14 capítulos, apêndices e índice. Dos 14 capítulos teóricos
que totalizam 386 páginas, o capítulo 10 aborda Regressão Linear e Correlação em
25 páginas, que correspondem a 6,48% do total de páginas de desenvolvimento
teórico.
Os autores iniciam o capítulo fazendo uma abordagem da análise de
regressão através de um exemplo, que envolve pureza do oxigênio (y) produzido em
um processo químico e a porcentagem de hidrocarbonetos (x) que estão em um
condensador principal da unidade de destilação.
Inicialmente, os autores usam o diagrama de dispersão para mostrar como
os pares ordenados se distribuem no sistema cartesiano. A disposição dos pares
ordenados no sistema cartesiano permite aos alunos usarem suas habilidades
intuitivas no sentido de reconhecer uma tendência, ou melhor, imaginar qual curva
que melhor se ajustaria aos dados e como realizar futuras previsões.
Percebe-se que esse tipo de abordagem gráfica envolve as categorias de
Curcio, que são: ler os dados, quando o aluno observa os pares ordenados no
diagrama de dispersão; ler dentro dos dados, quando o aluno percebe uma
tendência ao examinar os dados e ler além dos dados, quando o aluno associa a
tendência identificada através dos dados com equações de curvas conhecidas por
eles, que possibilitam fazer previsão.
Após a exploração de regressão, através do diagrama de dispersão, os
autores formalizam o conceito de regressão linear, apresentando o método dos
mínimos quadrados e deduzindo os valores dos coeficientes da reta de regressão
através do uso de noções do Cálculo Diferencial, em particular das derivadas
parciais. Esse método possibilita determinar os interceptos da melhor reta que se
ajusta aos dados no diagrama de dispersão. Os autores usam o mesmo exemplo
comentado anteriormente para determinar a equação da reta que melhor se ajusta
aos dados e fazem a representação desta reta no diagrama de dispersão.
No capítulo, os autores exploram as propriedades dos estimadores dos
mínimos quadrados, isto é, os coeficientes de regressão da reta que melhor se
ajusta aos dados e fazem a estimação da variância populacional.
60
Percebe-se por parte dos autores certa preocupação com os exageros
cometidos pelos alunos com relação ao uso de regressão, fato que leva os autores a
alertarem para o fato de que os alunos devem ter cautela ao detectar a associação
entre duas variáveis. Mesmo existindo uma forte relação entre as variáveis, isso não
implica relação de causa e efeito, isto é, pode existir uma terceira variável oculta que
influencia todo processo. Os autores introduzem testes de hipóteses para os
coeficientes de regressão, como um instrumento para verificar se o modelo de curva
de ajuste aos dados é adequado. No caso específico de regressão linear, se a
inclinação for igual a zero, isto significa que não existe relação entre as variáveis.
O capítulo também aborda intervalos de confiança, que servem para calcular
os limites de confiança para os coeficientes de regressão, procedimento também útil
para investigar a adequação do modelo de regressão. Os autores fazem uma
abordagem do intervalo de confiança para a resposta média, que é uma maneira de
inferir a respeito do parâmetro média populacional quando se desconhece o seu
valor. Um intervalo determinado dessa forma parte da suposição de que a média da
variável aleatória Y tenha relação com X de acordo uma equação linear.
Os autores também usam o coeficiente de determinação, R² para verificar
qual o ajuste de reta de regressão, ou melhor, quanto da variabilidade dos dados
observados da variável dependente (y) é apreendido pela equação de regressão.
Em seguida, os autores exemplificam um ajuste de modelo linear, feito
indevidamente, quando os dados não mostram uma tendência linear no diagrama de
dispersão.
A abordagem de correlação é feita ao final do capítulo 10. Sem exploração
do conteúdo, através de diagramas de dispersão, exploram-se testes de hipótese e
intervalos de confiança para a correlação linear, somente em função de fórmulas. Os
autores ao explorarem regressão linear e correlação linear fazem uma exposição de
cunho matemático, não se preocupando em explorar um raciocínio mais intuitivo;
poucos gráficos são apresentados no estudo da correlação.
Conforme exposto anteriormente, os vários exercícios do livro foram
classificados de acordo com a ênfase em cada uma das categorias de Curcio.
O Gráfico 8 apresenta a síntese da classificação feita de acordo com as
categorias de Curcio. (Quadro 1, Apêndice A).
61
Número de exercicíos (Y)
Categorias (X)
C2
Ler além dos dadosLer dentro dos dadosLer dados
NãoSimNãoSimNãoSim
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2
75
2
75
64
13
Gráfico 8: Níveis de leitura e interpretação de dad os nos exercícios do Livro 1
Fonte: Quadro 1 – Apêndice A . De acordo com o Gráfico 8, conclui-se que, entre todos os exercícios do livro
que abordam correlação e regressão, as categorias de Curcio mais presentes são:
ler dentro dos dados e ler além dos dados. Para essas duas categorias, o número de
“Sim” é elevado comparativamente à categoria ler os dados.
Livro 2: ESTATÍSTICA: para os cursos de engenharia e informá tica
Autores: Pedro Alberto BARBETTA; Marcelo Menezes REIS; Antônio Cezar
BORNIA
Editora: Editora Atlas S.A
Ano: 2004
O livro 2 não foi adotado em nenhum semestre nos cursos de engenharia da
instituição. A edição é a única que explora o conteúdo estatístico direcionado para a
área de engenharia, tendo sido, por esse motivo, escolhido pela pesquisadora
O livro consta de 11 capítulos, anexo, respostas de exercícios, apêndices e
bibliografia. Dos 11 capítulos teóricos que totalizam 351 páginas, o capítulo 11
aborda Correlação e Regressão em 30 páginas, que correspondem a 8,55% do total
de páginas de desenvolvimento teórico.
62
Os autores iniciam o capítulo, explorando Correlação através de três
diagramas de dispersão, referentes a um exemplo de queima de massa cerâmica
para pavimentação, de 18 corpos de prova que foram analisados usando três
variáveis: X1 = retração linear (%), X2 = resistência mecânica (MPa) e X3 =
absorção de água (%). Em seguida, exploram o cálculo do coeficiente de correlação
de Pearson.
Eles iniciam Regressão linear usando um exemplo que se refere ao Índice de
octanagem (Y) e quantidade de aditivo (%) (X), mostrando através do diagrama de
dispersão a tendência dos pares ordenados.
Os autores utilizam o método dos mínimos quadrados para determinar as
fórmulas que permitem o cálculo dos parâmetros da reta que melhor se ajusta aos
dados representados no diagrama de dispersão. Neste capítulo, são tratados
assuntos como: análise do modelo, teste de hipótese para a declividade da reta,
análise de resíduos, transformação logarítmica e intervalos de confiança.
O Gráfico 9 apresenta a síntese da classificação dos exercícios feita de
acordo com as categorias de Curcio. (Quadro 2, Apêndice A).
Número de exercícios (Y)
Categorias (X)
C7
Ler além dos dadosLer dentro dos dadosLer dados
NãoSimNãoSimNãoSim
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
2
8
1
99
1
Gráfico 9: Níveis de leitura e interpretação de dad os nos exercícios do Livro 2
Fonte: Quadro 2 – Apêndice A
63
De acordo com os valores apresentados no Gráfico 9, o número de exercícios que
corresponde à maior quantidade de “Sim” é relativo à categoria ler dentro dos dados.
Livro 3: Noções de Probabilidade e Estatística
Autores: Marcos Nascimento Magalhães; Antônio Carlos Pedroso Editora:
Editora da Universidade de São Paulo, edição 6.
Ano: 2007
O livro foi escolhido por ser adotado em outra instituição de ensino, em Belo
Horizonte, em um Curso de Engenharia de Produção.
O livro consta de 9 capítulos, bibliografia e índice remissivo. Os capítulos
teóricos totalizam 352 páginas, sendo que os autores introduzem Associação no
capítulo 5, em 30 páginas, o que corresponde a 8,53% das 352 páginas.
Os autores introduzem a associação entre variáveis, usando como exemplo,
notas de inglês e português de 15 alunos, do primeiro ano do Ensino Médio,
considerando os alunos que obtiveram nota superior a 7 pontos. Os autores
inicialmente usam o diagrama de dispersão para explorar associação entre duas
variáveis. Em seguida, abordam probabilidade condicional para variável aleatória
discreta e independência de variáveis aleatórias, para trabalhar a dependência linear
quando o conjunto de dados é grande e tem poucas variações entre essas
observações, acarretando com isso algumas dificuldades para se fazer a análise dos
pares ordenados no diagrama de dispersão. Neste capítulo, os autores definem
coeficiente de correlação de Pearson e apresentam a fórmula que permite calcular
esse coeficiente. Eles dão continuidade ao estudo de variáveis aleatórias discretas
através de propriedades, isto é, provando e exemplificando cada uma delas. Tais
propriedades permitem esclarecer se existe ou não dependência entre duas
variáveis. O capítulo 5 explora o cálculo de correlação entre variáveis através da
covariância. A covariância mostra o tipo de relacionamento entre duas variáveis, isto
é, se elas caminham no mesmo sentido, ou se elas caminham em sentido contrário,
mas não define o grau de intensidade desse relacionamento. Se, por exemplo, o
valor que representa a covariância for positivo, isso indica que, para as variáveis X e
Y, quando X cresce Y também cresce, logo as variáveis caminham no mesmo
sentido.
Os autores no capítulo 9, Tópicos Especiais, no item 9.5, abordam Regressão
Linear, em 9 páginas o que corresponde a 2,56% das 352 páginas.
64
No item 9.5, os autores dão um exemplo para a aplicação de Regressão
Linear, usando dados que se referem à criação de gado. Para o exemplo, foram
utilizados 15 bois, da mesma raça e mesma idade, provenientes da região Bocaina –
São Paulo. Cada boi recebeu certa quantidade de substância(X) (em mg/l) e após 30
dias, foi observado o ganho de peso (Y) de cada boi (em Kg). O diagrama de
dispersão, construído a partir desses dados mostra que valores baixos de
substância (X) se associam a valores baixos de ganho de peso (Y) e valores altos de
substância (X) se associam a valores altos de ganho de peso (Y), mostrando assim
uma tendência a partir dos pares ordenados no diagrama de dispersão. É sugerido
um ajuste de reta que passe o mais próximo possível dos pares ordenados e para
isso usam o método dos mínimos quadrados para determinar os parâmetros desta
reta. Em seguida, eles determinam a equação da reta de regressão e representam a
mesma no diagrama de dispersão. Os autores fazem a interpretação dos parâmetros
e abordam teste de hipóteses, para verificar se a quantidade de substância (X) tem
influência sobre o ganho de peso (Y).
O Gráfico 10 apresenta a síntese da classificação dos exercícios do livro feita
de acordo com as categorias de Curcio. (Quadro 3, Apêndice A).
Número de exercícios (Y)
Categorias (X)
C11
Ler além dos dadosLer dentro dos dadosLer dados
NãoSimNãoSimNãoSim
20
15
10
5
0
15
3
0
18
17
1
Gráfico 10: Níveis de leitura e interpretação de da dos nos exercícios do Livro 3 Fonte: Quadro 3 – Apêndice A
65
Semelhantemente ao Livro 2, percebe-se que a categoria mais explorada nos
exercícios é ler dentro dos dados.
Livro 4: Encontro com o acaso – um primeiro curso d e análise de
dados e inferência
Autores: Christoper J. Wild; George A.F.
Editora: LTC – Livros Técnicos e Científicos
Ano: 2000
O livro foi selecionado pela forma de abordagem do tema, isto é, em dois
capítulos, sendo que no capítulo 3, os autores tratam o assunto de maneira intuitiva
e, no capítulo 12, de maneira formal. Os dois capítulos se completam com ênfase na
leitura e interpretação de dados estatísticos, foco do trabalho aqui apresentado.
O livro consta de 14 capítulos e apêndices. Dos 14 capítulos teóricos que
totalizam 377 páginas, o capítulo 3, Ferramentas Exploratórias de Relação, discorre
o assunto em 25 páginas que correspondem a 6,63% do total de páginas de
desenvolvimento teórico, sendo que 11 páginas abordam teoricamente o foco da
pesquisa, o que corresponde a 2,98% de teoria a respeito da exploração da análise
de variáveis quantitativas.
Os autores iniciam o capítulo oferecendo uma visão geral, isto é, o que será
abordado em cada seção. Eles iniciam a exploração de relação entre duas variáveis
citando como exemplo uma tabela já utilizada no capítulo 2, que contém informações
de um grupo de homens que foram atendidos no Hospital Greenlane em Auckland,
após sofrerem ataque cardíaco. As duas variáveis envolvidas para explorar o
diagrama de dispersão são: Volsis17 e Voldia18. É feita uma análise de como os
valores pequenos de Volsis estão associados a valores pequenos de Voldia e como
os valores altos de Volsis estão associados a valores altos de Voldia, mostrando
uma tendência linear. Os autores mencionam alguns softwares que possibilitam a
construção de gráficos de dispersão, por exemplo, o Minitab, o Excel, o R e o Splus,
sendo que a maior parte dos gráficos apresentados, no capítulo 3, são provenientes
17 Volume sistólico final, uma medida do tamanho do coração. É calculada a partir da figura da silhueta bidimensional do ventrículo esquerdo, na sua menor parte. 18 Volume diastólico final, o mesmo que Volsis, exceto por usar a maior silhueta.
66
do software de distribuição gratuita R.
Os autores fazem um comentário da impressão sobreposta, isto é, os valores
das observações, quando apresentados no diagrama de dispersão ficam tão
próximos, que não permitem ao leitor uma leitura fiel dos dados no diagrama de
dispersão. Uma maneira de amenizar tal situação é fazer a apresentação dos dados
observados através de círculos abertos.
Os autores utilizam os dados das tabelas: 3.1.1 Mortes e Radiações no Leite
após Chernobyl; 3.1.2 Tempo de Processamento e Cargas de Trabalho nos
Computadores; 3.1.3 Poluentes em Emissões de Gases de Descarga de Veículos e
3.1.4 Marcas Olímpicas Vitoriosas nos 1500 metros para homens (1900 – 1988),
para explorar as relações entre as variáveis, no diagrama de dispersão e verificar a
existência ou não de uma tendência.
Usando as mesmas tabelas citadas anteriormente, os autores exploram
variáveis aleatórias, isto é, variáveis para as quais não se consegue prever o
resultado até que o experimento não seja finalizado, por exemplo, lançamento de
uma moeda 3 vezes. As variáveis não são aleatórias quando são controladas pelo
seu experimentador, por exemplo, partidas de ônibus de Belo Horizonte a São
Paulo.
A utilidade da Regressão é destacada, explorando-se a tendência e a
dispersão dos dados, usando vários diagramas de dispersão. Nesse momento, os
autores usam círculos abertos para indicar os pontos no diagrama de dispersão e
colocam ênfase nos possíveis ajustes dos dados através de curvas desenhadas a
mão. Em um dos diagramas, eles chamam a atenção do leitor para curvas
pontilhadas abaixo e acima dos possíveis limites de dispersão dos dados e mostram
os valores fora desta faixa, denominados como sendo valores atípicos19.
Os autores exploram as relações consideradas como sendo fortes ou
relações consideradas fracas através da análise visual e a associação entre essas
variáveis, salientando quando as variáveis estão associadas de forma negativa e
quando as variáveis estão associadas de forma positiva.
No capítulo 3, os autores discorrem, ainda, a respeito dos perigos da
predição, mostram outras tendências em diversos diagramas de dispersão.
19 Entende-se por valores atípicos os valores que destoam completamente dos valores que compõe um conjunto de dados.
67
Outro capítulo do livro analisado pela pesquisadora, quanto à abordagem do
conteúdo e exercícios usados para exemplificar cada seção e os exercícios
propostos pelos autores, é o capítulo 12, Relações entre Variáveis Quantitativas:
Regressão e Correlação.
Os autores fizeram inicialmente um breve resumo do que compõe o capítulo.
Este capítulo consta de 35 páginas, que correspondem a 9,28% do total de páginas
de desenvolvimento teórico. Os autores dão início ao capítulo comentando de que
forma foram explorados os conteúdos Regressão e Correlação no capítulo 3 e em
seguida formalizam o que seja Regressão e Correlação. Exploram as relações de
causa e efeito, alertando o leitor de que uma forte relação entre as variáveis não
significa necessariamente uma relação de causa e efeito. Para o estudo de
Regressão, os autores mostram através de vários diagramas de dispersão que o
melhor ajuste aos dados pode ser uma reta e fazem a interpretação de sua
inclinação.
Neste capítulo, também, outros modelos de curvas de tendência são
explorados por meio de diagramas de dispersão, entre eles a aproximação pela
curva exponencial.
Após a exploração dos diversos tipos de diagramas, os autores falam do
método dos mínimos quadrados, que permite determinar os parâmetros da reta que
melhor se ajusta ao conjunto de dados apresentados no diagrama de dispersão.
O gráfico 11 refere-se ao Quadro 4 que se encontra no Apêndice A,
expressando as quantidades de exercícios propostos pelos autores, classificados de
acordo com as categorias de Curcio.
68
Número de exercicíos (Y)
Categorias (X)
C2
Ler além dos dadosLer dentro dos dadosLer dados
NãoSimNãoSimNãoSim
120
100
80
60
40
20
0
85
30
62
53
110
5
Gráfico 11: Níveis de leitura e interpretação de da dos nos exercícios do Livro 4
Fonte: Quadro 4 – Apêndice A.
De acordo com Gráfico 11, as colunas que apresentam maior destaque em
“Não”, considerando as categorias de Curcio, são ler os dados e ler além dos dados.
3.3.1 Análise comparativa dos quatro livros e concl usões
De acordo com os quatro gráficos, percebe-se que os Livros 1, 2 e 3 dão ênfase a
uma das categorias de Curcio que é ler dentro dos dados. Essa categoria explora a
habilidade do aluno no sentido de utilizar os seus conhecimentos para fazer uma
leitura dos dados apresentados. Este tipo de leitura envolve destrezas de ordem
quantitativa e conhecimentos adquiridos anteriormente. As operações matemáticas
elementares podem ser de grande utilidade neste tipo de leitura, que requer
habilidades em comparar os dados.
Um dos fatores que pode justificar a presença marcante dessa categoria de
Curcio talvez seja o fato do Livro 1 e do Livro 2 serem direcionados para a área de
engenharia e o Livro 3, um livro preparado para um público mais geral de ciências
biológicas, exatas e humanas. Dessa forma, tais livros incentivam cálculos com os
dados.
69
O Livro 4 é o único dos quatro livros que aborda o conteúdo correlação e
regressão em dois momentos. No capítulo 3, os autores exploram a relação entre
duas variáveis de forma intuitiva e, no capítulo 12, eles exploram formalmente essa
relação entre duas variáveis. Por se tratar de um livro que dá ênfase a explorar o
lado intuitivo e propor mais questões teóricas como exercício, as categorias de
Curcio de ler os dados, ler dentro dos dados e ler além dos dados não são tão
freqüentes de acordo com o gráfico 9. Nos dois capítulos analisados pela
pesquisadora observou-se que os autores propõem uma grande quantidade de
exercícios ao aluno, que conduzem a sínteses teóricas. O Gráfico 9 evidencia uma
pequena quantidade de exercícios que explora a categoria ler os dados. Uma
possível justificativa para esse fato seja a abordagem intuitiva dada pelos autores ao
Capítulo 3 do livro, sem enfatizarem o cálculo através do uso de fórmulas. O Livro 4
foi elaborado para áreas de marketing, finanças, economia, ciências sociais, físicas,
biológicas e médicas e tem um objetivo diferenciado dos livros 1, 2 e 3. O foco é
explorar o raciocínio intuitivo.
A Tabela 8 sintetiza o total dos exercícios de cada livro classificados segundo
as categorias de Curcio.
Tabela 8: Freqüência das categorias de Cu rcio nos exercícios dos quatro livros
Livros Categorias Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Total
Ler dados 13 1 1 5 20 Ler dentro dos dados 75 9 18 53 155 Ler além dos dados 75 8 3 30 116 Total 163 18 22 88 291 Fonte: Tabela do Apêndice A. Tabela 9: Percentual das categorias de Curcio nos e xercícios dos quatro livros em relação ao total geral.
Livros Categorias Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Total
Ler dados 4,47% 0,34% 0,34% 1,72% 6,87% Ler dentro dos dados 25,77% 3,1% 6,19% 18,21% 53,27% Ler além dos dados 25,77% 2,75% 1,03% 10,31% 39,86% Total 56,01% 6,19% 7,56% 30,24% 100% Fonte: Tabela do Apêndice A.
A tabela construída a partir do total geral dos exercícios propostos pelos
autores, nos quatro livros (291), evidencia que a categoria mais presente nos
exercícios é ler dentro dos dados. Percebe-se, ainda no Livro 1, a maior evidência
das categorias de Curcio.
70
A Tabela 10 apresenta como os exercícios se distribuem percentualmente,
dentro de cada livro, de acordo com as categorias de Curcio.
Tabela 10: Percentual dos exercícios segundo as categorias de Curcio por livro Livros Categorias
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Ler dados 7,98% 5,56% 4,54% 5,68% Ler dentro dos dados 46,01% 50% 81,82% 60,23% Ler além dos dados 46,01% 44,44% 13,64% 34,10% Total 100% 100% 100% 100%
Fonte: Tabela do Apêndice A.
1. Dentre os exercícios propostos no Livro 1, verifica-se que a
proporcionalidade é a mesma nas categorias ler dentro dos dados e ler
além dos dados. Assim sendo, o Livro 1, adotado no curso de
engenharia onde a pesquisadora atua como professora, pode ser
considerado adequado, do ponto de vista de uma abordagem do tema
com ênfase na leitura e interpretação de dados.
Também, no Livro 2, as mesmas duas categorias ler dentro dos dados e ler
além dos dados são predominantes. Nos Livros 3 e 4, as habilidades de leitura e
interpretação de dados mais exploradas nos exercícios, são aquelas relativas à
leitura dentro dos dados.
Dos quatro livros analisados, o Livro 4 diferencia–se dos demais por ter uma
forma de explorar o conteúdo de correlação e regressão em dois capítulos, sendo
que inicialmente o faz de forma exploratória e posteriormente formalizando os dois
conteúdos. Por essa razão, o livro constituiu-se em uma fonte de idéias importante
para a elaboração de atividades numa linha investigativa, incentivando uma análise
visual de gráficos e tabelas. Isso foi importante tanto para as seqüências de
atividades aplicadas, como para a ampliação das seqüências que integram a
proposta didático-metodológica para o ensino e aprendizagem de correlação e
regressão em cursos de engenharia com foco na leitura e interpretação de dados,
apresentada no Apêndice B.
71
4 O DESENHO METODOLÓGICO DA PESQUISA
A presente pesquisa teve como foco uma investigação acerca de tipos de
estratégias didáticas que possam favorecer um melhor entendimento dos conceitos
de correlação e regressão junto a estudantes de engenharia.
Os estudos teóricos desenvolvidos evidenciaram que tais estratégias
poderiam estar fundamentadas na leitura e interpretação de dados, enfatizando
inicialmente uma análise exploratória mais intuitiva, para aos poucos evoluir para
uma análise a partir de técnicas estatísticas mais elaboradas.
No sentido de conhecer mais de perto as abordagens didáticas utilizadas no
ensino do tema, foram analisados quatro livros didáticos, alguns deles integrando a
bibliografia de cursos de engenharia.
Assim, a questão de pesquisa foi inicialmente recortada, consistindo em
verificar quais as estratégias didáticas presentes no livro texto, e em que medida
essas estratégias apresentavam um foco na análise e interpretação de dados.
Paralelamente a esse estudo, foi desenvolvido um trabalho empírico cujo
desenho metodológico é apresentado a seguir. Na primeira seção, é discutido o
contexto da pesquisa, caracterizando-se os participantes, a disciplina e o curso. A
segunda e terceira seções discutem os instrumentos e fases de coleta de dados e os
critérios de análise adotados.
4.1 O contexto da pesquisa
A pesquisa foi desenvolvida junto aos alunos do quarto período do curso de
Engenharia Mecânica, turno da noite, de uma instituição particular de ensino,
localizada no Estado de Minas, Belo Horizonte.
A maior parte dos alunos que participaram da pesquisa são alunos que
trabalham durante todo o dia. A maioria atua em empresas de grande porte. Esses
alunos têm apenas um semestre de estudos estatísticos.
A disciplina, nomeada no curso como “Probabilidade e Estatística I”, tem uma
carga horária de 60 horas, totalizando 4 aulas por semana. A ementa propõe que se
72
aborde: Estatística descritiva; Probabilidade; Variáveis aleatórias; Distribuições
discretas; Distribuições contínuas; Amostragem; Inferência estatística; Estimação;
Teste de hipótese; Análise de regressão simples; Controle e gerenciamento de
processos.
A disciplina tem por objetivos: a) propiciar ao futuro engenheiro fundamentos básicos
de estatística no contexto da engenharia; b) dar ao aluno condições para que ele
desenvolva o raciocínio estatístico nas aplicações dos problemas dentro do contexto
da engenharia; c) motivar o aluno a usar calculadora e computador em seus
trabalhos estatísticos. Os conteúdos são distribuídos através das unidades, em
número de doze, apresentadas detalhadamente no Anexo A. A disciplina não prevê
aulas conduzidas em laboratório, utilizando qualquer um dos “softwares” disponíveis.
O tema abordado durante a pesquisa realizada pela professora-pesquisadora nas
duas atividades aplicadas, em duas turmas, ocorreu durante um curto período de
tempo, devido ao fato de correlação e regressão serem ministradas em 8 horas, de
acordo com o plano de ensino da disciplina.
Antes de cursar a disciplina Probabilidade e Estatística I, os alunos que
participaram da atividade aplicada pela professora-pesquisadora já haviam cursado
as seguintes disciplinas: Cálculo I e Geometria Analítica e Álgebra Linear no primeiro
período, Cálculo II no segundo período, Cálculo III e Cálculo Numérico no terceiro
período, sendo que tais disciplinas utilizam calculadoras científicas durante as suas
aulas e, também, tem acesso a alguns softwares. Pode-se concluir que embora os
alunos do quarto período não tenham aula de laboratório com aplicações na
disciplina Probabilidade e Estatística I, alguns já utilizam ou têm acesso a softwares
estatísticos e a calculadoras científicas.
4.2 Os instrumentos e fases de coleta de dados
Duas atividades foram aplicadas em sala de aula, sendo que uma no primeiro
semestre de 2007; e outra, no segundo semestre de 2007.
É importante ressaltar que as atividades foram aplicadas em turmas distintas,
mas com características similares tendo como objetivos: 1) propiciar uma atividade
investigativa, explorando os níveis de leitura e interpretação de dados, a partir das
73
categorias de Curcio (1987); 2) explorar as idéias de correlação linear e regressão
linear a partir de uma abordagem intuitiva; 3) motivar a apresentação formal dos
conceitos de correlação e regressão.
Pretenderam-se dessa forma, respostas a algumas indagações advindas da
prática docente da pesquisadora. Uma aula onde os alunos são solicitados a testar
conjecturas, apresentar argumentos, pode motivar a introdução de um conteúdo
estatístico, no caso, o conteúdo de correlação e regressão? Os conhecimentos
prévios dos alunos acerca dos dados, dos tipos de gráficos, dos conceitos
matemáticos demandados são relevantes? O tipo de dados envolvido nos gráficos e
tabelas tem influência no maior ou menor envolvimento dos alunos?
Na primeira atividade, foi escolhido um conjunto de dados disponibilizado em
um dos textos didáticos analisados no Capítulo 3 (Livro 1), a partir do qual foram
propostas tarefas de acordo com os objetivos especificados anteriormente.
Para a segunda atividade, a pesquisadora obteve os resultados experimentais
da temperatura da água de três coletores solares de banho para residência,
fornecidos por um grupo de pesquisa em energia solar da mesma instituição de
ensino particular, onde foi realizada a pesquisa.
As duas atividades diferem entre si. Na primeira atividade, os dados
envolvidos, embora relativos a uma situação de engenharia, foram selecionados de
um exercício proposto em um texto didático. A segunda atividade traz elementos
mais próximos ao cotidiano do aluno. Os dados foram trabalhados pela professora-
pesquisadora através de técnicas de amostragem. Antes da aplicação da segunda
atividade, a pesquisadora explicou aos alunos todo o processo de coleta dos dados,
realizado pelas pessoas que atuam no grupo de pesquisa em energia solar e,
posteriormente, como ela própria retirou as três amostras dos três coletores. Os
alunos envolvidos nessa atividade já tinham conhecimento das técnicas de
amostragem e, assim, o ideal seria que eles também tivessem participado desse
processo. Dessa forma, estaríamos em consonância com as recomendações dos
Parâmetros Curriculares Nacionais e dos Standars do National Council of Teachers
of Mathematics (NCTM), propondo situações que contemplam desde a coleta à
organização dos dados e após a apresentação dos mesmos, à realização das
possíveis inferências. Quando os estudantes acompanham todo um processo de
coleta de dados, teria sentido discutir também questões relativas a uma quarta
categoria de leitura e interpretação de dados, chamada ler por detrás dos dados,
74
que consiste numa avaliação do contexto onde os dados foram coletados20. No
contexto desse trabalho, a categoria de análise ler por detrás dos dados não se
aplica, uma vez que não foi possível que os próprios alunos realizassem a coleta de
dados, por questões de inadequação da carga horária da disciplina. De qualquer
forma os dados utilizados na segunda atividade tinham mais sentido para os alunos,
uma vez que haviam sido coletados por colegas seus, trabalhando como estagiários
em um projeto da instituição a que pertenciam.
As duas atividades foram desenvolvidas em grupo; alguns poucos alunos, na
segunda atividade, optaram por realizar o trabalho individualmente.
As duas atividades foram planejadas, tendo como referência as categorias de
leitura e interpretação de dados de Curcio, discutidas no capítulo 3, sendo que o
foco principal foi explorar a relação entre duas variáveis e a possibilidade de
visualização por parte do aluno de uma equação matemática que explicasse tal
relação, a partir da análise gráfica. Os alunos fizeram os registros escritos em folhas
especiais fornecidos pela professora-pesquisadora. Nas duas atividades, eles
discutiram entre si durante 100 minutos e responderam às questões propostas e
devolveram uma das folhas de registros à pesquisadora. Nas duas atividades, os
alunos receberam duas cópias do material impresso e foi pedido a eles que fizessem
as mesmas anotações nas duas folhas, para que eles tivessem o material para o
próximo encontro, já que uma delas seria entregue à pesquisadora. Dessa forma, a
professora-pesquisadora teria acesso aos registros dos alunos nas várias etapas,
possibilitando estabelecer comparações e verificar eventuais avanços e
reconstruções dos conceitos abordados durante todo o processo.
As duas atividades foram socializadas num segundo momento, ocorrido em
um encontro de cerca de 100 minutos.
O processo de socialização nas duas atividades foi gravado em fitas de áudio,
constituindo mais um instrumento de coleta de dados que contribuiu para a análise
das questões propostas pela professora-pesquisadora. Posteriormente, a
apresentação do conteúdo de correlação e regressão foi realizada pela professora-
pesquisadora de maneira formal.
20 Ver nota de rodapé de número 3, no Capítulo 3.
75
Para facilitar a leitura do relato da pesquisa, optou-se por apresentar as
atividades nos dois capítulos seguintes, onde se detalham os objetivos de cada uma
delas, bem como se analisam os resultados.
Embora as orientações acerca dos estudos de estatística em cursos de
graduação apontem a importância da incorporação de atividades de cunho
investigativo, incentivando a pesquisa e o questionamento, o ensino de Estatística
evidencia ainda uma abordagem tradicional, com apresentação dos conceitos,
principais propriedades e proposição de exercícios.
As atividades desenvolvidas objetivaram romper com essa abordagem
tradicional, buscando incorporar uma abordagem mais intuitiva, com foco na leitura e
interpretação de dados.
As atividades desenhadas estão adequadas às tendências metodológicas
evidenciadas em alguns textos didáticos e se apóiam, com certeza, nas premissas
de Garfield et al (2002), apontadas no Capítulo 2, de se utilizar mais dados e
conceitos, menos receitas e se incentivar uma aprendizagem ativa, com atividades
nas quais o aluno trabalhe coletivamente.
Apenas uma atividade foi aplicada a cada turma, devido ao fato de a carga
horária da disciplina ser insuficiente. Mesmo assim, os registros sinalizam a
importância da abordagem metodológica adotada.
A proposta final de abordagem do tema correlação e regressão em cursos de
engenharia, apresentada no Apêndice B, reformula ampliando as tarefas aplicadas.
4.3. Critérios de análise de dados
As duas atividades foram analisadas de acordo com as categorias de Curcio
(1987), já que as questões propostas foram desenhadas de forma a focalizar uma ou
outra categoria.
Para a categoria ler os dados, a pesquisadora nas duas atividades procurou
elaborar questões que explorassem a habilidade do aluno em fazer análises
gráficas, procedendo à leitura dos dados de forma literal, sem se preocupar com a
interpretação desses dados. De acordo com Curcio (1987), essa categoria explora a
76
habilidade do aluno a partir do momento em que ele é capaz de localizar valores
presentes no próprio gráfico.
A categoria ler, dentro dos dados, consiste na leitura feita a partir dos dados
apresentados, requer interpretações, o uso do conhecimento já adquirido
anteriormente. O conhecimento das operações matemáticas elementares pode
colaborar de forma significativa para esse tipo de leitura. O objetivo das questões
propostas pela pesquisadora nas duas atividades foi observar as idéias intuitivas dos
alunos, após a observação dos pares ordenados em cada diagrama de dispersão.
Neste tipo de leitura, o aluno pode perceber a existência de dependência direta ou
inversa entre as variáveis, isto é, se elas são diretamente proporcional ou
inversamente proporcional. A percepção de uma tendência nesse momento é
fundamental para o entendimento do aluno, no que se refere à dependência direta
ou inversa entre as variáveis, sendo que isto requer a leitura comparativa dos dados
apresentados.
A categoria ler além dos dados possibilita ao aluno fazer inferências, isto é,
previsões. As informações relativas a essas previsões não estão presentes no
gráfico. Este tipo de leitura exige do leitor, um conhecimento teórico mais profundo.
As questões elaboradas pela pesquisadora, utilizando as categorias de Curcio
ler além dos dados, objetivaram também verificar até que ponto o aluno era capaz
de fazer uma interlocução com as disciplinas de matemática já cursadas antes da
disciplina Probabilidade e Estatística I, como por exemplo, o Cálculo Numérico, que
trabalha em alguns momentos com ajuste de curvas a pares ordenados.
Os dois capítulos seguintes apresentam cada uma das atividades, detalhando
as várias etapas desde a elaboração das mesmas atividades, sua condução em sala
e a análise do processo.
77
5 PRIMEIRA SEQÜÊNCIA DE ATIVIDADES: TESTANDO IDÉIAS
Participaram das atividades 57 estudantes do quarto período de um curso de
Engenharia ofertado no turno da noite, por uma instituição particular de ensino de
Belo Horizonte, Minas Gerais. A seqüência de atividades foi aplicada no primeiro
semestre de 2007. É conveniente ressaltar que os alunos envolvidos nesta atividade
já haviam cursado disciplinas básicas como Cálculo Diferencial e Integral, Geometria
Analítica e Álgebra Linear e Cálculo Numérico, que integram a grade curricular do
curso de Engenharia onde foi desenvolvida a pesquisa. Considerando-se as atuais
orientações didáticas e principalmente os livros didáticos, tais disciplinas deveriam
ser desenvolvidas de forma a propiciar que o aluno conheça e utilize diferentes
formas de representação das idéias matemáticas, o que demandaria uma atenção
especial à construção, análise e interpretação de gráficos.
5.1 A seqüência de atividades
Os alunos tiveram acesso a uma tabela (Tabela 11) e a três diagramas de
dispersão - Gráficos 12,13 e 14. A atividade consistiu na análise e na interpretação
de dados amostrais, relativos aos resultados de dezoito ensaios, em corpos de
prova, no processo de queima de massa de cerâmica para pavimentação.
As atividades foram elaboradas, visando diagnosticar os níveis de leitura e
interpretação de dados dos estudantes e, ao mesmo tempo, incentivar o
desenvolvimento de habilidades de acordo com as categorias de Curcio (1987): ler
dentro dos dados; ler além dos dados, discutidos no capitulo 3.
Foram registrados os dados relativos a três variáveis indicadas na Tabela 11
como: X1 representando a retração linear (%); X2 representado a resistência
mecânica (MPa); X3 representando a absorção de água (%).
78
Tabela 11: Resultados de 18 ensaios, em corpos de p rova, durante o processo de queima de
massa de cerâmica para paviment ação
Ensaio X1 X2 X3 Ensaio X1 X2 X3
1 8,7 38,42 5,54 10 13,24 60,24 0,58 2 11,68 46,93 2,83 11 9,10 40,58 3,64 3 8,30 38,05 5,58 12 8,33 41,07 5,87 4 12,00 47,04 1,10 13 11,34 41,94 3,32 5 9,5 50,9 0,64 14 7,48 35,53 6,00 6 8,58 34,10 7,25 15 12,68 38,42 0,36 7 10,68 48,23 1,88 16 8,76 45,26 4,14 8 6,32 27,74 9,92 17 9,93 40,70 5,48 9 8,20 39,20 5,63 18 6,5 29,66 8,98
Fonte: Barbetta, Reis e Bornia, 2004, p.317.
Os gráficos seguintes foram elaborados a partir da Tabela 11 e recebem uma
denominação especial no campo estatístico de diagramas de dispersão e permitem
explorar se existem relações entre as variáveis consideradas duas a duas: retração
linear (%) e resistência mecânica (MPa); retração linear (%) e absorção de água (%);
resistência mecânica (MPa) e absorção de água (%).
Re t ra ção line a r (%) (X )
Resistência mecânica (MPa) (Y)
14131211109876
60
55
50
45
40
35
3029,66
40,70
45,26
38,42
35,53
41,9441,07 40,58
60,24
39,20
27,74
48,23
34,10
50,90
47,04
38,05
46,93
38,42
Gráfico 12: Diagrama 1 - Primeira Seqüência de Ativ idades
Fonte: Tabela 11
79
R e t r a ç ã o lin e a r (% ) ( X )
Aborção de água (%) (Y)
1 41 31 21 11 09876
1 0
8
6
4
2
0
8 ,98
5 ,4 8
4 ,14
0 ,3 6
6 ,00
3 ,32
5 ,87
3 ,6 4
0 ,58
5 ,6 3
9 ,9 2
1 ,8 8
7 ,25
0 ,6 4
1 ,1 0
5 ,58
2 ,8 3
5 ,54
Gráfico 13– Diagrama 2 - Primeira Seqüência de Ativ idades
Fonte: Tabela 11
Resistência mecânica (MPa) (X)
Aborção de água (%) (Y)
60555045403530
10
8
6
4
2
0
8,98
5,48
4,14
0,36
6,00
3,32
5,87
3,64
0,58
5,63
9,92
1,88
7,25
0,64
1,10
5,58
2,83
5,54
Gráfico 14: Diagrama 3- Primeira Seqüência de Ativi dades
Fonte: Tabela 11
80
Questões propostas e objetivos: Discuta com seus colegas e resolva as tarefas propostas, registrando as
observações e justificando suas conclusões.
1) Olhe atentamente os diagramas de dispersão que foram dados e registre suas
observações.
O objetivo da questão 1 foi verificar se o aluno tinha a habilidade de fazer uma
leitura literal dos dados, isto é, ler os dados, não se preocupando com a
interpretação dos pares ordenados da distribuição bivariada.
2) Observe cada diagrama. Procure descrever como os pares ordenados se
distribuem.
O objetivo da questão proposta foi observar as idéias intuitivas dos alunos, após
a observação de como os pares ordenados se distribuíam em cada diagrama de
dispersão, fazendo a leitura dentro dos dados. Esta leitura envolve compreensão
e interpretação dos pares de valores no diagrama, como também a comparação
de quantidades envolvidas e traquejo matemático, de tal maneira que a leitura
gráfica faça o aluno perceber a existência de uma dependência direta ou inversa
entre as variáveis, isto é, se elas são diretamente proporcionais ou são
inversamente proporcionais;
3) Observe cada diagrama. Você percebe a existência de relacionamento entre as
variáveis em cada diagrama? Justifique de acordo com o entendimento que tem
de cada gráfico.
O objetivo da questão foi levar o aluno a intuir a respeito do relacionamento entre
duas variáveis, isto é, a existência ou não de associação entre elas, a partir da
análise gráfica de diagramas de dispersão. Esta questão também envolve a
categoria de Curcio (1987), ler dentro dos dados.
4) Utilizando as informações da tabela e o terceiro diagrama de resistência
mecânica (MPa) e absorção de água (%),você é capaz de verificar se a
resistência mecânica (MPa) causa algum efeito sobre a absorção de água no
processo de queima de massa de cerâmica para pavimentação em corpos de
prova? Argumente acerca do questionamento levantado.
Pretendeu-se com a questão que o aluno fizesse a leitura dentro dos dados,
81
sendo capaz de levantar conjecturas sobre a possibilidade da variação de uma
variável ser causada pela variação da outra.
5) Observando os diagramas você considera possível estabelecer um modelo
matemático que descreva como variam: a) retração linear (%) e resistência
mecânica (Mpa); a) retração linear (%) e absorção de água (%); c) resistência
mecânica (Mpa) e absorção de água (%). Justifique sua resposta.
O objetivo da questão foi que a partir de sua ótica, ao observarem os três
diagramas, os alunos pudessem fazer uma conexão com conceitos
matemáticos, já estudados por eles em disciplinas básicas, como Cálculo
Diferencial e Integral, Cálculo Numérico e Geometria Analítica e Álgebra Linear,
explorando assim a categoria ler dentro dos dados.
6) Você acha possível fazer uma previsão o valor de absorção da água (%),
conhecendo o valor da resistência mecânica (MPa) ?Justifique a sua resposta.
O objetivo da questão foi verificar se os alunos fazem uma leitura além dos
dados, isto é, se são capazes de levantar conjecturas e fazer inferências a partir
de dados fornecidos.
5.2 Desenvolvimento das atividades e análise dos re sultados
A atividade foi conduzida por etapas. Na primeira etapa, durante duas aulas
de 100 minutos, os alunos discutiram em grupos de quatro e cinco alunos as
questões propostas e registraram suas respostas por escrito. Cada grupo entregou
um registro com a síntese dos resultados obtidos, e manteve um registro similar para
o desenvolvimento da segunda etapa. Durante a primeira fase, os alunos ainda não
tinham o conhecimento dos conceitos estatísticos envolvidos; os gráficos de
dispersão, por exemplo, eram novidade para a maioria deles. Assim, as
interpretações e argumentações escritas dadas por eles, naquele momento, foram
sustentadas por idéias intuitivas.
82
A segunda etapa, correspondente à socialização dos resultados, foi realizada
em dois momentos. No primeiro momento, foram discutidas as três primeiras
questões e, logo em seguida, a professora-pesquisadora apresentou o conteúdo
formal do tema correlação. No segundo momento, foram discutidas as três últimas
questões e foi realizada a abordagem formal do conceito de regressão. As
discussões ocorridas nos dois momentos foram gravadas em áudio.
Os registros escritos dos grupos recolhidos na primeira etapa e os registros
em áudio dos dois momentos da segunda etapa constituíram os dados que foram
analisados pela professora-pesquisadora, a partir das categorias de leitura e
interpretação de dados de Curcio (1987), discutidos no capítulo 3 e que orientaram a
elaboração das questões propostas. Durante todo o processo da aplicação da
atividade investigativa, o objetivo foi detectar as idéias intuitivas dos alunos acerca
de relações entre variáveis, estabelecendo a partir das mesmas uma ponte para a
introdução dos conceitos de correlação e regressão.
Inicialmente, foi proposto aos componentes dos doze grupos que discutissem
entre si os diagramas de dispersão que foram dados e registrassem as suas
observações.
As respostas de oito grupos - G12, G11, G10, G9, G8, G6, G5 e G4 -
concentraram-se na seguinte análise: “No primeiro diagrama observou-se que
quanto maior a retração linear, maior a resistência mecânica; no segundo diagrama
quanto maior a retração linear menor será a absorção de água; no terceiro diagrama
quanto maior a resistência mecânica menor será a absorção de água; se traçarmos
uma linha com as médias dos valores percebemos que o primeiro gráfico em relação
aos outros dois, há um afastamento maior dos pontos”.
O grupo G7 argumentou que não existia uma relação entre as variáveis nos
três diagramas de dispersão. O grupo G1 afirmou que a questão proposta era
incoerente, sem ter dado nenhuma justificativa. Os grupos G2 e G3 observaram que
todos os três diagramas mostravam uma tendência a uma curva específica, sem
justificativas; falaram de parábola no caso do primeiro diagrama, de retas no caso
dos outros dois diagramas. Percebeu-se certa preocupação por parte dos grupos em
falar em crescimento ou decrescimento das variáveis envolvidas na primeira
questão, do que propriamente um comentário mais livre das observações de acordo
com os diagramas. Os alunos fizeram mais uma leitura dentro dos dados na ótica de
Curcio (1987), do que a leitura literal dos dados. A preocupação dos alunos durante
83
as observações dos pares ordenados nos três diagramas foi mais de interpretar os
dados.
Na segunda questão, proposta aos alunos o foco de interesse era que eles
observassem como os pares ordenados se distribuíam. Os grupos G2, G3, G4, G6,
G7, G8, G9, G10 e G11 afirmaram que no primeiro diagrama a relação entre as
variáveis era diretamente proporcional e, no segundo e terceiro diagramas, a relação
entre as variáveis era inversamente proporcional.
O grupo G1 argumentou que nos Diagramas 1 e 2, os dados eram dispersos
e os resultados pareciam alocados (comparados) erroneamente; já no Diagrama 3,
havia os dados eram dispostos de forma mais coerente. O grupo G12 observou que
os pares ordenados se distribuíam aleatoriamente em todos os gráficos, ou seja, não
parecia haver uma seqüência lógica. O grupo G5 argumentou que os pares
ordenados se distribuíam de forma a sugerir a formação aproximada de uma reta.
Percebeu-se uma dificuldade em comentar a respeito do posicionamento dos
pares ordenados no diagrama de dispersão; pareceu haver uma tendência dos
alunos por avaliações do tipo certo ou errado. Alguns grupos observaram uma
tendência a partir do pares ordenados presentes em cada diagrama, na tentativa de
ler dentro dos dados.
Na questão número 3, após a observação de cada diagrama, os alunos
deveriam verificar se havia a existência de relação entre as variáveis em cada
diagrama e apresentar uma justificativa para a resposta dada. Os grupos G1, G7 e
G8 não detectaram a existência de relação entre as variáveis. O grupo G7 justificou
a falta de relacionamento, alegando a distribuição aleatória dos pares ordenados
detectada em cada diagrama de dispersão, fato que chama atenção quando se
compara a resposta dada pelo grupo à questão 1. Da mesma forma, o grupo G8
argumentou pela não existência de relação entre as variáveis em nenhum diagrama
O grupo G1 justificou que de acordo com os diagramas observados puderam
verificar a presença de grandes variações dos pares ordenados e a presença de
pares discrepantes, devido talvez a medições errôneas, fato que não permitia
verificar a relação entre as variáveis em nenhum diagrama. Essa argumentação
mantém uma maior coerência com a resposta dada à questão 1.
Os demais grupos argumentaram a favor da existência de um relacionamento
observável nos três diagramas. O primeiro diagrama de retração X resistência
mostrava uma tendência a uma curva decrescente. Nos gráficos de retração X
84
absorção e resistência X absorção, evidenciava-se uma tendência a uma curva
crescente. Percebeu-se que a maioria dos grupos foi capaz de, a partir da análise
gráfica dos dados, inferir acerca do relacionamento entre as variáveis envolvidas.
Intuir a partir da analise gráfica foi um ótimo exercício para o aluno em termos de
verificação de relacionamento entre as variáveis envolvidas no estudo. Esta questão
teve a intenção de explorar a categoria de Curcio (1987) ler dentro dos dados.
Na questão número 4, foi pedido aos alunos que utilizando as informações da
tabela e o terceiro diagrama de resistência mecânica (MPa) e absorção de água (%),
verificassem a existência de uma relação de causa e efeito da resistência mecânica
(MPa) sobre a absorção de água no processo de queima de massa de cerâmica
para pavimentação em corpos de prova. Dez dos 12 grupos responderam que sim e
argumentaram que à medida que a resistência mecânica aumentava, a absorção de
água diminuía. O grupo G7, respondeu que não havia relação constante entre
resistência mecânica e a capacidade de absorção de água de cada corpo de prova e
exemplificou, usando os dados da tabela: corpo 1: 38,42 (MPa) = 5,54%; corpo 2:
46,93 (MPa) = 2,83% e corpo 12: 41,07 (MPa) = 5,87%. O grupo G10 respondeu
que: “Não. A absorção de água causa e efeito sobre a resistência mecânica, uma
vez que permite menor (%) de água e maior resistência”. Percebe-se que o grupo
argumentou em sentido contrário ao não relacionamento alegado.
A respeito da existência de uma relação causa e efeito, observa-se que os
grupos responderam, de acordo com a localização dos pares ordenados no
diagrama de dispersão. Como a atividade investigativa foi aplicada sem que tivesse
havido uma abordagem formal do conteúdo, os estudantes não sabiam, por
exemplo, que variáveis ocultas podem interferir no processo em questão.
Na questão número 5, após a observação dos diagramas, os alunos deveriam
se posicionar em relação ao estabelecimento de um possível modelo matemático
que descrevesse como variam: a) retração linear (%) e resistência mecânica (MPa);
b) retração linear (%) e absorção de água (%); c) resistência mecânica (MPa) e
absorção de água (%) e que justificassem suas respostas. Os grupos G4, G5, G6 e
G11, apresentaram a equação reduzida da reta e não deram justificativas. Os
grupos G1, G2, G3, G7, G8 e G10 responderam que não é possível estabelecer um
modelo matemático para os três diagramas, pois os pares ordenados são muito
dispersos. Os grupos G9 e G12 responderam ser possível estabelecer um modelo
matemático dos três diagramas, através de regressão linear. Percebe-se que os
85
grupos detectaram tendência ao ajuste de reta, sendo que alguns deles
mencionaram a palavra regressão, por ser um assunto já tratado em outras
disciplinas do curso de Engenharia Mecânica. O objetivo da questão proposta aos
alunos era que a partir de sua ótica ao observarem os três diagramas, fizessem uma
conexão entre as disciplinas já cursadas, relacionando a questão com conteúdos
das disciplinas básicas, como Cálculo Diferencial e Integral, Cálculo Numérico e
Geometria Analítica e Álgebra Linear. O ajuste de um modelo matemático aos três
diagramas envolve conceitos estatísticos mais refinados. Esta questão exigia ler
dentro dos dados, mas estabelecendo uma interlocução mais elaborada com idéias
matemáticas trabalhadas previamente.
A última questão, número 6, indagava se era possível fazer uma previsão o
valor de absorção da água (%), conhecendo a resistência mecânica (MPa). Nove
grupos responderam que era possível fazer uma previsão conhecendo uma equação
matemática e tendo uma de suas variáveis.
O grupo G1 alegou que sim, por análise de regressão; o grupo G11 afirmou
ser possível fazer uma aproximação linear do gráfico, obtendo-se uma reta e através
desta reta, sendo possível, encontrar o valor da absorção de água, conhecendo os
valores da resistência mecânica. O grupo G7 afirmou que não era possível, pois
afinal de contas não existia nenhuma relação matemática entre essas duas
variáveis. A resposta mantém uma coerência em relação à resposta dada na
questão anterior.
Os grupos G2, G3, G4, G5, G6, G8, G9, G10 e G12, concluíram que é
possível fazer uma previsão de uma variável conhecendo a outra e analisaram que
duas variáveis podem ter um relacionamento diretamente proporcional ou
inversamente proporcional. Com a visualização de um modelo matemático
associado à distribuição dos pares ordenados nos três diagramas de dispersão, os
alunos perceberam a possibilidade de inferir a partir do modelo ajustado. O objetivo
da questão número 6, era que os alunos levantassem conjecturas, argumentando,
numa leitura além dos dados, inferindo a partir das informações disponíveis.
Nos dois momentos da atividade, os alunos comentaram que não tinham
vivenciado em sala de aula, até aquele momento, experiências dessa natureza:
iniciar um assunto explorando idéias de forma intuitiva, em seguida realizar uma
socialização das idéias e ter acesso a uma exposição formal do conteúdo. As
duplas, em sua maioria, acharam que essa forma de abordagem contribuiu para um
86
melhor entendimento da teoria de correlação e regressão, quando foi formalizada
pela professora-pesquisadora. Alguns alunos acharam que a atividade aplicada não
contribuiu de forma significativa para o ensino aprendizagem de correlação e
regressão e justificaram que o curso de Engenharia Mecânica é da área de exatas.
Essa colocação pode ser interpretada como uma preferência explícita por aulas
expositivas, onde sempre o professor apresenta, ou “transmite” conhecimentos já
prontos, característica comum de algumas aulas de cursos de exatas.
Lendo várias vezes os registros dos alunos e ouvindo várias vezes as
gravações, a professora-pesquisadora concluiu que ao apresentarem suas idéias
para os colegas, os grupos se limitaram a repetir o que haviam registrado por
escrito. Talvez esse fato se explique considerando que de modo geral há uma
preocupação do aluno com o erro ou o acerto. Isso pode ter influenciado os alunos a
ficarem presos às respostas anteriormente acordadas no grupo e anotadas na folha
que usavam no debate. Por outro lado, era a primeira vez que se viam diante de
uma situação em que eram chamados a expor suas idéias, e a reação diante do
novo é por vezes de evitar os confrontos da “zona de risco”, e retornar à zona de
comodidade.
O papel da professora-pesquisadora foi fundamental para instigar os alunos
para que levantassem conjecturas. Entre as principais conjecturas, os alunos
falaram a respeito: dos pontos discrepantes, em especial no diagrama 1 e do fato
que os pares ordenados estavam mais concentrados entre as faixas 8 e 9. Alguns
alunos destacaram a tendência evidenciada de aumento da retração linear e
correspondente diminuição da absorção de água no diagrama 2. Os grupos
consideraram que os diagramas 2 e 3 permitiam identificar mais facilmente uma
tendência que consideraram linear, referindo-se a uma proporcionalidade existente
entre as variáveis. Alegaram ainda que no terceiro diagrama ocorria “um processo
inverso” do primeiro gráfico, querendo se referir aos sentidos opostos de uma
tendência crescente no primeiro e decrescente no terceiro gráfico. A discussão
ocorrida evidenciou que na realidade as três primeiras questões eram interligadas. A
primeira questão foi elaborada de forma a ser uma questão mais aberta. Os alunos
poderiam registrar suas idéias de modo mais livre e, por vezes, apresentavam
comentários relativos à segunda e terceira questões.
Debatidas as três primeiras questões, a professora pesquisadora fez a
introdução formal do conteúdo de correlação, apresentando a teoria que permite a
87
determinação do coeficiente r, coeficiente de Pearson. Questões relativas ao
significado do coeficiente e da escala que permite classificar uma correlação como
inexistente, fraca, moderada ou forte foram discutidas.
O debate teve continuidade num segundo momento, com a abordagem das
demais questões e a apresentação formal do conteúdo de regressão linear. Foi
interessante destacar a postura de um dos alunos (C). O aluno calculou em casa os
coeficientes de correlação para cada uma das três situações ilustradas nos
diagramas. O mais interessante é que o aluno optou por fazer manualmente os
cálculos, não lançando mão das fórmulas viabilizadas nas calculadoras.
Da mesma forma que no primeiro momento de socialização, após retomar
sintetizando as discussões e formalização acerca do cálculo de correlação, a
professora-pesquisadora orientou o debate acerca das questões 4, 5 e 6,
introduzindo a regressão linear formalmente, usando para ilustrar o diagrama de
dispersão 1.
Foram apresentados os coeficientes da reta de regressão, procedendo-se à
interpretação dos mesmos, de forma que os alunos entendessem o que a equação
falava acerca da variação da resistência mecânica, considerando-se a variação da
retração linear. Nesse momento, foi retomada a conjectura levantada por alguns
grupos no primeiro momento de socialização, de que 60,24 seria um valor
discrepante. Foi então possível verificar que a reta de regressão passava pelo ponto
discrepante. Neste caso, o valor discrepante ocupa a mesma tendência dos outros
pontos do diagrama, isto indica que o ponto discrepante não afeta os mínimos
quadrados.
A importância de uma abordagem na forma proposta é percebermos que é
possível explorar os dados intuitivamente e, posterior, de maneira formal,
valorizando as idéias intuitivas dos estudantes e ressaltando a importância de
estudos aprofundados, ampliando os conhecimentos, no caso conhecimento de
estatística. A partir da abordagem adotada, foi possível perceber o crescimento dos
alunos, estabelecendo um diálogo entre a prática e a teoria, entre as idéias iniciais
intuitivas e a teoria apresentada, atribuindo significado às fórmulas aprendidas.
Após a formalização do conteúdo de correlação e Regressão Linear, a
professora-pesquisadora elegeu um exercício proposto no livro texto dos alunos,
para que eles o resolvessem em casa. Nesta mesma aula, a professora-
88
pesquisadora aplicou um trabalho em dupla para ser entregue ao final da aula. Tais
atividades aplicadas pela professora-pesquisadora encontram-se no Anexo B.
O trabalho em dupla aplicado aos alunos envolveu tarefas que demandavam
ler e interpretar os dados, de acordo com as três categorias de Curcio. Procurou-se
também fixar pontos relativos: 1) à implicação ou não de causalidade, para uma
correlação elevada; 2) à interpretação do sinal ora negativo ora positivo do
coeficiente linear de Pearson; 3) à interpretação do sinal antes do termo b, isto é, o
coeficiente angular da reta; 4) ao entendimento do que é uma reta de regressão.
Durante a correção do trabalho, a professora-pesquisadora observou que,
mesmo o aluno tendo o conhecimento prévio da interpretação do coeficiente
angular, do sinal ora positivo, ora negativo da reta, e também a interpretação do
sinal do coeficiente linear de Pearson, os alunos apresentam dificuldades de
compreensão desses conteúdos.
A experiência conduzida viabilizou o aperfeiçoamento das atividades e sua
ampliação para elaboração da proposta apresentada no Apêndice B.
89
6 SEGUNDA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES: MODELANDO DADOS REAIS
A segunda seqüência de atividades foi aplicada a 43 alunos do quarto
período, de um curso de Engenharia ofertado no turno da noite, por uma instituição
particular de ensino de Belo Horizonte, Minas Gerais.
Os trabalhos foram desenvolvidos durante o segundo semestre de 2007 e os
alunos que participaram apresentavam características semelhantes às dos alunos
que participaram da primeira seqüência didática: cursavam o mesmo curso, no
mesmo turno, com o mesmo currículo e eram na sua maioria alunos trabalhadores.
Entretanto, a atividade desenvolvida era outra. Pretendia-se que os alunos
lidassem com dados mais próximos da sua realidade, objetivando-se, dessa forma
um maior envolvimento dos mesmos; até então os dados utilizados para estudar
Estatística eram retirados dos livros didáticos.
6.1 A seqüência de atividades
Para elaborar a seqüência de atividades, a pesquisadora teve acesso a
resultados experimentais de três coletores solares para residências, fornecidos por
um laboratório de pesquisas da mesma instituição onde o trabalho aqui relatado foi
desenvolvido.
O processo de circulação da água no coletor solar envolve as variáveis: vazão
mássica da água através do coletor solar (medida em litros/minuto); temperatura Tfe
de entrada da água no coletor; temperatura Tfs da água ao sair do coletor; a
temperatura ambiente Tamb, todas as temperaturas medidas, em graus Celsius.
Os dados obtidos informavam os valores de duas variáveis. A primeira
variável fornecia a razão entre a diferença da temperatura de entrada e da
temperatura ambiente (Tfe-Tamb) e a radiação G que incide no plano do coletor,
expressa em W/m². A segunda variável informava a Eficiência térmica percentual do
coletor. A Eficiência térmica do coletor solar depende da quantidade de calor que é
transferida para a água e da taxa de energia que incide no plano do coletor.
90
Os coletores eram semelhantes ao da Figura 1.
Figura 1 – Esquema de uma instalação de aquecimento solar de água de pequeno porte operando em termossifão, (circulaç ão natural da água), composto de caixa d’água, coletor solar e re servatório térmico - Acervo GREEN SOLAR.
Foi realizada uma filtragem de dados relativos a resultados experimentais de
leituras da temperatura da água em três coletores solares.
Para cada coletor, foi retirada uma amostra de 60 dados.
As tabelas seguintes (Tabela 12, Tabela 13 e Tabela 14) apresentam os
resultados experimentais de três coletores solares de banho para residência,
observados em um laboratório por um grupo de pesquisa em energia solar.
Correspondendo a cada tabela, foi elaborado um gráfico (Gráfico 15, Gráfico
16 e Gráfico 17), denominado diagrama de dispersão. O diagrama de dispersão
permite explorar o relacionamento entre as duas variáveis: (Tfe-Tamb)/G e
Eficiência, para cada coletor.
91
Tabela 12: Coletor solar 1
(Tfe-Tamb)/G Eficiência (Tfe-Tamb)/G Eficiência (ºC/W/m2) (%) (ºC/W/m2) (%)
0,038302 42,54 0,003488 64,39 0,038757 42,66 0,001024 64,39 0,03015 47,17 -0,000663 64,62 0,034942 47,17 -0,001486 64,62 0,026993 50,74 -0,000653 64,85 0,002457 50,86 -0,000486 64,85 0,006162 53,00 0,000964 65,07 0,00252 53,04 0,000071 65,07 0,011593 55,1 -0,000084 65,25 0,018763 55,1 -0,000604 65,26 -0,001985 56,48 -0,000784 65,43 0,016777 56,49 -0,001445 65,43 -0,001466 57,48 -0,000895 65,61 -0,001197 57,49 -0,000143 65,61 0,022629 58,39 -0,001084 65,83 0,014403 58,41 -0,001139 65,83 0,00748 59,13 -0,001052 66,14 -0,001172 59,13 -0,000832 66,15 -0,001589 59,96 -0,000921 66,53 -0,000043 59,96 -0,001414 66,54 0,000015 61,24 -0,000085 66,99 -0,000701 61,28 -0,000802 66,99 -0,000138 62,32 -0,004947 67,32 -0,001285 62,34 -0,000461 67,32 -0,000365 63,12 0,000061 67,57 0,00012 63,12 0,001081 67,57 0,000707 63,66 -0,000956 67,82 -0,000052 63,66 -0,000356 67,82 -0,000297 64,08 -0,000501 68,02 -0,000092 64,08 0,000103 68,03
Fonte: Grupo de pesquisa em energia solar
92
(Tfe-Tamb)/G(ºC/W/m²) (X)
Eficiência (%) (Y)
0,040,030,020,010,00
70
65
60
55
50
45
40
Gráfico 15: Diagrama 1 - Segunda Sequência de Ativ idades
Fonte: Tabela 12
Tabela 13: Coletor solar 2
(Tfe-Tamb)/G Eficiência (Tfe-Tamb)/G Eficiência (ºC/W/m2) (%) (ºC/W/m2) (%)
0,000168 18,42 0,00048 54,76 0,000879 26,28 0,000361 54,98 -0,000334 30,91 0,000214 55,19 -0,001473 34,69 0,000335 55,38 -0,001 37,39 0,002426 55,6 0,027093 39,58 0,003692 55,78 0,045684 41,04 0,000115 55,99 -0,000347 42,27 0,00623 56,2 0,023285 43,18 -0,00136 56,41 0,00047 44,05 -0,00033 56,62 0,017484 44,9 -0,00013 56,8 0,022991 45,63 -0,00022 57,05 -0,001094 46,22 -0,00061 57,26 0,01948 46,79 -0,00152 57,49 0,017529 47,38 -0,00123 57,71 0,001057 48 -0,00208 57,92 0,019767 48,67 0,000194 58,15 -0,004138 49,37 -0,0022 58,41 0,010447 49,93 0,000027 58,68 0,01 50,58 -0,00024 58,88 0,010918 51,15 -0,00106 59,17 0,018762 51,61 -0,00021 59,5 0,000315 52,09 0,00075 59,83 0,014495 52,54 0,002493 60,25 -0,000249 53,05 0,02284 60,75 0,003671 53,49 -0,00259 61,31 0,001069 53,84 -0,00176 61,89 0,000202 54,09 -0,00387 63,11 0,000752 54,32 -0,00355 65,04 0,005348 54,56 -0,0012 66,81
Fonte: Grupo de pesquisa em energia solar
93
(Tfe-Tamb)/G(ºC/W/m²) (x)
Eficiência (%) (Y)
0,050,040,030,020,010,00
70
60
50
40
30
20
Gráfico 16: Diagrama 2 – Segunda Sequência de Ativi dades
Fonte: Tabela 13
Tabela 14: Coletor solar 3 (Tfe-Tamb)/G Eficiência (Tfe-Tamb)/G Eficiência (ºC/W/m2) (%) (ºC/W/m2) (%)
0,005979 13,84 0,009208 58,93 0,010541 13,92 0,037157 58,93 0,045003 25,44 0,000977 59,62 0,044706 25,62 0,007791 59,62 0,010871 31,57 -0,00171 60,15 0,054318 31,6 0,000843 60,15 0,003456 37,24 0,000015 60,54 0,022438 37,35 0,014826 60,54 0,052909 41,76 0,001259 61,09 0,058798 41,76 0,001607 61,1 0,005657 44,58 0,007728 61,6 0,05537 44,62 0,001115 61,6 0,001972 47,43 0,001523 62,06 0,047406 47,46 0,010089 62,07 0,000389 50,16 -0,00178 62,38 0,036059 50,17 0,007626 62,4 0,000969 52,14 -0,00028 62,83 0,038529 52,14 0,017262 62,84 0,005982 53,42 0,008992 63,13 0,00536 53,43 0,001797 63,15 0,026445 54,57 0,001257 63,56 0,023699 54,59 0,003548 63,59 0,021565 55,55 0,00145 63,96 0,01176 55,6 0,002111 63,98 0,000842 56,49 0,00364 64,4 0,067976 56,5 0,001461 64,43 0,014577 57,39 -0,00217 64,86 0,00126 57,4 0,02313 64,92 0,021093 58,28 0,004789 65,62 0,006712 58,29 -0,00086 65,66
Fonte: Grupo de pesquisa em energia sol ar
94
(Tfe-Tamb)/G(ºC/W/m²) (x)
Eficiência (%) (Y)
0,070,060,050,040,030,020,010,00
70
60
50
40
30
20
10
Gráfico 17: Diagrama 3 – Segunda Sequência de Ativi dades
Fonte: Tabela 14
Questões propostas Discuta com seus colegas e resolva as questões propostas, registrando as
observações.
1) Observe o Diagrama 1 e descreva qual o tipo de relação, (direta ou inversa)
existente entre as duas variáveis? Justifique.
2) Com base no Diagrama 2, procure descrever como os pares ordenados se
distribuem.
3) Observe o Diagrama 1, você acha possível dizer, de acordo com os seus
conhecimentos prévios, qual variável pode ser considerada dependente e qual
variável pode ser considerada independente. Justifique.
4) Observe o Diagrama 3, quantos são os valores correspondentes à eficiência que
estão no intervalo de variação de X de 0,05 a 0,06? Qual o maior valor de
eficiência térmica nesse intervalo?
5) Usando o Diagrama 1, marque onde você acredita estar localizado o valor
mediano e o valor médio em Eficiência (%) e explique o que cada um representa
na Estatística.
6) Observe os três diagramas, você considera possível estabelecer um modelo
matemático que descreva como variam Eficiência e (Tfe-Tamb)/G ?
7) Em qual diagrama, você percebe melhor um possível ajuste de um modelo
matemático. Justifique.
Observe o Diagrama 1 e faça uma estimativa para o valor da eficiência térmica,
95
quando o valor da abscissa for igual a 0,02?
Na elaboração dessa segunda atividade, pretendeu-se, da mesma forma
quando da montagem da primeira atividade, que os alunos desenvolvessem a
habilidade de leitura e interpretação de dados. As atividades, no seu conjunto,
objetivaram que os alunos tivessem que ler os dados, ler dentro dos dados e ler
através dos dados, categorias apontadas por Curcio (1987). Essas categorias foram
utilizadas para a elaboração das tarefas e para posterior análise dos resultados.
6.2 Desenvolvimento da seqüência de atividades e an álise dos resultados
A seqüência de atividades foi conduzida em duas etapas. Na primeira
etapa, durante duas aulas de 100 minutos, os alunos discutiram as questões
propostas, registrando por escrito suas idéias intuitivas. Participaram do processo 19
duplas, nomeadas como D1, D2, até D19 e outros 04 alunos, que optaram por
participar individualmente da atividade, referenciados como I 20, I 21, I 22 e I 23.
Para facilitar o debate que ocorreria no segundo momento, todas as duplas e alunos
mantiveram uma cópia do registro com a síntese dos resultados obtidos. Durante
essa fase, os alunos ainda não tinham tido qualquer apresentação dos conteúdos
estatísticos de correlação e regressão, nem de diagramas de dispersão. O objetivo
da atividade, desenhada na forma de atividade investigativa foi proporcionar aos
alunos que explorassem os dados, levantando conjecturas, argumentando acerca
das idéias intuitivas sugeridas pelos gráficos de distribuição dos pares ordenados,
ou sobre os dados dispostos nas tabelas.
A segunda etapa, correspondente à socialização dos resultados, foi
realizada em dois momentos. No primeiro momento, foram discutidas as oito
questões e logo em seguida a professora-pesquisadora apresentou o conteúdo
formal do tema correlação e regressão. No segundo momento, deu-se continuidade
às discussões e foi feita a apresentação formal do conteúdo. Os dois momentos
foram gravados em áudio. Todas as questões foram analisadas e comentadas pela
professora-pesquisadora, levando-se em consideração as respostas escritas e as
gravações em áudio.
96
Na primeira questão, foi solicitado aos alunos que observassem o
Diagrama1 na tentativa de verificar se havia algum tipo de relação (direta ou inversa)
entre as duas variáveis: a primeira expressa pela razão (Tfe-Tamb)/G e a segunda
correspondendo à Eficiência do coletor. Dezesseis duplas, assim como os 04 alunos
que trabalharam individualmente responderam de forma bem objetiva, afirmando
que à medida que a variável (Tfe -Tamb)/G (X) aumenta, a Eficiência (Y) diminui.
Isso informa uma relação inversa entre as duas variáveis. As duplas D 7, D 11 e D
19 ao explorarem o Diagrama 1 registraram que:
”Inversa. Observando o digrama 1 é possível notar que quanto maior (Tfe -Tamb)/G(ºC/W/m2) (X), menor é a Eficiência (%) (Y) do processo, pois aquecerá uma água que já foi anteriormente aquecida”. (D7). “Altos valores de eficiência estão localizados em regiões de baixos valores da outra variável, logo: nota-se que a relação entre as variáveis é inversamente proporcional”. (D 11) “Inversa. Quanto maior a temperatura da água menor a eficiência do processo já que estava aquecendo uma água aquecida anteriormente”. (D 19)
A questão 1 pode ser analisada de acordo com a categoria de Curcio ler
dentro dos dados. Percebeu-se que os alunos fizeram a leitura dos dados
localizando os pares ordenados do diagrama e efetuando também uma comparação
entre as quantidades envolvidas, de tal maneira que a leitura levou-os a identificar a
existência de uma relação de dependência entre as variáveis; foram capazes de
perceber que as grandezas envolvidas eram inversamente proporcionais.
Na questão 2, os alunos deviam observar o Diagrama 2, e descrever como
os pares ordenados se distribuíam. A questão envolvia tanto a leitura dos dados
quanto a leitura dentro dos dados, pois o aluno era instigado a identificar valores no
diagrama, a analisar, interpretar e fazer comparações de valores.
As respostas, de modo geral, foram semelhantes. Esse foi o caso das duplas
D 1, D 2, D 3, D 5, D 6, D 7, D 9, D 10, D 12, D 13, D 14, D 16, D 17, D 18, D 19 e
dos trabalhos individuais I 20, I 22 e I 23. A idéia geral apontada foi que, quando
(Tfe-Tamb)/G) (X) está próxima de zero, ocorre uma maior concentração de pontos
no eixo da Eficiência (Y) em torno de 40% a 60%. Os pontos restantes concentram-
se entre X=0,01 e X=0,03, sendo que apenas um ponto está próximo de X=0,05,
correspondendo a uma eficiência de aproximadamente 40%. Para as demais duplas
97
D 4, D 8, D11 e D15, assim como para o aluno I 21, os pontos do Diagrama 2 se
distribuíam de forma desordenada.
A questão 3 procurou saber se a partir da representação dos pares ordenados
expressa no Diagrama 1, o aluno seria capaz de identificar qual variável poderia ser
considerada como independente. O objetivo era que os alunos interpretassem os
dados do diagrama, relacionando a questão levantada com os estudos de Geometria
Analítica, em particular a representação gráfica de funções, onde o eixo dos X
corresponde à variável independente. Todas as duplas identificaram que a variável
eficiência era a variável dependente, mas não foram capazes de justificar, limitando-
se a afirmar que a eficiência térmica dependia de (Tfe-Tamb)/G). Houve uma dupla
(D 5) que afirmou que a eficiência dependia de ∆T/G, demonstrando, pelo menos,
ter entendido o que representava o numerador na fórmula (Tfe-Tamb)/G). Na
tentativa de elaborar justificativas, algumas duplas fizeram afirmativas inadequadas,
sem qualquer sustentação teórica como, por exemplo: “A variável temperatura é
independente, pois não é influenciada por outra variável” (D 10). Na mesma linha,
situa-se a colocação de outra das duplas: “A Eficiência é uma constante
dependente, pois ela depende de fatores...” (D 7). Os alunos parecem não se
apossar da linguagem matemática, não atribuindo significado aos termos: o que
levaria os alunos a fazerem a leitura dos dados e afirmarem ser a eficiência uma
constante?
Apenas a dupla D1 justificou a afirmativa com base em uma forma padrão,
estudada anteriormente: “A eficiência é a variável dependente [...], pois a eficiência
está no eixo das ordenadas e de acordo com os conhecimentos prévios a ordenada
representa a variável dependente.”
Na questão 4, foi pedido aos alunos que a partir do Diagrama 3,
respondessem quantos pontos correspondentes à Eficiência (%) (Y) estariam
localizados no intervalo [0,05, 0,06] da variável X. A questão solicitava ainda a
identificação do maior valor de eficiência térmica nesse mesmo intervalo.
Todos os participantes identificaram os 4 pontos no intervalo de variação de X
de 0,05 a 0,06. Entretanto, ao indicarem a maior ordenada, correspondente à
eficiência térmica, os alunos I 21, I 22 e I 23, assim como as duplas D 2, D 9, D 11,
D 12, D13, D 14, D 16, e D 18, informaram como maior valor para a ordenada Y, um
valor superior a 50%. Esse fato pode evidenciar uma falta de entendimento do
enunciado, uma leitura pouco cuidadosa da questão, ou ainda a pressa em
98
responder, sem utilizar, por exemplo, uma régua para facilitar a leitura, ou mesmo
recorrer à Tabela 14. É curioso o fato que nenhum aluno recorreu à Tabela 14, que
poderia tornar mais precisa a resposta, localizando a ordenada máxima local como
sendo y = 44,62 correspondendo a x = 0,0537. A reflexão sugere uma modificação
da questão e de outras, no sentido de que os alunos utilizem e sejam incentivados a
utilizar não apenas os diagramas de dispersão, mas também as tabelas. O fato é
relevante, considerando-se que a questão 4 era um convite a que o aluno fizesse a
leitura literal dos dados, habilidade elementar, mas essencial para leituras mais
elaboradas tanto dentro quanto além dos dados.
A questão 5, convidava o aluno a identificar no diagrama os possíveis valores
correspondentes ao valor mediano e ao valor médio da distribuição, e a explicar o
que cada um representa na Estatística, objetivando-se, assim, a retomada de
conceitos anteriormente estudados. De modo geral, os participantes definiram a
mediana e a média e atribuíram valores aproximados às duas medidas, usando
apenas a representação gráfica da distribuição de pontos, ou seja, o Diagrama 1.
Novamente não fizeram qualquer tentativa de obtenção do valor das medidas a
partir das informações da Tabela 12. A leitura dentro dos dados foi por vezes
comprometida por falta de conhecimentos prévios. É o caso das duplas D 11, D 14 e
D 18 que conceituaram inadequadamente as duas medidas, chamando de mediana
o que representa a média e vice-versa.
Na questão 6, foi pedido aos alunos que observassem os três diagramas, na
tentativa de analisar a possibilidade de estabelecer um modelo matemático que
descrevesse como as grandezas Eficiência (%) (Y) e(Tfe -Tamb)/G (X) variavam. A
questão 7 indagava em qual dos diagramas era possível verificar melhor um
possível ajuste de um modelo matemático que descrevesse os dados. As duas
questões objetivavam incentivar o aluno a ler dentro dos dados, interpretando
informações gráficas e comparando os diagramas. Entre os participantes, 11 duplas
e um aluno (I 22) consideraram não ser possível estabelecer um modelo matemático
para a descrição dos dados, alegando alguns poucos que os dados eram muito
dispersos. As duplas D 1, D 4, e D 12 justificaram ser possível um ajuste a partir do
uso de técnicas estatísticas de regressão polinomial. Em particular, a dupla D1
concluiu que: a partir do diagrama 1 pode-se obter a equação de uma reta
decrescente; no diagrama 2, a equação de uma parábola e, no diagrama 3, os
alunos não mencionaram o modelo matemático, possível somente com o uso de
99
recursos computacionais. Quanto à questão 7, todos os alunos afirmaram ser
possível ajustar um modelo matemático, afirmando uma menor dispersão dos dados.
Grande parte dos participantes percebeu uma linearidade dos pontos da distribuição
amostral. Entretanto, nas respostas a essa questão, assim como em outras
respostas pode-se verificar uma imprecisão e falta de rigor de linguagem. Apenas a
dupla D1 apresentou uma resposta mais elaborada: “O primeiro diagrama, porque
ele obedece praticamente uma função linear decrescente, sendo mais fácil de se
aproximar por uma reta”. Mesmo assim evidenciam-se imprecisões no registro
escrito. De modo geral, as respostas apontam o pouco costume dos alunos de
escrever suas idéias sobre um assunto, alertando para a necessidade de uma
atenção do professor para o fato, propondo sempre que possível que os alunos
exercitem o poder de argumentação escrito.
A questão 8 solicitava a observação do Diagrama 1 e a estimativa de um valor
da eficiência térmica, quando o valor da abscissa fosse igual a 0,02. As respostas
das duplas e dos trabalhos individuais possibilitaram verificar que os alunos fizeram
uma estimativa para o valor da eficiência térmica no intervalo de 50% a 58%, para o
valor da abscissa igual a 0,02. A dupla D5 foi a única a responder que para o valor
de x em questão não existia eficiência térmica e não justificou a resposta.
Lendo e relendo os registros dos alunos e ouvindo as gravações, a
professora-pesquisadora percebeu que os grupos se limitaram a repetir o que
haviam registrado por escrito, quando foi realizada a socialização das respostas.
Esse fato era de se esperar, de acordo com os resultados da primeira seqüência
(Capítulo 5), uma vez que o trabalho foi desenvolvido em outro semestre, com uma
turma de alunos que apresentavam características similares aos alunos que
participaram da primeira seqüência. Em particular, era para aqueles alunos uma
novidade, uma aula em que primeiro registravam por escrito suas idéias e depois
expunham para os colegas. Mais uma vez, os alunos manifestavam receios de errar,
preferindo recorrer às anotações previamente feitas e apenas repeti-las.
O papel da professora-pesquisadora foi novamente imprescindível, no sentido
de que as falhas evidenciadas nos registros escritos pudessem ser corrigidas, assim
como as lacunas, por falta de conhecimentos prévios. Esse foi, por exemplo, o caso
da discussão acerca da média e da mediana.
Os alunos durante a segunda atividade não mencionaram em nenhum
momento a existência ou não de valores discrepantes presentes nos três diagramas.
100
O que eles questionaram com muita freqüência foi o fato de haver nos diagramas
uma enorme concentração de valores próximos da origem (0,0). Esta concentração
se deve ao fato de que é nesse momento que ocorrem mais ensaios e também ao
fato da temperatura de entrada da água (Tfe) no coletor ser aproximadamente igual
à temperatura ambiente (Tamb). Durante o processo de socialização, alguns alunos,
observando os três diagramas, mencionaram que o Diagrama 1 a partir de X= 0,01
mostrava uma tendência linear, considerando-se a disposição dos valores, o que
não acontecia nos Diagramas 2 e 3.
Percebeu-se durante as duas atividades desenvolvidas pela professora-
pesquisadora que os alunos falavam mais a respeito do coletor solar do que no
conteúdo estatístico, já visto por eles em unidades anteriores, que estava sendo
abordado na atividade proposta pela professora-pesquisadora. O objetivo era, a
partir da exploração intuitiva dos dados através dos gráficos, caminhar no sentido da
formalização dos conteúdos de Correlação Linear e Regressão Linear. Muitos
alunos se mostravam bem familiarizados com o coletor solar residencial, fato que
não ocorreu na outra turma quando se aplicou a primeira atividade, a respeito do
“processo de queima de massa de cerâmica para pavimento”. Provavelmente, os
dados envolvidos na primeira seqüência de atividades não tinham muito a ver com
situações do cotidiano do aluno. A apresentação formal dos conteúdos foi feita pela
professora-pesquisadora, dentro dos mesmos moldes adotados quando do
desenvolvimento da primeira seqüência de atividades: apresentou-se a teoria,
deduzindo as fórmulas e foram feitos os cálculos dos coeficientes de correlação
(relativos aos dados de cada coletor), bem como estabelecidas as retas de
regressão para cada conjunto de dados.
Durante a aplicação da segunda seqüência de atividades, assim como da
primeira, observou-se que a exploração dos conteúdos estatísticos de correlação e
regressão, primeiramente a partir de uma abordagem intuitiva, para posterior
formalização das idéias pode facilitar o entendimento, além de motivar a
aprendizagem. O trabalho, na forma conduzida, possibilitou ainda que os alunos
fizessem conexões entre conteúdos de matemática e de estatística, começando a
perceber melhor a importância de interligar disciplinas e conceitos anteriormente
estudados.
101
7 CONCLUSÃO
A pesquisa aqui relatada, de caráter qualitativo, foi desenvolvida junto a
alunos, do quarto período, de um curso noturno de engenharia, de uma instituição
particular de ensino de Minas Gerais. Ela teve como objetivo investigar
possibilidades de uma abordagem metodológica para o ensino-aprendizagem de
correlação e regressão em turmas de graduação de um curso de engenharia,
construída a partir de um enfoque inicial mais intuitivo do assunto.
Duas seqüências de atividades foram aplicadas em turmas distintas, mas com
características similares tendo como objetivos: 1) propiciar uma atividade
investigativa, explorando os níveis de leitura e interpretação de dados, a partir das
categorias de Curcio (1987); 2) explorar as idéias de correlação linear e regressão
linear a partir de uma abordagem intuitiva; 3) motivar a apresentação formal dos
conceitos de correlação e regressão.
Também foram analisados quatro livros que discorrem sobre o tema
Correlação e Regressão, sendo dois deles específicos da área de engenharia,
objetivando-se verificar em que medida a forma de apresentação do assunto
favorece o desenvolvimento das habilidades de leitura e interpretação de dados,
adotando-se para tal análise os níveis de Curcio (1987): 1) ler os dados; 2) ler dentro
dos dados; 3) ler além dos dados.
A forma com que foram desenhadas as seqüências de atividades pretendeu
introduzir uma abordagem investigativa no ensino de correlação e regressão,
levando o aluno a refletir sobre questões novas, levantar conjecturas, verificar a
validade das mesmas, argumentando sobre resultados, socializar idéias estatísticas
(PONTE, 2003).
O processo ensino-aprendizagem continua, por vezes, a ser visto de uma
maneira fragmentada. Percebe-se claramente a resistência de grande parte dos
educadores e mesmo dos alunos em relação a mudanças na forma de ensinar e
aprender.
Na perspectiva construtivista que norteou a presente pesquisa, torna-se
necessária uma renovação do ensino-aprendizagem. As práticas pedagógicas que
respeitam a concepção de aprendizagem fundamentada nessa visão fundamentam-
102
se no fato que o conhecimento é fruto do coletivo e nasce da prática e a ela retorna
(GIUSTA, 1985).
Essa concepção de aprendizagem começará a ser realidade na sala de aula
na medida em que se fornecerem aos professores elementos essenciais para a
mudança. E isso se torna possível na medida em que os próprios professores
experimentem como estudantes, essas novas abordagens de ensino e que as
experiências sejam suficientemente fortes, para desafiarem muitos anos de um
ensino tradicional (FOSNOT, 1998). Uma nova prática de ensino-aprendizagem,
numa abordagem construtivista exige uma mudança qualitativa no ensino e uma
mudança de postura por parte do professor que passa a atuar como um mediador.
Durante a aplicação das duas seqüências de atividades e no processo de
socialização, foi detectado pela professora-pesquisadora que o aluno não tem o
hábito de explorar gráficos e quando o faz, a sua preocupação reside em saber se a
sua exploração está correta ou não. Esse fato chama a atenção para que ao
desenhar atividades a serem desenvolvidas em sala de aula sobre o tema
correlação e regressão, seja dada uma ênfase às representações gráficas, com o
intuito de que o aluno faça a leitura dos pares ordenados, explore as possíveis
tendências, a partir da disposição desses pares ordenados, consiga perceber o
motivo do coeficiente linear de Pearson ser ora positivo, ora negativo e que ele
intuitivamente seja capaz de perceber a partir dos pares ordenados no diagrama de
dispersão uma linha imaginária ajustada a esses ou passando bem próximo deles.
Todas essas percepções prévias são importantes para o aluno antes do
conhecimento formal do conteúdo não só de correlação e regressão, mas de outros
tópicos tanto da Estatística, como de outras disciplinas.
Durante todo o processo, a professora-pesquisadora surpreendeu-se como
essa forma de abordagem metodológica do assunto, primeiramente explorando as
idéias intuitivas do aluno, para posterior formalização. Outro fator enriquecedor para
a professora-pesquisadora foi ter trabalhado num primeiro momento com dados
provenientes de um livro didático, mas num segundo momento poder utilizar dados
reais, mais ligados ao contexto do curso e do aluno. Foi possível perceber que os
alunos ficam mais interessados e comprometidos, o que reafirma propostas
metodológicas na forma de projetos estatísticos, em que o aluno realiza desde a
seleção dos dados, e por vezes a coleta, desenvolvendo a partir daquele conjunto
de dados, uma série de estudos estatísticos, envolvendo desde o tratamento
103
descritivo, até o tratamento inferencial dos dados. As reflexões oriundas de trabalho
desenvolvido alertam para a importância de não inibir a capacidade do aluno de
intuir a respeito de uma situação, introduzindo antecipadamente um tratamento
formal da teoria. É possível melhorar o nosso trabalho em sala de aula com
qualidade e responsabilidade, trabalhando na medida do possível, a partir de uma
abordagem intuitiva, sem nos descuidarmos da sistematização formal, necessária
para que o aluno incorpore as idéias estatísticas, sua linguagem própria e rigor.
Algumas limitações da pesquisa devem ser apontadas. A pesquisa abordou
apenas de modo introdutório o tema correlação e regressão, não discutindo uma
série de assuntos correlatos como, por exemplo, intervalo de confiança e teste de
hipóteses, tendo em vista a carga horária da disciplina, insuficiente para isso. Da
mesma forma, a insuficiência de carga horária dificultou que o processo de aplicação
ocorresse com tempo suficiente para perceber melhor as idéias intuitivas dos alunos
e dialogar a respeito, tendo em conta também a resistência do aluno durante a
abordagem investigativa, uma vez que ele está acostumado a receber com
freqüência o conteúdo de maneira pronta e formalizada.
Quebrar os paradigmas que levam à preocupação do aluno em estar
respondendo certo e, na maior parte das vezes, ficar ansioso ao lidar com a
exploração dos dados, em especial com diagramas de dispersão, foi um desafio;
durante o processo investigativo poucos alunos conseguem perceber a riqueza da
atividade exploratória, mas após a formalização do conteúdo, a maior parte deles
muda a forma de avaliação a respeito da atividade investigativa, e confessa que a
experiência enriquece muito o processo de aquisição do conhecimento, isto é, a
transposição do intuitivo para o formal.
Espera-se que o trabalho desenvolvido se some a outros ampliando
estratégias didáticas para o ensino de correlação e regressão em cursos
introdutórios de estatística, em especial em cursos de engenharia. A proposta final
apresentada no Apêndice B amplia as seqüências de atividades testadas em sala,
oferecendo novas possibilidades de abordagem introdutória do tema correlação e
regressão.
A partir da pesquisa desenvolvida e aqui apresentada, outros trabalhos podem ser
feitos, ampliando os estudos, por exemplo, através da exploração na forma de
atividades investigativas de outros tipos de correlação e também a exploração de
testes de hipótese e intervalos de confiança para regressão.
104
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109
APÊNDICES
110
APÊNDICE A – Quadro de classificação dos exercícios
No Quadro 1 é apresentada uma classificação dos exercícios resolvidos e
propostos pelos autores.
Páginas; Seção Numero dos exercícios.
Ler os dados Ler dentro dos dados
Ler além dos dados
208; Seção 10.2 10.1 Não Sim Sim 209; Seção 10.2 10.2 Não Sim Sim 209; Seção 10.2 10.3 Não Sim Sim 209; Seção 10.2 10.4 Não Sim Sim 209; Seção 10.2 10.5 Não Sim Sim 209; Seção 10.2 10.6 Não Sim Sim 210; Seção 10.2 10.7 Não Sim Sim 210; Seção 10.2 10.8 Sim Sim Sim 210; Seção 10.2 10.9 Não Sim Sim 210; Seção 10.2 10.10 Não Sim Sim 211; Seção 10.2 10.11 Não Sim Sim 211; Seção 10.2 10.12 Não Sim Sim 211; Seção 10.2 10.13 Não Não Sim 211; Seção 10.2 10.14 Sim Sim Sim 211; Seção 10.2 10.15 Não Sim Sim 211; Seção 10.2 10.16 Não Sim Sim 211; Seção 10.2 10.17 Sim Não Sim 215; Seção 10.5 10.18 Não Sim Sim 215; Seção 10.5 10.19 Não Sim Sim 215; Seção 10.5 10.20 Não Sim Sim 215; Seção 10.5 10.21 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.22 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.23 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.24 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.26 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.27 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.28 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.29 Não Sim Sim 216; Seção 10.5 10.30 Sim Sim Sim 219; Seções 10.6 e 10.7 10.31 Não Sim Sim 219; Seções 10.6; e 10.7 10.32 Não Sim Sim 219; Seções 10.6 e10.7 10.33 Não Sim Sim 219; Seções 10.6 e 10.7 10.34 Não Sim Sim 219; Seções 10.6 e 10.7 10.35 Não Sim Sim 219; Seções 10.6 e 10.7 10.36 Não Sim Sim 219; Seções 10.6 e 10.7 10.37 Não Sim Sim 219; Seções 10.6 e 10.7 10.38 Não Sim Sim 219;Seções 10.6 e 10.7 10.39 Não Sim Sim 219;Seções 10.6 e 10.7 10.40 Não Sim Sim 219;Seções 10.6 e 10.7 10.41 Não Sim Sim 223; Seção 10.8 10.42 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.43 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.44 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.45 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.46 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.47 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.48 Sim Sim Sim
111
(continuação) 223; Seção 10.8 10.49 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.50 Sim Sim Sim 223; Seção 10.8 10.51 Não Sim Sim 223; Seção 10.8 10.52 Não Sim Sim 224; Seção 10.8 10.53 Não Sim Sim 224; Seção 10.8 10.54 Não Sim Sim 226; Seção10.10 10.55 Não Sim Sim 226; Seção10.10 10.56 Não Sim Sim 226; Seção 10.10 10.57 Não Sim Sim 227; Seção10.10 10.58 Não Sim Sim 227; Seção10.10 10.59 Não Sim Sim 227; Seção10.10 10.60 Não Sim Sim 227; Seção10.10 10.61 Não Sim Sim 227; Seção10.10 10.62 Não Sim Sim 227; E.S. 10.63 Não Sim Não 227; E.S. 10.64 Não Sim Sim 227; E.S. 10.65 Não Sim Sim 227; E.S. 10.66 Não Sim Sim 228; E.S. 10.67 Não Sim Sim 228; E.S. 10.68 Não Sim Não 229; E.S. 10.69 Não Sim Sim 229 ;E.S. 10.70 Não Sim Sim 229;E.M. 10.71 Não Sim Sim 229; E.M. 10.72 Não Sim Sim 229; E.M. 10.73 Não Sim Sim 229; E.M. 10.74 Não Não Sim 229; E.M. 10.75 Não Sim Sim 229; E.M. 10.76 Não Sim Sim 229; E.M. 10.77 Não Sim Sim
Quadro 1: Classificação à luz de Curcio (1987) dos exercícios propostos. Fonte: Livro 1 No Quadro 2 é apresentada uma classificação dos exercícios resolvidos e propostos pelos autores:
Páginas; Numero do
exercício.
Ler os dados Ler dentro dos
dados
Ler além dos
dados
323 1 Não Sim Sim 323 2 Não Não Não 323 3 Sim Sim Sim 324 4 Não Sim Sim 344 5 Não Sim Sim 344 6 Não Sim Sim 344 7 Não Sim Sim 345 8 Não Sim Sim 345 9 Não Sim Sim 346 10 Não Sim Não
Quadro 2: Classificação à luz de Curcio (1987) dos exercícios propostos. Fonte: Livro 2
112
No Quadro 3 é apresentada uma classificação dos exercícios resolvidos e propostos pelos autores:
Páginas; Seção Numero do
exercício.
Ler os dados Ler dentro dos
dados
Ler além dos
dados
154; 5.3 3 Não Sim Não 155; 5.3 5 Não Sim Não 155; 5.3 6 Não Sim Não 155; 5.3 7 Não Sim Não 156 ;5.3 8 Não Sim Não 157; 5.3 11 Não Sim Não 163; 5.3 36 Não Sim Não 340; 9.5 1 Não Sim Não 340; 9.5 2 Não Sim Não 341; 9.5 3 Sim Sim Sim 349; 9.6 22 Não Sim Não 349; 9.6 23 Não Sim Não 350; 9.6 24 Não Sim Sim 350; 9.6 25 Não Sim Sim 350; 9.6 26 Não Sim Não 351; 9.6 27 Não Sim Não 351; 7.6 28 Não Sim Sim 352; 7.6 30 Não Sim Não
Quadro 3: Classificação à luz de Curcio (1987) dos exercícios propostos. Fonte: Livro 3 No Quadro 4 é apresentada uma classificação dos exercícios resolvidos e propostos pelos autores: T – Exercícios de teste E – Exercícios propostos
Páginas; Seção Numero do
exercício.
Ler os
dados
Ler dentro
dos dados
Ler além dos
dados
66; 3.1.1 T 1 Não Não Não 66; 3.1.3 T 2 Não Não Não 66; 3.1.1 T 3 Não Não Não 66; 3.1.1 T 4 Não Não Não 66; 3.1.1 E 1a até 1i Não Não Não 70; 3.1.2 T 1 Não Não Não 70; 3.1.2 T 2 Não Não Não 70; 3.1.2 T 3 Não Não Não 70; 3.1.2 T 4 Não Não Não 70; 3.1.2 T 5 Não Não Não 70; 3.1.2 T 6 Não Não Não 70; 3.1.2 T 7 Não Não Não 70; 3.1.2 T 8 Não Não Não 70; 3.1.2 T 9 Não Não Não 70; 3.1.2 E 1 Não Sim Não 70; 3.1.2 E 2 Não Sim Não 70; 3.1.2 E 3 Não Sim Não 70; 3.1.2 E 4 Não Sim Não 72; 3.1.3 T 1 Não Não Não 72; 3.1.3 T 2 Não Não Não 72; 3.1.3 T 3 Não Não Não
113
(continuação) 72; 3.1.3 E 1 Não Não Sim 72; 3.1.3 E 2 Não Não Sim 72; 3.1.3 E 3 Não Não Sim 77; 3.2 T 1 Não Não Não 77; 3.2 T 2 Não Não Não 77; 3.2 T 3 Não Não Não 77; 3.2 T 4 Não Não Não 77; 3.2 E 1 Não Sim Não 77; 3.2 E 2 Não Sim Não 79; 3.3 T 1 Não Não Não 79; 3.3 T 2 Não Não Não 79; 3.3 E 1 Não Não Não 79; 3.3 E 2 Não Sim Não
82; Exercícios para revisão 1 Não Sim Sim 82; Exercícios para revisão 2 Não Sim Sim 82; Exercícios para revisão 3 Não Sim Sim 82; Exercícios para revisão 4 Sim Sim Sim 82; Exercícios para revisão 5 Não Sim Sim 82; Exercícios para revisão 6 Não Sim Não 82; Exercícios para revisão 7 Sim Sim Não 82; Exercícios para revisão 8 Não Sim Não 82; Exercícios para revisão 9 Não Sim Não 82; Exercícios para revisão 10 Não Sim Não 308; 12.1.3 E a; b Sim Sim Sim
308; 12.1 T 1 Não Não Não 308; 12.1 T 2 Não Não Não 308; 12.1 T 3 Não Não Não 308; 12.1 T 4 Não Não Não 308; 12.1 T 5 Não Não Não 308; 12.1 T 6 Não Não Não 308; 12.1 T 7 Não Não Não 308; 12.1 T 8 Não Não Não 312; 12.2 T 1 Não Não Não 312; 12.2 T 2 Não Sim Não 312; 12.2 T 3 Não Sim Sim 312; 12.2 T 4 Não Sim Não 312; 12.2 T 5 Não Sim Não
312; 12.2 A Não Sim Sim 312; 12.2 B Não Sim Sim
312; 12.2 T C Não Sim Não 315; 12.3 T 1 Não Não Não 315; 12.3 T 2 Não Sim Não 315; 12.3 T 3 Não Não Não 315; 12.3 T 4 Não Não Sim 315; 12.3 E A Não Sim Não 315; 12.3 E B Não Sim Não 315; 12.3 E C Não Sim Não 315; 12.3 E D Não Sim Não
318; 12.4.1T 1 Não Não Não 318; 12.4.1T 2 Não Não Não 318; 12.4.1T 3 Não Não Não 318; 12.4.1T 4 Não Não Não 318; 12.4.1T 5 Não Não Não 323; 12.4.2 T 1 Não Não Não 318; 12.4.1T 2 Não Não Não 318; 12.4.1T 3 Não Não Não 318; 12.4.1T 4 Não Não Não
114
(continuação)
323; 12.4.2 T 5 Não Não Não
323; 12.4.2 E 1 Não Sim Sim 323; 12.4.2 E 2 Não Sim Não 324; 12.4.3 T 1 Não Não Não 324; 12.4.3 T 2 Não Não Não 324; 12.4.3 T 3 Não Não Não 324; 12.4.3 T 4 Não Não Não 325; 12.4.3 E Não Sim Sim 327; 12.4.4 T 1 Não Não Não 327; 12.4.4 T 2 Não Não Não 327; 12.4.4 T 3 Não Não Não 327; 12.4.4 T 4 Não Não Não 327; 12.4.4 T 5 Não Não Não 327; 12.4.4 E 1 Não Sim Sim 327; 12.4.4 E 2 Não Sim Sim 327; 12.4.4 E 3 Não Sim Sim 327; 12.4.4 E 4 Não Sim Sim 327; 12.4.4 E 5 Não Sim Sim
331; 12.5 T 1 Não Não Não 331; 12.5 T 2 Não Não Não 331; 12.5 T 3 Não Não Não 331; 12.5 T 4 Não Não Não 331; 12.5 E A Não Sim Não 331; 12.5 E B Sim Sim Não 331; 12.5 E C Não Sim Não 331; 12.5 E D Não Sim Não 331; 12.5 E E Não Sim Não
332; Exercício Revisão 1 Não Sim Sim 333; Exercício Revisão 2 Não Sim Sim 333; Exercício Revisão 3 Não Sim Sim 333; Exercício Revisão 4 Não Sim Sim 334; Exercício Revisão 5 Não Sim Sim 334; Exercício Revisão 6 Não Sim Sim 335; Exercício Revisão 7 Sim Sim Sim 336; Exercício Revisão 8 Não Sim Sim 337; Exercício Revisão 9 Sim Sim Sim 338; Exercício Revisão 10 Não Sim Sim
Quadro 4: Classificação à luz de Curcio (1987) dos exercícios e testes propostos. Fonte: Livro 4
115
APÊNDICE B
UMA PROPOSTA DIDÁTICO-METODOLÓGICA PARA O ENSINO-
APRENDIZAGEM DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO EM CURSOS DE
ENGENHARIA COM FOCO NA LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE D ADOS .
116
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 117
BASES TEÓRICAS 120
SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES 126
ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS 141
REFERÊNCIAS 151
117
1 INTRODUÇÃO
Apresentamos a seguir uma proposta metodológica de abordagem do tema
correlação e regressão em cursos de engenharia, com um foco na leitura e
interpretação de dados.
A proposta leva em conta as orientações dos Parâmetros Curriculares
Nacionais (Brasil, 1998, 2000), assim como as orientações do National Council of
Teachers of Mathematics (USA, 2000).
Tomando por base, por exemplo, o National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), os princípios e diretrizes para o ensino (Standards for School
Mathematics) apontam quatro grandes competências a serem desenvolvidas desde
a pré-escola até a série final de escolaridade obrigatória:
• “Formular questões que podem estar relacionadas a dados e coletar,
organizar e dispor dados relevantes para respondê-las;
• Selecionar e usar métodos estatísticos apropriados para analisar dados;
• Desenvolver e avaliar inferências e predições baseadas em dados;
• Entender e aplicar conceitos básicos de probabilidade”.(USA, NCTM,
2000, tradução nossa)21
Da mesma forma, no Brasil (1998,2000), os Parâmetros Curriculares
Nacionais advogam uma ênfase no desenvolvimento de uma série de competências
para lidar com as informações. As orientações para o ensino de matemática desde
as séries iniciais destacam a importância da leitura com entendimento de
informações, apresentadas na forma de tabelas e gráficos.
O objetivo da introdução das idéias básicas de estatística, de acordo com os
Parâmetros Curriculares Nacionais de 1a à 4a séries é motivar a criança a
desenvolver o espírito investigativo, a conjecturar e a redigir textos que expressam
as suas interpretações a partir de dados coletados e manipulados por eles. As
orientações relativas aos conteúdos de matemática da 5a à 8a séries apresentam a
mesma ênfase anterior. As idéias exploradas nas séries anteriores, de forma mais
intuitiva, no ensino médio exigem uma maior formalização de acordo com a
21 … formulate questions that can be addressed with data and collect, organize, and display relevant data to answer them; select and use appropriate methods to analyze data; develop and evaluate inferences and predictions that are based on data; understand and apply basic concepts of probability.
118
linguagem estatística. O aluno pode inferir a partir de uma dada situação, sempre
levando em consideração a sustentação teórica de tais conteúdos. As
representações gráficas agora são mais elaboradas e o uso de softwares com
funções estatísticas possibilitam ao aluno o cálculo das medidas estatísticas, como
também a construção de vários tipos de gráficos estatísticos. Neste momento, deve-
se dar maior ênfase à análise e interpretação dos dados, pois os valores obtidos
para as medidas estatísticas, como também os gráficos não dizem nada para o
aluno, se não forem analisados e interpretados. Dessa forma, aos poucos os alunos
desenvolvem competências para descrever e representar dados numéricos e
informações, lendo e interpretando os mesmos através de recursos estatísticos,
comparando resultados, avaliando a variabilidade dos mesmos de forma a poder
emitir juízos acerca de informações de cunho social, político, econômico e científico,
que são disponibilizadas na mídia. (BRASIL, 1998, 2000).
No Ensino Superior, uma introdução à Estatística se faz presente em muitos
cursos superiores, como parte da grade curricular. Consideramos que um enfoque a
partir da leitura e interpretação de dados deva ser mantido, de forma que os alunos
possam incorporar as técnicas estatísticas como instrumentos valiosos na
interpretação de diversos fenômenos, instruindo a tomada de decisões.
As sequências de atividades que integram a proposta aqui apresentada foram
elaboradas de modo a viabilizar o desenvolvimento da habilidade de leitura e
interpretação de dados, e pensadas para serem desenvolvidas de acordo com as
seguintes etapas: 1) proposição de atividades investigativas para a introdução do
tema correlação e regressão linear, buscando incentivar os alunos a explorarem
livremente gráficos e tabelas, registrando por escrito suas idéias intuitivas; 2)
socialização das idéias intuitivas acerca de dados apresentados na forma de
gráficos e tabelas; 3) formalização das idéias sobre associação entre variáveis, feita
na forma de descoberta guiada, objetivando estabelecer formalmente o coeficiente
de correlação (linear) e a equação da reta de regressão; 4) apresentação de tarefas
para fixação do conteúdo e ampliação de idéias sobre a associação entre variáveis
quantitativas.
Pretendemos, dessa forma, propiciar aos alunos desenvolverem atividades de
investigação matemática, explorando os vários níveis de leitura e interpretação de
dados, no estudo de correlação linear e regressão linear a partir de uma abordagem
119
intuitiva, como forma de motivar a apresentação formal dos conceitos de correlação
e regressão e incentivar a pesquisa.
Apresentamos a seguir as bases teóricas da elaboração da proposta, de
modo particular, as categorias de leitura e interpretação de dados de Curcio (1987),
e as atividades de investigação matemática (PONTE, 2003; ERNEST, 1996).
As seqüências de atividades fundamentam-se em tarefas já testadas em sala
que são acrescidas de outras, no sentido de enriquecer as possibilidades de uso
desse material.
Embora a proposta tenha sido desenhada para utilização em um curso
introdutório de Estatística para engenheiros, acreditamos que possa ser facilmente
adaptada para utilização em outros cursos, bastando, para tanto, que novas tabelas
e gráficos sejam escolhidos de forma a terem sentido no contexto educacional de
desenvolvimento da proposta.
A compreensão de qualquer conteúdo estatístico depende muito da
conotação dada pelo professor em sala de aula, da ênfase conceitual e das
aplicações, que devem na medida do possível remeter a situações do contexto
cultural do aluno. Lidar com dados relacionados à sua área de interesse, pode levar
o aluno a um maior comprometimento em relação ao conteúdo abordado e talvez
motivá-lo a fazer a interpretação de tais dados.
Os autores.
120
2 BASES TEÓRICAS DA PROPOSTA
Segundo Garfield et al (2002) o ensino de Estatística deve pautar-se nos
seguintes princípios:
• Mais dados e conceitos, menos receitas e repetições, buscando na
medida do possível a automatização dos cálculos, usando pacotes
estatísticos modernos.
• Enfatizar o pensamento estatístico: a importância na obtenção dos
dados, de preferência reais, a onipresença da variabilidade e sua
medida e modelagem.
• Visar a uma aprendizagem ativa, que incentiva o desenvolvimento de
projetos, o trabalho em grupo, apresentações orais e escritas.
Garfield e colaboradores (2002) colocam:
Pensamos que a pesquisa pode encorajar a investigação de como ajudar os estudantes a desenvolverem o pensamento estatístico e como verificar se os estudantes têm ou não essa habilidade. Uma possibilidade é encorajar os professores de estatística a conduzirem pesquisas de alta qualidade em sala de aula usando seus próprios alunos e classes. (tradução nossa)22
As seqüências de atividades que integram essa proposta foram elaboradas de
forma a explorar a relação entre duas variáveis e a possibilidade de incentivar a
habilidade de leitura e interpretação de dados, apresentados na forma de tabelas e
gráficos.
2.1 Categorias de leitura e interpretação de dados
Tomamos por base as seguintes categorias de Curcio (1987): ler os dados; ler
dentro dos dados; ler além dos dados.
22 We think that research should be encouraged to investigate how to help students develop statistical thinking, and how to assess whether or not students have this ability. One possibility is to encourage statistics instructors to conduct high quality classroom research using their own students an classes.
121
A categoria ler os dados consiste numa leitura dos dados na forma em que
são apresentados no gráfico. Demanda, essencialmente, a habilidade de localizar
valores, sem realizar interpretações acerca do dado disponível.
Ler dentro dos dados consiste na leitura feita a partir dos dados
apresentados, envolvendo destrezas de ordem quantitativa e conhecimentos
adquiridos anteriormente. As operações matemáticas elementares podem ser de
grande utilidade neste tipo de leitura, que requer habilidades de leitura integrada e
comparativa dos dados.
Ler além dos dados é uma leitura que envolve inferência, isto é, demanda que
previsões sejam feitas. As informações relativas às previsões não estão visíveis no
gráfico. Este tipo de leitura demanda, normalmente, do leitor, um conhecimento
teórico mais refinado.
Apresentamos a seguir um exemplo, objetivando tornar mais claras as
categorias de Curcio, uma vez que foram fundamentais na elaboração das
seqüências de atividades aqui apresentadas.
Exemplo: Suponhamos que sejam fornecidas as notas de Matemática e de Estatística
de determinada turma de uma Escola.
Notas de Matemática (X)
Notas de Estatística (Y)
98765432
9
8
7
6
5
4
9
8
7
66
5
44
Gráfico 1 – Notas de Estatística e Matemática da Tu rma 1 - 2004
Fonte: Secretaria da Escola A - Belo Horizonte - (Dados fictícios).
122
Uma questão a se propor poderia ser:
a) Qual o valor da nota de Estatística do aluno que obteve 3 pontos em
Matemática?
A questão expressa claramente a intenção de se verificar se o aluno é capaz
de ler os dados. O aluno faz a leitura do gráfico identificando a informação
solicitada, a nota de estatística, (localizada no eixo vertical), a partir do
conhecimento da nota de matemática (localizada no eixo horizontal) e
utilizando seus conhecimentos acerca de localização de pontos no sistema
cartesiano.
Outra pergunta poderia exigir um segundo nível de leitura gráfica:
b) Observando a distribuição de pontos, você consegue perceber alguma
tendência ou padrão?
A questão permite ao aluno ler dentro dos dados, isto é, verificar se a
distribuição de pontos, ou seja, a nuvem de pontos dada pode ser ajustada a
uma função, ou ainda, se os dados evidenciam uma tendência e também se a
relação que existe entre as variáveis, no caso as notas é direta (crescente) ou
inversa (decrescente).
Finalmente, o nível de leitura ler além dos dados pode ser explorado ao se
perguntar:
c) Determine a curva que melhor se ajuste à distribuição de pontos
apresentada e, a partir dela, responda qual o valor da nota esperada de
Estatística para o aluno que obteve 10 pontos em Matemática.
O aluno é convidado a inferir sobre a situação proposta, recorrendo a
conhecimentos adquiridos por ele anteriormente. No caso, é de se esperar que
o aluno obtenha a curva de regressão e faça a estimativa a partir da mesma.
123
Ao invés do gráfico, poderia ser fornecida a Tabela 1.
Tabela 1: Notas de Matemática e Estatística – Turma 1 - Escola A - 2004
Notas
Matemática Estatística
2 4
3 4
4 5
5 6
6 6
7 7
8 8
9 9
Fonte: Secretaria da Escola A - 2004 - Belo Horizon te - (Dados fictícios).
Pode-se solicitar que seja determinada a nota de Estatística, do aluno que
obteve 4 pontos em Matemática, procedimento que exige entender a forma de
disposição dos dados na Tabela 1, para ler os dados. No caso, isso significa
localizar na primeira coluna a nota 4, situada na terceira linha e ler, na segunda
coluna, na mesma linha, a nota correspondente de Estatística. Embora essa
habilidade seja considerada elementar, é por vezes novidade para alunos mais
jovens, não habituados a lidar com esse tipo de representação de dados através de
tabelas.
A categoria de Curcio ler dentro dos dados pode ser explorada, quando se
pergunta ao aluno, por exemplo: Qual a variação das notas de Matemática? As
melhores notas são de Matemática ou de Estatística?
O aluno nesse momento faz a leitura dentro dos dados, comparando dados e
realizando operações matemáticas elementares, para responder à questão.
A categoria ler além dos dados pode ser explorada, usando a Tabela 1,
quando o aluno é convidado, por exemplo, a inferir a respeito da nota de Estatística
de um aluno que obteve 10 pontos em Matemática.
O aluno pode inferir a respeito da possível nota de Estatística tendo
conhecimento das variações presentes na segunda coluna da Tabela 1, que
corresponde às notas de Estatística, ou se ele tem conhecimento em determinar a
equação da reta que melhor descreve o conjunto de dados, referentes às notas de
Matemática e Estatística.
124
As atividades propostas podem ser classificadas, de certa forma, como
elementares. No entanto, a simples habilidade de ler os dados dispostos em uma
tabela, decorre de um processo de codificação e decodificação de informações, de
um entendimento acerca da disposição tabular. Da mesma forma a localização de
dados em um gráfico.
2.2 Atividade investigativa
Uma das tendências do Ensino de Estatística é de uma abordagem que
prioriza a investigação.
A investigação estatística acontece quando possibilitamos aos nossos alunos
o desenvolvimento da capacidade de analisar, interpretar e fazer conjecturas em
relação a dados quantitativos. E esse objetivo de promover o desenvolvimento de
um espírito investigativo pode ser atingido de diversas maneiras. (PONTE,
BROCARDO, OLIVEIRA, 2003).
Ponte (2003) classifica as tarefas matemáticas segundo dimensões, entre
elas o grau de dificuldade (fácil – difícil) e a estrutura (aberta – fechada). Para o
autor a atividade aberta leva o aluno a fazer reflexões e a ter novas idéias a respeito
da questão proposta, a levantar novas questões. Dentro das atividades abertas,
Ponte destaca dois tipos de tarefas: de exploração (mais fáceis); de investigação
(mais difíceis). Ao se iniciar uma atividade aberta, entretanto, não se consegue por
vezes classificar o grau de dificuldade que esta apresentará para o aluno.
Ernest (1996) apresenta uma reflexão acerca de investigações, resolução de
problemas e do que chama uma pedagogia baseada na inquirição para o ensino de
Matemática. Apresenta um quadro comparativo de três métodos, dentre os quais a
descoberta guiada. Numa descoberta guiada o aluno realiza investigações, mas é
levado a seguir as orientações do professor, que é o responsável por elaborar o
problema, ou propor objetivos, bem como por conduzir o aluno a obter a solução, ou
atingir a meta pretendida.
De modo geral atividades na forma de descoberta guiada são mais aceitas
entre alunos e professores e podem ser um instrumento pedagógico importante para
romper com paradigmas de um ensino centrado no professor. Caminhar em busca
125
do conhecimento exige muito mais do que temos como referência há anos, na nossa
escola tradicional. O deixar fluir na busca do aprender é o que faz o aluno
amadurecer, sendo capaz de refletir e conquistar a sua autonomia.
As seqüências de atividades aqui apresentadas apresentam uma estrutura
que inicialmente incentiva a exploração mais livre e num segundo momento
direciona o aluno com o objetivo de que formalize as idéias intuitivas iniciais.
126
3 SEQUÊNCIAS DE ATIVIDADES
3.1 Primeira seqüência 1a etapa - Proposição de atividades investigativas para introdução do tema
correlação e regressão linear
Procedeu-se à análise e interpretação de dados amostrais, relativos aos
resultados de dezoito ensaios, em corpos de prova, no processo de queima de
massa de cerâmica para pavimentação (Tabela 2).
Foram registrados os dados relativos a três variáveis indicadas na Tabela 2
como: X1 – representando a retração linear (%); X2 representado a resistência
mecânica (MPa); X3 representando a absorção de água (%).
Tabela 2: Resultados de 18 ensaios, em corpos de pr ova, durante o processo de queima de
massa de cerâmica para paviment ação
Ensaio X1 X2 X3 Ensaio X1 X2 X3
1 8,7 38,42 5,54 10 13,24 60,24 0,58 2 11,68 46,93 2,83 11 9,10 40,58 3,64 3 8,30 38,05 5,58 12 8,33 41,07 5,87 4 12,00 47,04 1,10 13 11,34 41,94 3,32 5 9,5 50,9 0,64 14 7,48 35,53 6,00 6 8,58 34,10 7,25 15 12,68 38,42 0,36 7 10,68 48,23 1,88 16 8,76 45,26 4,14 8 6,32 27,74 9,92 17 9,93 40,70 5,48 9 8,20 39,20 5,63 18 6,5 29,66 8,98
Fonte: Barbetta, Reis e Bornia, 2004, p.317.
Os gráficos seguintes foram elaborados a partir da Tabela 2 e recebem uma
denominação especial no campo estatístico de diagramas de dispersão e permitem
explorar se existem relações entre as variáveis consideradas duas a duas: retração
linear (%) e resistência mecânica (MPa); retração linear (%) e absorção de água (%);
resistência mecânica (MPa) e absorção de água (%).
127
Re t ra ção line a r (%) (X )
Resistência mecânica (MPa) (Y)
14131211109876
60
55
50
45
40
35
3029,66
40,70
45,26
38,42
35,53
41,9441,07 40,58
60,24
39,20
27,74
48,23
34,10
50,90
47,04
38,05
46,93
38,42
Gráfico 2: Diagrama 1
Fonte: Tabela 2
R e t r a ç ã o lin e a r (% ) ( X )
Aborção de água (%) (Y)
1 41 31 21 11 09876
1 0
8
6
4
2
0
8 ,98
5 ,48
4 ,14
0 ,36
6 ,00
3 ,32
5 ,87
3 ,64
0 ,58
5 ,63
9 ,92
1 ,88
7 ,25
0 ,64
1 ,10
5 ,58
2 ,83
5 ,54
Gráfico 3: Diagrama 2
Fonte: Tabela 2
Resistência mecânica (MPa) (X)
Aborção de água (%) (Y)
60555045403530
10
8
6
4
2
0
8,98
5,48
4,14
0,36
6,00
3,32
5,87
3,64
0,58
5,63
9,92
1,88
7,25
0,64
1,10
5,58
2,83
5,54
Gráfico 4: Diagrama 3
Fonte: Tabela 2
128
Questões propostas e objetivos Discuta com seus colegas e resolva as tarefas propostas, registrando as
observações e justificando suas conclusões.
1) Olhe atentamente os diagramas de dispersão que foram dados e registre
suas observações.
a)Procure descrever como os pares ordenados se distribuem.
b)Você percebe a existência de relacionamento entre as variáveis em
cada diagrama? Justifique de acordo com o entendimento que tem de
cada gráfico.
O objetivo da questão é verificar as idéias intuitivas dos alunos sobre os
gráficos apresentados, incentivando-os, num primeiro momento, a registrar
por escrito suas observações.
Nesse momento, o aluno pode fazer uma leitura literal dos dados, isto é, ler
os dados, não se preocupando com a interpretação dos pares ordenados,
mas pode também levantar conjecturas mais específicas sobre como se
comportam as variáveis.
A questão 1 pode também incentivar o aluno a observar como os pares
ordenados se distribuem em cada diagrama de dispersão, fazendo a leitura
dentro dos dados. Esta leitura envolve compreensão e interpretação dos
pares de valores no diagrama, como também a comparação de quantidades
envolvidas e um maior traquejo matemático, de tal maneira que o aluno possa
perceber a existência de uma dependência direta ou inversa entre as
variáveis. O aluno é incentivado a intuir a respeito do relacionamento entre
duas variáveis, isto é, a existência ou não de associação entre elas, a partir
da análise gráfica dos diagramas de dispersão.
2) Utilizando as informações da tabela e o terceiro diagrama de resistência
mecânica (MPa) e absorção de água (%),você é capaz de verificar se a
resistência mecânica (MPa) causa algum efeito sobre a absorção de água
no processo de queima de massa de cerâmica para pavimentação em
corpos de prova? Argumente acerca do questionamento levantado.
A questão exige a leitura dentro dos dados, incentivando o aluno a levantar
conjecturas sobre a possibilidade da variação de uma variável ser causada
129
pela variação da outra. Trata-se de um momento importante para que o
professor ressalte o fato que pode existir relacionamento entre variáveis sem
que, necessariamente, essa relação seja causal e, ao mesmo tempo,
destacar que a afirmativa da existência de uma relação causal não pode ser
feita apenas a partir de uma análise gráfica.
3) Observando os diagramas, você considera possível estabelecer um
modelo matemático que descreva como variam: a) retração linear (%) e
resistência mecânica (MPa); b) retração linear (%) e absorção de água
(%); c) resistência mecânica (MPa) e absorção de água (%). Justifique sua
resposta.
Ao observar os três diagramas, o aluno pode fazer uma conexão com
conceitos matemáticos já estudados em outras disciplinas, para desenvolver a
habilidade de ler dentro dos dados.
4) Você acha possível fazer uma previsão do valor percentual de absorção
de água, conhecendo a resistência mecânica (MPa)? Justifique a sua
resposta.
A questão objetiva verificar se os alunos fazem uma leitura além dos dados,
isto é, se são capazes de levantar conjecturas e fazer inferências a partir de
dados fornecidos.
2a etapa - Socialização das idéias intuitivas acerca de dados apresentados na forma
de gráficos e tabelas.
Essa etapa é imprescindível para incentivar a troca de idéias entre os grupos. Nesse
momento, o professor pode aproveitar para motivar a participação de grupos que
tiveram, por exemplo, dificuldades em registrar por escrito as idéias, além de propor
novas questões no sentido de que os alunos avancem nas conjecturas levantadas e
nas argumentações apresentadas.
3a etapa - Formalização das idéias sobre associação entre variáveis, feita na forma
de descoberta guiada, objetivando estabelecer formalmente o coeficiente de
correlação (linear) e a equação da reta de regressão.
130
O professor solicita aos alunos que retomem, por exemplo, o Diagrama 1.
1) Para analisar se existe uma tendência entre os pares de dados, é possível utilizar
as coordenadas dos valores médios das variáveis X e Y. Esse ponto de
coordenadas ),( yx é chamado, conforme já vimos, de centróide da distribuição.
a) Calcule esse ponto.
b) Desloque a origem do sistema de coordenadas para esse ponto, e
observe em quais quadrantes os pontos se concentram. Observando o
Diagrama 01, você considera que algum ponto se distancia muito do centróide?
Em caso afirmativo, justifique?
c) Refaça os itens a) e b) considerando os dados relativos aos Diagramas 2 e 3.
2) Calcule a soma )).(( yyxx −−∑ , isto é, a soma dos produtos dos desvios padrão
em relação a cada média.
3) Use a estatística do produto )).(( yyxx −−∑ para analisar a tendência dos pares
ordenados da distribuição (Diagrama 01)
4) Compare a resposta dada no exercício 03 com as observações do exercício 1b.
Registre suas idéias.
5) Para tornar o resultado obtido em 2) independente de uma escala particular
adotada, divida o resultado pelo produto do desvio padrão sx pelo desvio sy, e
multiplique por (n-1). O valor encontrado é chamado coeficiente de correlação r,
ou coeficiente de correlação linear de Pearson.
6) Mostre que a fórmula obtida para r pode ser escrita como :
−=
− −∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2
n xy ( x)( y)r
n( x ) ( x) n y ( y)
7) Calcule o coeficiente de correlação r, para os dados do Diagrama 01.
8) Como pode ser classificada a correlação linear entre as variáveis? Justificar a
classificação, consultando o texto didático.
9) Pode-se afirmar que o valor 60,24 para a resistência mecânica corresponde a um
ponto discrepante do conjunto de pares ordenados do Diagrama 01? Experimente
calcular r, retirando esse ponto?
10) Refaça os exercícios 2,3,4,5,6,7 e 8, para os dados representados nos
Diagramas 2 e 3.
131
De modo geral, ao explorar a relação entre duas variáveis estamos
interessados em indagar acerca do comportamento de uma variável (Y), em função
de uma variável (X). Queremos entender melhor acerca do fato que diferentes
valores de X produzem diferentes valores de Y. Convém ressaltar que em dados
observacionais, o fato de existir uma relação forte entre duas variáveis, não significa
que haja uma relação de causa e efeito. A modelagem de regressão linear simples
que utilizamos aqui é apenas uma tentativa entre outras, para se estudar em
maiores detalhes o comportamento de uma variável (Y) em função de outra (X),
além de possibilitar fazer predições a respeito de Y, conhecendo-se a variação de X.
Na 1a etapa, fizemos alguns ensaios intuitivos nesse sentido, que agora serão
formalizados. Uma série de softwares disponibilizam o cálculo de retas de
regressão23. Nosso objetivo é entender um pouco acerca desses cálculos.
O professor solicita aos alunos que retomem, por exemplo, o Diagrama 1.
Ao observamos um diagrama de dispersão, analisando como os pares
ordenados se distribuem, podemos visualizar uma linha imaginária ascendente ou
descendente. No Diagrama 01, por exemplo, percebemos uma tendência
ascendente.
Através da teoria da regressão pode-se encontrar a equação da reta que
melhor se ajusta aos pontos do gráfico. A equação:
(1) xbby 10ˆ +=
é denominada equação de regressão ou reta de regressão. Os coeficientes
b0 e b1 podem ser obtidos pelo método dos mínimos quadrados e são obtidos
minimizando-se a função
(2) ∑ ∑ −−=−= 210
2 )()ˆ( xbbyyyD que representa a soma dos quadrados
das distâncias de y (valor observado) a y ( valor predito de y).
1) Utilize recursos do Cálculo Diferencial para mostrar que os valores dos
coeficientes b0 e b1 são:
(3) ( )( ) ( )( )
( ) ( )22
2
0
∑∑∑∑∑∑
−
−=
xxn
xyxxyb
23 É interessante que os alunos utilizem algum software a que tenham acesso para obter retas de regressão para diferentes conjuntos de dados. Uma outra possibilidade é usar applets como o disponível em: http://docentes.esa.ipcb.pt/estatistica/reglin/index.html .
132
(4) ( )( )
( ) ( )221
∑∑∑ ∑∑
−
−=
xxn
yxxynb
2) Se determinamos b1 utilizando a fórmula (4), podemos determinar b0 a partir da
fórmula (5) xbyb 10 −= . Justifique.
1) a) Observando o Diagrama 1, é possível afirmar que a reta que melhor se
ajusta aos dados, ao ser representada no diagrama está bem distante do ponto
correspondente a y= 60,24?
b) Verifique sua resposta da letra a).
2) Observando o diagrama 2, o que pode dizer a respeito do coeficiente angular
da reta que melhor se ajusta aos dados. Faça a interpretação deste coeficiente a
partir do diagrama. Determine o seu valor.
3) Dos três diagramas de dispersão, qual deles a partir de uma análise visual apresentaria um menor valor para a soma dos quadrados dos desvios dos valores de y observados e os estimados? Verifique se sua conjectura feita a partir da análise gráfica se confirma.
4a etapa - Tarefas para fixação do conteúdo e ampliação de idéias sobre a
associação entre variáveis quantitativas.
1) Esboce o gráfico de um diagrama em que a correlação entre as variáveis seja
praticamente nula. Como se distribuem os pontos, em relação ao centróide?24
2) Se o coeficiente de correlação r é próximo de zero, pode-se afirmar que não
existe correlação linear entre as variáveis? Justificar.
3) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson de uma amostra em que
esteja presente um valor discrepante. Em seguida, calcule novamente o
coeficiente linear de Pearson, após retirar esse valor discrepante. O que pode se
afirmar a respeito desse valor discrepante?
4) Construa um diagrama de dispersão em que as variáveis apresentem uma
relação quase que perfeita entre elas. É possível afirmar somente a partir desse
diagrama que existe uma relação de causalidade entre elas? Explique.
5) As duas técnicas estatísticas estudadas, isto é, correlação linear e regressão
linear, podem estar em conexão com quais disciplinas do seu curso?
6) Considerando a sua turma de sala de aula, colete dados relativos a duas
24 Para isso use, por exemplo, o applet disponível em: http://www.mste.uiuc.edu/exner/java.f/leastsquares/#description
133
variáveis, que possam caracterizar cada aluno e represente esses dados no
diagrama de dispersão. Faça a interpretação desses dados no diagrama, em
relação ao grau de relação entre as variáveis e à tendência de variação
evidenciada. Em seguida calcule o coeficiente de correlação de Pearson e
verifique se a sua interpretação visual é confirmada a partir do uso formal do
conteúdo.
7) Analise os efeitos que a inclusão de novos pontos em um diagrama de
dispersão pode causar. Utilize gráficos para explicar.
8) Visualizando no diagrama de dispersão que o melhor ajuste a um conjunto de
pares ordenados é uma reta, você acha prudente após a determinação desta
equação de regressão fazer uma previsão para um dado valor da variável X que
seja bem discrepante do conjunto dados? Justifique.
Muitas outras questões podem ser elaboradas com o mesmo objetivo de fixar
conteúdos. O importante é que o professor esteja sempre refletindo sobre o trabalho
desenvolvido, para formular perguntas e propor tarefas que venham a sanar
dificuldades, clarear pontos teóricos, sempre na linha de promover a leitura e a
interpretação intuitiva de dados num primeiro momento, e instruída pela teoria num
segundo momento.
3.2 Segunda seqüência
1a etapa - Proposição de atividades investigativas para introdução do tema
correlação e regressão linear
As tabelas seguintes (Tabela 3, Tabela 4 e Tabela 5) apresentam os resultados
experimentais de três coletores solares de banho, para residência, observados em
um laboratório, por um grupo de pesquisa em energia solar. 25.
Correspondendo a cada tabela foi elaborado um gráfico (Gráfico 5, Gráfico 6 e
Gráfico 7), denominado diagrama de dispersão. O diagrama de dispersão permite
explorar o relacionamento entre as duas variáveis (Tfe-Tamb)/G e Eficiência, para
cada coletor.
25 Maiores informações podem ser obtidas em: Energia solar térmica: gestão de projetos em aquecimento solar de água para o setor residencial / Elizabete Marques Duarte Pereira – Belo Horizonte: PUC MINAS, 2001. 126p.
134
Tabela 3: Coletor solar 1
(Tfe-Tamb)/G Eficiência (Tfe-Tamb)/G Eficiência (ºC/W/m2) (%) (ºC/W/m2) (%)
0,038302 42,54 0,003488 64,39 0,038757 42,66 0,001024 64,39 0,03015 47,17 -0,000663 64,62 0,034942 47,17 -0,001486 64,62 0,026993 50,74 -0,000653 64,85 0,02457 50,86 -0,000486 64,85 0,006162 53,00 0,000964 65,07 0,0252 53,04 0,000071 65,07 0,011593 55,1 -0,000084 65,25 0,018763 55,1 -0,000604 65,26 -0,001985 56,48 -0,000784 65,43 0,016777 56,49 -0,001445 65,43 -0,001466 57,48 -0,000895 65,61 -0,001197 57,49 -0,00143 65,61 0,022629 58,39 -0,001084 65,83 0,014403 58,41 -0,001139 65,83 0,00748 59,13 -0,001052 66,14 -0,001172 59,13 -0,000832 66,15 -0,001589 59,96 -0,000921 66,53 -0,00043 59,96 -0,001414 66,54 0,000015 61,24 -0,000085 66,99 -0,000701 61,28 -0,000802 66,99 -0,00138 62,32 -0,004947 67,32 -0,001285 62,34 -0,00461 67,32 -0,000365 63,12 0,000061 67,57 0,00012 63,12 0,001081 67,57 0,000707 63,66 -0,000956 67,82 -0,000052 63,66 -0,000356 67,82 -0,000297 64,08 -0,000501 68,02 -0,000092 64,08 0,00103 68,03
Fonte: Grupo de pesquisa em energia solar
(Tfe-Tamb)/G(ºC/W/m²) (X)
Eficiência (%) (Y)
0,040,030,020,010,00
70
65
60
55
50
45
40
Gráfico 5: Diagrama 4
Fonte: Tabela 3
135
Tabela 4: Coletor solar 2
(Tfe-Tamb)/G Eficiência (Tfe-Tamb)/G Eficiência (ºC/W/m2) (%) (ºC/W/m2) (%)
0,000168 18,42 0,00048 54,76 0,000879 26,28 0,000361 54,98 -0,000334 30,91 0,000214 55,19 -0,001473 34,69 0,000335 55,38 -0,001 37,39 0,002426 55,6 0,027093 39,58 0,003692 55,78 0,045684 41,04 0,000115 55,99 -0,000347 42,27 0,00623 56,2 0,023285 43,18 -0,00136 56,41 0,00047 44,05 -0,00033 56,62 0,017484 44,9 -0,00013 56,8 0,022991 45,63 -0,00022 57,05 -0,001094 46,22 -0,00061 57,26 0,01948 46,79 -0,00152 57,49 0,017529 47,38 -0,00123 57,71 0,001057 48 -0,00208 57,92 0,019767 48,67 0,000194 58,15 -0,004138 49,37 -0,0022 58,41 0,010447 49,93 0,000027 58,68 0,01 50,58 -0,00024 58,88 0,010918 51,15 -0,00106 59,17 0,018762 51,61 -0,00021 59,5 0,000315 52,09 0,00075 59,83 0,014495 52,54 0,002493 60,25 -0,000249 53,05 0,02284 60,75 0,003671 53,49 -0,00259 61,31 0,001069 53,84 -0,00176 61,89 0,000202 54,09 -0,00387 63,11 0,000752 54,32 -0,00355 65,04 0,005348 54,56 -0,0012 66,81
Fonte: Grupo de pesquisa em energia solar
(Tfe-Tamb)/G(ºC/W/m²) (x)
Eficiência (%) (Y)
0,050,040,030,020,010,00
70
60
50
40
30
20
Gráfico 6: Diagrama 5 Fonte: Tabela 4
136
Tabela 5: Colet or solar 3
(Tfe-Tamb)/G Eficiência (Tfe-Tamb)/G Eficiência (ºC/W/m2) (%) (ºC/W/m2) (%) 0,005979 13,84 0,009208 58,93 0,010541 13,92 0,037157 58,93 0,045003 25,44 0,000977 59,62 0,044706 25,62 0,007791 59,62 0,010871 31,57 -0,00171 60,15 0,054318 31,6 0,000843 60,15 0,003456 37,24 0,000015 60,54 0,022438 37,35 0,014826 60,54 0,052909 41,76 0,001259 61,09 0,058798 41,76 0,001607 61,1 0,005657 44,58 0,007728 61,6 0,05537 44,62 0,001115 61,6 0,001972 47,43 0,001523 62,06 0,047406 47,46 0,010089 62,07 0,000389 50,16 -0,00178 62,38 0,036059 50,17 0,007626 62,4 0,000969 52,14 -0,00028 62,83 0,038529 52,14 0,017262 62,84 0,005982 53,42 0,008992 63,13 0,00536 53,43 0,001797 63,15 0,026445 54,57 0,001257 63,56 0,023699 54,59 0,003548 63,59 0,021565 55,55 0,00145 63,96 0,01176 55,6 0,002111 63,98 0,000842 56,49 0,00364 64,4 0,067976 56,5 0,001461 64,43 0,014577 57,39 -0,00217 64,86 0,00126 57,4 0,02313 64,92 0,021093 58,28 0,004789 65,62 0,006712 58,29 -0,00086 65,66
Fonte: Grupo de pesquisa em energia solar
(Tfe-Tamb)/G(ºC/W/m²) (x)
Eficiência (%) (Y)
0,070,060,050,040,030,020,010,00
70
60
50
40
30
20
10
Gráfico 7: Diagrama 6
Fonte: Tabela 5
137
Questões propostas
Discuta com seus colegas e resolva as questões propostas, registrando as
observações. As questões foram classificadas de acordo com as categorias de
Curcio: LD (Ler os dados); LDD (Ler dentro dos dados); LAD (Ler além dos dados).
8) Observe o Diagrama 4.
a) Descreva como os pares ordenados se distribuem. ( LD)
b) É possível identificar algum tipo de relação existente entre as duas variáveis?
Justifique. (LDD)
c) Você acha possível dizer qual a variável que pode ser considerada dependente e
qual variável que pode ser considerada independente? Justifique, lembrando de
seus estudos sobre gráficos de funções. (LDD)
d) Marque onde você acredita estar localizado o valor mediano e o valor médio em
Eficiência (%) e explique o que cada um representa na estatística. (LDD)
e) Justifique se os valores estimados graficamente são uma boa aproximação dos
valores reais dessas medidas, usando a Tabela 4. (LDD)
f) Você considera possível estabelecer um modelo matemático que descreva como
variam Eficiência e (Tfe-Tamb)/G ?(LDD)
g) Faça uma estimativa para o valor da eficiência térmica, quando o valor da
abscissa for igual a 0,02? (LD e LAD)
h) Trace uma reta que represente o melhor modelo para descrição dos dados.
(LDD).
9) Analise o Diagrama 5 e responda justificando:
a) Calcule a média dos valores de X e Y. Faça a representação desses valores no
Diagrama 5, e informe em quais quadrantes os pares ordenados se concentram.
(LDD)
b) De acordo com as informações da letra a, como você pode justificar o
relacionamento entre as variáveis X e Y? (LDD)
c) Observando o diagrama de dispersão, você percebe a presença de algum ponto
discrepante? Justifique. (LDD)
10) Analise o Diagrama 6 e responda justificando:
a) Quantos são os valores correspondentes à eficiência térmica que estão no
intervalo de variação de X de 0,05 a 0,06? (LD)
b) Estime o maior valor da eficiência térmica nesse intervalo? (LDD)
138
c) É possível saber exatamente qual esse valor? (LAD)
d) É possível estimar o valor da eficiência térmica, quando o valor da abscissa for
0,08? Justifique. (LAD)
2a etapa - Socialização das idéias intuitivas acerca de dados apresentados na forma
de gráficos e tabelas
Essa etapa objetiva incentivar a troca de idéias entre os grupos. Nesse momento, o
professor pode aproveitar para incentivar a participação de grupos que tiveram, por
exemplo, dificuldades em registrar por escrito as idéias, além de propor novas
questões no sentido de que os alunos avancem nas conjecturas levantadas e nas
argumentações apresentadas.
3a etapa - Formalização das idéias sobre associação entre variáveis, feita na forma
de descoberta guiada, objetivando estabelecer formalmente o coeficiente de
correlação (linear) e a equação da reta de regressão.
O professor solicita aos alunos que retomem a Tabela 4 e o Diagrama 4.
1) Para determinar o grau de relação entre duas variáveis é possível calcular a
covariância 1
))((
−−−
= ∑n
yyxxCOV ii
xy
Calcule a covariância para os dados da Tabela 4.
2) Para determinar o coeficiente de correlação de Pearson, basta dividir a
covariância pelo produto do desvio padrão Sx pelo desvio padrão Sy.
−=
− −∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑2 2 2 2
n xy ( x)( y)r
n x ( x ) n y ( y )
a) Mostre que r pode ser escrito como
b) De modo geral o coeficiente de correlação r é mais usado como indicador da
relação entre duas variáveis. Há alguma justificativa para isso?
11) Calcule r para os dados da Tabela 4.
12) Era de se esperar que r fosse negativo? Justifique.
13) Qual a quantidade de variação na eficiência (y) que é explicada pela relação
linear entre x e y? Para isso, calcule o coeficiente de determinação, elevando r
ao quadrado.
139
14) Compare os coeficientes de correlação r obtidos para cada um dos coletores.
Que interpretações é possível fazer? Esses resultados confirmam as
conjecturas feitas apenas por inspeção gráfica dos diagramas?
8) Observando os três diagramas, qual deles mostra uma tendência um pouco
próxima à linear? Caso exista, em que faixa de valores no eixo x, isso acontece?
A reta que melhor se ajusta a um conjunto de dados (1) xbby 10 += tem coeficientes
0b e 1b que podem ser determinados pela resolução do sistema de equações
(2)
+=
+=
∑ ∑ ∑∑ ∑
210
10
xbxbxy
xbnbx
chamadas equações normais da reta de mínimo quadrado (1).
9) Usando o Diagrama 4, e as equações (2) ajuste aos dados uma reta de
regressão. Faça a interpretação do coeficiente linear desta reta.
10) Ajuste aos diagramas 5 e 6 uma reta de regressão linear, compare com a reta
de regressão do diagrama 4 e informe, qual dos três diagramas apresenta um
ajuste razoável para reta. Justifique.
11) Usando a reta de regressão obtida para os dados do Diagrama 4, faça uma
previsão do valor de y para x=0,05.
4a etapa - Tarefas para fixação do conteúdo e ampliação de idéias sobre a
associação entre variáveis quantitativas.
1) Esboce o gráfico de um diagrama em que a correlação entre as variáveis seja
positiva e forte. Como se distribuem os pontos, em relação ao centróide?
2) Faça um gráfico em que os pares ordenados mostram uma tendência a uma linha
ascendente ou descendente e, em seguida, ajuste uma equação de regressão linear
aos dados. Faça a interpretação do seu coeficiente linear.
3) Construa um diagrama de dispersão em que exista uma correlação linear perfeita
entre as variáveis X e Y. Ajuste aos dados um modelo matemático e faça uma
previsão para a variável dependente, dado o valor da variável independente.
4) Construa três diagramas de dispersão, de tal maneira que o primeiro mostre a não
existência de correlação linear; o segundo uma fraca correlação linear negativa e o
terceiro diagrama uma perfeita correlação linear. A partir dos diagramas, em quais
deles é possível fazer uma previsão da variável dependente, conhecendo-se a
140
variável dependente?
5) Tendo como referência os pares ordenados em um diagrama de dispersão, é
possível detectar qual variável é considerada dependente? Justifique.
6) a) Ache o melhor valor predito de y para x= 6, sabendo que r=0,953, 4=y , n=20
e que a equação de regressão é ŷ=3,00+2,00x.
b) O valor obtido em a) permanece inalterado para qualquer valor de r? Justifique.
Conforme explicitamos, ao final da Primeira Seqüência, muitas outras
questões podem ser elaboradas. O papel do professor é preponderante para
acompanhar o desenvolvimento dos alunos e propor desafios ou tarefas que
resgatem as idéias centrais sobre correlação e regressão. As duas seqüências
apresentadas pretendem ser motivadoras, exemplificando um trabalho com um
tópico de Estatística, no caso, correlação e regressão, tendo como foco a leitura e
interpretação de dados.
141
4 Análise de livros didáticos
Apresentamos a seguir a análise de quatro livros que discorrem sobre o tema
Correlação e Regressão, sendo dois deles específicos da área de engenharia.
O tema foi analisado em cada livro com o objetivo de verificar em que medida
a forma de apresentação do mesmo favorece o desenvolvimento das habilidades de
leitura e interpretação de dados, adotando-se para tal análise os níveis de Curcio
(1987), anteriormente discutidos: 1) ler os dados; 2) ler dentro dos dados; 3) ler além
dos dados.
A análise foi desenvolvida em duas etapas. A primeira etapa consistiu na
análise da exposição teórica sobre Correlação e Regressão (em especial a Linear)
feita pelos autores, ou seja, da forma e foco adotados na apresentação dos
principais conceitos e propriedades e a exemplificação feita (exercícios resolvidos).
A segunda etapa compreendeu a análise dos exercícios propostos nas várias
seções dos livros que abordam o tema correlação e regressão. Cada exercício
proposto foi analisado, objetivando-se identificar a ênfase do mesmo, a partir dos
níveis de leitura de dados de Curcio.
Pretendemos que a análise apresentada possa ser um instrumento para
orientar a leitura dos livros, bem como facilitar escolhas de textos com uma
abordagem que priorize a leitura e interpretação de dados no desenvolvimento de
estudos de correlação e regressão.
4.1 Análise do Livro 1: Estatística aplicada e prob abilidade para engenheiros
Autores : Douglas MONTEGOMERY e George C. Runger
Editora: LTC – Livros Técnicos e Científicos
Ano: 2003.
O livro consta de 14 capítulos, apêndices e índice. Dos 14 capítulos teóricos
que totalizam 386 páginas, o capítulo 10 aborda Regressão Linear e Correlação em
25 páginas, que correspondem a 6,48% do total de páginas de desenvolvimento
teórico.
142
Os autores iniciam o capítulo fazendo uma abordagem da análise de
regressão através de um exemplo, que envolve pureza do oxigênio (y) produzido em
um processo químico e a porcentagem de hidrocarbonetos (x) que estão em um
condensador principal da unidade de destilação.
Inicialmente, os autores usam o diagrama de dispersão para mostrar como
os pares ordenados se distribuem no sistema cartesiano. A disposição dos pares
ordenados no sistema cartesiano permite aos alunos usarem suas habilidades
intuitivas no sentido de reconhecer uma tendência, ou melhor, imaginar qual curva
que melhor se ajustaria aos dados e como realizar futuras previsões.
Percebe-se que esse tipo de abordagem gráfica envolve as categorias de
Curcio, que são: ler os dados, quando o aluno observa os pares ordenados no
diagrama de dispersão; ler dentro dos dados, quando o aluno percebe uma
tendência ao examinar os dados e ler além dos dados; quando o aluno associa a
tendência identificada através dos dados com equações de curvas conhecidas por
eles, que possibilitam fazer previsão.
Após a exploração de regressão, através do diagrama de dispersão, os
autores formalizam o conceito de regressão linear, apresentando o método dos
mínimos quadrados e deduzindo os valores dos coeficientes da reta de regressão
através do uso de noções do Cálculo Diferencial, em particular das derivadas
parciais. Esse método possibilita determinar os interceptos da melhor reta que se
ajusta aos dados no diagrama de dispersão. Os autores usam o mesmo exemplo
comentado anteriormente para determinar a equação da reta que melhor se ajusta
aos dados e fazem a representação desta reta no diagrama de dispersão.
No capítulo, os autores exploram as propriedades dos estimadores dos
mínimos quadrados, isto é, os coeficientes de regressão da reta que melhor se
ajusta aos dados e fazem a estimação da variância populacional.
Percebe-se por parte dos autores certa preocupação com os exageros
cometidos pelos alunos com relação ao uso de regressão, feito que leva os autores
a alertarem para o fato de que os alunos devem ter cautela ao detectar a associação
entre duas variáveis. Mesmo existindo uma forte relação entre as variáveis, isso não
implica relação de causa e efeito, isto é, pode existir uma terceira variável oculta que
influencia todo processo. Os autores introduzem testes de hipóteses para os
coeficientes de regressão, como um instrumento para verificar se o modelo de curva
143
de ajuste aos dados é adequado. No caso específico de regressão linear, se a
inclinação for igual a zero, isto significa que não existe relação entre as variáveis.
O capítulo também aborda intervalos de confiança, que servem para calcular
os limites de confiança para os coeficientes de regressão, procedimento também útil
para investigar a adequação do modelo de regressão. Os autores fazem uma
abordagem do intervalo de confiança para a resposta média, que é uma maneira de
inferir a respeito do parâmetro média populacional, quando se desconhece o seu
valor. Um intervalo determinado dessa forma, parte da suposição de que a média da
variável aleatória Y tenha relação com X, de acordo uma equação linear.
Os autores também usam o coeficiente de determinação, R² para verificar
qual o ajuste de reta de regressão, ou melhor, quanto da variabilidade dos dados
observados da variável dependente (y) é apreendido pela equação de regressão.
Em seguida os autores exemplificam um a ajuste de modelo linear, feito
indevidamente, quando os dados não mostram uma tendência linear no diagrama de
dispersão.
A abordagem de correlação é feita ao final do capítulo 10. Sem exploração
do conteúdo através de diagramas de dispersão, exploram-se testes de hipótese e
intervalos de confiança para a correlação linear, somente em função de fórmulas. Os
autores ao explorarem regressão linear e correlação linear fazem uma exposição de
cunho matemático, não se preocupando em explorar um raciocínio mais intuitivo;
poucos gráficos são apresentados no estudo da correlação.
4.2 Análise do Livro 2: ESTATÍSTICA: para os cursos de engenharia e
informática
Autores: Pedro Alberto BARBETTA; Marcelo Menezes REIS; Antônio Cezar
BORNIA
Editora: Editora Atlas S.A
Ano: 2004
O livro consta de 11 capítulos, anexo, respostas de exercícios, apêndices e
bibliografia. Dos 11 capítulos teóricos que totalizam 351 páginas, o capítulo 11
144
aborda Correlação e Regressão em 30 páginas, que correspondem a 8,55% do total
de páginas de desenvolvimento teórico.
Os autores iniciam o capítulo explorando Correlação através de três
diagramas de dispersão, referentes a um exemplo de queima de massa cerâmica
para pavimentação, de 18 corpos de prova que foram analisados, usando três
variáveis: X1 = retração linear (%), X2 = resistência mecânica (MPa) e X3 = absorção
de água (%). Em seguida, exploram o cálculo do coeficiente de correlação de
Pearson.
Eles iniciam Regressão linear usando um exemplo que se refere ao Índice de
octanagem (Y) e quantidade de aditivo (%) (X), mostrando através do diagrama de
dispersão a tendência dos pares ordenados.
Os autores utilizam o método dos mínimos quadrados para determinar as
fórmulas que permitem o cálculo dos parâmetros da reta que melhor se ajusta aos
dados representados no diagrama de dispersão. Neste capítulo, são tratados
assuntos como: análise do modelo, teste de hipótese para a declividade da reta,
análise de resíduos, transformação logarítmica e intervalos de confiança.
4.3 Análise do Livro 3: Noções de Probabilidade e E statística
Autores: Marcos Nascimento Magalhães; Antônio Carlos Pedroso
Editora: Editora da Universidade de São Paulo, 6 ed.
Ano: 2007
O livro consta de 9 capítulos, bibliografia e índice remissivo. Os capítulos
teóricos totalizam 352 páginas, sendo que os autores introduzem Associação no
capítulo 5, em 30 páginas, o que corresponde a 8,53% das 352 páginas.
Os autores introduzem a associação entre variáveis, usando como exemplo,
notas de inglês e português de 15 alunos, do primeiro ano do ensino médio,
considerando os alunos que obtiveram nota superior a 7 pontos. Os autores
inicialmente usam o diagrama de dispersão para explorar associação entre duas
variáveis. Em seguida, abordam probabilidade condicional para variável aleatória
discreta e independência de variáveis aleatórias, para trabalhar a dependência linear
quando o conjunto de dados é grande e tem poucas variações entre essas
145
observações, acarretando com isso algumas dificuldades para se fazer a análise dos
pares ordenados no diagrama de dispersão. Neste capítulo, os autores definem
coeficiente de correlação de Pearson e apresentam a fórmula que permite calcular
esse coeficiente. Eles dão continuidade ao estudo de variáveis aleatórias discretas
através de propriedades, isto é, provando e exemplificando cada uma delas.Tais
propriedades permitem esclarecer se existe ou não dependência entre duas
variáveis. O capítulo 5 explora o cálculo de correlação entre variáveis através da
covariância. A covariância mostra o tipo de relacionamento entre duas variáveis, isto
é, se elas caminham no mesmo sentido ou se elas caminham em sentido contrário,
mas não define o grau de intensidade desse relacionamento. Se, por exemplo, o
valor que representa a covariância for positivo, isso indica que, para as variáveis x e
y, quando x cresce y também cresce, logo as variáveis caminham no mesmo
sentido.
Os autores no capítulo 9, Tópicos Especiais, no item 9.5, abordam Regressão
Linear, em 9 páginas o que corresponde a 2,56% das 352 páginas.
No item 9.5, os autores dão um exemplo para a aplicação de Regressão
Linear, usando dados que se referem à criação de gado. Para o exemplo foram
utilizados 15 bois, de mesma raça e mesma idade, provenientes da região Bocaina –
São Paulo. Cada boi recebeu certa quantidade de substância(x) (em mg/l) e, após
30 dias, foi observado o ganho de peso (y) de cada boi (em Kg). O diagrama de
dispersão, construído a partir desses dados, mostra que valores baixos de
substância (x) se associam a valores baixos de ganho de peso (y) e valores altos de
substância (x) se associam a valores altos de ganho de peso (y), mostrando assim
uma tendência a partir dos pares ordenados no diagrama de dispersão. É sugerido
um ajuste de reta que passe o mais próximo possível dos pares ordenados e, para
isso, usam o método dos mínimos quadrados para determinar os parâmetros desta
reta. Em seguida, eles determinam a equação da reta de regressão e representam a
mesma no diagrama de dispersão. Os autores fazem a interpretação dos parâmetros
e abordam teste de hipóteses, para verificar se a quantidade de substância (x) tem
influência sobre o ganho de peso (y).
146
4.4 Análise do Livro 4: Encontro com o acaso – um p rimeiro curso de análise
de dados e inferência
Autores: Christoper J. Wild; George A.F.
Editora: LTC – Livros Técnicos e Científicos
Ano: 2000.
O livro aborda o tema em dois capítulos, sendo que no capítulo 3 os autores
tratam o assunto de maneira intuitiva e, no capítulo 12, de maneira formal. Os dois
capítulos se completam com ênfase na leitura e interpretação de dados estatísticos,
foco do trabalho aqui apresentado.
O livro consta de 14 capítulos e apêndices. Dos 14 capítulos teóricos que
totalizam 377 páginas, o capítulo 3, Ferramentas Exploratórias de Relação, discorre
o assunto em 25 páginas que correspondem a 6,63% do total de páginas de
desenvolvimento teórico, sendo que 11 páginas abordam teoricamente o foco da
pesquisa, o que corresponde a 2,98% de teoria a respeito da exploração da análise
de variáveis quantitativas.
Os autores iniciam o capítulo oferecendo uma visão geral, isto é, o que será
abordado em cada seção. Eles iniciam a exploração de relação entre duas variáveis,
citando como exemplo uma tabela já utilizada no capítulo 2, que contém informações
de um grupo de homens que foram atendidos no Hospital Greenlane em Auckland,
após sofrerem ataque cardíaco. As duas variáveis envolvidas para explorar o
diagrama de dispersão são: Volsis26 e Voldia27. É feita uma análise de como os
valores pequenos de Volsis estão associados a valores pequenos de Voldia e como
os valores altos de Volsis estão associados a valores altos de Voldia, mostrando
uma tendência linear. Os autores mencionam alguns softwares que possibilitam a
construção de gráficos de dispersão, por exemplo, o Minitab, o Excel, o R e o Splus,
sendo que a maior parte dos gráficos, apresentados no capítulo 3, são provenientes
do software de distribuição gratuita R.
26 Volume sistólico final, uma medida do tamanho do coração. É calculada a partir da figura da silhueta bidimensional do ventrículo esquerdo, na sua menor parte. 27 Volume diastólico final, o mesmo que Volsis, exceto por usar a maior silhueta.
147
Os autores fazem um comentário da impressão sobreposta, isto é, os valores
das observações quando apresentados no diagrama de dispersão ficam tão
próximos, que não permitem ao leitor uma leitura fiel dos dados no diagrama de
dispersão. Uma maneira de amenizar tal situação é fazer a apresentação dos dados
observados através de círculos abertos.
Os autores utilizam os dados das tabelas: 3.1.1 Mortes e Radiações no Leite
após Chernobyl; 3.1.2 Tempo de Processamento e Cargas de Trabalho nos
Computadores; 3.1.3 Poluentes em Emissões de Gases de Descarga de Veículos e
3.1.4 Marcas Olímpicas Vitoriosas nos 1.500 Metros para Homens (1900 – 1988),
para explorar as relações entre as variáveis, no diagrama de dispersão e verificar a
existência ou não de uma tendência.
Usando as mesmas tabelas citadas anteriormente, os autores exploram
variáveis aleatórias, isto é, variáveis para as quais não se consegue prever o
resultado até que o experimento não seja finalizado, por exemplo, lançamento de
uma moeda 3 vezes. As variáveis não são aleatórias, quando são controladas pelo
seu experimentador, por exemplo, partidas de ônibus de Belo Horizonte a São
Paulo.
A utilidade da Regressão é destacada, explorando-se a tendência e a
dispersão dos dados, usando vários diagramas de dispersão. Nesse momento, os
autores usam círculos abertos para indicar os pontos no diagrama de dispersão e
colocam ênfase nos possíveis ajustes dos dados, através de curvas desenhadas a
mão. Em um dos diagramas, eles chamam a atenção do leitor para curvas
pontilhadas abaixo e acima dos possíveis limites de dispersão dos dados e mostram
os valores fora desta faixa, denominados como sendo valores atípicos28.
Os autores exploram as relações consideradas como sendo fortes ou
relações consideradas fracas, através da analise visual e a associação entre essas
variáveis, salientando quando as variáveis estão associadas de forma negativa e
quando as variáveis estão associadas de forma positiva.
No capítulo 3, os autores discorrem ainda a respeito dos perigos da predição,
mostram outras tendências em diversos diagramas de dispersão.
Outro capítulo do livro analisado pela pesquisadora quanto à abordagem do
conteúdo e exercícios usados para exemplificar cada seção e os exercícios
28 Entende-se por valores atípicos os valores que destoam completamente dos valores que compõem um conjunto de dados.
148
propostos pelos autores é o capítulo 12, Relações entre Variáveis Quantitativas:
Regressão e Correlação.
Os autores fizeram, inicialmente, um breve resumo do que compõe o capítulo.
Este capítulo consta de 35 páginas, que correspondem a 9,28% do total de páginas
de desenvolvimento teórico. Os autores dão início ao capítulo comentando de que
forma foram explorados os conteúdos Regressão e Correlação no capítulo 3 e, em
seguida, formalizam o que seja Regressão e Correlação. Exploram as relações de
causa e efeito, alertando o leitor de que uma forte relação entre as variáveis não
significa necessariamente uma relação de causa e efeito. Para o estudo de
Regressão, os autores mostram através de vários diagramas de dispersão que o
melhor ajuste aos dados pode ser uma reta e fazem a interpretação de sua
inclinação.
Neste capítulo, também outros modelos de curvas de tendência são
explorados por meio de diagramas de dispersão, entre eles a aproximação pela
curva exponencial.
Após a exploração dos diversos tipos de diagramas, os autores falam do
método dos mínimos quadrados, que permite determinar os parâmetros da reta que
melhor se ajusta ao conjunto de dados apresentados no diagrama de dispersão.
4.5 Análise comparativa dos quatro livros e conclus ões
A classificação dos exercícios de cada livro, segundo as categorias de Curci,
permitiu estabelecer algumas conclusões: os Livros 1, 2 e 3 dão ênfase a uma das
categorias de Curcio que é ler dentro dos dados. Essa categoria explora a habilidade
do aluno no sentido de utilizar os seus conhecimentos para fazer uma leitura dos
dados apresentados. Este tipo de leitura envolve destrezas de ordem quantitativa e
conhecimentos adquiridos anteriormente. As operações matemáticas elementares
podem ser de grande utilidade neste tipo de leitura, que requer habilidades em
comparar os dados.
Um dos fatores que pode justificar a presença marcante dessa categoria de
Curcio talvez seja o fato do Livro 1 e do Livro 2 serem direcionados para a área de
engenharia e o Livro 3, um livro preparado para um público mais geral de ciências
149
biológicas, exatas e humanas. Dessa forma, tais livros incentivam cálculos com os
dados.
O Livro 4 é o único dos quatro livros que aborda o conteúdo correlação e
regressão em dois momentos. No capítulo 3, os autores exploram a relação entre
duas variáveis de forma intuitiva e, no capítulo 12, eles exploram formalmente essa
relação entre duas variáveis. Por se tratar de um livro que dá ênfase a explorar o
lado intuitivo e propor mais questões teóricas como exercício, as categorias de
Curcio de ler os dados, ler dentro dos dados e ler além dos dados não são tão
freqüentes de acordo com o gráfico 9. Nos dois capítulos analisados pela
pesquisadora, observou-se que os autores propõem uma grande quantidade de
exercícios ao aluno, que conduzem a sínteses teóricas. O Gráfico 9 evidencia uma
pequena quantidade de exercícios que explora a categoria ler os dados. Uma
possível justificativa para esse fato é a abordagem intuitiva dada pelos autores ao
Capítulo 3 do livro, sem enfatizarem o cálculo através do uso de fórmulas. O Livro 4
foi elaborado para áreas de marketing, finanças, economia, ciências sociais, físicas,
biológicas e médicas e tem um objetivo diferenciado dos livros 1, 2 e 3. O foco é
explorar o raciocínio intuitivo.
A Tabela 6 sintetiza o total dos exercícios de cada livro, classificados segundo
as categorias de Curcio.
Tabela 6: Freqüência das categorias de Curcio nos e xercícios dos quatro livros
Livros Categorias Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Total
Ler dados 13 1 1 5 20 Ler dentro dos dados
75 9 18 53 155
Ler além dos dados
75 8 3 30 116
Total 163 18 22 88 291 Fonte: Miranda, M. L. (2008, p.71) Tabela 7: Percentual das categorias de Curcio nos e xercícios dos quatro livros em relação ao
total geral Livros Categorias
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Total Ler dados 4,47% 0,34% 0,34% 1,72% 6,87% Ler dentro dos dados
25,77% 3,1% 6,19% 18,21% 53,27%
Ler além dos dados
25,77% 2,75% 1,03% 10,31% 39,86%
Total 56,01% 6,19% 7,56% 30,24% 100% Fonte: Miranda, M. L. (2008, p.71)
150
A Tabela 7 foi construída a partir do total geral dos exercícios propostos,
pelos autores, nos quatro livros (291) e evidencia que, a categoria mais presente nos
exercícios é ler dentro dos dados. Percebe-se ainda no Livro 1 a maior evidência
das categorias de Curcio.
A Tabela 8 apresenta como os exercícios se distribuem percentualmente,
dentro de cada livro, de acordo com as categorias de Curcio.
Tabela 8: Percentual dos exercícios, segundo as cat egorias de Curcio por livro Livros Categorias
Livro 1 Livro 2 Livro 3 Livro 4 Ler dados 7,98% 5,56% 4,54% 5,68% Ler dentro dos dados
46,01% 50% 81,82% 60,23%
Ler além dos dados
46,01% 44,44% 13,64% 34,10%
Total 100% 100% 100% 100% Fonte: Miranda, M. L. (2008, p.71)
Dentre os exercícios propostos no Livro 1, verifica-se que a proporcionalidade
é a mesma nas categorias ler dentro dos dados e ler além dos dados. Assim sendo,
o Livro 1, adotado no curso de engenharia onde a pesquisadora atua como
professora, pode ser considerado adequado, do ponto de vista de uma abordagem
do tema com ênfase na leitura e interpretação de dados.
Também, no Livro 2, as mesmas duas categorias ler dentro dos dados e ler
além dos dados são predominantes. Nos Livros 3 e 4 as habilidades de leitura e
interpretação de dados mais exploradas nos exercícios, são aquelas relativas à
leitura dentro dos dados.
Dos quatro livros analisados, o Livro 4 diferencia–se dos demais por ter uma
forma de explorar o conteúdo de correlação e regressão em dois capítulos, sendo
que inicialmente o faz de forma exploratória e posteriormente formalizando os dois
conteúdos. Por essa razão, o livro constituiu-se em uma fonte de idéias importante
para a elaboração de atividade, numa linha investigativa, incentivando uma análise
visual de gráficos e tabelas.
151
REFERÊNCIAS BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio Cezar. Estatística: para os cursos de engenharia e informá tica . São Paulo: Atlas, 2004. 410p. CURCIO, Frances R. Comprehension of Mathematical Relationships Expressed in Graphs. Journal for Research in Mathematics Education , v. 18, n. 5, p. 382-393, 1987. ERNEST, Paul. Investigações, Resolução de Problemas e Pedagogia . In:P. Abrantes, L.C. Leal, J.P. Ponte (Eds.). Investigar para aprender matemática ,. Lisboa: Projecto MPT e APM, 1996, p. 25-48.
GARFIELD, Joan; HOGG, Bob; SCHAU, Candace. First Courses in Statistical
Science: The Status of Educational Reform Efforts. Journal of Statistics Education,
v.10, n. 2, 2002, Disponível em: <http://www.amstat.org/publications/jse/v10n2/
garfield.html>. Acesso em: 20 de jun. 2008.
PONTE, João Pedro.; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula . Belo Horizonte:Autêntica, 2003. 151p. (Tendências em educação matemática ;7 ) PONTE, João Pedro. Investigar, ensinar e aprender . Actas do ProfMat, 2003. (CD-ROM, p 25-39). Lisboa: APM.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. Standards for School Mathematics , 2000. Disponível em http://standards.nctm.org/document/chapter3/ data.htm. Acesso em 23 de maio de 2008.
152
ANEXOS
153
ANEXO A
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Pró-Reitoria de Graduação
Plano de Ensino (2º semestre de 2008)
Curso: 3 - Engenharia Mecânica
Disciplina: 779 - PROBABILIDADE E ESTATISTICA I
Período: 4
Créditos: 4
Turno: noite
Carga
Horária:
TEÓRICA ( 60 horas )
Ementa
Estatística descritiva. Probabilidades. Variáveis a leatórias. Distribuições
154
discretas.Distribuições contínuas. Amostragens. Inf erência estatística: estimação; intervalo de confiança; teste de hipóteses (erros). Análise de regressão simples (inferência). Controle e gerenciamento de processos .
Objetivos
-Dar os fundamentos básicos da estatística,de modo a iniciar o futuro engenheiro nos aspectos estatísticos da engenharia -Desenvolver o raciocínio estatístico em problema da engenharia -Utilização da informática(máquina de calcular e mi crocomputador)junto ao trabalho estatístico
Métodos Didáticos
-Aulas expositivas com exemplos práticos acompanhan do os desenvolvimentos teóricos -Trabalhos individuais e em grupo em sala de aula
Unidades de Ensino
Unidade I - Introdução 1.1-Desenvolvimento histórico da Estatística 1.2-Objetivo e método da Estatística 1.3-Estatística nos cursos da Engenharia Unidade II - Medidas Estatísticas 2.1-Medidas de posição:conceito,interpretação,propr iedades e cálculo 2.2-Medidas de dispersão:conceito,interpretação,pro priedades e cálculo Unidade III - Distribuição de Frequência 3.1-Tabulação de dados 3.2-Construção de uma tabela de frequências 3.3-Separatrizes
155
3.4-Medida de posição e dispersão 3.5-Gráficos:histograma,polígono de frequência e og ivas Unidade IV - Técnicas de Amostragem 4.1-Tabela de números aleatórios 4.2-Amostragem aleatória simples 4.3-Amostragem aleatória estratificada 4.4-Amostragem aleatória sistemática 4.5-Amostragem aleatória por conglomerado Unidade V - Probabilidades 5.1-Conceitos fundamentais 5.2-Propriedades 5.3-Probabilidade condicional.Independência de even tos 5.4-Regra de Bayes Unidade VI - Variáveis Aleatórias 6.1-Conceito 6.2-Variável aleatória discreta e contínua 6.3-Função distribuição de probabilidades 6.4-Esperança e variância de uma variável aleatória Unidade VII - Distribuições Discretas 7.1-Distribuição binomial 7.2-Distribuição de Poisson 7.3-Distribuição hipergeométrica 7.4-Distribuição de Poisson como aproximação da dis tribuição binomial Unidade VIII - Distribuições Contínuas 8.1-Distribuição uniforme 8.2-Distribuição exponencial 8.3-Distribuição normal
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8.4-Distribuição normal como da binomial,Poisson e hipergeométrica Unidade IX - Estimação de Parâmetros Populacionai s 9.1-Conceitos 9.2-Estimação Pontual 9.3-Estimação por intervalo de confiança(média,prop orção,variância) 9.4-Dimensionamento da amostra Unidade X - Teste de Hipóteses 10.1-Conceitos básicos 10.2-Erros 10.3-Teste para média,proporção e variância Unidade XI - Regressão Linear 11.1-Correlação Linear 11.2-O método dos mínimos quadrados 11.3-Predições Unidade XII - Controle de Processos 12.1-Gráficos de controle - Tendências 12.2-Indice de capacidade de processo.
Processo de Avaliação
3 PROVAS DE 25 PONTOS TRABALHOS TOTALIZANDO 25 PONTOS
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PROVA REPOSITIVA: 25 PONTOS (atendimento aos casos de não comparecimento a uma das provas) REAVALIAÇÃO: 100 PONTOS
Descrição da Bibliografia Básica
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatisti ca aplicada e probabilidade para
engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 463p. ISBN 8521613601
Consta no acervo da PUC Minas
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; HUBELE, Norma Faris. Estatística
aplicada à engenharia. Rio de Janeiro: LTC, c2004. 335p. ISBN 8521613989
Consta no acervo da PUC Minas
Descrição da Bibliografia Complementar
MIRSHAWKA, Victor. Probabilidades e estatistica par a engenharia. São Paulo: Nobel,
1983-88. v.
Consta no acervo da PUC Minas
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatistica basica : probab ilidade. 6.ed. Sao Paulo: Makron
Books, 1995. 185p. ISBN 8534603340 : (Broch.)
Consta no acervo da PUC Minas
Paiva, Antônio Fabiano de. Estatística/ Antonio Fab iano de Paiva. 2.ED. 1971.
158
Consta no acervo da PUC Minas
TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 7. ed. R io de Janeiro: LTC - Livros
Técnicos e Científicos, c1999. 410p. ISBN 852161154 4
Consta no acervo da PUC Minas
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. As ferramentas da qualidade no gerenciamento de
processos. 2. ed. Belo Horizonte: UFMG/EE: FCO, 199 5. 108p. ISBN 8585447133 :
(broch.)
Consta no acervo da PUC Minas
WERKEMA, Maria Cristina Catarino. Como estabelecer conclusões com confiança:
entendendo inferencia estatistica. Belo Horizonte: Ed. da UFMG: Fundação Christiano
Ottoni, 1996. 309p. ISBN 8585447281
Consta no acervo da PUC Minas
WOLF, Frank L. Elements of probability and statisti cs. 2. ed. New York: McGraw-
Hill, c1974. 450p.
Consta no acervo da PUC Minas
WONNACOTT, Thomas H.; WONNACOTT, Ronald J. Introduç ão a estatistica. Rio de
Janeiro: Livros Tecnicos e Cientificos, 1980. 589p. ISBN 8521600399 (broch.)
Consta no acervo da PUC Minas
ANEXO B
Trabalho – Engenharia Mecânica 1 – A tabela a seguir relaciona os pesos (em centenas de kg) e as taxas de consumo de combustível em rodovia (km/l) numa amostra de 10 carros de passeio novos. Peso 12 13 14 14 16 8 19 22 24 26 Consumo 16 14 14 13 11 12 09 09 08 06
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a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
b) Considerando o resultado do item (a), como você avalia o relacionamento entre peso e consumo na amostra observada?
c) Para estabelecer uma equação de regressão, qual deve ser a variável
dependente e qual deve ser a variável independente? Justifique sua resposta.
d) Estabeleça a equação de regressão, considerando a resposta do item (c).
e) Apresente o diagrama de dispersão e a reta de regressão obtida em (d).
f) Você considera adequado o ajuste do modelo de regressão obtida em (d)? Justifique.
g) Qual o consumo esperado para um carro de 200 Kg? Lembrete: Os dados de
consumo na tabela estão em centenas de Kg.
h) Você considera seu estudo capaz de produzir o consumo esperado de um veículo com o peso de 700 kg? Justifique sua resposta.
2 – Uma correlação elevada implica causalidade? Explique. 3 – Que implica o sinal menos (-) antes do r? E antes de b? 4 – Que é reta de regressão?
Exercício retirado do livro:
ESTATÍSTICA: para os cursos de engenharia e inform ática
Autores: Pedro Alberto BARBETTA; Marcelo Menezes REIS; Antônio Cezar
BORNIA
Editora: Atlas S.A
Ano: 2004
