FAMEC Faculdade Metropolitana de Camaçari

Engenharia de Produção, Mecatrônica e Ambiental

CAPACITÂNCIA

CAPACITORES Consideremos um par de condutores isolados carregados com cargas +q e –q, iguais em

módulo e opostas.Tal aparato é denominado Capacitor, e tem por finalidade, armazenar energia

potencial num campo eletrostático.

Capacitor Plano (Placas Paralelas)

As placas são condutoras; logo, suas superfícies são equipotenciais. Existe entre as duas placas

uma diferença de potencial definida e de valor absoluto, V, que não é o potencial de qualquer dos dois

condutores, mas sim a diferença de potencial entre eles. Ambos, q e V, sendo valores absoluto, são

quantidades positivas.

A carga q e a diferença de potencial V, num capacitor são proporcionais, então

A constante de proporcionalidade entre q e V é denominada

Capacitância do Capacitor.

CVq

= (1)

A unidade de Capacitância, o farad (F), é definida por

FVC 1

11

=

Determinação da Capacitância.

Independentemente da geometria do capacitor, seguiremos alguns passos a fim de determinar a

capacitância.

I. Suponha que existe uma carga q sobre as placas.

II. Calcule o campo elétrico E situado entre as placas, em termos desta carga, usando a

Lei de Gauss;

III. A partir de E, calcule a diferença de potencial V entre as placas, a partir da equação

∫ • dlE −=−f

ifI VV

r

IV. Determine C usando CVq

=

Docente: DANILO SÁ TELES Disciplina: FISICA III

Discente: Carga Horária: 90 H

Cálculo do Campo Elétrico Pela lei de Gauss, temos

∫ =⋅ qAdErr

0ε

em todos os casos que consideraremos, a superfície gaussiana deverá ser escolhida de modo

que Er

e Adr

sejam paralelos e que Er

tenha módulo constante. Assim a lei de Gauss pode ser

reescrita, se reduzindo a

q = 0ε .E .A (2)

Cálculo da diferença de potencial – ddp

(3) ∫ •−=−f

ifI dlEVV

r

sendo que a integral é calculada ao longo de qualquer trajetória que se inicie sobre uma placa e

termine sobre a outra. Escolheremos sempre uma trajetória que acompanhe uma linha de

campo elétrico que vai da placa positiva para a negativa. Nesta trajetória, os vetores E e dl

sempre apontarão na mesma direção, de modo que a quantidade Vf – Vi será negativa. Como

estamos interessados em V, o valor absoluto da diferença de potencial entre as placas, podemos

escrever Vf – Vi = -V. Deste modo, podemos transformar a equação (3) em

(caso especial da equação 3) ∫−

+

= EdlV

onde os sinais positivo e negativo nos lembram que a trajetória de integração começa na plca

positiva e termina na placa negativa.

Capacitor de placas paralelas.

Em um capacitor de placas paralelas

dEdlEEdlV

AEqd

.

.

0

0

===

=

∫∫−

+

ε

Substituído na equação I , obtemos

dA

dEEA

C 00

.ε

ε== (Capacitor de placas paralelas)

onde A é a área da placa.

A capacitância só depende, realmente, dos fatores geométricos, particularmente da área A e da

separação d entre as placas.

Vemos pela equação anterior que as dimensões de C são dadas por

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]LCLLC .. 0

2

0 εε =⇒=

de modo que a constante 0ε da lei de Coulomb pode ser medida em farads/metro. Seu valor é

0ε =8,85x10-12 F/m

Assim, para ter C=1F com um capacitor de placas planas paralelas e d= 1 mm,

precisaríamos de uma área das placas

28

12

3

0

1013,11085,8

110 mxx

xdCA === −

−

ε

o que corresponde a cerca de 100 km2! Isso mostra que 1F é uma unidade muito grande de

capacitância; as mais usadas sã o μF (microfarad) e o pF (picofarad).

CAPACITOR CILÍNDRICO

É formado por dois cilindros coaxiais, de raios a e b, como ilustra a figura abaixo.

Supomos que L >> b, de modo que a “distorção” do campo elétrico que ocorre nas

extremidades dos cilindros possa ser desprezada.

CAPACITOR ESFÉRICO

... Em particular, se a esfera externa está suficientemente afastada ( )∞→2R , obtemos a

capacitância C de uma esfera de raio R:

RC 04πε=

As linhas de força nesse caso vão da superfície da esfera ao “infinito”. Um exemplo é a Terra,

cujo raio é R = 6,37 x 103 k. Calcule a Capacitância da Terra.

CAPACITORES EM SÉRIE E EM PARALELO

Freqüentemente queremos conhecer a capacitância equivalente de dois ou mais capacitores

que estão ligados de algum modo. “ Capacitância equivalente” significa a capacitância de um

único capacitor que pode ser substituído pela atual combinação sem que haja mudança na

operação do circuito externo. Discutiremos dois casos.

Capacitores em Paralelo

A figura abaixo mostra um exemplo de conexão em paralelo, cujos terminais podem estar

ligados, por exemplo, aos pólos de uma bateria, que mantém entre eles a diferença de potencial

V.

As placas superiores formam um condutor único, de carga total

Q = 321 QQQ ++

E potencial V+; igualmente para as inferiores, com –Q e V-, e

onde ,)( 321

33

22

11

VCCCQVCQVCQVCQ

++=⎪⎭

⎪⎬

⎫

===

A capacitância equivalente é então

,321 CCCVQCeq ++==

que pode ser estendido para qualquer número n de capacitores, com

(capacitores em paralelo) ∑=n

neq CC

CAPACITORES EM SÉRIE

Dizemos que os capacitores estão ligados em

série quando a soma das diferenças de potencial

de cada um deles é igual à diferença de

potencial aplicada à combinação.

Usando a equação 1 para cada capacitor,

obtemos

3

33

2

22

1

11 ,,

CQ

VCQV

CQV ===

A diferença de potencial para uma ligação em série é, então, 321 VVVV ++= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

321

111CCC

Q . A capacitância equivalente vale

321

11

11

11

CCCVQCeq ++==

que podemos facilmente estender para um número n de capacitores como

∑=n neq CC

11

Da equação anterior, podemos deduzir que a capacitância equivalente da ligação em série é

sempre menor do que a menor das capacitâncias individuais que compõem o sistema dos

capacitores em série.

ENERGIA ELETROSTÁTICA ARMAZENADA

Consideremos a carga gradual do capacitor fornecida por uma bateria. Num instante em que a

carga já armazenada é Q, a diferença de potencial instantânea entre as placa é

CqV =

Para carregar o capacitor é necessário que a bateria realize trabalho, sendo o mesmo armazenado

na forma de energia potencial elétrica U no campo elétrico entre as placas. Se um aumento extra

de carga dq for transferido, o aumento de trabalho necessário para isto será

dqCqVdqdW ==

C

qqdqC

dWWq

21 2

0

=== ∫ ∫

Este trabalho é armazenado no capacitor sob a forma de energia potencial, de modo que

CqU

2

= (energia potencial)

ou também,

2

21 CVU = ( energia potencial)

sendo estas equações válidas para qualquer que seja a geometria do capacitor.

Densidade de Energia

Para um capacitor plano, isto leva a

AddVAdV

dA

U E .22

.21 20

2020

rεεε=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

nessa expressão, Ad é o volume do espaço entre as placas do capacitor, no qual o campo elétrico fica

confinado (desprezando os efeitos de bordas).

Logo, podemos pensar nna energia como estando armazenada no campo, no espaço entre as

placas, com uma densidade de energia

2

ε 0=u Er 2

Embora este resultado tenha sido obtido para o caso especial de um capacitor de placas paralelas, ele

é válido, em geral, qualquer que seja a fonte do campo elétrico.

Consideremos agora uma esfera condutora (isolada) com carga Q. Tratando-a como um capacitor, a

energia potencial armazenada é

R

QC

QU0

22

82 πε==

o que também resulta de ser

R

QQ04πε

=

o potencial na superfície, e de ser

∫ = QVdSV21.

21 σ

a energia potencial das cargas distribuídas na superfície com densidade σ.

Exercícios de Fixação

1º) Às placas de um capacitor de placas paralelas estão separadas pela distância d=1,0 mm. Qual deverá ser a área das placas para que sua capacitância seja igual a 1,0 F? 2º) O espaço existente entre os condutores de um longo cabo coaxial, usado nas transmissões de TV, tem raio interno a =0,15mm e raio externo b=2,1 mm. Calcule a capacitância deste cabo, por unidade de comprimento. 3º) Um capacitor sobre um chip Ram tem capacitância de 55 fF. Sendo ele carregado a 5,3V, quantos elétrons em excesso estão situados sobre a sua placa negativa? 4º) Determine a capacitância da Terra como se ela fosse uma esfera condutora, isolada, de raio igual a 6370km. 5º) Determine a capacitância equivalente da combinação mostrada na figura abaixo. Suponha que

C ,0,121 FC μ= ,3,52 Fμ= FC μ5,43 = 6º) Um capacitor C1 de 3,55mF é carregado sob uma diferença de potencial V0=6,30 V. A bateria que o carregou é retirada e o capacitor é ligado, como ilustra a figura abaixo, a um outro capacitor descarregado, C2 = 8,95mF. A carga começa, então, a se deslocar de C1 para C2 até que o equilíbrio se estabeleça, com ambos os capacitores apresentando a mesma diferença de potencial V.

(a) Qual é o valor desta diferença de potencial comum?

(b) Calucule a energia potencial acumuladaa no sistema antes e depois de a chave ser ligada

7º) Uma esfera condutora, isolada, cujo raio R é igual a 6,85 cm, tem uma carga q = 1,25nC.

(a) Calcule a energia potencial acumulada no campo elétrico deste condutor carregado. (b) Qual é a desnidade de energia na superfície da esfera?

8º) Um capacitor de placas paralelas, cuja capacitância C é de 13,5 pF, apresenta uma diferença de potencial V=12,5V entre as suas placas. A bateria que o carregou é, agora, retirada e uma lamina de porcelana (k=6,5) é introduzida entre as placas, como nos mostra a figura abaixo. Calcule o valor da energia potencial do sistema antes e depois da introdução do dielétrico.