Capitulo 01

Prof. Calil Abumanssur – UTFPr – Toledo/Pr. Página 1

Mecânica dos Fluidos. CAPÍTULO 1

o Propriedades dos Fluidos o Equações Básicas o Dimensões e Unidades

1. INTRODUÇÃO

A mecânica é a ciência física mais antiga que trata dos corpos tanto estacionários como em movimento sob a influencia de forças. O ramo da mecânica que trata dos corpos em repouso é denominado de estática, ao passo que o ramo que trata dos corpos em movimento denomina-se dinâmica. (ÇENGEL&CIMBALA).

Um fluido é uma substancia que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão.

Os fluidos são corpos sem forma própria que podem escoar-se, isto é, sofrer grandes variações de forma sob a ação de forças tanto mais fracas quanto estas variações são mais lentas. Tanto os líquidos, como os gases são fluidos. O seu equilíbrio e os seus movimentos, os quais se designam por escoamento, são estudados na mecânica dos fluidos.

A mecânica dos fluidos é uma subcategoria da mecânica que trata dos fluidos em repouso (estática dos fluidos) e dos fluidos em movimento (dinâmica dos fluidos), bem como da interação dos fluidos com outros fluidos e sólidos ou outros fluidos na fronteira (limites). Há quem chame a mecânica dos fluidos de dinâmica dos fluidos pressupondo que na questão da estática dos fluidos seja um caso especial em que a velocidade do deslocamento é zero.


2. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

Da Física sabemos que as substancias existem em três estados basicamente: sólido, líquido e gasoso. Convenciona-se por suas propriedades de chamar toda substancia que esteja no estado líquido ou gasoso de fluido.

Para se considerar uma substancia sólida, admite-se que esta tem a capacidade de resistir aos esforços de cisalhamento. Desta assertiva se pode-se definir portanto que fluido é aquela substancia que se deforma continuamente quando submetida a uma força tangencial. Este esforço é o de cisalhamento.

Os fluidos são corpos sem forma própria que podem escoar-se, isto é, sofrer grandes variações de forma sob a ação de forças tanto mais fracas quanto estas variações são mais lentas.

O seu equilíbrio e os seus movimentos, os quais se designam por escoamento, são estudados na mecânica dos fluidos.

Os líquidos ocupam um volume determinado, não podem estar sujeitos a trações (*), e são pouco compressíveis. (*no caso da água é sobretudo a presença de numerosas partículas gasosas não dissolvidas que a impedem de suportar trações).

Os gases ocupam sempre o máximo volume de que podem dispor e são muito compressíveis. No entanto, sempre que a velocidade de escoamento é pequena comparada com a velocidade do som, pode esse mesmo escoamento ser estudado considerando os gases como incompressíveis.

Existem muitos corpos, tais como: mais pulverulentos, asfaltos, plásticos, etc. que possuem propriedades intermediárias entre as propriedades dos sólidos e as propriedades dos fluidos. O seu estudo faz-se na mecânica dos solos, na reologia (parte da física que investiga as propriedades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos).

2.1. Condição de Não Escorregamento: O escoamento de um fluido, geralmente ocorre através de duas superfícies

sólidas que o mantém confinado. Assim, é vital compreender como é que essas superfícies afetam o escoamento do fluido. Se tomarmos o escoamento de um rio e a uma massa fluida que vai de encontro a uma grande rocha situada a frente dessa massa, a agua com certeza não vai ultrapassa-la por cima, e sim contorna-la. Em termos de velocidade, a água que se aproxima perpendicular à rocha, vai parar completamente ao encontra-la. Resposta (S. Goldstein). O fluido em contato com uma superfície sólida tem a mesma velocidade que a superfície, isto é, não há escorregamento na superfície. Este é um fato experimental que tem sido verificado em um sem numero de ensaios com varias espécies de fluido e materiais de superfície.

2.2. Massa A de um corpo ou fluido é uma característica da quantidade de matéria que

esse corpo ou fluido contém, isto é, da inércia que o corpo oferece ao movimento. Quando seres humanos “sobem” em uma balança para ver seu peso, eles teoricamente vão verificar a sua “massa”. Então vamos nos “massar” e não “se pesar”. A unidade de medida de massa pode ser: kilomassa (kgm) , grama-massa, libra-massa, etc.


2.3. Peso O peso de um corpo representa a ação (força) que sobre ele exerce a gravidade. A relação fundamental entre ambos é: (expressão I); onde g = aceleração da gravidade (m/s2); m = massa de um corpo (kgm);

Nos cálculos de hidráulica, pode-se muitas vezes adotar-se para g o valor de 10 m/s2, o que da um erro de cerca de 2%. Desejando-se mais rigor, pode-se tomar-se g=9,81 m/s2. A unidade de medida para o peso é de uma força por exemplo o kilograma-força, Newton, libra-força, etc.

Atenção: será considerado kg*=kgf = kilograma força e kgm = kilomassa.

Tem-se que a seguinte relação kg*=kgf= 2s

mkgm

2.4. Peso Específico É a força que a terra exerce sobre a unidade de volume.

volume

peso [kg*/m3]............ou [FL-3];

Podemos escrever a seguinte representação:

V

W (expressão II)

O peso especifico da água a 4º.C (39,2º.F) é:

=1000 kg*/m3 ou 1t*/m3=981 dina/cm3=62,43 lib*/foot3.

O peso especifico da água a 20º.C é:

=998,2 kg*/m3

Na grande maioria das aplicações hidráulicas costuma-se admitir para a

agua como sendo independente da temperatura.

Nos cursos de águas naturais o peso específico pode ser maior devido à existência de material sólido em suspensão. Para águas pouco turvas será aproximadamente =1010 kg*/m3, em caso de grande turvação pode atingir-se o

valor de =1200 kg*/m3.

Para o peso especifico, adotam-se as seguintes unidades nos principais sistemas:

P = m.g


2.5. Massa Especifica É a massa contida na unidade de volume. Alguns autores (vide Lucas Nogueira Garcez) costumam chamar, este índice, de densidade:

volume

massa [kg* x s2/m4] ........{FL-4T2].

A equação de Newton diz que:

gmW . (expressão III) onde:

W = força peso exercida por um corpo;

m = quantidade de matéria de um corpo;

g = aceleração da gravidade;

Substituindo esta expressão (III) na expressão (II) anterior, teremos:

gV

m.

prosseguindo e substituindo a expressão( I) anterior nesta, tem-se que entre o peso especifico e a massa especifica existe a relação fundamental.

g. (expressão IV)

A massa especifica da água destilada para =1000 kg*/m3 e g=9,81 m/s2 é:

ρ = 102 kg*.m-4.s2.

A temperatura de 4º.C, corresponde o máximo de massa especifica da água. Para massa especifica, adotam-se as seguintes unidades nos principais sistemas:

SISTEMA UNIDADE

CGS g.cm2s-2

MKS Kg.m-2s-2

MK*S kg*.m-3

SI N.m-3

SISTEMA UNIDADE

CGS g.cm-3

MKS kg/m3

MK*S Kg*.m-4.s2

SI N.s2/m4


2.5.1 Igualdade numérica entre a massa específica de um fluido e seu peso específico .

É possível demonstrar-se que há uma igualdade numérica entre a massa especifica e o peso específico de um fluido (vide BASTOS). Seja um valor x o numero que mede o valor de ρ em kg/m3. Daí: ρ = x em (kg/m3) (expressão V)

Considerado g = 9,81 m/s2 e substituindo na expressão (IV) tem-se: = x [kg/m3]. 9,81 [m/s2]

= x. 9,81 em [kg.m.s-2/m3];

Sabe-se que: 1 kg.m.s-2 = 1 Newton = 1N da qual substituindo as unidades na expressão anterior tem-se : = x. 9,81 em [N/m3] , sendo 9,81 N = 1 kg* = 1 kgf, vem como

conseqüência: = x em [kgf/m3],

Conclusão: a massa especifica ρ e o peso especifico ϒ de uma substancia são indicados pelo mesmo numero x, variando apenas suas unidades.

Exemplo: = 900 em [kgf/m3] , de uma substancia, tem ρ= 900 em (kg/m3).

Essa consideração pode ser encontrada em muitos livros de Mecânica dos Fluidos e de Hidráulica. Há de se cuidar que muitas vezes isso perde o significado quando adotamos o valor de g=10,0 m/s2.

2.6. Volume específico É o inverso do peso especifico.

111

volume

pesopeso

VVs

2.7. Densidade É a relação entre a massa (ou peso) de determinado volume do corpo considerado e a massa (ou o peso) de igual volume de água a temperatura de 4º.C que corresponde ao máximo de massa especifica da água.

Portanto é um valor numérico adimensional.


2.8. Viscosidade. De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior

consideração no estudo dos escoamentos. Por definição é a propriedade que caracteriza a resistência ao escoamento do fluido. É a responsável pela resistência ao cisalhamento. Vejamos a seguir:

Supondo duas placas planas e paralelas, ambas com área A e distantes entre si de y. Admitindo que a placa inferior esteja fixa e que a superior se mova com velocidade constante U, sob a ação da força F (também constante).

Supondo ainda que o espaço ocupado entre as duas placas seja ocupado por um fluido, cuja variação de velocidade será analisada na seção transversal BC.

Na parte inferior da seção as partículas do fluido estarão aderentes à respectiva placa, que é fixa. Assim a velocidade no ponto C é nula. Ao contrário no ponto superior B da seção, a velocidade do fluido será U, igual a da placa em deslocamento, na qual as partículas superiores do fluido aderem. Isso sendo devido à condição de não escorregamento. Admitindo-se escoamento laminar, supondo que a variação de velocidade do fluido na seção BC seja linear, desde que, a distancia y e a velocidade U não sejam muito grandes. A experiência mostra que a força F (aplicada a placa móvel) é diretamente proporcional a área A da placa e sua velocidade U. F α A.V Demonstra-se também que F é inversamente proporcional à distancia y, que separa as duas placas. Então tem-se que:

F α y

UA.


No interior da massa fluida, separando 2 laminas paralelas (ideais) de fluido, ambas com a mesma área A e distantes entre si de dy, as quais tem as velocidades v e v+dv , por semelhança da triângulos , pode-se escrever:

dy

dv

y

U

Sendo a força F proporcional a A.U/y e, então, pode-se dizer que F é também proporcional a (A.dv)/dy , em escoamento laminar. Chamando de µ esse coeficiente de proporcionalidade, escreve-se:

dy

dvAF .. de onde obtém-se:

dy

dv

A

F.

sabe-se que a tensão de cisalhamento é A

F que substituindo na expressão

acima fica:

dy

dv. de onde conclui-se que:

dydv /

(expressão I)

Este coeficiente µ é chamado de coeficiente de viscosidade dinâmica do fluido. A equação acima é a Lei de Newton da Viscosidade. É o parâmetro que traduz a existência de esforços tangenciais nos líquidos em movimento. As dimensões de μ são:

2

*

m

segkg .......[FL-2T] ...ou .....[ML-1T-1]

[demonstração na pág 448 do livro: “Problemas de Mec. Fluidos”]

Denomina-se liquido perfeito, um liquido que não existe na natureza cuja viscosidade fosse nula. Um liquido em repouso ou em movimento de conjunto, isto é, em que não haja deslocamentos relativos dos elementos que o constituem, comporta-se como um liquido perfeito. O coeficiente depende da natureza de cada fluido, do qual ele é uma propriedade física característica. O fator de proporcionalidade μ é chamado de Coeficiente de Viscosidade (dinâmica) do fluido ou Também é chamado de viscosidade absoluta. Chamam-se de fluidos newtonianos aqueles que obedecem a expressão I. Os fluidos podem ser classificados como Newtonianos ou não-Newtonianos. No fluido newtoniano existe uma relação linear entre o valor da


tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação resultante [μ=cte na equação da Lei de Newton], como se mostra no gráfico:

Velo

cid

ade d

e d

efo

rmação

dv/d

y

fluid

o n

ew

tonia

no

Velo

cid

ade d

e d

efo

rmação

fluid

o ideal

fluid

o n

ew

tonia

no

plas

tico

idea

l

pla

stica

Velo

cid

ade d

e d

efo

rmação

não n

ew

tonia

no

fluid

o ideal

fluid

o n

ew

tonia

no

Velo

cid

ade d

e d

efo

rmação

não n

ew

tonia

no

pseu

do

fluid

o ideal

Velo

cid

ade d

e d

efo

rmação

não n

ew

tonia

no

pseu

do

fluid

o ideal

subst

ancia

Velo

cid

ade d

e d

efo

rmação

não n

ew

tonia

no

pseu

do

subst

ancia

fluid

oVelo

cid

ade d

e d

efo

rmação

subst

ancia

Tensão de cisalhamento

Tensão de

Cisalhamento

Velo

cid

ade d

e d

efo

rmação

subst

ancia

No fluido não-newtoniano existe uma relação não linear entre o valor da tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação angular. Um plástico ideal tem uma tensão de escoamento definida e uma relação linear constante de sobre dv/dy.

Uma substancia pseudo-plastica, como a tinta de impressão, tem uma viscosidade que depende da deformação angular anterior da substancia e tem a tendência de endurecer quando em repouso. Gases e líquidos finos tendem a ser fluido newtonianos, enquanto que hidrocarbonetos de longas cadeias podem ser não-newtonianos. Se o fluido é também considerado incompressível, ele é então chamado fluido perfeito ou ideal, que no gráfico é representado pelo eixo das ordenadas. Para fins de analise é feita frequentemente a hipótese de que um fluido é não viscoso. Com viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não importando o movimento que o fluido possa ter.


Adotam-se as seguintes unidades nos principais sistemas: CGS .................g.cm-1.s-1 ; também usado o poise e centipoise; MKS..................kg.m-1.s-1 ; Mkg*S...............kgf. m-2.s ; Unidades práticas de viscosidade:

1 2

*

cm

sdyn= 1 poise

1 kgf = 981.000 dinas = 981.000 dyn

12

*

m

skgf=

2)100(

*981000

cm

sdyn= 98,1

2

*

cm

sdyn

1 poise = 0,010194 kgf. m-2.s

2.9. Coeficiente de Viscosidade Cinemática υ

É o quociente do coeficiente de viscosidade dinâmica pela massa especifica:

A água doce a pressão normal tem =1,01x10-6 m2/s.

A viscosidade (as duas) variam muitíssimo com a temperatura. Pode ser considerada praticamente independente da pressão. Isto no caso dos líquidos. Para os aeriformes, μ cresce com θ (temperatura). A viscosidade de um líquido decresce com o aumento da temperatura, mas os gases aumentam sua viscosidade com o aumento da temperatura. A tabela a seguir mostra alguns valores para o coeficiente de viscosidade dinâmica de alguns líquidos.


Os efeitos da viscosidade serão tanto maiores quanto menor a inercia do fluido, ou seja, quanto menor a sua massa especifica ρ. Por conseguinte tem-se a seguinte relação entre a viscosidade dinâmica µ do fluido e sua massa especifica ρ:

Que se chama “coeficiente de viscosidade cinemática”. As dimensões de são [L2T-1].

Adotam-se as seguintes unidades nos principais sistemas: CGS ...................... cm2.s-1 ou “stokes” MKS ...................... m2.s-1 MKgfS...................... m2.s-1 2.10) Tensão de Vapor de agua. A tensão de vapor é a pressão exercida pelo vapor em determinado espaço. A pressão exercida por um gás ou vapor que, juntamente com outros, ocupa determinado espaço é igual a pressão que exerceria se, por si só, ocupasse esse mesmo espaço. A pressão da mistura é a soma das pressões dos vários componentes.


A tensão de vapor de água saturado (o espaço se diz saturado quando não comporta mais vapor a determinada pressão), aumenta com a temperatura, tornando-se igual a pressão atmosférica, no ponto de ebulição.

A máxima altura de coluna de água h que, a dada temperatura, pode ser suportada pela pressão atmosférica p0 é a altura correspondente à pressão atmosférica h0, menos a altura hv correspondentes à tensão de vapor nessa temperatura. Esses valores estão tabelados (ver Manual de Hidráulica de LENCASTRE).


3. DIMENSÕES e UNIDADES Qualquer quantidade física pode ser caracterizada por dimensões. As grandezas designadas para as dimensões são chamadas de unidades. As dimensões podem ser classificadas em dois tipos: primárias ou fundamentais, e as chamadas de secundárias ou derivadas. São consideradas dimensões primárias: massa (m), o comprimento (L), o tempo (t) e a temperatura (T). As derivadas ou secundárias são, por exemplo: velocidade (U), energia (E), volume (V) e área (A). Existem dois sistemas de unidades em uso atualmente no mundo. O sistema inglês (United States Customary System-USCS) e o sistema métrico SI (Le Systéme International d’Unités), que também é chamada/conhecido como sistema Internacional. O SI é um sistema com base em uma relação decimal entre as diversas unidades. O sistema inglês não tem base numérica sistemática aparente e várias unidades desse sistema estão relacionada uma com as outras arbitrariamente. Exemplo: 12 polegadas = 1 pé; 1 milha = 5280 pés; 4 quartos = 1 galão; etc. Em 1960, criou-se o SI, baseado em seis unidades fundamentais: metro (m) para comprimento, quilograma (kg) para massa, segundo (s) para tempo, ampére (A) para corrente elétrica, grau Kelvin (o.K) para temperatura e candela (cd) para intensidade luminosa (quantidade de luz). Em 1971 foi acrescentada a sétima unidade: mole (mol) para a quantidade de matéria. Em 1971, o símbolo de grau foi oficialmente removido da unidade de temperatura absoluta e todos os nomes das unidades deveriam ser escritos em minúsculas mesmo que fossem derivadas de nomes próprios. Entretanto, a abreviatura da unidade deve ser escrita em maiscula se a unidade for derivada de um nome próprio. Nas abreviaturas das unidades, não se utiliza ponto, a não ser no final da frase, assim para o metro tem-se m (e não m.). 3.1 Algumas Unidades SI e Inglesas. No SI as unidade de massa, comprimento e tempo são quilograma (kg), metro (m) e segundo (s), respectivamente. As respectivas unidades no sistema inglês são: libra-massa (lbm), pé (ft) e segundo (s). Assim temos algumas relações entre os dois sistemas, como: 1 lbm = 0,45359 kg 1 pé = 0,3048 m 1 pol = 0,0254 m


No sistema inglês, a força é considerada como dimensão primária e não derivada. Isso pode causar algumas inversões na interpretação, que, por exemplo, obriga-se a utilizar um dimensional (g...aceleração da gravidade) em muitas fórmulas. O mais simples é dizer que a Força = massa x aceleração (m*a); No SI, a unidade de força é o newton (N), que é definido como a força necessária para acelerar uma massa de 1 kg a uma taxa de 1 m/s2. No sistema inglês, a unidade de força é a libra-força (lbf), que é definida como a força necessária para acelerar uma massa de 32,174 lbm (1 slug) a uma taxa de 1 pé/s. 1 N = 1 kg.m/s2 1 lbf = 32,174 lbm.pés/s2 Outra unidade de força é o quilograma-força (kgf), que é o peso da massa de 1 kg ao nível do mar. (1 kgf = 9,807 N). Por fim, temos no SI a unidade de medida do trabalho. Trabalho por definição é igual ao produto de uma força x distancia deslocada. Sua unidade seria “newton-metro (N.m). que é chamado de joule (J), Isto é: 1 J = 1 N x 1 m No sistema inglês, a unidade de energia é o Btu (British termal unit) ou (unidade térmica britânica), que é definida como a energia necessária para aumentar a temperatura de 1 lbm de água a 68oF de 1oF.


4. EXATIDÃO, PRECISÃO E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS. (pg 24-Çengel). 4.1. Algarismos Significativos

Muitos dos números com que trabalhamos, em ciência, são os resultados

de medidas e, portanto, conhecidos apenas dentro de um certo grau de incerteza. Esta incerteza deve ser refletida no numero de algarismos utilizados.

Por exemplo, se você tem uma régua de 1 metro, graduada em centímetros, você sabe que pode medir a altura de uma caixa dágua com a “precisão” de um quinto de centímetro, para mais ou para menos. Usando esta régua, você pode encontrar a altura da caixa como sendo 103,0cm.

Se a graduação da sua régua for em milímetros, talvez você possa medir a altura da sua caixa como sendo 103,04cm. No entanto, se sua régua é graduada em milímetros, talvez você não seja capaz de medir a altura com uma precisão maior do que 103,04cm, porque a altura pode variar uns 0,01cm, dependendo de qual parte ou ponto que você toma para fazer a medida.

Quando se escreve que a altura da caixa é de 103,04cm, está se afirmando de que sua melhor estimativa de comprimento é de 103,04cm, mas não esta alegando que ela vale exatamente 103,040000...cm. Os 05 (cinco) algarismos em 103,04cm são chamados de algarismos significativos. Seu comprimento medido, 1,0304m possui cinco algarismos significativos.

O numero de algarismos significativos no resultado de um cálculo dependerá do numero de algarismos significativos dos dados. Quando você trabalha com números que tem incertezas, deve cuidar para não incluir mais algarismos significativos do que a certeza da medida garante. Cálculos aproximados (estimativas de ordem de grandeza) sempre resultam em respostas que têm apenas um algarismo significativo, ou nenhum. Ao multiplicar, dividir, somar ou subtrair números, você deve considerar a “precisão” dos resultados.

Algumas regras que podem ajudar a se determinar o número de algarismos significativos de seus resultados:

1) ao multiplicar ou dividir quantidade, o numero de algarismos significativos do resultado final não deve ser maior do que o da quantidade com o menor numero de algarismos significativos.

2) Ao somar ou subtrair quantidades, o numero de casas decimais do resultado deve ser igual ao da quantidade com o menor numero de casas decimais.

3) Valores exatos possuem um número ilimitado de algarismos significativos. Por exemplo, um valor a que se chegou por contagem, como 2 mesas, não apresenta incerteza e é um valor exato. Outro exemplo é o fator de conversão de metro em polegadas: 0,025400, é um valor exato. Isto porque 1,00 pol (ft) é exatamente igual a 0,025400... metros.

4) As vezes os zeros são significativos, outras vezes não. Se um zero esta antes do primeiro algarismo não-nulo, então o zero é não significativo. Exemplo: o número 0,00890 possui três algarismos significativos. Os primeiros três zeros não são algarismos significativos, e indicam apenas a posição da vírgula decimal. Note que o zero após o nove é significativo.

5) Zeros entre números não-nulos são significativos. Exemplo: 5603 possui quatro algarismos significativos.

6) Ambigüidade: o numero de algarismos significativos em números com zeros sem virgula decimal. Exemplo: 31000 pode ter cinco algarismos


significativos, ou dois algarismos significativos. Para se evitar ambigüidade, deve ser informado valores usando-se notação cientifica, ou uma vírgula decimal.

Exercício exemplo. Calcular a média entre os três números (19,90); (-7,524) e (-11,8179). Somando-se os três números e dividindo por 3:

....1860333,03

5581,038179,11524,790,19

Resposta correta: 0,19 Porque pela regra 2 anterior, a soma tem um numero cuja quantidade com o menor numero de casas decimais é de dois algarismos significativos.

Bibliografia: ÇENGEL, Y.A.; CIMBALA, J.M. Mecânica dos Fluidos, fundamentos e aplicações. – São Paulo, McGraw-

Hill, 2007. FOX, R. W. & McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro-RJ, 2010-7ª. Edição. GARCEZ, L. N.; Elementos de Mecânica dos Fluidos. Ed. Edgard Blucher Ltda. São Paulo-SP, 1970.

BASTOS, F. A. A.; Problemas de Mecânica dos Fluidos. Editora Guanabara Dois S.A. Rio de Janeiro-RJ,

1983.

LENCASTRE, A.; Manual de Hidráulica Geral. Ed. Edgard Blucher & Editora da Universidade de São Paulo,

São Paulo-SP, 1972. SILVESTRE, P.; Hidráulica Geral. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro-RJ, 1979.

TIPLE, PAUL ALLEN. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e ondas termodinâmicas. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro-RJ, 2009, vol.1.

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