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CAPTULO 01 - SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

NDICE

CAPTULO 01 - SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

1.1- INTRODUO 03

1.2 - SISTEMA ESCALONADO 03

1.3 - RESOLVENDO UM SISTEMA ESCALONADO NO EXCEL OU STARCALC 03

1.4 - SISTEMAS EQUIVALENTES 04

1.5 - ESCALONANDO UM SISTEMA NO EXCEL OU STARCALC 05

EXERCCIOS 06

1.6 - SISTEMAS POSSVEIS E IMPOSSVEIS 06

1.7 - GRAU DE LIBERDADE 07

EXERCCIOS 07

CAPTULO 02 MATRIZES

2.1 - INTRODUO 08

2.2 LEI DE FORMAO 08

EXERCCIOS 09

2.2 - ALGUNS TIPOS DE MATRIZES 09

EXERCCIOS 09

2.3 - IGUALDADE DE MATRIZES 10

2.4 - OPERAES COM MATRIZES 10

2.5 - MULTIPLICANDO MATRIZES NO STARCALC E NO EXCEL 12

EXERCCIOS 13

CAPTULO 03 DETERMINANTES

3.1 PERMUTAES PARES E PERMUTAES MPARES 15

3.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 15

EXERCCIOS 17

3.3 - MATRIZ COMPLEMENTAR E CO-FATOR 17

EXERCCIOS 18

3.4 ESCALONANDO UMA MATRIZ 19

CAPTULO 04 - INVERSO DE MATRIZES

4.1 DEFINIO 20

4.2 INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2 20

EXERCCIOS 20

4.3 - MATRIZ INVERSA NO STARCALC 20

4.4 - MATRIZ INVERSA NO EXCEL 21

4.5 MATRIZ ADJUNTA 22

4.6 ADJUNTA E INVERSA 23

4.7 ALGUMAS PROPRIEDADES ENVOLVENDO A MATRIZ INVERSA 24

4.8 - RESOLVENDO EQUAES MATRICIAIS 24

4.9 OUTRA FORMA DE DETERMINAR A INVERSA 25

EXERCCIOS 26

4.10 - GRAFOS - UMA APLICAO DA LGEBRA DAS MATRIZES 27

CAPTULO 05 ESPAOS VETORIAIS

5.1 OPERAES E PROPRIEDADES 30

5.2 DEFINIO DE ESPAO VETORIAL 30

EXERCCIOS:- 30

5.3 - SUBESPAO VETORIAL 31

EXERCCIOS: 32

5.4 GERADORES DE UM ESPAO VETORIAL 32

EXERCCIOS 33

5.5 GERADORES DE Rn 33

EXERCCIOS 34

5.6 DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR 34

5.7 BASE E DIMENSO DE UM ESPAO VETORIAL 34

5.8 -PROPRIEDADES E CONSEQNCIAS DA DEFINIO 34

5.9 BASE CANNICA 35

EXERCCIOS: 35

5.10 MUDANA DE BASES 36

EXERCCIOS:- 38

CAPTULO 06 TRANSFORMAES LINEARES

6.1 INTRODUO 39

EXERCCIO: 39

6.2 TRANSFORMAO LINEAR 39

EXERCCIOS: 39 EXERCCIOS 40

6.3 TRANSFORMAES LINEARES E MATRIZES 40

6.4 TRANSFORMAES LINEARES NO PLANO E SUAS REPRESENTAES GRFICAS 40

6.5 OPERAES COM TRANSFORMAES LINEARES 42

EXERCCIOS 44

CAPTULO 07 OPERADORES LINEARES

7.1 INTRODUO 45

7.2 NCLEO DE UMA TRANSFORMAO LINEAR 45

EXERCCIOS: 46

7.3 - OPERADORES INVERSVEIS 46

EXERCCIOS 46

7.4 - OPERADORES ORTOGONAIS 47

7.5 - OPERADORES SIMTRICOS 47

EXERCCIOS: 47

CAPTULO 01 - SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

1.1 - INTRODUO

Uma equao da forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + .... + anxn = b1 onde cada ai um nmero real e cada xi uma varivel dita equao linear de primeiro grau, com n variveis. Note que todas as variveis apresentam expoente igual a 1 e no aparece produto de variveis, por este motivo a equao do primeiro grau.O nmero real b1 chamado de termo independente.Um conjunto com n equaes na forma anterior constitui um sistema de equaes lineares.O conjunto abaixo a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a44x4 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3constitui um sistema formado por 3 equaes lineares e 4 variveis.Nesse sistema, cada aij um coeficiente (nmero real), x1, x2, x3, x4 so as variveis e b1, b2, b3 e b4 so os termos independentes. Um conjunto de nmeros reais que satisfaa a todas as equaes uma soluo do sistema. Assim, para, o sistema de variveis x e y, x + y = 7 x - y = 1, (4, 3) uma soluo (no caso, soluo nica).Portanto, resolver um sistema, encontrar um conjunto (x1, x2, ...xn), chamado n-upla ordenadas, que verifique as equaes.

Exerccios:1. Para cada um dos conjuntos (3, 2, -1), (-2, 1, 2) e (1, 1, -1), escritos na forma (x, y, z) verificar se so ou no solues do sistema:2x + y + z = - 2; 3x - 4y + z = - 2; 6x + 3y - 2z = 11.2. Se (1, 2, -3) soluo do sistema:x - 2ay + 3z = 19; bx - 2y + 4z = 11; 2x + 4y - 3cz = 21, calcule os valores de a, b e c.

1.2 - SISTEMA ESCALONADO

Observe o sistema abaixo: 3x + 2y + 3z - w = 12 y + z + w = 9 2z - w = 2 2w = 8

Neste sistema, em cada equao o coeficiente da primeira varivel da equao anterior nulo. Isto : a primeira varivel da primeira equao x. Seu coeficiente na segunda equao nulo. Nesta, a primeira varivel y. Na terceira equao, o coeficiente de y nulo. Isto se repete at a ltima equao. Um sistema como o acima tem forma denominada triangular ou escalonada. O sistema escalonado com n equaes e n variveis tem soluo bastante simples. Tomando a ltima equao, obtm-se w = 4. Substituindo esse valor na equao anterior, 2z 4 = 2 ( z = 3. Substituindo os valores de w e z na segunda equao, y + 3 + 4 = 9 ( y = 2 e finalmente, na primeira equao:3x + 2.2 + 3.3 4 = 12 ( x = 1. Portanto, a soluo do sistema a qudrupla ordenada (1, 2, 3, 4).

1.3 - RESOLVENDO UM SISTEMA ESCALONADO NO EXCEL OU STARCALC

O processo de resoluo de um sistema escalonado um processo que permite uma seqncia lgica. Desta forma possvel criar um algoritmo para a resoluo de tais sistemas. Voc pode usar qualquer linguagem de computao e criar esse algoritmo.Iremos criar um algoritmo que pode ser usado no EXCEL ou no STARCALC, para um sistema de 10 equaes e 10 variveis. O algoritmo pode ser estendido para um maior nmero de equaes bem como pode ser usado para um nmero menor de equaes.Para ampliar o algoritmo basta acrescentar novas linhas acima da primeira linha acrescentando os coeficientes, o termo independente e a frmula iterativa para calcular os valores das outras variveis. Para usar o algoritmo com um nmero menor de equaes, substitui-se as ltimas linhas pelos coeficientes e termos independentes. Nas equaes excedentes, preenche os coeficientes com 0 (zero) .A tabela abaixo mostra a montagem para resolver o sistema de 10 equaes e 10 variveis.

Veja as frmulas utilizadas nas clulas:

O14: =M14/K14O13: =(M13-O14*K13)/J13O12: =(M12-O14*K12-O13*J12)/I12O11: =(M11-O14*K11-O13*J11-O12*I11)/H11O10: =(M10-O14*K10-O13*J10-O12*I10-O11*H10)/G10O9: =(M9-O14*K9-O13*J9-O12*I9-O11*H9-O10*G9)/F9O8: =(M8-O14*K8-O13*J8-O12*I8-O11*H8-O10*G8-O9*F8)/E8O7: =(M7-O14*K7-O13*J7-O12*I7-O11*H7-O10*G7-O9*F7 - O8*E7)/D7O6: =(M6-O14*K6-O13*J6-O12*I6-O11*H6-O10*G6-O9*F6 - O8*E6 O7*D6)/C6O5: =(M5-O14*K5-O13*J5-O12*I5-O11*H5-O10*G5-O9*F5 - O8*E5 - O7*D5 O6*C5)/B5

Ao utilizar o dispositivo para resolver um sistema diferente, basta substituir os valores dos coeficientes e dos termos independentes, que a soluo do sistema ser automtica.Voc pode criar um dispositivo semelhante ou baixar o arquivo trian.exe (veja no ndice ao lado item 2a), descompact-lo e abrir no Excel ou StarCalc.Se voc tem instalado em seu computador o

EXERCCIOS:Resolva os sistemas:1. x - 3y = 2 e 2y = 6 2. x + y + z = 8 e 2y + z = 5 e 3z = 93. 3x + 2y + 4z - 5w + 2r - 3t = 21; y - z + 2w - r + 4t = 100; - 5z + 2w - 3r + t = 19; 7w - 2r - 3t = 91; r - t = 2; 5t = 10.

1.4 - SISTEMAS EQUIVALENTES

Dois sistemas so ditos equivalentes se admitirem as mesmas solues. Por exemplo: os sistemas x + y = 7 2x + 2y = 14 x - y = 1 3x - 3y = 3 so equivalentes pois a soluo de ambos (4, 3).

Dado um sistema, para transform-lo em outro equivalente, podemos: i) trocar a posio das equaes ii) multiplicar uma equao por um nmero real diferente de zeroiii) multiplicar uma equao por um nmero real, diferente de zero, e som-la a outra equao que tambm pode estar ou no multiplicada por um nmero real. As transformaes acima so chamadas de transformaes lineares. Aplicando-as convenientemente possvel transformar um sistema para a forma escalonada.

Vejamos um exemplo aplicando as transformaes a um sistema de modo a transform-lo em escalonado.Seja o sistema: x + 2y - z = 11 2x - 3y + 2z = 9 x - y + z = 5 Eliminando o x da 2 e 3 equaes - Multiplica-se a primeira equao por (-2) e soma-se 2 e por (-1) e soma-se 3. x + 2y - z = 11 (observe que a primeira foi multiplicada apenas para somar s demais) - 7y + 4z = - 13 - 3y + 2z = - 6 Multiplicando a segunda por (-3) e somando terceira multiplicada por 7, x + 2y - z = 11 - 7y + 4z = - 13 2z = -3. Desta forma foi obtida a forma escalonada para o sistema. A soluo do mesmo : z = -3/2; y = 1 e x = 15/2.

1.5 - ESCALONANDO UM SISTEMA NO EXCEL OU STARCALC

Utilizando os programas acima, pode-se criar um aplicativo para escalonar um sistemas. Damos abaixo uma seqncia de passos para inserir as frmulas nas clulas para um sistema com 8 equaes e 8 variveis.Para utilizar a seqncia de passos, deve-se preencher o conjunto de clulas B9 a I16 com os coeficientes das variveis (uma equao por linha) e as clulas K9 a k16 com os termos independentes. importante que se observe a ordem das variveis.A seqncia abaixo mostra como inserir as frmulas na coluna B.

Aps a insero das frmulas na coluna B, selecione as clulas dessa coluna e arraste para copi-las para as colunas C, D, E, ... I, J, k.A seguir preencha as clulas M80 a M87 com as frmulas M80 = (K80-M87*I80-M86*H80-M85*G80-M84*F80-M83*E80-M82*D80-M81*C80)/B80M81 = SE(C81=0;0;(K81-M87*I81-M86*H81-M85*G81-M84*F81-M83*E81-M82*D81)/C81)M82 = SE(D82=0;0;(K82-M87