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Capítulo 1: Fração e Potenciação
1.1. Fração
Fração é uma forma de expressar uma quantidade sobre o todo. De
início, dividimos o todo em n partes iguais e, em seguida, reunimos um
número m dessas partes.
A fração é representada por 𝑚
𝑛 em que n indica em quantas partes o
todo foi dividido e m indica quantas são as partes de interesse.
Exemplo: 1
4= 0,25
Neste caso, temos 1 parte de interesse nas 4 partes disponíveis, o que
equivale a 0,25.
Tipos de fração:
Fração própria: É a fração cujo numerador é menor que o denominador.
Exemplos: 2
4,
3
7,
9
11…
Fração imprópria: É a fração em que o numerador é maior que o
denominador.
Exemplos: 3
2,
9
4,
7
3…
Fração equivalente: São frações que representam a mesma quantidade.
Exemplos: 1
2,
2
4,
4
8,
8
16…
Operações com frações:
Soma e subtração:
Frações que têm os mesmos denominadores, basta somar ou subtrair
os numeradores.
Exemplos: 1) 1
4+
3
4=
4
4= 1
2) 3
8+
4
8=
7
8
2
Frações em que os denominadores são diferentes reduzem-se as
frações a um mesmo denominador, utilizando mínimo múltiplo comum
(M.M.C.).
Exemplos: 1) 3
4+
2
5=
(3∗5)+(2∗4)
20=
23
20
2) 4
8+
3
4=
(4∗4)+(3∗8)
32=
16+24
32=
40
32
Produto:
Na multiplicação de frações, o numerador é o produto dos
numeradores e o denominador é o produto dos denominadores.
Exemplos: 1) 4
3∗
3
5=
12
15
2) 7
3∗
2
3=
14
9
Divisão:
Já na divisão de duas frações, obtém-se outra fração multiplicando a
primeira fração pelo inverso da segunda.
Exemplos: 1)
2
34
5
=2
3∗
5
4=
10
12
2)
5
43
8
=5
4∗
8
3=
10
3
1.2. Potenciação
Potenciação significa multiplicar fatores iguais (números envolvidos
em uma multiplicação). Ou seja, elevar um número ou expressão a um
expoente. Como exemplo:
Expoente
𝑎𝑛 = a.a.a.a ... a. Potência
Base
Em que a será multiplicado n vezes. O expoente (n) é a quantidade de
vezes que a base (a) se repete e a potência é o resultado do produto.
3
Exemplos:
1) 43 = 4.4.4 = 64
2) −(5)2 = -25
3) −52 = −25
4) 14 = 1.1.1.1 = 1
5) 2650 = 1
Propriedades da potenciação:
1. 𝒂𝒎+ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
Exemplos:
1. 32 + 33= 35
2. 92 + 96 = 98
3. 199 + 11 = 1100
2. 𝒂𝒎
𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏
Exemplos:
1. 46
44= 42 = 16
2. 33
31= 32 = 9
3. 211
2= 210 = 1048
3.(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎∗𝒏
Exemplos:
1. (4𝑥)7 = 47∗𝑥
2. (33)2 = 33∗2 = 36
3. (22)2 = 24 = 16
4
4. √𝒂𝒏𝒎 = 𝒂
𝒏
𝒎
Exemplos:
1. √𝑥2
= 𝑥1
2
2. √363 = 3
6
3 = 32 = 9
3. √264 = 2
6
4 = 23
2 = √232
𝟓. (𝒎
𝒏)
𝒂=
𝒎𝒂
𝒏𝒂
Exemplos:
1. (2
3)
2=
22
32=
4
9
2. (1
2)
10=
110
210=
1
1048
3. (3
9)
3=
33
93=
27
81
6. (𝒎 ∗ 𝒏)𝒂 = 𝒎𝒂 ∗ 𝒏𝒂
Exemplos:
1. (2 ∗ 5)2 = 22 ∗ 52 = 4 ∗ 25 = 100
2. (3 ∗ 7)3 = 33 ∗ 73 = 27 ∗ 343 = 6561
3. (25 ∗ 16)1
2 = 251
2 ∗ 161
2 = 5 ∗ 4 = 20
7. 𝒂−𝟏 =𝟏
𝒂 com a ≠ 0
Exemplos:
1. 2−2 =1
22=
1
4
2. 3−3 =1
33=
1
27
3. 2−10 =1
210=
1
1048
5
Capítulo 2: Radiciação e Fatoração
2.1. Radiciação
Radiciação é o processo inverso da potenciação, uma vez que elevar
um número a um expoente, e o resultado dessa operação for elevado ao
inverso do mesmo expoente, voltará ao número inicial, como mostrado no
exemplo abaixo.
Exemplo:
23 = 8 √83
= 2
Na raiz √𝑎𝑛
= x, tem-se:
O número n chamado de índice;
O número a chamado radicando;
O número x chamado de raiz;
O símbolo √ chamado de radical.
2.1.1. Propriedades da radiciação:
1. √𝒂𝒎𝒏= 𝒂
𝒎
𝒏 (Obs.: já foi vista em Potenciação)
2. √𝒂𝒏𝒏= 𝒂
𝒏
𝒏 = 𝒂𝟏 = 𝟏
Exemplos: 1) √433= 4
3
3 = 4
2) √𝑦44= 𝑦
4
4 = 𝑦
3) √33𝑥𝑥= 33
𝑥
𝑥 = 33
6
3. √𝒂
𝒃
𝒏=
√𝒂𝒏
√𝒃𝒏
Exemplos: 1) √𝑥
𝑦
3=
√𝑥3
√𝑦3
2) √4
9
2=
√42
√92 = 2
3
3) √81
16
4=
√814
√164 = 3
2
4. ( √𝒂𝒏 )𝒎
= (𝒂𝟏
𝒏)𝒎
= 𝒂𝟏
𝒏 .
𝒎
𝟏 = 𝒂𝒎
𝒏 = √𝒂𝒎𝒏
Exemplos: 1) (√22
)2
= 2
2) (√7)3
= 73
2
3) (√34
)6
= 36
4 = 33
2
5. √ √𝒂𝒏𝒎= √𝒂𝒎 . 𝒏
Exemplos: 1) √√6432
= √646
= 2
2)√√𝑥43= √𝑥12
7
3) √√8122
= √814
= 3
2.1.2. Operação com radicais
Adição e subtração:
Quando há radicais iguais, pode-se reduzir os radicais a um único
radical somando, ou subtraindo, os fatores externos dos mesmos, pode-se
dizer que estamos colocando em evidencia os radicais que aparecem em
todos os termos da soma.
Exemplos: 1) 3√2 + 4√2 = ( 4 + 3)√2 = 7√2
2) 𝑥 √𝑦3 + 𝑧 √𝑦3 = (𝑥 + 𝑧) √𝑦3
3) 13√3 − 2√3 = (13 − 2)√3 = 11√3
4) 14√5 − 7√5 = (14 − 7)√5 = 7√5
Multiplicação:
A multiplicação de radicais envolve 3 casos básicos, abaixo será
mostrado cada um deles:
1º caso: Radicais tem raízes exatas.
Quando isso ocorrer, basta extrair as raízes e multiplicar os
resultados.
Exemplos:
1) √25 ∗ √643
= 4 ∗ 5 = 20
2) √814
∗ √83
= 3 ∗ 2 = 6
8
2º caso: Raiz tem o mesmo índice.
Deve-se conservar o índice e multiplicar os radicais.
Exemplos:
1) √23
∗ √73
= √143
2) √204
∗ √34
∗ √44
= √20 ∗ 3 ∗ 44
= √2404
3º caso: Radicais tem índices diferentes.
Nesse caso, o melhor a se fazer é transformar os radicais em
potencias fracionarias. Feito isso transformar os expoentes.
Exemplos:
1) √𝑎2 ∗ √𝑏3
= 𝑎1
2 ∗ 𝑏1
3 = 𝑎3
6 ∗ 𝑏2
6 = √𝑎36∗ √𝑏26
= √𝑎3𝑏26
2) √43
∗ √104
= 41
3 ∗ 101
4 = 44
12 ∗ 103
12 = √4412∗ √10312
Divisão:
Assim como a multiplicação, a divisão de radicais envolve 3 casos
básicos.
1º caso: Radicais tem raízes exatas.
Do mesmo jeito da multiplicação, basta extrair a raiz e dividimos os
resultados.
Exemplos:
1) √81
√83 =9
2
2) √273
√164 = 3
2
9
2º caso: Radicais tem o mesmo índice.
Deve-se conservar os indicies e dividir os radicais.
Exemplos:
1) √123
√33 = √12
3
3= √4
3
2) √𝑥4𝑦3
√𝑥3 = √𝑥4𝑦
𝑥
3= √𝑦𝑥33
= 𝑥 √𝑦3
3º caso: Radicais com índices diferentes
O modo mais fácil de resolver, assim como em multiplicação é
transformar em potencias fracionarias, efetuar as operações com fração e
volta para forma radical.
Exemplos:
1) √23
√24 =2
13
214
= 21
3−
1
4 = 21
12 = √212
2)√𝑥34
√𝑥5 =𝑥
34
𝑥15
= 𝑥3
4−
1
5 = 𝑥11
20 = √𝑥1120
2.1.3. Racionalização de denominadores
Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional,
significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional.
Para realizar está operação, basta multiplicar os dois termos da fração por
um número conveniente. Há três casos para realização dessa operação.
1º caso: Denominador com índice quadrático
Exemplos:
1) 3
√4=
3
√4∗
√4
√4=
3√4
(√3)2 =
3√4
4
2) 5
√x=
5
√x∗
√x
√x=
5√x
(√x)2=
5√x
x
10
2º caso: Denominador com índice maior que dois.
Exemplos:
1) 𝑦
√𝑥3 =𝑦
√𝑥3 ∗√𝑥23
√𝑥23 =𝑦 √𝑥23
√𝑥1∗𝑥23 =𝑦 √𝑥23
√𝑥33 =𝑦 √𝑥23
𝑥
2) 4
√24 =4
√24 ∗√234
√234 =4 √234
√21234 =4 √234
√244 =4 √234
2= 2√234
3º caso: Tem-se no denominador soma ou subtração de radicais.
Exemplos:
1) 3
√4−√5=
3
√4−√5∗
√4+√5
√4+√5=
3(√4+√5)
(√4)2
−(√5)2 =
3(√4+√5)
4−5=
3(√4+√5)
−1
2) 8
√6+√3=
8
√6+√3∗
√6−√3
√6−√3=
8(√6−√3)
(√6)2
−(√3)2 =
8(√6−√3)
6−3=
8(√6−√3)
3
2.1.4. Fatoração
Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou
mais expressões, chamadas fatores. Em outras palavras, isto significa
escrevê-las na forma de um produto de expressões mais simples.
Exemplo:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦)
Tipos de fatoração:
1. Fator Comum: Quando o termo apresenta fatores em comum.
Exemplo: 1) 4𝑥 + 𝑥𝑦 + 3𝑥 = 𝑥(4 + 𝑦 + 3)
2) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏)
2. Agrupamento: Consiste em aplicar duas vezes o fator comum em
alguns polinômio.
Exemplo: 1) 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏)
Posteriormente, aplicar fator comum novamente, logo:
11
𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦(𝑎 + 𝑏) = (𝑥 + 𝑦) ∗ (𝑎 + 𝑏)
2) 3𝑥 + 𝑦2 + 𝑦𝑥 + 3𝑦 = 𝑥(3 + 𝑦) + 𝑦(3 + 𝑦)
𝑥(3 + 𝑦) + 𝑦(3 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) ∗ (3 + 𝑦)
3. Diferença de quadrados: transformam-se as expressões em produtos da
soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada
quadrado.
Exemplo: 1) 𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 + 𝑦) ∗ (𝑥 − 𝑦)
2) 32 − 𝑎2 = (3 − 𝑎) ∗ (3 + 𝑎)
4. Trinômio quadrado perfeito: Se diz trinômio quadrado perfeito
quando: Dois dos seus termos são quadrados perfeitos e o outro termo é
igual ao dobro do produto das raízes dos quadrados perfeitos.
Exemplo:
que é igual ao segundo termo da equação inicial.
5. Trinômio do 2º grau: Acha-se as raízes do trinômio para poder fatorar.
Exemplo: Suponha-se que a e b são raízes do trinômio 𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑; logo a
forma fatorada se da por (𝑥 + 𝑎) ∗ (𝑥 + 𝑏)
6. Soma e diferença de Cubos: A soma de dois cubos é igual ao produto
do fator 𝑎 + 𝑏 pelo fator 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2.
Exemplo: 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏) ∗ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator 𝑎 − 𝑏 pelo fator
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2.
Exemplo: 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏) ∗ (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)
12
Capítulo 3: Produtos notáveis e Frações Algébricas
3.1. Produtos notáveis
3.1.1. Quadrado da soma de dois termos: O quadrado da soma de dois
termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do
primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo: (a + b)2 = (a + b) ∗ (a + b)
(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
3.1.2. Quadrado da diferença de dois termos: O quadrado da diferença
entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o
produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos: (a − b)2 = (a − b) ∗ (a − b)
(a − b)2 = a2 − ab − ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3.1.3. Produto da soma pela diferença de dois termos: O produto da
soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos
o quadrado do segundo termo.
Exemplo: (a − b) ∗ (a + b) = a2 − b2
3.1.4. Cubo da soma de dois termos: O cubo do primeiro termo mais três
vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes
o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do
segundo termo.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
3.1.5. Cubo da diferença de dois termos: O cubo do primeiro termo
menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo
mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo
menos o cubo do segundo termo.
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
13
3.2. Frações Algébricas
O cálculo de frações algébricas utiliza o mesmo processo do cálculo
das frações numéricas, admitindo-se que no denominador haja, pelo menos,
uma incógnita e sempre o denominador seja diferente de zero.
Para realizar a adição e subtração, precisamos encontrar o mínimo
múltiplo comum entre os denominadores. Mas para realizar a multiplicação
e a divisão de frações algébricas, o processo é mais simples.
Exemplos: 1) 𝑎
1+
𝑏
𝑎2=
𝑎∗𝑎2+𝑏
𝑎2=
𝑎3+𝑏
𝑎2
2) 𝑎
𝑥+
2𝑎
𝑥2=
𝑎∗𝑥+2𝑎
𝑥2=
𝑎𝑥+2𝑎
𝑥2=
𝑎(𝑥+2)
𝑥
14
Lista de Exercícios - Frações
1. Efetue as seguintes operações com frações:
a) 1
7+
1
3
b) 3
4−
2
3
c) 14
8+
3
9
d)
3
44
3
e) 5
3∗
9
25
g) 2
9+
4
7−
3
4
e)
3
49
12
+6
7
h) 4 +1
3
i) 3
5+ 4 +
3
7
j) 4
7+ 14
k) 15 −34
4
l) 20
10+
34
2
m) 23
3− 7
n) 18
2+ 1
15
Lista de Exercícios - Exponenciação
1. Resolva os exercícios seguintes com base nas propriedades da
exponenciação.
a) 6−2 j) −2−2
b) −42 k) −3−3
c) (7 ∗ 4 )−3 l) (4
3)
−2
d) 66
6−4 m) 1−57
e) 5−4 ∗ 53 n) 166
f) 10480 o) −1−17
g) 017 p) (−4
3)
−3
h) 880 q) 5−1/3
i) 1−1000 r) 15−3
2. Simplifique as expressões abaixo:
a) 𝑥−3.𝑥16.𝑦−3
𝑥12.𝑦−6
b) 26
42
c) (4−3.34.5−2)
4−2.32
d) −𝑎−10.𝑏5
𝑎−9.𝑏4
16
3. Se x = −(−2)2−√16
(−3+7)0−2 qual o valor de 𝑥−1 ?
4. Qual a metade de 212 + 3. 210 ?
5. Qual o resultado de 920 + 920 + 920?
6. Qual o resultado do quociente de 5050 por 2525?
7. Simplifique as expressões abaixo:
a) (2𝑛.4)
√83 .23𝑛+1
b) 4𝑛 . 2𝑛−1
4𝑛+1
c) 25𝑛+2.√100
5𝑛+1
17
Lista de Exercícios - Fatoração
1. Fatore:
a) 3𝑥2 + 9𝑥 + 15𝑥
b) 𝑥2 + 2𝑥2 − 𝑥
c) 13𝑥 + 26𝑥
d) 14𝑥3𝑎2𝑐 + 7𝑎3𝑐2
e) 2𝑎3 + 4𝑏2 + 4𝑎2 + 2𝑏3
f) 5𝑎3 + 𝑐𝑎3 + 5𝑐4 + 𝑎𝑐4
g) 𝑥2 − 16
h) 𝑥2 − 81
i) 9𝑥2 − 49
j) 1 − 36𝑥2
h) 16𝑥4 − 9𝑥2
k) 𝑥2 − 10𝑥 + 25
l) 16𝑥2 + 24𝑥 + 9𝑥𝑦2
m) 1000𝑥3 − 1500𝑥2 + 750𝑥 − 125
n) 𝑘6 − 3𝑡𝑘4 + 3𝑘2𝑡2 − 𝑡3
o) 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑎 + 𝑏
p) 𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 𝑏2 + 3𝑎 − 6𝑏
2. Se 𝑥 + 𝑦 = 8 e 𝑥 ∗ 𝑦 = 15, qual é o valor de 𝑥2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦2 ?
3. Fatore as expressões algébricas:
a) 4𝑎4 − 𝑎 − 𝑎3 + 4𝑎2 c) 𝑎4 − 3𝑥2 + 9
b) 𝑎8 − 𝑏8 d) 4𝑥2 + 8𝑥2𝑦2 + 9𝑦4
18
4. Fatore as expressões algébricas abaixo:
a) (𝑥2−𝑥)∗(𝑥+1)
(𝑥2−2𝑥)∗(𝑥+2)
b) 𝑥2−8𝑥+16
𝑥2−16
c) 20062−20055
2006−2005
d) 𝑎3+2𝑥
𝑥+2
e) (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2
f) 𝑥6−𝑦6
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2
g) (√2 + √3)2
+1
5+2√6
19
Lista de Exercícios – Radiciação
1. Resolva os seguintes exercícios com base nas propriedades da
radiciação:
a) √463 j) √5 + √7 + 3√5 − 2√7
b) √104 k) 4√25 + √1253
c) √1
1000 l) 15√4
3− 2√4
3
d) √25
16 m) √9𝑏2
e) −√0,01 n) √1024 𝑏5𝑎105
f) −√0,81
064 o) √
1
49
4
g) √𝑡63 p)√
32𝑥8
𝑦4𝑧12
4
h) √483
q) √25𝑥4𝑧
i) √20 o) 1
3√45
2. Simplifique as expressões abaixo:
a) 6√54 − 7√18 + 14√45
b) 8√2 − 5√8 + 13√18 − 15√50 − 9√92
c)1
5√45 −
1
3√180 +
4
5√25
d) 4√81
64
3+ 81 √
375
729
3− 10 √
24
125
3
e) √645
+ √4865
+ √25
20
3. Considerando 𝑎 = √9𝑚, 𝑏 = √100𝑚 e 𝑐 = −8√36𝑚 , determine:
a) 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =
b) 𝑎 − (𝑏 + 𝑐) =
c) 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 =
d) (𝑎 + 𝑏) − 𝑐 =
4. Calcule:
a) 7√5 ∗ 3√6 k) √𝑎6 ∗ √𝑎46
b) 14 √93
∗ √33
l) (√𝑎)3 ∗ 𝑎2
c) 8√10
2√5 m) √𝑎3 ∗ √𝑎5 ∗ √𝑎6
d) 8+ √52∗4∗4
3 n)
√𝑎3
√𝑎5
e) 4𝑎√𝑏 + 3√𝑎𝑏2 + 3𝑎√𝑎 − 5√𝑎3
f) −6𝑏√𝑎 + 14√𝑏2𝑎 − 6𝑎√𝑎 − 2√𝑎3
g)√𝑥 ∗ √𝑥 o) √𝑥24
√𝑎38
h) √𝑥6
√𝑥3 p)
√𝑥2𝑦34
√𝑥𝑦3
i) 𝑥−7𝑥−8 q) 3√(6∗125)
5 √254
j) √𝑥𝑥7 r)1
√𝑥
21
Lista de Exercícios – Produtos Notáveis
1. Desenvolva o seguintes produtos notáveis:
a) (x + 1
4)
2
b) (a
2+
b
2)
2
c) (a5 − m3)
d) (p3 + 3) ∗ (p3 − 3)
e) (5x2 + 1)2
f) (a5 + b4)2
g) (2 − x3)2
h) (x − 3)3
i) (2a − a)3
j) (2a + 12)3
k) (6a − 8)3
3. Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
a) 𝑚8 − 18
b) 𝑎𝑥3 − 10𝑎𝑥2 + 25𝑎𝑥
c) 2𝑚3 − 18𝑚
d) 𝑎2 + 𝑏2
4. Simplifique as expressões abaixo:
a) 2−√2
√2−1
b) 1
1−√2−
1
1+√2
c) √(𝑥+𝑦)2−4𝑥𝑦
(𝑥−𝑦)2+4𝑥𝑦
22
d) 𝑎2−𝑏2
𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2
e) (𝑥 − 𝑦)2 − (𝑥 + 𝑦)2
f) (𝑥 + 𝑦) ∗ (𝑥2 + 𝑦2) ∗ (𝑥 − 𝑦)
h) 𝑥2+5𝑥+6
𝑥2+7𝑥+10
i) (3𝑥 + 4)2 − (3𝑥)2
j) [(3𝑥)2 − 3𝑥 ∗ (3𝑥 − 2) − 1]2
23
Lista de Exercícios – Frações algébricas
1.Simplifique as expressões abaixo:
a) 12𝑎3
3𝑎2
b) 20𝑥5𝑦6
10𝑥10𝑦3
c) 6𝑥−30
12𝑏
d) 4𝑎+4𝑏
6𝑥𝑎+6𝑥𝑏
e) 9𝑎2+24𝑎𝑏+𝑏2
9𝑎2+16𝑏2
f) 𝑥2+2𝑥−15
𝑥2−2𝑥+3
g) 𝑚3−1
𝑚6−1
h) 3𝑎
𝑚+
7𝑎
𝑚
i) 1
𝑎+1+
1
𝑎−1
j) 𝑥−5𝑦
𝑥+𝑦+
5𝑦2
𝑥𝑦+𝑦2
k) 5
𝑎2+
3
𝑎
l) (𝑥 + 3) −5
𝑥−3
m) 4𝑥2
𝑥4+𝑦4+
1
𝑥2+𝑦2−
2
𝑥2−𝑦2
n) 2𝑥
15𝑦∗
3𝑦2
10𝑥
o) 6𝑎2𝑏2
𝑚𝑝2∗
3𝑚
2𝑎∗
𝑝3
9𝑏2
p) (𝑎−1)(𝑎−2)
𝑎2−4∗
𝑎2+𝑎−2
(𝑎−1)(𝑎−2)
q) 28𝑥3𝑦
5𝑎2𝑏3∶
35𝑥2𝑦2
30𝑎𝑏2
r) 𝑥−𝑥2
𝑥2−1∶ (
𝑎
𝑎+1− 𝑎)
24
s) 3𝑥
𝑎−𝑥−
𝑥2−3𝑎𝑥
𝑥2−𝑎2
t) 𝑎2−9
𝑏2−5𝑏+6+
𝑏−𝑏2
2𝑏2−6𝑏+4
2. Sabendo que 𝑥 + 𝑦 = 1 e 𝑥𝑦 = −1
2 , qual o resultado da adição
𝑦
𝑥+
𝑥
𝑦 ?
3. Simplifique as expressões abaixo:
a) 2𝑎𝑏+𝑎2+𝑏2−𝑐2
2𝑏𝑐−𝑏2−𝑐2+𝑎2
b) 𝑎2𝑥+2 −1
𝑎𝑥+1−1
c) 𝑥+
𝑦−𝑥
1+𝑥𝑦
1−𝑥𝑦−𝑥2
1+𝑦
e) 𝑎
(𝑎−𝑏)∗(𝑎−𝑐)+
𝑏
(𝑏−𝑐)∗(𝑏−𝑎)+
𝑐
(𝑐−𝑏)∗(𝑐−𝑎)
f) 𝑎+𝑏
𝑎−𝑏−
𝑎𝑏+𝑏2
𝑎2−𝑏2
g)
𝑥2
𝑦2−𝑦2
𝑥2
1
𝑥2+2
𝑥𝑦+
1
𝑦2