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CAPíTULO 10 - ACELERAÇÃO DE CORIOL\S E CORRENTES GEOSTRÓFICAS

1. Introdução

Seja um vetor à num sistema de coordenadas (x, y, z), com os versores T,], k, de modo que

- - -A = A1 i + A2 j + A3 k. A derivada no tempo deste vetor é dada por:

d AI -; d A 2 ; d A 3 -

1+ J+ kdt dt dt

(1)

-Considere-se que o sistema de coordenadas (x, y, z) tem rotação n em relação a um sistema

fixo (X, Y, Z), tendo a mesma origem O(Figura 1). Neste caso, a derivada no tempo do vetor-+

A em relação ao sistema fixo é dada por:

dÃ-+

d A, - d i d A 2 - d j-- i +A t

-+ j+A - +d t d t d t d t 2 d t

-d A3

-+ dk

d tk+A 3 d t

ou seja,

dà dà d T d }-+

dk-- +AI -+A- +A -d t d t d t 2 d t 3 d t

m

onde dà Idt Im é a derivada no tempo em relação ao sistema móvel.

-+ d -+ -+ d -+-+

Como i é um versor, resulta que - ( i . i )é constante, - ( i . i )=dt dt- - - -

-+ di di -; -; di -r dic:: 1 - +-. 1 =21. - = O, portanto 1 é perpendicular a -, e então:

ili ili ili ili

(2)

(3)

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(10)

-di - -- = zz, j + a

2k (4)

d t

d j -- = a k + a

41 (5)

d t 3

-d k ---: ;- =as I + a 6 J (6)d t

- --- - d j di;

Como I . j = O, entao i. - +-. J = O . De (5)d t d t

- d ] () at -lo --=a4 o De 4 , -- oj=a) O=>a4=-a j •

dt dt

analogamente, U5 =- U2 e U6 =- U3; e o sitema (4), (5) e (6) se torna:

dT _d t = a I} + a 2 k (7)

d J - "7

-= a k -a 1 (8)d t 3 I

dk _d t = -a2 i - a 3 j (9)

e portanto,- -> d i d j

A - + A -1 d t 2 d t

que pode ser escrito como

2

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3

ê ;- k1 J

a3

-a ai (11)2

AI A2

A3

Escolhendo a 3 =0I'-a2=02 e aI =03' onde (01' O2,03 )

são tais que Q= 0I T+ 02 ] + 03 k, o determinante é igual a

(12)

(13)

(14)

Para determinar a aceleração de uma partícula com um vetor posição r, nos dois sistemas,inicialmente se considera

drd t

dr

d tm

-+0 1\ r (15)

E a aceleração é dada por:

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d? r _d (_d_rd t ' d t d t

f f m

Reaplicando (14):

+.0 (16)

4

d2 r [ d-- -- +.0

d t ? d tf m J[d r - I

/\ dt +.0 /\ r)m

(17)

f

drd t

m

(18)

m fi

dr - dr+.0/\ -

d t d tm m (19)

Como dÓ / dtlm = O, pois n é constante, então

drd t

(20)

m

Sendo V= df / dt, (20) se toma

- --+2 n/\ v+.o/\.o/\ r (21 )

m

2. A aceleração da gravidade

Pela lei de Newton , duas massas M e m, cujos centros são separados pela distância a, sofremuma força de atração gravitacional F dada por:

F=GMm/::i

onde G é a constante \Jravitacioné3I, igu31 a 6.670 X 10-11k r; -1 m3 5-2 .

(22)

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No caso da Terra, a aceleração da gravidade Newtoniana é dada por

F GMgN = - = 2 (23)

m a(na direção do centro da Terra) de modo que, inserindo os valores da massa da Terra M = 5.983

X 1024 kg e o raio da Terra a = 6.371 x1 06 m, resulta o valor médio da gravidade

Newtoniana gN = 9.823 rn/s".

Por outro lado, um corpo na superfície da Terra sofre uma aceleração centrífuga 0 2 R, na direçãonormal ao eixo de rotação, para fora (Figura 2); n é a velocidade angular de rotação daTerra e R é a distância ao eixo de rotação. Sendo q> a latitude do local,

R = a cos rp (24)

A componente vertical da aceleração centrífuga pode ser escrita como

gc = _Q2 a cos ' rp (25)

Dessa forma, a aceleração da gravidade g pode ser considerada como a composição dagravidade Newton iana gN com a aceleração centrífuga gc (ver Figura 2); na realidade, aaceleração da gravidade g tem direção ligeiramente diferente de gN, mas como estadiferença ('ti) é muito pequena, g pode ser aproximado como:

(26)

gN depende da distribuição de massa na Terra mas, de qualquer forma, a aceleração da gravidadeterrestre g tem uma parcela que depende da latitude, e quanto a esta dependência g temvalor mínimo no Equador (<p=O) e máximo nos pólos (<p=900).

3. Acelerações centrífuga e de Coriolis

É conveniente descrever os movimentos no oceano ou na atmosfera com referência a um sistemade coordenadas na superfície da Terra. Considerando este sistema de coordenadas como

--+ --+ --+

sendo (x,y,z), com versores (i ~ j~ k), então, um vetor V, com componentes (u,v,w) é

expresso como:

V= li T+ V } + W k (27)--:-

Normalmente, 1 aponta para Leste (!:E),j para o Norte (N) e k para baixo (Figura 3).

A expressão (21), ;lp l j C3.d~ à Terra, relaciona a aceleração no sistema de coordenadas fixo noe Sf Aç.o 6:JM. A, A~t24W f-IO :?j>fe~ ' . ' _;;Q'G:' ~lc"0 ' :O~ ·1 ' .c: . ."1". .,) I. ~ de coordenadas na Terra, sendo, então, ~ t. avetocidade angular de rotação da Terra.

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o termo n 1\ (Ó 1\ r) é a aceleração centrífuga; tem magnitude ÇiR (onde R é a distância

normal ao eixo de rotação), tem direção perpendicular ao eixo de rotação do sistema decoordenadas, no sentido para fora (Figura 2).

O termo 2 n 1\ V é chamado "aceleração de Coriolis". Sendo <p a latitude de um ponto na Terra,---+

n é escrito como:

ó. = Q cos cp] - Q sen cp k

A aceleração de Coriolis é dada por:

(28)

j k

2 Q /\ V =2 Q O cos cp . - sen cp

u v w

= 2 Q (w cos cp+ v sen cp) i - 2 Q u sen cp] - 2 Q u cos cp k

O parâmetro de Coriolis é definido como:

f = 2 n sen qJ

e sua derivada é:

f' = 2 n cos qJ

Portanto, (29) pode ser escrito como

2 n 1\ V = (r v + f' w) T- f u ] - f' u k

A aceleração de Coriolis tem as seguintes características:

(29)

(30)

(31)

(32)

1) só existe quando há velocidade em relação à superfície da Terra (V).2) sua componente vertical é desprezível em relação a outras acelerações, como a gravidade;

como fw « < fv ou fu, então pode ser aproximada por f v T - f u ] ;

portanto, sua magnitude horizontal é f V = 2 n V sen <p, onde V=.Ju' + V2 .

3) não tem componente horizontal no Equador, onde f =O, pois <p =o.4) tem direção normal à velocidade, sendo ~ direita da velocidade no hemisfério Norte e à

esquerda da velocidade no hemisfério Sul.5) não há realízaçâo de trabalho, vistoque .1 aceleração não tem componente na direção do

movimento.

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Dessa forma, ao considerar a aceleração centrífuga ea aceleração de Coriolis, as leis físicasválidas para sistemas inerciais podem ser consideradas para sistemas de coordenadas nasuperfície da Terra. Por simplicidade, a aceleração centrífuga pode ser considerada atravésda variação da gravidade terrestre com a latitude.

4. Correntes geostróficas num oceano homogêneo

Foi visto que, num oceano onde a superfície isobárica faz um ângulo e com a superfície de nível,se tem uma aceleração do gradiente de pressão igual a:

d" X- = - g tg () (33)deSe um fluido está em movimento com uma velocidade horizontal de intensidade V, há a ação da

aceleração de Coriolis, igual a

f V = 2 n V sen rp (34)

É possível uma situação na qual as duas acelerações acima citadas estejam em equilíbrio, numestado estacionário. Então,

g tg ()= 2 n V sen qJ (35)

Sob a hipótese que apenas estas duas acelerações devem ser consideradas, é possível calcular avelocidade na superfície isobárica inclinada:

V=g tg ()

2 n sen qJ(36)

A hipótese de que não há acelerações além da aceleração de Coriolis e de gradiente de pressãorequer um fluxo retilíneo (sem aceleração centrífuga) e sem fricção (atrito).

Uma estimativa das inclinações encontradas no oceano pode ser obtida usando <p =45°, g =9.806m/s2

, Q= 7.292 X 10.5 rad/s e V = 1.00 m/s. Resulta tg e = 1.05 x 10-5 , i. e" a inclinação típica

éde1.~~~

As "correntes geostróficas" são caracterizadas por:

1) Não há outras acelerações além da aceleração de gradiente de pressão e da aceleração deCoriolis, e estas estão em equilíbrio.

2) Existe um estado estacionário.3) O fluxo é refilineo, pois uma curvatura do mesmo iria requerer

uma aceleração centrífuga.4) Acelerações devido à fricção são desprezíveis.5) As.correntec nãosão aumentadas nem diminuídas ao longo da direção do fluxo.

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5. As equações do movimento para o fluxo geostrófico

As equações do movimento para o fluxo geostrófico podem ser escritas segundo as componentes

nos eixos (x.y.z) , com os versores ( T, J, k), onde Taponta para Leste, 1para Norte e kpara baixo. As componentes da velocidade são respectivamente (u,v,w). Inicialmente, aaceleração de gradiente de pressão pode ser escrita como

1 ó' p- - -p ó'x

(37)

Na eq (32), como fw « fv , resulta pl a componente Leste da aceleração de Coriolis

fv (38)

Portanto, a equação do movimento para o fluxo geostrófico, segundo a componente Leste é:

1 ó' p- - =fvp ó'x

Analogamente, para a componente Norte,

~ ó'p =-fup ó'y

E da relação hidrostática se tem:

1 ó' p-- =gp ó'z

(39)

(40)

(41 )

Portanto, as equações (39), (40) e (41) representam o movimento geostrófico, e sua soluçãofornece os valores de u, v e p. Note-se que para a equação (36) foi assumido que a

componente vertical da aceleração de Coriolis (- f I U k) é muito menor que a aceleraçãoda gravidade (9) e prevalece o efeito da pressão hidrostática.

A5 equações (39) G (40ypodem ser expressas em função de uma direção n, de modo que aintensidade da velocidade geostrófica V seja dada por:

1 ó'pV=- - (42)

fp ôn

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dD=_l d p10 P

(43)

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E portanto as correntes geostróficas podem ser dadas em função da profundidade dinâmica:

10 ó'Dv=--­f ó'n

(44)

Note-se que o conjunto de equações (39), (40) e (41) - resumido em (42) - leva em contavariações da densidade da água do mar; e se a profundidade dinâmica O for utilizada , (44)também leva em conta variações de densidade.

6. Complementação

Embora a "hipótese geostrófica" seja uma aproximação simplificadora, cálculos de correntesatravés dela são razoavelmente satisfatórios, e grande parte do conhecimento atual dacirculação nos oceanos foi alcançado através destes cálculos .

A Figura 4 mostra configurações de velocidades geostróficas associadas a acelerações degradientes de pressão e de Coriolis, nos hemisférios Norte e Sul (horizontalmente e nacoluna d'água).

Na distribuição de isopicnais de uma área ocearuca, quando suas inclinações variam com aprofundidade, as correntes geostróficas variam com a profundidade, o que gera o"cisalhamento geostrófico". Esta é a característica da situação "baroclínica", onde asinclinações das isopicnais variam em profundidade.

Por outro lado, numa situação "barotrópica", as isopicnais são paralelas (se a água estiver emrepouso, as isopicnais são horizontais; e se houver movimento da água, as isopicnais sãoinclinadas). No fluxo barotrópico, não há cisalhamento das correntes, ou seja, se tem amesma corrente, da superfície até o fundo.

As correntes geostróficas no oceano podem ser consideradas como uma combinação decomponentes baroclínica e barotrópica.

Uma limitação no uso da relação geostrófica é que ela fornece apenas correntes relativas, isto é,fornece as correntes de um nível de profundidade em relação a outro nível; para converteresses cálculos em correntes absolutas, se deve determinar a corrente absoluta num certonível ("nível de referência").

A solução mais comum assume que a corrente absoluta é zero em algum nível (profundidade semmovimento); dessa forma, a equação geostrófica pode fornecer as correntes absolutas emtodos os outros níveis.

A seleção de um nível de referência é uma questão chave no uso do método geostrófico para Ocálculo de correntes. í:reqüentemente se usam profundidades muito grandes (1500 ou 2000m) como níveis de correntes muito fracas, praticamente nulas (embora esta escolha seja, emgeral, arbitrária). Onfvel de referência depende, em geral, de cada área amostrada. Umaalternativa em relação a níveis de referência arbitrários sem movimento se encontra no uso

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la

de um nível com movimento conhecido (através de medições correntométricas, porexemplo).

Para o cálculo do gradiente de pressão (e da velocidade geostrófica) há a necessidade de, pelomenos, duas estações oceanográficas. Com uma grade de estações, há a possibilidade deestimar os gradientes em todo o domínio, através de pares de estações.

A Tabela 1 mostra os cálculos de correntes geostróficas, a partir dos campos de massadeterminados em duas estações na região da Corrente do Golfo . As estações se encontramna latitude 36.3°N, distanciadas entre si de 28.06 km, e foi adotado o nível de 1500 m comoo de movimento nulo.

As Figuras 5 e 6 mostram mapas da topografia dinâmica, no Pacífico e no Atlântico Norte. Nocaso do Pacífico, o cálculo é para a superfície, em relação ao nível de 1000 dbar; e no casodo Atlântico, a estimativa é para a superfície de 100 dbar, em relação ao nível de 700 dbar.Os mapas mostram claramente as circulações de superfície horárias no hemisfério Norte eas intensificações das correntes de limite Oeste (isolinhas muito próximas); na Fig 6 se tem arotação ant i-horária de superfície no Pacífico Sul , limitada ao Sul pela Corrente CircumpolarA~~ca. .

Note-se que os mapas de topografia dinâmica apresentados foram obtidos a partir de dadoshistóricos, não sinóticos (não são observações simultâneas). De fato, na maior parte doscasos, o traçado de mapas cobrindo grandes áreas oceân icas é realizado a partir de dadoscoletados em diferentes expedições. Porém, o fato de feições bem definidas apareceremnesses mapas, mesmo sendo referentes a diferentes períodos de amostragem, indica quesão feições permanentes dos oceanos.

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