Capítulo 17 – Oscilações

17.1 – Sistemas oscilantesSistemas oscilantes estão entre os mais recorrentes e importantes de toda a Física

Vibrações molecular

es

Circuitos elétricos Construçõ

es

http://www.youtube.com/watch?v=NisWbAXfyWI

http://www.youtube.com/watch?v=zeep0q97WHo

17.2 – Oscilador harmônico simples

Sistema massa-mola: Lei de Hooke

Robert Hooke (1635-1703)

Força restauradora: kxF

Constante elástica

Unidades S.I.: N/m

Kit LADIF: massa e mola

2a. Lei: 2

2

dt

xdmmakxF x

m

k

dt

xd

2

2

Equação diferencial ordinária linear homogênea de 2a. ordem

Propriedades (verifique!):

(A) Solução geral depende de duas constantes arbitrárias, determinadas pelas condições iniciais (exemplo: posição inicial e velocidade inicial)(B) Se x1(t) é solução, então ax1(t) também é solução, com a constante. (C) Se x1(t) e x2(t) são soluções, então qualquer combinação linear ax1(t)+ bx2(t) também é solução. (D) Se x1(t) e x2(t) são soluções linearmente independentes, então x(t) = ax1(t)+ bx2(t) é a solução geral.

Mas como encontrar x1(t) e x2(t) ?

MIT 8.01 Lec 10, 11min20s: http://www.youtube.com/watch?v=__2YND93ofE

xm

k

dt

xd

2

2

Qual função que, ao ser derivada duas vezes, é igual a ela mesma vezes uma constante?

Vamos tentar: ttx cos)(1 t

dt

dx sen1 tdt

xd cos221

2

É solução de com x

m

k

dt

xd

2

2

m

k2

Vamos tentar: ttx sen)(2 t

dt

dx cos2 tdt

xd sen22

22

Também é solução de com xm

k

dt

xd

2

2

m

k2

Solução geral: )()()( 21 tbxtaxtx

tbtatx sencos)(

Vamos mostrar que a solução geral

é equivalente a , com relações exatas entre as

constantes e (demonstração no quadro-negro)

txtx m cos)(

tbtatx sencos)(

ba, ,mx

sen

cos

m

m

xb

xa

17.3 – Movimento harmônico simples

txtx m cos)( : descreve o movimento harmônico simples

x(t)

t

xm : Amplitude, quantidade positiva, massa oscila entre as posições xm e - xm

Período (T ): intervalo de tempo depois do qual o movimento se repete

Cálculo do período :

txtx m cos)(

txTtx )(

txTtx mm coscos

txTtx mm coscos

2Tk

mT

22

Note que:

• O período não depende da amplitude do movimento!• Quanto maior a massa, maior o período (mais inércia)• Quanto maior constante elástica, menor o período (mais

“força”)

Freqüência: Hz)1/s (em 2

11

m

k

Tf

Freqüência angular: rad/s) (em 2

2m

k

Tf

(depende apenas das constantes físicas do oscilador)

Fase: rad) (em t Ângulo de fase: rad) (em

0

4

Velocidade no MHS:

txtx m cos)(

dt

dxtv )( txmsen

Aceleração no MHS:

dt

dvta )(

txtxm22 cos

tx

tv

ta

mx

mx

mx

mx

mx2

mx2

• Magnitude de v é máxima quando x=0 e vice-versa

• Diz-se que a fase da velocidade está deslocada por π/2 em relação à posição

• Curva v(t) está deslocada por T/4 em relação à curva x(t)

• a é máxima quando x é mínima e vice-versa

• Fase da aceleração está deslocada por π em relação à posição

• Curva a(t) está deslocada por T/2 em relação à curva x(t)

Para pensar: