Cap´ıtulo 2 Elementos Finitos na Análise Estrutural

Capıtulo 2

Elementos Finitos na AnaliseEstrutural

Trata-se neste capıtulo, de apresentar de uma forma simples o metodo dosdeslocamentos e sua aplicacao na analise estrutural.

Aborda-se inicialmente de forma intuitiva o conceito de discretizacao, eapresenta-se a nomenclatura basica usada.

Na sequencia apresenta-se o metodo direto para a obtencao das matrizeselementares de diferentes problemas e o metodo classico dos deslocamentose mostrada com enfase na resolucao de problemas de equilıbrio.

Por ultimo, um exemplo pratico de uma analise de estrutura reticulada emostrado para ilustrar o uso do Metodo no ambito de um pacote comercial,o Programa MSC NASTRAN.

2.1 Nocoes Basicas do Metodo dos Elementos

Finitos

O Metodo dos Elementos Finitos e um procedimento numerico para aanalise de estruturas e meios contınuo, e e baseado no conceito de dis-cretizacao. A ideia conciste em transformar um problema complexo na somade diversos problemas simples. E no entanto necessario buscar-se solucoeslocais, cujas propriedades garantam uma convergencia para os problemasglobais.

Seja por exemplo o caso de uma barra de secao variavel engastada, sub-metida a uma carga axial F em sua extremidade B conforme mostrado nafigura 2.1.

Considerando-se que o objetivo do problema e o de determinar o deslo-camento da extremidade B da barra, pode-se observar da teoria basica da

8

CAPITULO 2. ELEMENTOS FINITOS NA ANALISE ESTRUTURAL 9

Figura 2.1: Barra de secao Variavel, discretizacao.

resistencia dos materiais, que a solucao para o caso de barras de secoes cons-tantes e bem mais simples do que o caso de barras de secao variavel.

Ou seja, considerando que uma barra em movimento axial e governadapela seguinte equacao diferencial [36]:

EA∂2u

∂x2= F (2.1)

onde E e o Modulo de Elasticidade do material da barra, A e a areada secao tranversal da barra, u e o deslocamento axial, e F a forca exter-na aplicada na face B. Supondo que a barra esta engastada em uma desuas extremidades, as condicoes de contorno necessarias para se posicionarcorretamente o problema sao as seguintes:

u = 0 em x = 0 (2.2)

∂u

∂x=

F

EAem x = L (2.3)

Resolvendo-se o sistema de equacoes 2.1 a 2.3, obtem-se uma solucaofechada - analıtica - para o problema. No caso da secao constante tem-se:

uB =FL

EA(2.4)

E para o caso da area variar linearmente, tem-se a equacao da barra dadapor:

CAPITULO 2. ELEMENTOS FINITOS NA ANALISE ESTRUTURAL10

∂u

∂x=

F

AE(2.5)

parametrizando a expresao da area, sendo A = A0 em x = L e A = 3A0

em x = 0 obtem-se:

∂u

∂x=

F

EA0(3− 2xL

)(2.6)

Integrando-se no domınio [0, l], pode-se determinar o deslocamento daextremidade B da seguinte maneira:

uB =∫ L

0

F

EA0(3− 2xL

)dx =

FL

2A0Eln(3) (2.7)

Pode-se notar, que a solucao para o caso onde a area varia e um poucomais complexa, sendo que para certos casos onde a geometria torna-se arbi-traria e impossivel de ser obtida analıticamente.

Usando-se a ideia da discretizacao, pode-se entao transformar um prob-lema mais complexo, na soma de diversos problemas simples como se segue:

• Discretiza-se o sistema contınuo em N subdomınios, denominados El-ementos Finitos, de secao constante. Neste caso usa-se 4 ElementosFinitos.

Figura 2.2: Malha de Elementos Finitos


• Dado um referencial fixo em cada elemento, (x, y), supoe-se que paracada Elemento o deslocamento axial u(x) varia linearmente. Define-setambem os nos de cada elemento i, j, conforme mostrado na Figura 2.1.

Figura 2.3: Elemento Finito - Referencial Local

• Como consequencia das hipoteses acima adotadas, a aproximacao parao problema sera linear por sub regioes, e o deslocamento de cada ele-mento e calculado pela formula simples:

uB =FL

EA(2.8)

• Finalmete, o deslocamento total e igual a soma dos deslocamentos decada elemento.

Nota 2.1 Quanto maior o numero de Elementos a solucao discretizada deveconvergir para a solucao exata do modelo. Neste caso deve-se observar que omodelo contınuo possue infinitos Graus de Liberdade.

A validade pratica dos resultados obtidos, depende ainda da representa-tividade do modelo escolhido, e das condicoes de contorno adotadas.

Nota 2.2 A ideia global do metodo consiste em substituir uma solucao com-plexa para todo o domınio pela superposicao de solucoes simples em sub-domınios.


Nota 2.3 Apos a discretizacao do problema, os unicos pontos onde se podeaplicar as condicoes de contorno sao os nos. Assim, as forcas, e os desloca-mentos impostos, devem ser aplicados nos nos. No caso de forcas distribuidasde area ou volume, deve-se calcular as forcas nodais equivalentes.

Nota 2.4 Na construcao das malhas, deve-se ter o cuidado para se evitar”furos”ou ”interferencia”entre os elementos, garantindo a compatibilidadedas variaveis que estao sendo aproximadas.

Nota 2.5 O comportamento de cada elemento e fundamental : poucos ele-mentos de alta precisao podem fornecer melhores resultados que um grandenumero de elementos pouco precisos. A precisao de cada elemento esta asso-ciada ao tipo de aproximacao escilhida para cada subdomınio, bem como doseu suporte geometrico. De uma forma geral as aproximacoes podem ser dotipo polinomial representadas por:

• Suporte geometrico unidimensional.

I. Aproximacao Linear

φ = a1 + a2x (2.9)

II. Aproximacao quadratica

φ = a1 + a2x+ a3x2 (2.10)

• Suporte geometrico triangular.

I. Aproximacao Linear

φ = a1 + a2x+ a3y (2.11)


φ = a1 + a2x+ a3y + a4x2 + a5xy + a6y

2 (2.12)

• Suporte geometrico quadrilateral.

I. Aproximacao Bilinear

φ = a1 + a2x+ a3y + a4xy (2.13)



φ = a1 + a2x+ a3y + a4x2 + a5y

2 + a6xy + a7x2y + a8xy

2 (2.14)

Assim quanto maior for o numero de elementos, maior sera a precisao sobreo calculo de φ. De uma forma global, para cada tipo de problema, existe umelemento mais apropriado.

Nota 2.6 Os termos de cada Aproximacao de base do tipo polinomial saoescolhidos a partir do triangulo de Pascal, que para o caso bidimensional edado por:

1x y

x2 xy y2

x3 x2y xy2 y3

. . . . .

(2.15)

Outros tipos de bases podem ser usadas mas nao serao aqui descritas.

Nota 2.7 O conhecimento do problema e a visao do engenheiro sao os prerequisitos basicos para a definicao de uma boa analise e para a interpretacaocorreta dos resultados. Neste contexto o Metodo dos Elementos Finitos e ospacotes computacionais sao apenas ferramentas de analise.

De uma forma global o metodo dos Elementos Finitos pode ser sistem-atizado conforme o quadro mostrado na figura 2.4.

Nota-se que um passo fundamental do metodo, e a determinacao de umarelacao matricial, entre as variaveis de estado, a nıvel elementar (geracao deuma biblioteca de Elementos), que e realizado com base nas aproximacoeslocais definidas acima.

Outro ponto importante, refere-se a geracao automatica de malhas, quepode ser realizada com base em um modelo geometrico previo obtido em umprograma de CAD.

Ressalta-se tambem as etapas de resolucao numerica (Algebra Computa-cional) e pos processamento (visualizacao computacional).

Diversos metodos podem ser usados para a determinacao das caracteristi-cas locais de cada elemento. Na sequencia apresentam-se algumas aplicacoesdo metodo direto, e ao longo do texto serao apresentados metodos maisgerais, tais como o Metodo dos Resıduos Ponderados.


Figura 2.4: Principais Etapas do MEF

2.2 Metodo direto para obtencao das Matrizes

do Sistema

Em alguns casos simples, e possıvel se determinar uma relacao entre asvariaveis de estado de um dado problema, usando-se apenas as equacoesbasicas da mecanica. Embora este enfoque seja limitado, ele sera aqui apre-sentado, tendo em vista o seu apelo fısico, que facilita a compreencao globalda aplicacao do Metodo dos Elementos Finitos.

Na pratica existem basicamente tres metodos para determinacao das ma-trizes elementares de elementos finitos:

• Metodo direto: e baseado na interpretacao fısica do problema estuda-do. E limitado a problemas simples e foram os primeiros procedimentosempregados.


• Metodo Variacional: baseado em formulacoes integrais da mecanicado contınuo com enfoque energetico.

• Metodos residuais: processos de minimizacao formulados a partir daequacao diferencial que governa o problema.

Na sequencia sao apresentados alguns casos simples de aplicacao do Metododireto [2].

2.2.1 Matriz e Rigidez de uma Barra

Considere o modelo da Barra mostrado na figura 2.2.1.

Figura 2.5: Elemento Finito de Barra

Desprezando-se os efeitos do peso proprio da barra, e considerando quea area (A) da secao tranversal da barra e constante, sendo a mesma consti-tuida de material linear elastico com Modulo de Elasticidade (E) constante,procura-se determinar a forca necessaria para que um dado deslocamentoexista, isto e:

• supondo ui > 0 e uj = 0, para que o equilıbrio seja mantido tem-se :

Fi =EA

Lui (2.16)

Fj =−EAL

ui (2.17)


• Por outro lado supondo uj > 0 e ui = 0, para que o equilıbrio sejamantido tem-se :

Fi =−EAL

uj (2.18)

Fj =EA

Luj (2.19)

Finalmente, considerando-se Fi e Fj, diferentes de zero, tem-se:

EA

L

1 −1

−1 1

ui

uj

=

Fi

FJ

(2.20)

ou seja,

[Ke]{ue} = {F e} (2.21)

onde [Ke] e a Matriz de Rigidez de um elemento, {ue} e o vetor dosdeslocamentos nodais, e {F e} e o vetor nas forcas nodais do elemento.

A matriz [Ke] e simetrica, e representa uma relacao linear entre esforcose deslocamentos. Neste caso a solucao obtida coincide com a solucao exatapara barras de secao constante submetida a cargas puntuais. Caso a geometiado sistema varie, os resultados obtidos com uma formulacao deste tipo seraoaproximados devido aos erros de geometria e de modelagem.

2.2.2 Matriz de condutibilidade unidimensional

Considera-se neste caso o modelo unidmensional de conducao de calor cor-forme ilustradado na Figura 2.2.2.

Neste caso as variaveis de estado sao as temperaturas T e os Fluxos porunidade de area q, em cada no. A equacao diferencial que governa o problemae:

q = −k∂T∂x

= −kTj − TiL

(2.22)

onde k e o coeficiente de condutividade termica. Supondo que Ti e Tjsejam simultaneamente diferentes de zero, tem-se:

k

L

1 −1

−1 1

Ti

Tj

=

qi

qJ

(2.23)


Figura 2.6: Elemento Finito de Conducao de Calor

ou seja,

[KCe]{T e} = {Qe} (2.24)

onde [KCe] e a Matriz de Condutividade de um elemento, {T e} e o vetordas temperaturas nodais, e {Qe} e o vetor dos Fluxos nodais do elemento.

Observa-se da equacao 2.22, que uma aproximacao linear e adotada parao campo de temperaturas, e que os fluxos sao medidos apenas nos nos.

2.2.3 Matriz de um Resistor

Considera-se neste caso o modelo unidimensional de conducao de correnteeletrica, conforme ilustradado na Figura 2.2.3.

Neste caso as veriaveis de estado sao as voltagens V e as correntes eletricasI , em cada no. A equacao que governa o problema e a lei de Ohm, dada por:

I =(Vi − Vj)

R(2.25)

onde R e resistencia eletrica. Supondo que Vi e Vj sejam simultaneamentediferentes de zero, tem-se:

1

R

1 −1

−1 1

Vi

Vj

=

Ii

IJ

(2.26)


Figura 2.7: Elemento Finito de um Resistor

ou seja,

[KRe]{V e} = {Ie} (2.27)

onde [KRe] e a Matriz de Resistividade de um elemento, {V e} e o vetordas voltagens nodais, e {Ie} e o vetor das correntes nodais do elemento.

Alem destes exemplos simples o metodo direto pode ser aplicado ao casode vigas em flexao e torcao [2] [33], construindo-se desta maneira a teoriabasica de analise matricial de estruturas.

2.3 Tecnicas de Montagem do sistema Global

Metodo dos deslocamentos

O Metodo dos deslocamentos consiste em escrever as equacoes de equilıbrioglobais, a partir das equacoes locais. O metodo e baseado no conceito decontinuidade dos deslocamentos e pode ser apresentado da seguinte maneira.

Supondo uma estrutura bidimensional discretizada em 5 elementos, queestao conectados a partir de seus nos de acordo com o mostrado na Figura2.3.

Inicialmente deve-se construir uma representacao local para cada elemen-to, que para o caso de problemas de equilıbrio estatico, e dada por umaexpressao do seguinte tipo:


Figura 2.8: Malha tıpica de Elementos Finitos

[Ke]{ue} = {F e} (2.28)

onde, considerando o problema plano com dois graus de liberdade por no,tem-se os seguintes vetores de estado locais para o elemento tıpico 2:

ue =

u1

v1

u2

v2

u3

v3

, F e =

fx1

fy1

fx2

fy2

fx3

fy3

(2.29)

sendo a numeracao local dos nos (1,2,3) se realciona com a numeracaoglobal (1,2,4). A relacao local pode ser representada genericamente , poruma forma matricial do seguinte tipo:


ke1,1 ke1,2 ke1,3 ke1,4 ke1,5 ke1,6

ke2,2 ke2,3 ke2,4 ke2,5 ke2,6

ke3,3 ke3,4 ke3,5 ke3,6

ke4,4 ke4,5 ke4,6

ke5,5 ke5,6

SIM. ke6,6

u1

v1

u2

v2

u3

v3

=

fx1

fy1

fx2

fy2

fx3

fy3

(2.30)

Observa-se que a construcao destas matrizes locais depende de uma basede dados que identifica o material e as propriedades de cada elemento, bemcomo o seu tipo que esta ligado a definicao do problema que se deseja solu-cionar. Isto e, cada matriz elementar, corresponde a uma dada equacaodiferencial que se deseja resolver, que fica particularizada em funcao dosparametros de cada elemento (propriedades e geometria).

O proximo passo refere-se a montagem da matriz de rigidez global dosistema. Inicialmente deve-se escrever as equacoes locais em um mesmo refe-rencial global para todos os elementos da malha. Assim, pode ser necessarioa realizacao de uma transformacao dos eixos de referencia, usando-se relacoesdo seguinte tipo:

{uLocal} = [T ]{uGlobal} (2.31)

onde [T ] e uma matriz de transformacao de coordenadadas, geralmenteformada pelos cossenos diretores que relacionam os eixos locais do elementocom os eixos globais da estrutura.

Para se montar o sistema global, usa-se os vetores de incidencia paradefinir a geometria do problema. No Exemplo da figura 2.3, tem-se a in-cidencia nodal mostrada na Tabela 2.1.

A partir da Incidencia Nodal, pode-se construir um vetor identificador({ID}), onde a cada no esta associado um numero de equacao. Considerandoque os nos 6, 7 e 8 estao totalmente bloqueados, e que o deslocamento nadiracao x dos nos 3, 4 e 5 tambem estao restritos, tem-se


Tabela 2.1: Incidencia Nodal

Elemento no i no j no k no l1 1 3 42 1 4 23 2 54 3 6 7 45 4 7 8 5

ID =

no 1 no 2 no 3 no 4 no 5 no 6 no 7 no 8

GDL1 1 3 0 0 0 0 0 0

GDL2 2 4 5 6 7 0 0 0

(2.32)

Desta forma, pode-se finalmete montar a matriz global do sistema, quetera ordem 7, como pode ser visto na equacao 2.32. A Matriz Global e dadapor:


k11,1 + k2

1,1 k11,2 + k2

1,2 k21,5 k2

1,6 k11,4 k1

1,6 + k21,4

k12,2 + k2

2,2 k22,5 k2

2,6 k12,4 k1

2,6 + k22,4

k25,5 + k3

1,1 k25,6 + k3

1,2 k24,5 k3

1,4

k26,6 + k3

2,2 k24,6 k3

2,4

k14,4 + k4

2,2 k14,6 + k4

2,8

k16,6 + k2

4,4 + k48,8 + k5

2,2 k52,8

SIM k34,4 + k5

8,8

(2.33)

×

u1

v1

u2

v2

v3

v4

v5

=

fx1

fy1

fx2

fy2

fy3

fy4

fy5

(2.34)

O sistema final obtido pode ser resolvido usando-se os metodos de resolu-cao classicos de algebra computacional, tais como Metodo de Gauss , Choles-ki, etc. Tendo em vista o grande numero de equacoes tratadas nos programasde elementos finitos, faz-se necessario o uso de ferramentas otimizadas de pro-gramacao, tais como as tecnicas de armazenamento de matrizes em vetoresou matrizes esparsas.


2.4 Aplicacao - Analise Estatica de uma Tre-

lica Plana.

O objetivo deste exemplo e o de ilustrar a aplicacao do Metodo dos Elemen-tos Finitos, para o caso simples de uma analise estatica de uma estruturareticulada, que pode ser representada por barras. Assim, usam-se elemen-tos unidimensionais de barra, cujas propriedades foram definidas nos itensanteriores.

Considerando o problema de uma trelica plana, mostrada na figura abaixo:

Figura 2.9: Trelica Plana

Cujos dados sao os seguintes:

• E = 1.99e11N/m2

• ν = 0.3

• Area da seccao de cada barra = 0.009 m2

Usando o programa MSC/NASTRAN, determinar os seguintes valores:

a. Deslocamentos do nos 1 e 3.

b. Tensao Normal nas barras.

c. Reacoes nos nos 2 e 5.


Uma introducao ao pacote MSC/NASTRAN for Windows pode ser feitausando-se a referencia [25], que e apresentada na forma de tutoriais.

A resolucao deste problema usando-se o MSC/NASTRAN for Windows,pode ser feita de acordo com as seguintes etapas:

Definicao da geometria do sistemaNeste ıtem sao definidos os modelos geometricos, dos domınios a serem

analisados. Parte-se normalmente de entidades de base do tipo:

I. Pontos

II. Linhas

III. Areas

IV. Volumes

que podem ser geradas de diversas formas, que serao exploradas ao longodestas notas.

As entidades geometricas geradas, servem de base para a construcao dasmalhas de Elementos Finitos, bem como para a definicao das condicoes decontorno e dos carregamentos de uma analise.

Neste caso especıfico da analise de uma estrutura reticulada, nao se faznecessario a geracao de uma geometria, usando-se o que e denominado degeracao direta de malha. Isto e, define-se diretamente, nos e elementos.

Definicao do tipo de MaterialAqui, deve-se definir as propriedades dos materias usadas, que sao re-

unidas em grupos identificados por um numero ID e um Tıtulo. Pode-seusar neste caso, a biblioteca de materiais pre-definida no programa. Estabiblioteca pode ser atualizada com dados de novos materias. No caso emquestao usaram-se os dados mostrados na Tabela 2.2:

Definicao do tipo de ElementoNeste etapa, define-se o tipo de elemento a ser usado, e suas propiedades

geometricas quando for o caso. Esta etapa e de fundamental importancia,


Tabela 2.2: Material 1 - Carbon Steel - SI - Type ISOTROPICModulo de Elasticidade N

m2 E 1.9995E+11Modulo de Cisalhamento N

m2 G 75842000000.Coeficiente de Poisson Nu 0.32

Massa Especıfica kgm3 Density 7862.3

devendo-se conhecer a priori as hipoteses teoricas adotadas para o equaciona-mento de cada elemento a ser usado.

No problema em questao , usa-se a teoria de barras submetidas a esforcosaxiais, que para o caso plano, corresponde a uma trelica bidimensional.

As caracteristicas escolhidas neste caso sao mostradas na Tabela 2.3.

Tabela 2.3: Property 1 - trelica - Type RODArea m2 0.009

Observa-se neste caso, que todas as barras possuem a mesma area desecao transversal.

Geracao da MalhaFaz-se entao a geracao da malha de Elementos Finitos. Neste caso usa-se

a geracao direta, definindo-se nos e elementos diretamente. A malha adotadaneste caso e mostrada na Figura 2.10.

Esta etapa e feita pela definicao de cada ponto da malha e normalmentee a parte mais onerosa das analises industriais.

Geracao dos Carregamentos e condicoes de ContornoBaseando-se nas hipotese fısicas adotadas para a analise, impoe-se as con-

dicoes de contorno e as cargas nodais pontuais. Neste caso deve-se inicial-mente criar um conjunto de esforcos e restricoes. Cada conjunto e definidopor um Nome, e pode conter varias solicitacoes e restricoes. No caso datrelica, adotou-se as Forcas e resytricoes mostradas na Figura 2.11.

Os numeros mostrados na Figura 2.11 indicam os graus de libedade queforam bloqueados, sendo adotada a seguinte nomenclatura:

• tx - indica translacao na direcao x (GDL 1)


Figura 2.10: Trelica Plana - Malha

• ty - indica translacao na direcao y (GDL 2)

• tz - indica translacao na direcao x (GDL 3)

• rx - indica rotacao em torno do eixo x (GDL 4)

• ry - indica rotacao em torno do eixo y (GDL 5)

• rz - indica rotacao em torno do eixo z (GDL 6)

Observa-se que a trelica so se movimenta no plano, isto e somente osgraus de liberdade 1 e 2 estao liberados.

Quanto as forcas, a representacao da Figura 2.11 e auto explicativa.

Analise e Pos processamentoConcluido o modelo, passa-se a etapa de analise, onde e definido o metodo

de resolucao (Static Analisys), sendo estabelicida a coneccao com o solver doMSC/NASTRAN, que devolvera os resultados em deslocamentos e tensoes.Na Figura 2.12, mostra-se a estrutura em sua posicao deformada, e os valoresdas tensoes axiais em cada barra.

Tendo em vista o enunciado do problema, tem-se os seguintes resultados:


Figura 2.11: Condicoes de Contorno

a. Deslocamentos do no 1 , ux = .749 e-4 m , uy= -1.087 e-4 m

Deslocamentos do no 3 , ux = -.155 e-4 m , uy= -1.633 e-4 m

b. As tensoes normais nas barras sao apresentadas na Figura 2.12, em [Pa]

c. Reacao no no 2, ty= 8000 N

Reacao no no 5, tx= 0 N ,ty= -5500 N


Figura 2.12: Deslocamentos e tensoes

Documents

Cap´ıtulo 2 Elementos Finitos na Análise Estrutural