Capítulo 2 - Gradiente e Derivada Direcional

Embed Size (px)

Citation preview

Captulo 2 Derivada Direcional, Gradiente, Mximos e Mnimos CLCULO 2 PGINA 2 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Produto escalar Oprodutoescalarumaoperaoentrevetoresqueproduzumescalar.Essaoperao bastanteutilizadanoclculodetamanhosoungulosentrevetores.Oprodutoescalarpodeser calculado atravs de duas frmulas, dependendo das informaes disponveis: Se possuirmos as coordenadas dos vetores: Considere os vetores) y , x ( uu u=e) y , x ( vv v= . A frmula que calcula o produto escalar entre esses vetores dada por: v u v uy y x x v u + = Se possuirmos os tamanhos dos vetores e o ngulo entre eles: Considerequeosvetoresu ,detamanhou ,ev ,detamanhov ,formemumngulo entre eles. O produto escalar entre esses vetores dado por: = cos v u v uPodemosutilizaraltimafrmulaparademonstrarqueoprodutoescalarpodeserusado quando desejamos calcular o tamanho de um vetor, dispondo apenas das suas coordenadas. Fazendo o produto escalar do vetor) y , x ( uu u=com ele mesmo: 0 cos u u u u = 2u u u = Observe que o ngulo entre o vetor) y , x ( uu u=e ele prprio zero j que os dois vetores esto na mesma direo e sentido. O produto escalar que se encontra do lado esquerdo da igualdade pode ser calculado por v u v uy y x x v u + = . Uma rpida introduo sobre vetores e retas Considerequedesejamosencontraraequaodeumaretarquepassapeloponto ) y , x ( P0 0=e paralela ao vetor) b , a ( u =conforme mostra a figura: CLCULO 2 PGINA 3 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Desejamosencontrarnestemomentoascoordenadasdequalquerponto) y , x ( A = sobrea retar.Conformeasconsideraesiniciais,ovetor) y y , x x ( PA0 0 = paraleloaovetor ) b , a ( u = . Podemos ento dizer que as coordenadasPA so mltiplas das coordenadas do vetoru : u t PA =Substituindo as coordenadas de cada vetor: ) bt , at ( ) y y , x x (0 0= Como os vetores so iguais, as suas coordenadas so iguais: at x x0 = ebt y y0 = Reorganizando: at x x0 + =ebt y y0 + =Essasexpressessochamadasdeequaesparamtricasdareta,poisambasasequaes dependem apenas do parmetro t. Vamos mostrar que se o vetorufor unitrio (tiver tamanho igual a 1) ento o vetorPA ter tamanho t. Os tamanhos dos vetoresPA eupodem ser calculadosaravs dos seguintes produtos escalares: PA PA PA2 =eu u u2 =PodemosestabelecerarelaoentreostamanhosdosvetoresPAeu ,paralelos,sabendo queu t PA = : ) u t ( ) u t ( PA2 =) u u ( t PA22 = 222u t PA =Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da igualdade: u t PA=SpossvelqueovetorPAtenhatamanhotseotamanhodovetoru foriguala1,ou seja, se o vetorufor unitrio. A funo do vetor unitriou indicar a direo da reta r, j que o seu tamanho unitrio no influencia em nada os clculos. Casoovetoru nosejaunitriobastanormalizarovetor,ouseja,tornaroseutamanho igual a 1 dividindo o vetor pelo seu tamanho original: uuuunitrio= Derivada direcional Aderivadadirecionalumaderivadaparcialespecialcalculadanadireodeumvetor unitriou .Afunodaderivadadirecionalmedirataxainstantneadecrescimentoou decrescimentodeumafunonumponto) y , x (0 0segundoadireodeumvetoru unitrio.A derivada direcional representada pela derivada parcial uz. CLCULO 2 PGINA 4 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) A medida da taxa instantnea de crescimento oudecrescimento de uma funo dada pela inclinao da reta tangente funo no ponto) y , x (0 0 conforme mostra a figura a seguir: Naintroduodocaptulomostramosqueseumponto) y , x ( A = estsobreumaretar, paralela a um vetor unitrio) b , a ( u = , ento podemos afirmar que x e y so dados por: at x x0 + =ebt y y0 + =Considerandoumafuno) y , x ( f z = emqueat x ) t ( g x0 + = = ebt y ) t ( h y0 + = = , podemos aplicar a seguinte expresso da regra da cadeia: dtdyyzdtdxxzdtdz+=Sabemos que se: at x x0 + = , ento,adtdx=bt y y0 + = , ento,bdtdy=Substituindo na expresso da regra da cadeia: byzaxzdtdz+=Aderivada dtdzrepresentaataxainstantneadecrescimentooudecrescimentodez considerando a direo do vetor unitriouque, daqui por diante, representaremos por uz: byzaxzuz+= Essa ltima expresso calcula a derivada direcional de z na direo do vetor unitriou . Inclinao da reta tangente em ) y , x (0 0 dada por uz t PA=CLCULO 2 PGINA 5 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Conforme a definio geomtrica dada por limites, as derivadas parciais em relao a x ou a y medem as inclinaes das retas tangentes superfcie nas direes x e y conforme o grfico: A derivada parcial na direo do vetorur mede a inclinao da reta tangente superfcie na direo do vetorur como mostra o grfico a seguir: Podemospercebernogrficoanteriorque,passandopelopontoP,existeminfinitasretas tangentes superfcie) y , x ( f z =cuja inclinaes so dadas pelas respectivas derivadas direcionais. Aderivadadirecionalocasomaisgeraldederivaoparcial,poispodemosobteras derivadasparciaisemrelaoaxeayfazendoadireodovetorunitriourcoincidircomas direes dos vetores unitriosir (direo x) ejr (direo y). A derivada de z na direo do vetor) 0 , 1 ( i = dada por: xz0yz1xziz=+= Inclinao da reta = yz Inclinao da reta = xz Inclinao da reta = uzr ur P P CLCULO 2 PGINA 6 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) A derivada de z na direo do vetor) 1 , 0 ( j = dada por: yz1yz0xzjz=+= Noteque,noclculodaderivadadeznadireodovetor) 0 , 1 ( i = ,desconsideramosa derivada parcial em relao ay.Isso acontece porque o vetor) 0 , 1 ( i =est apontando na direo doeixox,ento,devemosdesconsiderarqualquerefeitodavariaodafunonadireoy. Raciocnio anlogo se aplica ao clculo da derivada da funo z na direo do vetor) 1 , 0 ( j = . Por outro lado, se o vetoruapontar numa direo qualquer, diferente das direes dos eixos xey,devemosentoconsiderarumacombinaodasderivadasparciaisemrelaoaxeay,ou seja, o resultado uma combinao dos efeitos nas direes x e y. Exemplo Calcular a derivada da funo 2 3y x ) y , x ( f z = =na direo do vetor) 4 , 3 ( u =calculando a derivada no ponto) 2 , 1 ( ) y , x (0 0= . Soluo Vamos calcular o mdulo do vetor) 4 , 3 ( u = : 25 16 9 ) 4 , 3 ( ) 4 , 3 ( u u u2= + = = = 5 u =Observequeovetor) 4 , 3 ( u = nounitrio,devemosentodivid-lopeloseutamanho para normaliz-lo: ||

\|= = =54,535) 4 , 3 (uuuunitrio Calcule o tamanho deste ltimo vetor e verifique que o resultado igual a 1. A derivada de z na direo do vetoru(normalizado) dada por: byzaxzuz+= Onde: 2 2y x 3xz= ey x 2yz3= 53a =e 54b =Substituindo os resultados temos que: y x58y x5954) y x 2 (53) y x 3 (uz3 2 2 3 2 2+ = + = Finalmente, calculando a derivada parcial no ponto) 2 , 1 ( ) y , x (0 0= : 5522 1582 159) 2 , 1 (uz3 2 2= + = A derivada direcional no um vetor! A derivada direcional apenas utiliza a direo do vetorupara calcular a taxa de crescimento/decrescimento instantnea nessa direo cujo resultado um escalar e no um vetor. CLCULO 2 PGINA 7 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Definio formal de derivada direcional Considereumvetor) b , a ( u = paraleloaumaretarquecontmoponto) y , x ( P0 0= eo ponto) y , x ( A =cujas coordenadas so desconhecidas. Suponha uma funo) y , x ( f z =em que x eyseguemadireodaretar,ouseja,at x ) t ( g x0 + = = ebt y ) t ( h y0 + = = .Aderivada direcional definida pela seguinte equao: t) y , x ( f ) bt y , at x ( flimt) y , x ( f ) y , x ( flimuz0 0 0 00 t0 00 t + +== Graficamenteestamoscalculandoainclinaodaretatangentecurvaobtidanolimite quando t0 (quando0 PA ): Propriedade da derivada direcional A derivada direcional tem uma propriedade bastante especial. Quando invertemos o sentido do vetor unitrio a derivada direcional troca de sinal. Considere o vetor unitrio) b , a ( u =e o seu vetorunitriooposto) b , a ( u = .Asderivadasparciaisnadireodecadaumdessesvetores so dadas por: byzaxzuz+= e) b (yz) a (xz) u (z+ = Podemos ento dizer que: uzbyzaxz) u (z =|||

\|+ = Essaequaonosrevelaqueseemumadireoafunoestcrescendo,nadireo contrria a funo deve decrescer. Gradiente interessante notar que a expresso da derivada direcional pode ser representada como um produto escalar entre dois vetores: ) b , a (yz,xzbyzaxzuz|||

\|=+= CLCULO 2 PGINA 8 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Sabemosqueosegundovetordoprodutoescalaru .Oprimeirovetordenominado gradiente da funo) y , x ( f z =e ser representado pela notaoz ou grad(z). Podemos ento reescrever o produto escalar da seguinte forma: u zuz = O smbolo chamado operador nabla e,quandoapareceaoladodafuno,indicaa presenadaderivaoparcialemcada coordenada do vetor gradiente. Onomedosmbolodogradiente associadoumtipodeharpahebraicaque possui esse formato conforme mostra a figura. 1911, Websters Dictionary Exemplo Calcule o gradiente da funo: 4 3y x ) y , x ( f z = = Soluo O gradiente da funo dado por: |||

\|= yz,xzz) y x 4 , y x 3 ( z3 3 4 2= A palavra gradiente deriva do latim gradus (mesma origem das palavras gradual e gradativo) que significa avanar passo-a-passo. O significado do gradiente Aderivadadirecional,sendoumprodutoescalarentrevetores,podetambmsercalculada da seguinte forma: = =cos u z u zuz Como o vetoru unitrio, a derivada direcional se torna: = =cos z u zuz Como1 cos 1 , o valor mximo e mnimo da derivada direcional igual a: z u zuz + = = (mximo) z u zuz = = (mnimo) O valor mximo ocorre quando o ngulo entre o gradiente e o vetoru igual a zero e o valormnimoocorrequandoonguloentreogradienteeovetoru iguala180o,ouseja, quando o gradiente e o vetoruesto na mesma direo e no mesmo sentido, a derivada direcional mxima e tem valor igual az . CLCULO 2 PGINA 9 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Poroutrolado,quandoogradienteeovetoru estonamesmadireoesentidos contrrios, a derivada direcional mnima e tem valor igual az . Podemos tambm afirmar que a derivada direcional mxima quando o vetoru igual a: zzu=Observequeaderivadadirecionalmximaocorrequandoovetoru ovetorunitriona direo do gradiente da funo. Ogradientetemafinalidadedeapontarparaadireodemaiorcrescimentodafuno conforme mostra a figura a seguir: Exemplo Considere a funo: y x ) y , x ( f z2= =Determine o valor mximo da derivada direcional no ponto) 1 , 2 ( P = , determinando o vetor unitrio na direo a qual a derivada direcional mxima. Soluo O vetor gradiente da funo dado por: |||

\|= yz,xzzOnde: xy 2xz= e 2xyz= Logo, o vetor gradiente no ponto) 1 , 2 ( P = igual a: ) 4 , 4 ( ) 1 , 2 ( z = O mdulo do gradiente pode ser calculado pelo seguinte produto escalar: 32 16 16 ) 4 , 4 ( ) 4 , 4 ( z z z2= + = = = Direo de crescimento mximo (derivada direcional mxima) Direo de decrescimento mximo (derivada direcional mnima) CLCULO 2 PGINA 10 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) 2 4 32 z = = O valor mximo da derivada direcional pode ser calculado pela frmula: 2 4 zuz= + = A derivada direcional mxima quando o vetorufor igual a: ||

\|= ==21,212 4) 4 , 4 (zzu Curvas de nvel Osmdicosrecorremtomografiacomputadorizadaquandodesejamvisualizaraimagem docrebrodopaciente.Nessetipodeexame,aimagemdocrebrodopacientefatiadaem vrias partes conforme mostram as figuras a seguir: Emmatemtica,diramosquecadafatiadatomografiacomputadorizadaumacurvade nvel da funo. Os engenheiros civis utilizam grficos de nvel, chamados mapas topolgicos, para auxili-losnaconstruodeestradasepontes.Naconstruodogrficodenvel,orelevodaregio fatiado em vrias cotas (nvel de altura) e desenhado num nico mapa conforme mostra a figura: Cadanmeroqueacompanhaumacurvarepresentaaalturadafatiadorelevo.Por exemplo,oponto1eoponto2mostradosnafiguraestonacota10,ouseja,possuemamesma altura igual a 10. No mapa topolgico da regio esto presentes as vrias curvas de nvel do relevo. CLCULO 2 PGINA 11 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Osengenheirosmecnicosutilizamcurvasdenvelquandoprecisamselecionarbombas dgua que funcionem com o maior rendimento possvel. Podemos relacionar a altura de descarga, a vazo e o rendimento de uma bomba dgua conforme a superfcie a seguir: Os fabricantes apresentam as curvas de nvel da superfcie anterior no seguinte grfico: ' Ascurvasdenveldeumafunorepresentamasdiversasfatiasdogrficodafuno, uma para cada valor escolhido da varivel dependente z. As figuras a seguir mostram os grficos de funes e as suas curvas de nvel: Grfico da funo 2 2y x ) y , x ( f z + = = Curvas de nvel de 2 2y x ) y , x ( f z + = = Curvas de rendimento constante Vazo (litros por segundo) Altura (metros) Vazo (litros por segundo)Altura de descarga (metros) Rendimento (%) CLCULO 2 PGINA 12 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Grfico da funo) y ( sen ) x ( sen ) y , x ( f z = = Curvas de nvel de) y ( sen ) x ( sen ) y , x ( f z = = Observequeospontosmaisaltos(maiorvaloresdez)somaisclaroseos pontos mais baixos (menores valores de z) so mais escuros. Umacurvadenvelumacurvanoespao 2IR paraumvalorarbitrriodez,ouseja, escolhemosumvalorparaz(fazemoszigualaumaconstantegenricac)edescobrimosquala caracterstica das curvas de nvel. Vale dizer que nem sempre fcil imaginar o formato das curvas de nvel de uma funo a partir das equaes obtidas fazendoc z = . A expresso matemtica das curvas de nvel da funo 2 2y x ) y , x ( f z + = = dada por: c y x2 2= +Conformeaequaoanterior,ascurvasdenvelsocircunfernciascentradasnaorigem com raios iguais ac . Gradiente e curvas de nvel Considere as curvas de nvel da funo 2 2y x ) y , x ( f z + = = : Curvas de nvel de 2 2y x ) y , x ( f z + = = Suponhaqueovetoru tangenteaumadascurvasdenveldafuno.Comotodosos pontossobreumacurvadenvelpossuemamesmaalturaz,ataxadecrescimentoou decrescimento da funo na direo tangente a qualquer curva de nvel igual a zero. uuuuCLCULO 2 PGINA 13 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Fica mais fcil verificar a afirmao anterior na figura a seguir: A derivada na direo do vetorutangente curva de nvel igual a zero, ou seja: 0uz= Sabemos que a derivada direcional dada pelo seguinte produto escalar: u zuz = Logo, podemos afirmar que: 0 u z = Oprodutoescalaranterioranteriormuitoimportante,poisindicaqueovetorgradiente perpendicularaovetoru quetangenteaqualquercurvadenveldafuno.Afiguraseguinte mostra a configurao dos vetoresuez sobre uma das curvas de nvel da funo: Mximo, Mnimo e Ponto de Sela Um ponto) y , x ( P0 0= chamado de ponto crtico da funo) y , x ( f z =se nesse ponto as derivadas parciais em relao a x e em relao a y so ambas iguais a zero, ou seja, as inclinaes das retas tangentes funo) y , x ( f z =no ponto P devem ser iguais a zero. Aolongodacurvadenvelnoh crescimento nem decrescimento da funo j que todos os pontos esto mesma altura. uz uuuCLCULO 2 PGINA 14 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Por exemplo, a figura a seguir mostra um ponto crtico da funo. Observe que as derivadas parciais em relao a x e em relao a y so ambas iguais a zero: Sabemosqueasegundaderivadadeumafunoforneceasuaconcavidade.Nafigura mostradaanteriormente,asegundaderivadaparcialemrelaoaxnegativa,poisaconcavidade dacurvaparalelaaoeixoxparabaixo.Estamosentosobreopontomaisaltodacurva.Alm disso, a segunda derivada em relao a y tambm negativa, indicando que a concavidade da curva paralela ao eixo y tambm est voltada para baixo. Combinando as duas situaes, podemos afirmar que localizamos um ponto de mximo local. Observe a figura a seguir: A inclinao da reta tangente curva:0yz= A inclinao da reta tangente curva:0xz= CLCULO 2 PGINA 15 PROF. FBIO NOGUEIRA BATISTA ([email protected]) Na figura anterior, a segunda derivada parcial em relao a x positiva, pois a concavidade dacurvaparalelaaoeixoxparacima.Estamosentosobreopontomaisbaixodacurva.Alm disso, a segunda derivada em relao a y tambm positiva, indicando que a concavidade da curva paralela ao eixo y tambm est voltada para cima. Combinando as duas situaes, podemos afirmar que localizamos um ponto de mnimo local. Existeaindaumterceirotipodepontocrtico,denominadodepontodesela,queocorre quandoasderivadasparciaisemrelaoaxeayseanulame,mesmoassim,noestamosnem sobreumpontodemximo,nemsobreumpontodemnimolocal.Afiguraseguinteilustraum ponto de sela da funo: Se apenas derivarmos uma funo parcialmente em relao a x e em relao a y, igualando a zerooresultado,notemoscondiesdeafirmarquetipodepontocrticolocalizamos.Para caracterizarmosqualdostrstiposdepontocrticofoicalculadodevemosutilizarodeterminante Hessiano, ou simplesmente, Hessiano dado por: 22 2222yzx yzy xzxz) y , x ( H =As condies para a caracterizao dos pontos crticos so apresentadas no quadro a seguir: Se0 ) y , x ( H0 0>e0 ) y , x (xz0 022>, ento,) y , x (0 0 ser ponto de mnimo local. Se0 ) y , x ( H0 0>e0 ) y , x (xz0 022