Capítulo 2

Mecânica da conformação plástica dos metais

2.1 – Tensões e deformações

2.1.1 – Conceito de tensão

Dentro do binômio solicitação-resposta, será analisada inicialmente a parte de solicitações, que normalmente são descritas através de forças (Figura 2.1).

Um corpo genérico submetido a várias forças (Figura 2.2a), tem sua forma modificada. Estas forças podem provocar deformações elásticas ou plásticas. Consideremos uma pequena área ΔA em torno de P e seja a resultante das forças agindo em todos os pontos de ΔA (Figura 2.2b). Define-se a tensão média agindo em ΔA como:

(2.1)

É bastante usual a decomposição de segundo um sistema de eixos cartesianos cuja origem está no ponto em estudo e que tem um dos eixos (n) segundo a normal ao plano de corte (Figura 2.3).

Define-se tensão normal σ como a componente de agindo segundo o eixo n (Figura 2.3) e de módulo:

(2.2)

Por convenção σ será positivo para tração e negativa para compressão.

Define-se a tensão de cisalhamento τ como a componente de que age segundo a reta de interseção do plano de corte e do plano definido por T e o eixo n (Figura 2.3), de módulo:

(2.3)

Resumindo, pode-se fornecer a tensão através de:

ou σ, τ e as direções de e .

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Um dos problemas a serem considerados na avaliação da tensão em um ponto é sua variação com o plano de corte. Como pode ser observado na Figura 2.4, uma barra cilíndrica tracionada axialmente com uma força , a distribuição de forças em qualquer seção do corpo tais como ΔA1 e ΔA, (Figura 2.4) será uniforme, e a tensão em cada ponto da seção será igual à tensão média agindo em toda a seção.

Para todos os pontos da seção ΔA1, ter-se-ia:

; além disso,

O caso mais geral de corte do cilindro é caracterizado pelo ângulo θ. No caso de

ΔA1, tem-se:

θ = 0, σ1 = T1 (2.4)

τ1 = 0

Considerando ΔA, a força a ser considerada ainda é , mas a área sobre a qual esta age não mais é ΔA1.Ter-se-ia

(2.5)

(2.6)

As equações (2.5) e (2.6) são as equações paramétricas de um círculo. O círculo

em discussão é conhecido como círculo de Mohr.Considere agora uma análise das equações 2.5 e 2.6:

A tensão σ é máxima para = 0o, e = ; neste plano, = 0; τ ainda é nulo para =90o, onde σ é mínimo ( = 0).

Os planos onde σ é nulo são ortogonais.

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A tensão τ é máxima para = 45o, ou seja, em um plano fazendo 45o com o

plano onde age . Além disso,

Os planos onde τ = 0 recebem o nome de planos principais, e as tensões , e recebem o nome de tensões principais. Por convenção se indica:

> > (2.7)

A situação pode ser representada como na Figura 2.5, onde o cubo em torno do ponto P representa fisicamente o ponto P.

2.1.2 – Círculo de Mohr

Uma forma bastante simples de representar o estado de tensões de um ponto material é através de um círculo de Mohr.. Esta construção geométrica está associada sempre a um único estado de tensões, não existindo um círculo de Mohr para dois estados de tensão ou um estado de tensões que possua dois círculos de Mohr.

A vantagem do círculo de Mohr está em permitir a visualização rápida de algumas características do estado de tensões, inclusive a sua facilidade relativa em produzir deformação plástica ou a determinação das tensões principais,, para o caso plano de tensões..

Para o caso plano de tensões, situação normalmente encontrada para o caso de materiais finos (chapas metálicas),, quando estão disponíveis as tensões , e (pode-se orientar o plano XY na direção do plano onde atuam as tensões) o círculo de Mohr pode ser calculado conforme mostrado na Figura 2.6. A forma mais simples de traça-lo é marcando sobre um sistema de coordenadas os pontos correspondentes a e , unir os pontos e passar um círculo centrado na reta que une estes pontos.

A intercessão do círculo com o eixo horizontal (de tensões normais) oferece as duas tensões principais e a altura oferece a máxima tensão de cisalhamento do estado de tensões. Esta última informação é importante porque representa a capacidade que o estado de tensões tem de induzir deformação plástica. É claro que:

(2.8a)

(2.8b)

Onde: e

O círculo de Mohr (Figura 2.6) é uma maneira cômoda de acompanhar a variação da tensão com α. Observa-se que planos que fazem 90o entre si, apresentam tensões de cisalhamento iguais e de sinais opostos. Isto pode ser facilmente provado

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observando-se os pontos A e E na Figura 2.6. Uma vez analisado o problema de círculos de Mohr em duas dimensões, pode-se generalizar a situação para três dimensões. Considerando-se que na Figura 2.7a, os planos 1, 2 e 3 são os planos principais passando pelo ponto P, e tendo em mente que a tensão em qualquer plano perpendicular ao plano 3 não é afetado por σ3 (para α = 90o, σ = τ = 0), conclui-se que, nestes planos, a tensão depende somente de σ1 e σ2, e tudo se passará como discutido na Figura 2.6; assim, os pontos do círculo que passa por σ1σ2 (Figura 2.7b) correspondem a planos perpendiculares ao plano 1, e o círculo σ1σ3, os planos perpendiculares ao plano 2. A tensão máxima de cisalhamento (τmáx.) está mostrada na Figura 2.7b, e seu valor é dada pela equação 2.9:

(2.9)

A Figura 2.8 mostra o círculo de Mohr em três dimensões para diferentes estados de solicitação, com indicação das tensões principais e tensão de cisalhamento máxima.

2.1.2.1 – Aplicações dos círculos de Mohr

1 – Ensaio de tração

Durante o ensaio de tração uniaxial é válido o círculo de Mohr da Figura 2.9b. No entanto, à medida que a tensão aplicada vai crescendo (pontos A, B, C, D - Figura 2.9a), o círculo de Mohr correspondente também se expande (Figura 2.9b), até que se alcance o limite de resistência à tração. A partir deste ponto ocorre uma estricção no corpo de prova, e o estado de tensões não mais é de tração pura.

2 – Trefilação de barras

Quando se deseja alongar uma barra cilíndrica é possível tracioná-la, como em um ensaio de tração. No entanto, se a deformação desejada exigir uma aplicação de tensão acima do limite de resistência à tração (Figura 2.9), a barra sofrerá estricção e o produto obtido não mais será satisfatório.

Nestes casos, é possível impor a deformação desejada através da trefilação, que consiste na passagem da barra através de uma ferramenta cônica (fieira), como mostrado na Figura a 2.10a. É óbvio que a tensão necessária para trefilar o material (σtref) deve estar abaixo do limite de escoamento da barra que já passou pela fieira, para que esta não seja simplesmente tracionada. Observa-se (Figura 2.10b) que a fieira muda o estado de tensões na barra em relação a tração pura, pela imposição de tensões de compressão. A conseqüência disto é um aumento da τmáx, sem necessidade de aumento de σ1 (Figura 2.10c), que levaria a um aumento da σtref. Esta observação está de acordo com o que foi observado na Figura 2.8d. A deformação plástica ocorrerá com mais facilidade dentro da ferramenta cônica e não haverá perigo de ocorrer

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deformação plástica ou estricção e fratura na barra já trefilada, devido a valores excessivos de σtref.

3 – O ensaio de torção

Quando se submete um corpo de prova cilíndrico a um momento de torção (Figura 2.11a), intuitivamente conclui-se que a máxima tensão de cisalhamento deve atuar no plano de sua seção transversal (Plano A, Figura 3.11a). Considere-se agora um pequeno cubo na superfície do cilindro em pauta. Uma de suas faces está na superfície do corpo de prova (face hachurada, Figura 2.11a) enquanto as outras faces são perpendiculares a esta superfície. Na face hachurada não age nenhuma tensão; como τ = 0 neste plano, ele é um plano principal, e está representado pelo ponto O no círculo de Mohr (Figura 2.11c).

Considerando-se agora uma vista frontal da face hachurada (Figura 2.11b), as tensões de cisalhamento atuando no plano A são como está mostrado. As tensões de cisalhamento agindo em planos de 90o com A (plano B) são iguais às que agem em A, mas com sinal trocado, como desenhado. É imediata, então, a locação dos pontos A e B no círculo de Mohr, desenhando-se a figura completa. A tensão principal σ2 está no centro de O do sistema, σ1 está no ponto C e σ3 no ponto D. O plano C faz 90o com A no círculo, no sentido anti-horário, estando na posição mostrada na Figura 2.11b. O caso do plano B é semelhante.

2.1.3 – Conceito de deformação

Dentro do binômio solicitação-resposta (Figura 2.1), neste item, será efetuada uma análise da forma de expressar a resposta, que normalmente são descritas através de deformações.

A maneira mais fácil de definir deformação é pela razão entre a diferença das dimensões finais e iniciais de um material dividido (normalizado) pelo valor inicial desta dimensão..

(2.10)

Na teoria da conformação plástica dos metais, a condição inicial não pode ser usada como uma referência; portanto, a mudança em comprimento deve ser relacionada ao comprimento instantâneo, ou seja:

(2.11)

As equações 2.10 e 2.11 fornecem:

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(2.12)

Para grandes deformações é necessário calcular-se através da deformação verdadeira (ε acima de 0,2 ou 20%).

Para um ensaio de compressão, temos (Figura 2.12):

(2.12a)

(2.12b)

2.1.3.1 – Lei da constância de volume

Como na conformação plástica de metais as deformações impostas nos processos são grandes, pode-se considerar que o volume permanece constante durante a conformação. Considerando-se uma deformação de um corpo (Figura 2.13), sendo o volume inicial do corpo dado por ho.bo.lo e considerando que o volume não se altera após compressão, podemos escrever:

(2.13)

Da expressão 2.13, vem:

(2.14)

ou seja;

(2.15)

(2.16)

Isto significa que a soma algébrica das três deformações principais é igual a zero. Esta afirmação caracteriza a Lei da Constância de volume.

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2.2 – Elasticidade e plasticidade

2.2.1 – Ensaio de tração

Retomando ao binômio solicitação resposta, que já foi realizado, no item 2.1, o estudo da solicitação e da resposta, respectivamente, através da abordagem de tensões e de deformações. Analisar-se-á agora a relação existente entre tensões e deformações, inicialmente no campo elástico (item 2.2.2) e em seguida para o campo plástico (item 2.2.3).

Inicialmente, analisar-se-á o comportamento de um metal submetido à tração pura. Não existe ensaio mecânico que preveja completamente o real desempenho mecânico de um material, seja na etapa de produção (conformação, usinagem, etc.), seja na etapa de utilização (como elemento estrutural, peça automobilística, painel, etc.).

No entanto, o ensaio de tração é considerado o teste mecânico que apresenta a melhor relação entre informações obtidas e custo/complexidade de ensaio.. Apesar deste teste possa ser realizado em condições bem distintas daquelas nas quais o material será requisitado, os parâmetros obtidos deste ensaio são o ponto de partida para a caracterização e especificação.

O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova de geometria definida, a um esforço crescente de tração, aplicado continuamente até a fratura e no simultâneo registro do alongamento em função da força aplicada, conforme exemplificado na Figura 2.14.

O ensaio de tração é um dos ensaios destrutivos mais freqüentemente utilizado, quer por fornecer dados para projeto, quer para o controle de qualidade de materiais ou produtos. A sua larga utilização deve-se à relativa facilidade de execução e à reprodutibilidade das propriedades medidas..

Na curva tensão vs. deformação convencional pode-se distinguir diferentes fases durante o ensaio, conforme mostrado na Figura 2.15:1-região de deformação uniforme;2-região de deformação plástica uniforme;3-região de deformação plástica;4-região de deformação localizada.

Diversos parâmetros podem ser medidos.. Aqui interessa fazer uma descrição dos parâmetros utilizados na teoria da conformação plástica dos metais e algumas características destes parâmetros.

2.2.2 – Relações entre tensões e deformações no regime elástico

Considere-se um corpo de prova de tração (Figura 2.16), de comprimento inicial l0 e cuja área da seção seja S0. Este corpo é submetido a cargas crescentes P, anotando-se seu alongamento Δl para cada valor de P. Seguindo definições anteriores, a tensão convencional de tração (σc) e a deformação convencional de tração e (εc) são dadas pelas expressões a seguir:

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(2.17)

Levando-se em um gráfico σc x εc, os valores obtidos, obtêm-se normalmente curvas com o aspecto mostrado na Figura 2.16. Verifica-se experimentalmente que até o ponto A (σc < σe) a deformação é elástica. Após o ponto A, ocorre deformação plástica simultaneamente com a elástica.

Na região elástica, o material se comporta conforme a Lei de Hook ao ser submetido a esforços:

(2.18)

onde:σ = é a tensão atuante sobre o material;E = é a constante elástica ou módulo de Young;ε = é a deformação relativa provocada pelo carregamento.

2.2.2.1 – Principais parâmetros

Os principais parâmetros são:

1 - Limite de escoamento (σe ou LE): pode-se afirmar que é o principal parâmetro obtido do ensaio de tração, prestando-se para cálculos de projeto estrutural (onde é necessário que o material não entre em deformação plástica) quanto para conformação plástica (quando é desejado facilidade de deformação plástica do material), ou seja, é um parâmetro de transição entre o regime elástico e plástico.. Normalmente quando um material tem suas propriedades mecânicas fixas por uma norma de qualidade, a variável mais utilizada é o limite de escoamento. Em um ensaio de tração, existem dois tipos de comportamento no que diz respeito à determinação do limite de escoamento, conforme mostrado na Figura 2.14: materiais que apresentam um ponto descontínuo na curva tensão vs. deformação e materiais que apresentam escoamento contínuo (mudam do comportamento elástico para o plástico continuamente). No segundo caso, quando é mais difícil determinar o exato limite de escoamento, as normas de execução dos ensaios sugerem defini-lo como sendo a tensão para uma deformação entre e = 0,,2% até e = 0,,5% para materiais excessivamente dúcteis.. Em ambos os casos, a deformação elástica do CP é praticamente desprezível e a área real do material é aproximadamente igual à sua área inicial, o que leva à definição de limite de escoamento como sendo igual ao expresso pela equação 2.19:

(2.19)

onde P é a força exercida pelo sistema de testes sobre o CP de área inicial Ao

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Para os casos de escoamento imperceptível, convencionou-se adotar uma deformação-padrão que corresponda ao limite de escoamento, conhecida como limite n de escoamento (σen). Por exemplo, o procedimento para se determinar o limite de escoamento para o caso de n = 0,2% é como se segue:1-Obter uma curava tensão-deformação de engenharia por meio do ensaio de tração.2-Construir uma linha paralela à região elástica da curva, partindo de uma deformação de 0,002 ou 0,2%.3-Definir σ e na interface da reta paralela com a curva tensão-deformação, conforme Figura 2.17.

O valor de n pode assumir valores em função do campo plástico do material, como por exemplo:1- Metais e ligas em geral n = 0,2% (ε = 0,002)2 - Cobre e suas ligas n = 0,5% (ε = 0,005)3 - Ligas metálicas muito duras n = 0,1% (ε = 0,001)

Em alguns casos, a curva tensão deformação não apresenta a parte linear (região elástica) bem-definida, o que torna impreciso o traçado de uma linha paralela para a determinação do limite n.

O procedimento então mais adequado para a determinação do limite de escoamento consiste em descarregar e carregar novamente o corpo-de-prova já na região plástica, permitindo a formação da histerese mecânica, como mostra a Figura 2.18.

A partir da histerese, unem-se os pontos A e B por uma reta, e, a partir desta, traça-se uma reta paralela a partir do ponto correspondente a n% de deformações.

O conhecimento da tensão de escoamento é fundamental para o cálculo de força de trabalho de conformação, assim como para o dimensionamento de matrizes e cálculo de parâmetros internos dos materiais conformados.

Para ser útil na análise de conformação, a tensão de escoamento de metais deve ser determinada experimentalmente para as condições ε e T, que existem nos processos de conformação. Os métodos mais comuns usados para obter os dados de tensão de escoamento são os testes de tração, compressão uniforme e torção. A Tabela 2.2 apresenta valores do limite de escoamento e do módulo de resiliência de alguns materiais de engenharia.

2 - Limite de proporcionalidade (σp): máxima tensão acima da qual o material não mais obedece a Lei de Hooke, isto é, perde-se a linearidade entre a relação tensão x deformação.

3 - Módulo de elasticidade, ou módulo de Yung (E): fornece uma indicação da rigidez do material e depende fundamentalmente das forças de ligação interatômicas, o que explica seu comportamento inversamente proporcional à temperatura. É determinado pelo quociente da tensão convencional pela deformação convencional ou alongamento específico na região linear do diagrama tensão-deformação da Figura 2.16, e é dado por:

(2.20)

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onde E = módulo de elasticidade (Pa)

O Eaço é cerca de três vezes maior que o correspondente para ligas de alumínio, ou seja, quanto maior o módulo de elasticidade, menor a deformação elástica resultante na aplicação de uma determinada carga, conforme mostra esquematicamente a Figura 2.19. A Tabela 2.1 apresenta o módulo de elasticidade de alguns metais.

O módulo de elasticidade é uma das propriedades mais constantes dos materiais..1-É determinado pelas forças de ligação entre os átomos.2-Ligeiramente afetado por introdução de elementos de liga, tratamento térmicoou deformação a frio.3-Bastante influenciado pela temperatura (T E )..4-Requer cuidados na medição devido a influência da rigidez da máquina.

4 – Módulo de elasticidade transversal (G): corresponde à rigidez do material quando submetido a um carregamento de cisalhamento, calculado por uma expressão semelhante à expressão (2.18):

(2.21)

Onde e são as tensão e a respectiva deformação cisalhante que sofre o CP..

5 – Coeficiente de Poisson ( ): mede a rigidez do material na direção perpendicular àquela em que a carga está sendo aplicada, conforme ilustra a Figura 2.20. O valor deste coeficiente é determinado pela relação entre as deformações na direção de aplicação de carga ( ) e a deformação medida na direção perpendicular ( ou ) – equação 3.22:

(2.22)

6 - Módulo de resiliência (Ur): é a capacidade de um material absorver energia quando deformado elasticamente e libera-la quando descarregado. A medida desta propriedade é dada pelo módulo de resiliência (Ur), que é a energia de deformação por unidade de volume necessária para tracionar o metal da origem até o limite de proporcionalidade.

A quantificação de Ur é dada pelo trabalho útil realizado, isto é, da área sob a curava tensão-deformação calculada da origem até o limite de proporcionalidade:

(2.23)

Na prática, substitui-se o limite de proporcionalidade (σp) pelo limite de escoamento (σ e), que será definido.

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2.2.3 – Relações entre tensões e deformações no regime plástico

A partir do ponto (B) da curva da Figura 2.16, o material entra na região plástica, que é caracterizada pela presença de deformações permanentes no corpo-de-prova. Para materiais de alta capacidade de deformação, o diagrama tensão-deformação apresenta variações relativamente pequenas na tensão, acompanhadas de grandes variações de deformação.

3.2.3.1 – Principais parâmetros

Nessa região os principais parâmetros são:

1 - Limite de resistência à tração (σu): tensão correspondente ao ponto de máxima carga atingida durante o ensaio, igual à carga máxima dividida pela área inicial do corpo de prova.

Após o ponto u, tem início a fase de ruptura, caracterizada por uma rápida redução local de secção de fratura (fenômeno de estricção).

2 - Limite de ruptura (σr): última tensão suportada pelo material antes da fratura.

3 - O alongamento e a estricção são medidas da ductilidade (plasticidade) do material e definidos como se segue:

3.1 - Alongamento (Δl): diferença entre o comprimento final (lf) e o comprimento inicial (l0) do corpo de prova, e que é dado por:

Δl = lf - l0 (2.24)

3.2 - Alongamento específico é dado por:

(adimensional) (2.25)

(2.26)

O alongamento específico caracteriza-se pelo quociente do alongamento pelo comprimento inicial do corpo-de-prova, também conhecido como deformação linear média, ou deformação convencional de engenharia no ponto de fratura.

3.3 - Coeficiente de estricção (φ): diferença entre as seções inicial (S0) e final (Sf) após a ruptura do corpo-de-prova, expressa em porcentagem da seção inicial

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(2.27)

onde: φ = coeficiente de estricção (%) S0 = seção transversal inicial da amostra (m2) Sf = seção transversal final da amostra (m2)

4 - Encruamento

A necessidade de aumentar-se a tensão para dar continuidade à deformação plástica do material decorre de um fenômeno denominado encruamento. A partir da região de escoamento, o material entra no campo de deformações permanentes, onde ocorre endurecimento pela deformação a frio.

Esse fenômeno resulta em função da interação entre discordâncias e das suas interações com outros obstáculos, como solutos, contornos de grãos etc, que impedem a livre movimentação das discordâncias.

A Figura 2.21 apresenta o efeito do encruamento no limite de escoamento caso o ensaio seja interrompido e retomado após alguns instantes. A zona plástica vai se iniciar a uma tensão mais elevada e normalmente sem escoamento nítido. Caso o ensaio seja novamente interrompido e reiniciado muito tempo depois, novamente a região plástica se inicia a uma tensão mais elevada, embora o escoamento nítido possa reaparecer.

5 - Módulo de tenacidade

A tenacidade corresponde à capacidade que o material apresenta de absorver energia até a fratura. É quantificada pelo módulo de tenacidade, que é a energia absorvida por unidade de volume, desde o início do ensaio até a fratura. Uma maneira de se avaliar a tenacidade consiste em considerar a área total sob a curva tensão-deformação.

As curvas da Figura 2.22 representam esquematicamente situações extremas de comportamento no ensaio de tração: um material dúctil (curva A) e um material frágil (curva B).

Em ambos os casos, a ausência de uma expressão analítica que represente a variação de σ com ε impede o cálculo da área sob as curvas e, consequentemente, a determinação do módulo de tenacidade (Ut). Na determinação desses valores utilizam-se as seguintes expressões, convencionadas internacionalmente:

5.1 - Material dúctil:

(N.m/m3) (2.28)

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5.2 - Material frágil

(N.m/m3) (2.29)

De um modo geral, os materiais que apresentam módulos de resiliência altos têm

tendência de apresentarem módulos de tenacidades baixos. A tenacidade é um parâmetro que compreende tanto a resistência mecânica do material quanto a ductilidade.

6 – Tensão e deformação verdadeiros ( e )

A curva tensão deformação de engenharia (convencional), estudada anteriormente, não apresenta uma informação real das características de tensão e deformação do material, porque se baseia inteiramente nas dimensões originais do corpo-de-prova, e que são continuamente alteradas durante o ensaio. Assim, são necessárias medidas de tensão e deformação que se baseiem nas dimensões instantâneas do ensaio. Um esboço comparativo da curva tensão-deformação real e convencional está apresentado na Figura 2.23.

6.1 – A tensão verdadeira (σr), é dada por:

(2.30)

Onde: P = carga (Pa); S = área da seção transversal instantânea (m2).

Como nesse caso se avalia a variação de S em cada instante do ensaio, a região plástica fica mais bem caracterizada, já que não se toma mais a seção transversal inicial como referência, e a tensão cresce continuamente até a fratura.

6.2 - A deformação verdadeira (εr) é dada em função da variação infinitesimal da deformação é dada por:

(2.31)

que é válida para uma deformação uniaxial uniforme. A deformação verdadeira é dada pela integração da Eq. 3.31 dentro do limite inicial (l0) e instantâneo (l):

(2.32)

29

Esta expressão não é aplicável entre o trecho UF do diagrama tensão deformação, e assim εr, deve variar entre os limites O e εu, onde εu corresponde a uma deformação no ponto U do diagrama. Para que se possa avaliar a deformação nesta região, é preciso analisar outras direções além da direção de aplicação da carga. Como o volume permanece constante na região plástica, desprezando-se variações elásticas ( V = V0), pode-se escrever:

S . l = S0 . l0 = constante (2.33)

ou

Sdl + ldS (2.34)

e rearranjando:

(2.35)

ou

(2.36)

A equação 2.36 é válida para (εA ≤ εr ≤ εP) e não é aplicável na região elástica, já

que o volume não permanece constante durante o tracionamento no campo elástico.

7 – Coeficiente de encruamento (n) e constante plástica de resistência (K)

Dentre as equações utilizadas para modelar o formato da curva tensão-deformação no regime plástico, destacam-se as seguintes::1-Equação de Hollomon

(2.37)

2-Equação de Swift

(2.38)

3-Equação de Ludwink

(2.39)

4-Equação de Voce

30

(2.40)

o aluno deve notar que todas as equações estão relacionando tensões verdadeiras ( ) com deformações verdadeiras ( ).

A equação mais utilizada é a equação de Hollomon, da qual o parâmetro n é conhecido como coeficiente de encruamento e é calculado a partir de dois pontos (1 e 2) da curva tensão-deformação, na região plástica, segundo a equação 2.41.

(2.41)

Que também pode ser escrita de outra forma:

(2.42)

Também é possível provar matematicamente que o valor do coeficiente de encruamento vale a deformação verdadeira no ponto de início de estricção:

(2.43)

A prova pode ser feita da seguinte forma: a curva tensão deformação, na região de deformação plástica, é expressa pela equação 3.37, podendo ser também expressa por:

(2.44)

onde a diferencial leva a:

(2.45)

Mas como:

d (2.46)

Isolando dS e substituindo na Eq. 3.45, chega-se a:

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(2.47)

No ponto U do diagrama tensão-deformação, a curva apresenta seu ponto de inflexão correspondente ao ponto de máxima carga, ou seja, dP = 0. Desse modo, na Eq. 3.46 obtém-se:

(2.48)

ou

(2.49)

Assim, o coeficiente de encruamento corresponde à deformação verdadeira no ponto de máxima carga.

A equação (2.49) permite calcular o valor da constante plástica de resistência (K) a partir do limite de escoamento convencional do material (LR) e do seu coeficiente de encruamento (n), que pode ser calculado, equações (2.41) ou (2.42), a partir de uma curva tensão-deformação de engenharia, obtida em um ensaio de tração “comum”. Esta é uma informação importante, pois permite fazer a caracterização do real comportamento plástico do material, através da equação , calculando-se os parâmetros K e n diretamente de uma curva tensão-deformação de engenharia. A Tabela 2.3 apresenta valores do coeficiente de encruamento e do coeficiente de resistência de alguns materiais de engenharia.

8 – Coeficiente de anisotropia (R)

É definido como sendo a relação entre as deformações reais segundo a largura (W) e segundo a espessura (t). Este parâmetro mede a resistência do material à redução de espessura quando deformado plasticamente.. Como a medição da espessura apresenta dificuldades de precisão e admitindo-se constância de volume do material (S.L = So.Lo), pode-se calcular o índice de anisotropia alternativamente pela medição das variações na largura e comprimento, conforme mostrado na equação (3.49):

(2.50)

2.2.4 – Critérios de escoamento

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Os critérios de escoamento foram elaborados a fim de definir o estado limite de tensão que define o escoamento plástico dos materiais metálicos. Ou seja, a partir de qual valor a tensão aplicada, dar-se-á o inicio do processo de deformação plástica.

No caso do ensaio de tração, é possível determinar uma tensão σe à qual o material passa do regime elástico para o plástico. A determinação exata desta tensão é experimentalmente complexa, e, frequentemente, lança-se mão de artifícios como o mencionado anteriormente (tensão necessária para causar 0,2% de deformação permanente). O critério de início de deformação plástica, ou critério de escoamento, será dado por:

σ1 = σe (2.51)

No entanto, a situação acima aplica-se à tração pura, e é necessário um critério que possa ser aplicado a qualquer estado de tensões.

Para se determinar o instante em que o material entra em escoamento para um estado qualquer de tensões, Tresca (1865) e von Mises (1913) apresentaram seus critérios de escoamento.

Um critério de escoamento pode ser expresso na forma geral:

F(σ1, σ2, σ2, σe) = 0 (2.52)

onde σe é a tensão na qual o material inicia o escoamento plástico.

2.2.4.1 - Critério da máxima tensão de cisalhamento (Tresca)

O critério da máxima tensão de cisalhamento considera que o escoamento inicia quando a diferença entre a maior e a menor tensão aplicada sobre o corpo atinge um valor crítico (igual ao dobro da tensão de cisalhamento) num estado uniaxial de tensões, ou seja:

(2.53)

Isto significa que o início do escoamento não depende da tensão principal intermediária (σ2). Através de ensaios verifica-se que desprezando a tensão (σ2) a variação do valor real não ultrapassa de 15%.

Quando se deseja considerar a tensão intermediária, emprega-se o critério da máxima energia armazenada num corpo.

2.2.4.2 - Critério da máxima energia armazenada (von Mises)

O critério da máxima energia armazenada considera que o escoamento ocorre quando a relação à direita da expressão (2.54) for igual a tensão de escoamento (σe), obtida num ensaio uniaxial de tensões.

33

(2.54)

Quando σ1 = σ2 ou σ2 = σ3, então σe = σ1 – σ3, os dois critérios apresentam o mesmo valor. Os dois critérios apresentam uma diferença máxima num estado plano de deformação, ou seja, no caso em que:

(2.55)

Então: (2.56)

O critério de von Mises apresenta resultados mais confiáveis visto que considera

a tensão intermediária, porém, deve-se destacar que em estados cilíndricos de tensão, a aplicação de um ou outro critério fornece o mesmo resultado.

A comparação entre os dois critérios de escoamento pode ser feita traçando-se os mapas de escoamento para um estado bidimensional (Figura 2.24), com:

σ1 = σ2 0 e σ3 = 0 (2.56a)

Observa-se que: para tensão uniaxial (ou σ2 0 σ1 = σ3 = 0 ) e para a tensão biaxial balanceada

σ1 = σ2 0 σ3 = 0 os critérios apresentam o mesmo resultado. para estados de cisalhamento puro (σ1 = - σ2 σ3 = 0 ) ocorre a maior

divergência, algo em torno de 15%.

2.2.5 – Relações entre tensões e deformações verdadeiras e convencionais

A deformação verdadeira pode ser determinada, a partir da deformação convencional, por:

(2.57)

ou

(2.58)

Mas, pelas Eqs. 2.32 e .2.36, tem-se que:

34

(2.59)

e portanto

(2.60)

Esta equação é aplicável somente até o início da estricção (0 ≤ εr ≤ εu), a partir de onde prevalece um estado triaxial de tensões.

Partindo da Eq. 2.59, tem-se que:

(2.61)

ou

(2.62)

Introduzindo-se a Eq. 2.61 na Eq. 2.30, chega-se a:

(2.63)

Ou

(2.64)

A curva tensão verdadeira-deformação verdadeira é traduzida pelas seguintes relações:

1 - Na região elástica (AO): (2.65)

2 – Na região plástica (AU): (2.66)

onde: k = coeficiente de resistência, que quantifica o nível de resistência que o material pode suportar (Pa); n = coeficiente de encruamento, que representa a capacidade com que o material distribui a deformação (adimensional).

Ambos os coeficientes são características particulares do material, embora possam ser modificados pela ação de tratamentos térmicos e/ou químicos.

A Figura 2.25 mostra a região plástica da curva tensão-deformação de dois materiais metálicos com diferentes valores de n.

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2.2.6 – Limite máximo de deformação

Uma conformação somente é possível até uma determinada grandeza de deformação. Quando por exemplo, num ensaio de tração é ultrapassada uma determinada deformação ocorrendo a ruptura, então diz-se que a deformação atingiu seu limite máximo.

Teorias de ruptura, que pode predizer a grandeza da máxima deformação ou ainda que possibilitam determinar com exatidão um estado de tensão crítico, não foram desenvolvidas ainda a tal ponto de mostrar resultados quantitativos. Desta forma costuma-se utilizar valores qualitativos obtidos de trabalho prático. O limite máximo de deformação para um determinado material é influenciado principalmente por três grandezas:

pelo estado de tensões; pela temperatura; pela velocidade de deformação.

Tensões de tração provocam antes a fratura do que tensões de compressão. Assim, o limite máximo de deformação aumenta quando ocorre compressão.

Com o aumento da temperatura aumenta o limite de deformação máximo, principalmente devido ao fato de ocorrer recristalização. Com o aumento da velocidade de deformação aumenta a tendência do material à fratura frágil, com o que cai em regra geral, o limite máximo de deformação. O limite máximo de deformação é normalmente dado pela expressão:

(3.67)

Onde: εrupt. é geralmente:

(3.68)

sendo:σm = a tensão média;T = a temperatura;ε = a deformação;

= a velocidade de deformaçãoA fratura é a separação ou fragmentação de um corpo sólido em duas ou mais

partes, sob a ação de uma tensão, e pode ser considerada como sendo constituída de duas partes – nucleação de trinca e propagação da trinca.. A fratura pode ser classificada em duas categorias gerais: fratura frágil e fratura dúctil. A fratura frágil nos metais é caracterizada pela rápida propagação da trinca, com nenhuma deformação macroscópica e muito pouca microdeformação. A fratura dúctil é caracterizada pela ocorrência de uma apreciável deformação plástica antes e durante a propagação de trincas. A Figura 2.26 mostra os tipos de fratura que podem ocorrer.

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2.2.7 – Velocidade de deformação (Taxa de deformação)

A velocidade de deformação ( ) é definida como o diferencial do grau de deformação (ε) em relação ao tempo (t):

(2.69)

Os valores de taxa de deformação podem variar desde 10-3 s-1 nas máquinas

universais de ensaio até 102 s-1 anos martelos para forjamento livre, passando pela faixa mais comum de 10-1 a 102 para o caso de prensas de forjamento, extrusoras e trefiladoras.

Num ensaio de compressão realizado a velocidade constante (v) e com relação linear entre deformação e tempo, tem-se:

(2.70)

com

(2.71) e

(2.72)

Tem-se:

(2.73)

Observa-se que pode-se obter diversas taxas de deformação com os mesmos valores de Δε e v, apenas diminuindo os valores de ho e hf.

2.2.8 – Trabalho de conformação

O conhecimento do trabalho e força de conformação é necessário quando se deseja determinar a capacidade, tipo ou tamanho de uma máquina.

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Dependendo do emprego da máquina, interessa o conhecimento do trabalho ou da força. Para uma compressão simples, pode-se deduzir a expressão do trabalho ideal de conformação (Figura 2. 12).

O valor de um trabalho infinitesimal será:

dw = F.dh (2.74)

A força necessária para provocar a deformação plástica é:

F = σe.A (2.75)

Então:

dw = σe.A.dh (2.76)

Sendo o volume constante, tem-se:

A0.h0 = A.h (2.77)

Substituindo-se o valor de A da equação 2.70 em 2.69, obtem-se:

(2.78)

ou ainda:

(2.79)

o trabalho de conformação será:

(2.80)

integrando-se tem-se o trabalho de conformação dado por:

(2.81)

sendo σe a tensão de escoamento média entre o entrada σe0 e a saída σe1.Deve-se, no entanto, observar que o valor do trabalho de conformação não é

constante durante a compressão, pois ocorre o encruamento. É comum então,

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considerar-se uma variação linear de σe com a deformação, empregando-se um valor médio da tensão de escoamento dado por:

(2.82)

2.2.9 – Atrito em conformação plástica

O atrito ocorre quando existe um movimento relativo entre uma ferramenta (de conformação) e o material que está sendo deformado. A ocorrência de atrito nos processos de conformação leva a um consumo de energia. Esta força de atrito, consequentemente trabalho para vencer o atrito deve ser definido em função do coeficiente de atrito.

De um modo geral o atrito é associado a um aspecto negativo dos processos de conformação (consumo de energia, desgaste de ferramentas, temperatura na ferramenta, etc.). Nem sempre é este o caso. Em alguns processos como na laminação o atrito é fundamental para o agarre da barra pelos cilindros. No forjamento o atrito é responsável para que o material forme o número de rebarba e toda a cavidade (formadora da peça) seja preenchida.

A quantificação do coeficiente de atrito existente na interface ferramenta-tarugo é efetuada por dois modelos:1-Modelo de Coulomb estabelece que a tensão cisalhante (τ) necessária para provocar o movimento relativo entre as superfícies em contato, é diretamente proporcional à pressão aplicada (p):

τ = μp (2.83)

O coeficiente de proporcionalidade μ é constante ao longo do processo, dependendo apenas das propriedades dos materiais em contato e do lubrificante, sendo independente da geometria e da velocidade com que se efetua o movimento relativo. Esse modelo apresenta resultados confiáveis quando aplicado a processos em que a lubrificação é eficiente e os níveis de pressão na interface são reduzidos.2-Num segundo modelo, denominado fator de atrito constante, define-se fator m que independe da pressão aplicada e que relaciona a tensão cisalhante necessária ao movimento relativo à tensão limite de escoamento sob cisalhamento do material do metal menos resistente em contato (K), geralmente, o material do tarugo:

τ = mK (2.84)

O valor de m pode variar de valores próximos de zero (deslizamento quase perfeito) a valores próximos da unidade (aderência total-cisalhamento soba interface peça-ferramenta).

A aplicação de um desses dois modelos depende dos fatores como nível de pressão desenvolvido na interface e à maior ou menor eficiência dos lubrificantes.

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Como exemplo, em processos onde o acesso do lubrificante à interface de contato é dificultado e os níveis de pressão são elevados (forjamento a quente em matriz fechada), o uso do modelo do fator de atrito fornece resultados mais confiáveis do que o modelo de Coulomb. Já em processos onde os níveis de pressão são menores e a presença de lubrificante na região de deformação é constante, pode-se aplicar o modelo de Coulomb.

Figuras

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Figura 2.1 - Solicitação e resposta do metal na laminação.

Figura 2.2 - Procedimento para determinação da tensão no ponto P

Figura 2.3 – Decomposição da tensão segundo eixos cartesianos.

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Figura 2.4 – Tensões em diferentes planos de corte

Figura 2.5 – Planos passando pelo ponto P, onde

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Figura 2.6 – Representação geométrica das equações (3.8)

Figura 2.7 – Extensão de círculos de Mohr à três dimensões

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Figura 2.8 – Exemplos de círculos de Mohr para diferentes estados de tensão

Figura 2.9 – Círculo de Mohr para o ensaio de tração

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Figura 2.10 - Estado aproximado de tensões e círculo de Mohr correspondente para o caso da trefilação

Figura 2.11 – Análise das tensões no ensaio de torção

Figura 2.12 - Compressão simples de um corpo de prova

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Figura 2.13 – Variação das dimensões nas três direções

Figura 2.14 - Exemplo de um CP de tração (esquerda) e das respectivas curvas força versos alongamento obtidas..

Figura 2.15 - Representação de um digrama tensão vs.deformação, com aindicação das diferentes fases do ensaio.

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Figura 2.16 - Esboço da curva obtida no estado de tração (Curva tensão-deformação convencional)

47

Figura 2.17 – Curva tensão-deformação de engenharia com e definido para uma deformação de 0,2%

Figura 2.18 – Formação da histerese mecânica

Figura 2.19 - Diagrama tensão-deformação esquemático para o alumínio e o aço

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Figura 2.20 - Deformações de engenharia (ou convencionais) em uma barra prismática submetida a um carregamento unidirecional (como em um ensaio de tração).

Figura 2.21 – Efeito do encruamento no limite de escoamento de um material metálico

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Figura 2.22 – Representação de situações extremas de comportamento de materiais

Figura 2.23 – Representação esquemática da curva tensão-deformação real e de engenharia de um material metálico

Figura 2.24 – Comparação entre os critérios de Tresca e von Mises

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Figura 2.25 – Curva tensão-deformação na região plástica para dois materiais com diferentes valores de n

Figura 2.26 - Tipos de ruptura para solicitações uniaxiaisa)ruptura frágil b)ruptura dúctil c)ruptura mista

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Tabelas

Tabela 2.1.Módulo de elasticidade de diversos materiais de engenhariaMetal Módulo de elasticidade (E)

(MPa)Chumbo (Pb) 14.000Magnésio (Mg) 45.500Alumínio (Al) 70.000Prata (Ag) 72.000Ouro (Au) 79.000Cobre (Cu) 127.000Níquel (Ni) 209.000Ferro (Fé) 210.000Molibdênio (Mo) 304.000Tungstênio (W) 414.000

Tabela 2.2.Limite de escoamento e módulo de resiliência de alguns materiais comerciaisMaterial σE (MPa) UR (N.mmm/mm3)

Aço baixo carbono 270 0,182Aço inoxidável 350 0,322Ferro fundido 250 0,184Tungstênio 1000 1,231

Cobre 60 0,0145Alumínio 40 0,0116Concreto 20 0,004

PVC 45 337,5

Tabela 2.3.Valores dos coeficientes de encruamento (n) e coeficiente de resistência (k)

Material n k (MPa)Aço baixo carbono-

recozido0,261 539

Aço 4340 - recozido 0,150 651Aço inox - 430 - recozido 0,229 1001

Alumínio - recozido 0,211 391Liga de alumínio tratada

termicamente0,16 690

Cobre - recozido 0,540 325Latão 70/30 0,490 910

Titânio 0,170 -

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