Capítulo 2 - docentes.fe.unl.ptdocentes.fe.unl.pt/~mhalmeida/slides2.pdf · 3 Capítulo 2 -Cálculo Integral • Definição de Primitiva: Seja fuma função real de variável real

1

Capítulo 2

Cálculo Integral em RCálculo Integral em R

2

�SUMÁRIO

� Primitivas imediatas ou quase-imediatas

� Primitivação por partes e por substituição

Capítulo 2 - Cálculo Integral

� Primitivação de funções racionais

� Integrais (fórmula de Barrow)

� Propriedades do integral definido

� Integrais paramétricos

� Integrais de limites infinitos

3


• Definição de Primitiva:

Seja f uma função real de variável real definida em D ⊂R.

Diz-se que f é primitivável se e só se existe uma função F :

D→R tal que F ’ = f .

Qualquer função F que verifique esta condição éconsiderada uma primitiva de f.

4


Exemplo:xxf =)(

Qual a primitiva desta função? Será única?

2)(

2

1

xxF = 5

2)(

2

2 +=x

xF 1002

)(2

3 +=x

xF

RCCx

xP ∈+= ,2

)(2

Conjunto de todas as primitivas da função:

5


Mais exemplos:

4)( xxf = ( ) C

xxP +=

5

54

7)( =xf ( ) CxP += 77

xxf 3)( = ( ) Cx

xP +=2

33

2

6


xxf

1)( = Cx

xP +=

ln

1

<−

>=

0)ln(

0lnln

xx

xxx ( )

<=−

−

>

=

011

01

'ln

xxx

xx

x

7


xexf =)( ( ) CeeP

xx +=

2

2

1)(

−== xx

xf ( ) CxxP +−= −− 12

xxf =)( ( ) Cx

xP +=

2

3

2

3

8


xxf 6)( = ( ) CP

xx +=

6ln

66

xxf

52)( = ( ) CP

xx +=

2ln5

22

55

)3sin()( xxf = ( ) Cx

xP +−

=3

)3cos()3sin(

9


Genericamente:

mx

CaxaP +=)(

2

Ckx

kxP

Cbxmx

bmxP

+=

++=+

3)(

2)(

32

2

10


CxxP

CeePxx

+=

+=

ln)/1(

)(C

xxP +

+=

+

α

αα

1)(

1

Cke

keP

Ca

aaP

xx

xx

+=

+=

α

αα

)(

ln)(

Ca

axaxP

Ca

axaxP

+−=

+=

)cos())(sin(

)sin())(cos(

11


Como primitivar a função ?)(sin)(2

xxf =

[ ] Cx

xP +=3

)(sin)(sin

32

Erradíssimo!![ ] CxP +=3

)(sin Erradíssimo!!

Não é nada simples primitivar esta função! Estudaremos mais à frente…

12


Como primitivar a função ?)(sin).cos()(2

xxxf =

É muito mais simples do que a anterior…

[ ] Cx

xxP +=3

)(sin)(sin).cos(

3

2

Correcto!!

É muito mais simples do que a anterior…

13


Como primitivar a função ?)cos(

).sin()(x

exxf −=

[ ] CeexPxx +=− )cos()cos(

).sin([ ]

Como primitivar a função ?( )2

4.2)(x

xxf =

( )[ ] CxPx

x +=4ln

44.2

2

2

14


Mais algumas regras:

( ) CxfPkxfkP += ))((.)(.

( )C

xfxfxfP +

+=

+

1))(.)('(

1

α

αα

CeexfPxfxf += )()('

).)((

15


( ) Ca

aaxfP

xfxf +=

ln.)('

)()(

Cxfxf

P +=

)(ln)('

Cxfxf

xfP +=

)(ln

)(

)('

CxfxfxfP += )(sin))(cos).('(

CxfxfxfP +−= )(cos))(sin).('(

16


[ ]2

'

1

1arcsin

xx

−=

[ ] 1−

[ ]( )2

'

)(1

)(')(arcsin

xf

xfxf

−=

[ ]2

'

1

1arccos

xx

−

−=

[ ]2

'

1

1arctan

xx

+=

[ ]( )2

'

)(1

)(')(arccos

xf

xfxf

−

−=

[ ]( )2

'

)(1

)(')(arctan

xf

xfxf

+=

17


Fora do caso de primitivação imediata, recorre-se geralmente aos denominados métodos tradicionais de primitivação:

- Por Decomposição

- Por Partes

- Por Substituição

18


• Primitivação por Decomposição:

))(())(())()(( xgPxfPxgxfP +=+

( ) ( )

Cexx

Ce

Cx

Cx

ePxPxPexxP

xx

xx

++−=+++−+=

=+−=+−

22

5

322

5

3

)(5)(5

223

3

2

2

2

1

3

2222

Exemplo 1:

19


( )x

PxPx

xP =

+=

−+

24

2)3(

23

Exemplo 2:

( )

[ ] [ ] Cxx

CxCx

x

PxPx

xP

++=+++=

=

−

+=

−

+

2

2

2

2

1

2

224

arcsin2

3arcsin

2

3

1

)3(1

3

20


Exercícios:

a) ?=

xxxP

b)

c)

?6

1212

=

++

ex

x

xP

?1

52

=

+−

x

x

e

eP

21


Exercícios:

d) ( ) ?).sin(cos =− x

exP

e)

f)

?41

1

2=

−

−

xP

( )( ) ?.82 =xsenxP

22


• Primitivação por Partes:

))(')(()()())().('( xfxgPxfxgxfxgP −=

)'.(.)'.( vuPvuvuP −=

( ) Cxe

CexeePxeexP

x

xxxxx

+−=

=+−=−=

1

)1.().(

)'.(.)'.( vuPvuvuP −=

v 'u u v u 'v

23


xPxxxPxP =

−==1

.ln)ln.1()(ln

)'.(.)'.( vuPvuvuP −=

( ) Cxx

Cxxx

xxPxxxPxP

+−=

=+−=

=

−==

1ln

ln

.ln)ln.1()(ln

v'u

24


( )

( ) ( )

xxPxxxxPxP =−−−== coscossincos)sin.(sin)(sin2

)'.(.)'.( vuPvuvuP −=

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) Cxxx

xP

xPxxxxP

xPxxx

xPxxxPxx

++−

=⇔

⇔−+−=⇔

⇔−+−=

=−+−=+−=

2

sincossin

sinsincossin

sinsincos

sin1sincoscossincos

2

22

2

22

25


• Primitivação por Substituição:

[ ] )()('))(())(( txttfPxfP ϕϕϕ ==

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) CxxCxe

CteCete

ePteetPeePxP

x

ttt

ttttt

+−=+−→

+−=+−=

=−==→

1ln1ln

1.

)(...lnln

ln

tex =

tex ='

xt ln=

26


[ ] )()('))(())(( txttfPxfP ϕϕϕ ==

( )

Cxx

Ctt

tPtt

tP

x

xP

++→

++=+=

+→

+

23

2

23

2222.

11

3

32

2

2tx =tx 2'=xt =

27


( ) ?2 =+xxP

Encontre as primitivas das seguintes funções, usando os métodos de primitivação por partes ou substituição:

Nesta primitiva

?ln

=

x

xP

( ) ?=xsenP

Nesta primitiva aplique os dois

métodos!

( ) ?)cos(. =xxP

28


( ) ?)( =xsenePx

?)1(

2

=

+x

x

e

eP

32

+x

( )( ) ?23ln =+xP

( ) ?)arctan( =xP?9

3

2

2

=

−

+

x

xP

( ) ?)( =xarcsenP

29


Primitivação de Funções Racionais:

Cxx

P ++=

+4ln2

4

2

Nada de novo!x + 4

( ) Cx

xPx

P +−==

−

−

4

14

5

5

Cxx

Px

P +=

+=

+)arctan(2

1

1

4

8

44

822

Nada de novo!

30


Primitivação de Funções Racionais:

Novidade!?1

2

=

+

x

xP

x

O primeiro passo é verificar se a fracção racional é própria, ou seja, se o graudo numerador é inferior ao grau do denominador. Caso isso nãoaconteça procede-se à divisão dos polinómios que resulta necessariamentenuma fracção própria e num polinómio.

31


Cxx

xxP

xx

xP

x

xP ++=

+=

+=

+ln

2

111222

Cxxx

xPx

P +++−=

++−=

+4ln164

164

22

Cxxx

xPx

P +++−=

+

+−=

+

4ln16424

44

2x 4+x

4−xxx 42 −−

x4−164 +x

16D/d = Q+R/d

32


+−−+−=

=

+−−

+−

−=

+−

−=

+−

−

1

1

2

11ln

2

1

1

1

1

12

2

1

1

22

2

1

1

1

2

2

2222

xxPxx

xxxx

xP

xx

xP

xx

xP

+− 12

1ln2

2xx

...

12

1

3

4

4

3

1

4

3

2

1

1

1

1222

=

+

−

=

+

−

=

+−x

P

x

Pxx

P

33


132

2

3

2

1

3

4

12

1

3

4

4

3

1...

22=

+

−

=

+

−

=

x

P

x

P

...3

1

3

2arctan

3

32

13

1

3

2

3

2

2

3

3

4

1323

1234

2=+

−=

+

−

=

+

−

+

−

Cx

x

P

xx

34


CxCx +

−=+

−=

3

3

3

32arctan

3

32

3

1

3

2arctan

3

32...

Pxxx

P =

−+−=

− 11

1ln11 2Assim…

Cxxx

Cxxx

xxPxx

xx

xP

+

−−+−=

=+

−−+−=

=

+−−+−=

+−

−

3

3

3

32arctan

3

31ln

2

1

3

3

3

32arctan

3

32

2

11ln

2

1

1

1

2

11ln

2

1

1

1

2

2

2

2

2Assim…

35


−+−−+=

=

−+−

−+

+=

−+

−=

−+

−

2

9

2

12ln

2

1

2

9

2

12

2

1

2

82

2

1

2

4

2

2

2222

xxPxx

xxxx

xP

xx

xP

xx

xP

−+

−−+=22

2ln2

2xx

Pxx

−

+

=

−+

4

9

2

1

9

2

922

x

Pxx

PO sinal negativo impede que a

primitiva seja arco tangente!!

36


)2()1()2)(1(

4

2

42 +

+−

=+−

−=

−+

−

x

B

x

A

xx

x

xx

x

Comecemos novamente, aplicando o Método dos Coeficientes Indeterminados…

)2()1()2)(1(2 +−+−−+ xxxxxx

++

−=

−+

−

)2()1(2

42

x

B

x

AP

xx

xP

37


24

)2)(1(

)1()2(

2

4

)2()1(2

422

−++=

−⇔

⇔+−

−++=

−+

−⇔

++

−=

−+

−

BABxAxx

xx

xBxA

xx

x

x

B

x

A

xx

x

2

2

2

422 −+

−++=

−+

−⇔

xx

BABxAx

xx

x

=

−=⇔

−=−

+=

2

1

24

1

B

A

BA

BA

38


xxP

x

B

x

AP

xx

xP =

++

−

−=

++

−=

−+

−

)2(

2

)1(

1

)2()1(2

42

( )C

x

xC

x

xCxx +

−

+=+

−

+=+++−−=

1

2ln

1

2ln2ln21ln

)2()1()2()1(2

22

39


−

++

xx

xxP

3

214

Aplique o Método dos Coeficientes Indeterminados para calcular a seguinte primitiva:

− xx

Dica…

11)1)(1(

14142

3

2

++

−+=

+−

++=

−

++

x

C

x

B

x

A

xxx

xx

xx

xx

2,3,1 ==−= CBA

40


Cxx

x

xx

xxP +

+

−=

−

++ 2

3

3

2

)1()1(

ln14

Solução:

xxx

−

41


• Integral:

Para que serve o cálculo integral? Serve sobretudo para calcular áreas!! Mas há outras aplicações…

a b

)(xf

∫=b

a

dxxfA )(

x

y

42


)(xf

y

a b

[ ] )()()()( aFbFxFdxxfAb

a

b

a

−=== ∫

x

Fórmula de Barrow

43


23)( xxf =

Exemplos:

1. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre 1 e 3.

1 3 x

y)(xf ( )

[ ] 26127

3

3

1

3

3

1

2

=−==

== ∫

x

dxxA

44


xxf ln)( =2. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre 2 e .e

)(xfy

( ) [ ] 4ln2)12(ln2)1(lnln.1 2

2

−=−−=−== ∫e

e

xxdxxA

2 e x

45


xxf 5)( =3. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre -2 e -1.

)(xfy

( ) 102

5

2

550

1

2

21

2

+−=

−=−=

−

−

−

−

∫x

dxxA

x

2− 1−

45


xxf sin)( −=4. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre e .π0

)(xfy

[ ] ( ) [ ] 2)1(1cossin)sin(0 0

00

=−−=−==−−= ∫∫π

ππ

xdxxdxxA

x

)(xf

47


xxf cos)( =5. Encontre a área delimitada pela função e o eixo dos XX entre e .

22− ππ

2

3π−

y

2

π

[ ] [ ]

[ ] [ ] 4sinsin

coscos0

2

2

2

23

2

2

2

23

=+−=

+−=

−

−

−

−

−

−∫∫

π

π

π

π

π

π

π

π

xx

dxxdxxA

2

πx

)(xf

y

2

π

2

π−

2

3π−

48


2)( += xxf

6. Encontre a área delimitada pelas funções: 2

)( xxg =212

2 =∨−=⇔=+ xxxx

)(xgy

( )

( ) 5,43

22

2

)()(

2

1

322

1

2

2

1

=

−+=−+=

=−=

−−

−

∫

∫

xx

xdxxx

dxxgxfA)(xf

)(xg

x

y

21−

49


xxf =)(

7. Encontre a área delimitada pelas funções:

( ) ( )10

3)( xxg = 101

3 =∨=∨−=⇔= xxxxx

)(xgy

( ) ( )

2

1

4224

1

0

420

1

24

1

0

3

0

1

3

=

−+

−=

=−+−=

−

−

∫∫

xxxx

dxxxdxxxA)(xf

x

y

1

1−

50


• Propriedades dos Integrais Definidos:

)()()( aFbFdxxf

b

a

−=∫a

∫∫ −=a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

0)( =∫a

a

dxxf

51


∫∫∫ +=bcb

dxxfdxxfdxxf )()()(

• Propriedades dos Integrais Definidos:

∫∫∫caa

[ ] ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()( βαβα

52


[ ] )()()()( aFtFxFdxxft

a

t

⇒−==∫

• Propriedades dos Integrais Indefinidos:

[ ]

[ ] )()()()(

)()()()(

''tfaFtFdxxf

aFtFxFdxxf

tt

t

a

a

a

=−=

⇒

⇒−==

∫

∫

53


[ ] )()()()( tFbFxFdxxfb

t

b

⇒−==∫


[ ]

[ ] )()()()(

)()()()(

''tftFbFdxxf

tFbFxFdxxf

tt

b

t

t

t

−=−=

⇒

⇒−==

∫

∫

54


))(())(()(

')(

taFtbFdxxf

tb

⇒−=

∫


( ) ( ) )(')()(')()(

))(())(()(

'

)(

)(

)(

tataftbtbfdxxf

taFtbFdxxf

t

tb

ta

tta

−=

⇒

⇒−=

∫

∫

55


• Teorema da Média:

[ ]ba,

[ ]bah ,∈

1. Seja f (x) uma função contínua no intervalo ; existetal que:

;

y

)()()( hfabdxxf

b

a

−=∫

a b

)(hf

x

y)(xf

h

56


[ ]ba,2. Sendom eM o menor e o maior valor de f em tem-se:

;

y

b M

a b x

)()()( abMdxxfabm

b

a

−≤≤− ∫)(xf

M

m

57


• Integrais Paramétricos:

Para além da variável, a função a integrar pode ter parâmetros.

;

( ) 13

1

2 22

+=

+=+∫ββ

β xx

dxx( ) 12

3

21

1 1

+=

+=+∫

βββ x

xdxx

( ) [ ] δδδ yxydxy 4

4

0

4

0∫ ==

111

1ln11

1 1

+−

=−+=

+=

+∫ βββββ

eey

ydy

y

e e

58


• Integrais com Limites Infinitos:

;

[ ] ( )[ ] 11limlim0

0

0 =+−=−−−=−= ∞−−

+∞→

+∞−

+∞→

−

∫ eeeedxeb

b

bx

b

x

0

)(xf

x

y

Área 1

Integral convergente!

59


• Integrais com Limites Infinitos:

;

[ ] ( ) ( ) −∞=∞+−=−==

−∞→

−

−∞→

−

∞−

∫ 0ln1lnlimlnlim1 1

1

bxdxx bbb

)(xf

x

y

∞−

1−

Integral divergente!

60


• Integrais de funções descontínuas:

;

[ ] ==

=

−−

→

−

−→

−

∫∫ lnlim1

lim1 0

10

0

10

0

1

ε

ε

ε

εxdx

xdx

x

)(xf

x

y ( ) −∞=−−−=→

1lnlnlim0

εε

1−A função a integrar não está

definida em x=0.

Integral divergente!

61



;

[ ] [ ]

2

1lim

2

1lim

2

14

20

2

00

4

0

=

−+

−=

−+

→

−

→ ∫∫∫ε

ε

ε

εdx

xdx

xdx

x

)(xf

x

y[ ] [ ]

( ) 0ln2ln2lnlnlim

2lnlim2lnlim

0

4

20

2

00

=−+−=

=−+−=

→

+→

−

→

εεε

εε

ε

εxx

2 4

Integral convergente!

62



;

...)(lim)(lim)(

10

50

5

00

10

0

=+= ∫∫∫+

→

−

→ε

ε

ε

εdxxgdxxgdxxg

)(xg

x

y

500 +ε

5

A função a integrar não está definida em x=5, mas não é por isso que o integral não é

convergente.10

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