Capitulo 28: A Lei de Faraday1.A Lei de Faraday

Michael Faraday e Joseph Henry(1830) verificaram que campos magnéticos variáveis induzem corrente elétrica.

Fem induzidana bobina

Fem induzida não é localizada imaginada como distribuída por todo o circuitoinjeta emergia no circuitoinjeta emergia no circuitoforça por unidade de carga = campo elétrico não

conservativo (diferente dos campos eletrostáticos que são conservativos)( p q )

dmdldE φε −== ∫

rr.

dt∫

fem Variação do fluxo

Integral sobre o circuito todo trabalho por unidade

magnético por unidade de tempo

Lei de Lenzde carga

2. A Lei de Lenz2. A Lei de Lenz“ A Força Eletromotriz Induzida e a corrente estão na direção em que se opõe a modificação que as provocou ”

Exemplo 01: Força eletromotriz do movimento: Barra de comprimento l eu desliza sobre trilhos com velocidade constante v num campo magnético B

vr

Cálculo da fem:

Fluxo magnético: Фm =B.A = B.l.x

Taxa de variação do fluxo: lvBdtdxLBd ...

dtm −=−=−=φεTaxa de variação do fluxo:

E fem induzida (corrente no sentido anti-horário).

dtdt

Análise do trabalho por unidade de carga:

hfr

vrhf

rfr

vfr

v

vvr rvr

Usando a regra da mão direita: (para baixo)Bxvefv

rrr−=

Logo, aparece uma velocidade vertical Vv na direção de fv: Vr=Vv=V

Dados Vr e B podemos determinar a força a força magnética sobre o elétron:Dados Vr e B podemos determinar a força a força magnética sobre o elétron:

Logo, o módulo de suas componentes horizontal e vertical são dadas por:vhv ffBxvefrrrrr

+=−=

θffrr

(contrabalanceada por alguém puxando a barra: fm)

L t b lh f t d b lét d l i t t t l

θcosrv ff =θsenrh ff

rr=

Logo, o trabalho efetuado sobre um elétron quando ele percorre o comprimento total da barra é:

*SfW m .cosθ=Sl=θsen

fm

fr θ

(fr não realiza trabalho / perpendicular ao deslocamento)

Sl=θsen Sf

l

t1 t2

Logo, fazendo as devidas substituições na equação *temos:

Calculo da fem induzida via corrente induzida:

lveW r .cos.. θ=

O movimento da barra tende a aumentar o fluxo magnético dentro da área A

Lei de Lenz Corrente induzida estará na direção em que se opõe a esta modificaçãoç q p çAparece uma fem induzida no sentido a evitar o deslocamento da barraCorrente induzida é no sentido anti-horário:

Potência no resistor:

BlxIfm

rrr=

vBlIvfRIP ....2 ===

Então a fem induzida será:

vBlIvfRIP m ....

vlBRI ..==ε

Exemplos de aplicação da Lei de Lenz: determinar sentido da corrente induzidaExemplo 02:

Exemplo 03: induzido B crescendo B induzido B odecrescend B

Exemplo 04: Galvanômetro balístico (medir B experimental)

Fluxo sobre a bobina:B

crescendo I odecrescend I induzido Iinduzido I

Fluxo sobre a bobina:Фm =NBA

Após ar um giro de 90º na bobina:Фm = 0

á i d f i d id ( ) lG

R

N espiras

B

Há o aparecimento de uma fem induzida(corrente) tal que:

dI mφε 1== ∫ ∫ ===

NBAdIdtQ φ1

Logo, para medir B experimentalmente:Onde Q é lido no galvanômetro. NA

QRB =

dtRRI == ∫ ∫ ===

Rd

RIdtQ mφ

NA

Exemplo 05: Corrente de Foucalt ( são correntes induzidas circulantes em peças inteiriças metálicas que são provocadas por fluxo magnético variável)inteiriças metálicas que são provocadas por fluxo magnético variável).

- São usualmente indesejáveis devido ao calor gerado causa perda de potência e tem que ser dissipado( maquinas elétricas: ex: transformador)q p ( q )

- Remédio: para minimizar as correntes de foucault deve-se laminar as peças inteiriças no sentido a evitar a circulação das correntes induzidas.

3. Indutâncias:

Bobinas ou solenóide com muitas espiras que tem um formato alongado ( certo comprimento) são chamado de indutores.

Considere dois circuitos adjacentes:R1 R2

O campo magnético em P se deve parcialmente devido a corrente I2.Então o fluxo magnético no circuito 2 pode ser

R1 R2

I1 I2 o fluxo magnético no circuito 2 pode ser dado por (usando Biot-Savart),por exemplo:

Circuito 1 Circuito 2

Фm1=L1.I1±M21.I2 Auto-indutância Indutância mútuado circuito 2 do dois circuitos

Auto indutância: é uma constante que depende somente da geometria do próprioAuto-indutância: é uma constante que depende somente da geometria do próprio circuito.Indutância mútua: é uma constante que depende da geometria e posição dos dois circuitos.

Analogamente, o fluxo magnético no circuito 1 pode ser dado por:Фm1=L1.I1±M21.I2

Pode se demonstrar que as indutâncias mútuas são iguais ( o sinal depende da disposição de um circuito com relação ao outro )disposição de um circuito com relação ao outro )

M=M12=M21

As forças eletromotrizes induzidas em cada circuito podem ser dadas por:s o ç s e e o o es du d s e c d c cu o pode se d d s po :

dtdIM

dtdILm

2111 ±=ε

Unidade de indutâncias: Henry (H) onde: 1H = 1T m2/A=1V s/A portanto µ = 4π 10-7dtdIM

dtdILm

1222 ±=ε

Unidade de indutâncias: Henry (H), onde: 1H 1T.m /A 1V.s/A, portanto µ0 4π.10H/m

Em geral a determinação da auto-indutância e indutância mútua seguem o seguinte esquema:esquema:1- Use a lei de Biot-Savart/ Lei de Ampére para de terminar B2- Calcule o fluxo magnético:3- Compare com as equações acima e determine L e M.

danBNmrr.∫=φ

Exemplo 06: Determinar a auto-indutância de uma solenóide.

1- Ampére)ou Savart -Biot de (Lei 00 IlNnIB µµ ==

2- AlnAlnIlNAnINNBAm

2000 )()( µµµφ ====

3- AlnIAlnILm2

02

0 L . µµφ =⇒==

Exemplo 07: Determinar a indutância mútua da espira retangular.

- Campo magnético a uma distância x do fio retilíneo comprido (Lei de Biot -Savart ou Ampére)

dx

cI Savart ou Ampére)

- O fluxo magnético no elemento de áreaxIBπµ2

0=abx

dA=c.dx

Logo: dxcxIdABd m ..

2. 0

πµφ ==

fio retilineo comprido

x2π

abcIdxc

xIb

am ln.

2....

2. 00

πµ

πµφ ∫ ==

e a indutância mútua:bcMbcIMIm ln.

2.ln.

2.. 00 µµφ =⇒==

aam 22 ππ

4. Circuito LR

São circuitos que contem baterias, resistores e indutores. Considere o circuito:

• - No instante t=0 fecha-se a chave S, e uma corrente I tende a passar pelo circuito;

O i d i d• - O indutor reage ao crescimento da corrente com uma fem induzida;

• - Pela Lei de Kirchhoff, temos:RIdILVV RL +=+=ε

reescrevendo:dtRL

LI

LR

dtdI ε

=+

com as condições iniciais para { t=0 => I=0 }, temos:

onde =>d ∫ −=

t

HH dtIIL

I 1 ,ε tLR

H eI−

=

−=

−ctt

eR

I 1εonde: ∫ HHL 0

,

R

Constante de tempo (necessário para corrente atingir 63% de seu valor máximo ):Rε

Lt

Observações:t 0 > I 0 >

dI ε

Rtc =

t= 0 => I= 0 =>

t= 0 => I= =>

Ldt=

Rε 0=

dtdI

Agora considere o seguinte circuito:

• - Inicialmente fecha-se a chave S2 (S1aberta) até a corrente atingir um valor I0;

• - Simultaneamente abre-se a chave S2 e fecha se a chave S no instante t=0

2Sfecha-se a chave S1 no instante t=0, (aparece no indutor uma fem induzida que tende a impedir a diminuição da corrente (vide polarização);

1S

- Por Kirchhoff, temos: , cuja solução é: 0=+ RIdtdIL

=>

dt

∫ ∫−=I t

dtRdIctt

eII−

=∫ ∫=I

dtLI0 0

eII = 0

5. Energia Magnética

N m circ ito LR temos: ddILRI +=εNum circuito LR, temos:

Potência (taxa de energia):

dt

dtdILIRII += 2ε

fornecida pela bateria

dissipada por efeito Joule

armazenada no indutor

Energia magnética: =>dtdILI

dtdUm =

2

21 LILIdIUm == ∫

Para ver que a energia magnética está armazenada no campo magnético do solenóide considere para o solenóide:

volume=AI Numero de espiras por unidade de comprimento: I

Logo: ,0nIB µ= ,20 lAnL µ=

Daí:

( ) volumeBAlBBlAnUm

2222

01 µ ==

=

Relembrando energia eletrostática:

( ) volumeln

lnUm000

0 222 µµµµ

Relembrando energia eletrostática:

volumeEAdEQVUe2

02

0 21

21

21

∈=∈==

Densidade de Energia:

Magnética: Eletrostática:2

η B= 21 E∈=ηMagnética: Eletrostática:

02µηm = 02

Ee ∈=η

6. Circuito LC (Oscilador)

• - Por Kirchhoff:

• ou

0=+CQ

dtdIL

02

2

=+CQ

dtQdL

Cuja solução é: )cos( δω += tAQ

)( δωω +−== tAsendtdQI

onde a freqüência angular

dt

LC1

=ωLC

Utilizando as condições iniciais (2 equações e 2 incógnitas):para => eQQ =0=t 0=Ipara > e

Temos:

0QQ =0=t 0=I

0QQ=0=t 0=I

tQQ ωcos0=

tsenQI ωω−= tsenQI ωω 0=

Energias:

Eletrostática: tC

QC

QQVUe ω220

2

cos222

1===

Magnética: tsenC

QtsenQLLIUm ωωω 220

20

2

22)(

2===

Total: (Energia total se conserva)

C222

CQUUU eme 2

20=+=

7. Circuito RLC (Oscilador amortecido)

Por Kirchhoff: 02

2

=++CQ

dtdQR

dtQdL