CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO DE ... · 13/05/2012 1 capÍtulo 3 – dinÂmica dos fluidos elementar – equaÇÃo de bernoulli – 1ª parte universidade

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CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO

DE BERNOULLI – 1ª PARTE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS

Prof. Eliane Justino

INTRODUÇÃO

Dinâmica dos Fluidos – Movimento típico dos fluidosA DinâmicaDinâmicaDinâmicaDinâmica dosdosdosdos FluidoFluidoFluidoFluido estuda o comportamento dos fluidosfluidosfluidosfluidos emememem

movimentomovimentomovimentomovimento eeee asasasas causascausascausascausas quequequeque provocaprovocaprovocaprovoca esteesteesteeste movimentomovimentomovimentomovimento....

Para entender os fenômenos associados aos movimentos dos fluidos énecessário considerar as Leis fundamentais que modelam o movimentodas partículas fluidas.

ConceitoConceitoConceitoConceito ImportanteImportanteImportanteImportante:::: força e aceleração, Segunda Lei de Newton (F=m.aaaa)o momento da partícula fluida ( de um modo ideal).

Com isso se obtém a famosa EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dededede BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli que será aplicada avários escoamentos.

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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTON

Consideramos apenas os escoamentos em que a viscosidadeviscosidadeviscosidadeviscosidade éééé nulanulanulanula((((invíscidosinvíscidosinvíscidosinvíscidos)))), assim o único mecanismo de transferência de calor presenteno escoamento invíscidos é a radiaçãoradiaçãoradiaçãoradiação térmicatérmicatérmicatérmica. (radiaçãoeletromagnética emitida por um corpo em equilíbrio térmico causadapela temperatura do mesmo)

É usual identificarmos uma aceleração ou desaceleração, quando umapartícula fluida escoa de um local para outro. De acordo com a Segunda leide Newton, a força líquida que atua na partícula fluido que estamosconsiderando precisa ser igual ao produto de sua massa e a aceleraçãoque esta força provoca neste elemento.

Os fluidosfluidosfluidosfluidos invíscidosinvíscidosinvíscidosinvíscidos na realidade nãonãonãonão existemexistemexistemexistem, mas como as outras forçaspresentes no escoamento, tais como as provocadas pela aceleração da gravidadeou pelas diferenças de pressão são superiores a força de cisalhamento, estaestaestaestapodepodepodepode serserserser desprezadadesprezadadesprezadadesprezada....

3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTONAdmitindo que o movimento do fluido é provocado pelas forças degravidade e de diferença de pressão. Aplicando a Segunda Lei de Newton àpartícula fluida, obtemos:

(Força Líquida na partícula devida a pressão) + (Força na partícula devida a gravidade (Força Líquida na partícula devida a pressão) + (Força na partícula devida a gravidade (Força Líquida na partícula devida a pressão) + (Força na partícula devida a gravidade (Força Líquida na partícula devida a pressão) + (Força na partícula devida a gravidade = (massa da partícula) x (aceleração da partícula)= (massa da partícula) x (aceleração da partícula)= (massa da partícula) x (aceleração da partícula)= (massa da partícula) x (aceleração da partícula)

Para aplicar a Segunda Lei de Newton à partícula fluida (ou a qualqueroutro objeto) nós precisamos definir um sistema de coordenadasapropriado para descrever o movimento.

O movimento da partícula fluida será tridimensional e transitório, portantoé necessário três coordenadas espaciais e o tempo para descreveradequadamente o movimento.

TemTemTemTem----sesesese::::(x,(x,(x,(x, y,y,y,y, z)z)z)z) �� coordenadascoordenadascoordenadascoordenadas cartesianascartesianascartesianascartesianas(r,(r,(r,(r, θθθθ,,,, z)z)z)z) �� coordenadascoordenadascoordenadascoordenadas cilíndricascilíndricascilíndricascilíndricas

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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTONNormalmente o sistema de coordenadas mais apropriado para descrevero fenômeno é definido pela geometria do problema que está sendoconsiderado.

Neste capítulo consideraremos os escoamentos bidimensionais no planoxxxx –––– zzzz, como mostra a figura abaixo.


Pode-se descrever o escoamento emfunção das acelerações e velocidades daspartículas fluidas nas direções xxxx e zzzz.

As equações resultantes são normalmenteconhecidas como a forma bidimensional dasequaçõesequaçõesequaçõesequações dededede EulerEulerEulerEuler no sistema decoordenadas cartesiano.

O movimento de cada partícula fluido é descrito em função do vetorvelocidade, VVVV, que é definido como a taxa de variação temporal daposição da partícula.

A velocidade da partícula é uma quantidade vetorial, pois apresentamódulo, direção e sentido.

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Quando a partícula muda de posição, ela segue uma trajetória particular,cujo o formato é definido pela velocidade da partícula.

A localização da partícula ao longo da trajetória é função do localocupado pela partícula no instante inicial e de sua velocidade ao longo datrajetória.

Se o escoamento é RegimeRegimeRegimeRegime PermanentePermanentePermanentePermanente, nada muda ao longo do tempoem todo o campo de escoamento, todas as partículas que passam numdado ponto.

Como no ponto (1), da Figura anterior, seguirão a mesma trajetória,neste caso, a trajetória é uma linha fixa no plano x – z. As partículasvizinhas que passam nas vizinhanças imediatas do ponto (1), seguemoutras trajetórias que podem apresentar formatos diferentes daquelerelativo as partículas que passam pelo ponto (1).


No regime de EscamentoEscamentoEscamentoEscamento PermanentePermanentePermanentePermanente toda partícula fluida escoa aolongo de sua trajetória e seu vetor velocidade é sempre tangente atrajetória.

As linhas que são tangentes aos vetores velocidade no campo deescoamento são chamadas de linhaslinhaslinhaslinhas dededede correntecorrentecorrentecorrente.

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O movimento da partícula é descrito em função da distância, SSSS ==== SSSS (t)(t)(t)(t)medida ao longo da linha de corrente e a partir de uma origemconveniente, e do raio de curvatura local da linha de corrente, RRRR ==== RRRR (S)(S)(S)(S).

A distância ao longo da linha de corrente está relacionada com avelocidade da partícula.

e o raio de curvatura está relacionado com o formato da linha decorrente.

Adicionalmente:coordenada ao longo da linha de corrente � Scoordenada normal a linha de corrente � n


Para aplicar a segunda lei de Newton à partícula que escoa numa linhade corrente, nós precisamos descrever a aceleraçãoaceleraçãoaceleraçãoaceleração da partícula emfunção da coordenada ao longo da linha de corrente.

coordenada da aceleração ao longo da linha de corrente � aaaassss

coordenada normal a linha de corrente � aaaannnn

aaaassss tem relação com VVVV ==== VVVV (s)(s)(s)(s)

A aceleração ao longo da linha de corrente resulta da variação da velocidade da partícula ao longo da linha de corrente.

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ExemploExemploExemploExemplo:::: A velocidade da partícula que passa pelo ponto (1) pode serigual a 30 m/s e igual a 15 m/s quando passa pelo ponto (2). Assimutilizando a regra da cadeia para diferenciação, e lembrando que VVVV ==== dsdsdsds////dtdtdtdta componente da aceleração na coordenada ssss é dada por:

A componente normal da aceleração, a aceleração centrífuga, é dada emfunção da velocidade da partícula e do raio de curvatura da trajetória.

Tanto VVVV quanto RRRR podem variar aolongo da trajetória da partícula.


As componentes do vetor aceleração nas direções ssss e nnnn, aaaassss e aaaannnn, sãodadas por:

(1)(1)(1)(1)eeee

OndeOndeOndeOnde::::RRRR – raio de curvatura local da linha de corrente ;SSSS – distância medida ao longo da linha de corrente a partir de um pontoinicial arbitrário.

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3.1 SEGUNDA LEI DE NEWTONPara determinar as forças necessárias para produzir um dado

escoamento, considera-se o diagrama de corpo livre da partícula fluida.

A partícula que estamos interessados é removida do seu meio imediato eas forças que atuam nas partículas são indicadas FFFF1111,,,, FFFF2222 etcetcetcetc....

São desconsideradas a força de viscosidade e tensão superficial.

gggg é constante e atua na vertical, eixo z negativo, e θθθθ ângulo formadoentre a linha de corrente e o plano horizontal.

Campo de Campo de Campo de Campo de escoamentoescoamentoescoamentoescoamento

3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTEConsidere o diagrama de corpo livre.

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3.2 F=M.A - AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE

A dimensão da partícula da direção normal ao plano da figura é δδδδyyyy))))

�� VetorVetorVetorVetor nananana direçãodireçãodireçãodireção aoaoaoao longolongolongolongo dadadada linhalinhalinhalinha dededede correntecorrentecorrentecorrente

�� VetorVetorVetorVetor nananana direçãodireçãodireçãodireção normalnormalnormalnormal aaaa linhalinhalinhalinha dededede correntecorrentecorrentecorrente

Considerando o Regime Permanente e aplicando a Segunda Lei deNewton na direção ao longo da linha de corrente.

(2)(2)(2)(2)

Note que:

�� AceleraçãoAceleraçãoAceleraçãoAceleração nanananadireçãodireçãodireçãodireção ssss

�� VolumeVolumeVolumeVolume dadadadapartículapartículapartículapartícula


A equação (2) é válida tanto para fluido compressível quantoincompressível, pois ρρρρ não precisa ser constante.

A força provocada pela aceleração da gravidade na partícula pode serescrita:

OndeOndeOndeOnde:::: γ = ρ.g

Assim a componente da força na direção da linha de corrente é dadapor:

Se o ponto que estamos analisando pertence a um trecho horizontal dalinha de corrente, temos θθθθ ==== 0000. NesteNesteNesteNeste caso,caso,caso,caso, nãonãonãonão existeexisteexisteexiste componentecomponentecomponentecomponente dadadada forçaforçaforçaforçapesopesopesopeso nananana direçãodireçãodireçãodireção aoaoaoao longolongolongolongo dadadada linhalinhalinhalinha dededede corrente,corrente,corrente,corrente, poispoispoispois nãonãonãonão existeexisteexisteexiste contribuiçãocontribuiçãocontribuiçãocontribuiçãododododo campocampocampocampo gravitacionalgravitacionalgravitacionalgravitacional paraparaparapara aceleraçãoaceleraçãoaceleraçãoaceleração dadadada partículapartículapartículapartícula nestanestanestanesta direçãodireçãodireçãodireção....

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Como a pressão não é constante num meio móvel

Em regime permanente, tem-se que:

Se a pressão no centro da partícula é representada por pppp, os valoresmédios nas duas faces perpendiculares a linha de corrente são igual a:

Como a partícula é “pequena”, pode-se utilizar apenas o primeiro termoda expansão de Taylor para calcular esta pequena variação de pressão, istoé:

eeee

Assim, se δδδδFFFFpspspsps é a força líquida de pressão na partícula na direção dalinha de corrente, segue que:


Ou seja:

NoteNoteNoteNote quequequeque oooo nívelnívelnívelnível dadadada pressão,pressão,pressão,pressão, nãonãonãonão éééé importanteimportanteimportanteimportanteparaparaparapara determinardeterminardeterminardeterminar aaaa forçaforçaforçaforça quequequeque aceleraaceleraaceleraacelera aaaa partículapartículapartículapartículafluidafluidafluidafluida....

OOOO quequequeque produzproduzproduzproduz umaumaumauma forçaforçaforçaforça líquidalíquidalíquidalíquida sobresobresobresobre aaaa partículapartículapartículapartícula éééé oooo fatofatofatofato dadadada pressãopressãopressãopressão

nãonãonãonão serserserser constanteconstanteconstanteconstante nononono campocampocampocampo dededede escoamentoescoamentoescoamentoescoamento....

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O gradiente de pressão,

não é nulo é o responsável pela força líquida que atua na partícula.

As forças viscosas, representadas por , são nulas porqueutilizamos a hipótese de que o fluido é invíscido.

Assim, a força líquida que atua sobre a partícula fluida é dada por:


(3)(3)(3)(3)

Combinando (2) e (3), tem-se a seguinte equação do movimento aoaoaoaolongolongolongolongo dadadada linhalinhalinhalinha dededede correntecorrentecorrentecorrente:

((((4444))))


A interpretação física da equação (4) é que a variação da velocidadeda partícula é provocada por uma combinação adequada do gradientede pressão com a componente do peso da partícula na direção da linhada corrente.

As forças de pressão e peso não são necessariamente iguais numfluido que escoa e oooo desbalanceamentodesbalanceamentodesbalanceamentodesbalanceamento destasdestasdestasdestas forçasforçasforçasforças provocaprovocaprovocaprovoca umaumaumaumaaceleraçãoaceleraçãoaceleraçãoaceleração, assim, o movimento da partícula.

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EXEMPLO 3.1 - pag. 93A figura (a) mostra algumas linhas de corrente do escoamento, em

regime permanente, de um fluido invíscido e incompressível em torno deuma esfera de raio aaaa. Nós sabemos, utilizando um tópico mais avançadoda mecânica dos fluidos, que a velocidade ao longo da linha de correnteA – B é dada por:

Determine a variação de pressãoentre os pontos A (xa= - ∞ e Va = Vo)e B (xb = - a e Vb = 0) da linha decorrente mostrada na figura (a).

EXEMPLO 3.1 - pag. 93A Equação (4) pode ser aplicada neste caso, porque o regime de

escoamento é permanente e o escoamento é invíscido.

Adicionalmente, como a linha de corrente é horizontal, senθθθθ = sem 0o = 0.

Portanto a Equação do movimento ao longo da linha de corrente ficareduzida a:

Aplicando a Equação que descreve a velocidade ao longo da linha deCorrente na Equação anterior , podemos obter o termo da aceleração, ouseja;

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EXEMPLO 3.1 - pag. 93

� foi trocado s por x porque as duas coordenadas são idênticas ao longo da linha de corrente A – B.

� Note que V(dV/ds) < 0 ao longo da linha de corrente.

� Assim o fluido desacelera de Vo, ao longe da esfera, até a velocidade nula no “nariz” da esfera (x = -a).

� Portanto o gradiente de pressão ao longo da linha de corrente é:


� Esta variação está indicada na Figura abaixo:

� Note que a pressão aumenta na direção do escoamento , pois dp/dx > 0 do ponto A para o ponto B.

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� O gradiente de pressão máxima ocorre um pouco a frente da esfera (x = - 1,205 a).

� Este gradiente de pressão é necessário para que o fluido escoe de A (Va=Vo) para B (VB= 0)

EQUAÇÃO DE BERNOULLIA Eq. (4) pode ser rearranjada do seguinte modo:

Note que ao longo de uma linha de corrente sensensensenθθθθ ====dzdzdzdz//// dsdsdsdsQue VdVVdVVdVVdV////dsdsdsds ==== ½½½½ d(d(d(d(VVVV²²²²)/)/)/)/ dsdsdsds e que o valor de nnnn é constanteao longo da linha de corrente (dndndndn ==== 0000).

Como dpdpdpdp ==== (∂p/(∂p/(∂p/(∂p/ ∂s)∂s)∂s)∂s) dsdsdsds ++++ (∂p/(∂p/(∂p/(∂p/ ∂n)∂n)∂n)∂n) dndndndn, segue que, ao longo de uma linhade corrente, ∂p/∂p/∂p/∂p/ ∂s∂s∂s∂s ==== dpdpdpdp//// dsdsdsds. Aplicando estes resultados na Eq. (4) nósobtemos a seguinte equação (que é válida ao longo de uma linha decorrente):

Simplificando:Ao longo da linhade corrente

(5)(5)(5)(5)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLIIntegrando a Eq. (5) ao longo da linha de corrente, resulta:

Onde CCCC é uma constante de integração que deve ser determinada pelascondições existentes em algum ponto da linha de corrente.

Se a massa específica ρρρρ não for constante é preciso saber como estavaria com a pressão, isto não é fácil na maioria das vezes.

• Ex.: gás.p = ρ. R. Tpara saber como ρρρρ varia com a pressão é preciso, também,saber como TTTT varia com a pressão.

Mas por enquanto será admitido ρρρρ constante, fluidofluidofluidofluido incompressívelincompressívelincompressívelincompressível.

Ao longo da linhade corrente

(6)(6)(6)(6)

EQUAÇÃO DE BERNOULLICom a hipótese adicional de que a massa específica é constante, válidapara o escoamento de líquido e, também, para os gases desdedesdedesdedesde quequequeque aaaavelocidadevelocidadevelocidadevelocidade nãonãonãonão sejasejasejaseja muitomuitomuitomuito altaaltaaltaalta. A eq. (6) se reduz (válida paraescoamento em regime permanente, incompressível e invíscido).

AAAA EqEqEqEq.... ((((7777)))) éééé conhecidaconhecidaconhecidaconhecida comocomocomocomo aaaa EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dededede BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli....

Constante ao longo da linhade corrente

(7)(7)(7)(7)

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EQUAÇÃO DE BERNOULLI

ParaParaParaPara quequequeque estaestaestaesta EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dededede BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli sejasejasejaseja válida,válida,válida,válida, temtemtemtem----sesesese:

• os efeitos viscosos foram desprezados;

• o escoamento ocorre em regime permanente;

• o escoamento é incompressível;

• a equação é aplicável ao longo da linha de corrente;

•A equação é válida tanto para escoamentos planos comotridimensionais, desde que ela seja aplicada ao longo de uma linhade corrente.

EXEMPLO 3.2 pag. 95Considere o escoamento do ar em torno do ciclista que se move em arestagnado com a velocidade VoVoVoVo (veja a figura). Determine a diferençaentre as pressões nos pontos ((((1111)))) e ((((2222)))), do escoamento.

SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução:::: Sistema de Coordenadas fixo na bicicleta, o escoamento de arocorre em regime permanente e com velocidade ao longe igual a VVVV0000.Respeitando as condições, aplica-se Eq. de Bernoulli ao longo da linhade corrente que passa pelos pontos (1) e (2).

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EXEMPLO 3.2 pag. 95Tem-se:

Considerando que o ponto (1) está posicionado suficientemente longodo ciclista de modo que VVVV1111=V=V=V=V0000 e que o ponto (2) está na ponta do narizdo ciclista.

Admitindo que zzzz1111=z=z=z=z2222 e VVVV2222 ==== 0000, nestas condições, a pressão em (2) émaior que em (1), ou seja,

ÉÉÉÉ interessanteinteressanteinteressanteinteressante notarnotarnotarnotar quequequeque nãonãonãonão éééé necessárionecessárionecessárionecessário umumumum conhecimentoconhecimentoconhecimentoconhecimento detalhadodetalhadodetalhadodetalhadodadadada distribuiçãodistribuiçãodistribuiçãodistribuição dadadada velocidadevelocidadevelocidadevelocidade dodododo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento paraparaparapara calcularcalcularcalcularcalcular pppp2222----pppp1111 ,,,, masmasmasmasapenasapenasapenasapenas asasasas condiçõescondiçõescondiçõescondições dededede contornocontornocontornocontorno emememem ((((1111)))) eeee ((((2222))))....

EXEMPLO 3.2 pag. 95É necessário conhecer como varia a velocidade ao longo da linha de correntepara determinar a distribuição de pressão entre os pontos.

Nós podemos determinar o valor de VVVV0000 se nós medirmos a diferença de pressão(p1 – p2).

SeSeSeSe oooo ciclistaciclistaciclistaciclista estiverestiverestiverestiver acelerandoacelerandoacelerandoacelerando ouououou desacelerando,desacelerando,desacelerando,desacelerando, oooo escoamentoescoamentoescoamentoescoamento seráseráseráserá transitóriotransitóriotransitóriotransitório((((VoVoVoVo ≠≠≠≠ constante)constante)constante)constante) eeee aaaa análiseanáliseanáliseanálise quequequeque nósnósnósnós realizamosrealizamosrealizamosrealizamos seriaseriaseriaseria incorretaincorretaincorretaincorreta porqueporqueporqueporque aaaaequaçãoequaçãoequaçãoequação ((((7777)))) sósósósó éééé aplicávelaplicávelaplicávelaplicável aaaa escoamentosescoamentosescoamentosescoamentos emememem regimeregimeregimeregime permanentepermanentepermanentepermanente....

AAAA diferençadiferençadiferençadiferença entreentreentreentre asasasas velocidadesvelocidadesvelocidadesvelocidades nosnosnosnos pontospontospontospontos dodododo escoamento,escoamento,escoamento,escoamento, VVVV1111 eeee VVVV2222,,,, podepodepodepode sersersersersempresempresempresempre controladacontroladacontroladacontrolada porporporpor restriçõesrestriçõesrestriçõesrestrições geométricasgeométricasgeométricasgeométricas apropriadasapropriadasapropriadasapropriadas....

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OBSERVAÇÕES� EXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOSEXEMPLOS::::

1. Os bocais das mangueiras de jardim são projetados para proporcionar umavelocidade na seção de descarga do bocal maior que aquela na seção dealimentação do bocal. Como mostra a equação de Bernoulli, a pressão no fluidolocalizado na mangueira precisa ser maior do que aquela na seção de descarga dobocal (se a altura média das seções é a mesma. Portanto é necessário umadiminuição na pressão para que se obtenha um aumento de velocidade.

� É a queda de pressão no bocal da mangueira que acelera o escoamento de água.

2. De modo análogo um aerofólio é projetado para que a velocidade média doescoamento sobre a superfície superior seja maior que aquela do escoamento naregião inferior do aerofólio.

� A Equação de Bernoulli mostra que a pressão média na superfície inferior doaerofólio é maior do que na superior. O resultado desta diferença de pressão é umaforça líquida para cima e que é denominada sustentação

3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE

Aplicando a Segunda Lei de Newton na direção normal a linha decorrente.

Muitos escoamentos apresentam linhas de corrente praticamente reta eo escoamento pode ser considerado unidimensional, já que, asvariações dos parâmetros na direção perpendicular às linhas decorrente podem ser desprezadas em relação as variações encontradasao longo da linha de corrente.

Só que há alguns escoamentos que é importante considerar os efeitosnormais, um exemplo, é a região de baixa pressão no centro de umtornado (olho do tornado ) que pode ser explicada pela Segunda Lei deNewton numa direção normal a linha de corrente do tornado.

Aplicando a Segunda Lei de Newton:

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3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTEAdmitindo que o regime de escoamento é permanente e que a aceleraçãonormal é:

Onde: RRRR – é o raio de curvatura local da linha de corrente.

Admitimos, também, que a únicas forças importantes são as devidas apressão e a gravidade.

A componente do peso (força gravitacional) na direção normal à linha decorrente é:

SeSeSeSe aaaa linhalinhalinhalinha dededede correntecorrentecorrentecorrente éééé verticalverticalverticalvertical nononono pontopontopontoponto emememem quequequeque estamosestamosestamosestamos interessados,interessados,interessados,interessados,θθθθ====90909090°°°° eeee nãonãonãonão existeexisteexisteexiste componentecomponentecomponentecomponente dadadada forçaforçaforçaforça pesopesopesopeso nananana direçãodireçãodireçãodireção normalnormalnormalnormal aoaoaoaoescoamentoescoamentoescoamentoescoamento

3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTESe a pressão no centro da partícula é pppp os valores nas faces superior e inferiorda partícula :

Como a partícula é “pequena”, pode-se utilizar apenas o primeiro termo daexpansão de Taylor para calcular esta pequena variação de pressão, isto é:

Sendo δδδδFpnFpnFpnFpn a força líquida devida a variação de pressão na direção normal àtrajetória, tem-se:

eeee

ouououou

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3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTEAssim, a força líquida que atua na direção normal a linha de correntemostrada na figura:

como:

E lembrando que ao longo da normal à linha de corrente coscoscoscosθθθθ ==== dzdzdzdz//// dndndndn, aEquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dodododo movimentomovimentomovimentomovimento nananana direçãodireçãodireçãodireção normalnormalnormalnormal àààà linhalinhalinhalinha dededede correntecorrentecorrentecorrente éééé expressaexpressaexpressaexpressa porporporpor::::

3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTENoteNoteNoteNote:::: A mudança na direção do escoamento de uma partícula fluida, isto é,uma trajetória curva, RRRR <<<< ∞∞∞∞, é realizada pela combinação apropriada dogradiente de pressão e da componente da força peso na direção normal dalinha de corrente.

Uma velocidade, ou massa específica, mais alta e um raio de curvatura dalinha de corrente mais baixo requer desbalanceamento maior para produzirmovimento.

Por exemplo, se desprezamos o efeito da gravidade (como normalmente é feitonos escoamentos de gazes) ou se o escoamento ocorre num plano horizontal(dzdzdzdz//// dndndndn ==== 0000), a equação do movimento reduz a:

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3.3 APLICAÇÃO DE F=M.A NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTEEsta equação indica que a pressão aumenta com a distância para fora docentro de curvatura (dpdpdpdp//// dndndndn éééé negativonegativonegativonegativo porqueporqueporqueporque ρρρρVVVV2222 /R/R/R/R éééé positivopositivopositivopositivo) o sentidopositivo de nnnn é para “dentro” da linha de corrente curvada.

Assim, a pressão fora de um tornado (pressão atmosférica típica) é maior queaquela no centro do tornado. Esta diferença de pressão é necessária parabalancear a aceleração centrífuga associada com as linhas curvas doescoamento.

EXEMPLO 3.3 – pag. 97� As Figuras abaixo mostram dois escoamentos com linhas de correntes circulares. A

distribuições de velocidade para estes escoamentos são:

V=V=V=V= CCCC1111 rrrr ---- paraparaparapara oooo casocasocasocaso (a)(a)(a)(a)

V=CV=CV=CV=C2222/r/r/r/r ---- paraparaparapara oooo casocasocasocaso (b)(b)(b)(b)

� Onde C1 e C2 são constantes.

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EXEMPLO 3.3 – pag. 97� DetermineDetermineDetermineDetermine aaaa distribuiçãodistribuiçãodistribuiçãodistribuição dededede pressão,pressão,pressão,pressão, p=p(r),p=p(r),p=p(r),p=p(r), paraparaparapara cadacadacadacada casocasocasocaso sabendosabendosabendosabendo quequequeque p=pp=pp=pp=p0000 emememem

r=rr=rr=rr=r0000....

� SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO::::

� Admitindo que o escoamento é invíscido, incompressível, ocorre em regimepermanente e que as linhas de corrente pertencem a um plano horizontal (dz/dn =0).

� Como as linhas de corrente são circulares, a coordenada n aponta num sentidooposto ao da coordenada radial.

� Assim, δ/δn = - δ/δr e o raio de curvatura é dado por R = r.

� Nestas condições a Equação do movimento na direção normal a Linha de correnteé:

EXEMPLO 3.3 – pag. 97

� Aplicando a distribuição de velocidade do caso (a) na Equação acima, tem-se;

� No caso (b)

� AAAA pressãopressãopressãopressão aumentoaumentoaumentoaumento comcomcomcom oooo raioraioraioraio nosnosnosnos doisdoisdoisdois casoscasoscasoscasos porqueporqueporqueporque δδδδpppp////δδδδrrrr >>>> 0000....

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� A integração destas Equações em relação a r e considerando p=p0 em r=r0 resultaem:

� paraparaparapara oooo casocasocasocaso (a)(a)(a)(a)

� paraparaparapara oooo casocasocasocaso (b)(b)(b)(b)

� As distribuições de pressão estão esboçadas na Figura a seguir;


DistribuiçãoDistribuiçãoDistribuiçãoDistribuição dedededePressãoPressãoPressãoPressãoConsiderandoConsiderandoConsiderandoConsiderando oooo RaioRaioRaioRaio

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� As distribuições de pressão necessárias para balancear as aceleraçõescentrífugas nos casos (a) e (b) não são iguais porque as distribuições develocidade são diferentes.

� De fato, a pressão no caso (a) aumenta sem limite quando r → ∞ enquantoque a pressão no caso (b) se aproxima de um valor finito quando r → ∞(apesar dos formatos das linhas de corrente serem os mesmos nos doiscasos).

� Fisicamente, o caso (a) representa uma aproximação de corpo rígido (podeser obtida numa caneca de água sobre uma mesa giratória) e o caso (b)representa um vórtice livre que é uma aproximação de um tornado ou domovimento da água na vizinhança do ralo de uma pia.

REARRANJO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO AO LONGO DA NORMAL A LINHA DE CORRENTE� Se multiplicarmos a Equação do movimento na direção normal a linha de

corrente

� por dn e dividir pela massa específica, utilizarmos a relação ∂p/∂n = dp/dn, ses é constante e integrarmos a Equação Resultante, tem-se:.

� Precisa-se saber como varia a massa específica do fluido com a pressão ecomo a velocidade do escoamento e o raio de curvatura variam com n paraintegrarmos esta Equação.

� Se o escoamento é incompressível, a massa específica é constante e o primeirotermo da equação fica igual a p/ρ.

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REARRANJO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO AO LONGO DA NORMAL A LINHA DE CORRENTE

� É impossível integrar o segundo termo da última Equação sem o conhecimento dasrelações V = V(s,n) e R = R(s,n).

� Assim, a forma final da Segunda Lei de Newton aplicada na direção normal à Linhade Corrente num escoamento invíscido, incompressível e em regime permanente é:

� É importante lembrar que é preciso tomar muito cuidado na aplicação destaEquação nos casos onde as hipóteses envolvidas na sua derivação forem violadas.

FORMA EQUIVALENTE DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI

� Uma forma equivalente da Equação de Bernoulli é:

� É obtida dividindo todos os termos pela pelo peso específico do fluido, γ.

� Os termos apresentam dimensão de energia por peso (LF/F=L) ou comprimento(metros) e representa um tipo de carga.

� Z - é o termo de elevação, está relacionado com a energia potencial da partícula eé chamado de carga de elevação.

� é denominada de carga de pressão e representa o peso de uma coluna de

líquido necessária para produzir a pressão p.

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FORMA EQUIVALENTE DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI

é a carga de velocidade e representa a distância vertical necessária

para que o fluido acelere do repouso até a velocidade V numa queda

livre (desprezando o atrito).

� AAAA EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dededede BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli estabeleceestabeleceestabeleceestabelece quequequeque aaaa somasomasomasoma dadadada cargacargacargacarga dededede pressão,pressão,pressão,pressão, velocidadevelocidadevelocidadevelocidade eeeeelevaçãoelevaçãoelevaçãoelevação éééé constanteconstanteconstanteconstante aoaoaoao longolongolongolongo dadadada LinhaLinhaLinhaLinha dededede CorrenteCorrenteCorrenteCorrente....

3.4 – INTERPRETAÇÃO FÍSICA

� A aplicação de F = m.a nas direções ao longo da Linha de Corrente e na direçãonormal à Linha de Corrente resulta em:

� Sobre as seguintes hipóteses:

� Escoamento em Regime Permanente ;

� Fluidos Invíscidos;

� Fluidos Incompressíveis.

É necessário que exista um desbalanço de forças devidas ao campo de pressão e agravidade, para que haja movimentação do fluido.

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� Existem 3 processos envolvidos no escoamento:

� Massa multiplicada pela aceleração:

� A pressão ( o termo p);

� Peso ( o termo γz).

� A Equação que descreve o movimento ao longo da uma Linha de Corrente (L.C),resultante da integração da Equação do movimento, que representa o princípio doTrabalho – Energia. Que é definido por


� A Equação de Bernoulli é a formulação matemática deste Princípio.

� Quando uma partícula se move, tanto a força gravitacional quanto as forçasde pressão realizam trabalho sobre a partícula.

� γz e p – são relacionados ao trabalho realizada pela força peso e força depressão.

� relaciona-se a energia cinética da partícula.

O trabalho realizado sobre uma partícula por todas as forças O trabalho realizado sobre uma partícula por todas as forças O trabalho realizado sobre uma partícula por todas as forças O trabalho realizado sobre uma partícula por todas as forças que atuam na partícula é igual a variação de energia cinética que atuam na partícula é igual a variação de energia cinética que atuam na partícula é igual a variação de energia cinética que atuam na partícula é igual a variação de energia cinética

da partículada partículada partículada partícula

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EXEMPLO 3.4 – pag. 100� Considere o escoamento de água mostrado na Figura abaixo. A força aplicada no

êmbolo da seringa produzirá uma pressão maior do que a atmosférica no ponto (1)do escoamento. A água escoa pela agulha, ponto (2), com uma velocidade bastantealta e atinge o ponto (3) no topo do jato. Discuta utilizando a equação de Bernoulli, adistribuição de energia nos pontos (1), (2) e (3) do escoamento.


� SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO::::

� Se as hipóteses (regime permanente, invíscido e escoamento incompressível)utilizadas na s obtenção da Equação de Bernoulli são aproximadamente válidas, nóspodemos analisar o escoamento com esta equação.

� De acordo com a Equação a soma dos três tipos de energia (cinética, potencial epressão) ou cargas (velocidade, elevação e pressão) precisam permanecerconstante.

� A próxima tabela indica as grandezas relativas de cada uma destas energias nostrês pontos mostrados na Figura.

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� Observe que os valores associados aos diferentes tipos de energia variamao longo do escoamento da água. Um modo alternativo de analisar esteescoamento é o seguinte:

� O gradiente de pressão entre (1) e (2) produz uma aceleração para ejetarágua pela agulha;


� A gravidade atua na partícula entre (2) e (3) e provoca a paralisação daágua no topo de vôo.

� Se o efeito do atrito (viscoso) é importante nós detectaremos uma perda deenergia mecânica entre os pontos (1) e (3). Assim, para um dado p1, a águanão será capaz de alcançar a altura indicada na Figura.

� Tal atrito pode surgir na agulha (veja o Cap. 8, escoamento em tubo) ouentre o jato d’água e o ar ambiente (veja o Cap. 9, escoamento externo).

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CONSIDERAÇÕES

� É necessária uma força líquida para acelerar qualquer massa. A aceleração, numescoamento em regime permanente, pode ser interpretada como o resultado dedois efeitos distintos – da mudança de velocidade ao longo da linha de corrente eda mudança de direção se a linha de corrente é retilínea.

� A interpretação da Equação do movimento ao longo da Linha de Corrente leva emconsideração a variação de velocidade (variação de energia cinética) e resulta naEquação de Bernoulli.

� A interpretação da Equação do movimento na Direção normal à Linha de Correnteleva em consideração a aceleração centrífuga (V2/R) e resulta em:

CONSIDERAÇÕES

� É necessário existir uma força líquida, dirigida para o centro de curvatura, quandouma partícula fluida se desloca ao longo de uma trajetória curva.

� Sob estas condições, a Equação:

� Esta Equação mostra que esta força pode ser tanto gravitacional ou devida apressão ou combinação de ambas.

� Em muitas situações, as linhas de correntes são quase retilíneas (R = ∞).

� Neste casos, os efeitos centrífugas são desprezíveis e a variação de pressão nadireção normal as linhas de correntes é a hidrostática (devida a gravidade) mesmoque o fluido esteja em movimento.

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EXEMPLO 3.5 – pag. 101� Considere o escoamento em regime permanente, incompressível e invíscido

mostrado na Figura abaixo. As linhas de correntes são retilíneas entre as seções A eB e circulares entre as seções C e D. Descreva como varia a pressão entre os pontos(1) e (2) e entre os pontos (3) e (4)

EXEMPLO 3.5 – pag. 101SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO::::

� Com as hipóteses fornecidas e o fato de que R = ∞ no trecho limitado por A e B, aaplicação da Equação;

� Resulta em:

� A constante pode ser determinada a partir da avaliação de variáveis conhecidas emduas posições. Utilizando p2 = 0 (pressão relativa), z1 = 0 e z2 = h2-1, tem-se:

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� Note que a variação de pressão na direção vertical é a mesma daquela onde ofluido está imóvel porque o raio de curvatura da linha de corrente no trechoanalisado é infinito.

� Entretanto, se aplicarmos a Equação;

� Nos pontos (3) e (4), obtém-se (utilizando dn = -dz):

� Como p4=0 e z4 - z3 = h4-3, obtém-se:


� Precisa-se conhecer com V e R variam com z para avaliar esta integral. Entretanto,por inspeção, o valor da integral é positiva. Assim, a pressão em (3) é menor do queo valor da pressão hidrostática, γh4-3.

� Esta pressão mais baixa, provocada pela curvatura da linha de corrente, énecessária para acelerar o fluido em torno da trajetória curva.

� Note que não aplicamos a Equação de Bernoulli:

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� Na direção normal as linhas de corrente de (1) para (2) ou de (3) para (4). Em vezdisto, utilizamos a Equação:

� IstoIstoIstoIsto sesesese devedevedevedeve aoaoaoao fatofatofatofato dededede que,que,que,que, osososos pontospontospontospontos pertencempertencempertencempertencem aaaa LinhasLinhasLinhasLinhas dededede correntecorrentecorrentecorrente distintas,distintas,distintas,distintas, eeeeissoissoissoisso infringeinfringeinfringeinfringe umaumaumauma dasdasdasdas hipóteseshipóteseshipóteseshipóteses dadadada utilizaçãoutilizaçãoutilizaçãoutilização dadadada EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dededede Bernoulli,Bernoulli,Bernoulli,Bernoulli, dededede quequequeque estaestaestaestaEquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação sósósósó éééé aplicadaaplicadaaplicadaaplicada aaaa partículaspartículaspartículaspartículas fluidasfluidasfluidasfluidas quequequeque pertencempertencempertencempertencem aaaa mesmamesmamesmamesma LinhaLinhaLinhaLinha dedededeCorrenteCorrenteCorrenteCorrente....

� Como será discutido na Seção 3.6, a aplicação da Equação de Bernoulli na direçãonormal a linhas de corrente (em vez de ao longo delas) pode levar a sérios erros.

3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL

� A PressãoPressãoPressãoPressão dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação eeee DinâmicaDinâmicaDinâmicaDinâmica são conceitos que podem ser relacionadosrelacionadosrelacionadosrelacionados aaaaEquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dededede BernoulliBernoulliBernoulliBernoulli....

� Estas Pressões surgemsurgemsurgemsurgem dadadada conversãoconversãoconversãoconversão dededede EnergiaEnergiaEnergiaEnergia CinéticaCinéticaCinéticaCinética dodododo FluidoFluidoFluidoFluido em PressãoPressãoPressãoPressãoquando o fluidofluidofluidofluido éééé levadolevadolevadolevado aoaoaoao RepousoRepousoRepousoRepouso.

� Os termos da Equação de Bernoulli apresentam dimensões de força por unidade deárea.

� O PrimeiroPrimeiroPrimeiroPrimeiro Termo,Termo,Termo,Termo, pppp, é a pressões termodinâmicas no fluido que escoa.

� Para medir a pressão termodinâmica, devemos nos movermovermovermover solidariamentesolidariamentesolidariamentesolidariamente aoaoaoao fluidofluidofluidofluido,ou seja, de um modomodomodomodo estáticoestáticoestáticoestático emememem relaçãorelaçãorelaçãorelação aoaoaoao fluidofluidofluidofluido, por este motivo, esta pressão édenominada PressãoPressãoPressãoPressão EstáticaEstáticaEstáticaEstática.

� Um outro modo de medir a PressãoPressãoPressãoPressão EstáticaEstáticaEstáticaEstática é utilizando um TuboTuboTuboTubo PiezométricoPiezométricoPiezométricoPiezométricoinstalado numa superfíciesuperfíciesuperfíciesuperfície planaplanaplanaplana., do modo indicado no ponto (3) da Figura a seguir.

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� Medição das pressões Estática e Dinâmica.


� Como foi visto no Exemplo 3.5, a pressão no fluido em (1) é p1 = γ h3-1 + p3 (igual apressão se o fluido estivesse em repouso). Das considerações sobre manômetrosapresentados no Capítulo 02, nós sabemos que p3 = γ h4-3. Assim, como h3-1 + h4-3 =h, segue que p1 = γh.

� O TerceiroTerceiroTerceiroTerceiro TermoTermoTermoTermo dadadada EquaçãoEquaçãoEquaçãoEquação dededede Bernoulli,Bernoulli,Bernoulli,Bernoulli, γγγγz,z,z,z, é denominado PressãoPressãoPressãoPressão HidrostáticaHidrostáticaHidrostáticaHidrostáticapela relação óbvia com a variação de Pressão Hidrostática discutida no Capítulo 02.Ele nãonãonãonão éééé realmenterealmenterealmenterealmente umaumaumauma pressãopressãopressãopressão mas representarepresentarepresentarepresenta aaaa mudançamudançamudançamudança possívelpossívelpossívelpossível nananana pressãopressãopressãopressãodevida a variaçãovariaçãovariaçãovariação dededede energiaenergiaenergiaenergia potencialpotencialpotencialpotencial dodododo fluidofluidofluidofluido como resultadoresultadoresultadoresultado nananana alteraçãoalteraçãoalteraçãoalteração dedededeelevaçãoelevaçãoelevaçãoelevação....

� O SegundoSegundoSegundoSegundo termotermotermotermo dadadada equaçãoequaçãoequaçãoequação dededede Bernoulli,Bernoulli,Bernoulli,Bernoulli, ρρρρVVVV2222////2222 é denominado PressãoPressãoPressãoPressão DinâmicaDinâmicaDinâmicaDinâmica.

� Sua interpretação pode ser vista na Figura a seguir.

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� Medição das pressões Estática e Dinâmica.


� Considerando a pressão na extremidade do pequeno tubo inserido no escoamento eapontando para a montante do escoamento.

� Após o término do movimento inicial transitório, o líquido preencherá o tudo até umaaltura H.

� O fluido no tubo, incluindo aquele na ponta do tubo, (2) estará imóvel, ou seja, V2 =0. Nestas condições oooo pontopontopontoponto ((((2222)))) será denominadodenominadodenominadodenominado umumumum PontoPontoPontoPonto dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação.

� Se aplicarmos a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (2), utilizarmos V2 = 0 eadmitirmos que z1 = z2, é possível obter.

� Assim, a pressão no Ponto de Estagnação é maior do que a Pressão estática , p1, deρv1

2/2, ouououou sejasejasejaseja ,,,, oooo valorvalorvalorvalor dadadada pressãopressãopressãopressão dinâmicadinâmicadinâmicadinâmica.

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� É possível mostrar que sósósósó existeexisteexisteexiste umumumum PontoPontoPontoPonto dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação emememem qualquerqualquerqualquerqualquer corpocorpocorpocorpo móvelmóvelmóvelmóvelcolocadocolocadocolocadocolocado numnumnumnum escoamentoescoamentoescoamentoescoamento dededede fluidofluidofluidofluido....

� Alguns fluidos escoa “sobre” e algum “abaixo” do objeto. A linhalinhalinhalinha divisóriadivisóriadivisóriadivisória (ousuperfície para o escoamento bidimensionais) é denominada LinhaLinhaLinhaLinha dededede CorrenteCorrenteCorrenteCorrente dedededeEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação eeee terminaterminaterminatermina nononono pontopontopontoponto dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação (Pressão(Pressão(Pressão(Pressão máximamáximamáximamáxima eeee velocidadevelocidadevelocidadevelocidade nula)nula)nula)nula).

� Para objetosobjetosobjetosobjetos simétricossimétricossimétricossimétricos (tal como uma esfera) oooo PontoPontoPontoPonto dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação estáestáestáestálocalizadolocalizadolocalizadolocalizado nananana frentefrentefrentefrente dodododo objetoobjetoobjetoobjeto, como mostrado na Figura abaixo.


� Para objetosobjetosobjetosobjetos nãonãonãonão simétricossimétricossimétricossimétricos tal como um avião, como mostrado na Figura abaixo, aaaalocalizaçãolocalizaçãolocalizaçãolocalização dodododo PontoPontoPontoPonto dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação nãonãonãonão éééé óbviaóbviaóbviaóbvia....

Se os efeitos de elevação podem ser desprezados, a Pressão de Estagnação, p +ρV2/2 é a máxima pressão que uma linha de corrente pode apresentar, isto é, todaEnergia Cinética do fluido é convertida num aumento de Pressão.

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� AAAA somasomasomasoma dasdasdasdas PressõesPressõesPressõesPressões Estática,Estática,Estática,Estática, HidrostáticaHidrostáticaHidrostáticaHidrostática eeee DinâmicaDinâmicaDinâmicaDinâmica éééé denominadadenominadadenominadadenominadaPressãoPressãoPressãoPressão Total,Total,Total,Total, ppppTTTT....

� A Equação de Bernoulli estabelece que a Pressão Total permanececonstante ao longo da Linha de Corrente, ou seja:

� Novamente, é preciso que se verifique as hipóteses utilizadas na derivaçãodesta Equação são respeitadas no escoamento que estamos considerando.

� Os conhecimentos dos valores de Pressões Estática e Dinâmica noescoamento nos permite calcular a velocidade local do escoamento e estaé a base do funcionamentofuncionamentofuncionamentofuncionamento dodododo tubotubotubotubo dededede PitotPitotPitotPitot Estático,Estático,Estático,Estático, mostrado na Figura aseguir:


� A Figura acima mostra dois tubos concêntricos que estão conectados a doismedidores de pressão (ou a um manômetro diferencial) de modo que os valores dep3 e p4 (ou a diferença p3 – p4) pode ser determinada.

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� Note que o tubotubotubotubo centralcentralcentralcentral medemedemedemede aaaa PressãoPressãoPressãoPressão dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação (na(na(na(na suasuasuasua extremidadeextremidadeextremidadeextremidadeexpostaexpostaexpostaexposta aoaoaoao escoamento)escoamento)escoamento)escoamento) sesesese aaaa variaçãovariaçãovariaçãovariação dededede elevaçãoelevaçãoelevaçãoelevação éééé desprezíveldesprezíveldesprezíveldesprezível.

� Onde p e V são a pressão e a velocidade a montante do ponto (2). O TuboTuboTuboTubo externoexternoexternoexternocontémcontémcontémcontém diversosdiversosdiversosdiversos furosfurosfurosfuros pequenospequenospequenospequenos localizadoslocalizadoslocalizadoslocalizados aaaa umaumaumauma certacertacertacerta distânciadistânciadistânciadistância dadadada pontapontapontaponta dedededemodomodomodomodo que,que,que,que, esteesteesteeste medemmedemmedemmedem aaaa PressãoPressãoPressãoPressão EstáticaEstáticaEstáticaEstática. Se a diferença de elevação entre ospontos (1) e (4) é desprezível.

� Combinando as duas última equações, tem-se:

3.5 – PRESSÃO ESTÁTICA, DINÂMICA, DE ESTAGNAÇÃO E TOTAL� Esta última Equação pode se arranjada da seguinte forma;

� A forma dos tubos de Pitot Estático utilizado para medir velocidade em experimentosvaria consideravelmente. A Figura abaixo apresenta alguns tipos usuais de tubos dePitot Estático.

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� A Figura abaixo mostra um avião voando a 160 km/h numa altitude de 3000 m.Admitindo que atmosfera seja a padrão, determine a pressão ao longe do aviação,ponto (1), a pressão no ponto de estagnação no nariz do avião, ponto (2), e adiferença de pressão indicada pelo tubo de Pitot que está instalado na fuselagemdo avião.


SOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃOSOLUÇÃO::::

� Nós encontramos na Tab. C.1 os valores da pressão estática e da massaespecífica do ar na altitude fornecida, ou seja:

pppp1111 ==== 70707070,,,,....02020202 kPakPakPakPa eeee ρρρρ ==== 0000,,,,9093909390939093 kg/mkg/mkg/mkg/m3333

� Nós vamos considerar que as variações de elevação são desprezíveis e queo escoamento ocorre em regime permanente, é invíscido e incompressível.Nestas condições, a aplicação da Equação de Bernoulli resulta em;

� Como V1 = 160 km/h = 44,4 m/s e V2 = 0 ( porque o sistema decoordenada está solidário ao avião), tem-se:

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� Em termos relativos, a pressão no ponto (2) é igual a 0,896 kPa e adiferença de pressão indicada no tubo de Pitot é;

� Nós admitimos que o escoamento é incompressível – a massa específicapermanece constante de (1) para (2). Entretanto como ρ = p/RT, umavariação na pressão (ou temperatura) causará uma variação da massaespecífica.

� Para uma velocidade relativamente baixa, a relação entre a variação namassa específica é desprezível. Entretanto, se a velocidade é alta, torna-senecessário utilizar os conceitos de escoamento compressível para obterresultados precisos.

CONSIDERAÇÕES� O Tubo de Pitot é um instrumento simples para medir a velocidade de escoamento.

� Seu uso depende da habilidade de medir as pressões de Estagnação e Estática doescoamento. É necessário tomar certos cuidados para obter estes valoresadequadamente.

� Por exemplo, uma medição precisa da pressão requer que nenhuma energiacinética do fluido seja convertida num aumento de pressão no ponto de medida.

� Isto requer um furo bem usinado e sem a presença de imperfeições. Como indicadonas Figuras a baixo, tais imperfeições podem provocar uma leitura incorreta dapressão (o valor medido pode ser maior ou menor do que a pressão estática real)

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CONSIDERAÇÕES

� A pressão varia ao longo da superfície do corpo imerso no escoamento desde aPressão de Estagnação (Ponto de Estagnação) até valores que podem ser menoresque a Pressão Estática ao longe do corpo (na linha de corrente livre).

� Uma variação típica de pressão num tubo de Pitot está indicado na Figura abaixo.

DistribuiçãoDistribuiçãoDistribuiçãoDistribuição típicatípicatípicatípica dedededepressãopressãopressãopressão aoaoaoao longolongolongolongo dedededeumumumum tubotubotubotubo dededede PitotPitotPitotPitot

CONSIDERAÇÕES

� É importante que os furos utilizados para a medida de pressão estejam localizadosde modo a assegurar que a Pressão Medida é realmente igual a Pressão EstáticaReal.

� É sempre difícil alinhar o tubo de Pitot com a direção do escoamento.

� Qualquer desalinhamento produz um escoamento não simétrico em torno do tubode Pitot e isto provocará erros.

� Normalmente desalinhamento de 12 a 20º (dependendo do projeto do tubo de Pitotque está sendo utilizado) provocam erros menores que 1% em relação a medidaobtida com um alinhamento perfeito.

� É interessante ressaltar que, geralmente, é mais difícil medir a Pressão Estática doque a Pressão de Estagnação.

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CONSIDERAÇÕES

� Um dispositivo utilizado para determinar a direção do escoamento e sua velocidadeé o tubo de PitotPitotPitotPitot comcomcomcom trêstrêstrêstrês furosfurosfurosfuros, como mostrado na Figura abaixo.

� Os três furos são usinados num pequeno cilindro e são conectados a trêstransdutores de pressão.

� O cilindro é rotacionado até que a pressão nos dois furos laterais se tornem iguais e,assim, indicando que o furo central aponta diretamente para a montante doescoamento.

SeçãoSeçãoSeçãoSeção transversaltransversaltransversaltransversal dedededeumumumum tubotubotubotubo dededede PitotPitotPitotPitot comcomcomcomtrêstrêstrêstrês furosfurosfurosfuros (para(para(para(para aaaadeterminaçãodeterminaçãodeterminaçãodeterminação dadadadadireçãodireçãodireçãodireção dodododoescoamento)escoamento)escoamento)escoamento)

CONSIDERAÇÕES

� O FuroFuroFuroFuro CentralCentralCentralCentral mede a PressãoPressãoPressãoPressão dededede EstagnaçãoEstagnaçãoEstagnaçãoEstagnação.

� Os doisdoisdoisdois furosfurosfurosfuros lateraislateraislateraislaterais estão localizados num ângulo específico (ββββ ==== 29292929,,,,5555ºººº) de modoque eles medemmedemmedemmedem aaaa PressãoPressãoPressãoPressão EstáticaEstáticaEstáticaEstática.

� A velocidade de escoamento é obtida com V = [2(p2 – p1)/ρ]1/2.

� A discussão anterior só é válida para escoamento incompressível.

� Quando a velocidade é alta, os efeitos da compressibilidade do fluido se tornamimportante (a massa específica não permanece constante) e outros fenômenosocorrem.

� Os conceitos de Pressão Estática, Dinâmica, Estagnação e Pressão Total sãoimportante e muito úteis na análise dos escoamento

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CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO DE ... · 13/05/2012 1 capÍtulo 3 – dinÂmica dos fluidos elementar – equaÇÃo de bernoulli – 1ª parte universidade