Capítulo 3.1: Equações homogêneas lineares de segunda ...ões-Diferenciais... · onde f é uma

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Captulo 3.1: Equaes homogneas lineares de segunda

ordem com coeficientes constantes

Uma equao diferencial ordinaria de segunda ordem tem a forma geral

onde f uma funo dada.Esta equao dita linear se f linear em y e y':

caso contrrio dizemos que no linear. Uma equao linear de segunda ordem aparece como

Se G(t) = 0 para todo t, ento esta equao dita homognea. caso contrrio dizemos que no homognea.

),,( yytfy =

ytqytptgy )()()( =

)()()()( tGytRytQytP =++

Captulo 3.1:

Equaes Homogneas, Valores IniciaisNas sees 3.6 e 3.7, ns veremos que uma vez que encontramos uma soluo para a equao homognea, isto possibilita resolver uma equao no homognea associada ou correspondente homognea, ou no mnimo expressar a soluo em termos de uma integral.O foco deste captulo so as equaes Homogneas e em particular, as de coeficientes constantes:

O caso com coeficientes variveis ser vista mais adiante.Condio Inicial dada da seguinte forma

Portanto a soluo passa por (t0, y0), e a inclinao da soluo em (t0, y0) igual a y0'.

0=++ cyybya

( ) ( ) 0000 , ytyyty ==

Captulo 3.1:Exemplo 1

Infinidades de SoluesConsidere a EDO 2a

As duas solues desta equao so

Outras solues so

Baseado nesta observao, ns vimos que existem uma infinidades de solues e so da forma

Mostraremos na seo 3.2 que todas as solues da equao diferencial acima podem ser expressada desta forma.

0= yy

tt etyety == )(,)( 21

tttt eetyetyety +=== 53)(,5)(,3)( 543

tt ececty += 21)(

Captulo 3.1: Exemplo 1

Condies IniciaisAgora considere o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI) para nossa equao:

Nos podemos encontrar uma soluo geral da seguinte forma

Usando as condies iniciais,

temos

1)0(,3)0(,0 === yyyy

tt ececty += 21)(

1,21)0(3)0(

2121

21 ==

===+=

ccccyccy

tt eety += 2)(

Captulo 3.1: Exemplo 1

Grfico da SoluoO PVI e a soluo so

O grfico da soluo dado abaixo. O grfico da direita sugere que ambas as condies so satisfeita.

tt eetyyyyy +==== 2)(1)0(,3)0(,0

Captulo 3.1:

Equao Caracterstica

Para resolver uma equao de 2a ordem com coeficientes constantes,comeamos assumindo uma soluo da forma y = ert. Substituindo-a na equao diferencial, obtemos:

Simplificando,

e assim

Esta ltima equao chamada equao caracterstica da equao diferencial. Nos resolvemos esta equao em r por fatorao ou usando a formula quadrtica.

,0=++ cyybya

02 =++ rtrtrt cebreear

0)( 2 =++ cbrarert

02 =++ cbrar

Captulo 3.1:

Soluo GeralUsando a formula quadrtica na equao caracterstica

obtemos duas solues, r1 e r2. Existem trs possibilidades:

As Razes r1, r2 so reais e r1 r2. As Razes r1, r2 so reais e r1 = r2. As Razes r1, r2 so complexas.

Por enquanto, vamos assumir que r1, r2 so reais e r1 r2. Neste caso, a soluo geral da forma

,02 =++ cbrar

trtr ececty 21 21)( +=

aacbbr

242 =

Captulo 3.1:

Condies Iniciais Para o PVI

usaremos a soluo geral

usando as condies iniciais para encontrar c1 e c2. Isto ,

Desde que assumindo r1 r2, segue que uma soluo da forma y = ert para o PVI acima sempre existir, para qualquer conjunto de condies iniciais.

,)(,)(,0 0000 ytyytycyybya ===++

0201

0201

0201

21

0102

21

2001

02211

021 , trtrtrtr

trtr

erryryce

rrryyc

yercerc

yecec

=

=

=+

=+

trtr ececty 21 21)( +=

Captulo 3.1:

Exemplo 2Considere o PVI

Tomando a soluo exponencial e obtendo a E.C.:

Fatorando a E.C. obtemos duas solues, r1 = -4 e r2 = 3A soluo geral

Usando as condies iniciais:

Temos

1)0(,0)0(,012 ===+ yyyyy

( ) ( ) 034012)( 2 =+=+= rrrrety rt

tt ececty 324

1)( +=

71,

71

1340

2121

21 ==

=+=+

cccccc

tt eety 3471

71)( +=

Captulo 3.1:

Exemplo 3Considere o PVI

Ento

Fatorando, obtemos duas solues, r1 = 0 e r2 = -3/2A soluo geral

Usando as condies iniciais:

Temos

( ) ( ) 30,10,032 ===+ yyyy

( ) 032032)( 2 =+=+= rrrrety rt

2/321

2/32

01)(

ttt eccececty +=+=

2,33

23

1212

21

==

=

=+ccc

cc

2/323)( tety =

Captulo 3.1: Exemplo 4

PVIConsidere o PVI

Ento

Fatorando, obtemos duas solues, r1 = -2 e r2 = -3A soluo geral

Usando as condies iniciais:

Temos

( ) ( ) 30,20,065 ===++ yyyyy

( )( ) 032065)( 2 =++=++= rrrrety rt

tt ececty 322

1)( +=

7,93322

2121

21 ==

==+

cccccc

tt eety 32 79)( =

Captulo 3.1: Exemplo 4

Encontrando o Valor Mximo

Encontrar o valor mximo alcanado pela soluo.

204.21542.0

)6/7ln(6/7

7602118)(

79)(

32

32

32

==

=

=+=

=

ytt

eee

eety

eety

t

tt

settt

tt

Captulo 3.2: Solues Fundamentais de Equaes

Lineares Homogneas

Sejam p, q funes contnuas no intervalo I = (, ), o qual poder ser infinito. Para alguma funo y que seja trs vezes diferencivel em I, definisse o operador diferencial L por

Note que L[y] uma funo em I, com valor de sada

Por exemplo,

[ ] yqypyyL ++=

[ ] )()()()()()( tytqtytptytyL ++=

( )[ ] )sin(2)cos()sin()(

2,0),sin()(,)(,)(22

22

tettttyLIttyetqttp

t

t

++=

====

Captulo 3.2:

Notao do Operador DiferencialNesta seo nos vamos discutir a equao homognea linear de 2a ordem L[y](t) = 0, junto com condies iniciais como indicado abaixo:

Ns gostaramos de saber se existe soluo para este problema de valor inicial, e em caso afirmativo, se nica.Tambm, gostaramos de saber sobre a forma e a estrutura das solues, pois, podem ser teis na hora de encontrar solues para os problemas particulares. Estas perguntas so respondidas nos teoremas a seguir .

[ ]1000 )(,)(

0)()(ytyyty

ytqytpyyL==

=++=

Captulo 3.2:

Teorema 3.2.1Considere o PVI

onde p, q, e g so funes continuas no intervalo aberto I que contm t0. Ento existe uma nica soluo y = (t) em I.

Note: Quando este teorema diz que existe uma soluo ao problema do valor inicial acima, no possvel escrever a soluo por uma expresso. Esta a maior uma diferena principal das equaes Lineares de 1a ordem com as de 2a ordem.

0000 )(,)()()()(

ytyytytgytqytpy

===++

Captulo 3.2:

Exemplo 1

Considere a EDO 2a ordem linear com PVI

Na seo 3.1, ns mostramos que este PVI tem a seguinte soluo:

Note que p(t) = 0, q(t) = -1, g(t) = 0 elas so contnuas em (-, ), e a soluo y est bem definida e duas vezes diferencivel em (-, ).

tt eety += 2)(

( ) ( ) 10,30,0 === yyyy

1000 )(,)()()()(

ytyytytgytqytpy

===++

Captulo 3.2:

Exemplo 2

Considere a EDO 2a ordem linear com PVI

onde p, q so funes continuas no intervalo aberto I que contm t0. Na luz das circunstncias iniciais, note que y = 0 uma soluo para este problema homogneo de valor inicial.Desde que as hipteses do Teorema 3.2.1 so satisfeitas, segue que y = 0 a nica soluo deste problema.

( ) ( ) 00,00,0)()( ===++ yyytqytpy

Captulo 3.2:

Exemplo 3Determinar o maior intervalo em que dado do valor inicial, soluo do problema existe e nica e ainda duas vezes diferencivel . No tente encontrar a soluao.

Primeiramente pr a equao diferencial na formula padro:

O maior intervalo que contem o ponto t = 0 em que os coeficiente da funo so contnuos (-1, ). Segue do Teorema 3.2.1 que o maior intervalo em que este problema de valor inicial ter uma soluo duas vezes diferencivel tambm (-1, ).

( ) ( ) ( ) 00,10,13)(cos1 ===++ yyyytyt

( ) ( ) 00,10,1

11

31

cos ==+

=+

++

yyt

yt

yt

ty

Captulo 3.2:Teorema 3.2.2 (Princpio da Superposio)

Se y1e y2 so solues da equao

ento a combinao linear delas c1y1 + y2c2 tambm uma soluo, para todas as constantes c1 e c2 reais.

Para provar este Teorema, substitua c1y1 + y2c2 no lugar de y na equao abaixo, e use o fato de que y1 e y2 so solues e L[y] linear.

Assim para todas as duas solues y1 e y2, ns podemos construir uma famlia de infinitas solues , para cada y = c1y1 + c2 y2. Pode todas as solues ser escrita desta maneira, ou tm alguma outra soluo completamente diferente? Para responder a esta pergunta, ns usaremos o determinante Wronskiano.

0)()(][ =++= ytqytpyyL

0][][][0][0][ 2211221121 =+=+== yLcyLcycycLyLeyL

Captulo 3.2:

O Determinante WronskianoSuponha que y1 e y2 so solues para a equao

Pelo Teorema 3.2.2, nos sabemos que y = c1y1 + c2 y2 uma soluo desta equao. O prximo passo encontrar os coeficientes c1 e c2 tais que y = c1y1 + c2 y2 satisfazem as condies iniciais

Para isso, ns necessitamos resolver as seguintes equaes:

0)()(][ =++= ytqytpyyL

0000 )(,)( ytyyty ==

0022011

0022011

)()()()(

ytyctycytyctyc

=+=+

Captulo 3.2:

O Determinante WronskianoResolvendo as equaes, n