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Capítulo III
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA FRACTAL
SUMÁRIO
RESUMO ................................................................................................................................... 3
Introdução ................................................................................................................................... 3
3.1 - Definição de um objeto fractal ........................................................................................... 4
3.2 - O Modelo fractal de estruturas ........................................................................................... 5
3.3 - Propriedades dos objetos geométricos fractais................................................................... 8
3.3.1 - Semente fractal ou elemento geométrico fundamental da estrutura ................. 8
3.3..2 – A relação de invariância por transformação de escala para um fractal auto-
similar ...................................................................................................................................... 9
3.3..3 - Dimensão Fractal (não-inteira) ...................................................................... 11
3.3..4 - Limites hierárquicos de escalonamento ......................................................... 12
3.3.5 - Invariância por transformação de escala ou auto-similaridade ....................... 13
3.3.6 - Construção de um fractal ou regra de preenchimento do espaço por um fractal18
3.3.7 - Auto-similaridade fractal e Fractais Auto-similares: ...................................... 20
3.3.8 - Auto Afinidade fractal e Fractais Auto Afins: ................................................ 20
3.3..9 - Auto-similaridade e a auto-afinidade exata e estatística ................................ 23
3.4 – Exemplos de fractais projetados e fractais auto-afins...................................................... 24
3.5 - Tipos de escalonamento ................................................................................................... 28
2
3.5.1 - Escalonamento baseado no processo de fragmentação (Lo = cte e Lk → ∞,
logo ε → 0) ............................................................................................................................... 29
3.5.2 - Escalonamento baseado no processo de crescimento (lok = cte e Lk → ∞, logo
ε → 0) .................................................................................................................................... 30
3.6 – Operações com fractais.................................................................................................... 31
3.6.1- Iteração de retro-alimentação usando um iniciador e uma semente na criação
de Pré-fractais ........................................................................................................................... 31
3.6.2 - Renormalização............................................................................................... 32
3.7 – Seqüências e Séries fractais ............................................................................................. 32
3.8 - Classes e tipos de fractais................................................................................................ 33
3.9 - Fractais Matemáticos........................................................................................................ 33
3.9.1. Fractais Matemáticos Uniformes...................................................................... 34
3.9.2 - Fractais Matemáticos Não-Uniformes: ........................................................... 36
3.10 - Fractais Físicos ............................................................................................................... 40
3.10.1. Fractais Estatísticos ........................................................................................ 40
3.10.2 - Fractais laplacianos ou ramificados .............................................................. 40
3.10.3 - Fractais físicos ou estatisticos uniformes e não-uniformes........................... 42
3.11 - Transformada de Legendre para Fractais Não-Uniformes ............................................. 42
3.12 - Multifractais ................................................................................................................... 42
3.13 – Apêndices ...................................................................................................................... 47
3.13.1- Algoritmo matemático de retro-alimentação para construção de um objeto
fractal .................................................................................................................................... 47
3.13.2- Definindo Operadores Geométricos............................................................... 47
3.13.3 - Construindo Novos Operadores Geométricos............................................... 48
3.13.4 - Auto-valores e Auto-vetores dos Operadores ............................................... 50
3.14 - Referências bibliográficas .............................................................................................. 51
3
Capítulo III
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA FRACTAL
RESUMO
Introdução
As propriedades básicas de objetos com dimensões “anômalas” (diferente da
euclidiana) foram observados e pesquisados já no início deste século, principalmente por
HAUSDORFF [1919] e BESICOVITCH [1935]. A importância dos fractais para a Física e
muitos outros campos de conhecimento foi apontada por MANDELBROT [1982]. Ele
demonstrou a riqueza da geometria fractal e apresentou também importantes resultados em
seus livros sobre o assunto [MANDELBROT 1975, 1977, 1982]. A proposta deste capítulo é
dar uma introdução aos conceitos básicos, propriedades geométricas e apresentar diferentes
tipos de fractais.
4
3.1 - Definição de um objeto fractal
É um objeto de dimensão não inteira (D < d, onde d é a dimensão do espaço
Euclidiano o qual está imerso) que possui invariância por transformação de escala (auto-
similaridade ou auto-afinidade), onde para qualquer contorno contínuo que se tome o mais
próximo possível do objeto o número de pontos, N, que forma o fractal não preenche
completamente o espaço delimitado pelo contorno, ou seja existe sempre regiões vazias, ou
ainda existe sempre uma figura de dimensão, d, (inteira) no qual o fractal pode ser inscrito que
não superpõe exatamente o fractal mesmo no limite de escala infinitesimal. A fração de
pontos que preenche o fractal em relação a este objeto é diferente de inteiro (1) ou semi-
inteiro (1/2), podendo possuir simetrias como de rotação por exemplo para ângulos menores
que 90°. Conforme foi visto no capítulo anterior em linguagem algébrica, um fractal é uma
seqüência auto-similar que possui uma dimensão de Hausdorff-Besicovitch.
Figura - 3. 1. Exemplo de construção de um fractal determinístico imerso em duas dimensões. a) demonstração de como gerar um crescimento fractal usando um procedimento interativo. b) Estrutura análoga construída pela subdivisão do quadrado original. Ambas os procedimentos levam a fractais para k → ∞ com uma dimensão D ≅ 1.465.
De acordo com a secção anterior, diz-se que um objeto é fractal, quando as
respectivas funções que caracterizam as grandezas como: perímetro, área ou volume, possuem
homogeneidade não-inteira. Neste caso, a propriedade de invariância por transformação de
escala ou auto-similaridade, é decorrente de uma transformação de escala, de pelo menos uma
desta funções.
5
3.2 - O Modelo fractal de estruturas
Em primeiro lugar, deve-se começar com a definição de função homogênea dada por
Euler, que constitue a base de todo o escalonamento fractal. De acordo com o teorema de Euler
para funções homogêneas de grau n qualquer, uma transformação de escala, εk (εmin ≤ εk ≤ εmax),
numa função F(c) deste tipo resulta em:
F(εkc) = εk-nF(c) (0 ≤ εk ≤ 1), (3. 1)
Este resultado significa, que o valor de uma função numa escala, F(c), está relacionado
com o valor desta mesma função numa outra escala, F(εkc) por uma relação entre as escalas εk,
elevada a uma potência n que corresponde ao grau de homogeneidade da função. Um fractal é um
objeto que segue a um tipo de escalonamento fracionário (Figura - 3. 2), ou seja, o grau de
homegeneidade n da função descrita em (3. 1) não é inteiro, e apresenta a propriedade da
autosimilaridade.
Figura - 3. 2. Fractais ramificados, mostrando os elementos de estrutura, ou as unidades geometricas elementares, de dois fractais. a) Fractal matemático auto-similar b) Fractal físico estatisticamente auto-similar.
6
As propriedades básicas dos fractais são: a sua dimensão não-inteira e a auto-
similaridade, isto é, o fato de suas partes se assemelharem ao todo em diferentes escalas. Esta
última propriedade, se torna mais evidente quando se faz uma transformação de escala homogênea
de uma parte qualquer de sua estrutura, em escalas sucessivas.
Existem dois tipos básicos de fractais: os fractais matemáticos, cujas relações de auto-
similaridade são exatas e não tem limites de escala superior ou inferior pois são gerados por regras
de interações infinitas (Figura - 3. 2b) e fractais físicos, cujas relações de auto-similaridade são
obedecidas na média estatística feita ao longo de todo o fractal, desde uma escala inferior, εmin, até
uma outra escala superior εmax (auto-similaridade), conforme mostra a Figura - 3. 2. Supondo-se
que os fractais encontrados na natureza, ao se formarem, seguem regras ou leis do tipo citada
acima, observa-se que os intrigantes fatos concernentes a sua estrutura, apesar de serem curiosos do
ponto de vista matemático, parecem esconder algum tipo de princípio de dissipação de energia
[ALVES 1998b, HERRMANN 1986]. Nestes fractais físicos ou naturais o escalonamento da
extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte forma:
F(δ) ~ δd -D, (3. 2)
onde d é a dimensão euclideana de projeção do fractal e D é a dimensão fractal da estrutura
auto-similar.
Por outro lado, existem fractais com diferentes dimensões ao longo de suas
direções ortogonais, que são chamados de fractais auto-afins. Fractais auto-afins são aqueles
que aparecem imersos numa dimensão euclidiana superior ( I = d + 1) e possuem projeção
sobre uma dimensão euclidiana inferior (d), de tal forma que no limite de escalas muito
grandes a dimensão deste é a dimensão euclidiana E. Por exemplo, uma trinca vista de uma
escala muito distante pode ser considerada como uma reta, cuja dimensão é d = 1 e superfícies
de fratura, neste limite, são planos de dimensão d = 2. Neste fractais o escalonamento da
extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte forma:
F(δ) ~ δI - Dx, (3. 3)
onde I é a dimensão euclideana de imersão do fractal e Dx é a dimensão fractal da estrutura
auto-afim ao longo da direção x. O expoente da função acima é dado por H = I - Dx onde H é o
expoente Hurst da rugosidade da estrutura. Um exemplo de um fractal auto-afim está mostrado
mais oportunamente na Figura - 3. 7, quando será modelado o perfil de uma trinca.
7
Definindo-se o “elemento padrão da estrutura” ou “semente” de um fractal, como
sendo o elemento básico de formação do mesmo, que é auto-similar ou auto-afim a outro, em
escalas sucessivas, o número de estruturas formadas numa determinada escala pode ser descrito de
acordo com SANDER [1984] como sendo:
Nr(ε) = ε -Dr, (3. 4)
onde:
ε: é o fator de transformação de escala usado
Nr: é o número de elementos de estrutura na escala ε na direção r.
Dr: é a dimensão fractal da estrutura na direção ro. Para fractais auto-similares Dr = D e para
fractais auto-afins Dr = Dx.
A grandeza ε é o fator de transformação de escala dado pela razão entre os tamanhos r
e R do elemento de estrutra em duas escalas diferentes ou sucessivas:
ε = ro/Ro, (3. 5)
Para um mono-fractal o fator de escala ε é uma constante entre dois niveis
consecutivos de escalonamento. Contudo uma generalização pode ser feita a partir da relação (3. 4)
para o caso onde a dimensão fractal depende da escala como é o caso de multifractais.
Normalmente os fractais encontrados na natureza são multifractais, que correspondem àqueles que
possuem uma dimensão que varia continuamente. Para estes fractais, as relações, (3. 1), (3. 2) e (3.
3) são aproximações matemáticas que podem ser usadas para descreve-los em termos de uma
medida média.
Conforme será descrito neste trabalho, considerando-se as trincas como sendo um
fractal físico homogêneo estatisticamente auto-afim e as rupturas ramificadas, como sendo
estatisticamente auto-similar, pode-se, partindo-se das expressões (3. 2) e (3. 3), com algumas
modificações matemáticas, interpretar os fenômenos de propagação das trincas, tão importante em
materiais, chegar a resultados utéis na descrição deste fenômeno. Será possível entender, de forma
clara, desde o processo de fratura até o de fragmentação, sob uma visão da variação contínua dos
graus de energia fornecido ao material, modificando apenas o número de trincas formadas,
ramificadas e sobrepostas, conforme será mostrado mais adiante.
8
3.3 - Propriedades dos objetos geométricos fractais
A nova visão dos fractais, surge ao se imaginar objetos no espaço euclidiano com
preenchimentos irregulares deste espaço, dando origem a dimensões não inteiras segundos os
métodos de determinação da dimensão descritos nos parágrafos anteriores. Estes objetos,
também podem apresentar ainda propriedades de auto-similaridade, que só podem ser
descritos por meio da geometria fractal, como é o caso mostrado na Figura - 3. 2. Observe que
neste caso, não existe fisicamente, nenhuma razão para existir um limite inferior ou superior
de escala de medida. Porém, com o advento da Física Moderna, surgiu a idéia da quantização,
que pressupõe uma unidade fundamental para algumas grandezas físicas. No caso de
materiais, tem-se a escala atômica, que nos sugere um limite inferior de medida de
comprimento, além das medidas inferiores de energia, carga elétrica, momentum, etc.
Observa-se portanto, que muitas das propriedades físicas mensuráveis tais como:
comprimento, área superficial, rugosidade, volume, etc, seguem leis de escalonamentos que
nem sempre são inteiras, cuja a geometria que melhor descrevem, se aproxima mais da
geometria fractal do que da geometria euclidiana.
3.3.1 - Semente fractal ou elemento geométrico fundamental da estrutura
Pode-se chamar de elemento geométrico fundamental da estrutura, ou “semente” a
unidade geométrica unitária que deu origem ao fractal físico ou matemático, conforme mostra
a Figura - 3. 2.
No caso de fractais físicos, o elemento fundamental da estrutura, é definido como
sendo, o menor elemento da estrutura (Figura - 3. 2a), a partir do qual a propriedade de auto-
similaridade, ou auto-afinidade, aparece, podendo ser extraído do contexto do objeto a partir
da menor escala de observação εmin. Este elemento, serve para contagem do número de
estruturas auto-similares, ou auto-afins, dentro de cada escala, afim de obter-se uma descrição
analítica ou numérica da estrutura formada.
9
3.3..2 – A relação de invariância por transformação de escala para um fractal
auto-similar
A partir de agora será utilizado o exemplo do pinheiro como sendo um fractal auto-
similar para então deduzir as principais relações matemáticas de escalonamento geométrico e
em seguida aplicar a fratura
A relação de auto-similaridade que descreve o crescimento ou a fragmentação do
pinheiro em níveis de escalonamento por meio do seu volume aparente é dado por:
DoL~V . (3. 6)
Levando-se em conta a relação anterior pode-se escrever:
DoLcteV = , (3. 7)
escrevendo em termos das escalas tem-se:
D
r
oDr l
LlcteV ��
�
����
�= , (3. 8)
considerando que a relação (3. 6) é válida para o tamanho lr pode-se extrair o valor da
constante a partir de (3. 7) da seguinte forma:
Drr lVcte −= . (3. 9)
Substitundo (3. 9) em (3. 8) tem-se:
D
o
rr L
lVV
−
���
����
�= . (3. 10)
Em termos do fator de escala a expressão (3. 10) fica:
DrrVV −= ε (3. 11)
De forma análoga à equação (3. 10), para o caso do volume, é possível obter relações
de escalonamentos para estruturas rugosas formadas por superficies e linhas, como as
superfícies de fratura e trincas respectivamente, estas por sua vez são dadas por:
D
o
rr L
lAA
−
���
����
�= , (3. 12)
para estruturas superficiais, e
10
D
o
rr L
lLL
−
���
����
�= , (3. 13)
para estruturas lineares.
Todas estas relações podem ser incluidas numa forma geral dada por:
D
o
rrr L
lM)l(M
−
���
����
�= , (3. 14)
onde dr
Drr llcteM == onde d é dimensão euclidiana da unidade de medida. Logo a relação
(3. 14) fica:
drrrd l)l(N)l(M = , (3. 15)
onde o número de elementos de estrutura é dado por:
D
o
rr L
l)l(N
−
���
����
�= . (3. 16)
Substituindo (3. 16) em (3. 15) obtem-se:
dr
D
o
rrd l
Ll
)l(M−
���
����
�= , (3. 17)
chamando de domaxd LM = a medida euclidiana da estrutura completa do fractal tem-se que:
Dd
o
rmaxdrd L
lM)l(M
−
���
����
�= . (3. 18)
O tamanho da estrutura intermediária, lr, pode ser comparável ao tamanho da “régua de
medida” utilizada para se obter o valor da grandeza )l(M rd . Logo, a medida mais precisa
da grandeza dM será obtida quando for tomado o limite 0lr → ou ominr lll =→ . A
medida dodo LM = corresponde à medida máxima, Mdmax, na projeção euclidiana do fractal,
logo a partir de (3. 13) tem-se :
Dd
o
odood L
lM)l(M
−
���
����
�= . (3. 19)
Percebe-se com isto a importância de se conhecer o tamanho mínimo e o tamanho máximo da
estrutura fractal.
11
3.3..3 - Dimensão Fractal (não-inteira)
Sabe-se que, do ponto de vista geométrico, um fractal deve está imerso dentro de
uma dimensão euclidiana inteira. A dimensão não-inteira de um fractal, aparece por que, a
regra de preenchimento da figura a partir da semente, obedece algumas falhas regulares, de
forma que a estrutura complementar da semente formada pelos vazios da figura, também é um
fractal. Desta forma, pode-se escrever:
V = VP + VV (3. 20)
ou
ld = lDA + lDB (3. 21)
onde
d: é a dimensão euclidiana na qual o fractal está imerso
DA: é a dimensão do fractal em consideração
DB: é a dimensão do fractal complementar formados pelos vazios da semente do fractal em
consideração
Porém, no processo de escalonamento em um número k de níveis tem-se que:
(ld)K = (lDA + lDB)K (3. 22)
Para o caso de k inteiro, tem-se a fórmula para o binômio de Newton.
Um objeto possui dimensão fractal D > d (onde E = d + 1 é a dimensão do espaço
euclidiano a qual está imerso) quando:
F(λLo) = λDF(Lo) (3. 23)
onde F(Lo) é uma das funções descritas anteriormente, dependendo da dimensionalidade do
espaço a qual o objeto está imerso. Para os fractais o grau de homogeneidade n corresponde a
dimensão fractal, D (não-inteira), do objeto, onde λ é uma escala arbitrária.
Baseado nesta definição da dimensão fractal não podemos calcula-la fazendo:
)()(
o
oD
LFLF λλ = (3. 24)
tomando o logaritmo temos:
12
)ln()()(
ln
λ
�
�
�
= o
o
LFLF
D (3. 25)
onde:
λ: é o fator de transformação da escala da dimensão linear do fractal
Para um fractal a fração de pontos do espaço preenchido é invariante também por
transformação de escala, ou seja:
)(1
)()(
)(oo
oo LNLF
LFLP == λ
(3. 26)
Portanto
λ-D = P(Lo) ou λD = N(Lo) (3. 27)
3.3..4 - Limites hierárquicos de escalonamento
MANDELBROT [1984] apontou em seu trabalho que as superfícies de fraturas
e os objetos encontrados na natureza, de uma forma geral, caem numa hierarquia regular, onde
os vários tamanhos das irregularidades descritas pela geometria fractal, estão limitados por
tamanhos superiores e inferiores, no qual cada nível é uma versão dos níveis contido abaixo e
acima destes tamanhos. Algumas estruturas que aparecem na natureza, ao contrário dos
fractais matemáticos apresentam a propriedade de auto-similaridade apenas dentro de uma
faixa limitada de transformação de escalas (εmin ≤ ε ≤ εmáx). Como se tratam de estruturas de
crescimento devido a situações de instabilidades locais ou globais, tal limite de escalonamento
está relacionado com a energia total gasta para formar a estrutura.
Na escala de corte mínima, εmin, é possível encontrar uma parte do objeto
semelhante ao todo, que nas regras de iteração é usado como semente de construção do
padrão, que se repete nas sucessivas escalas. E na escala de corte máxima é possível visualizar
o objeto fractal como um todo.
Na natureza, características peculiares do padrão da semente dependem do sistema
em particular, como por exemplo um pinheiro um couve-flor, uma montanha, nuvens, etc, os
limites mínimos e máximo de escalas estão relacionados com as escalas de energia gasta na
formação da estrutura, pois esta é proporcional a massa do fractal. O número de niveis de
13
escalonamento, k, entre εmin e εmax, depende da taxa com que a energia de formação do fractal
formado foi dissipada, ou também do grau de instabilidade que deu origem ao padrão.
3.3.5 - Invariância por transformação de escala ou auto-similaridade
É possível construir objetos, com regras iterativas em escalas de ampliação ou
redução, de tal forma, que as características, (falhas e preenchimentos), se repitam (sejam
periódicas) em escalas sucessivas (Figura - 3. 3). Neste caso, dizemos que o objeto é auto-
similar. Para garantir a auto-similaridade, ou seja, o fato de que uma parte do objeto se pareça
com o todo, é preciso construir um padrão que se repete pelo menos em duas escalas
sucessivas. Se as falhas se estenderem invariantemente por sucessivas transformações de
escala de ampliação ou redução, dizemos que este objeto é um fractal (Figura - 3. 3). Pois a
invariância por transformação de escala implicará que as partes do objeto serão semelhantes
ao todo em escalas sucessivas de ampliação, ou redução, desde pelo menos uma escala de
corte mínima, εmin, até uma escala de corte máxima, εmáx, (Figura - 3. 3).
Figura - 3. 3. Fractal com um padrão periódico em escala de redução ou ampliação, desde uma
escal de corte εmin até uma escala de corte máxima εmáx.
Se nós quisermos dimensionar um objeto fractal de forma estática análoga a
aquela descrita na secção - # nós veremos que a dimensão deste fractal corresponde a
dimensão do espaço euclidiano no qual ele está imerso. Porém como os fractais tem uma lei
de crescimento própria onde cada parte é substituída pelo todo em escala reduzida, esta
14
dinâmica de crescimento estabelece uma auto-similaridade, que não acontece com os objetos
euclidianos comuns.
A auto-similaridade pode ser expressa matematicamente se considerarmos uma
transformação de escala, onde a dimensão macroscópica do fractal, Lo, está relacionada com a
dimensão de suas partículas numa escala, λ, da seguinte forma:
λ= Lo/lo (3. 28)
onde:
l: é a dimensão das partículas do fractal na escala, λ.
Se cada partícula nesta escala for substituída pelo todo que contém inicialmente,
N, partículas no fim deste primeiro estágio, k, nós teremos, N2, partículas. Logo para um
estágio, k, de transformações auto-similares nós teremos que o fractal como um todo terá:
N (λkL) = Nk+1(L) (3. 29)
De forma análoga a escala final, λk, está relacionada com a escala inicial λ da
seguinte forma:
λk = λk (3. 30)
Portanto não tem sentido de falar em dimensão fractal sem está associada a ela
uma dinâmica de crescimento. Pois a auto-similaridade é uma propriedade que provém
basicamente desta dinâmica de crescimento. E cada tipo de fractal possui sua dinâmica própria
de crescimento que resulta na invariância por transformação de escala.
A relação entre auto-similaridade e dimensão fractal
O dimensionamento de um objeto ou figura regular, é feito tomando-se as direções
principais nas quais o objeto ou figura se estende. A ampliação ou redução em uma
determinada escala, pode ser feita multiplicando-se os seus tamanhos principais (ou
dimensões) por um fator de escala, ε. Ao se fazer isso, imagina-se que todas as partes do
objeto são preenchidas igualmente de forma que o novo objeto, na nova escala, guarda as
mesmas características do anterior, caracterizando uma transformação de escala homogênea
inteira. Como por exemplo, um circulo de raio, r, possui as mesmas características
15
geométricas que um circulo de raio igual a 5r, isto pode ser chamado de similaridade (Figura -
3. 4).
Figura - 3. 4. Transformação de escala ou homotetia de um círculo homogêneo.
As transformações de escala de um objeto euclidiano gera um objeto similar,
porém de tamanhos diferentes, mas que guardam a mesma proporção em relação ao objeto
não transformado. Isto não implica em dizer que, partes do objeto sejam semelhantes, mas que
as características de dois objetos em escalas diferentes são as mesmas (Figura - 3. 3).
Porém, se ao ampliarmos ou reduzirmos um objeto o preenchimento do seu
espaço acontecer de forma irregular, isto é com falhas neste preenchimento, durante a
operação de ampliação ou redução, neste caso, dizemos que o seu escalonamento apesar de ser
homogêneo é não inteiro. Este preenchimento pode seguir uma regra iterativa determinada,
cuja falha ou perda no preenchimento acontece regularmente em todas as escalas (Figura - 3.
3), neste caso, dizemos que a figura é matematicamente construída por uma lei de
preenchimento ou de falha matematicamente exata, mas não inteira. Por outro lado, a regra de
preenchimento pode ser também estatística, neste caso, dizemos que a regra de preenchimento
é natural, como acontece normalmente na natureza, no caso de padrões de crescimento que se
repetem em diversas escalas, com uma ligeira flutuação estatística (Figura - 3. 2a).
A homotetia, é um conceito que significa dizer que os aspectos geométricos de um
objeto existentes em uma escala, são similares aos aspectos geométricos deste mesmo objeto
em uma escala diferente. Enquanto que, a auto-similaridade é um conceito geométrico, que
significa dizer que, os aspectos geométricos de um objeto existentes em uma escala são
similares aos aspectos geométricos de partes deste mesmo objeto em uma escala diferente, ou
seja, as partes do objeto são semelhantes ao todo. (Figura - 3. 3)
Para descrever a auto-similaridade, deve-se considerar o exemplo da Figura - 3. 5.
onde a cada nível, k, de escalonamento tem-se, nk, discos, formado um número total, NT, de
16
discos. Contando-se o número de elementos de estrutura (discos), nk, a cada nível, k, de
escalonamento, o número total de discos em toda estrutura, contendo, M, níveis de auto-
similaridade, pode ser escrito como:
∏=
=M
kkT nN
0
(3. 31)
Figura - 3. 5. Fractal autosimilar formado de nk discos a cada nivel de escalonamento k
Para descrever a variação do número de elementos total com a escala de
observação, vamos diferenciar a expressão (3. 31) e obteremos:
)(0
∏=
=M
kkT nddN (3. 32)
logo
})/{(00
k
M
kj
M
jjT nndndN ∏
=== (3. 33)
dividindo (3. 31) por (3. 33) tem-se:
j
M
kjTT ndnNdN //
0∏
== (3. 34)
rescrevendo-se para todos os nk iguais a n (nk = n), ou seja o número, n, se conserva a cada
nível, k, tem-se:
NT = nM (3. 35)
logo
17
dNT/NT =M(dn/n) (3. 36)
ou
(dNT/dn) = M (NT /n) (3. 37)
portanto
MNT = (dNT/dn)n (3. 38)
de acordo com o teorema de Euler, o número, M, pode ser entendido como sendo o grau de
homogeneidade da função NT = NT(n). Observe que M é inteiro pois não existem níveis
intermediários. Por outro lado, o número n de estruturas auto-similares pode ser uma função
homogênea de grau, D, não inteiro das dimensões da figura.
Dn = (dn/dr)r (3. 39)
Figura - 3. 6. Retângulos dentro de retângulos similares, que não apresenta fractalidade.
Isto significa que as figuras auto-similares não preenchem todo o espaço delimitado pela
figura de nível, k, superior. Desta forma, nós vemos que estas duas características são
absolutamente necessárias para se definir uma figura fractal. Do contrário, poderá se ter uma
figura auto-similar porém não fractal como é o caso do exemplo mostrado na Figura - 3. 6.
18
3.3.6 - Construção de um fractal ou regra de preenchimento do espaço por um
fractal
Uma maneira artificial de se construir um fractal, está em estabelecer uma regra de
formação, na qual, um elemento estrutural básico chamado de “semente”, é utilizado
repetidamente para construção de uma figura ou um objeto geométrico, de forma que, a cada
nivel de ampliação o mesmo padrão se repete, e a razão, η, entre o número de elementos, N,
ou o número de sementes presentes na estrutura, e o fator de ampliação (λ > 1) ou redução (ε
< 1), possua um valor diferente de qualquer potência inteira de λ ou ε, ou seja:
η = N/λ ≠ λm (3. 40)
ou
η = Nε ≠ εm (3. 41)
onde m ∈ Z
Baseado nesta regra geral de formação, é possível construir desde contornos até
volumes que possuam uma dimensão fractal, D ∉ Z.
Por outro lado a regra (3. 40) e (3. 41) pode ser escrita como:
N/λ = λD-1 (3. 42)
Nε = ε-D+1 (3. 43)
Então:
N = λD = ε-D (3. 44)
onde:
λ ≥ 1: é o fator de transformação (ampliação) de escala entre duas escala consecutivas.
ε ≤ 1: é o fator de transformação (redução) de escala entre duas escalas consecutivas.
D: é o grau de homogeneidade da função N(λ), que corresponde a dimensão fractal do objeto
dada por:
De uma forma geral, o número de elementos estruturas dentro de uma determinada
escala é dado por (3. 44), e a partir desta expressão nós temos que:
19
D = lnN/lnλ (3. 45)
O fator de escala, ε = 1/λ, pode ser obtido a partir da figura formada, como sendo
a razão entres os tamanhos do elemento fundamental da estrutura, r e R, entre duas escalas
consecutivas de ampliação ou redução, da seguinte forma:
ε = r/R (3. 46)
Rescrevendo-se a expressão (3. 44) a partir de (3. 46) para um determinado nível k
= 0,1,2, ...,n de escalonamento tem-se:
N(εk) = (rk/Rk)-D (3. 47)
onde: Rk-1 = rk e rk+1 = Rk.
No caso de se querer quantificar, o número total, NT, de elementos de estruturas de
todo o fratal, desde uma escala mínima, εmin, até uma escala máxima, εmáx, tem-se que este
número, NT, é dado por:
NT = (rmin/Rmáx) -D (3. 48)
A relação entre o número, N, entre duas escalas consecutivas e o número total de
de elementos de estruturas de um fractal, NT, é dado por:
NT = Nn (3. 49)
onde n é número de níveis de escalonamento contidos desde uma escala mínima, εmin, até uma
escala máxima, εmáx.
Não se pode confundir esta forma seqüencial de construção, com a forma na qual
os fractais realmente aparecem na natureza. Em meios físicos, os fractais aparecem
normalmente por situações de instabilidade locais (Figura - 1.15) ou globais, dando origem a
estruturas que podem ser chamada de fractais pelo menos dentro de uma estreita faixa de
escalonamento (εmin ≤ ε ≤ εmáx), como é o caso de árvores tais como o pinheiro, estruturas
dendríticas em solidificação de materiais e trincas. Para estas estruturas, é fácil ver, que o
escalonamento se dá desde o menor galho do pinheiro, que se repete seguindo a mesma
aparência, até o tamanho final do mesmo e vice-versa. No caso de uma trinca, se for ampliado
um trecho desta trinca por uma escala ε, ver-se-á que este se parece com a trinca inteira e
assim sucessivamente, até que chegar-se ao limite máximo de ampliação numa escala mínima,
20
εmin, na qual, não se pode mais ampliar o trecho, sem perder a propriedade de auto-
similaridade. Para estruturas fractais não exatas matematicamente, ou também chamadas de
fractais físicos, as regras de escalonamento são aproximadas e o fractal formado possui o que
chama-se de um escalonamento estatisticamente auto-similar. Neste caso, a dimensão fractal
sofre pequenas flutuações de região para região, sendo portanto caracterizado por uma
dimensão fractal média.
3.3.7 - Auto-similaridade fractal e Fractais Auto-similares:
Objetos fractais auto-similares são estruturas que podem ser reescalonadas
isotropicamente sob uma transformação que envolve mudança no comprimento de escala. Isto
é, as mudanças de escala em qualquer direção são as mesmas ou estão afetadas por um mesmo
fator. Para estas estruturas, a dimensão fractal, D, como definida na seção anterior é única.
3.3.8 - Auto Afinidade fractal e Fractais Auto Afins:
No entanto, na maioria das vezes, a prorpiedade descrita na secção 3.3.7 - Auto-
similaridade fractal e Fractais Auto-similares: não acontece, pois nem sempre as mudanças de
escala são as mesmas. Pode acontecer que o escalonamento em uma direção esteja afetada por
algum parâmetro diferente do escalonamento em uma outra direção, ou seja, a existência de
uma certa anisotropia na estrutura do objeto fractal. Estes tipos de estruturas fractais geram os
chamados fractais auto-afins, apresentam uma certa afinidade (preferência) de crescimento ou
escalonamento adequado.
Fractais auto-afins, são aqueles que aparecem imersos numa dimensão euclidiana
superior E = d + 1 com propriedades anisotrópicas nesta dimensão, e possuem projeção no
espaço euclidiano inferior d, de tal forma que, para cada direção, é possível encontrar
diferentes propriedades de escalonamento e dimensão fractal. Por outro lado, é possível que a
anisotropia esteja apenas na dimensão excedente e a dimensão d da sua projeção seja
isotrópica. No caso de trincas e superfícies de fratura é fácil ver que no limite de grandes
escalas (ε → ∞) as estruturas lineares (d = 1) tendem a retas e as superficiais tendem a planos
(d = 2), respectivamente. Neste caso, diz-se que estruturas fractais deste tipo são chamadas de
fractais auto-afins. Neste caso, a descrição deste tipo de fractal é dada por:
21
N = ε2-H (3. 50)
onde:
N: é o número de estruturas auto-similares dentro de uma determinada escala ε.
Grande parte dos objetos fractais na natureza pertencem a estruturas fractais auto-
afins. Por exemplo, os fenômenos de corrosão, o deslocamento dos fluidos, através de um
meio poroso, os fenômenos hidrodinâmicos, as superfícies rugosas, eletrodeposição e outros
são processos fractais estatisticamente auto-afins [98].
A diferença entre os objetos fractais auto-similares, e os objetos fractais auto-afins
é caracterizada por duas dimensões fractais. Uma dimensão fractal, Dl, chamada de local e
outra dimensão fractal, Dg, chamada de global [92,99,39,100,101]. Um fenômeno interessante
que envolve este contexto é o movimento Browniano. Por exemplo, o processo B(t) que
descreve a distância, x, deslocada por uma partícula browniana no tempo, t, pode ser
estatisticamente reescalonada sobre si mesma pela transformação:
B(t) → b-HB(bt), (3. 51)
onde H é um expoente, 0 < H < 1, chamado de expoente de Hurst [39,99,102]. Nesta relação,
observamos que o escalonamento nas coordenadas tempo, t, e distância, x, são diferentes.
Assim, para uma função que escala da forma [92]:
F(x) ≈ b-HF(bx) (3. 52)
esta função á auto-afim, onde H > 0 é um expoente. Esta expressão de fato, será invariante
sob o seguinte escalonamento: encolhendo ao longo do eixo-x por um fator l/b, seguido por
reescalonamento do valor da função (perpendicular ao eixo-x) por um fator b-H. Para alguma
função determinística auto-afim a equação (3. 52) será dada exatamente, enquanto que para
funções estatisticamente auto-afim a equação (3. 52) será dada em forma aproximada. A
estrutura da Figura - 3. 7 é um exemplo de um fractal auto-afim (determinístico), onde ele é
reescalonado na direção do eixo-y com fator 2n e, na direção do eixo-x, é escalonado por um
fator 4n.
Para o caso de sua dimensão fractal local Dl da mesma estrutura (r << 1), usando
os argumentos do item anterior, temos:
r = (1/4)n, N(r) = 4n.2n-1. (3. 53)
22
Substituindo-a em (3.7),
Dl = [limn→ ∞ log(4n.2n-1)/log(4n)] = 1.5. (3. 54)
Para o cálculo da dimensão fractal global Dg, usamos os mesmos argumentos, só
que desta vez r >> 1, então
r=4n, N(r) = 4n-1 (3. 55)
logo
Dg = [limn→ ∞ log(4n-1)/log(4n)] = 1. (3. 56)
Em geral, para qualquer estrutura fractal auto-afim, a dimensão fractal local é
relacionada com o parâmetro H como segue,
Dl = d+1 - H, (3. 57)
e para a dimensão fractal global Dg = d, sendo E = d +1 a dimensão euclidiana onde o fractal
está imerso. Na passagem do limite da dimensão fractal local, Dl, para a global, Dg, existe
uma zona de transição chamada de “crossover”, mas os resultados obtidos nesta região são um
tanto ambíguos e de difícil interpretação [99]. Contudo, na região de dimensão fractal global,
a estrutura é considerada não fractal [92].
23
Figura - 3. 7. Esquema mostrando uma estrutura fractal auto-afim. Dois estágios do processo de crescimento, k =1 e k = 2 são apresentados: a) para r << 1 e b) r >> 1[99].
3.3..9 - Auto-similaridade e a auto-afinidade exata e estatística
A auto-similaridade exata, é aquela em que o padrão de crescimento se repete com
exatidão, a partir de uma semente que deu origem a estrutura. Por outro lado, os fractais
físicos aparecem na natureza como resultado de processos irreversíveis, originados de
situações de instabilidade, por exemplo, as quais podem gerar superfícies irregulares ou
estruturas ramificadas. Nestes processos, não existe um padrão exato, e sim, apenas padrão
geral de crescimento, que nos da uma idéia de de auto-similaridade aproximada. Isto porque,
em escalas menores, tais padrões sofrem flutuações em torno de uma configuração média,
conforme mostra a Figura - 3. 8. Nesta figura, tem-se a impressão de simetria, o que
rigorosamente não é verdade e as ramificações apresentam uma auto-similaridade estatística.
Desta forma, para se caracterizar uma estrutura como essa, usa-se a dimensão fractal para
representar o processo de média estatística, ao longo de toda a figura, porque localmente esta
dimensão sofre flutuações de ponto a ponto, e o seu coeficiente de auto-correlação não é
exato.
24
Figura - 3. 8. Fractal estatisticamente auto-similar, produzido por uma descarga elétrica num plexiglas, conhecido como figura de Lichtenberg.
3.4 – Exemplos de fractais projetados e fractais auto-afins
Pode-se fazer um paralelo, entre a geometria euclidiana e a geometria fractal. Pois,
assim como na geometria euclidiana, tem-se os elementos de construção geométrica, na
geometria fractal pode- se encontrar objetos análogos a estes elementos. O diversos tipos de
fractais que existem são:
a) Fractais entre 0 ≤≤≤≤ D ≤≤≤≤ 1 (análogos a pontos)
Um exemplo de um fractal imerso numa dimensão euclidiana E = d + 1 = 1, com
projeção em d = 0, análogo a geometria puntiforme, pode ser exemplificado pela Figura - 3. 9.
Figura - 3. 9. Fractal imerso no espaço unidimensional onde D ≅ 0,631
Este fractal possui dimensão D ≅ 0,631. Este é um fractal do tipo “manchas sobre
o assoalho”. Outros fractais deste tipo podem ser observados, quando se pulveriza um material
sobre uma superfície. Neste caso a dimensão global das manchas, pode ser algum valor entre
0 ≤ D ≤ 1.
25
b) Fractais entre 1 ≤≤≤≤ D ≤≤≤≤ 2 (análogos a retas)
Para um fractal imerso numa dimensão euclidiana E = d + 1 = 2, com projeção
em d = 1, análogo a geometria linear é um fractal do tipo “curva de Koch” (Figura - 3. 10),
trincas, também podem ser descritas a partir desta figura conforme mostra [TANAKA 1996].
Gráficos de ruídos, também são exemplos de estruturas fractais lineares cuja dimensão esta
entre 1 ≤ D ≤ 2.
Figura - 3. 10. Fractal imerso numa dimensão d = 2. Curva triádica de Koch onde D ≅ 1.262.
c) Fractais entre 2 ≤≤≤≤ D ≤≤≤≤ 3
Para um fractal imerso numa dimensão euclidiana E = d + 1 = 3, com projeção
em d = 2, análogo a geometria superficial é um fractal do tipo “montanhas” ou “superfícies
rugosas” (Figura - 3. 11). As superfícies de fraturas podem ser incluídas nesta classe de
fractais.
26
Figura - 3. 11. Superfície irregular ou rugosa aque apresenta escalonamento fractal com dimensão D entre: 2 ≤ D ≤ 3.
Figura - 3. 12. Comparação entre a geometria euclidiana e a geometria fractal. D, d e Df representam as dimensões topológica, euclidiana e fractal, respectivamente.
d) Fractais entre 3 ≤≤≤≤ D ≤≤≤≤ 4
Não é possível visualizar um fractal auto-afim imerso numa dimensão euclidiana
E = d + 1 = 4, com projeção no espaço tridimensional, isto é, em d = 3, análogo a geometria
volumétrica. O mais natural, para o caso tridimensional, é imaginar um fractal do tipo “queijo
27
suíço”. Porém, não é possivel pensá-lo como sendo um fractal auto-afim com dimensão 3 ≤ D
≤ 4. Pois neste caso, a sequência da classificação de autoafinidade feita até aqui perde o
sentido, visto que esta só se manisfestaria se o fractal fosse visto a partir do espaço
quadridimensional.
Os fractais auto-afins com 3 ≤ D ≤ 4, podem possuir isotropia no espaço de sua
projeção e flutuações na dimensão excedente, como é possível observar em trincas para d = 1,
superfícies de fratura para d = 2, e estruturas ramificadas para d = 3. Por outro lado, é
possível estender o conceito de auto-afinidade para um fractal imerso numa quarta dimensão,
se esta for o tempo, onde as flutuações acontecem, como no caso de fractais laplacianos que
são isotrópicos em até três dimensões e não necessariamente o são na quarta, que seria a
dimensão temporal. Fractais deste tipo, aparecem em “fingers viscosos” em rupturas
dielétricas e em descargas de uma forma geral (Figura - 3. 13).
Figura - 3. 13. Exemplos de fractais laplacianos encontrados na natureza, tais estruturas geométricas complexas foram observadas em vários experimentos de crescimento com interfaces instáveis. a), b), c) são três situações de fenômeno de cristalização; d) ,e), f) são exemplos de fingering viscosos sob três condições diferentes; g), h), i) são três estruturas formadas na eletrodeposição de zinco. A dimensão fractal D encontrada para as estruturas mostradas nas figuras b) e) e h) é próximo de ≈ 1.7.
e) Fractais Gordos
28
São fractais cujas propriedades de fractalidade, aparecem na fronteira de sua
estrutura, como é o caso do fractal de Éden (Figura - 3. 14). Possuindo no seu interior uma
dimensão inteira.
Figura - 3. 14. Modelo de Éden sem redução de ruído.
3.5 - Tipos de escalonamento
Os fractais podem aparecer na natureza, sob a forma de contornos ou perímetros,
superfícies, e/ou volumes. A construção do ponto de vista matemático, se dá por iteração a
partir de uma “semente”, seguindo-se uma regra básica de preenchimento do espaço, que pode
ser de crescimento (Figura - 3. 15b) ou fragmentação (Figura - 3. 15a).
O número de estruturas, N, e o fator de escalonamento, ε, pode ser escrito de duas
formas distintas, conforme mostra a equação (3. 29). O que dá lugar a duas formas de se
interpretar a relação de auto-similaridade, (3. 47), uma sob a forma de crescimento e outra sob
a forma de fragmentação. O processo de crescimento fractal, pode ser melhor aproveitado na
descrição da propagação de uma trinca enquanto que o processo de fragmentação fractal,
pode ser melhor aproveitado na descrição de processos de cominuição de um material. É
certo, que se uma estrutura de dimensão, D, imersa em um espaço de dimensão euclideana d é
fractal, a estrutura complementar formada pelos vazios do fractal com dimensão, α = d-D,
também é fractal. Portanto, se um é interpretado como sendo um fractal de crescimento, o
fractal complementar, será interpretado como sendo formado a partir de um processo de
fragmentação. Pois a extensão física de um, corresponde na redução do outro.
29
Figura - 3. 15. Construção matemática de um fractal, seguindo uma regra básica de preencimento do espaço a) Fragmentação Rmáx = cte b) Crescimento r min = cte.
3.5.1 - Escalonamento baseado no processo de fragmentação (Lo = cte e Lk →
∞, logo ε → 0)
O escalonamento descrito acima pode ser interpretado como um processo de
fragmentação, quando se considera a redução da escala desde o nível máximo k = n (onde ε =
εmax), até o nível mínimo de escalonamento, k =1 (onde ε = εmin) Figura - 3. 15a.
Considerando-se o número de elementos de estruturas Nk >1, num determinado
nível, k, de escalonamento como sendo:
Nk = Lk/lrk (3. 58)
e o fator de escalonamento como sendo:
εk = (lrk/Lo)1/d (3. 59)
onde:
d = 1, 2, 3, 4, .... é a dimensão euclideana da semente.
O comprimento real da fronteira fractal é dado por:
Lk = lrkεk-D (3. 60)
30
onde Lok é um tamanho unitário no nível de escalonamento, k.
Por outro lado, para saber-se a medida comprimento da projeção Lok de Lk em
unidades de lrk pode ser escrito a partir de (3. 59) como:
Lo = lrkεk-d (3. 61)
a partir de (3. 60) tem- se que:
lrk = LkεkD (3. 62)
Portanto substituindo-se (3. 62) em (3. 61)
Lo = LkεkD-d (3. 63)
ou
Lk = Loεkd-D (3. 64)
Esta é a relação de auto-similaridade entre os tamanhos real e projetado para o
fenômeno de fragmentação fractal. Ela será útil na descrição do processo de fragmentação de
um material.
3.5.2 - Escalonamento baseado no processo de crescimento (lok = cte e Lk →
∞, logo ε → 0)
O escalonamento descrito acima, pode ser interpretado como um processo de
crescimento quando se considera a ampliação da escala desde o nível mínimo k = 1 (onde ε =
εmin), até o nível máximo de escalonamento, k = n (onde ε = εmax), conforme mostra a Figura -
3. 15b.
Considerando-se o número de elementos de estruturas, Nk >1, num determinado
nível k de escalonamento como sendo:
Nk = Lk/lo (3. 65)
e o fator de escalonamento como sendo:
εk = (lo/Lrk)1/d (3. 66)
onde:
d = 1, 2, 3, 4, .... é a dimensão euclideana da semente.
31
O comprimento real da fronteira fractal é dado por:
Lk = loεk-D (3. 67)
onde lo é um tamanho unitário no nível de escalonamento k.
Por outro lado, para saber-se a medida do comprimento da projeção Lrk de Lk em
unidades de lo pode ser escrita a partir de (3. 66) como:
Lrk = loεk-d (3. 68)
a partir de (3. 67) tem- se que:
lo = LkεkD (3. 69)
Portanto substituindo (3. 69) em (3. 68)
Lrk = LkεkD-d (3. 70)
ou
Lk = Lrkεkd-D (3. 71)
Esta é a relação de auto-similaridade entre os tamanhos real e projetado para o
fenômeno de crescimento fractal. Ela será util na descrição do crescimento de uma trinca em
um material.
3.6 – Operações com fractais
Os fractais podem ser reproduzidos por operações matemática conforme sera visto
nesta secção.
3.6.1- Iteração de retro-alimentação usando um iniciador e uma semente na
criação de Pré-fractais
Fractais matemáticos são objetos auto-similares que podem ser reproduzidos
indefinidamente sobre um arranjo denominado “iniciador” e cujo padrão geométrico
elementar também chamado de “semente” possui a propriedade de auto-similaridade exata
com partes da sua estrutura ou com a sua estrutura global em infinitas escalas de ampliação ou
redução.
32
3.6.2 - Renormalização
A renormalização é um processo matemático para se eliminar singularidades nas
teoria de campo da física, sendo aplicada ao processo de escalonamento fractal para se obter
uma transformação de escala em fractais matemáticos ou estatísticos.
Figura - 3. 16. a) Processo de renormalização b) critério de renormalização.
3.7 – Seqüências e Séries fractais
33
3.8 - Classes e tipos de fractais
Um dos mais fascinantes aspectos dos fractais é a variedade extremamente rica de
possíveis realizações de tais objetos geométricos. Este fato dá lugar a questão da classificação,
e no livro de MANDELBROT [1982] e nas publicações seguintes muitos tipos de estruturas
fractais tem sido descritos. Abaixo nós discutiremos algumas importantes classes com alguma
ênfase sobre sua relevância para o fenômeno de crescimento.
Portanto, os fractais são classificados, ou se dividem em: fractais matemáticos,
aqueles cuja relação de escalonamento é exata e, em fractais físicos aqueles cuja relação de
escalonamento é aproximada ou estatística, da seguinte forma:.
Os fractais matemáticos (ou exatos) e físicos (ou estatísticos) pode se subdividir
em fractais uniformes e não uniformes.
Fractais uniformes são aqueles que apresentam uma única dimensão fractal em
toda a sua extensão. Fractais não-uniformes são aqueles que possuem diferentes dimensões
fractais ao longo de sua extensão.
3.9 - Fractais Matemáticos
Fractais matemáticos são aqueles gerados por regras de iteração puramente
geométricas, sem levar em conta nenhuma fenomenologia em si, conforme mostra a Figura -
3. 2a. Alguns fractais, aparecem de forma especial no espaço de fases de sistemas dinâmicos
que estão próximo a situações de movimento caótico segundo a Teoria Não Linear de
Sistemas Dinâmicos ou Teoria do Caos. Este tipo de abordagem não será feita aqui, por se
tratar de um outro assunto que está fora dos objetivos deste capítulo. Desta forma, a teoria
fractal pode ser estudada sob três aspectos fundamentais da sua origem:
1 ) A partir dos padrões com características geométrica auto-similares encontrados em
diferentes objetos na natureza.
34
2) A partir da teoria dinâmica não linear no espaço de fases de sistemas complexos.
3) A partir da interpretação geométrica da teoria dos expoentes críticos da mecânica
estatística.
Existem vários tipos de fractais: uns que crescem uniformemente com um fator de
escala único e constante, λ, estes são chamados de fractais uniformes, e outros que crescem
de forma não-uniforme com fatores de escala λi's que podem variar de região para região do
fractal, estes são chamados de fractais não-uniformes. Estes dois últimos são exemplos de
fractais matemáticos bem comportados. É certo que os fractais físicos ou reais podem ser
determinísticos ou aleatórios. Onde não só a escala mas todos os parâmetros do fractal podem
variar aleatoriamente
3.9.1. Fractais Matemáticos Uniformes
No caso de fractais uniformes a dimensão fractal pode ser calculada modificando-
se a expressões (3. 23) com (3. 20) da seguinte forma:
V(λLo) = λDV(Lo) (3. 72)
λλln/
)()(
ln ��
�
�=
o
o
LVLV
D (3. 73)
Uma forma alternativa de calcular a dimensão fractal D pode ser obtida usando-se
a expressão (#) modificada para o volume fractal, onde:
V(Lo) = N(Lo) loD (3. 74)
para uma transformação de escala λk aplicada a expressão (3. 72) nós temos que:
V(λkLo) = N(λkLo) loD (3. 75)
pois, assim como o volume o número N(Lo) é também uma função homogênea de grau D, e o
volume lD é unitário. Usando-se o resultado (3. 29) nós temos que :
V(λkLo) = Nk+1(Lo) loD (3. 76)
usando-se a expressão (3. 72) do lado esquerdo de (3. 76) nós temos que:
35
λkDV(Lo) = Nk+1(Lo)loD (3. 77)
usando-se o resultado (3. 30) em (3. 77) temos:
(λk)DV(Lo) = Nk+1(Lo)loD (3. 78)
substituindo-se (3. 74) em (3. 78) temos:
(λk)DN(Lo) loD = Nk+1(Lo)loD (3. 79)
logo
(λk)DN(Lo) = Nk+1(Lo) (3. 80)
Portanto:
(λk)D = Nk(Lo) (3. 81)
extraindo a raiz k'ésima temos:
λD = N(Lo) (3. 82)
Observe que a probabilidade de se encontrar uma partícula entre as N partículas
que compõem o fractal é dada a partir do inverso de (3. 82) como:
D
oo LNLP ��
���
�==λ1
)(/1)( (3. 83)
A dimensão fractal pode ser calculada de forma alternativa independente da
transformação de escala λk como:
D = lnN(Lo)/ ln λ (3. 84)
Triâgulos de Serpienski
O triângulo de Sierpinski é dado analiticamente pela relação
Área = 3k-2bkhk/2 (3. 85)
onde bk = b/2k e hk = h/2k, renormalizando a série podemos escrever:
Área = (3k/22k) bh/2 (3. 86)
36
Como para um triângulo equilátero temos h = b√5/√4, podemos escrever:
Área = 3k-2√5/4b2k (3. 87)
ou
Área = (3k/22k) √5/4b2 (3. 88)
cuja dimensão fractal é dada por: D = ln3/ln2 = 1,58...
Figura - 3. 17. Triângulos de Serpienski, exemplo de um fractal matemático uniforme
3.9.2 - Fractais Matemáticos Não-Uniformes:
No caso de fractais não uniformes o número total de partículas numa escala, λr de
uma região, r, do fractal é dado de forma análoga a (3. 82):
λrD = Nr (3. 89)
Esta expressão pode ser usada para calcular a dimensão fractal, D, mas depende
da região, r, tomada, além do que é preciso conhecer Nr.
Como o número total de partículas, N, é dado pela soma dos números parciais das
partículas de cada região Nr, então a partir de (3. 89) temos:
( )Dn
ir
n
rro NLN
====
11
)( λ (3. 90)
Esta expressão também poder ser usada para calcular a dimensão fractal, D, porém
é preciso saber o número total das partículas N(Lo).
37
Observe que a probabilidade de se encontrar uma partícula entre as N partículas
que compõem o fractal análoga a expressão (3. 83) é dada a partir do inverso de (3. 90), ou
seja a probabilidade de se encontrar uma partícula numa destas regiões é:
( )Dn
ir
n
rrooi NLNLP
=====
11
/1/1)(/1)( λ (3. 91)
Observe que a soma de Pi(L) em todas as partículas, isto é:
1)()(
= LN
ii LP (3. 92)
Queremos encontrar uma expressão que não dependa do número de partículas de
cada região, r, e nem do número total de partículas N(Lo).
O número total de regiões do fractal não-uniforme é:
=
=n
r
rn1
(3. 93)
A probabilidade de se encontrar uma região, r, qualquer é dado por:
=
==n
rn rnP
1
/1/1 (3. 94)
observe que somando-se sobre todas as regiões nós temos que:
11
= n
nP (3. 95)
e a probabilidade de se encontrar uma partícula numa dada região, r, é dado por (3. 89) e (3.
90):
( )Dn
ir
Dr
n
rrroror NNLNNLP
=====
11
/)(/)(/)( λλ (3. 96)
somando-se sobre todos as regiões nós temos que:
=
=n
rrP
1
1 (3. 97)
De forma análoga a expressão (3. 83), a probabilidade de se encontrar uma
partícula i dentro de uma particular região, r, é dada a partir do inverso e (3. 89),
38
D
rrir NP ��
�
����
�==
λ1
/1 (3. 98)
Somando-se sobre todas regiões, r, nós temos que:
==
=���
����
�=
n
r
D
r
n
iiP
11
11λ
(3. 99)
A partir (3. 91) (3. 96) e (3. 99) é fácil ver que:
Pi(L) = Pir (1/λr). Pr(λr) (3. 100)
Portanto a probabilidade de se encontrar uma partícula entre as N partículas que
compõem o fractal ou seja a probabilidade de se encontrar uma partícula numa destas regiões
é o produto da probabilidade de se encontrar uma partícula i dentro de uma particular região r
pela probabilidade de se encontrar uma partícula numa das n regiões.
Representação de uma estrutura dendrítica a partir de um fractal não-uniforme
O crescimento dendrítico (que quer dizer em forma de árvore) apresenta uma
invariância por transformação de escala em várias ordens de grandeza, com direções
preferenciais de crescimento análoga a aquela mostrada na Figura - 3. 18b. que depende do
empacotamento dos átomos nos planos cristalinos.
Assim como em uma árvore os galhos e as folhas crescem de forma a maximizar
a sua área superficial (para aumentar a sua área de captação de energia) e de forma a
minimizar a sua distância entre os galhos (para minimizar o transporte de alimento-energia).
De forma análoga uma estrutura dendrítica cresce seus ramos de forma a aumentar a área
superficial a fim de dissipar mais calor e de forma minimizar a sua distância aos ramos
maiores de forma a tornar o transporte de calor mais rápido (otimização da condutividade
térmica)
Assim o crescimento dendrítico pode ser representado por um simples fractal
determinístico não-uniforme. conforme mostra a Figura - 3. 18 abaixo:
Para este tipo de fractal nós podemos usar a relação (3. 99) Para calcular a
dimensão fractal, D, da seguinte forma:
39
Nós vemos que nesta transformação de escala em k = 0 as dimensões (a,b) foram
transformada em k = 1 para (2b, 2a) logo os fatores de escala (λa, λb) = (2b/a, 2a/b) portanto:
(1/λa)D + (1/λb)D = (a/2b)D + (b/2a)D = 1 (3. 101)
exponenciando (3. 101) nós temos que:
eeee
D
ab
ba
D
ab
ba DD
==��
���
���
���
���
���
�+��
���
�
2222 . (3. 102)
eeee
D
abD
baD
abD
ba
ee ==��
���
���
���
���
���
���
���
�
+2ln2
ln22
. (3. 103)
eeea
bD
ba
Dee =
��
���
���
���
�2
ln2
ln
. (3. 104)
eeea
bD
ba
Dee =
��
���
���
���
�2
ln2
ln
. (3. 105)
k = 0 k = 1 k = 2
ba
Figura - 3. 18. Representação de um crescimento dendrítico a partir de um fractal não-uniforme.
40
3.10 - Fractais Físicos
Fractais físicos são aqueles que aparecem na natureza como resultado do
desencadeamento de condições de instabilidades em processos naturais (Sander, 1984), em
um fenômeno físico qualquer, conforme mostra as Figura - 3. 2 e Figura - 3. 19.
Figura - 3. 19. Fractal estatístico de Lichtenberg mostrando uma auto-similaridade estatística. fractal produzido através da desaceleração de uma carga elétrica que foi injetada dentro de um plexiglas.
3.10.1. Fractais Estatísticos
São fractais estatísticos os objetos cujas propriedades de auto-similaridade variam
estatisticamente de região para região do fractal. A sua dimensão pode ser única porém
caracterizada por um valor médio, de forma análoga a análise feita para fractais matemáticos.
A figura abaixo mostra um fractal estatisticamente auto-similar cuja aparência varia de
ramificação para ramificação dando-nos a impressão de que, cada parte é semelhante ao todo.
3.10.2 - Fractais laplacianos ou ramificados
Uma classe específica de fractais, chamados de Fractais Laplacianos, são
ramificados (Figura - 3. 13). Este intrigante fato, assim como outros encontrados nas
estruturas fractais, são de grande interesse da Física. Portanto, a sua geometria pode ser
descrita em termos da geometria fractal, tendo como implicações físicas as análises
41
decorrentes desta nova geometria. Estes fractais são aqueles em que o fluxo de energia
liberado, J, para sua formação, se conserva, obedecendo a equação de Laplace.
∇2J = 0 (3. 106)
Nos fractais conhecidos matematicamente como laplacianos, do tipo ramificado,
os ramos partem de um ponto comum, conhecido como entroncamento. Estes fractais
possuem igual probabilidade de crescimento em todas as direções. Neste caso, a estrutura
cresce a partir deste entroncamento com bifurcações sucessivas, onde cada entroncamento
pode se manter fixa no espaço, ao longo de toda a história de crescimento. Pois, se as posições
destes pontos de entroncamento mudarem com o tempo, a trajetória de crescimento do fractal
não estará intuitivamente registrado na sua estrutura, nos locais por onde o fractal passsou,
quando tinha uma determinada idade intermediária. Isto significa que, o crescimento se não se
dá a partir das extremidades presentes a cada instante, ou seja, um ramo pode crescer em
detrimento do outro. Ou ainda por outro lado, pode-se dizer que o crescimento que ocorre
internamente a fronteira radial, R ,do fractal não é desprezível.
Matematicamente isto significa que a diferença entre a equação de Laplace em
coordenadas esféricas,
∇2J = 0 (3. 107)
e a equação dinâmica de Fick para a difusão,
tN
J∂∂=∇2 (3. 108)
é apenas um termo de derivada parcial no tempo, tN ∂∂ / .
Sabendo-se por onde o fractal passou, durante o seu crescimento, é possível
escrever este termo, em termos da coordenada radial e da velocidade de crescimento usando a
regra da cadeia. Portanto, se a velocidade de crescimento, parametrizada no espaço ou no
tempo, for conhecida de alguma outra forma, o resultado é imediato, e a inferência é do
processo dinâmico, a partir do estático, é obtido com sucesso. Estes fractais possuem uma
densidade que permanece constante, ao longo do processo de crescimento e, o fluxo das
partículas possuem um aspecto radial, para um campo conservativo, análogo ao campo
elétrico em torno de cargas puntiformes. Neste caso, temos exemplo de rupturas dielétricas,
trincas, etc.
42
3.10.3 - Fractais físicos ou estatisticos uniformes e não-uniformes
3.11 - Transformada de Legendre para Fractais Não-Uniformes
Fractais físicos são objetos auto-similares que se reproduzem numa estreito
intervalo de escalas, cujo padrão geométrico é estatisticamente auto-similar com partes da
estrutura ou com a estrutura global em um número finito de escalas de ampliação ou redução.
Esta propriedade geométrica pode ser observada na natureza, em estruturas que
vão desde o contorno de ilhas até a formação de pinheiros, montanhas, etc.
3.12 - Multifractais
São figuras ou objetos fractais onde a dimensão fractal varia continuamente ao
longo do objeto. Um multifractal é formada de irregularidades superpostas em diferentes
ordens de magnitude. Contudo, a distribuição das irregularidades podem se espalhar sobre
uma região de uma tal forma que a concentração de irregularidades varia largamente. Por
exemplo, uma concentração de grandes irregularidades está somente em alguns lugares, uma
concentração de pequenas irregularidades está em muitos lugares, e uma concentração de finas
irregularidades está em quase todos os lugares. Pode também acontecer que a distribuição ou
medida, µ, da rugosidade comporta-se como um fractal e segue uma lei de potência, por
exemplo:
µ(Br(x)) ~rα (3. 109)
para r pequenos, mas com um expoente, α, diferente de um lugar a outro. A distribuição
medida, µ, com este tipo de propriedade é chamada de uma medida multifractal.
Os multifractais apresentam um movimento a partir da geometria de seqüências com
tais propriedades geométricas de medida. Em outras palavras, medidas multifractais estão
relacionadas ao estudo da distribuição de quantidades físicas ou outras quantidades sobre um
suporte geométrico. Propriedades estatísticas de uma estrutura multifractal são caracterizadas
por um espectro contínuo de dimensões fractais.
43
Considere uma seqüência fractal, S, consistindo de N pontos de amostra (qualquer
quantidade física subtendendo uma medida), e tendo Ni pontos na i’ésima célula. Nós agora
introduzimos a "massa" ou a probabilidade.
pi = Ni/N (3. 110)
na i’ésima célula para construir a medida. Note que a massa na i'ésima célula de tamanho, ε, é
dado por:
pi (ε) = εαi (3. 111)
aqui α é chamado de expoente de escalonamento (o expoente Lipschitz-Hölder na noção
clássica da matemática), o qual controla a singularidade da densidade e pode também ser
chamado de expoente de singularidade. Uma medida multi fractal é suportada por uma
seqüência, S, a qual é a união de subseqüências, Sα, com α escolhido no espectro contínuo de
valores,
S = USα (3. 112)
desde que a seqüência completa, S, é fractal, com uma dimensão fractal, D, as sub-seqüências
têm dimensões fractais, f(α) ≤ D. Para subseqüência fractais, como a dimensão fractal, f(α), o
número, N(α,ε), dos segmentos de comprimento necessário para cobrir a seqüências, Sα, na
faixa de α + dα é:
dN(α,ε) = ρ(α) ε-f(α)dα (3. 113)
Para estas seqüências a medida, pα, em uma célula de tamanho, ε, tem a dependência
da lei de potência, veja a equação (3. 111), sobre o comprimento de escala, ε, tal que nós
podemos escrever:
pα = ε α (3. 114)
ou
qD)1q(q
iip),q(M −== εε (3. 115)
e portanto a medida M para a séria S dada na equação (3. 115) pode ser escrita:
αεεαρε αα d)(),q(M q)(fd
−�= (3. 116)
44
A integral na equação (3. 116) é dominada pelos termos onde a integral tem seu
máximo, em outras palavras para:
0)](fq[dd
)q(=− =αααα
α (3. 117)
Suponha que para cada q, nós temos α = α (q) > 0 então em α (q)
))q((ddf
q αα
= (3. 118)
Então, )q(α é o valor de α em que o gráfico de f tem inclinação q. Além do mais, a integral
na equação (3. 116) pode ser expressa por:
))q((f)q(qd ~),q(M ααεε − (3. 119)
Aqui Md permanece finito no limite ε → 0 se d é igual expoente de massa τ(q) dado por:
)q(q))q((f)q( αατ −= (3. 120)
onde )q(α é a solução da equação (3. 120) . Então expoente de massa é dado em termos do
expoente de Lipischitz-Hölder )q(α para a massa, e a dimensão fractal ))q((f α da
seqüência que é suportada por este expoente. Por outro lado, se nós conhecemos os expoentes
de massas, nós podemos determinar o expoente dee Lipshitz-Hölder (Se α é diferenciável
como uma função de q).
dqd
qdqd
ddf
dqd ααα
ατ −−= (3. 121)
Pondo )q(αα = nós obtemos , usando as equações (3. 118) e (3. 121) que:
dq)q(d
)q(τα −= (3. 122)
ou
)q()q(q))q((f ταα −= (3. 123)
as equações (3. 122) e (3. 123) dão uma representação paramétrica da curva ))q((f α , isto é,
a dimensão fractal, ))q((f α , dá suporte de uma singularidade na medida com o expoente
)q(α de Lipschitz-Hölder. A curva ))q((f α caracteriza a medida e é equivalente a
45
seqüência de expoentes de massa )q(τ . Este ))q((f α algumas vezes é referido como
espectro multifractal da medida µ.
Portanto
qD)1q(d ~),q(M −εε (3. 124)
onde
))q((fq)q(D)1q( q αατ −==− (3. 125)
Generalizando a relação (3. 16) a partir da expressão (3. 115), temos:
qD)1q(
o
oq
iioo L
lp)L,l,q(N
−
���
����
�== (3. 126)
Observe que a probabilidade pi é definida a partir da Figura – 1, como sendo:
Ll
pi = (3. 127)
onde l é o comprimento contido dentro da caixa de tamanho (lo x lo) e L é o comprimento total
da trinca rugosa, onde 1pi
i = e para um q qualquer temos as relações gerais, e a dimensão
fractal generalizada é dada por:
( )oo
q
ii
q L/lln
pln
1q1
D
���
����
�
−= (3. 128)
onde q é um índice que retrata o alcance em escala da multifractalidade do fenômeno.
Veja que para q = 1 temos:
)L/lln(
pln
1q1
limDoo
q
ii
1q1q
���
����
�
−=
→= (3. 129)
A descrição multifractal da fratura permite escrever:
qD)1q(
o
o
i
qioo L
lp)L,l,q(L
−
���
����
�== (3. 130)
e
46
d
o
oooo L
lLlqL ��
�
����
�=),,( (3. 131)
onde:
qDqd
o
oooo L
lLLlqL
)1(
),,(−+
���
����
�= (3. 132)
e
qDqd
o
oq
o
oo
Ll
DqddL
LlqdL)1(
])1((1[),,(
−+
���
����
�−+−= (3. 133)
Para o caso de multifractais auto-afins temos que:
1)1( −=−+ qq HDqd (3. 134)
Para q = 0 tem-se:
1−=− oo HDd (3. 135)
logo
1
),,(−
���
����
�=
qH
o
oooo L
lLLlqL (3. 136)
e
1
]2[),,(
−
���
����
�−=
qH
o
oq
o
oo
Ll
HdL
LlqdL (3. 137)
47
3.13 – Apêndices
3.13.1- Algoritmo matemático de retro-alimentação para construção de um
objeto fractal
Para se construir uma estrutura fractal deve-se considerar em primeiro lugar os
dois objetos geométricos básicos deste tipo de estrutura, o iniciador e a semente. O iniciador,
corresponde a configuração geométrica sobre o qual a semente será arranjada. A semente
corresponde ao elemento geométrico básico que se repete sobre o arranjo determinado pela
forma do iniciador, independentemente da escala de observação.
Considere um elemento geométrico básico de forma qualquer, como por exemplo
o elemento geométrico usado na construção da curva de Koch [1], conforme mostra a Figura -
3. 20.
Figura - 3. 20. Padrão geométrico elementar ou “semente” do fractal da curva de Koch.
3.13.2- Definindo Operadores Geométricos
Podemos definir alguns operadores geométricos para criar um algoritmo de
formação de uma estrutura fractal qualquer.
1) Operador Ampliador ΛΛΛΛλ e Operador Redutor ΛΛΛΛλ-1
Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles ampliam ou reduzem este
objeto de um fator λ, por exemplo:
48
ΛΛΛΛλ ( ) = ; ΛΛΛΛ-1λ ( ) =
2) Operador Criador ΧΧΧΧ e Operador Destruidor X-1
Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles criam ou destroem este
objeto identico ao primeiro, fazendo esta operação ao lado do objeto anterior da esquerda para
a direita, por exemplo:
X( . ) = ; X-1( ) = .
3) Operador Deformador DNλλλλ e Operador Restaurador DN
λλλλ-1
Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles deforma ou restaura este
objeto, conservando o seu comprimento, por exemplo:
DNλλλλ( ) = ; DN
λλλλ-1( ) =
4) Operador Projetador Px e Operador Anti-Projetador Px-1
Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles projetam ou anti-projeta
este objeto sobre uma dada direção x, por exemplo:
PX( ) = ; Px-1( ) =
5) Operador Medidor Lx e Anti-Medidor Lpx-1
Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles medem ou retornam o
segmento a partir de uma medida deste objeto sobre uma dada direção x, por exemplo:
LX( ) = 4u ; Lx-1(4u) =
3.13.3 - Construindo Novos Operadores Geométricos
49
6) Operador Crescimento Fractal (u =cte, Lp ≠≠≠≠ cte , εεεε = u/Lp)
Nivel k = 0 ;
X4( ) = ;
Nivel k =1 D 43(X4 ( )) = D 4
3( ) =
;
X4 ( ) =
D43(X4 ( )) = D4
3( ) =
Nivel k = 2
Portanto o operador Crescimento Fractal pode ser definido como: C43 = D4
3(X-4( )).
7) Operador Fragmentação ou retro-alimentação Fractal (u ≠≠≠≠cte , Lp = cte, εεεε = u/Lp)
Nivel k = 0 ;
ΛΛΛΛ3( ) = ;
X4(ΛΛΛΛ3( )) = X4( ) = ;
D43(X4(ΛΛΛΛ3( ))) = D4
3(X4( )) = D43( ) =
Nivel k = 1 ;
ΛΛΛΛ3( ) = ;
X4(ΛΛΛΛ3( )) = X4( ) = ;
D43(X4(ΛΛΛΛ3( ))) = D4
3(X4( )) = D43( ) =
50
Nivel k =3 ;
Portanto o operador Crescimento Fractal pode ser definido como: F43 = D4
3(X-4(ΛΛΛΛ3( ))).
Observe que este operadores são lineares e comutam entre si.
1) [ΛΛΛΛλ,X] = [X,ΛΛΛΛλ]
2) [ΛΛΛΛλ,DNλλλλ] = [DN
λλλλ,ΛΛΛΛλ]
3) [ΛΛΛΛλ,Px] = [Px,ΛΛΛΛλλλλ]
4) [ΛΛΛΛλ,Lx] = [Lx, ΛΛΛΛλ]
5) [X,DNλλλλ] = [DN
λλλλ,X]
6) [X,Px] = [Px,X]
7) [X,Lx] = [Lx,X]
8) [DNλλλλ,Px] = [Px,DN
λλλλ]
9) [DNλλλλ,Lx] = [Lx,DN
λλλλ]
10) [Px,Lx] = [Lx,Px]
3.13.4 - Auto-valores e Auto-vetores dos Operadores
A semente mostrada na Figura - 3. 20 embora siga um padrão geométrico
longitudinal, ela se estende para fora da projeção linear de um segmento de reta, ou seja,
existe um comprimento excedente a esta projeção. Este excesso é o responsável pela descrição
de estruturas irregulares que se estendem entre uma reta (com dimensão euclideana E =1) e
um plano (com dimensão euclideana E = 2) por exemplo. Também podemos imaginar
estruturas que se excedem entre um plano (com dimensão euclideana E = 2) e um sólido (com
dimensão euclideana E = 3) por exemplo.
Fd(δ)= N(δ)δd (3. 138)
onde Fd(δ) = L(δ), A(δ), V(δ) para d = 1,2,3 e N(δ) = (δ/δmáx)-D. Observe que: Fd(δmáx) = δmáxd.
A metodologia da determinação da dimensão fractal sugeridas pelos fractais
matemáticos é dada pela relação (11).
Fd(δk+1) = Fd(δk+1)(δk/δk+1)-Dδk
d (3. 139)
εk,k+1 = δk/δk+1
51
3.14 - Referências bibliográficas
ALVES, Lucas Máximo - Um novo principio de dissipação de energia para a fratura baseado na teoria fractal, In: Anais do 42o Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de Junho, 1998. Artigo publicado neste congresso ref.008/1
BESICOVITCH, 1935
HAUSDORFF, 1919
HERRMANN, Hans J. - “Growth: An Introduction”, In: On the Growth and Form” Fractal and Non-Fractal Patterns in Physics, Edited by H. Eugene Stanley and Nicole Ostrowsky NATO ASI Series, Series E: Applied Sciences N. 100 (1986), Proc. of the NATO Advanced Study Institute Ön Growth and Form”, Cargese, Corsiva, France June 27-July 6 1985. Copyright by Martinus Nighoff Publishers, Dordrecht, 1986.
MANDELBROT, Benoit B, Fractal: form chance and dimension, W. H. Freeman and Company, San Francisco Cal-USA, 1977.
MANDELBROT, Benoit B., The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Company, San Francisco - Cal-USA, New York 1982.
MANDELBROT, Benoit B.; Dann E. Passoja & Alvin J. Paullay, Fractal character of fracture surfaces of metals, Nature (London), vol. 308 [5961], p. 721-722, 19 April, 1984.
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TANAKA, M., “Fracture toughness and crack morphology in indentation fracture of brittle materials”, Journal of Materials Science, vol. 31. p. 749-755, 1996.
SANDER, L. M. - “Theory of fractal growth process”, Kinetics of Aggregation and Gelation, F. Family, D. P. Landau (editors) © Elsevier Science Publishers B. V., p. 13-17, 1984.
52
