CAPÍTULO 4 Cálculo proposicional Paulette ?· CAPÍTULO 4 – Cálculo proposicional Paulette 33 CÁLCULO…

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  • CAPTULO 4 Clculo proposicional Paulette

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    CLCULO PROPOSICIONAL

    1. PROPOSIES

    Uma proposio uma sentena declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas no ambas. As

    proposies podem ser divididas em proposies simples e compostas.

    1.1. Proposies simples

    a) Pedro aluno do Curso de Informtica.

    b) A terra gira em torno do sol.

    c) O leite branco.

    d) 7 quadrado perfeito.

    1.2. Proposies compostas

    e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a Amrica.

    f) Bruno cursa Informtica e Mariel Estatstica.

    g) O tringulo ABC isscele ou retngulo.

    h) Se Pedro estudioso, ento ser aprovado.

    i) ABC tringulo equiltero se, e somente se, que ingulo.

    1.3. Princpio da no contradio

    Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

    So verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).

    1.4. Princpio do terceiro excludo.

    Toda proposio ou verdadeira ou falsa. Sempre ocorrem esses casos e nunca um terceiro.

    2. OPERAES LGICAS

    O clculo das proposies consiste nas operaes fundamentais que partem de proposies

    simples para se chegar s proposies compostas. As operaes que podem ser efetuadas so:

    A negao, a conjuno, a disjuno, a condicional e a bicondicional.

    2.1. Conectivos

    O Clculo das proposies destaca cinco operadores lgicos, a saber:

    ...no...(denota-se )

    ... e... (denota-se )

    ...ou...(denota-se )

    ...se,... ento... (denota-se )

    ...se, e somente se ... (denota-se )

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    O primeiro operador dito unrio, pelo fato de operar sobre um s operando, os demais so

    operadores binrios, j que operam sobre dois operandos.

    2.2. Negao ( )

    a mais simples operao-verdade. Se a proposio A verdadeira, ento A falsa, se A

    falsa, ento A verdadeira.

    A: 2/3 um nmero racional. (verdade)

    A: 2/3 no um nmero racional. (falso) ou

    A: 2/3 um nmero irracional. (falso)

    Tabela verdade para a negao

    2.3. Conjuno ( )

    Essa operao verdade corresponde ao termo e e seu smbolo . Por meio da conjuno

    possvel, dadas duas proposies simples A e B obter-se outra composta A B que ser verdadeira

    somente quando A e B forem verdadeiras.

    A: Recife a capital de Pernambuco.

    B: Manaus a capital do Amazonas.

    A B: Recife a capital de Pernambuco e Manaus a capital do Amazonas.

    A B A B A B A B

    V V V 1 1 1

    V F F 1 0 0

    F V F 0 1 0

    F F F 0 0 0

    Exemplo 1:

    Verifique se a composta verdadeira ou falsa.

    a) Jos de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V V = V)

    b) 5+2=7 e 3> 5. ( V F = F )

    c) > 4 e 7 nmero primo. ( F V = F )

    d) > 4 e 8 nmero mpar. ( F F = F )

    A A A A

    V F 1 0

    F V 0 1

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    2.4. Disjuno ( )

    Essa operao verdade corresponde ao termo ou e seu smbolo . Por meio da disjuno

    possvel, dadas duas proposies simples A e B obter-se outra composta A B que ser falsa somente

    quando A e B forem falsas.

    A: Recife a capital de Pernambuco.

    B: Manaus a capital do Amazonas.

    A B: Recife a capital de Pernambuco ou Manaus a capital do Amazonas.

    A B A B A B A B

    V V V 1 1 1

    V F V 1 0 1

    F V V 0 1 1

    F F F 0 0 0

    Exemplo 2:

    Verifique se a composta verdadeira ou falsa.

    a) 2+2=4 ou 5>3 ( V V = V) b) 4 ou 7 nmero primo. ( F V =V)

    c) 4 ou 8 nmero primo. ( F F =F )

    2.5. Condicional ( )

    Essa operao verdade corresponde ao termo ...se,... ento.... Por meio da condicional

    possvel, dadas duas proposies simples A e B obter-se outra composta A B que ser falsa somente

    quando A for V e B for falsa.

    Se chover, ento irei ao cinema.

    Se estudar, ento serei aprovado.

    Seja A: estudar

    B: serei aprovado

    A partir de duas proposies A e B, construmos uma nova proposio.

    A B (l-se, se A, ento B) ou A implica B.

    A tabela verdade dada por:

    A B A B A B A B

    V V V 1 1 1

    V F F 1 0 0

    F V V 0 1 1

    F F V 0 0 1

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    Observao 01:

    Da teoria dos conjuntos sabemos que A B B ou A B A , assim, se x A B , ento ,x B isto , sempre verdade que se x est em A B , ento x est em .B Logo, na tabela A B B sempre verdadeira.

    A B A B A B B

    V V V V V V

    V F F F V F

    F V F F V V

    F F F F V F

    Observando as trs ltimas colunas podemos escrever:

    V V = V

    F F = V

    F V = V

    Observao 02:

    Uma proposio A B sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F), independente do

    valor de B.

    Exemplo 3:

    Verifique se a composta verdadeira ou falsa.

    1) Se 2 + 2 =5, ento 1 1. (verdade)

    2) Se 2 + 2 =5, ento 1 = 1. (verdade)

    3) Se o Papa joga no Corinthians, ento o Palmeiras ser campeo. (verdade)

    4) Se o Papa joga no Corinthians, ento todos os alunos de Matemtica Discreta sero

    aprovados. (verdade)

    Observao 03:

    As proposies no Exemplo 03 so trivialmente verdadeiras pois, sendo a hiptese falsa, como

    em, A : 2 + 2 = 5 ou A: O Papa joga no Corinthians, ento a composta verdadeira.

    2.6. Bicondicional ( )

    Para definirmos a tabela verdade da bicondicional escrevemos:

    A se, e somente se, B e definida por (A B) ( B A)

    A B A B B A (A B) ( B A)

    V V V V V

    V F F V F

    F V V F F

    F F V V V

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    Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.

    A B A B A B A B

    V V V 1 1 1

    V F F 1 0 0

    F V F 0 1 0

    F F V 0 0 1

    Exerccios de aplicao 9:

    Escreva em linguagem corrente.

    1) A: Est frio.

    B: Est chovendo.

    a) A:

    b) A B:

    c) A B:

    d) A B;

    e) A B:

    f) A B:

    g) A B:

    2) Analogamente:

    A: Pedro aluno de ADS

    B: ADS Curso da Fatecsp

    a) A:

    b) A B:

    c) A B:

    d) A B;

    e) A B:

    f) A B:

    g) A B:

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    3) Escreva em linguagem simblica as sentenas.

    p: Carolina alta.

    q: Carolina elegante.

    a) Carolina alta e elegante.

    b) Carolina alta, mas no elegante.

    c) falso, que Carolina baixa ou elegante.

    d) Carolina no nem baixa nem elegante.

    e) Carolina alta, ou ela baixa e elegante

    4) Dar o valor lgico das proposies.

    a) Porto Alegre a capital do Estado do Paran ou 10 par. ( )

    b) Se 3 > , ento 2 racional. ( )

    c) Se 3 > , ento o Corinthians ser campeo Paulista de 2011. ( )

    d) Se 1 1, ento 4 9 5 . ( )

    e) 2+3=5 se, e somente se 36 6. ( )

    f) 32 6 se, e somente se 2+2+2=6. ( )

    2.7. Formas sentenciais

    Quando estudamos as expresses numricas, observamos expresses com as operaes de

    adio, subtrao, multiplicao e diviso organizadas com parnteses, colchetes e chaves. Da mesma

    forma ocorrem as formas sentenciais usando , , , e .

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    2.8. Tabela verdade

    Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela verdade.

    Exemplo 4:

    Construir a tabela verdade relativa forma sentencial

    [( ) ( )] ( )A B A C B C

    A B C A B A A C C B C

    V V V V F V F F F

    V V F V F F F V V

    V F V F F V V F F

    V F F F F F V V F

    F V V V V V F F F

    F V F V V V V V V

    F F V V V V F F F

    F F F V V V F V F

    Exemplo 5:

    Construir a tabela verdade relativa forma sentencial

    [( ) ( ] ( )A B B C A C

    A B C A B B C A C

    V V V V V V V

    V V F V F V F

    V F V F V V V

    V F F F V V F

    F V V V V V V

    F V F V F V V

    F F V V V V V

    F F F V V V V

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    Exemplo 6:

    Tabela verdade pode ser feita do modo simplificado como segue.

    ( ) ( )A B A B V V V V F V V

    V F F V F F F

    F V V V V V V

    F V F V V V F

    Exerccios de aplicao 10:

    Construir a tabela verdade relativa forma sentencial (Simplificada ou no).

    1) ( ) ( )p q p q

    2) [ ( )] ( )A B C A C

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    3) [( ) ( )] ( )A B C D D A

    4) [( ) ( )] [( ) ( )]A C B C B A A C

    5) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C A

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    6) [( ) ( )] [( ) ( )]A B C A A B C B

    2.9. Tautologia contradio

    Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V (verdade) para quaisquer que sejam

    os valores atribudos s variveis e se assumir o valor F diremos que uma contradio.

    Exemplo 7:

    A forma sentencial que segue uma tautologia.

    ( ) ( )A B A B V V V V F V V