Capítulo 4 Otimização Multiobjetivo da Operação de uma Usina

Capítulo 4

Otimização Multiobjetivo da Operaçãode uma Usina Hidroelétrica

Luís A. Scola∗, Oriane M. Neto,Ricardo H.C. Takahashi e Sérgio A.A.G. Cerqueira

Resumo: Neste trabalho, um algoritmo genético multiobjetivo éaplicado ao problema da otimização de uma única usina hidroelé-trica, com os objetivos de aumentar a energia produzida durante oano e reduzir o pico de demanda de energia complementar proveni-ente de fontes não renováveis de energia. Para aumentar o desem-penho do algoritmo, foram propostas duas novas formulações para oproblema, com diferentes maneiras de manipular as restrições ope-racionais. Os resultados demonstram que, em comparação com aabordagem tradicional, há ganho em e�ciência computacional e ex-pansão da frente de Pareto obtida, o que revela novas con�guraçõespossíveis para a operação do sistema.

Palavras-chave: Otimização multiobjetivo, Algoritmos genéticos,Operação de usinas hidroelétricas.

Abstract: In this work, a multi-objective genetic algorithm is ap-

plied to problem of the optimization of a single Brazilian hydropower

plant, with the objectives of increasing the net energy generation

along the year and reducing the peak of demand of non-renewable

energy sources. To increase the performance of the algorithm, two

new formulations for the problem are proposed, with di�erent ways

of dealing with the operational constraints. In comparison with

the more traditional approach, the proposed methodology presents

a gain of computational e�ciency and also leads to an expanded

Pareto front, which reveals new possible con�gurations of system

operation.

Keywords: Multiobjetive optimization, Genetic algorithms, Hi-

dropower operation.

∗Autor para contato: [email protected]

Lopes & Takahashi (Eds.), Computação Evolucionária em Problemas de Engenharia (2011) ISBN 978-85-64619-00-5

74 Scola et al.

1. Introdução

No Brasil mais de 73% da potência elétrica é produzida por usinas hidro-elétricas (Tolmasquim & Guerreiro, 2009). Apesar do potencial hidráulicoremanescente ser considerável, sua maior parte está localizada longe dosestados consumidores industrializados do sudeste. Em adição a este fato, acrescente oposição à construção de novos grandes reservatórios por razõesecológicas e sociais, indicam a necessidade de uma operação e�ciente dosistema existente (Labadie, 2004).

O problema da otimização da operação de sistemas com único e múlti-plos reservatórios é não linear, não convexo e restrito, tendo sido abordadopor diversos métodos determinísticos e estocásticos (Labadie, 2004; Yeh,1985). Na última década, métodos evolucionários mono-objetivo, em par-ticular diversas versões de algoritmos genéticos, foram aplicados a sistemasde único reservatório (Chang et al., 2005; Jothiprakash & Shanthi, 2006;Cheng et al., 2008).

Tantos são os fatores envolvidos na operação de usinas hidroelétricas,que se torna natural que diversas abordagens para a otimização multiobje-tivo do problema tenham sido propostas, para sistemas de único e múltiplosreservatórios. O modelo não linear do sistema hidroelétrico brasileiro com-pleto foi linearizado e resolvido através de técnicas de programação linear,considerando a soma ponderada de seis objetivos (Barros et al., 2003). Umalgoritmo genético foi aplicado para a otimização da operação de um reser-vatório para usos múltiplos, considerando dois objetivos (Reddy & Kumar,2006). Os mesmos autores empregaram uma versão elitista-mutada do al-goritmo de enxame de partículas, considerando a soma ponderada de doisobjetivos (Kumar & Reddy, 2007). Uma característica comum a todos es-tes trabalhos é a preocupação com o tratamento da perda de diversidadeda população. Por exemplo, um algoritmo genético multiobjetivo macro-evolucionário foi desenvolvido para a otimização das curvas de operação deum sistema de reservatório para usos múltiplos (Chen et al., 2007).

Neste trabalho um algoritmo genético multiobjetivo é empregado paraa otimização da operação de uma usina hidroelétrica brasileira ao longode um ano típico. São propostas duas formulações matemáticas alter-nativas para o problema, com diferentes maneiras de tratar as restriçõesoperacionais. As formulações propostas mostram-se mais favoráveis paraa otimização multiobjetivo com algoritmos genéticos do que a abordagemtradicional.

Otimização Multiobjetivo da Operação de uma Usina Hidroelétrica 75

2. Modelo Matemático de uma Usina Hidroelétrica

2.1 Geração de potênciaA potência gerada numa usina hidroelétrica em um dado intervalo i, é dadapela Equação 1:

Wi = η Qti γw(hf − ht) (1)

onde η é a e�ciência combinada da turbina e gerador elétrico, Qti é a vazão

turbinada, γw é o peso especí�co da água, hf é o nível do reservatório decaptação e ht é o nível no canal de fuga.

Como a e�ciência e o peso especí�co são aproximadamente constantese a diferença de níveis entre a captação e o canal de fuga é determinadaprincipalmente pelas variações do primeiro, uma vez que o nível do canalde fuga pode ser considerado relativamente estável, a potência gerada podeser aproximada pela seguinte expressão:

Wi = ξiQti (2)

onde ξi é a função produtividade, que é neste trabalho determinada porum polinômio de quinto grau em função do volume médio armazenado noreservatório durante o intervalo.

2.2 ObjetivosNa literatura são encontrados diferentes objetivos representando medidasquantitativas de diferentes aspectos especí�cos do sistema energético abor-dado. Alguns exemplos destas funções objetivo são apresentados a seguir,começando pelos objetivos considerados neste trabalho. Esses foram esco-lhidos porque tratam dos principais aspectos físicos da operação da usina,geração de energia e potência complementar, excluindo as volatilidades dosaspectos econômicos.

2.2.1 Maximizar a geração de energiaO primeiro, a maximização da energia total gerada, é auto explicativa. Emtermos econômicos, ela é linearmente correlacionada com o faturamentobruto da usina se o preço é �xo ao longo do ano, dado pela expressão:

maxWT =

N∑i=1

Wi∆ti (3)

onde ∆ti é o intervalo de tempo considerado e N o número de intervalos.

2.2.2 Maximizar a mínima potência geradaO segundo objetivo (Equação 4) é a maximização da mínima potênciagerada mensalmente, o que é equivalente à minimização do custo com ins-talações para geração da energia complementar.

max miniWi ∀i ∈ {1, 2, . . . , N} (4)

76 Scola et al.

Este objetivo torna-se particularmente importante quando o regime pluvi-ométrico está sujeito a grandes variações que, na ausência de um grande re-servatório, produziriam variações correspondentes na geração de potência.A potência complementar necessária é geralmente proveniente de fontestérmicas ou nucleares, cujos custos são mais elevados.

2.2.3 Minimizar a complementação da energiaQuando o método de otimização utilizado exige uma função objetivo dederivada contínua, o objetivo anterior é aproximado pelo somatório doquadrado da diferença entre a demanda e a potência gerada (Sharma et al.,2004; Barros et al., 2003):

min

N∑i=1

(DT − Wi)2, (5)

onde DT é a demanda total de energia, que será sempre superior à capa-cidade da usina, pois inclui outras usinas hidroelétricas, além de outrasfontes energéticas.

2.2.4 Minimizar o desvio do volume armazenadoEstabelecida uma meta para o volume mensal do reservatório (Si), pode-sepropor como objetivo a soma no tempo do desvio quadrático entre a metae o volume armazenado no reservatório (Barros et al., 2005):

min

N∑i=1

(Si − Vi)2, (6)

Uma versão para este objetivo, com derivada descontínua, poderia serproposta na forma:

min max(Si − Vi) ∀i ∈ {1, 2, . . . , N}, (7)

com a vantagem de que somente seriam considerados os �nais de períodoem que o volume armazenado fosse inferior à meta.

2.2.5 Minimizar a energia vertidaMesmo em reservatórios isolados há momentos em que é necessário usaro vertedouro, por exemplo quando o volume do reservatório está em seulimite superior e a vazão a�uente é maior que máxima vazão turbinada.O objetivo de reduzir a energia que deixa de ser produzida quando água évertida é expresso como (Barros et al., 2005):

minN∑i=1

ξiQsi∆ti, (8)

onde Qsi é a vazão vertida.


2.2.6 Maximizar o lucro derivado da energia secundáriaNo sistema elétrico brasileiro, de�ne-se a energia assegurada como a má-xima produção de energia que pode ser mantida quase que continuamentepelas usinas hidrelétricas ao longo dos anos, admitindo risco de não aten-dimento à carga inferior a 5%. O montante produzido acima desse valor édenominado energia secundária e tem preço de venda inferior ao da ener-gia assegurada. (Barros et al., 2003) propõe a seguinte formulação para amaximização do lucro obtido com a venda da energia secundária:

max

N∑i=1

pi(Wi −Dc)∆ti, (9)

onde pi é o preço da energia durante o período de tempo i ($/MWh) e Dc

é a demanda contratada (energia assegurada).

2.3 RestriçõesO problema é sujeito a restrições de natureza física e operacional.

2.3.1 Conservação da massaPara garantir a conservação da massa num dado intervalo de tempo, avariação do volume do reservatório entre o início do intervalo (Vi) e o�nal (Vi+1) deve ser igual ao volume de água a�uente (V a

i ), deduzidos osvolumes turbinado (V t

i ) e vertido (V si ).

Vi+1 − Vi = V ai − V t

i − V si (10)

A conservação da massa estabelece uma relação direta entre o volumede água descarregado no canal de fuga e o volume do reservatório, umavez que o volume a�uente é conhecido. Neste trabalho, nas duas primeirasformulações apresentadas na Seção 3, o volume do reservatório é adotadocomo variável independente.

2.3.2 Limites operacionaisO volume de água no reservatório é limitado no nível inferior pelo nível datomada d'água e no nível superior pelo limite estrutural da barragem.

V min ≤ Vi ≤ V max (11)

Os parâmetros operacionais das turbinas e dos geradores também im-põem restrições ao problema, em termos da potência máxima gerada e damáxima vazão turbinada admissível.

Wi ≤ Wmax (12)

Qti ≤ Qt,max (13)

78 Scola et al.

Se a variação do volume num dado intervalo requer uma vazão turbi-nada que excede o máximo permitido, assume-se que essa parcela excedenteda vazão foi vertida.

Uma vazão mínima de restituição ao rio deve ser garantida, por razõesecológicas, sanitárias e econômicas. Como neste trabalho considera-se queas turbinas estão sempre disponíveis, essa vazão mínima é sempre turbi-nada.

Qmin ≤ Qti (14)

Finalmente, é necessário impor uma condição para o reservatório ao�nal do período considerado na otimização. Neste trabalho, assume-se queo reservatório deve retornar à condição inicial, isto é, que

V0 = VN (15)

No algoritmo de otimização, esta restrição foi implementada reduzindoem um o número de variáveis de decisão e �xando o volume ao �nal doúltimo intervalo.

3. Formulações Alternativas

Como será mostrado na próxima seção, as restrições não lineares repre-sentam um problema para o algoritmo genético, que tem di�culdade paraencontrar indivíduos factíveis. Como resultado, a população do algoritmogenético que resolve o problema como descrito na Seção 2 apresenta perdade diversidade e a frente de Pareto produzida cobre somente um pequenointervalo das funções objetivo.

Três abordagens foram testadas neste trabalho para enfrentar este pro-blema e são comentadas a seguir.

3.1 Redução do número de indivíduos infactíveis na população inicialEm experimentos preliminares, veri�cou-se que o algoritmo de otimiza-ção não era capaz de gerar indivíduos factíveis quando a população inicialera gerada de forma aleatória sobre todo o domínio das variáveis de deci-são. Por outro lado, observou-se ser possível gerar uma população inicialcomposta apenas por indivíduos factíveis ou, se infactíveis, próximos à re-gião factível, com poucas restrições violadas e/ou com pequenas violações(quase factíveis). Para tanto mantiveram-se os valores das variáveis dedecisão, os volumes do reservatório mês a mês, dentro da estreita faixa,entre 85% e 100% do volume máximo do reservatório. Esta abordagemserá doravante denominada �formulação básica�.


3.2 Redução do domínio da variáveis de decisãoObservou-se que a maioria dos indivíduos infactíveis eram relacionadoscom a necessidade de recuperar o volume do reservatório, se ao �nal dequalquer intervalo o seu volume fosse signi�cativamente menor que o inicial.Se a vazão a�uente fosse insu�ciente, a conservação da massa produziriauma vazão turbinada infactível, podendo ser até mesmo negativa. Paraenfrentar tal problema, ao invés de impor um limite inferior único para ovolume mínimo do reservatório, foi imposto um limite para cada intervalo.

V mini−1 = V min

i − (Qai −Qmin

t )∆ti

∀i ∈ {1, 2, . . . , N − 1} (16)

O limite inferior para o volume no início de cada período é igual aovolume mínimo ao �nal do mesmo período, deduzida a diferença entre ovolume a�uente e o volume turbinado mínimo. Como o volume �nal éconhecido, o conjunto de limites inferiores para o volume é determinadopela equação precedente, do último intervalo para o primeiro, antes de seiniciar a otimização.

3.3 Formulação irrestritaMesmo na formulação melhorada para o limite inferior do volume, umaparte signi�cativa dos indivíduos gerados a cada geração era infactível.Este comportamento era mais pronunciado quado o reservatório enchianovamente, antes da estação mais seca. Aqui também a vazão a�uentese mostrava insu�ciente para permitir um aumento no volume, mantidaa vazão turbinada mínima. Uma modi�cação para o limite superior dovolume em cada intervalo foi então proposta para lidar com este problema.

V maxi+1 =

{Vi + (Qa

i −Qmint )∆ti, se < V max

V max, de outra forma

∀i ∈ {1, 2, . . . , N − 1} (17)

Cabe ressaltar que o valor do limite superior ao �nal de cada intervalo édependente do valor do volume no início daquele intervalo. Por esta razão,diferentemente ao limite inferior do volume a cada intervalo, que podia serdeterminado previamente à otimização, o limite superior para o volume sópode ser determinado para cada indivíduo da população.

Para lidar com este problema foi proposta uma formulação irrestrita,mas com domínio de�nido, onde as variáveis de decisão são frações dosvolumes disponíveis mensalmente.

Vi = V mini + αi

(V maxi − V min

i

), α ∈ [0, 1] (18)

Dentro destes limites, as vazões turbinadas são sempre maiores quea mínima, embora ainda possam tanto levar a potências geradas maiores

80 Scola et al.

que a máxima permitida quanto ultrapassarem o limite da vazão máxima.Para lidar com esses casos, assume-se que uma parcela da vazão foi vertidae que a vazão verdadeira através da turbina é a que satisfaz a ambas asrestrições 12 e 13.

4. Estudo de Caso

A usina hidroelétrica Nova Ponte, no leito rio Araguari, concluída em 1994,foi um dos últimos grandes reservatórios construídos no sudeste brasileiro.Operada pela Companhia Energética de Minas Gerais, CEMIG, seu reser-vatório apresenta capacidade máxima de armazenamento de 12.792 hm3,operando a partir do volume mínimo de 2.412 hm3. Com potência nominaltotal de 510 MW, está equipada com três turbinas hidráulicas tipo Francis,que juntas admitem um mínimo de 125 e um máximo de 510 m3/s de água.

O clima na região é caracterizado por duas estações bem de�nidas, aprimeira seca, entre os meses de abril e setembro, e a segunda chuvosa,estendendo-se de outubro a março. Ele re�ete na vazão a�uente ao reser-vatório, para a qual dados estão disponíveis desde 1931. Em termos médios125 m3/s de água chegam ao reservatório no mês de agosto, enquanto emfevereiro a média é de 541 m3/s, com uma a�uência máxima de 1243 m3/s.

A potência gerada pela usina hidroelétrica durante um intervalo é de-terminada pela Equação 2, onde a função produtividade é determinadapelo seguinte polinômio de quinto grau, determinado pelo ONS (OperadorNacional do Sistema) e fornecido pela operadora, CEMIG.

ξi = 1.95365 · 10−21V 5i − 6.49561 · 10−17V 4

i +

9.11797 · 10−13V 3i − 7.87711 · 10−09V 2

i +

6.84174 · 10−05Vi + 0.72616 (19)

onde Vi = (Vi + Vi−1)/2.

5. Resultados

A otimização foi realizada utilizando o algoritmo NSGA-II padrão, a facti-bilidade foi tratada como parte do operador de seleção (Deb et al., 2000).Os experimentos foram realizados com dados de um ano típico (de maio de1976 a abril de 1977), com os volumes do reservatório no início e no �nalda otimização �xados em 95 por cento do máximo permitido.

Somente alguns poucos dos experimentos realizados, empregando a for-mulação básica, produziram populações com indivíduos factíveis, mesmoquando a população inicial foi trabalhada para incluir somente indivíduosfactíveis ou quase factíveis. As frentes de Pareto para 8 desses experimen-tos, com populações de 400 indivíduos e 5000 gerações são apresentadas na


Figura 1. O primeiro objetivo, a energia total gerada (MWh), é mostradano eixo horizontal e o segundo objetivo, a mínima potência gerada (MW),está representada no eixo vertical. Em todos os testes, as frentes de Pa-reto apresentam-se estreitas, estendendo-se mais em direção ao primeiroobjetivo.

Figura 1. Conjuntos e�cientes para 8 execuções da formulação básica, com400 indivíduos e 5000 gerações.

Para cada uma das outras duas formulações, o algoritmo foi executado21 vezes, com 400 indivíduos e 2500 gerações. A formulação da reduçãodo domínio das variáveis de decisão obteve uma frente de Pareto com-pletamente povoada, mas com grande dispersão nos resultados entre asexecuções, conforme mostrado na Figura 2. Algumas das frentes são defato inferiores àquelas encontradas com a formulação básica, mas nestecaso a população inicial foi gerada aleatoriamente tornando imprópria acomparação.

A formulação irrestrita produziu a cada execução uma frente de Paretoampla e bem povoada, conforme mostrado na Figura 3. Na Figura 4, sãoapresentadas todas soluções e�cientes e as frentes de Pareto combinadaspara ambas formulações. É evidente desses experimentos que a formulaçãoirrestrita gera melhores resultados, produzindo frentes mais amplas, quese comparam ou até mesmo superam a frente de Pareto combinada daformulação da redução do domínio das variáveis de decisão.

No que tange à operação da usina hidroelétrica, dentre os pontos e�ci-entes gerados pela formulação irrestrita, a menor potência mínima geradatem um valor de 141,8 MW, correspondendo a energia máxima produzidade 2,718x103GWh. No outro extremo da frente de Pareto a maior potênciamínima gerada foi de 297,6 MW, com 2,643x103GWh de energia gerada.

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Figura 2. Conjuntos e�cientes para 21 execuções da formulação redução dodomínio das variáveis de decisão, com 400 indivíduos e 2500 gerações.

Figura 3. Conjuntos e�cientes para 21 execuções da formulação irrestrita,com 400 indivíduos e 2500 gerações.


Figura 4. Conjuntos e�cientes para cada execução das formulações daredução de domínio da variável de decisão e da irrestrita, com as

respectivas frentes de Pareto combinadas.

As Figuras 5 e 6, apresentam as potências geradas mensalmente para estesextremos, respectivamente.

Na primeira solução extrema, durante a estação seca, a potência geradaé mantida no mínimo e o reservatório acumula água. Quando chegam aschuvas, a potência gerada é aumentada, com o elevado nível do reservatórioassegurando elevada potência por unidade de massa de água turbinada.

Na segunda solução extrema, o volume do reservatório varia conside-ravelmente, diminuindo durante a estação seca e recuperando durante aestação chuvosa, até atingir o nível inicial. A geração é mantida estável,com uma perda de 25 GWh na comparação com o outro extremo.

6. Conclusões

São muitas e con�itantes as medidas da qualidade da operação de usinashidroelétricas. Soluções de compromisso entre tais objetivos podem serencontradas através da otimização multiobjetivo, permitindo ao operadora tomada de decisões sobre o conjunto de soluções e�cientes. Neste tra-balho consideraram-se como objetivos duas medidas do desempenho físicode uma usina hidroelétrica na otimização multiobjetivo de sua operaçãoao longo de um ano típico. A utilização de algoritmo genético, não depen-dente da existência ou continuidade das funções objetivo, permitiu que seempregasse uma medida mais apropriada da máxima demanda de potênciacomplementar.

Diante da perda da diversidade observada na evolução do algoritmo ge-nético de otimização, causada pelo grande número de soluções infactíveis,

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Figura 5. Potência mensal gerada e volume do reservatório para o pontoextremo com a menor mínima potência gerada e a maior geração de

energia.

Figura 6. Potência mensal gerada e volume do reservatório para o pontoextremo com a maior potência mínima gerada e a menor geração de

energia.


foram propostas duas novas formulações para o problema. Na primeira, aimposição de limites mais estreitos para as variáveis de decisão, o volumedo reservatório ao �nal de cada período, permitiu que mais soluções fac-tíveis fossem obtidas. Ainda assim houve grande espalhamento entre osresultados gerados, no conjunto dos experimentos.

Na segunda formulação, através de uma mudança nas variáveis de de-cisão, as restrições foram incorporadas ao modelo. Isso o tornou irrestrito,com as variáveis de decisão limitadas a um intervalo. Disso resultou umexpressivo aumento do desempenho do algoritmo de otimização, sendo ob-servada uma convergência nos resultados encontrados.

Diante dos resultados, um operador estaria melhor capacitado a decidirsobre a operação da usina. A vazão a�uente ao reservatório é, entretanto,dependente dos aspectos meteorológicos e portanto incerta. A base sobre aqual se toma a decisão sobre a operação estaria fragilizada se tal incertezanão fosse incorporada à tomada de decisão. O ganho de desempenho decor-rente da adoção do modelo desenvolvido permite que se planeje incorporarfuturamente tal incerteza já no momento da otimização.

Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio da Fundação Estadual de Amparo à Pesquisado Estado de Minas Gerais (FAPEMIG).

Referências

Barros, M.; Ros, D. & Lopes, J., Objective functions for hydropower sys-tem operation. In: Moglen, G. (Ed.), Proceedings of Watershed 2005.ASCE, p. 101�101, 2005.

Barros, M.; Tsai, F.C.; Yang, S.L.; Lopes, J. & Yeh, J.G., Optimization oflarge-scale hydropower system operations. Journal of Water Resources

Planning and Management, 129(3):178�188, 2003.

Chang, F.J.; Chen, L. & Chang, L.C., Optimizing the reservoir operatingrule curves by genetic algorithms. Hydrological Processes, 19(11):2277�2289, 2005.

Chen, L.; McPhee, J. & Yeh, W., A diversi�ed multiobjective GA for opti-mizing reservoir rule curves. Advances in Water Resources, 30(5):1082� 1093, 2007.

Cheng, C.T.; Wang, W.C.; Xu, D.M. & Chau, K., Optimizing hydropowerreservoir operation using hybrid genetic algorithm and chaos. Water

Resources Management, 22(7):895�909, 2008.

Deb, K.; Agrawal, S.; Pratab, A. & Meyarivan, T., A fast elitist non-dominated sorting genetic algorithm for multi-objective optimization:

86 Scola et al.

NSGA-II. In: Proceedings of the Parallel Problem Solving from Na-

ture VI Conference. Paris, France: Springer-Verlag, p. 849�858, 2000,lNCS, v. 1917.

Jothiprakash, V. & Shanthi, G., Single reservoir operating policies using ge-netic algorithm. Water Resources Management, 20(6):917�929, 2006.

Kumar, D. & Reddy, M., Multipurpose reservoir operation using parti-cle swarm optimization. Journal of Water Resources Planning and

Management, 133(3):192�201, 2007.

Labadie, J., Optimal operation of multireservoir systems: State-of-the-art review. Journal of Water Resources Planning and Management,130(2):93�111, 2004.

Reddy, M. & Kumar, D., Optimal reservoir operation using multi-objectiveevolutionary algorithm. Water Resources Management, 20(6):861�878,2006.

Sharma, V.; Jhab, R. & Naresh, R., Optimal multi-reservoir network con-trol by two-phase neural network. Electric Power Systems Research,68(3):221�228, 2004.

Tolmasquim, M. & Guerreiro, A. (Eds.), Balanço Energético Nacional

2009: Ano Base 2008. Brasília, DF: Empresa de Pesquisa Energé-tica � EPE, 2009.

Yeh, W.G., Reservoir management and operations models: A state-of-the-art review. Water Resourses Research, 21(12):1797�1818, 1985.


Notas BiográficasLuís Antônio Scola tem mestrado em Engenharia Mecânica (UFRJ, 1989)e é professor ddjunto do Departamento de Ciências Térmicas e dos Fluidosda Universidade Federal de São João del Rei (MG). Atualmente é discentede doutorado no programa de pós-graduação em Engenharia Elétrica daUniversidade Federal de Minas Gerais.

Oriane Magela Neto tem mestrado em Engenharia Elétrica (UFMG,1985), doutorado em Engenharia Elétrica (Imperial College London, 1996) epós-doutorado (Tokyo Metropolitan University, 2002), é professor associado doDepartamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Minas Gerais.

Ricardo Hiroshi Caldeira Takahashi tem mestrado em Engenharia Elétrica(UFMG, 1991), doutorado em Engenharia Elétrica (UNICAMP, 1998). Éprofessor associado do Departamento de Matemática da Universidade Federalde Minas Gerais. Seu currículo no CNPq registra a autoria de mais de 60artigos publicados ou aceitos para publicação em periódicos indexados, maisde 100 trabalhos publicados em anais de congressos, e ainda a orientação ouco-orientação de treze teses de doutorado e doze dissertações de mestrado jáconcluídas.

Sérgio Augusto Araujo da Gama Cerqueira tem mestrado em EngenhariaMecânica (UFMG, 1992), doutorado em Engenharia Mecânica (UNICAMP,1999) e pós-doutorado (UFMG, 2006). É professor associado do Departamentode Engenharia Mecânica da Universidade Federal de São João del Rei (MG).

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