Capítulo 5

Fenomenologia do Problema de Fechamento da Turbulência

e

Equações da Turbulência

•Como foi comentado em unidades anteriores, uma das características mais importantes de um escoamento turbulento é a multiplicidade de escalas

Introdução sobre o problema de fechamento e a modelagem da turbulência

•Multiplicidade de escalas --> Número de graus de liberdade

3L 9 / 4Ngl ReLld

•Percebe-se com esta equação que quanto maior o número de Reynolds maior será o número de graus de liberdade do escoamento

Exemplo do cálculo do número de graus de liberdade em dois casos práticos extremos

•Para o cálculo do Ngl deste escoamento, tomar-se-á alguns dados típicos: l2000 km (escala de comprimento característica) e 1 mm (menor escala da turbulência, escala dissipativa de Kolmogorov).

3L 9 / 4Ngl ReLld

•Vê-se que a solução teórica ou numérica do problema acima está fora das possibilidades atuais, mesmo com os maiores supercomputadores existentes.

•Outro exemplo: Turbulência de grelha

28Ngl 10

• Para o cálculo do Ngl, novamente toma-se alguns dados típicos: l = 4 mm (largura do passo da grelha); U = 10 m/s (velocidade típica); = 10-5 m2/s (viscosidade cinemática).

• Com estas informações tem-se Re=4.000, o que fornece Ngl=1,3x108. Verifica-se que, mesmo neste caso a um modesto número de Reynolds, o cálculo explícito de todos os graus de liberdade não é possível.

• A maior parte dos problemas práticos de engenharia são caracterizados por números de Reynolds que se localizam nesta faixa. Surge então a questão: como resolver esta classe de problemas?

• Reynolds (1894) deu prosseguimento a desenvolvimentos sobre este assunto e propos um processo de decomposição das equações governantes de tal forma a se analisar o comportamento médio do escoamento e modelar suas flutuações

• Esta decomposição proposta conduz ao chamado problema de fechamento da turbulência e deu origem a um vasto domínio de pesquisa, modelagem da turbulência

• Em outra unidade este problema será investigado e serão apresentadas duas linhas de modelagem: modelagem estatística clássica (simulação numérica do comportamento médio dos escoamentos turbulentos) e modelagem sub-malha (simulação numérica de grandes escalas, onde as grandes estruturas são resolvidas explicitamente e as menores estruturas são modeladas).

Equações da Turbulência à Luz do Processo Histórico

• A chamada Simulação Numérica Direta seria aquela capaz de, dado um escoamento caracterizado por um valor do número de Reynolds, resolver todos os graus de liberdade ou todo o espectro de energia associado ao escoamento.

• Com base nos dois exemplos colocados na seção precedente, mesmo para os escoamentos a baixos números de Reynolds não é possível praticar SND, ou seja, resolver diretamente todos os graus de liberdade que caracterizam os escoamentos turbulentos. Surge então a ideia de separação ou decomposição das escalas da turbulência.

• O regime turbulento é a regra:

• na natureza

• em processos controlados

• Mais do que isto, na engenharia moderna, é importante poder controlar a turbulência

• Computar os efeitos da turbulência em nossos cálculos é de muita importância

• Controlar exige compreender:

• Experimentar no laboratório

• Experimentar computacionalmente

• A solução das Equações de Navier-Stokes levaria à representação fiel da física dos escoamentos

Decomposição das escalas da Turbulência

Saint-Venant: 1797-1886

Boussinesq: 1842-1929

Reynolds: 1842-1912

• Reynolds/Boussinesq, propuseram independentemente, decompor as variáveis de NS em uma parte média e uma parte flutuante, de forma a se poder resolver escoamentos turbulentos

Decomposição das escalas da Turbulência

F(t)

t

txfsinalfiltradapartetxf ,:,

txf ,

xf

Equações médias de Reynolds

•Neste caso, conforme já comentado, separa-se um sinal genérico na sua parte média média temporal e na sua parte flutuante:

f x ,t f x f x ,t

Propriedades associadas ao conceito de separação de escalas por meio de médias

A média de uma flutuação é nula

f x ,t f x f x ,t f x ,t f x ,t f x

f x f x f x 0

A média do produto de duas médias é igual ao produto das duas médias

f f f f .1 f f

A média do produto de uma variável média por uma flutuação de uma variável é nula

f f f f f .0 0

Observa-se que em todas as propriedades descritas, considerou-se que a média de uma variável é uma constante.

Equações Médias de Reynolds

• Conservação da massa ui 0xi

• Aplicando o operador média sobre esta equação e utilizando a propriedade comutativa entre este operador e o operador derivada parcial, tem-se a conservação da massa para as médias das componentes da velocidade

ui 0xi

• Subtraindo-se uma equação da outra, tem-se a conservação da massa para as flutuações das componentes da velocidade:

ui 0xi

• As flutuações de velocidade obedecem à conservação da massa.

Equações Médias de Reynolds

Equação do balanço de quantidade de movimento

uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i

•Aplicando-se o operador média sobre esta equação e utilizando-se da propriedade comutativa, tem-se a seguinte equação

uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i

•Aplicando-se a decomposição de escalas

u u u

•Utilizando-se das três propriedades já comentadas, tem-se que:

uu u1 p ji iu u u ui j i jt x x x x xj i j j i

•Observa-se que a consequência imediata do processo de decomposição de escalas e da transformação das equações originais em equações médias, é o aparecimento de um tensor adicional, conhecido como tensor de Reynolds. Ele pode ser reescrito na forma matricial como abaixo:

u u u u w

u w

w u w w w

•Verifica-se que este tensor é simétrico. Ele tem natureza física semblante ao tensor viscoso molecular, apesar de sua origem, ligada ao termo não linear. Desta forma é natural transpor este tensor para o segundo membro da equação de transporte e agrupá-lo ao tensor viscoso:

uu u1 p ji iu u u ui j i jt x x x x xj i j j i

•Mais equações que incógnitas!

•Fechamento! -> Gerar mais equações de transporte? Modelagem da turbulência!

Equações de Navier-Stokes filtradas

f x ,t f x f x ,t

•Decompondo as variáveis em suas partes filtradas e flutuantes:

Energia associada à parte filtrada davelicidade, ou seja, às grandes estruturas.

Energia associada àsescalas sub-malha, ou àparte flutuante

E(f)

ffc

F(t)

t

txfsinalfiltradapartetxf ,:,

txf ,

xf

Conceito de filtros

•O processo de filtragem pode ser definido como sendo a integral de convolução envolvendo a função a ser filtrada e uma função filtro apropriada, como ilustra a equação abaixo.

f x ,t G x x f x ,t dx

V

• Exemplo da função G

1

se x x cG x x V0 se x x c

x

y

z

xlc

•Aplicando este filtro sobre uma função tem-se que a função filtrada assume o valor médio da função no interior do volume de integração:

1f x ,t f x ,t dV

VV

•Ilustra-se a seguir uma situação unidimensional de um processo de filtragem espacial. Neste caso o tamanho característico do filtro é x e o número de onda de corte é kc. Nota-se que quanto menor for x maior será o número de onda de corte e maiores serão as freqüências espaciais e temporais capturadas

x

f

x

O valor filtrado é umamédia sobre x

Curva aproximadapara os valoresfiltrados

•Com este tipo de filtro a distância dos pontos vizinhos não influenciam no cálculo do valor da função filtrada. Um segundo tipo de função filtro G, como uma gausiana, pondera a influência dos pontos vizinhos em função da distância ao ponto em questão.

Propriedades associadas ao conceito de separação de escalas por meio de filtragem das equações

Uma flutuação filtrada não é nula

f x ,t f x f x ,t f x ,t f x ,t f x

f x f x f x 0

•Esta propriedade se deve ao fato que uma variável filtrada pela segunda vez não é, forçosamente, igual à mesma variável filtrada pela primeira vez, como ilustra a figura abaixo:

f(t)

t

Função original

Função filtrada uma vez

Função filtrada duas vezes

O produto filtrado de uma variável média por uma flutuação de uma variável é diferente de zero

f f f f 0

A produto de duas variáveis filtradas, filtrado novamente, é diferente do produto das duas variáveis filtradas separadamente

f f f f

Equações de Navier-Stokes filtradas

Conservação da massa

ui 0xi

Operador filtro + propriedade comutativa entre este operador e o operador derivada parcial

ui 0xi

ui 0xi

Subtraindo-se uma equação da outra

Equação de balanço da quantidade de movimento

uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i

uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i

•Estaria esta equação na forma de ser resolvida? Porque não?

•Aplicando-se a decomposição de escalas ao termo não linear:

u u u u u u u u u u u u u u u u ui j i i j j i j i j j i i j

•Necessita-se ainda de uma decomposição

u u u u u u u u u u u u u ui j i i j j i j i j j i i j

•Surge o chamado tensor de Leonard

L u u u uij i j i j

•Logo,

uu u1 p ji iu u L u u u u u ui j ij i j i j i jt x x x x xj i j j i

Incógnitas à mais! Modelagem da turbulência!

• Os tensores adicionais devem ser modelados

uu u1 p ji iu u ( L u u u u u u )i j ij i j i j i jt x x x x xj i j j i

• Antes disto, façamos um estudo comparativo entre as equações médias de Reynolds e as equações filtradas.

uu u1 p ji iu u u u u u u u Liji j i j i j i jt x x x x xj i j j i

uup j1 iu u u ui j i jx x x x xj i j j i

Equações Médias de Reynolds

Equações Filtradas de Navier-Stokes

Equações Globais Filtradas para a Turbulência

uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i

ij u u u ui j i j

uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i

Germano (1996)

uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i

“Equações Médias de Reynolds”

Equações Filtradas Globais

Equações Filtradas - desprezando-se os tensores cruzados e de Leonard

uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i

• “Equações Médias de Reynolds”: o tensor de Reynolds modela a transferência de energia entre todo o espectro de freqüências e o escoamento médio

Grande “responsabilidade” para os modelos que deverão fechar este sistema de equações => falta de generalidade

• Equações Filtradas: o tensor de Reynolds modela a transferência de energia entre a banda resolvida e a banda não resolvida do espectro

Menor “responsabilidade” para os modelos sub-malha: modelos mais simples e maior generalidade ==> malha mais fina e maior custo computacional.

uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i

• A equação é a mesma para o que se chama de “Equação média de Reynolds” e “Equações Filtradas”

• O que difere?

• O que se busca representar com este modelo matemático

• O tipo de metodologia a ser utilizada

Qual a metodologia a ser utilizada?

Depende do objetivo!

• Se o objetivo é o comportamento médio do escoamento:

> Diferentes tipos de modelos: k-eps, Rij, etc. (esquemas de discretização espacial e temporal de ordem baixa => menor custo, pois são várias equações de transporte a mais a serem resolvidas!!)

> Existem modelos diferentes para diferentes tipos de problema ==> pouca generalidade.

• Se o objetivo da análise é o comportamento físico do problema:

• Baixos Reynolds

• SND

• SGE

SND

• Baixa difusão numérica - esquemas numéricos de alta ordem de precisão

• Se o objetivo é o comportamento físico do problema:

•Altos Reynolds

SGE

•Baixa difusão numérica - esquemas numéricos de acima de segunda ordem no tempo e no espaço

Observações Finais sobre as Equações

• As equações para a turbulência são as mesmas, indiferente às metodologias que foram utilizadas para deduzí-las

• O problema de fechamento é resolvido por meio de duas correntes filosóficas:

> Primeira: calcular menos e modelar mais

> Segunda: calcular mais e modelar menos

• Qual o tipo de modelagem a ser utilizada? Depende dos objetivos !!!