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CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 03 DE SETEMBRO DE 2008

CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

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CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA. 03 DE SETEMBRO DE 2008. REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES. ENGENHARIA DE PROCESSOS. Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos. 1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS. O conjunto de ações desenvolvidas. Até - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5

OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICAOTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

03 DE SETEMBRO DE 2008

Page 2: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES

Page 3: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

ENGENHARIA DE PROCESSOS

Page 4: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

O conjunto de ações desenvolvidas

DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico

AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.

É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS

Page 5: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Estabelecer o número

e o tipo dos reatores

Definir o número e o tipo dos separadores

Definir o número e o tipo de trocadores de

calor

Estabelecer malhas

de controle

Definir o fluxogramado processo

Investigar mercado para o produto

Investigar disponibilidade

das matérias primas

Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados

Investigar reagentesplausíveis

SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS

SÍNTESE ANÁLISE

Calcular as dimensõesdos equipamentos

Calcular o consumo de matéria prima

Calcular o consumo de utilidades

Calcular o consumo dos insumos

Calcular a vazão dascorrentes

intermediárias

Avaliar a lucratividadedo processo

Page 6: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto

(a) previsão do desempenho do sistema.(b) avaliação do desempenho do sistema.

(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definição da estrutura do sistema.

PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema.

Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:

SÍNTESE

ANÁLISE

Page 7: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo

RM

Reator demistura

RT

Reator tubular

DS

Coluna de destilaçãosimples

DE

Coluna de destilaçãoextrativa

A

Aquecedor

R

Resfriador

T

Trocador deIntegração

A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.

Um problema com multiplicidade de soluções!

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE

Page 8: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

DS

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

(7)

RM

A,B

P,A

DS

P

A

T

(8)

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

DE

(9)

DSRT RAA,B A,P

P

A

(11)

RM

A,B

P,A

P

A

T DE

(10)

DSRT A,P

P

A

T

A,B

(12)

RT RAA,B A,P

P

A

DE

(13)

RT A,P

P

A

T

A,B

DE

(14)

Page 9: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

Page 10: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

Problema: determinar o melhor par de valores

Cada par (x1,x2) é uma solução viável

Dificuldade: infinidade de soluções viáveis!

Page 11: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização

Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.

Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.

Multiplicidade de Soluções

Exige a busca da

Otimização

A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização.

Solução Ótima

através da

Page 12: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

A+B P+CA,B P,C

??

1 PAB Cx

?

T D

2PA

B Cx

?T A

P3DE Fx

?

DM

PF

4DE x

?

M E

L

x

6

x o = 3x*

8

L

xx o = 4x*

L

10

xx o = 6x*

L

x

7

x o = 5x*

Page 13: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

L

x4

10

?

P3DE Fx

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada

Vantagem

Varre todas as soluções sem

repetiçõessem omitir a ótima

Desvantagem

Explosão Combinatória

(outros métodos)

Page 14: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

INÍCIO DO CAPÍTULO 5

Page 15: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA

OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5

INTRODUÇÃO GERAL

1

INTRODUÇÃO À

SÍNTESE DE PROCESSOS

8

6

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE SEPARAÇÃO

7

SÍNTESE

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

AVALIAÇÃOECONÔMICAPRELIMINAR

4

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

2

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

3

ANÁLISE

FINALIDADE DO CAPÍTULO

Apresentar alguns conceitos básicos de Otimização, o método analítico e métodos numéricos simples com aplicações em

processos químicos.

Page 16: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Relembrando o Processo Ilustrativo

W6

T*6

W10 T10

W13 T13 W11

T*11

W8

T*8

W*1

x*1,1

T*1

f1,1

f3,1

W7 T7

W5 T*

5W3 x1,3

T3 f1,3 f2,3

W4 x*

1,4

T4 f1,4 f2,4

W12 T*

12

W9 T*

9

W14 T*

14

W2

x12

T*2

f12 f32

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

15

VdAe

AcAr

* r*

AlimentaçãoProduto

Vapor

Benzeno

Benzeno

Água Água

W15 T15

Condensado

Page 17: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Dimensionamento com G = 0 (solução única)

INCÓGNITASPARÂMETROS

L

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOMATEMÁTICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

W1x1,1,x1,4

T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r,

Page 18: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Dimensionamento com G > 0 (otimização)

VARIÁVEIS DE PROJETO

Lr,T9,T12OTIMIZAÇÃO

INCÓGNITAS

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOMATEMÁTICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,

O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até encontrar o valor máximo do Lucro.

Ausência de r, T9 e T12 na lista deMetas de Projeto

Page 19: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

4

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

3

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

2

OTIMIZAÇÃO

5

Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais

OTIMIZAÇÃOMODELO

ECONÔMICO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos MODELO

MATEMÁTICODimensões Calculadas Lucro

Page 20: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator

DimensionarEvaporador

DimensionarCondensador

DimensionarResfriador

DimensionarMisturador

SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Page 21: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de

métodos de busca da solução ótima de um problema

OTIMIZAÇÃO

Ação de buscar a solução ótima de um problema

Palavra com dois significados:

Page 22: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Todo problema de Otimização encerra um conflito

A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes.

Comentário

Page 23: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

R

C

0

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

Exemplo

No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante.

- aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.

- aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita.

Com o aumento da vazão:

Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

(extrato)

x kgB/kgA

EXTRATOR

B: benzeno (solvente)

A : água

AB: ácido benzóico (soluto)

Vazão ótima Lucro máximo

Page 24: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização

Page 25: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 CONCEITO DE OTIMIZAÇÃO

Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema:

Graus de Liberdade G = V - N - EV : número de variáveisN : número de equaçõesE: número de variáveis especificadas (E = C + M)

C = condições conhecidas M = metas de projeto

Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações:

- metas inconsistentes ou em excesso G 0 solução impossível

y

x

paralelas

- metas estritamente suficientes G = 0 solução única

y

x

- metas insuficientes G > 0infinidade de soluções viáveis

y

x

coincidentes

Page 26: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exemplo simples: dimensionamento de um extrator

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR

B: benzeno (solvente)

A : água

AB: ácido benzóico (soluto)

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 1

G = 0 (solução única)

y = 0,04; W = 2.500 kg/h

(a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta

Page 27: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é 0,04.

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y = 0,03 kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x = 0,01 kgAB/kgAEXTRATOR

B: benzeno (solvente)

A : água

AB: ácido benzóico (soluto)

solução impossível!

(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgB como metas.

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 2G = - 1 (metas em excesso)

Identidade!

Page 28: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Neste caso (G > 0) é imperioso buscar a melhor de todas as soluções:

Otimização Solução Ótima

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgAEXTRATOR

B: benzeno (solvente)

A : água

AB: ácido benzóico (soluto)

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0

G = 1 (infinidade de soluções)

Insuficiência de metas gera graus de liberdade

(c) Dimensionamento sem especificação de metas

Page 29: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização

Page 30: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)

5.2.2 Critério

5.2.3 Função Objetivo

5.2.4 Restrições

5.2.5 Região Viável

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.

Page 31: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)

São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.

Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.

Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto

O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

VARIÁVEIS DE PROJETO

Lr,T9,T12

OTIMIZAÇÃO

INCÓGNITAS

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,Ae,Ac,Ar

W4,W6,W8,W11,W14

MODELOMATEMÁTICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

W1x11,x14

T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14,

Page 32: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7

1

2

3

Exemplo

y

x

coincidentes

Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado

(infinidade de soluções)

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

V = 7

N = 3

C = 2

M = 1

E = 3

Page 33: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7

1

2

3

x4c

x5c

x1

x2

x3

x6m

x7p

1

2

3

Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas.

A variável escolhida é denominadavariável de projeto.

O critério de escolha se baseia na minimização doesforço computacional, abordado no Capítulo 3 (Algoritmo de Ordenação de Equações).

Não havendo imposições, o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7.

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

Page 34: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7p

1

2

3

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

7xpx7m

0

100

200

300

400

500

A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro.

Se a variável for contínua, haverá umainfinidade de soluções viáveis (indeterminado).

Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.

Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.

Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).

Page 35: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.

Modelo Matemático

1. Q (xo - x) - W y = 0

2. y - k x = 0

Balanço de Informação

V = 5, N = 2, C = 2, G = 1

(candidatas: x, y, W)

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Exemplo: otimização do extrator

Page 36: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

R

C

0

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

L

C

R

xo = 0, 01118

Lo = 15,6

xo*

1

y

x

W2

Q*

xo*

1

y

x

W

2

Q*

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Qualquer escolha resulta na solução ótima

Wo = 1.972,3

xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/h

xo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h

Page 37: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

Escolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequência de cálculo acíclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

xo*

1

y

x

W

2

Q*

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Escolha infeliz !Sequência de cálculo cíclicaOtimização com cálculo iterativo

xo*

1

y

x

W2

Q*

Qualquer escolha resulta na solução ótima

Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização

Page 38: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)

5.2.2 Função Objetivo

5.2.3 Restrições

5.2.4 Região Viável

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.

Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução doproblema

5.2.2 Critério

Page 39: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.

O critério mais comum é econômico:

5.2.2 Critério

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

0

100

200

300

400

500

Maximização do Lucro

x7o

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

0

100

200

300

400

500

R

C

L

Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)

x7o

Page 40: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.

A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo umoutro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa.

5.2.2 Critério

Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimização com objetivos múltiplos)

7xpx7m

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

0

100

200

300

400

500

Page 41: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)

5.2.2 Critério

5.2.5 Restrições

5.2.5 Região Viável

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.

5.2.3 Função Objetivo

Page 42: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.3 Função Objetivo

(c ) Convexidade: côncava ou convexa.

É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.

A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.

(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.

Pode ser classificada quanto à:

(b) Modalidade: unimodal, multimodal.

Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.

Page 43: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.3 Função Objetivo(a) Continuidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

x

Função Contínua0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

y

x

Função Contínua comdescontinuidade na derivada

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y

x

Função Descontínua0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

y

xFunção Discreta

Page 44: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

x

Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

f

X1

Page 45: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Função Bimodal em 1 Dimensão

1 2 3 4 5 6

200

205

210

215

220

y

x

A

B

C

D

E

F

5.2.3 Função Objetivo(b) Modalidade

Função Bimodal em 2 Dimensões

0

1

2

3

4

5

6

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,02,5

3,0

-1

0

1

2

3

4

f

x1

x 2

ABC

Page 46: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta.

y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

xx1 x2(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

0 a 1

Page 47: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5y

xx1x2

(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

0 a 1

Page 48: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pela segunda derivada da

função no ponto extremo.

Page 49: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aosseus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação Característica.

ji xx

f

2

ijff

11f

12H(x) =

f21

f22

Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem:

Matriz Hessiana:

f11

f12

f21

f22

-

- = 0det

Equação Característica:

Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0

Page 50: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Ilustração: Funções Quadráticas

5.2.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x2

2 + b12 x1 x2

Page 51: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

f

X2

X1

-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,0

0,20,4

0,60,8

1,0

f

X2

X1

-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

-1,0

-0,8

-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

f

-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,0

0,20,4

0,60,8

1,0

f

-1,0-0,8-0,6

-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0-1,0

-0,8-0,6

-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

0

-0,80-0,50

-0,20

-0,20

-0,50

0,10

0,10

-0,80-1,1

-1,1

0,40

0,40

-1,4

-1,4

0,70

0,70

-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x 2

X1

estritamente convexa

convexa

estritamente côncava

côncava

ponto de sela

1 ,

2H ( x ) f ( x )

1

> 0 , 2

> 0 positiva definida

1 > 0 ,

2 = 0 positiva semi-definida

1

< 0, 2

< 0 negativa definida

1

< 0, 2

= 0 negativa semi-definida

1

> 0 , 2

< 0 indefinida

Page 52: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Modelo Físico1. Q* (xo

* - x1 *) - W1 y1 = 0

2. y1 - k x1 * = 0

3. Q * (x1 * - x2

*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2

* = 0

Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

3.7 DimensionamentoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A

rafinado

x1 * = 0,015 kgAB/kgA

W1 kg B/h ?

y1 kg AB/kg B ?extrato

W1 kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

y2 kg AB/kg B ?extrato

W2 kg B/h

Q = 10.000 kgA/hx2

* = 0,008 kgAB/kg A

W2 kg B/h ?

rafinado1 2

alimentação

Page 53: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Modelo Físico:1. Q* (xo

* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)

5.6 Dimensionamento/OtimizaçãoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).

rafinado

x1 kgAB/kg A ?

W1 kg B/h ?

y1 kg AB/kg B ?extrato

W1 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

y2 kg AB/kg B ?extrato

W2 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?

W2 kg B/h ?

rafinado

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A1 2

alimentação

Page 54: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,0050,010

0,0150,020

0,0250,030

0,035

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,020

L

X2x

1

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

Exemplo de Função Não-Quadrática(Lucro de 2 extratores em série)

Aplica-se a mesma classificação

2

12

1 x

xdcx

x

baL ---=

Page 55: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.1 Variáveis de Decisão

5.2.2 Critério

5.2.3 Função Objetivo

5.2.5 Região Viável

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.

5.2.4 Restrições

Page 56: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.3 Restrições

São os limites impostos pelas leis naturais ou estabelecidos às variáveis do processo.

(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.

Há dois tipos de restrições:

Page 57: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto

s.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade

Enunciado Formal de um Problema de Otimização

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

Max L(x) = R – C {x}

s.a.:

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0h2 (x) = y - k x = 0

g(x) = x - xo 0

Exemplo: otimização do extrator

Page 58: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1.0

0,80,6

0,4

B

A

h(x) = 0

x1

x2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) ,x 12

22 0 25 0

5.2.3 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : B

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Page 59: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0 0,4

0,6

0,8

1,0A

B

C

h(x) = 0

x1

x2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) , ( ) ,x 2 122 1 1 0 1 0

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : BMáximo Local: C

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Page 60: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1.0

0,80,6

0,4

B

A

h2(x) = 0

h1(x)=0

x1

x2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 12

22 0 25 0( ) ,x Solução Irrestrita: A

Solução Restrita : B (restrições compatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Page 61: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1.0

0,80,6

0,4

B

A

h2(x) = 0h1(x)=0

x2

x1

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 1 2 1 0( )x Solução irrestrita: ASolução restrita: impossível( restrições incompatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Page 62: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

5.2.3 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : B

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x21.0

0,80,6

0,4

B

A

x1

Page 63: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

1.0

0,80,6

0,4

B

A

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

Page 64: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g2(x)

g1(x)

B

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : B

Page 65: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g1(x)

g2(x)

C

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : C

Page 66: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g1(x)

g2(x)

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x2 12

22 4 0( )x

g x x1 12

22 1 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

Page 67: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g1(x)

g2(x)

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução impossívelRestrições incompatíveis

Page 68: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)

5.2.2 Critério

5.2.3 Função Objetivo

5.2.4 Restrições

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.

5.2.5 Região Viável

Page 69: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.2.4 Região Viável

h(x) = 0

g(x) 0

x1

x2

x3

Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)

Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.

Max f(x) {x}

s.a.: h(x) = 0 g(x) 0

Page 70: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Região ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

g (x)1

g (x)2

g (x) 3

A

B

g x x1 12 2

222 2 4 0( ) ( ) ( )x

g x x x2 12

22 4 0( )

g (x) (x 2) x 4 03 12 2

5.2.4 Região Viável Convexidade

A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

Page 71: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Região Não - ConvexaA reta que une A e B não

permanece contida na região

g (x) x x 4 01 12

22

2 1 2g (x) x (x 2) 4 02 2= + - -

g x x x3 12

221 1 0( ) ( )

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

g (x)1

g (x)2

g (x)3

B

A

5.2.4 Região Viável Convexidade

Page 72: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

Restrições podem ser lineares:x1 – 0,02 0x2 – x1 0

Page 73: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável

5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.3 Localização da Solução Ótima

Page 74: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.3 Localização da Solução Ótima

Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.

Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

Localização de valores extremos na faixa x1 x x2

0 5 10 15 20

1

2

3

4

5

x

f(x)

m

m

M

M

M

x1 x2

Page 75: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.3 Localização da Solução Ótima

Condição para a otimalidade SEM restrição:

• Condição necessária de segunda ordem:Para que x* seja um mínimo local da função f(x), duas vezes diferenciável em x*, é necessário que a condição de primeira ordem seja satisfeita e que a matriz Hessiana H(x*) = 2f(x*) seja positiva semi-definida (ou negativa semi-definida para máximo).

• Condição necessária de primeira ordem:Para que x* seja um mínimo (ou máximo) local da função f(x), diferenciável em x*, é necessário que:

f(x*) = 0

Page 76: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

• Condição suficiente de segunda ordem:Seja f(x) duas vezes diferenciável em x* tal que:f(x*) = 0 eH(x*) seja positiva definidaentão x* é um mínimo local estrito de f (ou máximo se negativa definida).

Condição para a otimalidade SEM restrição:

Page 77: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Condição para a otimalidade COM restrição:

• Condição necessária de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker (KKT):Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) diferenciáveis em x*, é necessário que:os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g(x*), e das restrições de igualdade, h(x*), sejam linearmente independentes, e que as seguintes condições sejam satisfeitas:

xL(x*, λ*, μ*) = S(x*) + (λ*)T h(x*) + (μ*)T g(x*) = 0h(x*) = 0g(x*) ≤ 0μj* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade)μ* ≥ 0

Page 78: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Condição para a otimalidade COM restrição:

• Condição necessária de segunda ordem de KKT:Para que x* seja um mínimo local do problema com restrições, com f(x), g(x), e h(x) duas vezes diferenciáveis em x*, é necessário que a condição de primeira ordem de KKT seja satisfeita e, que a matriz Hessiana dafunção de Lagrange, x

2L(x*, λ*, μ*), seja positiva semi-definida para todo vetor não nulo d tal que:

dT hi(x*) = 0 , i = 1, 2, ..., mdT gj(x*) = 0 para as gj(x*) ativas

isto é, dT x2L(x*, λ*, μ*) d ≥ 0.

Page 79: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima

5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.4 Problemas e Métodos de Otimização

Page 80: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:

Os métodos de resolução podem ser classificados:

(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.

Page 81: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

(a) Quanto ao número de variáveis: univariáveis ou multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: restritos ou irrestritos.

5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

(a) Quanto à natureza: analíticos ou numéricos(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: diretos ou indiretos.

Problemas:

Métodos:

Com base nessa informação, pode-se formular diversos planos para um estudo sistemático de Otimização.

Page 82: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização

5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis

Page 83: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.1 Problemas univariáveis

Exemplo: dimensionamento do extrator

Page 84: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Seqüência de Cálculo

Restrições de Igualdade !!!

x y W

1 * * *2 * *

x y W

1 x x o2 x o

Page 85: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W

= + =a Q p xp

kAB oB( ) 105

= =b p QAB 4000

= =cp Qx

kB o ,0 5

L = a - b x - c/x

Page 86: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

L

C

R

xo =0, 01118

Lo = 15,6

Busca do ponto estacionário:

yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h

Solução completa do problema:

L = a - b x - c/x

x b

dL

dxb

cx

co= - + = || = =2

0 0 01118,

o

2

2 o 3

x

d L c= -2 < 0

dx (x )

Máximo!

Page 87: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

1 2

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

W1

kgB/hW2

kgB/h

y1

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

x1

x2

kgAB/kgAkgAB/kgA

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

Page 88: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.5 MÉTODO ANALÍTICO 5.5.2 Problemas multivariáveis

Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o

Modelo Matemático2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

Page 89: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L

Buscando o ponto estacionário:

Solução completa:y1

o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h

y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2

o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)

2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25

Page 90: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Analisando o ponto estacionário:

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

o

2 2

o 3 o 22 5 51 21 2 1o o

1 2 o 5 52 21

o 2 o 322 21 2 2 x

b dL L2

(x ) (x )x x x 4 10 2,95 10H(x ,x ) =

d d x 2,95 10 8,69 10L L2

(x ) (x )x x x

Máximo!

det(H - I) = 0 1 = -0,258106 e 2 = -1,011106

Page 91: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

L

Page 92: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

Page 93: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

1 2

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.184 kgB/h

W2 = 1.184 kgB/h

x1 = 0,01357 kgAB/kgA

x2 = 0,00921 kgAB/kgA

y1 = 0,05428 kgAB/kgA

y2 = 0,03824 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Recup. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Consum. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

Page 94: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

19,5

0,01357

0,00921

Page 95: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Modelo Físico1. Q* (xo

* - x1 *) - W1 y1 = 0

2. y1 - k x1 * = 0

3. Q * (x1 * - x2

*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2

* = 0

Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

3.7 DimensionamentoDesprezada a solubilidade do benzeno em água.Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A

rafinado

x1 * = 0,015 kgAB/kgA

W1 kg B/h ?

y1 kg AB/kg B ?extrato

W1 kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

y2 kg AB/kg B ?extrato

W2 kg B/h

Q = 10.000 kgA/hx2

* = 0,008 kgAB/kg A

W2 kg B/h ?

rafinado1 2

alimentação

Page 96: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2

* = 0,008

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

17,8

19,5

Page 97: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL

O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi resolvido.

Alternativamente, poder-se-ia pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariáveis: otimizar o primeiro estágio e utilizar o valor ótimo x1

o na alimentação e otimização do segundo.

Neste caso, a solução obtida não é a solução ótima do problema!

Page 98: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

1Q*

xo* x

1

W1

W1y1

L p Q x x

p Q x x

kx

L a b xc

x

a Q p xp

k

b p Q

cp Q x

k

xc

b

L a

ab ob o

ab ob

ab

b o

o

o

1 11

1

1 1 1 11

1

1

1

1

11

1

1

105

4.000

05

00111803

1556

* ** *

* *

*

* *

( )

.

,

,

, $/

Q*

x* x

W

Wy

2

2

22

2

1

L p Q x x

p Q x x

kx

L a b xc

x

a Q p xp

k

b p Q

cp Q x

k

xc

b

L a

abb

abb

ab

b

o

o

2 1 21 2

2

2 2 2 22

2

2 1

2

21

22

2

2

6972

4000

02795

0008359

284

* ** *

* *

*

* *

( ) ,

.

,

,

, $/

Page 99: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x1 = 0,01118 kgAB/kgA

1 2

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.972 kgB/h

W2 = 843 kgB/h

x2 = 0,008359 kgAB/kgA

y1 = 0,04472 kgAB/kgA

y2 = 0,03344 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Recup. kg/h 64,28 28,21 116,41Solv. Consum. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

Page 100: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Solução Seqüencial

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

Solução Simultânea

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

Na solução seqüencial, o primeiro estágio ignora o segundo: solução irrestrita. O segundo estágio é otimizado sob a restrição imposta pelo primeiro: solução restrita.

Page 101: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

Restrição de Igualdade: x1 – 0,01118 = 0

Page 102: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]

Método dos Multiplicadores de Lagrange

1. Formar o Lagrangeano do problema:

L(x, , , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]

i , j : multiplicadores de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker) i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade)

2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.

3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

Page 103: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exemplo: Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

0,5

0,5

restrição

curvas de nível da função objetivo

1

1 x1

x2

Page 104: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exemplo: Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2

L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) + j2]

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 + 2]

Formar o Lagrangeano:

Page 105: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 + [x12 + x2

2 – 0,25 + 2]

L / x1 = 2 x1 – 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1)L / x2 = 2 x2 – 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x1

2 + x22 – 0,25 + 2 = 0 (3)

L / = 2 = 0 (4)

A Eq. (4) é satisfeita para:

0,5

0,5

restrição

x1

x2 curvas de nível da função objetivo

1

1

= 0 (solução irrestrita):

= 0 (folga zero, fronteira da região):

(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1 (viola a restrição!)

(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35

= 0,74

Page 106: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exercício: Min f (x) = x1 x2

s.a.: g1 (x) = x12 + x2

2 – 25 0

Encontrar os pontos estacionários deste problema, pelo método da relaxação Lagrangeana, e analisá-los segundo os critérios de KKT

Page 107: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.1 Conceito de Otimização5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5.2.2 Critério 5.2.3 Função Objetivo 5.2.4 Restrições 5.2.5 Região Viável5.3 Localização da Solução Ótima5.4 Problemas e Métodos de Otimização5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis

Page 108: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS

Os métodos podem ser:

- Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo.

- Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo (menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior).

São métodos de busca por tentativas.

Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades:

- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.

- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

Page 109: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exemplo: Dimensionamento de um trocador de calor

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5.6.1 Problemas Univariáveis

W1

= 1.000 lb/h

T1

= 200 oF T2

= 100 oF

W3 lb/h ?

T3 = 60 oF

T4 oF

FLUXOGRAMA

A ?

Page 110: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Modelo Matemático

Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica

0

TT

TTln

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

32

41

3241

3433

2111

m

b

b

3A

T

A

AII

I02,0WpC

I10,0C50,0C

Page 111: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

48,0

T x10040

x140ln

bxa

C

1m

*2

*1

*3

*2

*3

*1

*3

*1

*2

*1

2T

xTT

TT

xTTln

)TT(x

)xTT(

mbx

a

dx

dC

Ordenando as equações resulta T4 como Variável de Projeto.Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo CT e definindo x = T4 - T3:

Tentando o Método Analítico:

Impossível explicitar x Método Numérico de Otimização !!!

Page 112: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Métodos de Estreitamento do Intervalo Viável

(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar(reduzido o intervalo viável, de incerteza).

(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo viável.

(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida

Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos pontos.

Suposição básica: unimodalidade da Função Objetivo

Page 113: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0 1/3 2/3 1

o

o

0 1/3 2/3 1

o

o

Dois experimentos por ciclo

0 11/4 2/4 3/40 11/4 2/4 3/4 0 11/4 2/4 3/4

o

o

oo

o

o

o

o

o

Três experimentos por ciclo

Exemplos para Problemas de Máximo

Page 114: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

o

Eliminação de 50% do intervalo

0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1 0 1/4 2/4 3/4 1

o

o

oo

o

o o

o

o

o

o

o

o

o

o

Eliminação de 75% do intervalo

Page 115: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Método da Seção Áurea

Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter:

(a) simetria em relação aos limites do intervalo

(b) fração eliminada constante

Page 116: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Método da Seção Áurea

Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)

1

Page 117: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Método da Seção Áurea

Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)

1

1- Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor,

resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo original

618,0011

1 2

Razão Áurea

Page 118: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Algoritmo da Seção Áurea

ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

ConvergiuDelta Tolerância

Page 119: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Problema de Mínimo

Eliminação de RegiãoProblema de MáximoEliminação de Região

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto

Atualiza Tolerância ?Novo Ponto

Li Lsxs

Fs

xi

Fi

Li Lxs xi

Fs

Fi

s

0,618

Li xs

Fs

xi LsLsxs xi

Fi

Li

Li Lsxs xi

Fs

Fi

= L s - Li

xi = Lixs = Ls - 0,618

+ 0,618

Inicialização

0,618

IniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

Page 120: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

48,0

T x10040

x140ln

bxa

C

W1

= 1.000 lb/h

T1

= 200 oF T2

= 100 oF

W3 lb/h ?

T3 = 60 oF

T4 oF

FLUXOGRAMA

A ?

x = T4 - 60

Page 121: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

i s s i i sN L x F x F L D

2 0 53,48 247,5467 86,52 259,8506 140 14033,05 260,79563 0 53,48 247,5467 86,52 86,52

66,09 248,75724 33,05 53,48 247,5476 86,52 53,47

45,67 249,63615 33,05 53,48 247,5476 66,09 33,0458,29 247,43146 45,67 53,48 247,5476 66,09 20,4261,27 247,73157 53,48 58,29 247,4314 66,09 12,61

56,46 247,38388 53,48 58,29 247,4314 61,27 7,7955,32 247,40999 53,48 56,46 247,3838 58,29 4,81

57,16 247,389210 55,32 56,46 247,3638 58,29 2,9756,02 247,383611 55,32 56,46 247,3638 57,16 1,84

56,02 56,46 247,3638 57,16 1,14

Minimização do Custo do Trocador de Calor

Tolerância: 1,4 oF (1% do intervalo inicial)

xo = 56,46 T4o = 116,46 Ao = 17 ft2 W3

o = 1.770 lb/h

Page 122: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

W1

= 1.000 lb/h

T1

= 200 oF T2

= 100 oF

W3 = 1.770 lb/h

T3 = 60 oF

T4 = 116,5 oF

FLUXOGRAMA

A = 17 ft2

xo = 56,46 T4o = 116,46 Ao = 17 ft2 W3

o = 1.770 lb/h.

Page 123: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS

Procedimento Geral:

(c) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.(a) seleção de um ponto inicial (base).

Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Alguns métodos diretos:- Busca Aleatória- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex (Poliedros Flexíveis)- Hooke & Jeeves

5.6.2 Problemas Multivariáveis

(d) finalização

Page 124: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Senão: reduzir os incrementos

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma Base

Repetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Se houve Sucesso em alguma direção

Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso

Senão (proximidade do ótimo):

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

Page 125: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exploração

Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base.

Base?- 1

?

- 2

?+ 1

?

+ 2

A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Do resultado, depreender a direção provável do ótimo

Page 126: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exploração

BaseS- 1

I

- 2

S

+ 2

Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

x

S: SucessoI: Insucesso

buscando máximo

Sucesso

desnecessário

Page 127: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exploração

BaseS- 1

I

- 2

S

+ 2

O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.

Page 128: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões

Page 129: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 1

18

15

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Unimodalidade: dispensa + 1

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 2

Page 130: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 115

12

- 2

x1

x2

+ 2

18

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanece na Base

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 1

Page 131: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 115

- 2

x1

x2

+ 2 Sucesso: deslocar a Base

12 Insucesso: permanecer na Base

Direção provável do ótimo

10 Base

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 1

13 Insucesso: permanecer na Base

Page 132: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 17

18

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base

Sucesso: deslocar a Base

Direção provável do ótimo

15+1

10

Base

Direção x1

Direção x2

Unimodalidade: dispensa + 2

Page 133: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 17

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a BaseInsucesso:

permanecer na Base

Direção provável do ótimo

15+1

12

10

Base

18 Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base

+ 2

Direção x1

Direção x2

Page 134: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 17

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base Direção provável

do ótimo

15+1

10

Base

Insucesso: permanecer na Base

+ 2

Direção x1

Direção x2

12

11Insucesso: permanecer na Base

Page 135: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 17

- 2

x1

x2

Sucesso: deslocar a Base

Insucesso: permanecer na Base

Direção provável do ótimo

+110

Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

15

Unimodalidade: dispensa + 2

Page 136: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 17

- 2

x1

x2

Insucesso: permanecer na Base

Direção provável do ótimo

+110

Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

Sucesso: deslocar a Base

15

+ 2

Insucesso: permanecer na Base9

Page 137: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

- 17

- 2

x1

x2

Insucesso: permanecer na Base

+110

Base

Direção x1

Direção x2

Insucesso: permanecer na Base8

+ 2

Insucesso: permanecer na Base9

Insucesso: permanecer na Base5

A Base deve estar próxima do ótimo !

Page 138: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x1

x2

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão

15+110

Base

+ 2

18

+ 2 2

+2 1

25

+ 2 2

+2 1

22

Resultado da Exploração

Progredir com duplo incrementoaté ocorrer um Insucesso

Sucesso! Mover a Base.Continuar a Progressão

Insucesso!Permanecer na Base (25)

Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2 .

Page 139: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo?

Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar

Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.

Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

Senão: reduzir os incrementos

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

Page 140: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x1

x2

1 > 1 e 2 > 2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2

Senão: reduzir os incrementos

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

9

- 1

7

- 2

+1

10Base

+ 2

5

8

+ 1- 1

+ 2

- 2

Page 141: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x1

x2

1 < 1 e 2 < 2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo

8- 1

7

- 2

+110

Base

+ 2

9

5

+ 1- 2

+ 2

- 2

Se Chegou ao Ótimo

Então: Finalizar

Page 142: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Método de Hooke & Jeeves

ALGORITMO

Senão: reduzir os incrementos

Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável

Escolher uma BaseRepetir

Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)

Se houve Sucesso em alguma direçãoEntão: Progredir (na direção provável) até haver um InsucessoSenão: (proximidade do ótimo)

Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar

Page 143: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Funções Unimodais

O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial.

Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

Page 144: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.

Funções Multimodais

(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.

(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes

f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x2

2 + x1 – 7)2

Page 145: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

6

78

9 1011

12

1 4

5

X2

X1

23

13

Método dos poliedros flexíveis

É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o centróide.

xn

x x j nj i j h ji

n

01

111 2, , , , ,

Centróide:

onde xh,j é o pior vértice.

Page 146: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Método dos poliedros flexíveis

O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da minimização da função objetivo têm as seguintes formas:

0 0

1 1

( ) , 0

( ) max ( ), , ( )

k k k kR h

k k kh n

x x x x

onde f x f x f x

Reflexão 1 1

0 0

1

1

( ) ( ) min ( ), , ( ) ,

( ) , 1

( ) ( ),

sen

1 ( 1)

k k k kR n

k k k kE R

k k k kE R h E

k kh R

Se f x f x f x f x

então x x x x

Se f x f x então x x

ão x x

k k ir para

onde x k é o melhor vértice.

Expansão

0 0

1

( ) ( ) , ( )

, 0 1

1 ( 1)

k k k k k kR i C h

k kh C

Se f x f x i h então x x x x

x x

k k ir para

Contração

1 1( ) ( ), ( )

21,2, , 1

1 ( 1)

k k k k k kR h i iSe f x f x então x x x x

i n

k k ir para

Redução

Page 147: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Método dos poliedros flexíveis

O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o seguinte:

11 22

01

1( ) ( )

1

nk ki

i

f x f xn

Page 148: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS

EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS

Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação.

Mas exige um procedimento de otimização:

- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas

- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Page 149: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exemplo: Extrator

T oC

W = 3.750 kgB/h

rafinado

y = 0,032kg AB/kg Br = 0,60

extrato W = 3.750 kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

To oC

Ts oC

T oCT oC

x* = 0,008 kgAB/kg A

alimentação

solvente

T oC

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

To oC

Ts oC

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

Normal

Simulações Sucessivas

Page 150: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exemplo: Extrator

T oC

W = ??? kgB/h

rafinado

y = kg AB/kg Bextrato W = kgB/h

Q* = 10.000 kgA/hQ* = 10.000 kgA/hxo*= 0,02 kg AB/kg A

To oC

Ts oC

T oCT oC

x = ??? kgAB/kg A

alimentação

solvente

FO = |x – 0,008|

Simulações Sucessivas

1. Q(xo – x) – W y = 02. y – k x = 0

x = Q xo / (Q + k W )

Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000 W = 3.750

Page 151: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Exemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

0

TT

TTln

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

32

41

3241

3433

2111

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A T 2* ???

W3

T3* = 15 oC

T4* = ???

T2 = T1 – Q/W1Cp1

T4 = T3 + Q/W3Cp3

Normal

Simulações Sucessivas

Por Hooke&Jeeves

0 < A < 1.0000 < W3 < 100.000

Page 152: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

MATERIAL COMPLEMENTAR

Page 153: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

x ?

T2 ?T3 ?

1-x

Q

WCpQ = 10 kW/oC

F2

WCpF2 = 7 kW/oC 2

1

F1

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Subsídio para o Problema 5.10: divisão de correntes

Page 154: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)

Balanço de InformaçãoG = 1

Modelo Matemático

Q1 = WF1 (T6 - T5)

Q1 = WQ x (T1 – T2)

Q2 = WF2 (T8 - T7) 

Variável de Projeto: x

Função Objetivo

Max LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL

QWCpQ = 10 kW/oC

F2

WCpF2 = 7 kW/oC 2

1

x ? 1 - x

F1

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 ? T3 ?

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Page 155: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)

Balanço de InformaçãoG = 1

Modelo Matemático

Q1 = WF1 (T6 - T5)

Q1 = WQ x (T1 – T2)

Q2 = WF2 (T8 - T7) 

Variável de Projeto: x

Função ObjetivoMax LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL

Min C = A10,65 + A2

0,65

QWCpQ = 10 kW/oC

F2

WCpF2 = 7 kW/oC 2

1

x ? 1 - x

F1

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 ? T3 ?

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Page 156: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)

Modelo Matemático

Q1 = WF1 (T6 - T5)

Q1 = WQ x (T1 – T2)

Q2 = WF2 (T8 - T7) 

Função Objetivo Min C = A1

0,65 + A20,65

T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7 xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)

Resolução: Seção Áurea

T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)

Limites de x

QWCpQ = 10 kW/oC

F2

WCpF2 = 7 kW/oC 2

1

x ? 1 - x

F1

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 ? T3 ?

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Page 157: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7 xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)

T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)

Limites de x

QWCpQ = 10 kW/oC

F2

WCpF2 = 7 kW/oC 2

1

x = 0,74

F1

WCpF1 = 5 kW/oC

T1* = 180 oC

T2 = 70oC T3 = 113,8 oC

T8* = 170 oC T7

* = 100oC

T6* = 117,2 oC

T4* = 102,4 oC

T5* = 60oC

Solução

Page 158: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ?

t2 = - 22 oF

t3 = - 70 oFt1 = 15 oF

to*= 50 oF

Wo* = 10.000 lb/h

T1* = 0 oF T2

* = - 40 oF T3* = - 80 oF

Problema 5.12

Resfriar uma corrente com 3 fluidos refrigerantes que vaporizam a T constante.

Vazão de cada fluido refrigerante?

Page 159: CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA

Q W C t ti o p i i ( )1 0

Q Wi i 0

Q UAi i i 0

i i

t tt Tt T

ii i

i i

ln

1

10

O custo de cada trocador é dado por C a A b Wi i i i i ($/h)

Modelo Matemático para cada Trocador i

t2 = - 22 oF

t3 = - 70 oFt1 = 15 oF

to*= 50 oF

W1 lb/h ? W2 lb/h ? W3 lb/h ?

Wo* = 10.000 lb/h

T1* = 0 oF T2

* = - 40 oF T3* = - 80 oF